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1 壹 基本理念 數學的學習注重循序累進的邏輯結構, 因此, 過去國內外數學教材的演進, 概遵循此邏輯結構, 以保證數學教育的穩定性 再者, 數學是較能進行國際性評比的學習領域, 教學的成效亦有較客觀的標準, 因此, 數學教育成效的評估應有其客觀基礎 數學之所以被納入國民教育的基礎課程, 有三個重要的原因 : 一 數學是人類最重要的資產之一 數學被公認為科學 技術及思想發展的碁石, 文明演進的指標與推 手 數學結構之精美, 不但體現在科學理論的內在結構中及各文明 之建築 工技與藝術作品上, 自身亦呈現一種獨特的美感 二 數學是一種語言 簡單的數學語言, 融合在人類生活世界的諸多面向, 宛如另一種 母語 精鍊的數學語句, 則是人類理性對話最精確的語言 從科 學的發展史來看, 數學更是理性與自然界對話時最自然的語言 三 數學是人類天賦本能的延伸 人類出生之後, 即具備嘗試錯誤 尋求策略 解決問題的生存本能, 並 具備形與數的初等直覺 經過文明累積的陶冶與教育, 使這些本能得以 具體延伸為數學知識, 並形成更有力量的思維能力 九年一貫課程強調以學習者為主體, 以知識的完整面為教育的主軸, 以終身學習為教育的目標 在進入二十一世紀且處於高度文明化的世界中, 數學知識及數學能力, 已逐漸成為日常生活及職場裡應具備的基本能力 基於以上的認知, 國民教育數學課程的目標, 須能反映下列理念 :( 一 ) 數學能力是國民素質的一個重要指標 ;( 二 ) 培養學生正向的數學態度, 了解數學是推進人類文明的要素 ;( 三 ) 數學教學 ( 含教材 課本及教學法 ) 應配合學童不同階段的需求, 協助學童數學智能的發展 ;( 四 ) 數學作為基礎科學的工具性特質 基於上述理念, 國民教育階段協助學童數學智能的發展, 最為需要長期及多 面向的關照, 茲闡述如下 :

2 1. 素質指標 : 要把每一位學生都帶上來, 是九年一貫及國家教育政策既有的理念 在數學教育裡, 強調每個學生都有權利要求受到良好的數學訓練, 並充分認識重要的數學概念及提昇厚實數學能力 教育應提供學生做有意義及有效率學習的機會, 使學生能學好重要的核心數學題材, 因為這些重要的數學概念和精熟的演算能力, 是九年一貫所強調 帶著走 的能力 2. 能力發展 : 學生能力的發展始於流利的基礎運算和推演 對數學概念的理解, 然後懂得利用推論去解決數學問題, 包括理解和解決日常問題, 以及在不熟悉解答方式時, 懂得自尋解決問題的途徑 抽象化能力始於能運用符號 記號 模型 圖形或其他數學語言 清楚傳達量化 邏輯關係 發展邏輯思考, 用來分析證據 提出支持或否定假設的論點 啟發學生自行在不同數學概念之間做連結, 並連結數學與其他學習領域 學生要能將數學運用在日常生活中, 學習欣賞數學 從而發展探究數學以及與數學相關學科的興趣 3. 能力主軸 : 除了數學知識外, 演算能力 抽象能力及推論能力的培養是整個數學教育的主軸 這三者是連貫而非獨立分開的, 也是培養學生數學能力的三個具體面向 所謂 數學能力, 是指對數學掌握的綜合性能力以及對數學有整體性的感覺 在學習數學時, 一般重視的是觀念和演算, 但學生的數學經驗 ( 或數學感覺 ) 的培養卻是同等重要 要確保學生能學好新數學題材的要素之一, 旨在如何引導並利用學生的前置經驗 ( 或感覺 ), 這種數學的經驗或感覺就是數學的直覺或直觀 學生數學能力的深化, 奠基在揉合舊有的直觀和新的觀念或題材, 進而擴展成一種新的直觀 在認知能力上, 直觀是思維流暢的具體展現 ; 在能力培養上, 直觀讓學生能從根本上, 擺脫數學形式規則的束縛, 豐富學童在抽象層次上的想像力與觀察能力, 這二者是兒童數學智能發展中的重要指標 4. 演算能力 : 傳統數學教學上, 常把觀念與演算截然二分 然數學運算或計算並不只是機械式計算操作而已 所謂能熟練數學的運算或計算, 係指在能夠理解數學概念或演算規則的情況下, 所進行的純熟操作 這種透過理解並能將觀念與計算結合的能力, 才是演算能力 某類型數學問題演算的純熟, 常能同時促使新舊數學觀念的連結與落實 演算亦是學童獲得新數學經驗的方法, 新的經驗將會再形成學生下一階段新主題學習所需的具體經驗 以傳統的直式乘 除法為例, 透過這種演算法, 學童能充分運用加減法以及個位數乘法的能力 ; 更重要的是能養成簡單心算的能力, 進而勇於累積計算多位數的經驗 這種能力能讓學童對數字的內在邏輯有較流暢的感覺, 而這種流暢感覺的回饋, 則更能增強學童的自信心 相反的, 沒有效率 容易造成錯誤的演算法, 卻會加深學習的沮喪感, 使學童逐漸放棄學習 5. 數學溝通能力 : 溝通包括理解與表達兩種能力, 所以, 數學溝通一方面要

3 能了解別人以書寫 圖形, 或口語中所傳遞的數學資訊, 另一方面, 也要能以書 寫 圖形, 或口語的形式, 運用精確的數學語言表達自己的意思 6. 教材教法 : 數學課程的規劃 教科書呈現的方式及教學法均同等重要 能力指標 課程規劃與課本編排均要有合理性 課程 教學 教科書 ( 包括教科書的文字 ) 都是學生學習環境的一環, 合理審慎地處理這些環節, 將能讓學生專注於學習, 減少學生失誤的挫折, 提昇學生的學習興趣 這三者的視野, 都必須涵蓋整體教育過程 例如, 在了解或歸納某些問題時, 情境雖然有別, 但其解題方式卻可能相似 要培養這種抽象能力, 必須要有比較長期性的規劃 在傳統上, 應用問題及其解題的教學, 是小學生培養這種抽象能力的好方法 雖然, 這些應用問題在進入國中後, 都可運用代數方法來解答, 但小學應用問題的教學, 是利用兒童的生活經驗 直觀和 ( 在培養中的 ) 抽象思考方法揉合在一起的活動 這是兒童在國中學習抽象的代數以及其它學科 ( 例如理化 ) 時, 絕佳的前置經驗, 如同在能力主軸裡所強調的, 這種直觀的培養, 將是學童在國中學習好壞的基礎 因此, 我們應該在小學教育中, 放入適當的應用解題的題材 同樣地, 培養抽象能力基礎的生活化情境, 必須隨年級的增加與學生抽象能力的提高, 作合理的調整, 避免讓生活情境過分干擾數學的學習 7. 教師關懷 : 數學能力的養成是一個很複雜的過程, 而且經常因人而異, 因此任何單一的教本以及單一的教學法, 都無法獨斷地兼顧各人的學習, 甚至個人各時期的發展 除專業素養外, 教師對學童的愛與關懷, 是在數學學習過程中, 幫助兒童渡過難關最重要的助力 當學習新的數學概念 新的演算規則, 甚至舊題材的新表示方式時, 學童都須藉由舊有的數學經驗來統合成新的直覺或邏輯經驗, 而數學精確語言的抽象本質, 常會加深學童學習的困難 這時, 唯有依靠教師敏銳的觀察與分析, 貼心地協助學生, 結合其舊有的經驗往前到新的經驗, 這正是因材施教的要點 老師的關懷, 能讓學生對新的問題抱持著好奇心及擁有努力尋求問題的解答之意志力 學生具備這樣的學習態度, 絕對是正面的 近年來許多老師努力採取和學童雙向溝通的教學方式, 這是國內教學法非常積極且正面的發展 8. 對家長的建議 : 對於想輔導學童學習數學的家長, 須以 學習數學應該是一種快樂的經驗 作為座右銘 在做家庭功課時, 讓學童在專心一致的情境下學習數學, 才能培養他們對數學的正面情緒與感覺 若心緒不集中, 就容易造成計算失誤, 導致過多的挫折感 ; 而負面情緒的累積, 則容易使學生放棄數學 當小孩的學習遭遇瓶頸或成績低落時, 家長不宜過度焦慮, 在督導小孩學習時, 家長仍應盡量避免負面的情緒, 不宜無理的強迫小孩作更多的學習 如果家長能用鼓勵的態度, 深入了解小孩的學習困難, 以小孩本身可理解的經驗做基礎, 循序漸進的引導小孩走出困境 ( 而不是死板的教導 ), 將比較有正面的效益

4 9. 數學史的重要性 : 在教師教學裡, 引進與主題相關的數學史題材, 對學童的學習會有很正面的意義, 尤其能協助學童將抽象觀念具體化 因為不論在科技應用層面或思想突破方面, 數學重要概念的演進確有其實用面的考量, 因此提供具啟發性的數學史方面的讀物實屬必要 以上所述都是在局部層次上如何協助學童落實數學能力 然而, 整個大環境的經營, 例如學校行政的支持 教學品質的改善等, 亦不能忽略, 這些是數學教學的品質能否提昇的重要關鍵 為了協助學童, 教師與家長必須建造一個開放且豐富的數學資訊網路, 包括大量的題庫 進階數學讀物 教師專業期刊 數學教學資源平台 教學研究資料的透明化等 藉由各種資訊網路, 讓教師能擁有豐富的參考資料, 並與其他教師分享教學經驗 ; 家長能有足夠的資訊來輔助子女學習, 而且學童能據以自學 如能建立豐富且多元發展方向的流通資訊, 對教學品質的促進將有明顯的效應 貳 課程目標 基於前節所述的基本理念, 課程目標的規劃不僅應反映數學學習的特性, 亦應考量環境條件的限制 首先是教學時數的限制 目前國民中小學數學領域教學的時數每週三至四節 然而, 數學領域新題材的學習 ( 包括操作觀察 概念學習 新演算方法或應用問題解題等 ), 往往需要較寬裕的時間來融會貫通 ; 而且, 數學領域相較於其他領域學習場所多樣化的特質, 其學習仍以課堂活動為主體, 家庭作業與溫習僅能輔助學習, 因此上課時數將直接影響數學教學的成效 在既有限制之下, 九年一貫數學領域的課程綱要, 是由下列四個原則來界定 : 一 參考施行有年且有穩定基礎的傳統教材 二 採用國際間數學課程必備的核心題材 三 考慮數學作為科學工具性的特質 四 現有學生能夠有效學習數學的一般能力 具體而言, 九年一貫數學學習領域的教學總體目標為 : (1) 培養學生的演算能力 抽象能力 推論能力及溝通能力 (2) 學習應用問題的解題方法 (3) 奠定下一階段的數學基礎 (4) 培養欣賞數學的態度及能力

5 其中, 國民小學階段的目標為 : (5) 在第一階段 ( 一至三年級 ) 能掌握數 量 形的概念 (6) 在第二階段 ( 四至五年級 ) 能熟練非負整數的四則與混合計算, 培養流暢的數字感 (7) 在小學畢業前, 能熟練小數與分數的四則計算 ; 能利用常用數量關係, 解決日常生活的問題 ; 能認識簡單幾何形體的幾何性質 並理解其面積與體積公式 ; 能報讀簡單統計圖形並理解其概念 國民中學階段的目標則為 : (8) 能理解坐標的表示, 並熟練代數的運算及數的四則運算 (9) 能理解三角形及圓的基本幾何性質, 並學習簡單的幾何推理 (10) 能理解統計 機率的意義, 並認識各種簡易統計方法

6 參 能力指標 本綱要能力指標係參酌施行有年且有穩定基礎的傳統教材 國際間數學課程 必備的核心題材 數學作為科學工具性的特質 現有學生能夠有效學習數學的一 般能力等原則進行修訂 數學領域將九年國民教育區分為四個階段 : 階段一為一至三年級, 階段二為 四 五年級, 階段三為六 七年級, 階段四為八 九年級 另將數學內容分為數 與量 幾何 代數 統計與機率 連結等五大主題 前四項主題的能力指標以三碼編排, 其中第一碼表示主題, 分別以字母 N S A D 表示 數與量 幾何 代數 和 統計與機率 四個主題 ; 第二碼表示階段, 分別以 1, 2, 3, 4 表示第一 二 三和四階段 ; 第三碼則是能力指標的流水號, 表示該細項下指標的序號 雖以主題與階段來區分, 仍有若干能力指標採跨主題方式同時編列, 如 數與量 幾何, 以強調其連結, 此類指標皆以相關連結編碼註記 再者, 由於 量 的教學 ( 除 時間 外 ) 概皆遵循固定的發展過程, 我們以同樣的指標 (N-1-15, N-1-16) 來描述 量 的發展 但各類 量 的成熟早晚有別, 因此部分 量 的完成, 會延續到第二階段, 相關細節則於本章第三節 分年細目 中以 (N-1-15#, N-1-16#) 註明 此外, 數學內部的連結可貫穿前述四個主題, 來強調解題能力的培養 ; 數學外部的連結則強調生活及其他領域中數學問題的察覺 轉化 解題 溝通 評析諸能力的培養 具備這些能力, 一方面增進學生的數學素養, 能適切地應用數學, 來提高生活品質, 另一方面也能加強其數學的思維, 有助於個人在生涯中求進一步的發展 因此, 我們仍沿用暫行綱要的方案, 不對連結的能力指標加以分段, 各階段四個主題的能力要與連結的能力相配合培養, 而連結的能力經過各階段後會愈來愈強 連結的能力指標用三碼表示, 第一碼表連結 (C), 第二碼表察覺 (R) 轉化 (T) 解題(S) 溝通 (C) 評析(E), 而第三碼則是流水號 以下先就五大主題條列數學領域之能力指標, 再依階段與年級條列能力指標 及其細目

7 一 五大主題能力指標 數與量 N-1-01 能說 讀 聽 寫一萬以內的數, 比較其大小, 並作位值單位的換算 N-1-02 能理解加法 減法的意義, 解決生活中的問題 N-1-03 能理解乘法的意義, 解決生活中簡單整數倍的問題 N-1-04 能理解除法的意義, 解決生活中的問題, 並理解整除 商與餘數的概念 N-1-05 能熟練加減直式計算 N-1-06 能理解九九乘法 N-1-07 能理解乘除直式計算, 熟練較小位數的乘除直式計算 N-1-08 能在具體情境中, 解決簡單兩步驟問題 N-1-09 能在具體情境中, 初步認識分數, 並解決同分母分數的比較與加減問題 N-1-10 能認識一位小數, 並作比較與加減計算 N-1-11 能由長度測量的經驗, 透過刻度尺的方式來認識數線, 並標記整數值 N-1-12 能在數線上作整數加 減的操作 N-1-13 能報讀時刻, 認識常用的時間單位, 並做時或分同單位的加減計算 N-1-14 能對兩個同類量作直接比較 N-1-15 能作兩個同類量的間接比較與個別單位的比較 N-1-16 能使用日常測量工具進行實測活動, 理解其單位和刻度結構, 並解決同單位量的比較 加減與簡單整數倍的問題 N-1-17 能做量的估測 N-2-01 能透過位值概念, 延伸整數的認識到大數, 並作位值單位的換算 N-2-02 能熟練整數加 減 乘 除的直式計算 N-2-03 能熟練整數四則混合運算, 並解決生活中的問題 N-2-04 能理解因數 倍數 公因數與公倍數 N-2-05 能用四捨五入法, 對某數在指定位數取概數, 並作加 減 乘 除之估算 N-2-06 能理解分數之 整數相除 的意涵

