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- 母辣 邱
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1 04 年指考趨勢預測 數學甲 文 / 李政豐老師 04 指考的環境背景 學測報名人數繁星推薦及個人申請名額指考報名人數 0 年 5000 人 5754 人 人 0 年 人 人 609 人 04 年 人 人預估 人觀察上列的表格,04 年學測報名人數比 0 年少了 4 人, 繁星推薦及個人申請名額又比 0 年多 668 人, 因此我們估計今年指考報名人數大約是 人左右, 粗略估計 04 年指考自然組報名人數大約是 8000 人左右 打算報名參加指考的學生大概分為下列幾種類型 : 一 原本成績不錯, 自信心很高, 但是這次學測有點失誤, 想藉指考扭轉乾坤 二 成績中等, 理想較高, 但總級分或單科級分不夠, 達不到自己想要的校系, 因而無法申請到理想的學校, 於是決定藉指考, 期盼能東山再起的同學 三 成績本來就不理想, 學測也表現不佳, 最後沒有適合的學校, 不得不參加指考, 奮力一搏 除了第一志願的學校, 其實中段 下段程度的各個學校, 學測過後的現象都大致相似, 像一盤散沙, 放鬆的琴弦, 洩氣的皮球, 老師實在不易掌握, 學生的情緒也顯得著急 浮躁 老師面臨的現況與困難 因為時間的急迫, 數學甲指考的教學內容與準備工作, 基於以下的因素, 讓老師倍感壓力 : 一 學測完畢, 學生都在忙於繁星推薦與個人申請入學資料的準備, 嚴重影響教學進度 ( 程度中下的學生影響更大 ) 二 我們還有選修數學下冊 ( 甲 ) 的微積分及歷屆指考試題要教, 這兩者都是份量很重的教材 三 班級約有六成左右的同學認為自己在四月底會錄取, 無心聽課, 直接影響到班級上課的氣氛 四 五月中旬期末考考完, 學校已經停課自習, 願意到校繼續認真聽課的學生數量減少了許多, 部分學生轉到外面的指考衝刺班去上課, 期待一個半月就能夠敗部復活 這是認真教學老師心中的無奈, 我們的教育單位若要讓升學的壓力減輕, 讓課程變簡單, 就一定得付出學生學習效果打折扣 國家競爭力變弱的代價 數學甲
2 測驗目標與內容 04 年指考, 是以 99 課綱為藍本的第三次指考, 除了 0 0 年指考試題, 與大考中心的參考試題, 我們能夠參考的資料與題型其實很少, 其中一直不變的是測驗目標, 也就是大考中心公佈的下列六大項目 : 一 概念性知識 : 能確認基本數學原理與概念 二 程序性知識 : 能讀圖 查表或運用適當的公式與解題步驟 三 閱讀與表達的能力 : 能讀懂題目, 並以數學語言表達題目的涵意及解題的過程 四 連結能力 : 能融會貫通數學中不同領域的概念, 以連結數學與其他學科知識或生活經驗 五 推理論證的能力 : 能應用數學模型與邏輯思考進行正確的推理或證明 ( 這是學生在基測 學測試題, 甚至於段考中, 沒有訓練到的解題經驗, 在短短的四個月中, 務必加強磨練的項目 ) 六 解決問題的能力 : 能應用數學知識 選擇有效策略及推理能力解決問題, 並能檢驗結果的合理性與正確性 ( 這就是匈牙利數學家 George Polya ( 887~985 ) 在 如何解題 一書中的重點項目 ) 因為我們根本沒有時間按照大考中心公佈的 99 課綱的指考內容做全面的復習, 我謹務實的建議各位師長, 能參照大考中心公佈的 99 課綱數學一 二 三 四冊, 數學甲 I,II 的三顆星的內容 ( 共 5 個單元 ) 做重點復習就已經不錯了 0 0 年指考數學甲的試題就是如此, 沒有超過三顆星的範圍 基於時間緊迫的考量, 能讓學生抓住重點, 內容相對變少, 相信成績就不會離譜 請大家參考下面兩年的數學甲成績標準 : 科目前標均標後標底標 0 數學甲 數學甲 均標落在 45~50 分, 顯示 99 課綱過去兩年的數學指考, 題目算是中肯, 因此老師們不必過度的擔心, 按照以上的目標與內容, 計畫著進行複習工作, 相信我們的學生會有預期的成績表現 4 應考守則 今年繁星推薦及個人申請能夠進入學生自己認同的大學, 其人數約佔全部大學錄取名額的 60%, 剩下 40% 同學的程度分布很極端, 好的很好, 差的很差, 因而在教選修數學下冊 ( 甲 ) 及復習考古題的時候, 教材的取捨與教學的方式, 與學測之前是有所差別的 能有效率的重點解說, 及明快的解題策略, 才能吸引學生, 願意跟上老師擬定計劃的復習進度 南一大考教學誌 指考特輯
