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1 考試時間 :100 分鐘 大學入學考試中心 105 學年度學科能力測驗試題數學考科 作答注意事項 題型題數 : 單選題 6 題, 多選題 7 題, 選填題第 A 至 G 題共 7 題 作答方式 : 用 2B 鉛筆在 答案卡 上作答 ; 更正時, 應以橡皮擦擦拭, 切勿使用修正液 ( 帶 ) 未依規定畫記答案卡, 致機器掃描無法辨識答案者, 其後果由考生自行承擔 選填題作答說明 : 選填題的題號是 A,B,C,, 而答案的格式每題可能不同, 考生必須依各題的格式填答, 且每一個列號只能在一個格子畫記 請仔細閱讀下面的例子 18 3 例 : 若第 B 題的答案格式是, 而依題意計算出來的答案是, 則考生 必須分別在答案卡上的第 18 列的與第 19 列的畫記, 如 : 例 : 若第 C 題的答案格式是, 而答案是時, 則考生必須分別在答案 卡的第 20 列的與第 21 列的畫記, 如 : 試題後附有參考公式及可能用到的數值

2 第 1 頁共 7 頁 105 年學測數學考科 第壹部分 : 選擇題 ( 占 65 分 ) 一 單選題 ( 占 30 分 ) 說明 : 第 1 題至第 6 題, 每題有 5 個選項, 其中只有一個是正確或最適當的選項, 請畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 各題答對者, 得 5 分 ; 答錯 未作答或畫記多於一個選項者, 該題以零分計算 1. 設 f ( x ) 為二次實係數多項式, 已知 f ( x ) 在 x 2 時有最小值 1 且 f (3) 3 請問 f (1) 之值為下列哪一選項? (1) 5 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 條件不足, 無法確定 2. 請問 si 73 si146 si 219 si 292 si 365 這五個數值的中位數是哪一個? (1) si 73 (2) si146 (3) si 219 (4) si 292 (5) si 坐標平面上兩圖形 1, 2的方程式分別為 : :( x 1) y 1 x y 2 2 :( ) 1 請問 1, 2共有幾個交點? (1) 1 個 (2) 2 個 (3) 3 個 (4) 4 個 (5) 0 個 4. 放射性物質的半衰期 T 定義為每經過時間 T, 該物質的質量會衰退成原來的一半 鉛製容器中有兩種放射性物質 A B, 開始紀錄時容器中物質 A 的質量為物質 B 的兩倍, 而 120 小時後兩種物質的質量相同 已知物質 A 的半衰期為 7.5 小時, 請問物質 B 的半衰期為幾小時? (1) 8 小時 (2) 10 小時 (3) 12 小時 (4) 15 小時 (5) 20 小時 - 1 -

3 105 年學測 第 2 頁 數學考科 共 7 頁 5. 坐標空間中一質點自點 P (1,1,1) 沿著方向 a (1,2,2) 等速直線前進, 經過 5 秒後剛 好到達平面 x y3z 28上, 立即轉向沿著方向 b ( 2,2, 1) 依同樣的速率等速直線前進 請問再經過幾秒此質點會剛好到達平面 x 2 上? (1) 1 秒 (2) 2 秒 (3) 3 秒 (4) 4 秒 (5) 永遠不會到達 6. 設 a 為一等比數列 已知前十項的和為 a1 a3 a5 a7 a9 120, 請選出首項 a 1的正確範圍 (1) a1 80 (2) 80 a1 90 (3) 90 a1 100 (4) 100 a1 110 (5) 110 a1 10 k 1 a k 80, 前五個奇數項的和為 二 多選題 ( 占 35 分 ) 說明 : 第 7 題至第 13 題, 每題有 5 個選項, 其中至少有一個是正確的選項, 請將正確選項畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 各題之選項獨立判定, 所有選項均答對者, 得 5 分 ; 答錯 1 個選項者, 得 3 分 ; 答錯 2 個選項者, 得 1 分 ; 答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者, 該題以零分計算 7. 下列各方程式中, 請選出有實數解的選項 (1) x x5 1 (2) x x5 6 (3) x x5 1 (4) x x5 6 (5) x x

4 第 3 頁共 7 頁 105 年學測數學考科 8. 下面是甲 乙兩個商場的奇異果以及蘋果不同包裝的價格表, 例如 : 甲商場奇異果價格 35 元 / 一袋 2 顆 表示每一袋有 2 顆奇異果, 價格 35 元 甲商場售價奇異果價格 20 元 / 一袋 1 顆 35 元 / 一袋 2 顆 80 元 / 一袋 5 顆 100 元 / 一袋 6 顆蘋果價格 45 元 / 一袋 1 顆 130 元 / 一袋 3 顆 260 元 / 一袋 6 顆 340 元 / 一袋 8 顆乙商場售價奇異果價格 18 元 / 一袋 1 顆 50 元 / 一袋 3 顆 65 元 / 一袋 4 顆 95 元 / 一袋 6 顆蘋果價格 50 元 / 一袋 1 顆 190 元 / 一袋 4 顆 280 元 / 一袋 6 顆 420 元 / 一袋 10 顆依據上述數據, 請選出正確的選項 (1) 在甲商場買一袋 3 顆裝的蘋果所需金額低於買三袋 1 顆裝的蘋果 (2) 乙商場的奇異果售價, 一袋裝越多顆者, 其每顆單價越低 (3) 若只想買奇異果, 則在甲商場花 500 元最多可以買到 30 顆奇異果 (4) 如果要買 12 顆奇異果和 4 顆蘋果, 在甲商場所需最少金額低於在乙商場所需最少金額 (5) 無論要買多少顆蘋果, 在甲商場所需最少金額都低於在乙商場所需最少金額 9. 下列各直線中, 請選出和 z 軸互為歪斜線的選項 x 0 y 0 (1) L1 : (2) L2 : z 0 x z 1 (4) L4 : x 1 y 1 (5) L5 : y 1 z 1 (3) L3 : z 0 x y 設 a b c 皆為正整數, 考慮多項式 f( x) x ax bx cx 2 請選出正確的選 項 (1) f( x) 0無正根 (2) f( x) 0一定有實根 (3) f( x) 0一定有虛根 (4) f(1) f( 1) 的值是偶數 (5) 若 ac b 3, 則 f( x) 0有一根介於 1與 0 之間 - 3 -

