第六章二阶电路的瞬态分析

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庙柴
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1 第六章二阶电路的瞬态分析

2 主要内容 : ) 二阶电路的零输入响应 ; ) 二阶电路的零状态响应和全响应 ; 3) 应用举例

3 例 : 6. 二阶电路零输入响应 U ( ) = U, i ( ) = 电路方程 (KV) : 以 U ( ) 为变量, k i U U i U i = u = i = u = = Uc,, 得 : U U + + U = 齐次方程的特征根 : s + s + =

4 s + s + = s, = ± ( ) 4 齐次方程根 : = + ( ) = ( ) 电路方程为二阶齐次方程, 电路包含二个动态元件, 故称为二阶电路.

5 二阶电路根据电路参数不同, 其电容电压过渡过程 ( 输出响应 ) 也不同. ) 当 >, 即 ( ) >, 特征根为二个不等负实根, s s + U = A e + A e ( ), 初始条件 U ( ) = U, 过阻尼 i + U ( ) = = + =, 即 U U = A + A = A + A 代入上式得 : + = = A = A = U U

6 有 U ( ) = ( e i U U = U (e = i U e ) e c u = = ) ( e e ) U u 过渡过程单调衰减, 电路无振荡. u i U

7 例 : U = V, = µ F, = 4 K Ω, K = H, K 从, 求 U ( ). Us Uc i 解 : + U ( ) = U ( ) = V i + U ( ) = = + =, = ± = 68, = U ( ) = ( ) =.77, = =.77 A U A U V ( ) (.77e =.77e )

8 ) <, 即 < ( 振荡放电过程 ) U U 欠阻尼方程 + + U = 齐次方程特征根 : = ± ( ) = α ± 式中 : α = 衰减系数, ω = ( ) = ω α ω 谐振角频率过渡过程一般形式 : j ω, 振荡角频率式中 A, θ 为待定系数, 由初始条件而定. U ( ) = A e sin( ω + θ ) α Uc i

9 ( + ), U 由 U = U = + = ω θ = g U = A sin θ α = α sinθ + ω cos θ ω A = U ω ω ω U U e g α ( ) = sin( ω + ) ω α 得 ω o θ α ω 电容电压衰减振荡, 衰减由 e α 决定 U u 波形图

10 U U U e sin( ω π ) e sin( ω ) i α = = + = α ω ω 电容电感元件之间有周期性的能量交换 i ( ) 电流最大值出现时间 : i max i = = α sin( ω ) ω cos( ω ) = ω g ω α

11 例 : 脉冲磁场电流产生 U = 5 KV, = 7 µ F, = 6 9 = 6 H i( ) i, 求及 max. 4 Us K Uc i 解 : 二阶电路, 6 = 6 < = = 振荡过程 : α = = 5. ω = α = 3 5 i = = ω U e α 5 sin 8.3 e ω sin(3 ) A

12 当 ω = g = g 6 = 4.6 ω α 秒 i max = e sin(3 4.6 ) imax = A = α =, ω = ω 讨论 : 当时, 无衰减振荡, U ( ) U ( ) e α o u ( ) = U sin( ω + 9 ) c =

13 3>. =, 即方程为重根 = = = = α α ( 单调衰减 ) U A A ( ) = ( )e + 临界阻尼例 3: = Ω, = H, = F, U = V i U ( ) K 闭合已久, 求 K 打开后和. i 解 : 判别电路状态临界阻尼 = = α = = U K Us

14 方程解 : 初始条件 : 代入得 : U ( ) = ( A + A )e U, + ( ) = U ( ) = U i ( + ) = i ( ) = =, + + U ( ) = = A A = = A A A = = 即 U i U U ( ) = e V. i = = e A

15 例 4: 判别电路响应形式. 回路方程 : 建立电路方程 i U i = + U U U U = = + U + U = U. U U + + U. = i 特征根, b ± b ac 4 = = ± a 判别式 : ~, 当 > 时, 二个负实根, 无振荡. 讨论 : 串联时, 增大可抑制振荡. 并联时, 减小可抑制振荡.

