1 數學天地冊別每冊小計第三共 7 分第四D, 共 15 分甲上單元名稱第一章向量第二章空間中的直線與平面第三章一次方程組與第四章矩陣的列運算圓與球面冊第二章排列組合第一章圓錐曲線第三章機率與統計 (I) 第一章機率與統計 (II) 第二章不等式第三章平面上的

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弟鱼
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1 試題內容來源出處及配分表冊每冊小計第一共 6 分第二特別企劃指考近三年之數學試題特色探析暨精彩模擬試題 ( 甲乙組 ) 彰化高中林漢良老師壹前言近年來大學入學考試有兩個階段 : 一是寒假的學科能力測驗, 一是暑假之初的指定科目考試, 高中三年學業完成後, 面對的就是這兩個大考題型仍不外單選多選選填題非選擇題, 就數學科而言, 學測主要是在評量學生的數學基本概念,

1 1 試題內容來源出處及配分表冊每冊小計第一共 6 分第二特別企劃指考近三年之數學試題特色探析暨精彩模擬試題 ( 甲乙組 ) 彰化高中林漢良老師壹前言近年來大學入學考試有兩個階段 : 一是寒假的學科能力測驗, 一是暑假之初的指定科目考試, 高中三年學業完成後, 面對的就是這兩個大考題型仍不外單選多選選填題非選擇題, 就數學科而言, 學測主要是在評量學生的數學基本概念, 而指考是較學測更為深入一層的序列評量, 測試考生的認知過程 : 概念性程序性解讀能力等三個層次, 藉以區分高中學生的數學程度今就三個年度之指定考科數學甲乙之試題內容來源出處試題特色及考生成績, 分別詳述如下 : 貳數學甲別93 年 94 年 95 年單元名稱主要出處及配分每冊小計主要出處及配分每冊小計主要出處及配分冊第三章數列與級數第一章基礎概念第二章數與坐標系多選 5, 共 22 分非選擇題一共 10 分共 16 分第四章多項式單選 3, 多選 4, 共 14 分單選 1, 第一章指數與對數第二章三角函數的基冊本性質多選 2,4, 共 16 分共 22 分單選 1, 共 6 分共 12 分單選 2, 共 6 分共 6 分第三章三角函數的性質與應用單選 1, 共 6 分單選 2, 共 6 分數學天地 1

2 1 數學天地冊別每冊小計第三共 7 分第四D, 共 15 分甲上單元名稱第一章向量第二章空間中的直線與平面第三章一次方程組與第四章矩陣的列運算圓與球面冊第二章排列組合第一章圓錐曲線第三章機率與統計 (I) 第一章機率與統計 (II) 第二章不等式第三章平面上的坐標變換第四章矩陣共 7 第一章極限的概念分甲下冊第二章極限的應用各題型的題數與配分表題型主要出處及配分多選 3, 非選擇題一, 共 12 分非選擇題二, 共 12 分題組 6, 共 6 分選填 A, 題組 7,8, 共 16 分選填 B, 多選 5, 93 年 94 年 95 年每冊小計共 20 分共 12 分共 32 分共 16 分主要出處及配分多選 6, 非選擇題二, 共 11 分選填 A, 非選擇題一, 共 17 分多選 7, 多選 9, 多選 8, 選填題 B, 共 6 分每冊小計共 28 分共 24 分共 6 分主要出處及配分選填 A, 共 7 分選填 B, 單選 3, 共 6 分多選 4, 選填選填 E, 共 7 分多選 5, 選項 C, 多選 6, 非選擇題二, 共 13 分 93 年 94 年 95 年題數配分題數配分題數配分共 14 分共 21 分共 22 分共 21 分單一選擇題 1 每題 6 分, 共 6 分 3 每題 6 分, 共 18 分 3 每題 6 分, 共 18 分多重選擇題 4 每題 8 分, 共 32 分 6 每題 8 分, 共 48 分 3 每題 8 分, 共 24 分題組題 3 共 22 分選填題 2 每題 8 分, 共 16 分 2 每題 6 分, 共 12 分 5 每題 7 分, 共 35 分非選擇題 2 每題 12 分, 共 24 分 2 每題 11 分, 共 22 分 2 分別為 10 分,13 分, 共 23 分

3 特別企劃 2 試題特色 1 試題靈活 : 考題多元, 難易適中, 具有鑑別度, 除了 94 年多選 9 具爭議性外, 整體而言仍能評量出學生對於數學的邏輯思考及推理能力 2 未考證明題, 考生切莫輕忽 : 計算題評量, 著重在學生的數學表達能力, 如何列式運算雖然未出現證明題, 但數學性質定理的證明是數學知識理論重要的一環, 出題教授是不會放過的 3 命題範圍涵蓋前四冊, 指考加重數學甲上下這二冊: 學測已考了基礎數學一 ~ 四冊, 指考加重數學甲上下冊是合理的, 建議出題教授配分能以基礎數學占 60%, 數學甲上下占 40% 應為合理的比例考生仍得六冊都詳讀, 不可偏廢 4 與代數聯結的幾何題大增 : 如複數平面問題拋物線極值問題正方形內接長方形球與直線問題矩陣與幾何的關係拋物線與切線等等, 都是考生務必要依題意構思作圖, 才能順利解題 5 出現定義型的題目 : 如 94 年多選第 3 題及非選擇題第二題等皆是, 對於新的定義, 乍看會影響考試心理, 但這一類型的題目反而較簡單, 這也是未來考試題型的趨勢 6 基礎題約占一半 : 只要讀好課本的基本定理與主要概念, 要得基礎分數不難考生切莫放棄數學這一科 3 成績標準頂標前標均標後標底標 93 年年年註 : 以上五項標準係依各該科全體到考考生成績計算, 且均取整數 ( 小數只捨不入 ), 各標準計算方式如下 : 頂標 : 成績位於第 88 百分位數之考生成績前標 : 成績位於第 75 百分位數之考生成績均標 : 成績位於第 50 百分位數之考生成績後標 : 成績位於第 25 百分位數之考生成績底標 : 成績位於第 12 百分位數之考生成績 1 均標在 30~35 分 : 可見這三年來考生數學的平均成績就是這樣的水平, 建議出題教授能否使均標趨於 45~50 分, 考試引導教學已不可免, 藉此提升考生學習數學的動力和興趣 2 有四分之一的考生只得 10~12 分 : 即每年少說有三萬人其數學成績是很低落的, 如何提振數學學習動機和興趣, 是學生高中教師命題教授共同的責任數學天地 1