3 數學Ⅰ*** 我總是老生常談的叮嚀學生 : () 選題 解題同等重要, 選最簡單 最熟悉的先做, 完全看不懂的難題, 或答案有兩個以上不確定性試題, 務必先跳過, 才能得到基本分數 () 圈出題目的條件, 盡量把正確的圖形畫出, 把所有解題路徑用樹形圖表示出來 () 不急燥演算, 下筆前多考慮, 斟酌看哪種解法比較直觀, 可以簡化計算過程 (4) 務必養成使用圓規 直尺 三角板 量角器等作圖工具的習慣 (5) 引導學生作逆向思考 極端化 特殊化 一般化 找尋規律性的解題訓練 (6) 尤其重要的 : 要告訴學生, 指考非選題 ( 證明與計算 ) 是分段給分的, 有寫到要點, 幾乎就有分, 盡量把你會的過程寫下來, 雖然最後的答案可能是算錯, 也能得到許多分數, 在大考中心網站 (ceec)- 測驗考試 - 指定科目考試 - 歷年試題 -0 學年度指定科目考試各科試題及選擇題答案與非選擇題參考答案 - 數學甲 - 非選擇題參考答案 就可以下載 老師下載兩年的分段給分標準讓學生參考是絕對必要的 (7) 四年來選修數學甲 I,II 占分, 00 年 0 年大約都在 40~54 分之間,0 年為 5 分, 0 年為 40 分, 因此一定要讓學生能掌握高三課程 ( 數學甲 ) 是非常重要的 (8) 打雙圈 的單元在學測是不考的, 但是自考 99 課綱以來, 打雙圈的單元是必考的, 要特別小心 (9) 綜合性試題 ( 例如 0 指考非選擇第二題 : 把線性變換 複數乘法 向量內積的概念綜合起來考 ) 是最近常常出現的試題, 需要讓學生加強訓練 (0) 有不確定性變量的試題是鑑別度很高的試題 ( 例如 0 指考多重選擇題第五題第九題 ) 必須讓學生不斷的演練, 考出來同學才能適應 () 0~0 這兩年來 99 課綱只有三顆星 *** 的才會被考出來, 為了節省時間, 呼籲同學要能掌握 5 準備的方向 讓我們先了解 0 年的試題分配表, 當作我們掌握 99 課綱的參考, 鑑往知來, 他山之石可以攻錯, 三顆星的重點抓住了, 反覆訓練, 學生的解題能力就自然增強, 這需要耐心與時間 我們當然不容易猜中 04 年試題的分配, 但是只要方向正確, 效果就會自然呈現 0 年數學甲試題配分表 題型 數學甲測驗內容 單選題 多選題 選填題 非選擇題 數與式 ( 數線上的幾何 ) 多項式函數 ( 多項式的運算與應用 多 項式方程式 ) 指數 對數函數 第 題 ( 6 分 ) 配分標示 *** 6 分 *** 數學甲
4 數學Ⅲ6 分 *** 數學Ⅳ8 分 *** 8 分 *** 數學甲Ⅰ6 分 *** 數學甲Ⅱ南一大考教學誌 4 指考特輯數學Ⅱ機率第 B 題 ( 機率的定義與性質 條件 ( 6 分 ) 機率與貝氏定理 ) 6 分 *** 三角第 9 題 ( 正弦定理 餘弦定理 差 ( 8 分 ) 角公式 三角測量 ) 8 分 *** 直線與圓第 題 ( 直線方程式及其圖形 圓 ( 6 分 ) 與直線的關係 ) 平面向量 *** 空間向量 第 5 題第 A 題 ( 8 分 ) ( 6 分 ) 4 分 *** 空間中的平面與直線 第 8 題 (8 分 ) 矩陣 第二題 ( 分 ) 分 *** 機率統計 Ⅱ 第 7 題 ( 隨機的意義 二項分布 ) (8 分 ) 三角函數 第 題 ( 6 分 ) 6 分 *** 極限與函數 ( 數列及其極 第 4 題 限 函數的極限 ) ( 6 分 ) 多項式函數的微積分 第 6 題第一題 ( 8 分 ) ( 分 ) 0 分 ***
