高等数学 试题 考试日期 :4 年 7 月 4 日星期三考试时间 : 分钟 一. 选择题. 当 时, y = ln( + ) 与下列那个函数不是等价的 ( ) A) y = B) y = sin C) y = cos D) y = e. 函数 f() 在点 极限存在是函数在该点连续的 ( ) A) 必要条件 B) 充分条件 C) 充要条件 D) 无关条件. 下列各组函数中, f () 和 () f ( ) = e e, g = A) ( ) ( ) ( ) g 不是同一函数的原函数的有 ( ). e e B) f ( ) = ln ( + ) ( ) ( ) +, g = ln + C) f ( ) = rcsin( ), g( ) = rcsin f = tn D) ( ) = csc + sec, g( ) 4. 4. 下列各式正确的是 ( ) A) d = ln + C B) sin tdt = cost + C d C) rctn d = D) + 5. 5. 下列等式不正确的是 ( ). d d d d ( )d = + C A) b b f ( ) d = f ( ) B) f ( ) d ( ) dt = f d d F t dt = F d C) f ( ) d = f ( ) D) ( ) ( ) ln( + t) dt 6. lim = ( ) A) B) C) D) 4 7. 设 f ( ) = sin b, 则 f ) d = ( ( ) A) cosb sin b + C B) cosb cosb + C b b C) b cosb sinb + C D) b sin b bcosb + C [ b( ) ] b ( )
8. e f ( e ) d = f ( t) dt, 则 ( ) b A) =, b = B) =, b = e C) =, b = D) =, b = e 9. ( sin ) d = ( ) A) B) C) D). ln( + + ) d = ( ) A) B) C) D). 若 f ( ) =, 则 f d + ( ) 为 ( ) A) B) C) ln D) ln. 设 () f 在区间 [ b], 上连续, F ( ) f ( t) dt( b), 则 F () 是 f () 的 ( ). = A) 不定积分 B) 一个原函数 C) 全体原函数 D) 在[, b] 上的定积分 d. 设 y = sin, 则 dy = ( ) A) cos y B) cos C) cos y D) cos 4. A + e lim =( ) ln( + ) B C D - 5. 函数 y = + 在区间,4] [ 上的最小值为 ( ) A 4; B ; C ; D 二. 填空题 +. lim ( ) = + +.
. 4 d =. 若 f ( ) e d = e + C, 则 f ( ) d = d 4. + t dt = d 6 5. 曲线 y = 在处有拐点 三. 判断题. y = ln 是奇函数. ( ) +. 设 ( ).. 若函数 f 在开区间 (, ) 4. sin d = b 上连续, 则 ( ) f ( ) 在 处极限存在, 则 f 在 (, ). ( ) b 上存在最大值 最小值.( ) f ( ) 在 处连续. ( ) 5. 罗尔中值定理中的条件是充分的, 但非必要条件.( ) 四. 解答题 tn. 求 lim. cos sin m. 求 lim sin n. 证明方程 4 + =, 其中 m, n 为自然数. 4. 求 cos( ) d 5. 求 在 (,) 内至少有一个实根.. d. + sin, < 6. 设 f ( ) =, 求 f ( ) +, 7. 7. 求定积分 4 d + d
8. 设 (). f (). f 在 [,] 上具有二阶连续导数, 若 f ( ) =, [ f ( ) + f ( )]sin d = 5, 求 9. 求由直线 =, =, y = 和曲线 y = e 所围成的平面图形绕 轴一周旋转而成的旋转体体积 一. 选择题 高等数学 答案 考试日期 :4 年 7 月 4 日星期三考试时间 : 分钟. C. A. D 4. B 5. A 6. A 7. C 8. D 9. A. A. D. B
. D 4. A 5. B 二. 填空题. e... C + 4. 4 + 5. (,) 三. 判断题. T. F. F 4. T 5. T 四. 解答题. 8 sin m sin( mt + m ). 令 t =, lim = lim = ( ) sin n t sin( nt + n ) m n m n.. 根据零点存在定理.