4 1 試題內容來源出處及配分表冊別主要出處及配分每冊小計主要出處及配分每冊小計主要出處及配分每冊小計第一冊二冊應用第三冊第四章圓與球面單選 1, 共 6 分第四冊多選 7, 乙上冊第四章矩陣選填 E, 共 9 分乙下冊參數學乙單元名稱 93 年 94 年 95 年第一章基礎概念單選 2, 共 6 分第二章數與坐標系第三章數列與級數共 7 分選填 C, 共 9 分選填 B, 共 9 分共 18 分選填 A, 非選擇題一, 共 21 分共 27 分第四章多項式選填 A, 共 7 分第第一章指數與對數單選 3, 非選擇題二, 共 19 分非選擇題二, 共 13 分第二章三角函數的基本性質單選 1, 共 7 分共 26 分單選 1, 共 21 分多選 4, 選填 B, 共 16 分共 16 分第三章三角函數的性質與第一章向量選填 D, 共 9 分第二章空間中的直線與平面第三章一次方程組與矩陣的列運算多選 5, 選填 D, 共 14 分選填 E, 共 7 分共 21 分選填 A, 共 9 分共 18 分單選 3, 共 6 分共 12 分第一章圓錐曲線單選 2, 共 7 分多選 4, 第二章排列組合選填 B, 共 7 分共 28 分共 24 分多選 5, 選填 C, 共 16 分共 24 分第三章機率與統計 (I) 單選 4, 多選 6, 共 14 分單選 2, 多選 3, 共 16 分第一章機率與統計 (II) 選填 C, 共 7 分非選擇題一, 共 10 分第二章不等式第三章線性規劃非選擇題一, 共 11 分共 18 分共 19 分非選擇題二, 共 13 分共 13 分第一章圖形的平移與伸縮多選 6, 第二章幾何圖形 1 數學天地

5 特別企劃各題型的題數與配分表題型 93 年 94 年 95 年題數配分題數配分題數配分單一選擇題 4 每題 7 分, 共 28 分 2 每題 8 分, 共 16 分 3 每題 6 分, 共 18 分多重選擇題 2 每題 7 分, 共 14 分 2 每題 8 分, 共 16 分 4 每題 8 分, 共 32 分選填題 5 每題 7 分, 共 35 分 5 每題 9 分, 共 45 分 3 每題 8 分, 共 24 分非選擇題 2 分別為 11 分,12 分, 共 23 分 2 分別為 10 分,13 分, 共 23 分 2 每題 13 分, 共 26 分 2 試題特色 : 1 試題平易 : 有些題目只要懂得基本概念就可以作答, 呼籲報考第一類組的同學千萬別放棄數學, 一放棄就會差別人至少分, 也不必刻意做太難的題目, 弄懂基本概念就可以了 2 情境題目增多 : 舉凡地震問題利息計算生物科技健康食品人口成長細菌繁殖放射性元素半衰期皆為考試之列, 要增強情境題的解題能力, 惟有增加數理閱讀能力, 別無他途, 建議平時就要養成閱讀教科書課本內容的習慣, 切勿只流連於參考書上的題目 3 生活上用得到的數學題材要多留意 : 數學乙實用性應用性的題目出現的頻率比較高, 例如指數與對數的應用機率與統計線性規劃等可說是歷年常考的題目, 考生宜多加注意 4 題目冗長閱讀量大 : 考生能否看出題目中的細節主旨所在, 端賴平時閱讀習慣的養成, 尤其是統計數據資料的整理, 統計圖形的判讀, 更要留意 5 考題偏重基礎數學 : 無複雜的計算, 數學乙上下出題分量稍嫌少, 但考生不可以因此只注重前四冊的復習, 數學乙上下仍要熟讀, 不可偏廢 3 成績標準頂標前標均標後標底標 93 年年年年考生成績普遍提高 : 均標為 56 分, 創數學乙近年來新高, 對社會組同學而言是一種鼓勵, 往後也希望能如此命題減少學生的挫折感, 也促使學生願意花更多時間在數學的學習上 2 低分群仍偏多 : 雖說這三年來題目愈趨簡單, 但 30 分以下每年仍有 5 萬人之多 ;94 年更超過一半, 甚且考 0 分者每年皆有數千人, 以 94 年為數最多, 高達六千多人 3 建議命題教授數學乙多考觀念題, 不用冗長的計算就可作答數學天地 1

