The Japanese Journal of Psychonomic Science 2014, Vol. 32, No. 2, 統計 情報仮説 評価 分散分析 代? 1 岡田 専修大学 謙介 Does Bayesian evaluation of informative

The Japanese Journal of Psychonomic Science 2014, Vol. 32, No. 2, 223 231 223 統計 情報仮説 評価 分散分析 代? 1 岡田 専修大学 謙介 Does Bayesian evaluation of informative hypothesis outperform analysis of variance? Kensuke Okada Senshu University The analysis of variance (ANOVA)has long held the status of being the most used (or I should say abused ) statistical technique in psychological research. Although there is no doubt about the usefulness of ANOVA, it is not free from disadvantages such as difficulty in accepting null hypothesis and multiplicity problem with multiple tests. In order to deal with these problems, the objective of this paper is to introduce Bayesian evaluation of informative hypothesis to psychonomic researchers. An informative hypothesis consists of inequality constraints between the parameters of interest. The relevance of informative hypothesis is evaluated thorough the Bayes factor against the unconstrained hypothesis. The calculation of Bayes factor is generally performed by means of Markov chain Monte Carlo techniques. This approach is illustrated by analysis of experimental data with mice having different nighttime light conditions. Key words: informative hypothesis, unconstrained hypothesis, Bayes factor, posterior model probability, analysis of variance 心理学, 基礎心理学領域, 分散分析 利用, 濫用 統計手法 言 Howell (2009) 心理学研究 分散分析 広 用 主 理由, 複数 水準間 比較, 複数 要因 考慮 挙 分散分析 特徴, 実験 得 相性 歴史的, 分散分析 実験計画法 密接 関係 持 Corresponding address: Department of Psychology, Senshu University, 2 1 1, Higashimita, Tama-ku, Kawasaki-shi, Kanagawa 214 8580, Japan. E-mail: ken@ psy.senshu-u.ac.jp 1 本研究 私立大学戦略的研究基盤形成支援事業 (S11011013) 科学研究費補助金 (23300310, 24730544, 25380871) 助成 受 本表題 狩野 (2002) 依拠 発展 方法論 一般的 分散分析 応用, 設定 要因 主効果 交互作用 有無 検討 具体的, 各要因 主効果 交互作用 0 帰無仮説 仮説検定 (F 検定 ) 行 結果 有意 場合, 続 Tukey 法 Bonferroni 法, 各種 方法 用 多重比較 行, 一連 分析結果 基, 研究者 結果 解釈, 一般的 分散分析 方法論 様々 問題点 指摘, 仮説検定 枠組 用 由来 問題, 2 点 指摘 第一, 仮説検定, 帰無仮説 H 0 積極的 支持 仮説検定 用 検定統計量 p 値, 帰無仮説 H 0 正 前提 導出 p 値, 帰無仮説 H 0 正 仮定, 今回 得 極端, 帰無仮説 整合的 Copyright 2014. The Japanese Psychonomic Society. All rights reserved.