5 04 學年度指定科目考試模擬試題 數學甲考科 作答注意事項 教師用 考試時間 :80 分鐘題型題數 : 單選題共 4 題 多選題共 5 題 選填題共 4 題 非選擇題共 題作答方式 : 選擇題答案請填入後面之答案欄中 非選擇題用黑色或藍色筆, 在 作答區 上作答 註 :. 答錯不倒扣. 此份試題本為模擬指定科目考科之測驗形式, 作答方式仍以未來實際之測驗形式為準 出處 南一版 指考衝刺班數學甲 版權所有請勿翻印 5 數學甲
6 第壹部分 : 選擇題 ( 單選題 多選題及選填題共占 74 分 ) 一 單選題 ( 占 0 分 ) 說明 : 第 題至第 4 題, 每題有 5 個選項, 其中只有一個是正確或最適當的選項, 請畫記在 答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 各題答對者, 得 5 分 ; 答錯 未作答或畫記多於 一個選項者, 該題以零分計算 (4). 右圖中,ABCD-EFGH 為一正立方體,Q 為 GH 的 中點,P 為 AD 的中點,O 為正立方體的中心, 則 cos ( POQ ) 的值 = () (4) - () - (5) 0 (). 建立空間坐標系, 令 E ( 0, 0, 0 ),F (, 0, 0 ),A ( 0, 0, ),H ( 0,, 0 ),D ( 0,, ),G (,, 0 ), 則 Q (,, 0 ),P ( 0,, ),O (,, ) OP =( -, 0, ), OQ =( 0,, - ) OP = =, OQ = =, OP. OQ 0+0- 故 cos ( POQ )= OP OQ = 4. =-, 選 (4) (4). 因應民眾對商品安全的疑慮, 食品檢驗局研發了一種毒物試劑, 宣稱如果商品含有此種毒物一定可以檢驗出來, 但是有 5% 的機率會將不含該毒物的商品誤判為含有該毒物 假設已知某一批進品商品, 其中有 % 含有此毒物, 今隨機抽驗該批商品之一包, 檢體被檢測出含有該毒物 若依食品檢驗局宣稱之檢測率, 請問該檢體確實含有該毒物的機率 p 滿足下列何者選項? () p<0.0 () 0. p<0.4 () 0.4 p<0.6 (4) 0.6 p<0.8 (5) p 0.8. % 00% 有毒 5% 99% 無毒 95% % 00% p= 檢驗有毒檢驗有毒檢驗無毒 % 00%+99% 5% = = = , 選 (4) (). 設 f (x)=x +ax +bx+c, 若 f (x) 在 x=- 時有極大值, 在 x= 時有極小值 k, 則實數 k 之值為 () -0 () -0 () 0 (4) 40 (5) -40. f (x) 在 x=α 處發生極 ( 大或小 ) 值, 則 f ' (α)=0 f (x)=x +ax +bx+c f ' (x)=x +ax+b, 故 f ' (x)=0 有兩根為 - 與 f ' (x)= ( x+ ) ( x- )=x -6x-9 a=-6 b=-9 a=- b=-9 f (- )==-+a-b+c --+9+c= c=-, k=f ()= =-0, 選 () 南一大考教學誌 6 指考特輯
7 () 4. 坐標平面上,θ 為第二象限角, 已知 tanθ=- 5, 則下列選項何者正確? () sin θ>0 () cos θ<0 () sin θ > cos θ θ (4) sin >0 (5) cos θ >0 4. () :sin θ= sinθcosθ= - 5 () :cos θ=4 cos θ- cosθ=4 (- 5 () :cos θ= cos θ-= (- 5 二 多選題 ( 占 0 分 ) =- 4 9 說明 : 第 5 題至第 9 題, 每題有 5 個選項, 其中至少有一個是正確的選項, 請將正確選項畫 記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 各題之選項獨立判定, 所有選項均答對者, 得 6 分 ; 答錯 個選項者, 得.6 分 ; 答錯 個選項者, 得. 