6 肆 96 指考數學甲模擬試卷 ( 命題範圍 : 一四冊, 數學甲上下冊全部 ) 第壹部分 : 選擇題 ( 單選題多選題及選填題共占 74 分 ) 一單選題 (18%) 說明 : 第 1 至 3 題為單選題, 每題選出一個最適當的選項, 劃記在答案卡之解答欄每題答對得 6 分, 答錯或劃記多於一個選項者倒扣 1.5 分, 倒扣到本大題之實得分數為零為止未作答者, 不給分亦不倒扣分數 1 已知 : L 1:a 1x+b 1y=c 1 E 1:a 1x+b 1y+c 1z=0 L 2:a 2x+b 2y=c 2 為平面上相異的三平行線, 而 E 2:a 2x+b 2y+c 2z=0 L 3:a 3x+b 3y=c E 3:a 3x+b 3y+c 3z=0 為空間中的三平面, 試問此三平面 E 1,E 2,E 3 應屬於下列哪一種圖形才是適當的 : 1 2 其中兩平面平行其中兩平面重合 2 池塘水面上浮出三根竹竿 #AA8,#BB8,#CC8, 三隻麻雀甲乙丙分別佇立在竹竿頂 A8,B8, C8 上, 同在水平面上的 A,B,C 三點形成一個三角形 ABC, 且 qa=301,qc=601, 由麻雀甲望向麻雀乙仰角為 301( 麻雀高度都不計 ), 由麻雀乙望向麻雀丙仰角為 451, 問由麻雀甲望向麻雀丙的仰角是幾度? 欲描 f(x)=ax 2 +bx+c 之圖形須作一表, 對於 x 值以等間隔之值增加時, 得其函數值依次為 3844,3969,4096,4227,4356,4489,4624 及 4761, 其中有一個是 e 不正確的, 其為二多選題 (24%) 說明 : 第 4 至 6 題, 每題各有 5 個選項, 其中至少有一個是正確的選出正確選項, 劃記在答案卡之解答欄每題 8 分, 各選項獨立計分, 每答對一個選項, 可得 1.6 分, 每答錯一個選項, 倒扣 1.6 分, 完全答對得 8 分 ; 整題未作答者, 不給分亦不倒扣分數在備答選項以外之區域劃記, 一律倒扣 1.6 分倒扣到本大題之實得分數為零為止 1 數學天地

7 特別企劃 4 用若干個正六邊形來鋪滿平面, 意思是既不重疊又沒有空隙, 每一個六邊形由 6 根大小一樣的火柴棒連成, 共用邊只用一根火柴棒設 a n 表由第一圈第二圈第三圈至第 n 圈之所有正六邊形之總個數,b n 表由第一圈第二圈第三圈連續鋪至第 n 圈之所有火柴棒之總數如右圖, 最內圈為第一圈有 1 個正六邊形, 第二圈有 6 個正六邊形, 第三圈有 12 個正六邊形, 如此第四圈第五圈第六圈第七圈下列何者正確? 1 a 3=19 2 b 3=72 3 a 4=37 4 b 4=108 5 b 6=306 5 下表為九十二學年度學科能力測驗國文數學兩科各級分人數累計表級分國文數學人數百分比累積人數累積百分比人數百分比累積人數累積百分比請觀察上表, 判斷下列哪些選項是正確的? 1 國文級分的算術平均數大於數學級分的算術平均數 2 國文級分的四分位差大於數學級分的四分位差 3 國文級分的標準差小於數學級分的標準差數學天地 1

8 4 若 3 王小美在這一平均學科能力測驗中, 國文為 9 級分, 數學為 5 級分, 則她的國文成績在所有學生中的排名比她數學成績在所有學生的排名還落後 5 設某大學數學系申請入學的資格為 ( 國文級分 )+( 數學級分 )328 級分, 則最多有 7480 人有資格申請入此大學數學系 6 設 A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), 若 ABCD 逐次經 f 1,f 2,f 3,f 4 之變 f 1 f 2 f 3 f 4 f 1 f 2 換, 使 A A1 A2 A3 A4, 各頂點同理類推, 得 ABCD A1B 1C 1D 1 f 3 f 4 A 2B 2C 2D 2 A3B 3C 3D 3 A4B 4C 4D 4 如下圖所示, 問下列敘述何者正確? 1 變換 f 1 可用矩陣表示 2 變換 f 2 可用矩陣 cos901 sin901 -sin901 cos901 表示 3 變換 f 3 可用矩陣變換 f 4 可用矩陣表示表示 5 若 T 表 f 1,f 2,f 3,f 4 四個變換依序之合成變換, 則 T(x,y)=(x+2y+2,2x+1) 三選填題 (32%) 說明 :A 至 D 各題為選填題, 劃記在答案卡之解答欄所標示的列號 (7~15) 內每一題完全答對得 8 分, 答錯不倒扣 ; 未完全答對不給分 A. 已知 02a,b22p, 求 (2 cosa-3 cosb-3) 2 +(2 sina-3 sinb+4) 2 之最大值為 5 B. 如右圖, 兩個正六邊形有一共同邊 #DE, 則 (x,y)=7 C. 一副撲克牌有 52 張, 有黑桃紅心方塊梅花四種花色, 每種花色又各有 A,2,3,,10,J,Q,K 等 13 張, 有一種撲克牌遊戲十點半, 規則為 A,2,3,,10 分別代表 1,2, 3,,10 點, 而 J,Q,K 皆為半點, 今從這副牌中一 101 數學天地