224 基礎心理学研究第 32 巻第 2 号 検定統計量 値 得 確率, p 値 定 有意水準 小, 前提 帰無仮説 棄却 証拠 得, 仮説検定 対立仮説 正 場合 議論 行,p 値 小 ( 有意水準 大 ) 帰無仮説 積極的 支持 証拠 得 第二, 仮説検定 結果, 標本 単調 依存関係, 母集団 効果量 同 場合, 標本 N 大 大 検定結果 有意 p 値 効果 大 表 量, 検定 帰無仮説 棄却, 考 効果 現実的 意味 含意 以上 2 点 代表 仮説検定 各種 問題点, 心理学 統計改革 流 近年繰 返 指摘 (Cumming, 2012; Kline, 2004; 大久保 岡田,2012), 仮説検定全般 分散分析 枠組 特徴的 問題点 複数指摘 第一,1 段階目 行 主効果 交互作用 F 検定, 第 2 段階目 行 多重比較 一般 結果 整合性 F 検定 結果 主効果 有意, 多重比較 結果 水準 差 実際 生 本来別々 別々 分析 (F 検定 多重比較 ) 分散分析 1 方法論 生 問題, 理論的 当然, 不一致 結果 出 場合 解釈 行 悩 問題 第二, 分散分析 F 検定 依 立 平方和 分解, 釣 合 型 (balanced design), 各 標本 等 場合 成立 現実的 脱落 欠測, 非釣 合 型, 各 標本 等 分析 多 場合 I, III 各種平方和 利用 対応, 釣 合 型 場合 単純 平方和 分解 成 立, 妥協 産物 言, 分散分析 定着, 実験 統計 合, 既存 分散分析 収集 指摘, 統計 観点 考慮 入 階層性 混合性, 分散分析 用 分析 考慮 入 場合 多 本稿 分散分析 枠組 有用性 疑, 分散分析 万能 事実 上記 見, 分散分析 検定 由来 問題, 分散分析 枠組 由来 問題, 応用上 問題 各種問題 抱, 多要因 多群 平均値 比較 関 新 枠組,Hoijtink (2011), Hoijtink, Klugkist, & Boelen (2008) 提唱, 統計 情報仮説 評価 (Bayesian evaluation of informative hypotheses) 統計 情報仮説 評価, 帰無仮説 設定 古典的 仮説検定 用 多 統計 応用 同様, 多重性 問題 対処 容易 本稿, 統計 情報仮説 評価 枠組 概説, 実験 適用 知見 得 目的 第 2 節, 統計学 枠組, 選択 述 第 3 節 統計 情報仮説 評価 枠組 述 第 4 節, 枠組 実 適用 例 示 第 5 節 近年 話題 扱, 最後 議論 行 統計学, 情報 利用, 定理 母数 関 知識 更新 枠組 公理 出発 演繹的 体系, 矛盾 推論 結果 到達 ( 繁桝,1985) 伝統的 統計学 ( 頻度論 frequentist theory 呼 ), 母数 未知 定数, 標本 計算 標本統計量 確率変数 考 対, 統計学, 分析者 手元 定数, 母数 値 分析者 未知 確率変数 考 母数 確率変数 扱 違, 伝統的 統計学 ( 頻度論 ) 統計学 違 本質 (Table 1) 頻度論 立場 統計学 立場 関, 統計的 分析, 仮説 母数 関 仮説 母数 θ 表記, 仮説 H(θ) 表 通常 略記 単 H 表 統計学 母数 θ 確率変数, 仮説 H(θ) 適切 確率 評価, X 得 前, 仮説 H i 正 確率 ( 仮説 H i 事前確率 ) p(h i ), X 得 後 仮説 H i 正 確率 ( 仮説 H i 事後確率 ) p(h i X) 表, 事後確率 p(h i X)

225 Table 1. The key difference between classical (frequentist)and Bayesian statistics 頻度論 frequentist Bayesian 母数 parameter 定数 fixed 確率変数 random variable data 確率変数 random variable 定数 fixed 定理 ( px Hi)( phi) ( p H i X) = (1) ( px) 表 (1) 式分子 p(x H i ), 仮説 H i 真 X 得 確率 表 発生 対応, 項 分布 (data distribution) 呼 母数 関数 見 場合, 尤度 (likelihood) 呼, 分母 p(x) 考 仮説 考慮 ( 周辺化 marginalize ) X 得 確率 量, 分子 計算 可能 組 合, 合計 1 ( 確率 ) 基準化 項 考, 基準化定数 呼, 項 直接計算 事後確率 求 可能,( 1) 式 次 理解 : [ H の事後確率 ] i [ データ分布 ][ Hiの事前確率 ] = (2) [ 基準化定数 ] 統計学 枠組, X 得, 関心 母数 仮説 関 情報 1 仮説 H i 推論 見, 実際 2 仮説 存在, 仮説間 支持 調 場合 多 選択 問題, 統計学 (Bayes factor, 因子 ) 用 評価 2 仮説 H i H u 比較 ( p H i X) ( p H u X) BFiu= ( phi ) ( ph) u (3) 表,( 3) 式分母 p(h i )/p(h u ), X 観測 前 2 仮説 事前確率 比 Table 2. Interpretations of Bayes factor according to Jeffreys (1961)and Kass & Raftery (1995) (a)jeffreys (1961) BF iu Evidence against H u 1 to 