4. cos( ) d = cos( ) ( ) d = sin( ) + C 6 5. 令 = t 6 5, 则 = t, d = 6t dt 5 = 6t t ) t dt 原式 dt = 6 dt = 6 (t + 4 t + t + t + t = 6 t + ln + t + C = 6 6 6 + 6 ln + + C 6. sin + < cos, f ( ) =, > 不存在, = 7. 4 ln 8. 解 : f ( )sin d = f ( ) d( cos ) = f ( ) f () f ( )sin d 所以 f ( ) = 9. 9. V= ( e ) d = e d = e d() = e = ( e ) 高等数学 试题 考试日期 :4 年 7 月 4 日星期三考试时间 : 分钟 一. 选择题. 当 时, 下列函数不是无穷小量的是 ( ) A) y = B) y = C) y = ln( +) D) y = e. 设 f ( ) =, 则当 时, f () 是 的 ( ) A) 高阶无穷小 B) 低阶无穷小
C) 等价无穷小 D) 同阶但不等价无穷. 下列各组函数中, f () 和 () f ( ) = e e, g = A) ( ) ( ) ( ) g 不是同一函数的原函数的有 ( ). e e B) f ( ) = ln ( + ) ( ) ( ) +, g = ln + C) f ( ) = rcsin( ), g( ) = rcsin f = tn D) ( ) = csc + sec, g( ) 4. 4. 下列等式不正确的是 ( ). d d d d A) b b f ( ) d = f ( ) B) f ( ) d ( ) dt = f d d F t dt = F d C) f ( ) d = f ( ) D) ( ) ( ) 5. e d = ( ) A) B) C) D) 4 6. 设 f ( t) dt = e, 则 () = f ( ) A) e B) e C) e D) e [ b( ) ] b ( ) 7. e f ( e ) d = f ( t) dt, 则 ( ) b A) =, b = B) =, b = e C) =, b = D) =, b = e 8. ln( + + ) d = ( ) A) B) C) D) (rcsin ) 9. d = ( ) A) B) 4 C) D). 若 f ( ) =, 则 f d + ( ) 为 ( ) A) B) C) ln D) ln. 设 () f 在区间 [ b], 上连续, F ( ) f ( t) dt( b), 则 F () 是 f () 的 ( ). = A) 不定积分 B) 一个原函数 C) 全体原函数 D) 在[, b] 上的定积分
. 若 f ( ) 在 = 处可导, 则 f ( ) 在 = 处 ( ) A) 可导 B) 不可导 C) 连续但未必可导 D) 不连续. rcsin + rccos = ( ). A B C 4 D + e 4. lim sin A =( ) B C D - 5. 函数 y = + 在区间,4] [ 上的最小值为 ( ) A 4; B ; C ; D 二. 填空题 sin,. 设函数 f ( ) =, 则 f () =, =. +. 如果 lim = n ( )(4 + 7).. 设 f ( ) d = cos + C, 则 f () =, 则 n =. 4. 若 f ( ) d = ln( + ) + C, 则 d = f ( ) + cos 5. d = + cos 三. 判断题 +. 函数 f()= ( >, ). 是非奇非偶函数. ( ). 若 lim f ( ) 不存在, 则 lim f ( ) 也一定不存在. ( )
.. 若函数 4. f ( ) 在 处极限存在, 则 = cos 在 (, ) 4. 方程 f ( ) 在 处连续. ( ) 内至少有一实根. ( ) 5. f ( ) = 对应的点不一定是曲线的拐点 ( ) 四. 解答题 b e e. 求 lim sin sin b ( b ) + <.. 已知函数 f ( ) = 在 = 处连续, 求 b 的值. + b.. 设 f ( ) = ( + ) k =, 试确定 k 的值使 () f 在 = 处连续. 4. 计算 tn( + ) d 5. 5. 比较大小 d, d.. 6. 6. 在抛物线 y = 上取横坐标为 =, = 的两点, 作过这两点的割线, 问该抛物线上 哪一点的切线平行于这条割线? 7. 设函数 f () = e, 4, 计算 f ( ) d., < < + cos 8. 若 f () = 的一个原函数为 ln, 求 f ( ) d. 9. 求由直线 y = 和曲线 y = 所围成的平面图形绕 y 轴一周旋转而成的旋转体体积 一. 选择题 高等数学 答案 考试日期 :4 年 7 月 4 日星期三考试时间 : 分钟