9 特別企劃次任取 3 張牌, 此 3 張牌的和為十點半之機率為 4 D. 設 f(x)= (x-1)(x-2), 求 f 8(1)= x-3 3 第貳部分 : 非選擇題 ( 占 26 分 ) 說明 : 本大題共有二題計算證明題, 答案務必寫在答案卷上, 並於題號欄標明題號 ( 一二 ) 與子題號 (1 2 3), 同時必須寫出演算過程或理由, 否則將予扣分每題配分標於題末一 1 求證 :log96> 1 2 (log95+log97)>alosg9s5s*slosgs97 (5 分 ) 2 求證 :log 9596>log 9697 (6 分 ) 二滿足 A(SxS+S6)S 2 S+S(SyS+S2S) 2 +A(SxS-S2)S 2 S+S(SyS-S4S) 2 =26 的所有 P(x,y) 之圖形為一橢圓, 如圖 1,#AA8 為長軸,#BB8 為短軸,F,F8 為兩焦點, 求 : 1 #BF 的長度 (5 分 ) 2 設過 F 的正焦弦為 #GH, 且 G 點在第二象限內, 則 G 點坐標為何?(5 分 ) 3 將圖 1 的橢圓放置於圖 2, 則圖 2 的橢圓標準式為何?(5 分 ) 參考公式及可能用到的數值 1 njn, n= n(n+1) 2 圖 1 圖 2 2 njn, n 2 = n(n+1)(2n+1) 6 3 平面 E:ax+by+cz+d=0, 垂直平面 E 的一個法向量!n=(a,b,c) 4 a,bjr,a cosq+b sinq 之極大值為 Aa 2 S+Sb 2 ; 極小值為 -Aa 2 S+Sb 2 5 機率 P(A)= n(a) n(s),s: 樣本空間,A: 事件 6 x 1,x 2,x 3,,x n 之算術平均數為 $x= x1+ x2+ x3+ +xn n 7 四分位差 =Q 3-Q 1 Q 3: 第 3 四分位數,Q 1: 第 1 四分位數數學天地 111

10 8 標準差 S=Z 1 n-1 X Â n (x ix-$x) 2 i=1 9 橢圓標準式 : x2 a 2 + y2 b 2 =1,a: 長軸長一半,b: 短軸長一半 0 若 a>0,b>0, 則有 a+b 2 3QaWb 伍 96 指考數學甲模擬試卷解答第壹部分 : 選擇題一單選題 1 答案 :4 出處 : 第一冊第二章數與坐標系第三冊第二章空間中的直線與平面分析 : 平面上的平行直線斜率相等 a 1 b 1 c 1 空間中三平面之 D= a 2 b 2 c 2 =0,D x=d y=d z=0 且三平面有共同交點, 則必交於一線 a 3 b 3 c 3 詳解 : L 1:a 1x+b 1y=c 1 L 2:a 2x+b 2y=c 2 為平面上相異的三條平行線 L 3:a 3x+b 3y=c 3 故 a 1 : a 2 : a 3=b 1 : b 2 : b 3nc 1 : c 2 : c 3 而 E 1:a 1x+b 1y+c 1z=0 a 1 b 1 c 1 0 b 1 c 1 E 2:a 2x+b 2y+c 2z=0 之 D= a 2 b 2 c 2 =0,D x= 0 b 2 c 2 =0 E 3:a 3x+b 3y+c 3z=0 a 3 b 3 c 3 0 b 3 c 3 a 1 0 c 1 a 1 b 1 0 D y= a 2 0 c 2 =0, D z= a 2 b 2 0 =0 又 (0,0,0) 為其共同交點 a 3 0 c 3 a 3 b 3 0 故 E 1,E 2,E 3 交於一線注意 : 同學必須牢記空間中的三平面有八種幾何關係 2 答案 :3 出處 : 第二冊第二章三角函數的基本性質分析 : 仰角的定義,sinq,cosq,tanq 之定義及基本概念詳解 : 如圖 : 設 #AC=2,#AB=Q3,#BC=1 qb8a8p=301 #A8P=Q3,#B8P=1 121 數學天地

11 特別企劃 qqb8c8=451 #C8Q=#B8Q=#PR=#BC=1 在 A8C8R 中,#A8R=#AC=2 #C8R=#CQ+#QR=1+1=2 qc8a8r=451 即為所求注意 : 本題跟空間立體圖形有關, 故審題時最好用鉛筆作圖 3 答案 :2 出處 : 第一冊第四章多項式分析 : 二次多項函數數列的遞增詳解 :f(x),f(x+h),f(x+2h),f(h +3h), f(x+h)- f(x)=a(x+h) 2 +b(x+h)+c-(ax 2 +bx+c) =2ahx+ah 2 +bh 3844,3969,4096,4227,4856,4489,4624,4761 函數值差 : 其函數值之差為 x 的一次式, 可見值之增加與 x 值成比例, 即若 x 依次增加 h 時, 函數值之差亦依次以同量增加, 但因 4227 的存在, 致使無法以同量增加, 故 4227 應為 4225 才對, 故選項是錯的注意 : 可以先假設 f(x)=x 2 嘗試以 x=1,2,3,4,5 代入得 f(x)=1,4,9,16,25, f(x+1)- f(x) 之差值為 3,5,7,9, 找出規則性二多選題 4 答案 :1235 出處 : 第一冊第三章數列與級數分析 : 等差數列與級數及平面幾何圖形之嵌接詳解 :a n= (n-1) 6=1+ k=1 (k-1)6=3n2-3n+1 b n= (3n-2) 6=6 (3k-2) k=1 =6 3 2 n(n+1)-2n =9n2-3n 注意 : 一般數列與級數的題目都是先從簡單的 n=1,2,3,4 來觀察 a n 之規則性 n Â n Â 5 答案 :1345 出處 : 第四冊第三章機率與統計 (I) 分析 : 評量統計的算術平均數四分位差標準差統計數值表之解讀詳解 :1 國文級分的累積百分比, 級分愈高的顯然比數學級分的累積百分比大, 故算術平均數國文級分較大數學天地 113

