西华大学应用数学系朱雯
微分方程 习题课
解题方法流程图 求 Pd Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 解出 No dy = f (, y ) d 可分离变量方程 齐次方程 dy y ( ) d 令 y u 一阶线性方程 dy P( ) y Q( ) d 其它一般方程 g ( y) dy f ( ) d g ( y) dy f ( ) d du ( u) u d 可分离变量 通解为 Pd Pd y e [ Qe d C] 变量代换 隐式通解 G( y) F( ) C 3
可降阶的高阶微分方程. 高阶微分方程的定义 F y y y ' '' ( n) (,,,, ) 0. 可降阶的高阶微分方程类型 () y ( n) f ( ) () y f (, y) (3) y f ( y, y) 3. 可降阶的高阶微分方程的解题方法流程图可降阶的高阶微分方程, 是通过引入变量进行降阶, 转化为成一阶微分方程, 通过判定一阶微分方程的类型, 求出通解 解题方法流程图如下图所示 4
可降阶的高阶微分方程 解题方法流程图 Yes ( ) y n f ( ) No 逐次积分 y f (, y ) y f ( y, y) 通解 y (, c, c,, cn) 特点 : 不显含 y 特点 : 不显含 令 y P() 令 y P( y) 转化为一阶方程 p f (, p) 转化为一阶方程 pp f ( y, P) 解一阶微分方程 解一阶微分方程 5
3. 非齐次方程的解题方法 求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解, 一般分为四步 : ) 写出特征方程并求根 ; ) 求对应的齐次线性方程的通解 Y ; 3) 根据不同类型的自由项 f( ), 利用待定系数法求出 一个特解 y * 4) 写出原方程的通解 Y y* 解题方法流程图如下图所示 6
解题方法流程图 求 y py qy f ( 通解 ) 特征方程 : r pr q 0 Yes 有实根 No Yes r r No r, i Y C C e ( ) r Y C e C e r r Y e ( C cos C sin ) Yes f( ) 型混合型 的类 No f ( ) f ( ) f ( ) No f ( ) f ( ) e p ( ) m f ( ) f ( ) e [ P ( )cos P ( )sin ] l n 对 f 分别 ( ), f( ) 求特解 * * y, y y y y * * * * k 令 y e Qm ( k 为特征方程 ) 含根 的重复次数 ( k 0,, ) 通解 y Y y * 代入原方程, 用待定系数法确定其参数 * k ( ) ( ) 令 y e [ R ( )cos R ( )sin ] m i k 为特征方程含根的重复次数 ( k 0, ). m ma( l, n) m 7
求解微分方程 yd dy 0 求微分方程 ( cos y y y ) d cos dy 的通解 0 dy y 3 求微分方程 sin, y 的特解 d y y 4 求方程的通解 5 求方程 ( ) y y ln( ) 的通解 y y 6 求方程 ( y ) 0满足初始条件 y 的特解 0 y e e, y e e y, 0 7 已知 3 是某个二阶线性非齐次微分方程的三个特解, 求通解 及方程的表达式, y e e e 8
8 求方程 y 3y y 5 满足初始条件 y(0), y(0) 的特解 9 求微分方程 y 3y y 3e 的通解 0 求微分方程 y y 5y e sin 的通解 y y e 的通解 求微分方程 cos 求微分方程 的通解 y y y sin 3 设函数 f( ) 连续, 且满足 f ( ) e tf ( t) dt f ( t) dt 0 0, 求 f( ) 9
三 典型例题 例 求解微分方程 yd dy 0 分析 : 用观察法, 可见它是可分离变量方程 解 : 分离变量为 dy y d 积分得 ln ln( ) ln y C C y 因此, 所求通解为. 0
例 求微分方程 ( cos y y y ) d cos dy 的通解 0 分析 : 将方程变形, 得 y y y ycos cos dy d y y cos cos 此方程为齐次方程, 所以按框图中的方法求解 解 : 令 y dy du u, 于是 y u, u, 上式可化为 d d du ucos u u sec u u d cos u