. D. D. D 4. A 5. B 6. C 7. D 8. A 9. B. D. B. C. D 4. A 5. B 二. 填空题... sin 4. + + C 6 5. tn + + C 三. 判断题
. F. F. F 4. F 5. T 四. 解答题.. b =. k = e 4. tn( + ) d = ln cos( + + C 5. d < d 6. (, 4) 7. 解 : 设 = t, 则 ( ) d + + cos dt t 4 te t dt = tn f = e 4 + f ( t) dt = f ( t) dt + f ( t) dt = 8. 解 : 由已知知 f ( ) = ( ln ) = ln + 则 f ( ) d = (ln + ) d = ln + + C 4 9. V = dy = ( y + ) 9. y dy = = + y 一. 选择题 高等数学 试题 考试日期 :4 年 7 月 4 日星期三考试时间 : 分钟
. 设函数 f ( ) = log ( + + ), ( >, ) A) 奇函数 B) 偶函数 C) 非奇非偶函数 D) 既是奇函数又是偶函数. 下列极限等于 的是 ( )., 则该函数是 ( ). sin sin sin sin A) lim B) lim C) lim D) lim. 若 = 6 f ( ) d e + C, 则 () = f ( ) A) ( + ) e B) ( ) C) e 6 6e D) ( + ) e 4. cos d = ( ) A) B) C) D) 4 4 5. 设 f ( ) = sin b, 则 f ) d = ( ( ) A) cosb sin b + C B) cosb cosb + C b b C) b cosb sinb + C D) b sin b bcosb + C 6. 设 f ( t) dt = e, 则 () = f ( ) A) e B) e C) e D) e 7. ln( + + ) d = ( ) A) B) C) D) (rcsin ) 8. d = ( ) A) B) 4 C) D) 9. 设 () f 在区间 [ b], 上连续, F ( ) f ( t) dt( b), 则 F () 是 f () 的 ( ). = A) 不定积分 B) 一个原函数 C) 全体原函数 D) 在[, b] 上的定积分 t. 设 f ( ) = u du dt ln( + ), 则 f () =( )
A) B) C) ln D) ln. 设 y ln () =, 则 y = ( ) A) B) 9 9 8! C) 9 8! D) 9. 曲线 y = ln 在点 ( ) 处的切线平行于直线 y = A), ln B), ln C) (,ln ) D) (, ln ). y = 在区间 [, 4] 上应用拉格朗日定理, 结论中的点 ξ=( ). A B C 9 4 b 4. lim = ( ) tn A B ln lnb C ln ln D b D 5. 函数 y = ln( + ) 在区间,] A 4; B ; C ; D ln 5 [ 上的最大值为 ( ) 二. 填空题 k e, >. 设函数 f ( ) = +,. 设 f (ln ) = +, 则 f () =, 若 f ( ) 在 = 处连续, 则 k =. 若 f ( ) d = ln( + ) + C, 则 d = f ( ) + cos 4. d = + cos 5. 曲线 y = e + 5 的水平渐近线为. 三. 判断题
. lim rctn =.( ). 若 lim f ( ).. 若函数 与 lim g( ) 均不存在, 则 lim[ f ( ) ± g( )] 的极限也不存在. ( ) f ( ) 在 的左 右极限都存在但不相等, 则 为 f ( ) 的第一类间断点.( ) 4. y = 在 = 处不可导 ( ) 5. 对于函数 f ( ), 若 f ( ) =, 则 是极值点.() 四. 解答题. 设 ϕ ( ) = tn sin, φ( ) =, 判断当 时 ϕ () 与 () φ 的阶数的高低.. 证明方程 e d. 计算 + 4. 4. 比较大小 = 至少有一个小于 的正根.. d, d.. 5. 设函数 y f ( ) 6. dy = 由方程 ln( + y) = y + sin 确定, 求 d = 6. 求函数 y = + ln 的导数 7. 计算 [ + e ] d ( + ln ) 8. 设连续函数 f () 满足 f ( ) = f ( ) d, 求 f () 9. 求由曲线 y = 和 y = 所围成的平面图形绕 y 轴一周旋转而成的旋转体体积 一. 选择题. A 高等数学 答案 考试日期 :4 年 7 月 4 日星期三考试时间 : 分钟