5 105 年學測 第 4 頁 數學考科 共 7 頁 11. 一個 41 人的班級某次數學考試, 每個人的成績都未超過 59 分 老師決定以下 x 1 列方式調整成績 : 原始成績為 x 分的學生, 新成績調整為 40log 10( ) 60 分 ( 四 10 捨五入到整數 ) 請選出正確的選項 (1) 若某人原始成績是 9 分, 則新成績為 60 分 (2) 若某人原始成績超過 20 分, 則其新成績超過 70 分 (3) 調整後全班成績的全距比原始成績的全距大 (4) 已知小文的原始成績恰等於全班原始成績的中位數, 則小文的新成績仍然等於調整後全班成績的中位數 (5) 已知小美的原始成績恰等於全班原始成績的平均, 則小美的新成績仍然等於調整後全班成績的平均 ( 四捨五入到整數 ) 12. 在 ABC 中, 已知 A 20 AB 5 BC 4 請選出正確的選項 (1) 可以確定 B 的餘弦值 (2) 可以確定 C 的正弦值 (3) 可以確定 ABC 的面積 (4) 可以確定 ABC 的內切圓半徑 (5) 可以確定 ABC 的外接圓半徑 13. 甲 乙 丙 丁四位男生各騎一台機車約 A B C D 四位女生一起出遊, 他們約定讓四位女生依照 A B C D 的順序抽鑰匙來決定搭乘哪位男生的機車 其中除了 B 認得甲的機車鑰匙, 並且絕對不會選取之外, 每個女生選取這些鑰匙的機會都均等 請選出正確的選項 (1) A 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到甲的鑰匙的機率 (2) C 抽到甲的鑰匙的機率大於 D 抽到甲的鑰匙的機率 (3) A 抽到乙的鑰匙的機率大於 B 抽到乙的鑰匙的機率 (4) B 抽到丙的鑰匙的機率大於 C 抽到丙的鑰匙的機率 (5) C 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到乙的鑰匙的機率 - 4 -

6 第 5 頁共 7 頁 105 年學測數學考科 第貳部分 : 選填題 ( 占 35 分 ) 說明 :1. 第 A 至 G 題, 將答案畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 所標示的列號 (14 31) 2. 每題完全答對給 5 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 考慮每個元 ( 或稱元素 ) 只能是 0 或 1 的 2 3階矩陣, 且它的第一列與第二列不相同且各列的元素不能全為零, 這樣的矩陣共有 個 B. 坐標平面上 O 為原點, 設 u (1, 2) v (3,4) 令 為滿足 點 P 所形成的區域, 其中 ( 化成最簡分數 ) 1 2 OP x u y v 的所有 1 x y, 則 的面積為平方單位 2 17 C. 從橢圓 的兩焦點分別作垂直於長軸的直線, 交橢圓於四點 已知連此四點得一個邊長為 2 的正方形, 則 的長軸長為 x 2y3z 0 2x y3z 6 D. 線性方程組 經高斯消去法計算後, 其增廣矩陣可化簡為 x y 6 x 2yz8 1 0 a b 0 1 c d, 則 a 20 b 21 c 22 d

7 105 年學測 第 6 頁 數學考科 共 7 頁 E. 設 a 為一實數, 已知在第一象限滿足聯立不等式 域面積為 平方單位, 則 a 25 x3ya 的所有點所形成之區 x 2y 14 F. 投擲一公正骰子三次, 所得的點數依序為 abc,, 在 b 為奇數的條件下, 行列式 a b 0 b c 的機率為 ( 化成最簡分數 ) G. 如右圖所示, ABCD EFGH 為一長方體 若平面 BDG 上 一點 P 滿足 AP 1 30 AB 2AD a AE, 則實數 a 3 31 ( 化成最簡分數 ) B A C D F E G H - 6 -

8 第 7 頁共 7 頁 105 年學測數學考科 參考公式及可能用到的數值 (2 a ( 1) d) 1. 首項為 a, 公差為 d 的等差數列前 項之和為 S 2 首項為 a, 公比為 r ( r ¹ 1) 的等比數列前 項之和為 S a(1 r ) 1 r 2. 三角函數的和角公式 : si( A B) si Acos B cos Asi B cos( A B) cos Acos B si Asi B ta A ta B ta( AB) 1 taatab 3. ABC 的正弦定理 : a b c 2R ( R 為 ABC 外接圓半徑 ) si A si B sic ABC 的餘弦定理 : c a b 2abcosC 一維數據 X : x1, x2,..., x, 算術平均數 X ( x1 x2 x) xi i 標準差 1 1 X ( xi X) (( xi ) X ) i 1 i1 5. 二維數據 ( X, Y) : ( x1, y1),( x2, y2),...,( x, y ), 相關係數 r 迴歸直線 ( 最適合直線 ) 方程式 y Y Y rx, Y ( x X) X XY, i1 ( x )( y ) i X i Y X Y 6. 參考數值 : , , , , 對數值 : log , log , log , log

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