8 N-2-07 能認識真分數 假分數與帶分數, 作同分母分數的比較 加減與整數倍計算, 並解決生活中的問題 N-2-08 能理解等值分數 約分 擴分的意義 N-2-09 能理解通分的意義, 並用來解決異分母分數的比較與加減問題 N-2-10 能認識多位小數, 理解其比較, 及用直式處理加 減與整數倍的計算, 並解決生活中的問題 N-2-11 能理解分數乘法的意義及計算方法, 並解決生活中的問題 N-2-12 能用直式處理乘數是小數的計算, 並解決生活中的問題 N-2-13 能做分數與小數的互換, 並標記在數線上 N-2-14 能認識比率及其在生活中的應用 N-2-15 能認識測量的普遍單位, 並處理相關的計算問題 N-2-16 能理解普遍單位間的關係, 並在描述一個量時, 作不同單位間的換算 N-2-17 能理解長方形面積 周長與長方體體積的公式 (S-2-07) N-2-18 能理解容量 容積和體積間的關係 N-2-19 能運用切割重組, 理解三角形 平行四邊形與梯形的面積公式 (S-2-08) N-3-01 能認識質數 合數, 並做質因數分解 N-3-02 能理解最大公因數 最小公倍數與兩數互質的意義, 並用來將分數約成最簡分數 N-3-03 能理解除數為分數的意義及計算方法, 並解決生活中的問題 N-3-04 能用直式處理除數為小數的計算, 並解決生活中的問題 N-3-05 能理解比 比例 比值與正 反比的意義, 並解決生活中的問題 N-3-06 能理解速度的概念與應用, 認識速度的普遍單位及換算, 並處理相關的計算問題 N-3-07 能熟練比例式的基本運算 N-3-08 能認識負數, 並將負數標記在數線上, 以理解正負數之比較 N-3-09 能理解加 減運算在數線上的對應操作 N-3-10 能理解絕對值的意義 N-3-11 能熟練正負數的混合四則運算 N-3-12 能認識指數的記號與指數律 N-3-13 能認識科學記號, 並理解其運算規則 N-3-14 能理解生活中常用的數量關係, 並恰當運用於解釋問題或將問題列成算式 (A-3-05)

9 N-3-15 能以適當的正方形單位, 對曲線圍成的平面區域估算其面積 (S-3-03) N-3-16 能理解圓面積與圓周長的公式, 並計算簡單扇形面積 (S-3-04) N-3-17 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積 (S-3-06) N-4-01 能認識二次方根及其近似值 N-4-02 能理解二次方根的四則運算 N-4-03 能辨識具規則性的數列 N-4-04 能理解等差數列的樣式 規則性及未知量 N-4-05 能辨識等差級數的樣式 規則性及理解未知量求法 幾何 S-1-01 能由物體的外觀, 辨認 描述與分類簡單幾何形體 S-1-02 能描繪或仿製簡單幾何形體 S-1-03 能認識周遭物體中的角 直線和平面 S-1-04 能認識平面圖形的內部 外部及其周界 S-1-05 能透過操作, 將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形 S-1-06 能描述物體的相對位置 S-1-07 能認識生活周遭中水平 鉛直 平行與垂直的現象 S-2-01 能運用簡單幾何形體的組成要素, 作不同形體的分類 S-2-02 能理解垂直與平行的意義 S-2-03 能透過操作, 認識簡單平面圖形的性質 S-2-04 能認識平面圖形全等的意義 S-2-05 能理解旋轉角的意義 S-2-06 能理解平面圖形的線對稱關係 S-2-07 能理解長方形面積 周長與長方體體積的公式 (N-2-17) S-2-08 能運用切割重組, 理解三角形 平行四邊形與梯形的面積公式 (N-2-19) S-3-01 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題 S-3-02 能認識平面圖形放大 縮小對長度 角度與面積的影響, 並認識比例尺 S-3-03 能以適當的正方形單位, 對曲線圍成的平面區域估算其面積 (N-3-15) S-3-04 能理解圓面積與圓周長的公式, 並計算簡單扇形面積 (N-3-16)

10 S-3-05 能認識直圓錐 直圓柱與直角柱 S-3-06 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積 (N-3-1) S-4-01 能利用形體的幾何性質來定義某一類形體 S-4-02 能指出合於所給定性質的形體 S-4-03 能描述複合形體構成要素間的可能關係 S-4-04 能利用形體的性質解決幾何問題 S-4-05 能運用面積計算導出勾股定理 S-4-06 能理解平面上兩直線互相平行 垂直的概念 S-4-07 能根據直尺 圓規操作過程的敘述, 完成尺規作圖 S-4-08 能理解三角形的幾何性質 S-4-09 能理解多邊形的幾何性質 S-4-10 能辨識一個敘述及其逆敘述間的不同 S-4-11 能理解平行線的定義與相關性質 S-4-12 能檢驗兩平面圖形是否相似 S-4-13 能運用相似三角形的性質進行測量 S-4-14 能理解圓的幾何性質 S-4-15 能利用三角形及圓的性質作推理 代數 A-1-01 能在具體情境中, 認識等號兩邊數量一樣多的意義與 < = > 的遞移律 A-1-02 能將具體情境中的單步驟問題列成算式填充題, 並解釋式子與原問題情境的關係 A-1-03 能在具體情境中, 認識加法的交換律 結合律 乘法的交換律, 並運用於簡化計算 A-1-04 能理解加減互逆, 並運用於驗算與解題 A-1-05 能在具體情境中, 認識乘除互逆 A-2-01 能在具體情境中, 理解乘法結合律 乘法對加法的分配律與其他乘除混合計算之性質, 並運用於簡化計算 A-2-02 能理解乘除互逆, 並運用於驗算與解題 A-2-03 能解決用未知數符號列出之單步驟算式填充題

11 A-2-04 能使用中文簡記式記錄常用的公式 A-3-01 能做基本的代數運算 A-3-02 能理解並應用等量公理 A-3-03 能用 x y 等符號表徵生活中的未知量及變量 A-3-04 能用含未知數的等式或不等式, 表示具體情境中的問題, 並解釋算式與原問題情境的關係 A-3-05 能理解生活中常用的數量關係, 並恰當運用於解釋問題或將問題列成算式 (N-3-14) A-3-06 能發展策略, 解決含未知數之算式題, 並驗算其解的合理性 A-3-07 能運用變數表示式, 說明數量樣式之間的關係 A-3-08 能熟練一元一次方程式的解法 A-3-09 能檢驗 判斷一元一次不等式的解並描述其意義 A-3-10 能理解二元一次方程式的意義 A-3-11 能理解平面直角座標系, 並畫出線型函數圖形 A-3-12 能運用直角座標系及方位距離來標定位置 A-3-13 能熟練二元一次聯立方程式的解法並理解其解的意義 A-3-14 能利用一次式解決具體情境中的問題 A-4-01 能熟練乘法公式 A-4-02 能認識多項式, 並熟練其四則運算 A-4-03 能理解勾股定理及熟練其應用 A-4-04 能熟練多項式的因式分解 A-4-05 能熟練一元二次整係數方程式的解法 A-4-06 能理解二次函數的圖形及應用 A-4-07 能理解拋物線之對稱性 統計與機率 D-1-01 能將資料做分類與整理, 並說明其理由 D-1-02 能報讀生活中常見的直接對應 ( 一維 ) 表格 D-1-03 能報讀生活中常見的交叉對應 ( 二維 ) 表格 D-2-01 能認識生活中資料的統計圖 D-2-02 能報讀較複雜的長條圖

12 D-2-03 能整理生活中的資料, 並製成長條圖 D-2-04 能整理有序資料, 並繪製成折線圖 D-3-01 能整理生活中的資料, 並製成圓形圖 D-4-01 能報讀百分位數, 並認識個體在群體中相對地位的情形 D-4-02 能利用統計量, 例如 : 平均數 中位數及眾數等, 來認識資料集中的位置 D-4-03 能利用統計量, 例如 : 全距 四分位距等, 來認識資料分散的情形 D-4-04 能在具體情境中認識機率的概念 連結 察覺 C-R-01 能察覺生活中與數學相關的情境 C-R-02 能察覺數學與其他領域之間有所連結 C-R-03 能了解其他領域中所用到的數學知識與方法 C-R-04 能察覺數學與人類文化活動相關 轉化 C-T-01 能把情境中與問題相關的數 量 形析出 C-T-02 能把情境中數 量 形之關係以數學語言表出 C-T-03 能把情境中與數學相關的資料資訊化 C-T-04 能把待解的問題轉化成數學的問題 解題 C-S-01 能分解複雜的問題為一系列的子題 C-S-02 能選擇使用合適的數學表徵 C-S-03 能熟悉解題的各種歷程 : 蒐集 觀察 臆測 檢驗 推演 驗證 論證等 C-S-04 能運用解題的各種方法 : 分類 歸納 演繹 推理 推論 類比 分析 變形 一般化 特殊化 模型化 系統化 監控等 C-S-05 能了解一數學問題可有不同的解法, 並嘗試不同的解法 C-S-06 能用電算器或電腦處理大數目或大量數字的計算

13 溝通 C-C-01 能了解數學語言 ( 符號 用語 圖表 非形式化演繹等 ) 的內涵 C-C-02 能了解數學語言與一般語言的異同 C-C-03 能用一般語言與數學語言說明情境與問題 C-C-04 能用數學的觀點推測及說明解答的屬性 C-C-05 能用數學語言呈現解題的過程 C-C-06 能用一般語言及數學語言說明解題的過程 C-C-07 能用回應情境 設想特例 估計或不同角度等方式說明或反駁解答的合理性 C-C-08 能尊重他人解決數學問題的多元想法 C-C-09 能回應情境共同決定數學模型中的一些待定參數 評析 C-E-01 能用解題的結果闡釋原來的情境問題 C-E-02 能由解題的結果重新審視情境, 提出新的觀點或問題 C-E-03 能經闡釋及審視情境, 重新評估原來的轉化是否得宜, 並做必要的調整 C-E-04 能評析解法的優缺點 C-E-05 能將問題與解題一般化

14 二 階段能力指標 第一階段能力指標 數與量 N-1-01 能說 讀 聽 寫一萬以內的數, 比較其大小, 並作位值單位的換算 N-1-02 能理解加法 減法的意義, 解決生活中的問題 N-1-03 能理解乘法的意義, 解決生活中簡單整數倍的問題 N-1-04 能理解除法的意義, 解決生活中的問題, 並理解整除 商與餘數的概念 N-1-05 能熟練加減直式計算 N-1-06 能理解九九乘法 N-1-07 能理解乘除直式計算, 熟練較小位數的乘除直式計算 N-1-08 能在具體情境中, 解決簡單兩步驟問題 N-1-09 能在具體情境中, 初步認識分數, 並解決同分母分數的比較與加減問題 N-1-10 能認識一位小數, 並作比較與加減計算 N-1-11 能由長度測量的經驗, 透過刻度尺的方式來認識數線, 並標記整數值 N-1-12 能在數線上作整數加 減的操作 N-1-13 能報讀時刻, 認識常用的時間單位, 並做時或分同單位的加減計算 N-1-14 能對兩個同類量作直接比較 N-1-15 能作兩個同類量的間接比較與個別單位的比較 N-1-16 能使用日常測量工具進行實測活動, 理解其單位和刻度結構, 並解決同單位量的比較 加減與簡單整數倍的問題 N-1-17 能做量的估測 幾何 S-1-01 能由物體的外觀, 辨認 描述與分類簡單幾何形體 S-1-02 能描繪或仿製簡單幾何形體

15 S-1-03 能認識周遭物體中的角 直線和平面 S-1-04 能認識平面圖形的內部 外部及其周界 S-1-05 能透過操作, 將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形 S-1-06 能描述物體的相對位置 S-1-07 能認識生活周遭中水平 鉛直 平行與垂直的現象 代數 A-1-01 能在具體情境中, 認識等號兩邊數量一樣多的意義與 < = > 的遞移律 A-1-02 能將具體情境中的單步驟問題列成算式填充題, 並解釋式子與原問題情境的關係 A-1-03 能在具體情境中, 認識加法的交換律 結合律 乘法的交換律, 並運用於簡化計算 A-1-04 能理解加減互逆, 並運用於驗算與解題 A-1-05 能在具體情境中, 認識乘除互逆 統計與機率 D-1-01 能將資料做分類與整理, 並說明其理由 D-1-02 能報讀生活中常見的直接對應 ( 一維 ) 表格 D-1-03 能報讀生活中常見的交叉對應 ( 二維 ) 表格

16 第二階段能力指標 數與量 N-2-01 能透過位值概念, 延伸整數的認識到大數, 並作位值單位的換算 N-2-02 能熟練整數加 減 乘 除的直式計算 N-2-03 能熟練整數四則混合運算, 並解決生活中的問題 N-2-04 能理解因數 倍數 公因數與公倍數 N-2-05 能用四捨五入法, 對某數在指定位數取概數, 並作加 減 乘 除之估算 N-2-06 能理解分數之 整數相除 的意涵 N-2-07 能認識真分數 假分數與帶分數, 作同分母分數的比較 加減與整數倍計算, 並解決生活中的問題 N-2-08 能理解等值分數 約分 擴分的意義 N-2-09 能理解通分的意義, 並用來解決異分母分數的比較與加減問題 N-2-10 能認識多位小數, 理解其比較, 及用直式處理加 減與整數倍的計算, 並解決生活中的問題 N-2-11 能理解分數乘法的意義及計算方法, 並解決生活中的問題 N-2-12 能用直式處理乘數是小數的計算, 並解決生活中的問題 N-2-13 能做分數與小數的互換, 並標記在數線上 N-2-14 能認識比率及其在生活中的應用 N-2-15 能認識測量的普遍單位, 並處理相關的計算問題 N-2-16 能理解普遍單位間的關係, 並在描述一個量時, 作不同單位間的換算 N-2-17 能理解長方形面積 周長與長方體體積的公式 (S-2-07) N-2-18 能理解容量 容積和體積間的關係 N-2-19 能運用切割重組, 理解三角形 平行四邊形與梯形的面積公式 (S-2-08) 幾何

17 S-2-01 能運用簡單幾何形體的組成要素, 作不同形體的分類 S-2-02 能理解垂直與平行的意義 S-2-03 能透過操作, 認識簡單平面圖形的性質 S-2-04 能認識平面圖形全等的意義 S-2-05 能理解旋轉角的意義 S-2-06 能理解平面圖形的線對稱關係 S-2-07 能理解長方形面積 周長與長方體體積的公式 (N-2-17) S-2-08 能運用切割重組, 理解三角形 平行四邊形與梯形的面積公式 (N-2-19) 代數 A-2-01 能在具體情境中, 理解乘法結合律 乘法對加法的分配律與其他乘除混合計算之性質, 並運用於簡化計算 A-2-02 能理解乘除互逆, 並運用於驗算與解題 A-2-03 能解決用未知數符號列出之單步驟算式填充題 A-2-04 能使用中文簡記式記錄常用的公式 統計與機率 D-2-01 能認識生活中資料的統計圖 D-2-02 能報讀較複雜的長條圖 D-2-03 能整理生活中的資料, 並製成長條圖 D-2-04 能整理有序資料, 並繪製成折線圖

18 第三階段能力指標 數與量 N-3-01 能認識質數 合數, 並做質因數分解 N-3-02 能理解最大公因數 最小公倍數與兩數互質的意義, 並用來將分數約成最簡分數 N-3-03 能理解除數為分數的意義及計算方法, 並解決生活中的問題 N-3-04 能用直式處理除數為小數的計算, 並解決生活中的問題 N-3-05 能理解比 比例 比值與正 反比的意義, 並解決生活中的問題 N-3-06 能理解速度的概念與應用, 認識速度的普遍單位及換算, 並處理相關的計算問題 N-3-07 能熟練比例式的基本運算 N-3-08 能認識負數, 並將負數標記在數線上, 以理解正負數之比較 N-3-09 能理解加 減運算在數線上的對應操作 N-3-10 能理解絕對值的意義 N-3-11 能熟練正負數的混合四則運算 N-3-12 能認識指數的記號與指數律 N-3-13 能認識科學記號, 並理解其運算規則 N-3-14 能理解生活中常用的數量關係, 並恰當運用於解釋問題或將問題列成算式 (A-3-05) N-3-15 能以適當的正方形單位, 對曲線圍成的平面區域估算其面積 (S-3-03) N-3-16 能理解圓面積與圓周長的公式, 並計算簡單扇形面積 (S-3-04) N-3-17 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積 (S-3-06) 幾何 S-3-01 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題 S-3-02 能認識平面圖形放大 縮小對長度 角度與面積的影響, 並認識比例尺