. D. C 4. B 5. C 6. C 7. A 8. B 9. B. D. C. A. C 4. B 5. D 二. 填空题 ln 5.. + e + C. + + C 6 4. tn + + C 5. y =
三. 判断题. F. F. T 4. T 5. F 四. 解答题.. ϕ () 比 φ (). 根据零点存在定理. 阶数高 d ( + ). = d + ( ) ( + ) = d + = ln + C + 4. d < d dy 5. = d = ln 6. y = ( + ln ) 7. [ + ] = ( + ln ) + ( + ln ) + ln e d d e = ln + ln + e + C d( ) 8. 解 : 设 f ( ) d = A, 则 f ( ) A 两边积分得 : f ( ) d = d A A = A, 解得 A = 6 故 f ( ) = =,
9. y 5 y 5 4 9. V ( y y ) dy = = = 一. 选择题.. 如果 ) 高等数学 试题 考试日期 :4 年 7 月 4 日星期三考试时间 : 分钟 df ( = dg( ), 则下述结论中不正确的是 ( ). A) f ( ) = g( ) B) f ( ) = g ( ) C) df ( ) dg( ).. = D) e d = ( ) d f ( ) = d g ( ) A) e e + c B) e 4e + c 4 C) ( + ) e D) e e 4. d = ( ) A) B) 4 C) 4 D) 4 4. 设 f ( ) = sin b, 则 f ) d = ( ( ) A) cosb sin b + C B) cosb cosb + C b b C) b cosb sin b + C D) b sin b bcosb + C 5. 设 f ( t) dt = e, 则 () = f ( ) A) e B) e C) e D) e 6. 6. ( sin ) d = ( ) A) B) C) D)
7. ln( + + ) d = ( ) A) B) C) D) 8. 若 f ( ) =, 则 f d + ( ) 为 ( ) A) B) C) ln D) ln 9. 设 () f 在区间 [ b], 上连续, F ( ) f ( t) dt( b), 则 F () 是 f () 的 ( ). = A) 不定积分 B) 一个原函数 C) 全体原函数 D) 在[, b] 上的定积分.. 下列各式正确的是 ( ) A) tn d = ln sin + C B) cot d = ln cos C) d d = rctn + c D) + ( ) d = ( ). 若 y = f (sin ), 则 dy =( ). A) f (sin )sin d B) f (sin ) cos d C) f (sin ) d D) f (sin ) d cos,. 设函数 f ( ) = + + b, >. 在 = 处可导, 则有 ( ) A) =, b = B) =, b = C) =, b = D) =, b =. y = 在区间 [, ] 上应用罗尔定理, 结论中的点 ξ=( ). + A B C D 4. 曲线 y = e e 的凹区间是 ( ) A (, ); B ( ;, + C (, ) ; D ( ) 5. 函数 y = 在区间,] [ 上的最大值为 ( )
A 4; B ; C ; D 二. 填空题. + lim =. ( )( + ). lim + =.. 若 f ( ) e d = e + C, 则 f ( ) d = 4. d = + cos 5. lim = sin 三. 判断题.. y = ln 是奇函数. ( ) +. 若函数. f ( ) 在 处连续, 则 f ( ) 在 处极限存在. ( ). 函数 f ( ) 在 [, b] 内连续, 且 数根. ( ) 4. 5. d = ( > f () 和 f (b) 异号, 则 f ( ) = 在 (, b) 内至少有一个实 ). ( ) y = e 在区间 (,) 和 (, + ) 内分别是单调增加, 单调增加.( ) 四. 解答题. 求 lim ( ) + tn sin. 求 lim sin.. 求 cos( ) d 4. 4. 比较大小 d, d..
5. 求曲线 + y = 在点 (, ) 处的切线方程和法线方程 4 4 5. 6. 设 y = rctn, 求 y ' + 7. 7. 计算 sin d. sin cos 8. 计算 d sin + cos 9. 9. 证明 f (sin ) d = f (cos ) d. 一. 选择题. A. A. D 4. C 5. C 6. A 7. A 8. D 9. B. C 高等数学 答案 考试日期 :4 年 7 月 4 日星期三考试时间 : 分钟
. B. A. B 4. B 5. A 二. 填空题. 4.. C + 4. 6 5. 三. 判断题. T. T. T 4. F 5. F 四. 解答题.. e.