分 ; 答錯多於 個選 項或所有選項均未作答者, 該題以零分計算 5 <0 ) - (- 5 )= 7 7 ) -= 9, 而 sin θ=- 4 9 (4)(5) : θ Ⅱ k<θ< k,k k< θ < k,k, 故選 () k=0 45 < θ <90 θ I sin θ,cos θ >0; k= 5 < θ <70 θ θ Ⅲ sin,cos θ 5 >0 5 sin θ > cos θ θ <0 sin,cos θ 之正負無法確定 ()(4) 5. 設三次實係數多項式 f (x) 除以 x-,x-,x- 所得餘式分別為,,4, 且令 g (x) 為 (5) ( x- ) ( x- ) ( x- ) ( x- ) ( x- ) ( x- ) 二次多項式 g (x)= ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) ( - ), 請選出正確的選項 () g ( )= 7 8 () f (5)=g (5) () f (x) 除以 x-4 的餘式為 7 (4) f (x) 除以 ( x- ) ( x- ) 的餘式為 x (5) f (x) 除以 ( x- ) ( x- ) ( x- ) 的餘式為 g (x) 5. 由牛頓插值法及 deg f (x)=, 設 f (x)=a ( x- ) ( x- ) ( x- )+b ( x- ) ( x- )+c ( x- )+d,a,b,c,d 為常數且 a 0, 則 f ()=,f ()=,f ()=4 ( 由餘式定理 ), 得 d=,c=,b..+c+d=4 b= f (x)=a ( x- ) ( x- ) ( x- )+ ( x- ) ( x- )+( x- )+ (*) =a ( x- ) ( x- ) ( x- )+ x - x+,a 0 由拉格朗日插值法知 g ()=,g ()=,g ()=4 ( 與 f ()=,f ()=,f ()=4 同條件 ) g (x)= x - x+ () :g ( )= 4-4 += 7 8 () :f (5) g (5) () : 由餘式定理知餘式 =f (4)=6a+7( a 0 ) 7 (4) : 由 (*) 式知 f (x) 除以 ( x- ) ( x- ) 的餘式為 ( x- )+=x (5) : 由 (*) 式知 f (x) 除以 ( x- ) ( x- ) ( x- ) 的餘式為 g (x) 故選 ()(4)(5) 7 數學甲
8 ()() 6. 已知函數 f (x)=log a ( -x +b- ),( a>0 且 a,b 為實數 ) 的圖形, 如右圖所示, 則下列哪些為真? () a> () 0<a< () b> (4) 0<b< (5) a<b 6. () ;() : 由圖形知函數為嚴格遞減函數 x <x f ( x )>f ( x ) log a -x >log a -x ( 不必考慮 b-, 其只會影響平移, 不會影響遞增 遞減關係 ) -x log a >-x log a x log a <x log a log a >0 a> () ;(4) ;(5) : f (0)=log a ( 0 +b- )=log a b 由圖形知 0<f (0)< 0<log a b< log a <log a b<log a a a> <b<a b> 且 b<a 故選 ()() ()(5) 7. 直線 L :y=ax+b, 直線 L : x a + y b = 在同一坐標系中的圖形可能是下列哪些? () () () (4) (5) x 7. 斜截式 y=ax+b 與截距式 a + y b = 中的 b 都是 y 軸截距, 因此兩條直線在 y 軸上的交點應是同一點, 故 ()(4) 不對 圖 () 表示 L 的斜率是正的,a>0; 但 L 交於 x 軸的負向,x 軸截距 a 是負的, 矛盾,() 錯 圖 () 表示 L 的斜率是正的,a>0; L 交於 x 軸的正向,x 軸截距 a 是正的,() 對 圖 (5) 表示 L 的斜率是負的,a<0; L 交於 x 軸的負向,x 軸截距 a 是負的,(5) 對 選 ()(5) 南一大考教學誌 8 指考特輯