16 例 : 建立电感电流为变量的二阶电路方程 u ( ) = i ( ) Us K Uc i i i u ( ) + + = 求导 : i i + + = i 初始条件 : i ( ) = i ( ) = u ( )

17 6. 二阶电路的零状态响应和全响应对于二阶电路, 当串联电路接通直流正弦交流或其他形式的电压源时, 其响应的自由分量与零输入响应情况完全一样, 强制分量由微分方程特解确定之与一阶电路相同, 当激励是直流或正弦交流函数时, 该特解就是相应的稳态解然后根据零初始条件确定积分常数, 最终求得零状态响应在二阶动态电路中, 当既有激励电源, 又有储能元件初始储能时, 两者共同引起的响应就是全响应全响应对应于二阶微分方程的全解, 等于其强制分量与自由分量之和, 也等于零输入响应与零状态响应之和

18 例 : U ( ) =, i ( ) =. U U ( ) = ( ) U ( ) 求. Us() Uc 设 :, U U + + U = U 解 : 电路方程 ( 二阶非齐次方程 ). 方程特解 ( 稳态解 ): = H = F, 分别为 Ω, Ω,3 Ω. 方程解 = 特解 + 通解 U = U 通解 : >. 当 = 3 Ω, > = ( 过阻尼 ), = ± = ± ( ).5 (.5)

19 =.38,.38.6 U ( ) U Ke = + + K e =.6 + U 初始条件 : U ( ) =, = 代入解出得 : + >. 当 = Ω, = = 临界阻尼, = = = U ( ) = U + ( A + A ) e 由初始条件 : 得 : U =.38.6 U ( ) = U.7Ue +.7 U e U () =, = = U U U e ( ) = ( ) +

20 3>. 当 = Ω < =, 欠阻尼振荡 3 α = =, ω = α = U 3 ( ) = U + Ae sin( + θ ). 3 π 当 + = π 即.4 s 3 时, = U + A sin θ o θ g 3 6 = = 3 = sinθ + cos θ A = U 3 U () =, = τ = 3 o U ( ) = U U e sin( + 6 ) 3 4 π = = U 3 3 (.4) = U U

21 讨论 : 减小可使系统响应加快, 在 =.4 s 时, U = Ω, U = U ; = Ω, U =.69 U ; = 3 Ω, U =.53 U. O 3 波形图随着减小, 系统出现振荡, 越小, 超调量越大. 响应速度与超调量是互相关联的, 在系统设计时应考虑二者之间的关

22 例 : 如图电路, = 3 Ω, = Ω =.5H, =.H, U = 7 ( )V 求 > 时的 i () 解 : < 时, 电路处于稳态, 有 i ( ) = i ( ) = A 根据换路定则 i ( ) = i ( ) = A, i ( ) = i ( ) = A + +

23 > 时 i u ( i ( ) i ( )) ( ) = = ( ) = A / s 当, 电路趋于稳态, 应有 i = p 7 A 3 当 > 后, 列写 KV 与 K 方程如下 : i + i + i = U, ( i i ) = i 即 i i i = 7

24 齐次方程根 s = 3, s = 齐次方程通解 i ( ) = A e + A e 3 h 特解为 : p ( ) i = 7 A 3 方程全解 : 7 i ( ) = i ( ) + i ( ) = + A e + A e 3 3 P h

25 由初始条件, 7 i ( + ) = + A + A = 3 i ( + ) = 3A A = 解得 : 7 i e e ( ) = + A

26 6.4 应用举例如图所示串联电路

27 设 U V,, 时开关打 = = 4 Ω, = 8mH, = µ F = 开显然, 给定初始条件为当 i( ) = i( ) = 3A, u ( ) = u ( ) = V + + i ( ) + = 时, 系统到达稳态, 此时列写 KV 方程并整理之, 可得 i p = A i i i =

28 因为 <, 电路为欠阻尼响应求解上式可得 i e 5 ( ) = (3cos sin78 ) A 电感两端的电压为 i u e 5 ( ) = = 68 sin78 V 当正弦函数值为时, 电感电压达到峰值, 约 59V 利用变压器, 可以将此电压值提升到更高的水平

电子技术基础 ( 第版 ) 3. 图解单相桥式整流电路 ( 图 4-1-3) 电路名称电路原理图波形图整流电路的工作原理 1. 单相半波整流电路 u 1 u u sin t a t 1 u 0 A B VD I A VD R B

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第六章 二阶电路的瞬态分析

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