3.2 Not worth more than a bare mention 3.2 to 10 Substantial 10 to 100 Strong >100 Decisive (b)kass & Raftery(1995) BF iu Evidence against H u 1 to 3 Not worth more than a bare mention 3 to 20 Positive 20 to 150 Strong >150 Very strong 表 確率 比 呼, 事前 (prior odds) 呼 事前 1 2 仮説 確率 等,1 大 H i 事前確率 方 大,1 小 H u 事前確率 方 大 一方, 分子 p(h i X)/p(H u X)) X 観測 更新,2 仮説 事後確率 比 表, 事後 (posterior odds) 呼 解釈 同様 2 ( 3) 式, 事後 事前 比 与,, 与, 仮説 H u 比 仮説 H i 支持 変化率 表 (Lavine & Schervish, 1999) BF iu =1, 得 事後 事前 変化 意味 BF iu >1, 得 事後 事前 H i 支持 意味 BF iu <1, 得 事後 事前 H u 支持 意味 値 解釈 基準, rule 2 実際, 後 見 統計 情報仮説 評価 枠組, 事前 事後 1 以下 値

226 基礎心理学研究第 32 巻第 2 号 of thumb( 大 経験則 ),Jeffreys(1961) Kass & Raftery (1995) 基準 知 Table 2 示, 基準 目安, 絶対的 十分留意 点 Rosnow & Rosenthal (1989) 適切 述, 以下 長 拙訳 上引用 : 2 対立 仮説, 支持 程度 比 直接数量化 量 100 倍支持 十分, 1.04 倍支持 不十分, 多 研究者 同意, 文献中 明確, 我々 提供, 恣意的 決定規則 与 p 値 知 警句 思 出 : 神 p<.05 p<.06 等, 同 強 愛 ( p. 1277) 心理学研究 仮説 評価 長 p 値 第一義的 用, 近年, 心理学分野 支持 文献 見 (e.g., Massaro, Cohen, Campbell, & Rodriguez, 2001; Morey & Rouder, 2011; Rouder & Morey, 2011; Rouder, Morey, Speckman, & Province, 2012) 本節, 研究者 持 情報仮説 基 評価 方法 述 例,Fonken et al. (2010) 3 条件下 体重増 利用,27 匹 9 匹 3 群 割 当,4 週間後 体重増分 測定 LD (light/ dark) 群, 通常 昼間 明 夜 暗 照明 保 LL (light/light) 群, 昼夜 問 照明 明 保 DM (dim light at night) 群, 昼間 明, 夜 薄明 照明 保, R Lock5Data LightatNight 収録 (Lock, 2012) 3 群 4 週間後 体重増 従属変数 各群 平均 順 μ LD, μ LL, μ DM 表, 体重増 関 以下 3 種類 仮説 考 : H 1 : μ LD <μ DM <μ LL (4) H 2 : μ LD <{μ DM, μ LL } (5) H u : μ LD, μ DM, μ LL (6) 最初 仮説 H 1, 夜 暗 群 平均体重 μ LD 夜 薄明 群 平均体重 μ DM 重, 昼夜関係 明 群 平均体重 μ LL 重 仮説 2 番目 仮説 H 2, 夜 暗 群 ( LD) 夜 暗 群 (DM, LL) 方 平均体重 重 仮説 仮説 夜 少 明 絶対的 明 影響 考,μ DM μ LL 間 不等式制約 置 点 注意 ( 4),( 5) 式 仮説 H 1 H 2, 母数 ( μ) 不等式制約 (inequality constraint) 入 表現 仮説 情報仮説 (informative hypothesis) 呼 研究者 持 仮説, 情報仮説 表現 場合 多 一方,( 6) 式 H u 母数 制約 仮説 無制約仮説 (unconstrained hypothesis) 呼 統計 情報仮説 評価 枠組, 情報仮説 無制約仮説 対比 表現 情報仮説 H 1 (4 式 ) 定量化 場合, 得 H 1 (4 式 ) H u (6 式 ) 比較 評価 情報仮説 評価 枠組 相性 大 理由 1, 情報仮説 H i 無制約仮説 H u 比較, 以下 非常 式 書 (Klugkist, Laudy, & Hoijtink, 2005) BF f i iu= (7) ci,c i 無制約仮説 H u 事前分布, 情報仮説 H i 整合的 確率密度 割合 表 仮説 H i 複雑 (complexity) 呼 一方,f i 無制約仮説 H u 事後分布, 情報仮説 H i 整合的 確率密度 割合 表 当 (fit) 呼 上式 導出 Hoijtink (2011, 2013); Klugkist et al. (2005) 見 過程 図示 例示,μ 1, μ 2 2 母数 関心 場合 考 情報仮説, 1 群 母平均 μ 1 2 群 母平均 μ 2 大 仮説 H i : μ 1 >μ 2 考 対 無制約仮説, 母平均 制約 H u : μ 1 >μ 2 Figure 1(a) 左側,H u 母数空間 {μ 1, μ 2 } 上 設定 事前分布 示 事前 情報 得 場合 想定, 裾 広 無情報的 事前分布 設定 一方,Figure 1(b) 左側, 情報仮説 H i 整合的 部分 示 黒 塗