9 ()(4) 8. 某區有男生 6400 人, 女生 600 人, 每次從某區挑選一人, 不重複挑選, 共挑 6 次, 則挑選這 6 人中, () 男生比率的期望值約為 0.4 () 男生比率的期望值約為 0.64 () 男生比率的標準差約為.9 (4) 男生比率的標準差約為 0. (5) 男生比率的標準差約為 設這 6 人中男生人數為隨機變數 X 母體很大, 抽樣樣本數相對少 X 視 X~B ( 6, 0.64 ), 則隨機變數男生比率為 6 X 故男生比率的期望值 E ( 6 )= 6 E ( X )= 6 ( )=0.64, X 標準差為 σ( 6 )= =0. 選 ()(4) ()() 9. 若 PQR 之面積為 8,P,Q,R 經線性變換後之像點依次分別為 P,Q,R, (4) 對於下列二階方陣的敘述哪些正確, 請選出來 : A= 4,B= 0-0,C= -,D= () 經過 A 的變換後, P Q R 之面積為 6 () 經過 B,C,D 的變換後, P Q R 之面積依然為 8 () 經過 B,C,D 的變換後, P Q R 之形狀依然不變 (4) 考慮 P 點到原點的距離, 經過 B,C 的變換後, 距離不變 6 (5) B 與 C 6 都是 I 單位方陣 9. () : 4 =-, 由 () : 由 0-0 = 0 P Q R 的面積 = det ( A ) =, 可知 P Q R 之面積為 6 PQR 的面積 - = 0 =, 可知 P Q R 之面積不變 () ;(4) : B= 0 - = , 表示先對 y=x 鏡射, 再對 y 軸對稱, 形狀不變 或考慮旋轉矩陣, 則 B= 0 - = cos 90 -sin 90, 旋轉後, 形狀不變 0 sin 90 cos 90 - C= = cos 60 -sin 60 為旋轉矩陣, 圖形旋轉, 形狀不變 sin 60 cos 60 D= 0 表示 y 方向不變,x 方向推移的變換, 圖形會改變 (5) : 計算 0 - = , 則 = 0 0,B6 =-I ; - C= = cos 60 -sin 60, sin 60 cos 60 表示旋轉 60 的變換, 則 6 次可回到原來的起點, 因此 C 6 =I 故選 ()()(4) 9 數學甲
10 三 選填題 ( 占 4 分 ) 說明 :. 第 A 至 D 題, 將答案畫記在答案卡上 選擇 ( 填 ) 題答案區 所標示的列號 ( 0 ~6 ). 每題完全答對給 6 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 將,,,4,5,6,7,8,9 共九個數字隨意填入右圖中的九個空格, 且數字不重複, 則 4,5,6 三數成一直線 ( 直的 橫的 斜的都可以 ) 的機率為 0 A. 4,5,6 成一直線 ( 直的 橫的 斜的 ) 有 8 種情形 所求機率為 4,5,6 重排 填,,,7,8,9 8! 6! = 9! B. 設 n 為正整數, 坐標平面上有一等腰三角形, 它的三個頂點分別是 ( 0, ) ( n ( - n, 0 ) 假設此三角形的外接圓直徑長等於 D n, 則 lim n D n = B. 設外心坐標為 ( 0, k ), 如右圖, 則 -k= k +( n ) k -4k+4=k + n k=- 4n, 故 D n = ( -k )=+ n lim n D n=, 0 ) 南一大考教學誌 0 指考特輯