19 S-3-03 能以適當的正方形單位, 對曲線圍成的平面區域估算其面積 (N-3-15) S-3-04 能理解圓面積與圓周長的公式, 並計算簡單扇形面積 (N-3-16) S-3-05 能認識直圓錐 直圓柱與直角柱 S-3-06 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積 (N-3-17) 代數 A-3-01 能做基本的代數運算 A-3-02 能理解並應用等量公理 A-3-03 能用 x y 等符號表徵生活中的未知量及變量 A-3-04 能用含未知數的等式或不等式, 表示具體情境中的問題, 並解釋算式與原問題情境的關係 A-3-05 能理解生活中常用的數量關係, 並恰當運用於解釋問題或將問題列成算式 (N-3-14) A-3-06 能發展策略, 解決含未知數之算式題, 並驗算其解的合理性 A-3-07 能運用變數表示式, 說明數量樣式之間的關係 A-3-08 能熟練一元一次方程式的解法 A-3-09 能檢驗 判斷一元一次不等式的解並描述其意義 A-3-10 能理解二元一次方程式的意義 A-3-11 能理解平面直角座標系, 並畫出線型函數圖形 A-3-12 能運用直角座標系及方位距離來標定位置 A-3-13 能熟練二元一次聯立方程式的解法並理解其解的意義 A-3-14 能利用一次式解決具體情境中的問題 統計與機率 D-3-01 能整理生活中的資料, 並製成圓形圖

20 第四階段能力指標 數與量 N-4-01 能認識二次方根及其近似值 N-4-02 能理解二次方根的四則運算 N-4-03 能辨識具規則性的數列 N-4-04 能理解等差數列的樣式 規則性及未知量 N-4-05 能辨識等差級數的樣式 規則性及理解未知量求法 幾何 S-4-01 能利用形體的幾何性質來定義某一類形體 S-4-02 能指出合於所給定性質的形體 S-4-03 能描述複合形體構成要素間的可能關係 S-4-04 能利用形體的性質解決幾何問題 S-4-05 能運用面積計算導出勾股定理 S-4-06 能理解平面上兩直線互相平行 垂直的概念 S-4-07 能根據直尺 圓規操作過程的敘述, 完成尺規作圖 S-4-08 能理解三角形的幾何性質 S-4-09 能理解多邊形的幾何性質 S-4-10 能辨識一個敘述及其逆敘述間的不同 S-4-11 能理解平行線的定義與相關性質 S-4-12 能檢驗兩平面圖形是否相似 S-4-13 能運用相似三角形的性質進行測量 S-4-14 能理解圓的幾何性質 S-4-15 能利用三角形及圓的性質作推理

21 代數 A-4-01 能熟練乘法公式 A-4-02 能認識多項式, 並熟練其四則運算 A-4-03 能理解勾股定理及熟練其應用 A-4-04 能熟練多項式的因式分解 A-4-05 能熟練一元二次整係數方程式的解法 A-4-06 能理解二次函數的圖形及應用 A-4-07 能理解拋物線之對稱性 統計與機率 D-4-01 能報讀百分位數, 並認識個體在群體中相對地位的情形 D-4-02 能利用統計量, 例如 : 平均數 中位數及眾數等, 來認識資料集中的位置 D-4-03 能利用統計量, 例如 : 全距 四分位距等, 來認識資料分散的情形 D-4-04 能在具體情境中認識機率的概念

22 三 分年細目 本綱要的能力指標係依主題及階段學習能力而訂定, 然因多數指標須採分年進階式教學方能達成其教學目標 因此, 由階段能力指標演繹出更細緻的分年細目及詮釋, 以利分年進階式教學進度目標的明確掌握 能力指標 分年細目與本綱要附錄二 分年細目詮釋 之內容應為教師教學及教科書編輯的主要參考依據 此外, 教師教學及教科書編輯亦可依詮釋內容為基礎, 在深度與廣度方面做適度的延伸 分年細目亦以三碼編排, 其中第一碼表示年級, 分別以 1,,9 表示一至九年級 ; 第二碼表示主題, 分別以小寫字母 n s a d 表示 數與量 幾何 代數 和 統計與機率 四個主題 ; 第三碼則是分年細目的流水號, 表示該細項下分年細目的序號 第一階段 ( 一 二 三年級 ) 一年級 數與量 1-n-01 1-n-02 能認識 100 以內的數及 個位 十位 的位名, 並進行位值單位的換算 能認識 1 元 5 元 10 元 50 元等錢幣幣值, 並做 1 元與 10 元錢幣的換算 對照指標 N-1-01 N-1-01 N n-03 能運用數表達多少 大小 順序 N n-04 能從合成 分解的活動中, 理解加減法的意義, 使用 + - = 作橫式紀錄與直式紀錄, 並解決生活中的問題 N n-05 能熟練基本加減法 N n-06 能作一位數之連加 連減與加減混合計算 N-1-02 N n-07 能進行 2 個一數 5 個一數 10 個一數等活動 N-1-01 N n-08 能認識常用時間用語, 並報讀日期與鐘面上整點 半點的時刻 N-1-13

23 1-n-09 能認識長度, 並作直接比較 N-1-14 S n-10 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較物體的長短 N-1-15 幾何 對照指標 1-s-01 能認識直線與曲線 S s-02 能辨認 描述與分類簡單平面圖形與立體形體 S s-03 能描繪或仿製簡單平面圖形 S s-04 能依給定圖示, 將簡單形體作平面舖設與立體堆疊 S-1-02 S s-05 能描述某物在觀察者的前後 左右 上下及兩個物體的遠近位置 S-1-06 代數 對照指標 1-a-01 能在具體情境中, 認識等號兩邊數量一樣多的意義 N-1-02 A a-02 能在具體情境中, 認識加法的交換律 結合律, 並運用於簡化計算 A a-03 能在具體情境中, 認識加減互逆 A-1-04 統計與機率 對照指標 1-d-01 能對生活中的事件或活動做初步的分類與紀錄 D d-02 能將紀錄以統計表呈現並說明 D

24 二年級 數與量 對照指標 2-n-01 能認識 1000 以內的數及 百位 的位名, 並作位值單位換算 N n-02 2-n-03 能認識錢幣的幣值有 100 元 500 元等, 並作 10 元與 100 元錢幣的換算 能用 < = 與 > 表示數量大小關係, 並在具體情境中認識遞移律 ( 同 2-a-01) N-1-01 N-1-02 N-1-01 A n-04 能熟練二位數加減直式計算 N-1-02 N n-05 能作連加 連減與加減混合計算 N-1-02 N n-06 能理解乘法的意義, 使用 = 作橫式紀錄, 並解決生活中的問題 N n-07 能在具體情境中, 進行分裝與平分的活動 N-1-04 N n-08 能理解九九乘法 N-1-06 A n-09 能在具體情境中, 解決兩步驟問題 ( 加 減與乘, 不含併式 ) N n-10 能在平分的情境中, 認識分母在 12 以內的單位分數, 並比較不同單位分數的大小 N n-11 能認識鐘面上的時刻是幾點幾分 N n-12 2-n-13 2-n-14 能認識 年 月 星期 日, 並知道 某月有幾日 一星期有七天 能理解用不同個別單位測量同一長度時, 其數值不同, 並能說明原因 能認識長度單位 公分 公尺 及其關係, 並能作相關的實測 估測與同單位的計算 N-1-13 N-1-15 N-1-16 N n-15 能認識容量, 並作直接比較 N n-16 能認識重量, 並作直接比較 N n-17 能認識面積, 並作直接比較 ( 同 2-s-05) N-1-14 S

25 幾何 對照指標 2-s-01 能認識周遭物體上的角 直線與平面 ( 含簡單立體形體 ) S s-02 能認識生活周遭中水平 鉛直 平行與垂直的現象 S s-03 能使用直尺畫出指定長度的線段 N-1-16 S s-04 能畫出兩點間的線段, 並測量其長度 N-1-16 S s-05 能認識面積, 並作直接比較 ( 同 2-n-17) N-1-14 S s-06 能由邊長關係, 認識簡單平面圖形與立體形體 N-1-16 S-1-01 代數 2-a-01 2-a-02 能用 < = 與 > 表示數量大小關係, 並在具體情境中認識遞移律 ( 同 2-n-03) 能將具體情境中單步驟的加 減問題列成算式填充題, 並解釋式子與原問題情境的關係 對照指標 N-1-01 A-1-01 A a-03 能在具體情境中, 認識乘法交換律 A a-04 能理解加減互逆, 並運用於驗算與解題 A

26 三年級 數與量 對照指標 3-n-01 能認識 以內的數及 千位 的位名, 並進行位值單位換算 N n-02 能熟練加減直式計算 ( 四位數以內, 和 <10000, 含多重借位 ) N-1-02 N n-03 能熟練三位數乘以一位數的直式計算, 並解決二位數乘以二位數的乘法問題 N-1-03 N n-04 能理解除法的意義, 運用 = 作橫式紀錄 ( 包括有餘數的情況 ), 並解決生活中的問題 N n-05 能熟練三位數除以一位數的直式計算 N-1-04 N n-06 能在具體情境中, 解決兩步驟問題 ( 加 減與除, 不含併式 ) N n-07 3-n-08 3-n-09 能由長度測量的經驗, 透過刻度尺的方式來認識數線, 標記整數值, 並在數線上作比較 加 減的操作 能在具體情境中, 做三位數以內的加減估算, 並用來檢驗答案的合理性 能在具體情境中, 初步認識分數, 並解決同分母分數的比較與加減問題 N-1-11 N-1-12 N-1-02 N n-10 能認識一位小數, 並作比較與加減計算 N n-11 能認識時間單位 日 時 分 秒 及其間的關係, 並作時或分同單位時間量的加減計算 3-n-12 能認識長度單位 毫米, 及 公尺 公分 毫米 間的關係, 並作實測與相關計算 N-1-13 N n-13 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同容器的容量 N n-14 能認識容量單位 公升 毫公升 ( 簡稱 毫升 ) 及其關係, 並作相關的實測 估測與計算 N-1-16 N n-15 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同物體的重量 N n-16 能認識重量單位 公斤 公克 及其關係, 並作相關的實測 估測與計算 N-1-16 N n-17 能認識角, 並比較角的大小 ( 同 3-s-04) N-1-14 N-1-15 S

27 3-n-18 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同面積的大小, 並認識面積單位 平方公分 ( 同 3-s-05) N-1-15 N-1-16 幾何 對照指標 3-s-01 能認識平面圖形的內部 外部與其周界 S s-02 能認識周長, 並實測周長 N-1-16 S s-03 能使用圓規畫圓, 認識圓的 圓心 圓周 半徑 與 直徑 S-1-02 S s-04 能認識角, 並比較角的大小 ( 同 3-n-17) N-1-14 N-1-15 S s-05 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同面積的大小, 並認識面積單位 平方公分 ( 同 3-n-18) N-1-15 N s-06 能透過操作, 將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形 S-1-05 代數 3-a-01 能將具體情境中單步驟的乘 除問題列成算式填充題, 並能解釋式子與原問題情境的關係 對照指標 A a-02 能在具體情境中, 認識乘除互逆 A-1-05 統計與機率 對照指標 3-d-01 能報讀生活中常見的直接對應 ( 一維 ) 表格 D d-02 能報讀生活中常見的交叉對應 ( 二維 ) 表格 D

28 第二階段 ( 四 五年級 ) 四年級 數與量 4-n-01 能透過位值概念, 延伸整數的認識到大數 ( 含 億 兆 之位名 ), 並作位值單位的換算 對照指標 N n-02 能熟練整數加 減 乘 除的直式計算 N n-03 能在具體情境中, 解決兩步驟問題, 並學習併式的記法 ( 包括連乘 連除 乘除混合 ) N-2-03 A n-04 能作整數四則混合計算 ( 兩步驟 ) N-2-03 A n-05 能用四捨五入的方法, 對大數在指定位數取概數, 並做加 減之估算 N n-06 能在平分情境中, 理解分數之 整數相除 的意涵 N n-07 4-n-08 能認識真分數 假分數與帶分數, 熟練假分數與帶分數的互換, 並進行同分母分數的比較 加 減與非帶分數的整數倍的計算 能理解等值分數, 進行簡單異分母分數的比較, 並用來做簡單分數與小數的互換 N-2-07 N-2-08 N n-09 能認識二 三位小數與百分位 千分位的位名, 並作比較 N n-10 能用直式處理整數除以整數, 商為三位小數的計算 N-2-06 N-2-10 N n-11 能用直式處理二 三位小數加 減與整數倍的計算, 並解決生活中的問題 N n-12 能解決複名數的時間量計算, 以及時刻與時間量的加減問題 N n-13 4-n-14 4-n-15 能認識長度單位 公里, 及 公里 與其他長度單位的關係, 並作相關計算 能認識角度單位 度, 並使用量角器實測角度或畫出指定的角 ( 同 4-s-04) 能認識面積單位 平方公尺, 及 平方公分 平方公尺 間的關係, 並作相關計算 N-2-15 N-1-16# S-2-05 N n-16 能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式 ( 同 4-s-09) N-2-17 S-2-07

29 4-n-17 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同體積的大小, 並認識體積單位 立方公分 N-1-15# N-1-16# 幾何 對照指標 4-s-01 能運用 角 與 邊 等構成要素, 辨認簡單平面圖形 S s-02 能透過操作, 認識基本三角形與四邊形的簡單性質 S s-03 能認識平面圖形全等的意義 S s-04 能認識角度單位 度, 使用量角器實測角度或畫出指定的角 ( 同 4-n-14) N-1-16# S s-05 能理解旋轉角的意義 S s-06 能理解平面上直角 垂直與平行的意義 S s-07 能由直角 垂直與平行的概念, 認識簡單平面圖形 S-2-02 S s-08 能利用三角板畫出直角與兩平行線段, 並用來描繪平面圖形 S-2-02 S s-09 能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式 ( 同 4-n-16) N-2-17 S-2-07 代數 4-a-01 4-a-02 能在具體情境中, 理解乘法結合律 先乘再除與先除再乘的結果相同, 也理解連除兩數相當於除以此兩數之積 能將具體情境中所列出的單步驟算式填充題類化至使用未知數符號的算式, 並能解釋式子與原問題情境的關係 對照指標 A-2-01 A a-03 能理解乘除互逆, 並運用於驗算與解題 A a-04 能用中文簡記式表示長方形和正方形的面積公式與周長公式 A-2-04 統計與機率

30 4-d-01 能報讀生活中資料的統計圖, 如長條圖 折線圖與圓形圖等 對照指標 D d-02 能報讀較複雜的長條圖 D

31 五年級 數與量 對照指標 5-n-01 能在具體情境中, 解決三步驟問題 N-2-03 A n-02 能熟練整數四則混合計算 N-2-03 A n-03 能理解因數 倍數 公因數與公倍數 N n-04 能用約分 擴分處理等值分數的換算 N n-05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減 N n-06 能在測量情境中, 理解分數之 整數相除 的意涵 N n-07 能理解乘數為分數的意義及計算方法, 並解決生活中的問題 N n-08 能認識多位小數, 並作比較與加 減的計算, 以及解決生活中的問題 N n-09 能用直式處理乘數是小數的計算, 並解決生活中的問題 N n-10 能用四捨五入的方法, 對小數在指定位數取概數, 並做加 減 乘 除之估算 N n-11 能將分數 小數標記在數線上 N-2-06 N n-12 能認識比率及其應用 ( 含 百分率 折 ) N n-13 能解決時間的乘除計算問題 N n-14 5-n-15 5-n-16 5-n-17 能認識重量單位 公噸 及 公噸 公斤 間的關係, 並作相關計算 能認識面積單位 公畝 公頃 平方公里 及其關係, 並作相關計算 能運用切割重組, 理解三角形 平行四邊形與梯形的面積公式 ( 同 5-s-05) 能認識體積單位 立方公尺, 及 立方公分 立方公尺 間的關係, 並作相關計算 N-2-15 N-2-16 N-2-15 N-2-16 N-2-19 S-2-08 N-2-15 N n-18 能理解長方體和正方體的體積公式 ( 同 5-s-07) N-2-17 S n-19 能理解容量 容積和體積間的關係 N