. cos( ) d = cos( ) ( ) d = sin( ) + C 4. d d 5. 6. + y =, y = 7. 解 : sin d. = sin cos 8. d = d + = + + C + (sin cos ) ln sin cos sin cos sin + cos 9. 提示 : 令 = t, 则 d = dt 一. 选择题 高等数学 试题 4 考试日期 :4 年 7 月 4 日星期三 考试时间 : 分钟. + d = + C. ( ) + ( ).. sin d A) cos + C B) sin + c C) cos + c D) cos + c d( t cos tdt). = d ( ) A) cos B) C) D) cos d 4. 4. 下列各式中正确的是 ( ) d A) d = ln + C B) rctn + = C) sin( t ) dt = cos( t) + C D) f ( ) d = f ( ) + C
5. 若 f ( ) d = ln + C, 则 f ) d = A) ( ln + ) + C 4 C) ( ln ) + C 4 d 6. sin t dt = ( ) d ( ( ) B) ( ln + ) + C 4 D) ( ln ) + C 4 A) B) C) - sin D) sin 7. 7. 下列定积分中, 其值为零的是 ( ) A) ( sin ) d B) ( cos ) d C) ( + e ) d D) d ( + sin ) 8. sin d = ( ) A) B) 4 C) ln D) ln ( ) 9. cos d = A) B) C) D) 4. 若 f (u) 可导, 且 y = f ( ), 则 dy = ( ) A) f ( ) d B) f ( ) d C) [ f ( )] d D) f ( ) d.. 设函数 f ( ) =, 则 lim f ( ) f () = ( ) A) B) C) 4 D) 不存在. 曲线 y = + ln 在点 = 处的切线方程是 ( ) A) y = B) y = + C) y = D) y =. 半径为 R 的金属圆片, 加热后伸长了 R, 则面积 S 的微分 ds 是 ( ) A) RdR B) RdR C) dr D) dr 4. 曲线 y = 的渐进线为 ( ) + A = ; B y = C = ; D =, y = ln( + sin ) 5. 计算 lim = ( ) + sin A 4; B ; C ; D
6. 函数 = ( ) + A 4; B ; C ; D 二. 填空题 y 的驻点个数为 ( ) y. 曲线 y = + e 在点 (,) 处切线的斜率为. 设 d = 9, 则 =. 若 f ( ) d = + C, 则 f ( ) d = 4. (rccos ) d = 5. 曲线 三. 判断题 sin. lim =. e y = 的凸区间为 +.( ). 有限个无穷小的和仍然是无穷小. ( ).. 函数在一点的导数就是在一点的微分.( ) 4. 若 y = rctn + e, 则 y = (rctn + e ) ( + e ) ( + e ) ( e ).( ) 四. 解答题 e + >. 设 f ( ) =, 当 取何值时, lim f ( ) + + 6. 求 lim.. 证明方程 4 + = 在 (,) 内至少有一个实根. 存在? 4. 证明方程 = sin + b( >, b > ) 至少有一个不大于 b + 的正根. 5. 设 f ( ) = + e k ( ) =, 试确定 k 的值使 () f 在 = 处连续. ( ) 6. 求 d 7. 求 ( + ) d. 8. 设 y = y() 由 y + y = 确定, 求 y = y() 在点 (, ) 处的切线方程和法线方程.