11 π C. 已知扇形 OAB 的圓心角為, 半徑為, P 為弧 AB 上的動點, 試求四邊形 OAPB 的最大面積為 4 C. 令 AOP=θ, 則 POB= π -θ, 四邊形 OAPB 面積 = AOP 面積 + POB 面積 = sinθ+ sin ( π -θ) = sinθ+ sin ( = sinθ+ ( sin π = sinθ+ ( π -θ) =sinθ+ cosθ= ( = ( cos π sinθ+sin π cosθ-cos π sinθ) cosθ- sinθ) sinθ 當 θ= π 6 時, 有 Max 面積 = cosθ) cosθ)= sin (θ+ π ), D. 設 A= 7 5, 二階方陣 P 滿足 APA - = 0 0 -, 若 P 0 = 5 6 D. 先求出 7-5 = 考慮 ( APA - ) 0 及 , = (- ) 0 = 0 0 -, 利用 AA - =I 可推得 ( APA - ) 0 =AP 0 A -, 因此 AP 0 A - = P 0 =A A P 0 = = , 則 ( a, b, c, d )=( 9, 70, -, -9 ), 故 a+b+c+d=9+70+(- )+(-9 )=58 a b c d, 試求 a+b+c+d= 數學甲
12 第貳部分 : 非選擇題 ( 占 6 分 ) 說明 : 本部分共有二大題, 答案必須寫在 答案卷 上, 並於題號欄標明大題號 ( 一 二 ) 與子題號 (() () ), 同時必須寫出演算過程或理由, 否則將予扣分甚至給 零分 作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫, 且不得使用鉛筆 每一子題配分 標於題末 一 已知麻疹病毒接觸便會被感染, 但感染後便能有免疫力, 永遠不再患, 而其感染率 A (t) 符 合數學模型 A (t)= 4+p 6 -qt ( t 為時間,p,q 為常數 ), 而且當 A (t)= 5 的時間 t 是該麻疹病的傳染高峰 有一這類型的麻疹病毒在某城市蔓延, 剛開始 ( t=0 時 ) 有.5% 的人口被感染, 而 t= 時, 有 0% 的人口被感染 () 求常數 p,q 之值 (6 分 ) () t 為何時是該麻疹病毒的傳染高峰 (4 分 ) () 當 t=8 時, 該城市有多少比例的人口被感染過該麻疹病毒 ( 百分比算到小數後二位, 第三位四捨五入 ) ( 分 ) 一. () 依題意 A ( 0 )= 4+p =.5 00 = 40 0 A ( )= -q = 4+p 6 00 = 4+p=40 4+p 6 -q =0 p=6 -q= q= 0 () A ( t )= = - t t =5 - t=0 t=4 () A ( 8 )= = = 4+ 6 = 45 6 = % 二 設拋物線 Γ:y=x 上一點 A (,4 ) 的切線為 L, 且曲線 Γ 與直線 L 及 x 軸所圍的區域為 R, 試求 : () 切線 L 的方程式 ( 分 ) () 區域 R 的面積 (5 分 ) () 區域 R 繞 x 軸旋轉所成的旋轉體體積 (5 分 ) 二. () y=f ( x )=x f ( x )=x f ( )=4, 故切線 L 為 y-4=4 ( x- ) y=4x-4 () 切線 L 與軸交於 (,0 ), 因此區域 R 的面積 = x dx- 0 4= x -= 0 () 旋轉體體積 = π ( x ) dx- 0 π 4 =π ( 5 x5-6 0 ) = 6 5 π 南一大考教學誌 指考特輯
13 指定科目考試模擬試題 數學甲 答案 第壹部分 : 選擇題 第貳部分 : 非選擇題. () p=6,q= ;() t=4;() 4.8%. () y=4x-4;() ;() 6 5 π 解析 第壹部分 : 選擇題 一 單選題. 答案 4 解析建立空間坐標系, 令 E ( 0, 0, 0 ),F (, 0, 0 ),A ( 0, 0, ), H ( 0,, 0 ),D ( 0,, ),G (,, 0 ), 則 Q (,, 0 ),P ( 0,, ), O (,, ) OP =( -, 0, ), OQ =( 0,, - ) OP = =, OQ = =, OP. OQ 故 cos ( POQ )= OP OQ =. =-, 選 (4). 答案 4 解析 % 有毒 99% p= 無毒 00% 5% 檢驗有毒檢驗有毒檢驗無毒 95% % 00% % 00%+99% 5% = = = , 選 (4). 答案 解析 f (x) 在 x=α 處發生極 ( 大或小 ) 值, 則 f (α)=0 數學甲