32 幾何 對照指標 5-s-01 能透過操作, 理解三角形三內角和為 180 度 S s-02 能透過操作, 理解三角形任意兩邊和大於第三邊 S s-03 能認識圓心角, 理解 180 度 360 度的意義, 並認識扇形 S-2-03 S s-04 能認識線對稱, 並理解簡單平面圖形的線對稱性質 S s-05 能運用切割重組, 理解三角形 平行四邊形與梯形的面積公式 ( 同 5-n-16) N-2-19 S s-06 能運用 頂點 邊 與 面 等構成要素, 辨認簡單立體形體 S s-07 能理解長方體和正方體的體積公式 ( 同 5-n-18) N-2-17 S s-08 能認識面的平行與垂直, 並描述正方體與長方體中面與面的平行與垂直關係 S-2-02 代數 對照指標 5-a-01 能在具體情境中, 理解乘法對加法的分配律, 並運用於簡化心算 A a-02 能熟練運用四則運算的性質, 做整數四則混合計算 N-2-03 A a-03 能解決使用未知數符號所列出的單步驟算式題, 並嘗試解題及驗算其解 A a-04 能用中文簡記式表示簡單平面圖形的面積, 並說明圖形中邊長或高變化時對面積的影響 N-2-19 S-2-08 A a-05 能用中文簡記式表示長方體和正方體的體積公式 A-2-04 統計與機率 對照指標 5-d-01 能整理生活中的資料, 並製成長條圖 D d-02 能報讀生活中有序資料的統計圖 D

33 5-d-03 能整理有序資料, 並繪製成折線圖 D

34 第三階段 ( 六 七年級 ) 六年級 數與量 6-n-01 能認識質數 合數, 並作質因數的分解 ( 質數 <20, 質因數 <10, 被分解數 <100) 6-n-02 能認識兩數的最大公因數 最小公倍數與兩數互質的意義, 理解最大公因數 最小公倍數的計算方式, 並能將分數約成最簡分數 對照指標 N-3-01 N n-03 能理解除數為分數的意義及計算方法, 並解決生活中的問題 N n-04 能用直式處理除數為小數的計算, 並解決生活中的問題 N n-05 能作分數的兩步驟四則混合計算 N-3-11 A n-06 能理解等量公理 ( 同 6-a-01) A n-07 能認識比和比值, 並解決生活中的問題 N n-08 能理解速度的概念與應用, 認識速度的普遍單位及換算, 並處理相關的計算問題 N n-09 能理解正比的現象, 並發展正比的概念, 解決生活中的問題 N n-10 6-n-11* 能利用常用的數量關係, 列出恰當的算式, 進行解題, 並檢驗解的合理性 ( 同 6-a-03) 能以適當的正方形單位, 對曲線圍成的平面區域估算其面積 ( 同 6-s-03*) N-3-14 A-3-03 A-3-04 A-3-05 A-3-06 N-3-15 S n-12 能理解圓面積與圓周長的公式, 並計算簡單扇形面積 ( 同 6-s-04) N-3-16 S n-13 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積 ( 同 6-s-06) N-3-17 S-3-06 幾何

35 對照指標 6-s-01 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題 S s-02 6-s-03* 能認識平面圖形放大 縮小對長度 角度與面積的影響, 並認識比例尺 能以適當的正方形單位, 對曲線圍成的平面區域估算其面積 ( 同 6-n-11*) S-3-02 N-3-15 S s-04 能理解圓面積與圓周長的公式, 並計算簡單扇形面積 ( 同 6-n-12) N-3-16 S s-05 能認識直圓錐 直圓柱與直角柱 S s-06 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積 ( 同 6-n-13) N-3-17 S-3-06 代數 對照指標 6-a-01 能理解等量公理 ( 同 6-n-06) A a-02* 6-a-03 能使用未知數符號, 將具體情境中的問題列成兩步驟的算式題, 並嘗試解題及驗算其解 能利用常用的數量關係, 列出恰當的算式, 進行解題, 並檢驗解的合理性 ( 同 6-n-10) A-3-03 A-3-04 A-3-06 N-3-14 A-3-03 A-3-04 A-3-05 A a-04* 能在比例的情境或幾何公式中, 透過列表的方式認識變數 A a-05 能用中文簡記式表示圓面積 圓周長與柱體的體積公式 S-3-04 S-3-06 統計與機率 對照指標 6-d-01 能整理生活中的資料, 並製成圓形圖 D

36 七年級 數與量 7-n-01 能以 正 負 表徵生活中相對的量, 並認識負數是性質 ( 方向 盈虧 ) 的相反 對照指標 N n-02 能認識如 5 及 -5 在數線上的相對位置 N n-03 能在數線上判別整數的大小 N n-04 能在數線上操作簡單的描點, 如 3 ( 2) 5 ( 4) 2 等, 並介紹兩點在數線上的間隔 N n-05 能認識絕對值符號, 並理解絕對值在數線上的圖義 N n-06 能用絕對值的符號表示數線上兩點間的間隔 ( 距離 ) N n-07 能運算絕對值並熟練其應用 N n-08 能判別兩數加 減 乘 除的正負結果並算出其值 N n-09 能理解質數的意義, 並認識 100 以內的質數 N n-10 7-n-11 能理解因數 質因數 倍數 最大公因數和最小公倍數, 並熟練質因數分解的計算方法 能以最大公因數 最小公倍數熟練運用至約分 擴分 最簡分數的計算 N-3-02 N n-12 能理解負數的特性並熟練正負數 ( 含小數 分數 ) 的四則運算 N n 能理解底數為整數且指數為非負整數的運算, 如 ( 5) 等 N n-14 能理解底數為分數且指數為非負整數的計算 N n-15 能用以十為底的指數表達大數或小數 ( 包括日常生活長度 重量 容積等單位, 如奈米 微米 公分或厘米 公尺或米 ) N n-16 能理解比例的意義 ( 以實例說明正比 反比關係的意義 ) N-3-05 N n-17 能熟練比例式的基本運算 ( 含 a:b=c:d a/b=c/d; a:b=c:d ad =bc; a:b=c:d a=bk,c=dk; a/b=c/d ad=bc; a/b= c/d a=bk,c=dk; 比的化簡 ) N n-18 能理解連比和連比例的意義 N

37 7-n-19 能熟練連比例式的應用 如單位換算 三角形面積與邊長或圓面積 與半徑間的變化關係 N-3-05 N-3-07 代數 7-a-01 7-a-02 7-a-03 7-a-04 能由命題中用 x y 等符號列出生活中的變量 並列成算式 能嘗試以代入法或枚舉法求解 並檢驗解的合理性 能熟練符號的代數操作 能由具體情境中列出一元一次方程式 並理解其解的意義 7-a-05 能以等量公理來解一元一次方程式 並作驗算 7-a-06 能利用移項法則來解一元一次方程式 並作驗算 7-a-07 能由具體情境中列出一元一次不等式 7-a-08 能利用移項法則在數線上找出一元一次不等式的解 7-a-09 能由具體情境中描述解的意義 7-a-10 能由具體情境中列出二元一次方程式 並理解其解的意義 7-a-11 能運用直角座標系來標定位置 7-a-12 能認識變數與函數 7-a-13 7-a-14 7-a-15 7-a-16 對照指標 A-3-04 A-3-05 A-3-07 A-3-06 A-3-08 A-3-14 A-3-02 A-3-08 A-3-08 A-3-09 A-3-14 A-3-06 A-3-09 A-3-09 A-3-10 A-3-14 A-3-11 A-3-12 A-3-07 能舉出例子 說明一次函數是一種特殊的比例對應關係 能在直角座標平面上描繪一次函數的圖形 能在直角座標平面上描繪二元一次方程式的圖形 能由具體情境中列出二元一次聯立方程式 並能理解其解的意義 7-a-17 能在直角座標平面上認識二元一次聯立方程式的解 7-a-18 能熟練使用消去法解二元一次聯立方程式 55 A-3-07 A-3-11 A-3-11 A-3-11 A-3-13 A-3-14 A-3-11 A-3-13 A-3-13

38 第三階段 ( 八, 九年級 ) 八年級 數與量 對照指標 8-n-01 能理解二次方根的意義 N n-02 能求二次方根的近似值 N n-03 能理解二次方根最簡式的意義, 並做化簡 N n-04 能理解二次方根的加 減 乘 除規則 N-4-02 A n-05 能在日常生活中, 觀察有次序的數列, 並理解其規則性 N n-06 能觀察出等差數列的規則性 N n-07 能利用首項 公差計算出等差數列的每一項 N n-08 能由觀察和推演, 導出等差級數的公式, 從理解公式到解題, 並能活用於日常生活 N-4-05 幾何 對照指標 8-s-01 能認識生活中的平面圖形 ( 三角形 四邊形 多邊形及圓形 ) S s-02 8-s-03 能認識並定義簡單幾何圖形的點 線 角 ( 含符號 : ABC AB ) S-4-01 能認識圓形的定義及相關名詞 ( 圓心 半徑 弦 直徑 弧 弓形 圓心角 扇形 ) S s-04 能認識尺規作圖 S

39 8-s-05 能利用直角定義兩直線互相垂直, 以及利用垂直於同一直線定義兩直線互相平行 S-4-06 S s-06 能具體說明兩平行線間距離處處相等 S s-07 能熟練基本尺規作圖 S s-08 能認識平行線的基本性質 S s-09 能以最少性質辨認三角形 S-4-01 S s-10 能理解平面圖形線對稱的意義 S s-11 能理解特殊三角形的定義 S s-12 能理解三角形的基本性質 S s-13 能理解特殊三角形的性質 S s-14 能以尺規作圖理解兩個三角形全等的意義 S-4-07 S s-15 能理解三角形全等的性質 S s-16 能理解三角形邊角關係 S s-17 能理解四邊形的基本性質 S-4-01 S s-18 能理解特殊四邊形的定義 S s-19 能作出正方形及平行四邊形的圖形 S-4-06 S s-20 能由面積的關係導出直角三角形三個邊的關係 S-4-05 A s-21 能理解平行線截線性質 : 兩平行線同位角相等 ; 同側內角互補 ; 內錯角相等 S s-22 能理解平行線的判別性質 S s-23 能理解平行四邊形的意義與性質 S-4-01 S s-24 能理解平行四邊形的判別性質 S s-25 能理解平行四邊形的面積公式 S s-26 能理解梯形的意義與性質 ( 包含梯形中線性質 ) S s-27 能利用三角形內角和為 180 度的性質解決多邊形內角和 與外角和定理的問題 S s-28 能辨識一個敘述及其逆敘述間的不同 S s-29 能利用平面圖形的性質解決周長問題 S

40 8-s-30 能利用圓的性質解決扇形面積問題 S s-31 能描述複合平面圖形構成要素間的可能關係 S s-32 能計算複合平面圖形的周長及面積問題 S s-33 能以最少性質辨認立體圖形 S s-34 能描述複合立體圖形構成要素間的可能關係 S s-35 能計算柱體表面積的問題 S s-36 能計算複合立體圖形的體積及表面積問題 S-4-03 S-4-04 代數 8-a-01 2 能熟練二次式的乘法公式, 如 ( a b) ( a b) ( a b)( a b) ( a b)( c d) 2 對照指標 A a-02 能理解簡單根式的化簡及有理化 N-4-02 A a-03 能認識多項式及相關名詞 A a-04 能熟練多項式的加法和減法 A a-05 能熟練多項式的乘法 ( 利用分配律及直式算法來計算 ) A a-06 能熟練多項式的除法 ( 如長除法 分離係數法等 ) A a-07 能理解勾股定理 ( 商高定理 ) S-4-08 A a-08 能由簡單面積計算導出勾股定理 S-4-05 A a-09 能理解勾股定理的應用 S-4-05 A a-10 能理解因式 倍式 公因式與因式分解的意義 A a-11 能利用提出公因式與分組分解法分解二次多項式 A a-12 能利用乘法公式與十字交乘法做因式分解 A a-13 能在具體情境中認識一元二次方程式, 並理解其解的意義 A a-14 能利用因式分解來解一元二次方程式 A a-15 能利用配方法解一元二次方程式 A a-16 能認識判別式, 並利用公式解來解一元二次方程式 A

41 8-a-17 能利用一元二次方程式解應用問題 A

42 九年級 幾何 對照指標 9-s-01 能根據平行線截線性質作推理 S-4-11 S s-02 能對簡單的相似多邊形指出對應邊成比例 對應角相等性質 S s-03 能理解三角形的相似性質 S s-04 能理解平行線截比例線段性質 S s-05 能利用相似三角形對應邊成比例的觀念, 應用於實物的測量 S s-06 能理解直線與圓及兩圓的關係 S s-07 能理解圓的相關性質 S s-08 能理解三角形外心的定義和相關性質 S-4-13 S-4-14 S s-09 能理解三角形內心的定義和相關性質 S-4-13 S-4-14 S s-10 能理解三角形重心的定義和相關性質 S s-11 能以三角形和圓的性質為題材來學習推理 S-4-15 代數 對照指標 9-a-01 能以具體情境來理解二次函數的意義 A a-02 能理解二次函數的樣式並繪出其圖形 A a-03 能利用配方法繪出二次函數的圖形 A a-04 能計算二次函數的最大值與最小值 A a-05 能應用二次函數最大值與最小值的簡單性質 A

43 9-a-06 能理解二次函數的圖形與拋物線的概念 A-4-06 A a-07 能理解拋物線的線對稱性質 A-4-07 統計與機率 9-d-01 能將原始資料整理成次數分配表, 並製作統計圖形, 來顯示資料蘊含的意義 9-d-02 能理解百分位數的概念, 認識第 百分位數, 並製作盒狀圖 9-d-03 9-d-04 9-d-05 能利用較理想化的資料說明常見的百分位數, 來認識一筆或一組資料在所有資料中的位置 能認識平均數 中位數與眾數均可以某個程度地表示整筆資料集中的位置 能認識平均數 中位數與眾數在不同狀況下, 被使用的需求度有些微的差異 對照指標 D-4-01 D-4-01 D-4-01 D-4-02 D d-06 能認識全距, 並理解全距大小的意義 D d-07 能認識第 四分位數, 及四分位距 D d-08 能理解當存在少數特別大或特別小的資料時, 四分位距比全距更適合來描述整組資料的分散程度 D d-09 能以具體情境介紹機率的概念 D d-10 能進行簡單的實驗以了解抽樣的不確定性 隨機性質等初步概念 D

44 肆 能力指標與十大基本能力的關係 基本能力能力指標一 了解自我與發展潛能 了解自己在數量或形上的能力及思考型態的傾向 挑戰並增加自我的數學能力二 欣賞 表現與創新 以數學眼光欣賞各領域中的規律 領會數學本身的美 以數學有組織 有效地表現想法三 生涯規劃與終身學習 具有終身學習所需的數學基本知識 養成凡事都能嘗試用數學的觀點或方法來切入的習慣四 表達 溝通與分享 結合一般語言與數學語言說明情境及問題 從數學的觀點推測及說明解答的屬性及合理性 與他人分享思考歷程與成果五 尊重 關懷與團隊合作 互相幫助解決問題 尊重同儕解決數學問題的多元想法 關懷同儕的數學學習六 文化學習與國際了解 連結數學發展與人類文化活動間的互動 與其他領域 ( 語文 社會 自然與生活科技 藝術與人文 健康與體育 綜合活動 ) 連結七 規劃 組織與實踐 組織數學材料 以數學觀念組織材料 以數學語言與數學思維作系統規劃八 運用科技與資訊 將各領域與數學相關的資料資訊化 用電腦處理數學中潛在無窮類形的問題九 主動探索與研究 形成問題 蒐集 觀察 實驗 分類 歸納 類比 分析 轉化 臆測 推論 推理 監控 確認 反駁 特殊化 一般化十 獨立思考與解決問題 進行數學式思維 以數 形 量的概念與方法探討並解決問題