12 2 數學級分高低差異較大 3 理由同 2 4 國文 9 級分以上的累積百分比為 76.47, 他贏了百分之數學 5 級分以上的累積百分比才 55.79, 他贏了百分之數學至少要達 13 級分, 由表知故為 7480 人注意 : 統計的評量常考大量的數據及圖形的判讀, 同學要有耐心的閱讀, 看懂了常可以不用太計算就可得到答案了 6 答案 :135 出處 : 甲上第四章矩陣分析 : 二階方陣所對應的平面變換詳解 :1 ABCD A 1B 1C 1D 1, 邊長由 1 之正方形變換為 2 之正方形 f 2 0 1= 0 2, x y = 2x 2y 2 f 2= x y = x+ y 2 y 4 f 4 是平移變換 x y f 4 x+2 y+1 5 T= f 4 f 3 f 2 f 1 故 T x y =f4 f3 f2 f1( x y =f 4 f 3( =f 4 ( 2y+x 2x )=f4 f3 f2( 2 0 2x 2y )= f4 f3( 2y 2x )= x+2y+2 2x x y 1 1 )= f4( )=f4 f3 f2( 2x 2y ) 2y 2x ) 注意 :f 4 是平移變換,f 2 是對直線 x+y=2 作鏡射,f 1,f 2,f 3,f 4 依序之函數合成為 f 4 f 3 f 2 f 1,f 1 先運算 ( 非 f 1 f 2 f 3 f 4) 三選填題 A. 答案 :100 出處 : 第二冊第二章三角函數的基本性質第三冊第四章圓與球面分析 : 圓的參數式兩圓外切時, 兩圓之間最長距離 141 數學天地

13 特別企劃詳解 : 令點 P 為 (2 cosa,4+2 sina) 點 Q 為 (3+3 cosb,3 sinb) x=2 cosa P 為圓 C 1:x 2 +(y-4) 2 =2 2 上之一點, y=4+2 sina 圓心 O 1(0,4), 半徑 r 1=2 x=3+3 cosb Q 2 為圓 C 2:(x-3) 2 +y 2 =3 2 上之一點, y=3 sinb 圓心 O 2(3,0) 半徑 r 2=3 #PQ=A S2 csossa-s(3s+s3 ScoSsSb)S 2 S+S 4+S2 sinas-3 sisnb 2 #PQ 2 =(2 cosa-3 cosb-3) 2 +(2 sina-3 sinb+4) 2 故其最大值為 (r 1+#O 1O 2+r 2) 2 =(2+5+3) 2 =100 注意 : 如果直接平方展開用三角函數之極值作法也可以, 但過程較繁雜 B. 答案 :(3,1) 出處 : 第三冊第一章向量分析 : 平面向量的相等及加法詳解 :@AI=@AJ+@JI=3@BC+@EG (x,y)=(3,1) 注意 : 作輔助線 #AI,#AJ,#AD=2@BC C. 答案 : 出處 : 第四冊第二章排列組合第三章機率與統計 (I) 分析 : 機率 :P(A)= n(a) n(s) 詳解 : 半點的有 J,Q,K 四種花色共 12 張, 兩張組成 10 點的有 1,9;2,8;3,7; 4,6;5,5 故機率 P= C12 1*(4*C 1 4 *C 1 4 +C 2 4 ) C 52 3 注意 : 由 5,5 組成 10 點為 C 4 2=6 種 = D. 答案 : 1 2 出處 : 甲下第二章極限的應用分析 : 導數的定義詳解 :f 8(1)=lim x 1 f(x)- f(1) x-1 注意 : 直接由導數的定義著手作 =lim x 1 (x-1)(x-2) -0 x-3 x-2 =lim x-1 x 1 x-3 = =1 2 數學天地 115

14 第貳部分 : 非選擇題一答案 : 略出處 : 第二冊第一章指數與對數甲上第二章不等式分析 : 算幾不等式及對數不等式詳解 :1 96= 1 2 (95+97)>Q9W5W W9W7 log96>logq9w5w*w9w7= 1 2 (log95+log97)>qlowgw9w5w*wlowgw9w7 2 由 1(log96) 2 >log95*log97 log96 log95 > log97 log96 c log9596>log9697 注意 : 換底公式 :log ab= logb loga 二答案 : ( , ) 3 x y2 169 =1 出處 : 第四冊第一章圓錐曲線甲上第三章平面上的坐標變換分析 : 橢圓的定義及標準式圖形的旋轉詳解 :1 長軸長 2a=26,a=13,#BF=a=13 #FF8=10=2c,c=5 b=12 2 F8(-6,-2),F(2,4), 如右圖 %BB8 之斜率 m 為 %FF8 斜率之負倒數 m=- 4 b2,#fg= 3 a = (-3 5,4 5 )=( , ) G 坐標為 ( , ) 3 a=13,b=12 x 2 y =1, 即 x y2 169 =1 注意 : 橢圓的定義 : #PF-#PF8 =2a, 正焦弦長 2b2 a 求 G 161 數學天地

15 特別企劃陸 96 指考數學乙模擬試卷第壹部分 : 選擇題 ( 單選題多選題及選填題共占 74 分 ) 一單選題 (18%) 說明 : 第 1 至 3 題為單選題, 每題選出一個最適當的選項, 劃記在答案卡之解答欄每題答對得 6 分, 答錯或劃記多於一個選項者倒扣 1.5 分, 倒扣到本大題之實得分數為零為止未作答者, 不給分亦不倒扣分數 1 有大小不同的兩個正方形 A,B, 圖 1 把 B 的對角線之交點疊合於 A 的一頂點上, 所重疊的小正方形面積為 A 面積的 1 9, 反過來如圖 2, 把 A 的對角線之交點疊合於 B 的一頂點上, 則所重疊的小正方形面積為 B 面積的幾分之幾? 圖 1 圖 2 2 線段 AB 長為 p 單位, 中點 M 之垂線 #MR 長為 q 單位, 自 R 作一弧, 其半徑等於 1 2 p 單位, 交 #AB 於 T, 試問 #AT 與 #TB 長為下列哪一個方程式的兩根? 1 x 2 +px+q 2 =0 2 x 2 +px-q 2 =0 3 x 2 +px+q=0 4 x 2 -px+q 2 =0 5 x 2 -px-q 2 =0 3 如右圖, 某街道有八條東西向, 七條南北向,2 安康由 A 欲走到 B, 只能往東往北走, 捷徑有幾種走法? P C H ! 8!7! 數學天地 117