14 f (x)=x +ax +bx+c f (x)=x +ax+b, 故 f (x)=0 有兩根為 - 與 f ' (x)= ( x+ ) ( x- )=x -6x-9 a=-6 b=-9 a=- b=-9 f (- )==-+a-b+c --+9+c= c=-, k=f ()= =-0, 選 () 4. 答案 解析 () :sin θ= sinθcosθ = - 5 = <0 () :cos θ=4 cos θ- cosθ =4 (- 5 = >0 () :cos θ= cos θ- = (- 5 而 sin θ=- 4 9 sin θ > cos θ (4)(5) : θ Ⅱ 故選 () k<θ < k,k 5 ) - (- 5 ) -= 9, k< θ < k,k, k=0 45 < θ <90 θ I sin θ,cos θ >0; k= 5 < θ <70 θ Ⅲ sin θ,cos θ <0 sin θ,cos θ 之正負無法確定 ) 二 多選題 5. 答案 45 解析由牛頓插值法及 deg f (x)=, 設 f (x)=a ( x- ) ( x- ) ( x- )+b ( x- ). ( x- )+c ( x- )+d, a,b,c,d 為常數且 a 0, 則 f ()=,f ()=, f ()=4 ( 由餘式定理 ), 得 d=,c=, b..+c+d=4 b= f (x)=a ( x- ) ( x- ) ( x- )+ ( x-). ( x- )+( x- )+ (*) =a ( x- ) ( x- ) ( x- )+ x - x+,a 0 由拉格朗日插值法知 g ()=,g ()=,g ()=4 ( 與 f ()=,f ()=,f ()=4 同條件 ) g (x)= x - x+ () :g ( )= 4-4 += 7 8 () :f (5) g (5) () : 由餘式定理知餘式 =f (4) =6a+7 ( a 0 ) 7 (4) : 由 (*) 式知 f (x) 除以 ( x- ) ( x- ) 的餘式為 ( x- )+=x (5) : 由 (*) 式知 f (x) 除以 ( x- ) ( x- ) ( x- ) 的餘式為 g (x) 故選 ()(4)(5) 6. 答案 解析 () ;() : 由圖形知函數為嚴格遞減函數 x <x f ( x )>f ( x ) log a -x >loga -x ( 不必考慮 b-, 其只會影響平移, 不會影響遞增 遞減關係 ) -x log a >-x log a x log a <x log a log a >0 a> () ;(4) ;(5) : f (0)=log a ( 0 +b- )=log a b 由圖形知 0<f (0)< 0<log a b< log a <log a b<log a a a> <b<a b> 且 b<a 故選 ()() 7. 答案 5 解析斜截式 y=ax+b 與 x 截距式 a + y b = 中的 b 都是 y 軸截距, 因此兩條直線在 y 軸上的交點應是同一點, 故 ()(4) 不對 南一大考教學誌 4 指考特輯