45 伍 實施要點 本實施要點包括 教學 評量 教科書 與 電腦與電算器 四部分 一 教學 (1) 課程綱要能力指標的訂定, 以該階段或分年結束時, 學生應具備的數學能力為考量 教師應依據能力指標及其詮釋, 規劃課程 教案或依照教科書進行教學 教材選取應配合地方生活環境和學生實際生活, 選擇適當而有趣的題材, 並布置適當的學習環境, 以利於教學 (2) 能力指標與分年細目是離散的條目, 但教學與學習是連續的過程 階段或分年的規定, 強調的是在該階段或分年中, 應以條目內容為重點, 發展並完成 但是基於學習的需求, 教師仍然可以依自己的經驗, 先作部分的跨階段或跨年的前置處理, 或作後續的補強教學 (3) 教師教學應以學生為主體, 以學生的數學能力發展為考量 數學學習節奏之疏熟快慢, 經常因人而異 教師應避免將全班學生, 當做均質的整體, 並應透過教學的評量, 分析學生的學習問題, 做適當的診斷 導引與解決 (4) 課程綱要的制訂, 並未預設特定的教學法, 反而希望教師能依學生的年齡 前置經驗 授課主題特性與教學現場的狀況, 因時制宜, 採用教師本身覺得恰當或擅於處理的教學法, 順暢地進行教學 (5) 教學活動的設計應注重不同階段的學習型態, 並與教學目標配合 (6) 數學教學應注重數 量 形的聯繫, 讓學生在實作 實測與直覺中, 獲得數 量 形及其相互關係的概念, 並逐步抽象化與程序化成為精鍊有效的數學語言, 再經由反思 論證 練習與解題, 讓學生逐步穩定掌握其概念, 作為進一步學習的基礎 (7) 教學過程可透過引導 啟發或教導, 使學生能在具體的問題情境中, 順利以所學的數學知識為基礎, 形成解決問題所需的新數學概念, 並有策略地選擇正確又有效率的解題程序 教師可提供有啟發性的問題 關鍵性的問題 現實生活的應用問題, 激發學生不同的想法 但應避免空洞的或無意義的開放式問題, 也避免預設或過早提出解題方式和結果 (8) 教師應協助學生體驗生活情境與數學的連結過程, 培養學生能以數學的觀點考察周遭事物的習慣, 並培養學生觀察問題中的數學意涵 特性與關係, 養成以數學的方式, 將問題表徵為數學問題再加以解決的

46 習慣, 以提高應用數學知識的能力 同時在發展解題策略的過程中, 加深對數學概念之理解 (9) 當學生學習數學時, 在生活應用解題與抽象形式能力兩課題間, 必須來回往復地相互加強, 才能真正順利地發展數學能力, 不必過度執著於生活情境, 干擾甚至忽略學生抽象形式能力的發展 ; 也不應一味強調抽象程序的學習, 妨礙學生將數學應用於日常生活解題的能力 (10) 數學與其他學科的差異, 在於其結構層層累積, 而其發展既依賴直覺又需要推理 因此教師不宜負面地將學生的錯誤皆視為犯錯, 而應考察學生發生問題的根源 ( 語言未溝通 肆意擴張約定 推理的謬誤等 ), 並針對問題協助學生 因此教學時, 宜提供充足的時間, 鼓勵學生說明其理由與想法, 肯定其正確的巧思, 或用關鍵的例子, 釐清其錯誤 (11) 要學好數學, 仰賴學生在各課題的學習, 最後都能收斂連結為對數學的整體感或直覺, 以作為下一個課題學習的基礎 整體感的自信, 相當依賴於學生對於相關程序 ( 計算方式 解題方式等 ) 的熟練, 而這種熟練, 則需要教師能給予學生有啟發性的練習, 讓學生從各種練習中, 沈澱自己新學的概念, 並能夠與原先的數學知識相連結 (12) 教師應對學生強調驗算的重要性 這能讓學生理解各運算之內在關係, 發展對問題解答之不同檢查策略, 進而理解問題中各數學表徵的關係 在驗算有問題時, 透過懷疑 檢查 判斷的過程, 更能強化學生對數學確定性與內在連結的認識 驗算習慣的養成, 也能讓學生更專心與自信 (13) 為了貫徹將每一位學生帶上來的目標, 教師在教學時, 應儘量以全體學生學好數學為目標, 依據對學生的評量, 因材施教 針對未能達成階段性目標 ( 例如小四整數加 減 乘 除直式計算, 小五整數四則混合運算或小六分數四則運算 ), 有待加強的學生, 教育行政單位更應專款補助學校, 做補強措施 二 評量 (1) 評量是檢驗教學效果的過程, 教師應透過各種評量方式, 來改善自己的教學 評量有多種方式, 譬如紙筆測驗 實測 討論 口頭回答 視察 作業 專題研究或分組報告等 教師宜視教學現場的需要, 選擇適切的評量方式 (2) 教學評量宜同時關照到學習成就與學習歷程, 分析學生是否能達到能力指標的要求 教師應以教材內容 教學目標與相關課程能力指標, 訂定評量的標準 教師不宜在教學評量中, 出現困難度高的問題, 因為教學評量並非常模參照類的考試, 不該強調全班 全校的鑑別 細目詮釋中所附之評量範例, 可作為教師命題難度的參考

47 (3) 針對學童個人的評量結果, 教師可以理解學生既有的知識與經驗, 也可從學生發生的錯誤, 回溯其學習上的問題並加以輔導修正 針對全班評量結果的共通錯誤, 可能反映教師本身教學上的疏失, 並可據以改進 全校評量或全國檢測之結果, 則可能反映課程綱要的問題, 教師可多作回饋, 作為未來數學教育綱要修訂的參考 (4) 評量時, 應注意評量時機的選擇, 避免對評量結果作錯誤或不適當解讀 評量學生的起點行為, 可做為擬定教學計畫之依據 ; 評量學生的學習狀況, 可以及時發現學習困難, 進行日常補救教學 ; 評量學生最後學習所得, 可做為學生學習回饋及輔導學生的參考 (5) 評量時, 應配合評量的目的, 讓問題能恰當反映學生的學習狀態, 並讓所有的評量題型, 發揮該題型的特長 除了單一選擇題與填充題以外的其他題型, 均宜訂定分段給分標準, 依其作答過程的適切性, 給予部分分數, 並讓學生理解其錯誤的原因 三 教科書 (1) 教科書的編寫, 應配合課程綱要之基本理念 課程目標與能力指標, 以協助教師教學 家長輔導與學生 ( 較高年級 ) 自學為目標 (2) 教科書的編寫, 應注意整體結構的有機結合, 在題材的呈現上, 反映出各數學概念的內在連結 並且也應注意在取材上, 能與其他數學主題 日常生活或其他領域的應用, 作自然的連結 (3) 教科書的編寫, 應注意文字的使用, 配合學生的閱讀年齡 四 電腦與電算器 在當前的資訊社會裡, 電腦與電算器已被廣泛使用於生活中 面對大量資 料, 如何處理並獲取有用的資訊, 已成為現代生活中的重要能力 教師應引導學 生正面有效地使用電腦與電算器, 來完成五大主題的學習 基於以上的觀點, 提出下列看法 : (1) 在學生學會基本四則運算與估算後, 學生面對問題時, 應逐漸養成從問題研判適當計算精確度的能力 當此能力成熟, 就可慢慢引入計算的輔助工具, 協助解題 至於牽涉到科學記數與誤差的計算器使用, 則以國中階段實施為宜 (2) 學生應明白, 電算器或電腦固然可以用來減低計算上的負擔, 但是仍然有各種錯誤的可能, 因此仍然要有好的計算 估算甚至檢查策略,

48 來驗證計算結果的合理性 (3) 學生在解決問題時, 可以將其中大量重複 耗時又無意義的計算技術 性處理, 交給電腦來執行

49 陸 附錄附錄一五大主題說明 本附錄包含 數與量 幾何 代數 統計與機率 和 連結 等五個主題的說明, 其內容包含 : 主題的理念 目標 重要概念或用詞的描述等 ( 一 ) 數與量 數與量在國民教育的數學課程中具有最重要的位置, 其主要概念的形成以及演算能力的培養均奠基於國小階段, 而在國中主要是延伸至包含負數的整條數線的教學 因此, 這一主題的學習可分為國小 (1 年級至 6 年級 ) 國中 (7 年級至 9 年級 ) 二階段來說明, 同時, 亦強調銜接教學的重要 1. 國小階段 (1 年級至 6 年級 ) 國小數與量的範圍較大, 因此分為 整數 量與實測 有理數 和 估算 等子題 在國小 數與量 的教學中, 也要持續發展連結指標中的 解題 主題 (1) 整數 在國小階段, 整數指的是非負整數, 所處理的是離散量的計數與計算 整數教學是國小數學的核心課程之一 課程安排應善用學生在入學前, 已有 的各種計數與解題能力, 在既有的基礎上恰當地統整 釐清並擴張其經驗 整數計算是一切數學學習的基礎 在教學中, 學童經由活動 情境掌握計算的意義, 藉著各種例子體驗計算的規則與策略 流暢的計算能力, 有如語文學習中, 基本的文字駕馭能力, 不僅可以內化學童的數字感, 並且是日後 ( 國 高中 ) 學習抽象運算及形式推導的基礎, 這樣的能力固然是學習科學所必須, 也是能夠有效處理日常生活的基本能力之一 培養流暢的計算能力, 應注意以下幾點 : (a) 計算程序的發展有其嚴格性, 必須每個環節都能掌握, 才會有紮實 的計算能力

50 (b) 在理解運算意義時, 固然可以多樣舉例, 但在學習計算程序時, 則應運用最恰當的例子 ( 例如幣值 ), 讓學生能順利掌握計算的方式 (c) 計算程序本質上較為抽象, 也因此才能應用於各種不同的情境 在理解運算的意義後, 就應該慢慢脫離情境, 做計算練習 (d) 計算的練習必須要多樣, 讓學生能從多角度熟練運算的性質與程序 (e) 學生應該養成簡單心算與驗算的習慣 (f) 計算時能運用四則運算的性質, 協助心算與估算, 簡化計算 驗算與解題 國小整數教學的課程目標在於 : (a) 從計數開始, 學習位值的約定與換算, 並在演算中, 逐步熟悉, 最後能掌握大數 (b) 在二年級下學期, 理解算術的樞紐 九九乘法, 作為日後所有計算的基礎 (c) 到四年級時, 能夠不拘泥於位數, 熟練加 減 乘 除的直式計算 (d) 五年級時熟悉整數四則混合計算 (e) 在六年級時, 理解基本的因數分解與質數概念, 並與分數運算相互加強, 建立完整的數字感 (2) 量與實測 除了日常生活的重要應用外, 量的學習也是學生學習連續量的入口, 可以與有理數的學習相互加強 其中又以長度的教學最為關鍵 : 長度是學生保留概念最早成熟的量, 也是最容易操作的量, 長度的測量是分數與小數教學的自然入口, 同時也是學習數線的典型模型 經由長度之經驗, 學生學習如何在數線上作比較與加減運算, 由此將整數與有理數徹底整合, 作為日後學習負數 實數 幾何的基礎 量與實測是國小數學的核心課程之一, 教學中的量包含長度 重量 容量 時間 角度 面積 體積等生活中常用的七種量 其中長度 容量 角度 面積 體積屬於幾何 ( 視覺 ) 量, 處理上可以依賴學生的幾何經驗, 比較容易 重量的認識, 除了依靠身體的感覺, 相當依賴測量工具, 教學上要注意處理 另外, 時間在日常生活十分重要, 在學習上卻完全仰賴計時的約定, 與其他六種量極為不同, 故通常另外處理

51 時間以外六種量的學習, 大致上要經歷下列四個階段 : 初步概念與直接 比較 ; 間接比較與個別單位 ; 常用單位的約定 ; 常用單位的換算 (a) 初步概念與直接比較 : 首先, 透過感官直接感覺該量, 再對兩同類量作直接比較, 最後是量的複製, 這是 (b) 的前置經驗 另外, 也包括利用測量工具之刻度直接描述一量 量的複製包括 : 整體複製 ( 例 : 給定一條繩子, 比對著端點完整地剪下和所給定的繩子一樣長的繩子 ) 合成複製( 例 : 用幾根木條頭尾相接拼出黑板的長 ; 用一些硬幣平衡天平另一端放置之重物 ) 與等量合成複製 ( 例如 : 用等長木條頭尾相接拼出黑板的長 ; 用相同的硬幣平衡天平另一端放置之重物 ) (b) 間接比較與個別單位 : 對無法直接比較的兩同類量, 能透過媒介量, 分別作直接比較, 並利用比較結果, 做出兩量之比較 ( 涉及量的保留概念與量的遞移律 ) 能作間接比較, 便能使用個別單位作測量 量的保留概念由皮亞傑提出, 他從實驗結果知道, 未擁有某類量之保留概念的兒童, 對此類量不能進行間接比較 但教師可透過恰當的教學與溝通, 運過皮亞傑 同一性 互逆性 與 互補性 三原則, 主動誘發學生早日發展保留概念 (c) 常用單位的約定 : 認識某類量之常用單位, 並能運用此單位, 作量的比較 加 減 乘 除 (d) 常用單位的換算 : 在測量時, 首先能用大小單位的複名數來描述測量結果 然後再學習使用單位換算的約定, 來進行換算 例 :1200 公尺 =1 公里 200 公尺 =1.2 公里 量的教學還有幾個教學要點 : (a) 所有量的教學, 都要重視培養量感, 學習量的估測, 並能與別人溝通觀察的結果 (b) 常用單位, 一方面遵守中央標準局之約定, 另一方面也鼓勵教師, 配合生活情境, 自行補充其他日常生活常用的單位 ( 如 : 米 cc ml 坪 台斤等) (c) 長度 面積與體積作為量來教學, 經常與幾何主題有許多重疊之處, 因此有一些指標是量與幾何共用 (3) 有理數 有理數是小學的核心課程之一, 也是小學數學教育中, 最有挑戰性的教 學主題 有理數教學的困難主要在於 : 它牽涉兩種非常不同的表現形式 分 數與小數 ; 它的應用課題很廣 平分 測量 比例 比率 比值 部分 / 全體 ;

52 學生較缺乏有理數的前置經驗, 日常生活中的有理數情境也比整數少 ; 分數的形式是學生首次碰到兩整數並置的約定, 一方面分數計算的熟練, 仰賴整數的精熟, 另一方面整數計算的經驗, 有時反而會造成有理數學習的錯誤 ; 甚至, 有理數的概念理解與形式程序的學習, 有時會互相干擾, 然而有理數數感的建立, 卻又依賴兩者在反覆應用練習中, 彼此增強 什麼是穩當的有理數教學, 並無定論 但是基本的共識是, 學生需要較長的時間, 來學習掌握有理數的概念 ; 不論是先形式程序, 或者先概念理解, 兩者都必須不斷互相支持 ; 在有理數教學中, 必須將材料作適當的安排, 先從較容易的平分或測量入手, 而將其它的應用課題, 作為錘鍊有理數數感的課題 ; 運用數線作為模型, 將自然數 分數與小數結合在一起, 匯聚成 數 的觀念 小學的有理數教學, 必須釐清 練習並連結下述有理數的四種意涵, 最 後歸結成日後數學學習中, 有理數最核心的意涵 除的意涵 : (a) 平分的意涵 : 學生在低年級認識人我分際之後, 就會發展出強烈的 公平感, 因此從平分入手學習分數, 是一條比較容易的途徑, 也比 較容易化解分數學習中常見的認知衝突 (b) 測量的意涵 ; 長度測量是低年級就發展的數學課題, 在以個別單位度量長度, 為了解決剩下部分的 餘數 約定時, 就能同時發展小數與分數兩種課題 由於單位的強調, 測量是調和 部分 / 全體 的意涵與帶分數認知衝突中的重要工具 (c) 比例的意涵 : 比的原理, 是一種微妙的平分方式, 因此學生比較容 易接受 即使學生尚未學習比例式, 透過比的方式, 仍然可以協助 學生解題 最後再透過比值的引入, 一貫地解決比例的問題 (d) 部分 / 全體的意涵 : 部分 / 全體雖然是分數的重要意義之一, 但是由於概念較為抽象, 而且真分數的暗示過深 ( 全體為 1), 可能造成假分數或帶分數學習上的困擾, 必須透過單位的強調來解決其認知衝突 另外, 建議在分數教學的早期, 可以使用單位分數為計數單位, 教導假 分數的約定與計算, 這能與自然數 測量單位的學習, 相互加強