227 Figure 1. Prior and posterior distributions under different hypotheses. (a)prior (left)and posterior (right)distributions under H u : μ 1, μ 2. (b)prior (left)and posterior (right)distributions under H i : μ 1 >μ 2. (c)prior (left)and posterior (right) distributions under H 0 : μ 1 =μ 2. 左上半分 μ 1 <μ 2 領域, 情報仮説 H i 整 合的, 情報仮説 複雑 c i c i =1/2 一方, 得 H u 事後分布 Figure 1(a) 右側 示 持 情 報, 事後分布 散布度 事前分布 大幅

228 基礎心理学研究第 32 巻第 2 号 小, μ 1 >μ 2 右下側 多 確率密度 持 同様, 仮説 H i : μ 1 >μ 2 整合的 領域 Figure 1(b) 右側 示 事前分布 比 事後分布 仮説 H i 整合的 領域 多 確率密度 含, 情報仮説 H i 当 f i 0.5 大 f i = 0.9,H i H u 比較,( 7) 式 B iu =0.9/0.5=1.8 求, 情報 得,H i H u 比較 際 事後, 事前 1.8 倍 大, 事後 確率 (posterior model probability, PMP) 変換 一般 情報仮説 I 個 (H 1,..., H i..., H I ), 加 無制約仮説 H u 場合,i 番目 情報仮説 無制約仮説 事後 確率 BF = for 1,, (8) iu PMPi i= I 1+ i BFiu 1 PMPu = (9) 1 + BFiu 与 事後 確率, 表現 異 相互 変換可能 量 本節, 前節 導入 統計 情報仮説 評価 枠組 実 適用 Fonken et al. (2010) 体重 用,( 4),( 5) 式 情報仮説 H 1, H 2 (6) 式 無制約仮説 H u 比較 情報仮説 評価 実行 専用 開発,Mulder, Hoijtink, & de Leeuw (2012) BIEMS,Kuiper, Klugkist, & Hoijtink (2010) ConfirmatoryANOVA,Fortran 書,GUI 備 提供, 内部的, 規定 事前分布 連鎖 (Markov chain Monte Carlo, MCMC) 法 推定 行, 事後分布 推定 一方,MCMC 法 用 汎用的 利用,WinBUGS OpenBUGS (Lunn, Spiegelhalter, Thomas, & Best, 2009; Lunn, Thomas, Best, & Spiegelhalter, 2000) van Rossum, van de Schoot, & Hoijtink (2013) BUGS 用 汎用的 方法 利用 情報仮説 評価 行 同様 本稿 Open- BUGS 利用 実際 利用 Appen- i dix 示 情報仮説 H 1, H 2 複雑 考 今回 情報仮説, 複雑 単純 計算 求 ( 4) 式 情報仮説 H 1 3 母数 2 不等式制約, 場合 数 3!=6 通 情報仮説 H 1 1 通, 複雑 c 1 = 1/6 次 (5) 式 情報仮説 H 2 考, 3 母数 1 不等式制約, 場合 数 3 通 報仮説 H 2 1 通, 複雑 c 2 =1/3 次 事後分布 推定 行 今回 単純 問題 場合, 事前分布 適切 選択 事後分布 関 推論 解析的 行 可能, 汎用性 MCMC 用 方法 利用 無情報的 事前分布 設定 利用, 各群 平均母数 μ 1, μ 2, μ 3 平均 0, 分散 1000 正規分布 設定, 各 分布 分散,IG (0.01, 0.01) 逆 分布 設定 BUGS 用 事前情報 場合 無情報的 設定 標準的 (Ntzoufras, 2009) Appendix BUGS 用,1,000 回 burn-in 1,000,000 回分 MCMC 標本 推定 利用 多数回 MCMC 計算 行, 所用 CPU 時間 手元 PC(Intel Core i7, 3.4 GHz) 3 秒, 単純 大 計算時間 速,f 1 f 2 最初 3,000 回分 MCMC Figure 2 示 図,f 1 1 値 回 MCMC 標本 情報仮説 H 1 成立,0 値 回 成立 意味 (f 2 H 2 組 同様 ) 情報仮説 H 1 当 f 1 推定値 0.9277, 情報仮説 H i2 当 f 2 推定値 0.9349, f1 0.9277 BF1 u= = =5.57 c 0.1667 1 f2 0.9349 BF2 u= = =2.80 c 0.3333 2 (10) (11) 求 結果 要約 Table 3 示 以上, 情報仮説 H 1 H 2 当 差, 情報仮説 H 1 方 複雑 大 仮説, 結果 H 2 約 2 倍大, 事後 確率 (8),( 9) 式