15 圖 () 表示 L 的斜率是正的,a>0; 但 L 交於 x 軸的負向, x 軸截距 a 是負的, 矛盾,() 錯 圖 () 表示 L 的斜率是正的,a>0; L 交於 x 軸的正向, x 軸截距 a 是正的,() 對 圖 (5) 表示 L 的斜率是負的,a<0; L 交於 x 軸的負向, x 軸截距 a 是負的,(5) 對 選 ()(5) 8. 答案 4 解析設這 6 人中男生人數為隨機變數 X 母體很大, 抽樣樣本數相對少 視 X~B ( 6, 0.64 ), X 則隨機變數男生比率為 6 故男生比率的期望值 X E ( 6 )= 6 E ( X ) = 6 ( )=0.64, 標準差為 X σ( 6 )= =0. 選 ()(4) 9. 答案 4 解析 () : 4 =-, P Q R 的面積由 = det ( A ) =, PQR 的面積 可知 P Q R 之面積為 6 () : 由 0-0 = - = 0 =, 可知 P Q R 之面積不變 () ;(4) : B= 0 - = , 表示先對 y=x 鏡射, 再對 y 軸對稱, 形狀不變 或考慮旋轉矩陣, 則 B= 0-0 = cos 90 -sin 90, sin 90 cos 90 旋轉後, 形狀不變 C= - = cos 60 -sin 60 sin 60 cos 60 為旋轉矩陣, 圖形旋轉, 形狀不變 D= 0 表示 y 方向不變,x 方向推移的變換, 圖形會改變 (5) : 計算 0 - = , 則 0-0 C= 4 = 0 0,B6 =-I ; - = cos 60 -sin 60, sin 60 cos 60 表示旋轉 60 的變換, 則 6 次可回到原來的起點, 因此 C 6 =I 故選 ()()(4) 三 選填題 解析 4,5,6 成一直線 ( 直的 橫的 斜的 ) 有 8 種情形 A. 答案 B. 答案 所求機率為 解析設外心坐標為 ( 0, k ), 如右圖, 則 -k= k +( n ) k -4k+4=k + n k=- 4n, 故 D n = ( -k )=+ n lim D n = n 4,5,6 重排 填,,,7,8,9 8! 6! = 9! 5 數學甲
16 C. 答案 解析令 AOP=θ, 則 POB= π -θ, 四邊形 OAPB 面積 = AOP 面積 + POB 面積 = sinθ+ D. 答案 58 sin ( π -θ) π = sinθ+ sin ( -θ) = sinθ+ ( sin π cosθ-cos π = sinθ+ ( =sinθ+ cosθ cosθ- sinθ) = ( sinθ cosθ) = ( cos π sinθ+sin π cosθ) = sin (θ+ π ), 當 θ= π 6 時, 有 Max 面積 = 解析先求出 7-5 = 考慮 ( APA - ) 0 及 (- ) 0 0, sinθ) = = 0 0 -, 利用 AA - =I 可推得 ( APA - ) 0 =AP 0 A -, 因此 AP 0 A - = P 0 =A A P 0 = = , 則 ( a, b, c, d )=( 9, 70, -, -9 ), 故 a+b+c+d =9+70+(- )+(-9 )=58 解析 () 依題意 A ( 0 )= 4+p =.5 00 = 40 0 A ( )= -q = 4+p 6 00 = 0 4+p=40 4+p 6 -q =0 p=6 -q= q= () A ( t )= = - t t =5 - t=0 t=4 () A ( 8 )= = = % = 答案 () y=4x-4;() = 6 45 ;() 6 5 π 解析 () y=f ( x )=x f ( x )=x f ( )=4, 故切線 L 為 y-4=4 ( x- ) y=4x-4 () 切線 L 與軸交於 (,0 ), 因此區域 R 的面積 = x dx- 0 4= x -= 0 () 旋轉體體積 = π ( x ) dx- 0 π 4 =π ( 5 x5-6 0 ) = 6 5 π 第貳部分 : 非選擇題. 答案 () p=6,q= ;() 4; () 4.8% 南一大考教學誌 6 指考特輯
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