53 (4) 估算 估算是過去數學教學中, 較被忽略的課題 一般來說, 數字感較好的學生, 通常都能夠使用估算的技巧, 來協助計算 驗算與解題 而經由估算課題的教學, 也更能促使學生對數學概念 程序計算 解題三者間的連結, 有更深入的理解 估算在國民教育中可粗分為離散量的估算 ( 自然數四則運算的估算 ) 與連續量的估算 前者的教學, 應在學生已經能掌握確算後再進行 而後者的教學, 應透過測量時量不盡的正常情境, 與小數的教學共同開展, 認識小數之細分與精確度的要求乃是一體的兩面 最後, 結合兩者, 養成掌握誤差 施行估算的能力 估算的教學, 可以先在計算與驗算中強調, 讓學生能對不合理的答案, 透過估算剔除 ; 然後是, 能判斷應用問題對答案精確度的要求, 並藉由過去的解題經驗, 發展正確的估算策略 ; 或者是, 能針對問題與解答, 發展估算策略, 驗算解答的合理性 要注意的是, 估算屬於較高層次的數學能力, 學生必須先對所使用的概念程序與問題情境有相當的理解, 才能恰當地估算, 進而能正確判斷估算的時機與精確度的要求 國小的估算教學, 要特別注意評量的問題 切忌因為強求估算, 禁止學生使用正常計算 教師應在評量的問題上下功夫, 讓問題本身暗示估算的好處 例 : 在計算 時, 請學生從 20,50,70 三個答案中, 選擇最合理的答案 例 : 小明有 25 元, 小華有 40 多元, 兩個人想要合買 80 元的巧克力, 可能嗎? 2. 國中階段 (7 年級至 9 年級 ) 數與量的學習是整個國中數學的基礎, 也是學習的第一個重點 對數與 量有充分的了解與掌握之後, 才可以進一步的學習其它三類 ( 代數 幾何 統計與機率 ) 的領域 以下就各年級的階段來詮釋數與量的教學重點 在七年級的階段, 數與量的學習乃是國小階段的延續, 開始仍然以整數與有理數為重心, 但是在概念與操作的層次上則有所不同 首先要引入的是 負數 的觀念, 把整數與有理數的範圍推廣到含負的整數及有理數 對學生而言, 這是一個抽象且較

54 難理解的概念, 因為在日常生活的具體情境中幾乎看不到 負數 的存在 為了要讓負數的理解具體化, 數線的引入乃是最好的辦法, 同時也是學生日後學習平面座標幾何的入口 透過負數在數線上的標記, 及理解加 減運算在數線上的對應操作, 學生可以初步了解負數是方向的相反 教學上應教導學生以 正 負 表徵生活中相對應的量, 並認識負數是性質 ( 如 : 方向 輸贏等 ) 的相反, 最後體認到 負負得正 的意涵 有了負數及數線的概念後, 引進絕對值的符號就變得相當自然, 因為可以利用它來表示數線上二點之間的距離 甚者, 經由對絕對值符號的理解, 可以強化負數概念的養成 為了要繼續強化學生在國小階段所培養的計算能力, 同時擴充對數的操作到含負數的運算, 此階段要令學生熟練正負數 ( 含小數 分數 ) 的混合四則運算, 並能運用負數的特性判別解答的正負結果及合理性 由於對數的掌握漸趨成熟, 以及數目的位值愈來愈大, 如何恰當地簡化計算, 就變成解題的重要關鍵 為此, 學生要能理解正整數的質因數分解, 並能以最大公因數 最小公倍數熟練應用至約分 擴分以及最簡分數的計算 在此同時, 也很自然地引入指數的記號與指數律 利用指數的符號來記載正整數的質因數分解, 不僅在符號上方便, 在計算上也可避免錯誤的產生 以 10 為底的指數應值得特別注意, 在日常生活中常常利用它來表示極大的數或極小的數 ( 如 :10 12 光年 毫克 =10-3 克 奈米 =10-9 米等 ), 同時也需要用它來表示不同測量單位之間的換算關係 在七年級, 也介紹比例式 比例式的學習是小學有理數教學的延伸及強化 比例的意涵 雖然屬於 除的意涵 的大領域中, 但是二者不盡相同 透過比例的概念, 可以發現具體的生活情境中處處存在著比例 正比與反比的關係 在此階段學習比例式的另一個目的是當學生在九年級的階段學習相似多邊形或把一個幾何形體 ( 如圓 ) 放大或縮小時, 能理解其邊長或面積變化的比較關係 八年級的教學雖以代數及幾何為主, 但在數與量的部份強調方根的認識 與根式的四則運算, 及等差數列與級數的理解 二次方根的學習則是一個全新的經驗, 因為它們的操作方式與有理數大不相同 在學習心理上, 由於方根的運算是一種逆向思考, 學生可能會有挫折感, 並進一步地產生學習的障礙, 教師要特別留意 在此階段學習方根的目的之一是要為勾股定理作舖路, 同時作為代數中解一元二次方程式的根的前置經驗 在教學上宜用簡單的例子並配合代數主題乘法公式的教學說明根

55 式的四則運算以及它們的簡化 在求方根的近似值方面, 可以透過電算器的使用讓學生知道方根如 2 等是無法利用有限多個位值的數來表示的, 因此想要知道 2 的大小就必須要利用估算以求其近似值 此處的估算和小學階段 測量時量不盡 的情境類似, 但是更要求對誤差的掌握 教學上仍以少位值的逼近法來求近似值為主 在數列與級數的教材方面, 教導學生觀察日常生活中有趣或具有規則性的離散量 ( 即數列 ); 進而利用歸納的思維, 整理出它們的規則性 教學上要訓練學生能以數學符號的形式表示數列或級數的一般項, 並能推導出等差級數和的公式, 進而應用於日常生活中 數列與級數的學習也是做為九年級統計與機率的前置經驗, 因為處理的量仍以離散量為主 ( 二 ) 幾何 人是視覺的動物, 為了生存, 人類天賦的 形 或 幾何 直覺, 遠比一般人所想像要豐富堅實 典型的視覺影像處理 如直線 圖形的邊緣 平行與垂直 對稱 全等操作 放大縮小 圖形識別等, 對人類大腦輕而易舉, 卻是電腦處理的重大挑戰 因此, 幾何不但是數學教育中的重要課題, 而且也是較易學習 較有趣的教學單元 圖形與空間的了解可分為知覺性的了解 操弄性的了解 構圖性的了解 論述性的了解 小學教師在從事幾何教學時, 最要避免的是來自本身歐氏公設幾何訓練的干擾, 處處受制於定義的認定與邏輯順序 由歷史來看, 人類是先由應用 操作 實踐中, 認識各種幾何要素與性質, 彼此之間並沒有一定的先後關係 歐氏幾何的價值, 首先是對這些先民知識的歸類與整理, 其次才是作為知識典範的演繹系統 因此小學的幾何教學, 可以參考幾何歷史發展的軌跡與學童認知發展階段, 盡量讓學童發揮 拓展其幾何直覺, 在操作中, 認識各種簡單幾何形體與其性質, 再慢慢加入簡單的推理性質與彼此之間的關係, 為以後銜接國中幾何的教學, 打下良好的基礎 推理能力的培養是國中數學教育的重點之一 國中階段的學習仍舊以學

56 生已有的幾何直覺經驗為前導, 但強調主體或觀念的明確定義, 及幾何量的 代數運算 因此, 學習的內容是由非形式化的推理逐漸提昇至形式化的推 理 在國中階段, 對於幾何推理的形成, 僅強調幾個簡單步驟的推理 幾何推理 : 是以 已知條件 及 已知為正確的幾何性質, 推導出結論, 這個過程稱為 證明 我們引用來做為推理過程的基礎幾何性質 : 一部份是利用實驗歸納的方法得來的, 另一部份則是利用已知的幾何性質進行 推論 而導出的結果 證明過程中, 除了已教過的性質和定義及已知條件可利用外, 沒教過的不可引用 教學時可利用填充證明題開始, 進而慢慢獨立完成推理幾何證明的寫作, 這對於日後數學邏輯推理能力及以抽象為主的高中數學學習皆有很大的影響 幾何課程可概分為四階段 : 1 階段一 ( 一年級到三年級 ): 較強調幾何形體的認識 探索與操作, 學生對幾何形體中的幾何要素, 也許能指認, 但尚不清楚其結構意義 2 階段二 ( 四年級到五年級 ): 由於數與量的發展逐漸成熟, 學生開始結合 數 與 形 兩大主題, 學習運用幾何形體的構成要素 ( 如角 邊 面 ) 及其數量性質 ( 如角度 邊長 面積 ) 3 階段三 ( 六年級到七年級 ): 透過形體的分割 拼合 截補 變形及變換等操作, 來了解形體的性質與幾何量的計算及非形式化推理 透過方位描述及立體模型的展開與組合以培養空間能力及視覺推理 4 階段四 ( 八年級到九年級 ): 開始由具體操作情境進入推理幾何情境中, 最終目標是學會推理幾何證明, 學習內容採漸進式安排, 由基本幾何概念進入較深入的幾何推理領域中, 學習方式最開始可由填充式推理幾何, 慢慢養成完整能力, 讓學生有能力及信心, 快樂地學習幾何學領域的知識 教材內含有認識生活中的平面圖形, 如三角形 四邊形 多邊形 圓形 ; 認識點 線 角 符號及幾何相關名詞 ; 使用基本性質描述某一類形體 ; 能以最少性質對幾何圖形下定義 並熟練定義的相關操作 ; 體會邏輯概念 : 包含關係 敘述及逆敘述 推理幾何 ; 求角度問題 長度問題 面積 ( 表面積 ) 問題 體積問題 ; 推理證明 尺規作圖 全等性質 相似性質 平行性質的應用 圓的相關性質 ( 三 ) 代數

57 在民國 82 年版的 國小數學課程標準 中, 代數的題材比較少, 較容易造成學生進入國中後學習的不適應 這次綱要修訂在國小部分, 加入一些題材 : 包括運用未知數作數學表示式 認識變數的概念 理解等量公理等, 希望能協助銜接國中的代數教學 由於算術的學習仍然是國小數學學習的主體, 所以在解題策略的發展上, 應盡量讓學生作多方探索, 避免讓代數工具過早抑制學生的想像力 因此在國小的代數主題中, 關於四則運算符號與性質的指標, 都只是檢查性的指標, 在教學與課本的安排上, 應併入數與量的教學中, 不該獨立成特別的教學單元 國小代數題材安排特色 : (1) 能理解常用算術符號的使用方式, 並用來列出日常問題的算式, 以進行解題 例 : 關係符號如 :=, <, >; 運算符號如 :+, -,, ; 未知數符號如 :, 甲, 乙 (2) 從整數到分數 小數, 在具體情境中, 了解各基本運算之性質, 並用來簡化計算 例 : 加法交換律 結合律 乘法交換律 結合律 乘法對加法的分配律 加減互逆 乘除互逆 =, <, > 的遞移律 (3) 從最基本的加減問題開始, 到四則混合計算, 讓學生最後能獨立於生活與具體情境, 在形式與程序上, 流暢進行整數計算 (4) 協助發展對數學問題之解題策略 例 : 代入法 加減互逆 乘除互逆, 反向思考解題 比例推理解題 比值解題, 更 複雜之混合策略解題 ( 如傳統應用問題 ) (5) 能理解等量公理 等量公理只是綜合學生六年數與量的各種計算經驗, 所作的統合整理, 不應再另立 情境去解釋 文字符號是學習代數的一個難關 本綱要已注意到從算術到代數的銜接過程 為了處理銜接問題, 代數在第三階段的部分指標在國小 國中階段重複被使用 當然, 強調的重點會不一樣 在國小學習了簡單的代數基礎, 進入了國中階段, 熟練正 負數的四則運算之後, 於是展開學習代數的另一個起點 例如 : 利用二元未知數作數學表示式, 以解二元一次聯立方程式之二

58 元未知數, 就是一個小小的突破, 它取代了國小階段以畫線段圖的方式來幫 助理解題意, 進而列出數量之間的四則運算關係 其次, 代數的能力強調邏輯的推演, 培養學生的抽象思考能力, 在幾何 推理的素材上, 常常需要藉由代數的能力導出新的觀念, 創造新的性質和結 果 此外, 利用變數與函數的觀念, 不僅可以解決很多日常生活中的問題, 更是 e 化時代資訊科技 輸入與輸出 的學問基礎 本課程整理出下述所應 完成的相關課題 國中代數題材安排特色 : (1) 以數學式描述問題中有關之數量關係, 並理解數學式中定數與變數之差異 (2) 一元一次方程式 二元一次聯立方程式與一元一次不等式的解法, 及其解之合理性 (3) 一維數線 二維平面直角座標系相關定義及內容 (4) 以乘法公式進行多項式因式的分解 (5) 勾股定理及其應用 (6) 一元二次方程式的解法 (7) 函數的概念, 以及線型函數 二次函數的樣式及其圖形 (8) 將所學習的代數能力應用於 數與量 幾何 統計與機率 等其他主題的數學式推演 ( 四 ) 統計與機率 在科技發達的新世紀, 人們須經常面對多元的資訊 因此, 如何擷取有意義的資訊, 並加以解讀和分析, 進而轉變成有用的資產, 更是追求知識經濟的大時代裡應具備的重要能力 在此追求 e 化的世紀, 數字是資訊表現的主要媒介, 而統計方法則是解讀和分析數字資訊的重要工具 因此, 培養國民應具備的基本統計素養, 應是國民教育階段數學學習領域的重點之一 統計和機率的知識背景來自生活環境, 因此以學生的生活經驗為主, 從學生感興趣的主題出發, 使其學會敘述統計所呈現出的數字和圖表的意義, 強調圖表的表達和溝通, 並了解抽樣 機率的初步概念, 且能正確地運用各項統計資料於實際的生活中, 應是這個主題教學的藍本

59 統計和機率知識的成長確實與學生對 數與量 代數 幾何 主題 能力的掌握有關, 其教學應與相關主題的教學相互配合 因此, 依各階段的 能力成長分五個層次來實施 統計與機率 的教學 1 三年級之前 : 先藉由簡易表格的製作, 協助學生建立資料的整理與分組的概念, 進而練習報讀與說明資料, 並建立個別資料出現頻率概念的認識 再藉著直接和交叉對應表格的介紹, 並配合 數與量 的教學, 希望學生能掌握對表格的認識, 並能加以運用 2 四年級 : 經由簡易幾何圖形的前置經驗, 引進長條圖 折線圖與圓形圖作為認識統計圖表教學的開始 藉由報讀生活中的資料統計圖, 進而引進若干較簡易的變形長條圖, 培養學生對長條圖的認識 這階段的教學尚不宜引進百分率 小數或分數來表現資料的量 3 五年級 : 統計圖形的製作是由長條圖的製作開始, 再經由有序資料的引進, 來進行折線圖的報讀與製作 4 六年級 : 配合 數與量 對比值和扇形面積的教學, 再經由生活中資料的整理, 來製作圓形圖 5 九年級 : 配合國中階段 先代數 後幾何 的主題式教學方式, 由次數逐漸進階至累計次數 累計相對次數 百分位數 中位數 全距 四分位距等統計量及直方圖 盒狀圖等統計圖形, 來了解資料表現的特質 機率的介紹, 仍以引進實驗或遊戲來了解機會並建立相關概念為主, 尚不宜做嚴格的定義或過份繁雜的統計量計算 此階段可視資料量或其特性, 適度引進電算器 電腦軟體來協助計算統計量, 或製作統計圖形 有關電算器 電腦的使用, 應視為學習的輔助工具, 除非資料量過大或人工不易執行, 否則不宜完全依賴它們來執行 統計圖形的製作, 在小學階段仍以人工製作為主 ; 在九年級可引進通用的軟體, 如 Excel 或其他繪圖軟體來協助 由於 統計與機率 主題在國民教育階段仍屬概念性的教學, 較嚴謹的 介紹將在高中 職階段的數學課程中實施 有關統計與機率的重要用語和概念說明如下 : 1 報讀 是指 將在統計圖形上所看到資料直接讀出來 ( 例如 :