16 二多選題 (24 %) 說明 : 第 4 至 6 題, 每題各有 5 個選項, 其中至少有一個是正確的選出正確選項, 劃記在答案卡之解答欄每題 8 分, 各選項獨立計分, 每答對一個選項, 可得 2 分, 每答錯一個選項, 倒扣 2 分, 完全答對得 8 分 ; 整題未作答者, 不給分亦不倒扣分數在備答選項以外之區域劃記, 一律倒扣 2 分倒扣到本大題之實得分數為零為止 4 某傳訊公司為配合客戶需求, 有 2 個優惠方案 A,B( 如下表 ), 設 t( 分鐘 ) 表通話時間, C 表所需付出的費用, 試問下列何者正確? 方案 A 即時直接對話 + 自動數字傳呼方案 B 即時直接對話 + 自動數字傳呼每月基本服務費 98 元 168 元免費通話時間首 60 分鐘首 500 分鐘以後每分鐘收費 0.38 元 0.38 元方案 A 的 C 與 t 之關係式為 C A= 98,02t (t-60)+98,t>60 2 方案 B 的 C 與 t 之關係式為 C 168,02t2500 B= 0.38(t-500)+168,t> 對客戶而言, 當 t=300 分鐘時, 選擇 A 方案較有利 4 對客戶而言, 當 t=400 分鐘時, 選擇 B 方案較有利 5 當 t>500 分鐘時,A 方案的通話費用與 B 方案的通話費用之差值 C A-C B 會隨著 t 增加而增加 5 右圖是 G:y=a sin bx(a>0,b>0) 的部分圖形, 下列何者正確? 1 a=3 2 b= G 的圖形可經由 y=sinx 的圖形, 先水平壓縮為 2 3 倍, 再鉛直拉伸為 3 倍而得 4 G 的圖形可經由 y=sinx 的圖形, 先水平壓縮為 3 2 倍, 再鉛直拉伸為 3 倍而得 5 G 的圖形可經由 y=sinx 的圖形, 先鉛直拉伸為 3 倍, 再水平壓縮為 2 3 倍而得 181 數學天地

17 特別企劃 6 牆上有 6 個燈泡, 由左至右分別編號為 1~6 號, 擲一個骰子一次, 編號與出現點數相同的燈泡就會改變狀態 ( 所謂改變狀態是指 : 由亮變暗, 或由暗變亮 ) 今設一開始 6 個燈泡都是暗的, 試問下列何者正確? 1 若 2 安康投了兩次骰子, 編號 1,4 的燈泡都亮起來之機率為若 2 安康投了兩次骰子,6 個燈泡都還是暗的機率為若 2 安康投了三次骰子, 不可能出現恰有 2 個燈泡是亮的狀態 4 若 2 安康投了三次骰子, 則恰有 1 個燈泡是亮的機率為若 2 安康投了三次骰子, 則恰有 3 個燈泡是亮的機率為 5 9 三選填題 (32%) 說明 :A 至 D 各題為選填題, 劃記在答案卡之解答欄所標示的列號 (7~18) 內每一題完全答對得 8 分, 答錯不倒扣 ; 未完全答對不給分 x x+9999 A. 多項式 f(x)= 3x x+9999 ( 行列式 ), 設以 x 除 f(x) 之餘式為 r, 則 r 1000 =5 B. 在 xy 平面中, 記 L 為橢圓 x2 4 + y2 3 =1 的周邊 y30 的部分又記 M,N 分別為 (x-1) 2 +y 2 =1 和 (x+1) 2 +y 2 =1 的周邊 y20 的部分, 設 P,Q,R 分別在 L,M,N 上變動, 設 #PQ+#PR 之長為 d, 求 d 2 之最大值為 4 C. 已知球體 S:(x-1) 2 +(y-1) 2 +(z-1) 2 29( 含球面及球的內部 ), 設三平面 E 1:x+2y-3z=0,E 2:4x+y+2z=a,E 3:x-2y+bz=c, 若此三平面 E 1,E 2,E 3 剛好將球體 S 分割成八塊, 且這八塊體積都相等, 形狀也完全一樣, 則 (a,b,c)=8 D. 有五位同學的數學成績分別為 91 分,77 分,65 分,79 分及 x 分, 若此五位同學的成績之算術平均數恰與中位數相等, 則 x 的可能最小值為 4 第貳部分 : 非選擇題 ( 占 26 分 ) 說明 : 本大題共有二題計算證明題, 答案務必寫在答案卷上, 並於題號欄標明題號 ( 一二 ) 與子題號 (1 2 3), 同時必須寫出演算過程或理由, 否則將予扣分每題配分標於題末數學天地 119

18 一利用所列之三角函數值表求下列各值 : 三角函數值表角度 sin cos tan cot sec csc cos sin cot tan csc sec 角度 1 tan491408=?(2 分 ) 2 tan501458=?(3 分 ) 3 tan =?(3 分 ) (1~3 小數均取至第三位, 第四位以下四捨五入 ) 4 安康家的對面是一棟大樓, 某日曉薇佇立於大樓的陽臺上,2 安康想知道她的身高, 於是隔著馬路就測量起來, 從曉薇的腳趾觀測時, 得仰角為 , 再觀測她的頭頂時, 得仰角 , 已知馬路寬為 20 公尺, 問曉薇的身高是幾公分?( 小數四捨五入, 取整數 )(5 分 ) 201 數學天地