即 分离变量 积分得 所以 du d sec u 故原方程的通解为, 为可分离变量的方程 d cos udu sin u ln lnc e sinu C Ce sin y dy y 例 3 求微分方程 sin, y 的特解 d 分析 : 此题为一阶线性微分方程, 所以按框图中的方法求解
解法 : 对应齐次方程为 dy y 0 d 分离变量解得 C y u ( ) dy u( ) u( ) 由常数变易法, 令 y, 则 d 代入原方程得 u( ) u( ) u( ) sin 解得 u( ) cos C cos C 所以原方程通解为 y 将 y 代入得 C 特解为 y ( cos ) 3
sin 解法 : 因为 p ( ), q ( ), 利用求解公式得 d sin d y e [ e d C 将 y 代入得 C sin [ ] ln ln e e d C cos [ sin d C] C 特解为 y ( cos ) 4
y y 例 4 求方程的通解 分析 : 此方程为可降阶的二阶微分方程, 由于不显含 y 所以可引入变量 y p( ) 将二阶微分方程变成一阶微 分微分方程, 然后根据一阶微分方程的特点求解 解 : 由于不显含 y, 令 y p(, ) 则 y p p p p 代入原方程整理得 即 ( ) 因此 y p C 3 再积分一次, 即得原方程的通解为 : y C C 3 3 此解可以写成 y C C 3 5
例 5 求方程 ( ) y y ln( ) 的通解 分析 : 此方程为可降阶的二阶微分方程, 由于不显含 y 所以可引入变量 y p( ) 将二阶微分方程变成一阶 一阶微分方程, 然后根据一阶微分方程的特点求解 解 : 由于不显含 y, 令 y p( ), 则 y p 代入原方程整理得 ( ) p p ln( ) 即 p p ln( ) 为一阶线性微分方程 6
利用公式得 d ln( ) d p e ( e d C) ln( ) ( ) ln( ) ln( ) e e d C ( ln( ) d C ) C ln( ) 即 C y ln( ) 积分得 y ( C)ln( ) C 7
例 6 求方程 y y ( y ) 0满足初始条件 y, 0 y 的特解 0 分析 : 此方程为可降阶的二阶微分方程, 由于不显含 所以可引入变量 y p( y) 将二阶微分方程变成一阶 微分方程, 然后根据一阶微分方程的特点求解 解 : 由于不显含, 令 y p( y), 则 y pp 代入原方程整理得 所以 0 当 yp p 0 ypp p 0 p 或 yp p 0 时, 此方程为可分离变量的方程, 分离变量得 : dp dy p y 8
积分得 : ln p ln y lnc C 所以 p 即 y y 将 y, y 代入得 0 0 C C y, 从而 y y 分离变量得 : y C 将 y 代入得 C 0 所求方程的特解为 : y 当 p 0时, 即 0 特解为 y 积分得 y C y, 含在 y 内 9
y e e, y e e 例 7 已知 3 是某个二阶线性非齐次微分方程的三个特解, 求通解, y e e e 及方程的表达式 分析 : 由二阶线性非齐次微分方程解的结构, 先求出对应齐次方程, 从而得出通解及方程的表达式 解 : 因为 y y e e 3, y y e 是对应齐次方程 的两个线性无关的特解, 可知特征方程有两个根 r, r, 特征方程为 r r 0 0
对应齐次方程为 : y y y 0 对应齐次方程通解为 : Y C e C e 又因为 e e y y y f ( ) 有 是非齐次微分方程的特解, 将其代入 ( e e ) ( e e ) ( e e ) ( ) e f ( ) 所求的方程为 : y y y ( ) e 通解为 : y Y y C e C e e
例 8 求方程 y 3y y 5 满足初始条件 y(0), y(0) 的特解 分析 : 此为二阶常系数非齐次线性微分方程, 由解的结构, 先求出对应齐次的通解, 再求出其本身的一个特解. 解 : 所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 它的特征方程 r 3r 0, r 解得两个不同的实根 r 故齐次方程的通解为 Y C e C e
由于 f( ) 5 是 Pm ( ) e 型 ( 其中 Pm ( ) 5, 0 ), 且 0 不是特征方程根, 所以应设特解 ( y ),( y ) 把它们代入原方程, 得 得非齐次方程的通解为 0 y* ae a a, 求出 5 y Y y C e C e 将初始条件 y(0), y(0) 代入, 有 C 5, C 解得 所求的特解为 7 7 5 y 5e e 5 5 C C CC 3