60 男生戴眼鏡的人數為 60%, 女生戴眼鏡的人數為 28%) 2 統計圖表的解讀 應在 社會 或 自然與生活科技 等領域進行教學為宜, 以提昇跨領域連結的成效 3 生活中的資料 是指利用報紙 網路 機關單位公告等的現成統計圖表, 或利用所擷取的數字資料透過電腦軟體轉換成圖表 ( 五 ) 連結 數學是依循嚴謹的邏輯程序而發展成的一個知識體系, 它的特點在於能從問題的本質來探究其內在深層的結構, 儘管這些問題的表相是多麼地不同 因此, 數學敘述方式是一種抽象形式的語言, 這種抽象性的本質是一般人學習數學的最大障礙 在國民教育的課程裡, 如何協助學童擺脫數學形式規則的束縛, 是編寫教科書及教師教學時所該注意的要點 具體來講, 課程的設計應注重數學內在結構的連結, 及數學在生活情境以及和其它學科 ( 例如自然科學 ) 的連結 雖然處理方式不是很令人滿意, 這些內部連結在傳統的教學上多少都注意到 舉例來說, 在國中時, 傳統教學方式, 通常先代數後幾何, 教科書編排方式是在代數主題的全部題材或至少絕大部份題材教完後, 再轉到幾何主題教學 這種教學方式, 並不是說學童在國一下及國二上學完代數後, 在往後的年級裡不再學習和代數相關的數學 事實上, 在國二下及國三上的幾何課裡一般都有安排許多代數的應用 這類代數的應用至少包括以抽象的代數符號和運算來表達幾何圖形中量與量的關係, 例如座標平面上的距離公式, 又例如相似形與比例的關係, 並且希望能夠透過對座標平面的認識, 建立座標幾何的初步經驗 代數與幾何的關係, 充分說明了數學內在結構連結的重要性 一些生活情境上的問題, 例如拋物運動和一元二次方程式, 在國中的學習應該出現 不僅如此, 在國小曾經出現過的許多應用問題, 包括一些以四則運算很難處理的, 在經過分析之後, 亦應在國中做第二階段的代數處理, 以理解代數在解決問題中扮演的角色 縱使對教材編排的順序各有看法, 但統整連結的原則仍必須兼顧 在修訂工作時, 對暫行綱要裡連結部分的處理, 雖然應該加強, 但是基於修訂時程緊迫以及儘可能減少更改其原暫行綱要的考量下, 修訂小組決定暫時保留原列連結的能力指標 因此, 連結 主題能力指標的詮釋大抵沿用原暫行綱要的說明, 僅對某些部分, 再加以較具體的說明 連結 主題能力指標詮釋的內容, 詳見附錄三之相關說明

61 附錄二分年細目詮釋 分年細目與詮釋使用說明 : 1. 細目詮釋的使用者是教師 教科書編者與審定者, 因此內容在溝通表達上, 涉及許多數學與數學教育的專有名詞, 這些名詞不宜出現在教科書上 詮釋中對於不宜出現在課本或教學中的名詞均有加注, 如 1-a-02 中的 交換律 一詞就不宜出現在課本或教學中 2. 出現在教科書中的數學名詞請參見附錄五的標準名詞表 3. 教師課程設計或教科書編撰, 應遵循分年細目的內容, 但不需要完全遵照細目的順序 細目所規範的內容是至少要包括在教學與教科書中的題材 4. 檢查細目 應該併入其它主題的教學, 不需要另立單元 5. 有些幾何或代數的細目, 其目的是在協助學童, 更平順地銜接到國中的課程, 所以被標記為 次要細目 ( 格式如 6-a-02*), 教師與教科書編者可依時間是否充裕, 做彈性處理 6. 部分概念如驗算 估算及各種基本運算的性質等, 在某條細目引入後, 就應該貫穿往後的課程 我們希望學童在較小數字的自然情境, 就能開始學習驗算, 養成換一種方式或觀點算算看的習慣 基本運算的性質, 如交換律 結合律 遞移律等名詞, 不必在課本出現, 但應該從具體情境的範例及練習中, 讓學童自然地認識這些性質, 並在往後的學習中, 不斷地加強及熟悉 7. 詮釋中的範例, 目的在釐清細目的意義, 並不一定要納入教學現場與教科書中 8. 詮釋中有些討論活動或概念的初次引進, 目的都只是在提供學童經驗, 鋪陳往後的學習, 因此並不適合作評量, 這些都會在詮釋中, 特別以 不宜評量 標明 9. 為了解釋推導過程, 詮釋有時將許多步驟簡併成單一算式 在詮釋中用 ( ) 標明, 這樣的算式不應該出現在教學現場與教科書中

62 ( 一 ) 一年級 數與量 1-n-01 能認識 100 以內的數及 個位 十位 的位名, 並進行位值單位的換算 N-1-01 說明 : 非負整數的認識是兒童最早接觸的數學教材, 教學時宜讓兒童能初步掌握整數數詞序列的規律, 並能以具體的量 聲音 圖像 數字, 進行說 讀 聽 寫 做的活動, 表徵 100 以內的數 數數活動較熟練後, 可配合其他課程, 做各式各樣的活動 例如分類數數與記錄活動 ( 參見 1-s-02) 第幾個的活動( 參見 1-n-03) 簡單買賣活動( 參見 1-n-02) 數字 87 是指 8 個 十 和 7 個 一, 其中 8 所在的位置即為 十位, 其位值單位為 十,7 所在的位置即為 個位, 其位值單位為 一 位值單位的換算, 宜先引導學童用教具做十個一堆的數數活動 其中錢幣由於日常生活常用, 更是適合位值換算的教學 ( 參見 1-n-02) 例如: 先理解 16 個 一 元, 可以換成 1 個 十 元與 6 個 一 元 ; 再將 8 個 十 元與 16 個 一 元, 換成 9 個 十 元與 6 個 一 元, 記成 96 ( 在活動中進行, 不宜過度評量 ) 1-n-02 能認識 1 元 5 元 10 元 50 元等錢幣幣值, 並做 1 元與 10 元錢幣的換算 N-1-01 N-1-02 說明 : 錢幣的使用, 是學童學習加減法最自然的生活情境, 應多運用 例如作簡單的買賣活動, 可以提高學童學習數數與位值換算的興趣 一年級進行錢幣的使用教學時, 可給定一物品的金額讓學童付錢, 例如 : 怎麼付錢可以剛好買一個 18 元的三明治? 可以讓學童嘗試不同的組合方式, 以與 1-n-04 互相加強 最重要的 10 元與 1 元的互換要先做 並在所有錢幣與 1 元的互換基礎上, 慢慢理解 10 元相當於兩個 5 元硬幣,50 元相當於五個 10 元等事實 1-n-03 能運用數表達多少 大小 順序 N-1-01 說明 : 數的比較含有數量和序數兩種情形, 因為概念比較抽象, 可藉由 量 的情 境下進行, 例 :5 枝鉛筆比 4 枝鉛筆多 小明排隊排在第 3 個位子 教學溝通上要注意序數 ( 第幾個 ) 是有方向性的, 必須先講清楚從哪裡開始

63 數 ; 另外也要注意 8 前面是什麼數? 這類問題, 本身有語意溝通的歧義 在此後的數與量教學中, 都要進行比較大小的活動 1-n-04 能從合成 分解的活動中, 理解加減法的意義, 使用 + - = 作橫式紀錄與直式紀錄, 並解決生活中的問題 N-1-02 說明 : 在一年級的加減活動著重在數數活動與合成分解活動的過渡, 以及後者的熟悉 一年級也應熟悉基本加減法 ( 心算練習, 見 1-n-05) 學習加減法, 數量不宜過大, 但亦不限於一位數 在一年級學習將合成分解活動的結果, 寫成加減法的橫式紀錄與直式紀錄 例如 :7 顆蘋果和 3 顆蘋果合起來是 10 顆蘋果, 可以記成 7+3=10; 或 7 顆蘋果中吃掉 3 顆蘋果剩下 4 顆蘋果, 可以記成 7-3=4 教師在教學中應積極建立學童等號為計算結果之意義 一年級的直式紀錄只是提供直式計算的前置經驗, 沒有計算意涵, 可在一年級下學期才引入 合成分解活動十分自然, 在教學上不必特別區分, 讓學童在具體情境與解題中, 認識加法與減法的互逆關係 ( 參見 1-a-03) 加減的生活問題中, 先固定一數再加 ( 或減 ) 一數的類型最簡單 例 : 小明有 5 顆糖, 媽媽再給他 4 顆, 小明現在有幾顆糖? 小明有 6 顆糖, 分給小英 2 顆糖, 小明還剩幾顆糖? 但其他問題類型也應在一年級中練習 例 :( 後面二例較困難, 可以透過討論及操作活動讓學童解題, 待二年級才要求學童列式解題, 不宜過度評量 ) 小明左口袋有 5 顆彈珠 右口袋有 10 顆彈珠, 請問小明有幾顆彈珠? 隔壁班男生有 15 人, 女生有 16 人, 隔壁班有多少人? 小華有 5 元, 牛奶糖一盒要 10 元, 小華還需要多少錢才能買一盒牛奶糖? 在遊樂場有一個遊戲項目, 一次只能容納 20 人, 班上總共有 27 人, 有多少人要等到下次才能做? 我們班的男生有 14 人, 女生有 17 人, 男生多還是女生多? 多幾人? 小華有 4 枝彩色鉛筆, 小麗比小華多 3 隻, 請問小麗有幾枝彩色鉛筆? 姊姊有 15 元, 弟弟的錢比姊姊少 5 元, 弟弟有多少錢? 在這些問題的教學中, 讓學童掌握使用教具 ( 如花片 ) 或畫圈圈來理解這些問題的結構, 並協助解題 讓學童在合成分解的活動或表徵情境裡, 慢慢掌握橫式記錄中, 等號其實都可以解釋成 一樣多 的意義 ( 參見 1-a-01) 在恰當教學時機, 應讓學童理解某數 +0 與 -0, 其結果不變的事實 在加減法教學中, 若要檢查兒童對所給定的加減算式是否理解, 可讓學童練習擬出對應的生活應用情境

64 1-n-05 能熟練基本加減法 N-1-02 說明 : 本細目目的在養成學童簡單心算的能力和習慣, 作為日後計算的基礎 熟練的意思是, 能夠不透過數數就知道答案 基本加減法包括 (1) 加 1 與減 1;(2) 加 10 與減 10;(3) 合 10 與拆 10; (4) 被加數與加數為一位數的加法 ( 例 :4+8=12);(5) 前者之逆運算 ( 例 : 12-8=4) 例 : 可用心算卡配合遊戲進行基本加減法 合十 拆十等練習 或從最簡單的逐次加一 逐次減一 逐次加十 逐次減十的心算開始 教師在基本加減法可以使用的情況或問題中, 可鼓勵學童使用心算 但是這不表示一年級的加減法問題僅限於基本加減法, 例如學童還是要會用數數或其他合成分解的策略去計算 12+9 之類的問題 1-n-06 能作一位數之連加 連減與加減混合計算 說明 : 在合成分解情境中理解連加 連減與加減混合的計算 由於學童剛學加減 N-1-02 N-1-03 法, 在一年級只作一位數的運算即可, 目的在熟練基本加減法 ( 參見 1-n-05) 與熟悉較小數的加減運算 此時加數與減數的個數不宜太多, 三個以內即可 參見 1-a-02 1-n-07 能進行 2 個一數 5 個一數 10 個一數等活動 說明 : 2 個一數 5 個一數 10 個一數等活動為乘法的前置活動 N-1-01 N-1-03 運用花片之類的教具進行幾個一數的過程, 排成整齊的排列形狀, 可作為乘法 陣列模型 的前置經驗 ( 參見 2-n-06,2-a-03) 例 : 利用百數表教具, 進行幾個一數的數數活動, 將數過的數, 圈出來或羅列成簡單數列 1-n-08 能認識常用時間用語, 並報讀日期與鐘面上整點 半點的時刻 N-1-13 說明 : 先進行幾個事件發生先後順序的辨識活動 能使用常用時間用語, 如上午 中午 下午或今天 昨天 明天, 並知道其先後順序 能查閱日曆 月曆或年曆上的日期, 知道今天是 幾月幾日星期幾 能認識鐘面上的長 短針, 並報讀時鐘上常用的時間刻度, 在一年級只作整

65 點或半點的報時 如 1 點鐘 3 點半 1-n-09 能認識長度, 並做直接比較 說明 : 量的教學請參見附錄中 量與實測 的主題說明 N-1-14 S n-10 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較物體的長短 N-1-15 說明 : 量的教學請參見附錄中 量與實測 的主題說明 這邊的個別單位不見得是常用單位 ( 例如手臂長 掌幅 方形紙片等都可作為個別單位 ) 長度是國小最早學習的量, 具有量之學習的指標作用, 而且又是數線與小數概念的入口, 教師務必小心處理此細目, 完成利用個別單位測量與距離觀念的連結 例如可以要求學童以一步為單位, 測量距離 ( 步數 ), 讓學童知道可利用 單位 來量度 距離 在本細目中也應處理以個別單位為基礎的長度合成分解活動, 作為長度加減 ( 參見 2-n-14) 與數線加減 ( 參見 3-n-07) 的前置經驗 例如 : 紅花繩和 10 個小麗的掌幅一樣長, 藍花繩和 12 個小麗的掌幅一樣長, 所以藍花繩比較長, 且多了 2 個小麗的掌幅長 重點是學童能將合成分解的經驗 加減運算, 與長度比較的經驗連結起來 幾何 1-s-01 能認識直線與曲線 S-1-01 說明 : 從具體活動的操作中, 知道連結兩點 ( 手指 ) 間的線 ( 繩子 ), 以直線為最 短 1-s-02 能辨認 描述與分類簡單平面圖形與立體形體 S-1-01 說明 : 在此時期, 只要訴諸學童之幾何直覺即可, 不必強調其構成要素 在名稱的溝通上, 可以先讓學童隨意發揮, 啟發學童對圖形結構的體驗, 老師再歸結到常用的名稱, 並作合理的說明 ( 不需要拘泥在嚴格的定義 ) 簡單平面圖形, 如 : 三角形 正方形 長方形 圓形等 ; 簡單立體形體, 如 : 球體 正方體 長方體 圓柱體 圓錐等

66 本細目可以與其他分類與數數的教學活動相結合, 例如 1-d-01 1-s-03 能描繪或仿製簡單平面圖形 S-1-02 說明 : 例 : 以塗色或套描進行描繪活動或其他組合活動 學童的肌肉還不能作細密的協調, 不宜作精確的要求 只是在仿製活動中, 體驗平面圖形的結構特徵 1-s-04 能依給定圖示, 將簡單形體作平面舖設與立體堆疊 說明 : 本細目的目標在體驗空間感與全等操作, 可整合成一教學活動 S-1-02 S-1-05 給定的圖示可為圖卡或實物, 透過拼圖與堆積木等活動, 讓學童進行平移 翻轉 重疊 比對 等全等操作的練習 1-s-05 能描述某物在觀察者的前後 左右 上下及兩個物體的遠近位置 S-1-06 說明 : 本細目應在教學活動中進行 相對位置描述詞在日常生活中很常用, 因此應及早引入, 並可與序詞的教學相結合, 例 : 最上面數下來第 2 個抽屜是我的 小明右邊第 3 人是小麗 小華, 請往前走 2 步 左邊離我們比較遠的那個女生是小英 由於人體大致上是左右對稱的, 因此 左右 是這些詞組中較難的概念, 在溝通上也要小心, 學童必須能確定觀察者, 才能比較沒有歧義的判斷 左 與 右 由於兒童可能在二 三年級才能真正掌握 左右, 因此教師在評量上不要過於嚴苛 代數 1-a-01 能在具體情境中, 認識等號兩邊數量一樣多的意義 說明 : 本細目為 檢查細目, 應併入整數教學單元中進行 ( 參見 1-n-04), 不應另 N-1-02 A-1-01 立單元教學 當學童的合成分解經驗較成熟後, 就可以知道一堆花片, 作不同的分解時, 總量仍相同, 再記錄成橫式 例 :10 顆蘋果, 可以想成 7 顆蘋果和 3 顆蘋果合起來, 也可以想成 5 顆蘋 果與 5 顆蘋果合起來, 因此可以將結果記成 :7+3=10 及 5+5=10, 所以