229 Figure 2. MCMC traces of fit parameter for (a)h 1 and (b)h 2 for the first 3,000 iterations. Table 3. Summary of prior and posterior results for informative and unconstrained hypotheses. 得 5.57 PMP 1 = =0.59 1+5.57+2.80 5.57 PMP 2 = =0.30 1+5.57+2.80 1 PMP u = =0.11 1+5.57+2.80 H 1 H 2 H u c(complexity) i 0.1667 0.3333 f(fit) i 0.9277 0.9349 BF iu (Bayes factor) 5.57 2.80 1.00 PMP(Posterior i model probability)0.59 0.30 0.11 (12) (13) (14) 以上 分析結果 次 体重増,( 4)~( 6) 式 H 1, H 2, H u 3 種類 仮説 間 選択問題 考 推定結果, 母数 何 制約 無制約仮説 H u 比,H 2 2.80 倍, H 1 5.57 倍, 事後 事前 変化 事後 確率 見, 得 後 H 1 真 確率 60%,H 2 約 30%,H 1 約 10%, 仮説 1 選 H 1, 支持度合, 事後確率 H 2 約 2 倍,H u 約 6 倍 前章 述, 統計 情報仮説 評価 枠組, 研究者 持 情報仮説 H i, 母数 制約 無制約仮説 H u 比較 評価 無制約仮説 関心 母数 一切 情報仮説 仮説, 情報仮説 評価 基準 適切 考 一方, 伝統的 統計学 枠組 比較 基準, 無制約仮説 H u, 母数 等式制約 (equality constraint) 入 帰無仮説 H 0 前節 体重 例, 帰無仮説 H 0 : μ 1 =μ 2 =μ 3 (15) 表 Figure 1(c) 模式的 示, 等式制約 帰無仮説 H 0 整合的 確率密度 0, 前節 述 方法 H 0 評価 適用 等式制約 表現 H 0 無制約仮説 H u 比較,Savage Dickey 密度比 (Savagte-dickey density ratio; Dickey, 1971; Verdinelli & Wasserman, 1995) 利用,H 0 等式制約 点 事前分布 事後分布 確率密度 比,3 章 述 情報仮説 評価 枠組, 無情報的 事前分布 設定 事前分布 設定 依存 対, 定義上 Savage Dickey 密度比 事前分布 設定 大 依存 事前分布 分散 10 3 10 6, 結果 得 非常 大 影響 与, 母数空間 [0, 1] 制約 比率 推定 状況 除, 帰無仮説 H 0 現在 統計 情報仮説 評価 直接持 込 難 等式制約 入 仮説 入 仮説, 言 換 次元数 異 仮説 比較 際 困難 生 古 知 問題 対応 枠組, 客観 (objective Bayes) 分野 客観 枠組, 分析

230 基礎心理学研究第 32 巻第 2 号 際, 必要最小限度 情報 積極的 活用, 無情報的 事前分布 構成 本稿 範囲 外,Berger (1985) 参照 最近,Hoijtink(2013) 情報仮説 評価 枠組 客観事前分布 議論 行, 議論 客観 枠組 異 客観 H 0 H u 次元数 異 2 仮説 比較 際 無情報的 事前分布, 客観的, 基 自動的 設定 考 方 対 Hoijtink (2013) 主張, 種 情報仮説 ( 彼 言 同等集合 equivalent set 1 ), 事前分布 無情報的 設定, 本質的 持 情報 決 議論 有用,( 1) 情報仮説 適用 ( 同等集合 持 情報仮説 )( 2) 等式制約 表現 H 0 仮説 適用 注意 必要 本稿 統計学 情報仮説 評価 枠組 概説, 実 分析 行 最近 話題 述 統計学 仮説 母数 関 仮説 古典的 検定 帰無仮説 対立仮説, 情報仮説 評価 用 情報仮説 無制約仮説, 母数 仮説 変 統計学, 頻度論 異, 母数 確率変数 扱, 統計学 立場 分析 行, 研究者 持 情報仮説 確率的 評価 本稿, 用 最 単純, 各群 平均母数 異 分散母数 等 独立 正規分布, 統計 情報仮説 評価 枠組, 限, 広 一般 実行 分散 群間 異, 群間 共分散 考, 階層 混合 設定 様々 一般化線形混合 枠組 記述, 本稿 行 BUGS 推定 導出 (Gelman, 2007; Gelman et al., 2013), 統計 情報仮説 評価 分散分析 比, 非常 柔軟 枠組 分散分析 相当 問題 情報仮説 評価 適用 事例,van Rossum et al. (2013) van de Schoot et al. (2011),van de Schoot et al. (2011),2 以上 要因 考 古典的 交互作用 議論 複雑 設定, 情報仮説 評価 枠組 有用 発達 実 分析 示 研究者 持 仮説, 情報仮説 適切 表現場合 多 統計 情報仮説 評価 利用, 背理法的 棄却 設定 帰無仮説 考,F 検定 多重比較 結果 乖離 悩, 研究者 仮説 直接定量的 比較 評価 枠組 分散分析 代, 少 広 普及 分散分析 欠点 補 相補的 分析, 統計 情報仮説 評価, 有用, 広 利用 枠組 考 Appendix A 分析例 利用 OpenBUGS f1 事後平均 情報仮説 H 1 複雑 f 1 点推定値, f2 事後平均 H 2 複雑 f 2 点推定値 表 y 体重増分,d1, d2, d3 LD, DM LL 群 所属 表 変数 MODEL{ # Model and prior for(i in 1:27){ mu[i] <- mu1*d1[i] + mu2*d2[i] + mu3*d3[i] y[i] ~ dnorm(mu[i],invsig2) } # Hyperprior mu1~dnorm(0.0,0.001) mu2~dnorm(0.0,0.001) mu3~dnorm(0.0,0.001) invsig2 ~ dgamma(0.01,0.01) # Calculation of fit f1a <- step(mu2-mu1) f1b <- step(mu3-mu2) f1 <- f1a*f1b f2a <- step(mu2-mu1) f2b <- step(mu3-mu1) f2 <- f2a*f2b }