例 9 求微分方程 y 3y y 3e 的通解解 : 所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 它的特征方程为 r 3r 0, r 解得两个不同的实根 故齐次方程的通解为 Y C e C e 由于 f ( ) 3e 是 m 型 r P ( ) e ( 其中 P ( ) 3, m ) 且 是特征方程的单根, 所以应设特解 4
y* ( b b ) e 0 求出 ( y ),( y ) 把它们代入原方程, 得 b b b 3 0 0 b 3, b b 0 比较等式两边的系数, 得 0 0 3 解之, 得 b0, b 3 由此求得一个特解为 3 y Y y C e C e e + ( 3 ) 5
0 求微分方程 y y 5y e sin 的通解 解 : 特征方程为 r r 5 0, 其根为 r, i 故齐次方程的通解为 Y e ( Ccos C sin ) 由于 f ( ) e sin 是 e ( Pl( )cos Pn( )sin ) 型 ( 其中 P ( ) 0, P ( ),, ), 因为 i l n i 是特征方程根, 所以应设特解 y* e ( Acos Bsin ) ( *) y e ( Acos Bsin ) e ( Acos Bsin ) e ( A sin b cos ) 6
( *) y e ( Acos Bsin ) e ( Acos Bsin ) e ( a sin Bcos ) e ( 3Acos 3Bsin ) 代入原方程, 解之得 故特解为 A, B 0 4 y* e cos 4 于是所求通解为 y e ( Ccos Csin ) e cos 4 注 : 不能因为自由项只出现正弦项, 而将 y * 设为 e B sin 此例可理解为 cos 的系数为 0 7
y y e 的通解 求微分方程 cos 解 : 特征方程为 r 0, 其根为 r, i Y C cos C sin 故齐次方程的通解为 由于 f ( ) e cos 根据特解结构原理, 此方程的自由项 f( ) 属于混合型, 令 f ( ) e, f ( ) cos 由于 ( ) f e 是 Pm ( ) e 型 ( 其中 P ( ), m ) 不是特征方程根, 故可设 y * Ae *, 求 ( y ) Ae, ( y ) Ae * 得 A 代入原方程 y y e 中, 则有 所以 y * e Ae e, 8
又因为 f ( ) cos 是 e ( Pl( )cos Pn( )sin ) 型 ( 其中 P ( ), P ( ) 0, 0, ), 而 i i l n 是特征方程根, 故可设 * y B C ( cos sin ) 求 ( y ) Bcos C sin ( Bsin C cos ) * 代入方程 ( y ) ( Bsin C cos ) ( Bcos C sin ) * y y cos 中, 解得 B0, C, 所以 y * sin 于是原方程的通解为 * * y Y y y C cos C sin e sin 9
求微分方程 的通解 y y y sin 解 : 特征方程为 r r 0, 其根为 r, 故齐次方程的通解为 Y ( CC) e 由于 f ( ) sin cos 属于混合型, 可设特解为 y* y y A Bcos C sin * * 3 代入原方程, 并比较两边系数, 得 A, B, C 50 5 3 从而 y* cos sin 50 5 3 所以原方程的通解为 y ( C C) e cos sin 50 5 30
例 3 设函数 f( ) 连续, 且满足 f ( ) e tf ( t) dt f ( t) dt 0 0 分析 : 此等式中含有积分上限函数, 因此想到利用积分, 求 f( ) 上限函数的性质, 求导可建立微分方程, 从而求解 解 : 等式两边对 求导得 f ( ) e f ( ) f ( t) dt f ( ) e f ( t) dt 0 0 两边再对 求导得 f ( ) e f ( ) 3
即 f ( ) f ( ) e 为二阶线性非齐次微分方程, 且 f (0), f (0) 可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 f ( ) Ccos Csin e 再由 f(0), f(0), 可得特解 f ( ) (cos sin e ) 3