19 特別企劃二某電器公司有甲乙兩廠生產彩色電視機, 其營業狀況如右表所示, 設甲廠每週開工 x 日, 乙廠每週開工 y 日, 每週開支為 x y 元, 試回答下列各問題 : 1 列出滿足上表之二元一次不等式聯立方程組 (4 分 ) 2 承 1 小題, 畫出二元一次不等式之圖形 (4 分 ) 3 欲使每週開支最省, 甲乙兩廠每週各須開工多少日?(5 分 ) 參考公式及可能用到的數值 1 一元二次方程式 ax 2 +bx+c=0 的公式解 :x= -b±ab2 S-S4Sac 2a 2 通過兩點 (x 1,y 1) 與 (x 2,y 2) 的直線斜率 m= y2-y1 x 2-x 1 3 ax+by+c 1=0 與 ax+by+c 2=0 兩平行線之距離 = c1-c2 Aa 2 S+Sb 2 4 等比級數 <ar n-1 > 的前 n 項之和 S n= a(1-rn ) 1-r 5 ABC 的正弦及弦餘定理每日產量型式,rn1 廠別 ( 單位 : 架 ) 甲廠乙廠每週需求量 33 吋吋吋每日開支 ( 元 ) 15 萬 18 萬 1 a sina = b sinb = c sinc =2R,R 為外接圓的半徑 ( 正弦定理 ) 2 c 2 =a 2 +b 2-2ab cosc( 餘弦定理 ) 6 機率 P(A)= n(a) n(s),s: 樣本空間,A: 事件 7 餘式定理 : 以 x-r 除多項式 f(x) 之餘式為 f(r) 8 x 1,x 2,x 3,,x n 之算術平均數 $x= x1+x2+x3+ +xn n 9 x 12x 22x 32 2x n, 若 n=2k+1,kjn, 則中位數 M e=x k+1; 若 n=2k,kjn, 則中位數 M e= xk+xk Pn= m m! (m-n)!,c n= m m! n!(m-n)!,h n=c m m+n-1 n 數學天地 121

20 柒 96 指考數學乙模擬試卷解答第一部分 : 選擇題一單選題 1 答案 :4 出處 : 第一冊第一章基礎概念第二章數與坐標系分析 : 正方形之基本性質及比例關係詳解 : 由題意知 : 1 9 A=1 4 B c A=9 4 B 1 4 A= 9 16 B 注意 :M,N 為正方形之邊的中點如右圖,R 為兩對角線之交點則四邊形 PNRM 之面積為原正方形面積的答案 :4 出處 : 第一冊第一章基礎概念分析 : 一元二次方程式 ax 2 +bx+c=0 之二根為 a,b, 則 a+b= -b a,ab= c a 詳解 :#AT= p 2 方程式也可寫為 x 2 -(a+b)x+ab=0 #TB= p 2 p2 +Z 4 X-Xq2 = p+ap2 S-S4Sq 2 2 p2 -Z 4 X-Xq2 = p-ap2s -S4Sq 2 2 此乃 x 2 -px+q 2 =0 之二根注意 :ax 2 +bx+c=0 之根的公式 -brab2 S-S4Sac 2a 及畢氏定理 3 答案 :3 出處 : 第四冊第二章排列組合分析 : 同物排列詳解 : 相當於之同物排列數 13! 7!6! =C 個 6 個注意 : 不是 15! 7!8!, 是 7 個和 6 個, 算間隔數而非線數 221 數學天地

21 特別企劃二多選題 4 答案 :124 出處 : 第一冊第二章數與坐標系乙上第一章機率與統計 (II) 分析 : 直線的斜率統計方案之優劣選擇詳解 : CA: 98,02t (t-60)+98,t>60 C 168,02t2500 B: 0.38(t-500)+168,t>500 令 602t2500,C A=C B 得 0.38(t-60)+98=168,t= 若 C A>C B, 則 t> 當 t> 時, 選方案 B 較有利於客戶當 t>500 時 C A 與 C B 之圖形為兩平行線 C A-C B 為一定值注意 : 以時間 t 大為橫坐標, 費用為縱坐標依題意作圖畫直線 5 答案 :135 出處 : 乙下第一章圖形的平移與伸縮分析 : 正弦函數的圖形振幅與週期詳解 :G:y=3 sin 3 2 x y=sinx 水平壓縮為 2 3 倍以 3 2 x 代入 x y=sin 3 2 x 鉛直拉伸為 3 倍以 y 3 代入 y y 3 =sin 3 2 x 得 y=3 sin 3 2 x 注意 : 水平壓縮為 a 倍以 1 a x 代入 x ; 鉛直拉伸為 b 倍以 1 b y 代入 y 6 答案 :235 出處 : 第四冊第三章機率與統計 (I) 分析 : 排列組合與機率詳解 :1 (1,4),(4,1)c 機率為 2 36 = 1 18 數學天地 123

22 2 (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)c 機率為 6 36 = 正確 4 (1,1,2),(2,1,1),(1,1,3), 二同一異排列數 c C6 2*2*3 216 = 15*6 216 = 三異 c C6 3*3! 216 = 20*3! 216 =20 36 =5 9 注意 : 機率 P(A)= n(a) n(s) 三選填題 A. 答案 :-10 出處 : 第一冊第四章多項式第三冊第三章一次方程組與矩陣的列運算分析 : 餘式定理 : 以 x-r 除多項式 f(x) 之餘式為 f(r) 詳解 : 以 x 除 f(x) 之餘式為 f(10000)= r 1000 =-10 =*(-2)= 注意 : 行列式的運算, 某一列乘以 k 倍加入另一列, 行列值不變 =-10000=r B. 答案 :36 出處 : 第四冊第一章圓錐曲線分析 : 橢圓 #PF+#PF8=2a 詳解 : 焦點 F(1,0),F8(-1,0),#PF+#PF8=4 #PQ+#PR 2(#PF+#FQ)+(#PF8+#F8R) =(#PF+#PF8)+(#FQ+#F8R) =4+1+1=6 d=(#pq+#pr) 2 =6 2 =36 注意 : 作圖三角形任一邊長小於其他兩邊和 C. 答案 :(7,-1,-2) 出處 : 第三冊第四章圓與球面分析 : 球與平面的關係詳解 :E 1:x+2y-3z=0, 球心 (1,1,1) 代入合, 故 E 1 平分球體 S 成兩個全等的半球 E 1,E 2,E 3 將球體切割成全等體積, 形狀相同的八塊,E 1 又過球心 241 數學天地