231 Berger, J. O. (1985). Statistical decision theory and Bayesian analysis. New York: Springer. Cumming, G. (2012). Understanding the new statistics: Effect sizes, confidence intervals, and meta-analysis. New York: Routledge. Dickey, J. M. (1971). The weighted likelihood ratio, linear hypotheses on normal location parameters. Annals of Mathematical Statistics, 42, 204 223. Fonken, L. K., Workman, J. L., Walton, J. C., Weil, Z. M., Morris, J. S., Haim, A., & Nelson, R. J. (2010). Light at night increases body mass by shifting the time of food intake. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 107, 18664 18669. Gelman, A. (2007). Data analysis using regression and multilevel/hierarchical models: New York: Cambridge University Press. Gelman, A., Carlin, B. P., Stern, H. S., Dunson, D. B., Vehtari, A., & Rubin, D. B. (2013). Bayesian data analysis (3rd ed.). Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC. Hoijtink, H. (2011). Informative hypotheses: Theory and practice for behavioral and social scientists. Boca Raton, FL: Chapman and Hall/CRC. Hoijtink, H. (2013). Objective Bayes factors for inequality constrained hypotheses. International Statistical Review, 81, 207 229. Hoijtink, H., Klugkist, I., & Boelen, P. (2008). Bayesian Evaluation of Informative Hypotheses. New York: Springer. Howell, D. C. (2009). Statistical methods for psychology (7th ed.). Belmont, CA: Cengage Learning. Jeffreys, H. (1961). Theory of probability (3rd ed.). Oxford, UK: Oxford University Press. 狩野裕 (2002). 構造方程式, 因子分析, 分散分析, 解析 代? 行動計量学,29, 138 159. (Kano, Y.) Kass, R. E., & Raftery, A. E. (1995). Bayes factors. Journal of the American Statistical Association, 90, 773 795. Kline, R. B. (2004). Beyond significance testing. Washington, DC: American Psychological Association. Klugkist, I., Laudy, O., & Hoijtink, H. (2005). Inequality constrained analysis of variance: A Bayesian approach. Psychological Methods, 10, 477 493. Kuiper, R. M., Klugkist, I., & Hoijtink, H. (2010). A fortran 90 program for confirmatory analysis of variance. Journal of Statistical Software, 34, 1 30. Lavine, M., & Schervish, M. J. (1999). Bayes