9. 证明 : 若函数 f () 在区间 [, ] 上连续且为奇函数, 则 f ( ) d = 一. 选择题. F. C. A 4. D 5. B 6. C 7. D 8. B 9. C. B. C. B. B 4. D 5. D 6. B 二. 填空题. e. 高等数学 答案 4 考试日期 :4 年 7 月 4 日星期三考试时间 : 分钟
. 4. + C 4. (rccos ) rccos + C 5. (, ) 三. 判断题. F. T. F 4. F 四. 解答题. =. 5.. 根据零点存在定理. 4. 4. 根据零点存在定理. 5. k = 6. ( ) d = + d = ( + ) d 7 = + C 7 = + ln + + C 7. ( + ) d = ( + ) d( + ) = ( + ) + c 6
8. 切线方程为 : y = ; 法线方程为 : y = 9. 证明 : 因为 f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d, 令 = t 带入即可证明. 高等数学 试题 5 考试日期 :4 年 7 月 4 日星期三考试时间 : 分钟 一. 选择题 cos. lim = ( ) A) B) C) D) 不存在. 下列极限等于 的是 ( ). sin sin A) lim B) lim C) lim sin sin D) lim ( ). rcsin d = A) rcsin + + c B) rcsin + C) ( + ) e D) ( + ) d
4. d = ( ) A) B) 4 C) 4 D) 4 5. 设 f ( ) = sin b, 则 f ) d = ( ( ) A) cosb sin b + C B) cosb cosb + C b b C) b cosb sinb + C D) b sin b bcosb + C 6. 设 f ( t) dt = e, 则 () = f ( ) A) e B) e C) e D) e 7. ( sin ) d = ( ) A) B) C) D) 8. ln( + + ) d = ( ) A) B) C) D) 9. 若 f ( ) =, 则 f d + ( ) 为 ( ) A) B) C) ln D) ln. 设 () f 在区间 [ b], 上连续, F ( ) f ( t) dt( b), 则 F () 是 f () 的 ( ). = A) 不定积分 B) 一个原函数 C) 全体原函数 D) 在[, b] 上的定积分. y = sin, 则 y = ( ). A) cos B) cos C) cos D),. 设函数 f ( ) = + + b, >. 在 = 处可导, 则有 ( ) cos A) =, b = B) =, b = C) =, b = D) =, b =
. y = 在区间 [, ] 上应用罗尔定理, 结论中的点 ξ=( ). + A B C D 4 4. 曲线 y = e + ( +) 的凹区间是 ( ) A (, ); B ( ;, + C (, ) ; D ( ) 5. 函数 y = 4 + 5在区间,] A 4; B ; C ; D [ 上的最大值为 ( ) 二. 填空题. + lim =. ( )( + ). 当 时, cos. 若 f ( ) e d = e + C, 则 f ( ) d = 4. d = + cos 5. lim = sin 与 sin 为等价无穷小, 则 =. 三. 判断题. y = ln 是奇函数. ( ) +. 设 ( ).. 若函数 4. f 在开区间 (, ) b 上连续, 则 ( ) f 在 (, ) b 上存在最大值 最小值.( ) f ( ) 在 处连续, 则 f ( ) 在 处极限存在. ( ) 4. 函数 f ( ) 在 (, b) 内连续, 则 f ( ) 在 (, b) 内必有界. ( ) 5. d = ( > ). ( )
四. 解答题. 求 lim( 5 ) +. 求 lim ( + ) +. sin m. 求 lim sin n, 其中 m, n 为自然数.. 4. 求 cos( ) d 5. 5. 比较大小 d, d. sin, < 6. 设 f ( ) =, 求 f ( ) +, 7. 7. 计算 sin d. sin cos 8. 计算 d sin + cos 9. 设 (). f (). f 在 [,] 上具有二阶连续导数, 若 ( ) = f,[ f ( ) + f ( )]sin d = 5, 求 一. 选择题. B. D. A 高等数学 答案 5 考试日期 :4 年 7 月 4 日星期三考试时间 : 分钟
4. D 5. C 6. C 7. A 8. A 9. D. B. C. A. B 4. D 5. C 二. 填空题. 4. 4. C + 4. 6 5. 三. 判断题. T. F
. T 4. F 5. F 四. 解答题. e. lim ( + ) + = e sin m sin( mt + m ). 令 t =, lim = lim = ( ) sin n t sin( nt + n ) m n m n 4. cos( ) d = cos( ) ( ) d = sin( ) + C 5. d d 6. sin + < cos, f ( ) =, > 不存在, = 7. 解 : sin d. = sin cos 8. d = d + = + + C + (sin cos ) ln sin cos sin cos sin + cos 9. 解 : f ( )sin d = f ( ) d( cos ) = f ( ) f () f ( )sin d 所以 f ( ) =