23 特別企劃 E 2,E 3 也必過球心 (1,1,1) E 2:4x+y+2z=a,(1,1,1) 代入得 a=7 E 3:x-2y+bz=c 三平面兩兩垂直 E 2 法向量!n 2=(4,1,2),E 3 法向量!n 3=(1,-2,b)!n 2!n 3=0 c(4,1,2) (1,-2,b)=0 c 4-2+2b=0 c b=-1 E 3:x-2y-z=c,(1,1,1) 代入 c 1-2-1=c c c=-2 注意 : 此題的三平面皆過球心, 且三平面兩兩垂直, 才能將球切割成八塊且這八塊體積都 D. 答案 :73 相等, 形狀也完全一樣出處 : 第四冊第三章機率與統計 (I) 分析 : 統計學的中位數算術平均數之意義詳解 : x 5 = 312+x 5 為算術平均數 $x 65,77,79,91, 中位數 M e c 772M e279 而 $x=m e, 故 x c x2395 c 732x283 故 x 之可能最小值為 73 注意 : 將 91,77,65,79 重排為小而大 65,77,79,91, 中位數 M e c 772M e279 第貳部分 : 非選擇題一答案 : 公分出處 : 第二冊第二章三角函數的基本性質分析 : 三角函數值查表及簡易三角測量詳解 :1 查表得 tan = 查表得 tan501408=1.220 tan501458=1.224 tan501508= tan =tan( )=-tan481508= 設 2 曉薇身高為 h 公尺 tan481508= x 20 數學天地 125

24 tan501458= x+h 20 tan tan481508= h = h 20 h=20*0.080=1.6 公尺 =160 公分注意 : 超過 451 的三角函數值, 由表之右下角往上查, 依題意作圖二答案 :1 x30,y30 2 略 3 甲需每週 6 日, 乙需每週 2 日 x+y316 x+3y312 x+y38 出處 : 乙上第三章線性規則劃分析 : 二元一次不等式聯立方程組, 列出目標函數詳解 :1 x30,y x+y316 x+3y312 x+y38 3 設甲廠開工 x 日, 乙廠開工 y 日 x+4y364 8x+24y396 6x+6y348 x30,y30,x,yjz, 即 x+y316 x+3y312 x+y38 x30,y30,x,yjz 欲求目標函數 P=150000x y 之最小值因為 x y=P 為一組斜率 (- 5 6 ) 之平行線故以 x+3y=12 與 x+y=8 之交點 (6,2) 代入得 P=150000* *2= 故甲廠開工 6 日, 乙廠開工 2 日, 每週開支 126 萬元為最節省的方式供應所需注意 : 一般來說 : 目標函數 P=ax+by 為二元一次, 其極值產生於圖形邊之頂點上 261 數學天地

25 特別企劃捌結語離 96 年 7 月初的指考還有三個月, 考生的心情隨著考期的逼近, 日漸緊繃, 緊張的心理是可以體會的, 高三的數學教師也正快馬加鞭的作全面性的復習, 也希望同學能作有效率的整理和學習教授命題除了要考慮試題的難易度鑑別度適切性正確性及盡量涵蓋課程網要的整個主要內容蘊涵數學概念估算查表閱圖作圖解讀資料, 數據之外, 希望也能考慮到考生的審題能力和解題能力, 以期達成公正篩選藉此篇幅給考生們一些建議 : 1 上課注意聽講並抄寫筆記 : 平時有效的整理數學筆記, 考前才能有效的做全面性復習 2 逆向思考 : 數學題目有時正向思考難解, 用相反的步驟由答案推假設反而會有意外發現 3 尋找規律性 : 尤其是有關數列級數的問題先從 n=1,2,3, 代入試試看, 可找出一般項 a n, 再理出它的通式規則 4 特殊化原理 : 考慮容易算的數或者極端的最大值最小值或中間值代入試試看 5 扼要列出題目的條件和數據 : 審題時每閱讀一段語句, 就列出其主要條件和數據, 甚至列出數學式子, 遇幾何題一定要作圖, 更能快速的解出答案 6 復習課本主要的定理定義 : 題目是無限的, 永遠作不完, 雖是一綱多本, 但高中數學的主要定理及概念有限, 解題不外乎利用這些定理定義, 只要熟讀單一種版本足矣 7 小樣本試著解題 : 尤其解排列組合機率問題時, 遇到難解或數據大的樣本數時, 自己先用小樣本數嘗試作作看, 再理出其規則性 8 全部六冊課本都要復習 : 每一冊都重要, 數學甲上下更要加重復習 ; 數學乙要注意生活上常用的應用問題 9 考前作息要正常 : 考試是白天考, 考前幾天要調整作息時間, 千萬不要晨昏顛倒, 避免考試時昏昏沉沉影響作答 0 指考當天要注意的事項 : a. 先將考題大略全部看一遍, 會寫的自認為簡單的, 先勾起來作答 b. 控制好 80 分鐘的作答時間, 盡量能留最後 5 分鐘再驗算一次 c. 選擇填充可用鉛筆在旁筆算以利刪改, 又可省下作答空間 d. 考前勿飲用提神飲料, 會引起反效果本篇提供數學甲乙指定考科各一份摸擬試卷給考生練習, 預祝各位同學考試順利得好成績支支雜雜寫了這篇文章, 或有不盡適當之處或有錯誤, 也請各位數學先進不吝指教, 謝謝! F 數學天地 127

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