factors: What they are and what they are not. American Statistician, 53, 119 122. Lock, R. (2012). Lock5Data: R package version 2.6. Retrieved May 11, 2013, from http://cran.r-project.org/package= Lock5Data Lunn, D., Spiegelhalter, D., Thomas, A., & Best, N. (2009). The BUGS project: evolution, critique and further directions. Statistics in Medicine, 28, 3049 3067. Lunn, D. J., Thomas, A., Best, N., & Spiegelhalter, D. (2000). WinBUGS a Bayesian modelling framework: concepts, structure, and extensibility. Statistics and Computing, 10, 325 357. Massaro, D. W., Cohen, M. M., Campbell, C. S., & Rodriguez, T. (2001). Bayes factor of model selection validates FLMP. Psychonomic Bulletin & Review, 8, 1 17. Morey, R. D., & Rouder, J. N. (2011). Bayes Factor approaches for testing interval null hypotheses. Psychological Methods, 16, 406 419. Mulder, J., Hoijtink, H., & de Leeuw, C. (2012). BIEMS: A Fortran 90 program for calculating Bayes factors for inequality and equality constrained models. Journal of Statistical Software, 46, 1 39. Ntzoufras, I. (2009). Bayesian Modeling Using WinBUGS. Hoboken, NJ: Wiley. 大久保街亜, 岡田謙介 (2012). 伝 心理統計 : 検定力 効果量 信頼区間勁草書房 (Okubo, M. & Okuda, K.) Rosnow, R. L., & Rosenthal, R. (1989). Statistical procedures and the justification of knowledge in psychological science. American Psychologist, 44, 1276 1284. Rouder, J. N., & Morey, R. D. (2011). A Bayes factor metaanalysis of Bem's ESP claim. Psychonomic Bulletin & Review, 18, 682 689. Rouder, J. N., Morey, R. D., Speckman, P. L., & Province, J. M. (2012). Default Bayes factors for ANOVA designs. Journal of Mathematical Psychology, 56, 356 374. 繁桝算男 (1985). 統計入門東京大学出版会 (Shigemasu, K.) van de Schoot, R., Hoijtink, H., Mulder, J., Van Aken, M. A., Orobio de Castro, B., Meeus, W., & Romeijn, J.-W. (2011). Evaluating expectations about negative emotional states of aggressive boys using Bayesian model selection. Developmental psychology, 47, 203. van Rossum, M., van de Schoot, R., & Hoijtink, H. (2013). Is the hypothesis correct or is it not : Bayesian evaluation of one informative hypothesis for ANOVA. Methodology: European Journal of Research Methods for the Behavioral and Social Sciences, 9, 13. Verdinelli, I., & Wasserman, L. (1995). Computing Bayes factors using a generalization of the Savage-Dickey density ratio. Journal of the American Statistical Association, 90, 614 618.