67 7+3=5+5 如果能建立學童等號兩邊數量相等的觀念, 日後在處理等量公理時, 就會容易許多 在教學中建立此觀念即可, 教師不要涉入太形式算式的評量 1-a-02 能在具體情境中, 認識加法的交換律 結合律, 並運用於簡化計算 A-1-03 說明 : 本細目為 檢查細目, 應併入整數教學單元中進行 ( 參見 1-n-04), 不應另立單元教學 交換律 與 結合律 的名詞建議不出現在四年級 ( 包括四年級 ) 以前的教學與課本中 例 ( 加法交換律 ): 小明左口袋有 3 顆糖, 右口袋有 4 顆糖, 要計算總量時, 知道不論左口袋加右口袋得 3+4, 或右口袋加左口袋得 4+3, 結果都一樣 學童也可能在合成分解活動中, 理解此事實 例 ( 加法結合律 ): 學童可以在具體情境中理解當計算 小明有 3 顆糖 小華有 4 顆糖 小麗有 7 顆糖, 合起來共有多少顆糖? 的問題時, 發現可以先算 3 顆糖和 7 顆糖合起來有 10 顆, 再算和 4 顆合起來有 14 顆 1-a-03 能在具體情境中, 認識加減互逆 A-1-04 說明 : 本細目為 檢查細目, 應併入整數教學單元中進行 ( 參見 1-n-04), 不應另立單元教學 加減互逆 一詞建議不出現於教學或課本中 兒童在合成分解的情境中, 了解 7 個花片和 6 個花片可以合成 13 個花片, 也知道 13 個花片拿掉 6 個剩下 7 個花片,13 個花片拿掉 7 個剩下 6 個花片 例 ( 參見 1-n-04): 小華有 5 元, 牛奶糖一盒要 12 元, 小華還需要多少錢才能買一盒牛奶糖? 雖然這個問題的敘述是一個加法型的問題, 但是欲求的答案並不是和, 學童透過合成分解之解題活動得到答案是 7, 同時進一步知道 12-5 之答案也等於 7, 而獲得原題目之求解可以透過 12-5 之運算得到答案之經驗 暫不強調較形式層次的加減互逆 ( 參見 2-a-02), 但可做練習 加減互逆為等量公理的一種表現形式 統計與機率 1-d-01 能對生活中的事件或活動做初步的分類與紀錄 D-1-01 說明 : 讓學童自由發揮, 允許學童多元的分類與記錄方式, 只要能夠將資料加以整 理即可

68 例 : 班上的男女同學數 ; 班上同學的出生月份 ; 對給定不同顏色色紙的分類 ; 班上同學最喜歡卡通的紀錄 ; 班上工作分配的人數列表 ; 幾何形體教具的分類 ( 參見 1-s-02) 上課的課表, 也是一種表格紀錄的方式, 應鼓勵學童製作 1-d-02 能將紀錄以統計表呈現並說明 D-1-01 說明 : 讓學童將分類與數量的紀錄, 製作成表格式統計表 例 : 小明利用下列其中一種表格將書包裡面鉛筆 剪刀及書本的個數記錄下 來

69 ( 二 ) 二年級 數與量 2-n-01 能認識 1000 以內的數及 百位 的位名, 並進行位值單位換算 N-1-01 說明 : 參見 1-n-01 1-n-02 新增位值單位為 百位, 並認識 和 1 彼此之間的關係 學生可以使用已習得的整數的讀音和記法來類推新數量, 不過教師在引進新數 建立數詞序列時, 需注意學生對於不可類推的數字, 例如 : , 等的相關學習活動 此時位值單位的換算可讓學童進行如 4 個 百 16 個 十 可以換成 5 個 百 6 個 十, 也就是 560 個 一, 記成 560 學童在二年級宜逐漸脫離以數數來認識所有數的習慣, 應能彈性結合位值與局部數數, 作為計算上的一種策略, 例如用數數計算 或 等 2-n-02 能認識錢幣的幣值有 100 元 500 元等, 並作 10 元與 100 元錢幣的換算 N-1-01 N-1-02 說明 : 參見 1-n-02 先認識錢幣 (1 元 5 元 10 元 50 元 100 元 500 元 ) 與 1 元的互換基礎, 慢慢理解 10 元相當於兩個 5 元硬幣,50 元相當於五個 10 元等事實, 進行錢幣之間的換算, 並讓學童嘗試不同的組合方式 2-n-03 能用 < = 與 > 表示數量大小關係, 並在具體情境中認識遞移律 ( 同 2-a-01) N-1-01 A-1-01 說明 : 1-a-01 只是等號關係的初步認識, 二年級應確立等號兩邊數量相等的觀念 這不但有助於學童建立良好的列式習慣, 也是等量公理的前置經驗 在介紹 < 或 > 的符號時, 可讓學童知道開口位置的數比較大, 尖點位置的數比較小 遞移律 一詞建議不出現於教科書或教學中 例 ( 初步 ): 知道小明與小英的糖果一樣多, 小英和小華糖果一樣多, 那麼 小明和小華的糖果就一樣多 例 ( 進階 ): 延續 1-a-01 等號兩邊數量一樣多的意義, 知道因為 4 顆蘋果和 5 顆蘋果合起來, 與 2 顆蘋果和 7 顆蘋果合起來都是 9 顆蘋果, 因此

70 =2+7, 同理若知道 2+7=2+3+4, 因此就可以推得 4+5=2+3+4 例 : 知道小明比小華矮, 小華比小英矮, 所以小明會比小英矮 例 : 能說明為什麼小明的糖果比小英的糖果多, 小英的糖果比小華糖果多, 所以小明的糖果是三個人中最多的 2-n-04 能熟練二位數加減直式計算 說明 : 在一年級只做加減法的直式紀錄, 並未說明其原理 二年級可運用合成分 N-1-02 N-1-05 解, 解釋加減直式計算的原理, 知道直式計算的書寫方式是利用不同位值來表達數字的意義, 並理解進位 借位的意義 建議可使用錢幣的情境, 來教導加減法直式計算 加減直式計算是具一般性的優越格式, 但是教師仍應強調彈性使用其他加減策略的時機, 避免讓加減直式計算變成唯一壟斷的解題方式 例如除非是作為說明進位或借位的範例, 否則在計算 或 50-2 時, 可以用簡單的數數 心算 分解即可解題, 沒有必要用直式來計算 學習加減直式計算的順序應由淺入深, 從無進位 無借位的情況開始, 直到雙重進位之加法 由於雙重借位的減法較難, 在三年級才進行 在直式計算中, 應多運用心算 ( 參見 1-n-05) 採用從個位加起的直式計算法, 主要的考慮在於計算的負擔較輕 出錯的可能性較小, 而且加減法都適用 2-n-05 能作連加 連減與加減混合計算 這是 1-n-06 的延伸, 處理一般的加減混合計算, 總運算步驟二到三步驟即可 在練習連加法的直式計算時, 鼓勵學童用心算來協助計算, 這是乘法直式計算的基礎 2-n-06 能理解乘法的意義, 使用 = 作橫式紀錄, 並解決生活中的問題 N-1-02 N-1-03 N-1-03 說明 : 乘法是小學整數教學的重點, 其核心為排列模型的理解與九九乘法的熟練 ( 參見 2-n-08) 在二年級裡, 應先以連加 ( 參見 2-n-05) 幾個一數( 參見 1-n-07) 為乘法的前置經驗 在認識 倍 的概念後 ( 例如 :7 個 2 是 2 的 7 倍, 可以記成 2 7=14), 讓學童認識乘式的記法中 被乘數 乘數 及 積 的位置 再作較小數字的乘法練習, 慢慢養成心算的習慣, 然後開始練習九九乘法 ( 參見 2-n-08) 二年級也應該能計算二位數乘以一位數的乘法( 如 23 3), 雖然在計算上為連加, 但必須用乘法橫式來記錄 乘法的 倍 的意義, 是乘法問題中最容易入手的一種 但乘法教學的常見

71 困難也在於, 用算式記錄 倍 時是不對稱的, 而乘法卻滿足交換律, 因此經常造成教學上的困擾 採用下列陣列型的乘法問題情境, 可以協助孩子乘法交換律的學習, 減輕這種困擾 : (1) 先讓學童用花片排成下圖 ( 例 :5 個一數 ) (2) 在 幾的幾倍 的解題活動中 ( 這時的問題, 例如 1 排學生有 5 個人,4 排學生, 有幾個人? ), 持續將學童的解題與排列模型連結起來 並將問題 中的 單位 ( 例如 排 ) 對應起來 ( 例如圈起來 ) (3) 用 5 個人的 4 倍是多少? 之類的問題, 來檢查學童是否能直接從問題, 將 5 個人視為一單位 (4) 若 (3) 已檢查, 則可以用排列模型來討論乘法交換律, 這時學童應能從排列模型理解 5 個人的 4 倍 與 4 個人的 5 倍 一樣多 (5) 在這段教學過程中, 如果教師想確定學童是否了解題意, 可以暫時要求學童加上物體的計數單位 ( 例如 :5 顆 4=20 顆 ) 教師應領會排列模型之於乘法, 與合成分解模型之於加減法, 是最本質又互相融洽的兩個模型, 在解題 概念理解 掌握運算性質 ( 參見 2-a-03, 3-a-02) 推理上都有相當多的好處 因此在教學上要有意識地向排列模型過渡 乘法的 倍 的意義不是乘法意義的全部 教師要確定的是在解題情境中, 學童能正確地說明其算式的意義, 但是在解題的程序上, 終究要允許學童運用任何策略來計算 舉例來說, 一枝筆 3 元,24 枝筆要多少錢?, 學童應能依照約定列出 3 元 24 或 3 24, 但若學童理解交換律, 在計算時將問題轉換成 24 3, 並用連加法 =72, 應視為正確 ( 假設學童還不會乘法直式計算 ), 這比讓學童將 3 連加 24 次, 更值得鼓勵

72 在乘法教學中, 若要檢查兒童對所給定的乘法算式是否理解, 可讓學童練習擬出對應的生活應用情境 2-n-07 能在具體情境中, 進行分裝與平分的活動 說明 : 這是除法的前置活動, 學童可能用連減 連加或乘法的策略解題, 但最後應 N-1-04 N-1-06 熟用乘法來解題 暫時不引入含除號的紀錄, 並只處理能分盡 ( 無餘數 ) 的情形 分裝 的活動, 指如 24 顆蘋果,6 顆裝一盒, 可以裝多少盒? 的問題 平分 的活動, 指如 24 顆蘋果平分給 6 人, 每人分得多少顆? 的問題 2-n-08 能理解九九乘法 說明 : 在恰當教學時機, 應引導學生討論 1 的乘法 N-1-06 A-1-03 從學習乘法開始, 就要練習九九乘法 在二年級結束前, 學童應理解九九乘法 另外, 學童也應熟悉被乘數與乘數為 10 的基本乘法 鼓勵學童練習九九乘法表中, 如 :2 4 6 ;3 6 9 ; 等數列樣式, 作為認識因數 數列的前置經驗 可以讓學童討論九九乘法表中對角線的部分, 即 例如: 利用正方體積木排出 3 3 的陣列模型, 可排出一排有 3 個, 排 3 排, 接著探討變成 4 4 的排法 可進行例如 24 可以拆成多少乘以多少 的活動, 學童從各種拆法中 (3 8, 4 6,6 4,8 3), 可以慢慢觀察到乘法交換律的事實, 這也是因數分解的前置經驗 在九九乘法的教學中, 藉著觀察九九乘法表, 讓學童認識乘法可以交換的性質, 進而認識九九乘法表只要知道一半的式子即可 2-n-09 能在具體情境中, 解決兩步驟問題 ( 加 減與乘, 不含併式 ) N-1-08 說明 : 在日常生活的自然問題中, 引入兩步驟問題 學童在解兩步驟問題時, 應能將各步驟分開記錄, 二年級時不處理併式的問題 例 : 一打鉛筆有 12 枝, 老師原有 5 枝鉛筆, 又買了 3 打鉛筆, 老師現在有多少枝鉛筆? 一開始, 學童先學習讀懂題意, 分段解決這個問題, 如先做 12 3=36, 再做 5+36=41 例 : 一盒水果軟糖中, 橘子口味的有 5 顆, 檸檬口味的有 3 顆, 小明買了 6 盒, 請問小明共有多少顆水果軟糖?, 這個問題可以先算每盒有 5+3=8 顆軟糖, 再算總共有 8 6=48 顆軟糖

73 2-n-10 能在平分的情境中, 認識分母在 12 以內的單位分數, 並比較不同單位分數的大小 N-1-09 說明 : 分數教學應盡量利用學童對平分與公平的直覺, 在學習上應從最容易的 對分 ( 一半 ) 對分再對分 ( 四分之一 ) 開始, 在這種情況, 學童也比較可以操作 原則上, 應不要將教學時間用在學習等分實際物品的操作上, 例如不要求學童實際將一條繩子平分成 6 份, 可透過已經先標記好平分成 6 份的一條繩子, 學童依舊可以理解 1 6 但可加入判別等分的教學活動 1 例 : 如下圖, 將繩子分成 6 份, 請問其中一段是否為 6, 請解釋其理由? 分數教學有兩種常用模型 : 圓形模型 ( 如披薩 ) 與 線形模型 ( 如繩子 直尺 ) 前者比較沒有溝通上的干擾, 適合教學 ; 後者因為與測量有關, 也 很重要 兩者皆應發展 1 先從 等較容易平分的量入手, 知道 2 個披薩就是 半個披薩, 1 4 個披 1 薩就是 半個披薩的一半 然後再學習 等一般分母的單位分 數 學童應學會 二分之一 三分之一 的說法, 並知道 三分之一 個披 薩, 就是將一個披薩平分成 3 片其中的 1 片, 三分之一 條緞帶, 就是將 一條緞帶平分成 3 段其中的 1 段 並知道 三分之一 個披薩 3 塊合起來是 一個披薩 三分之一 條緞帶 3 段合起來, 是一條緞帶 作單位分數大小比較時, 在感官辨識上, 並不容易區分分母較大之單位分數 的大小, 但從平分的情境中, 以分母較小的單位分數比較為基礎, 學童應能 推理得知一個披薩平分給 3 人, 每人所得到的披薩會比平分給 5 人的時候 多, 所以, 1 3 個披薩 > 1 5 個披薩 也可以與 1-n-08 中, 所謂 半點鐘 相連結 2-n-11 能認識鐘面上的時刻是幾點幾分 N-1-13 說明 : 1-n-08 的時鐘報讀是以 半個鐘頭 為單位 二年級先利用鐘面上小刻度位置所對應的幾分時刻, 進行幾點幾分的報讀 ; 再由 五個一數, 知道鐘面上的數字所對應的幾分時刻, 進行鐘面時刻的有效報讀 教學上應讓學童與

74 長度測量之刻度尺相連結 在報讀鐘面時刻的活動中, 配合連續撥鐘活動進行 7 點 55 分的時針接近 8, 但還不到 8 點 8 點 5 分是時針接近 8, 但超過 8 點 的練習, 協助學童掌握時針所在位置代表的正確數值 2-n-12 能認識 年 月 星期 日, 並知道 某月有幾日 一星期有七天 N-1-13 說明 : 學童藉查看年曆, 認識一年有 12 個月, 以及各月的日數 每星期的日數, 並藉由二月份日數的不同, 區分 平年 閏年 例 : 藉由查看月曆, 點算 7 月加 8 月的總日數 例 : 藉由查看月曆, 點算暑假的天數 例 : 知道每月至少有 ( 大概有 )4 星期 2-n-13 能理解用不同個別單位測量同一長度時, 其數值不同, 並能說明原因 N-1-15 說明 : 這是單位換算的前置經驗, 透過合成分解的活動, 理解不同單位間換算的模式 ( 亦稱 化聚 ) 在所有量的學習時, 都應做本細目的活動, 不僅限於長度 例 : 假設分別以一手臂長度 ( 指尖到手肘的長度 ) 和一個手掌長度 ( 拇指到小指張開的長度 ) 來測量書桌的長度時, 書桌的長度分別和 2 個手臂長度合起來 6 個手掌長度合起來 一樣長 學童對於 2 和 6 的不同, 應能說明是因為一個手臂長度和一個手掌長度不同 並且知道 2 之所以小於 6 的原因, 是因為一個手臂長度大於一個手掌長度 例 ( 續上, 參見 1-n-10): 應討論如果講桌的長度相當於 6 手臂長度合起來, 那麼在不去作實測的情況下, 學童是不是能知道講桌的長度相當於多少個手掌長度合起來呢?( 這只是討論題, 在評量上不用強調 ) 2-n-14 能認識長度單位 公分 公尺 及其關係, 並能作相關的實測 估測與同單位的計算 N-1-16 N-1-17 說明 : 量的教學初期應避免同時引入兩個量 建議在二年級上學期, 介紹 公分 並做實測 估測與計算 下學期再介紹 公尺, 除了實測與估測外, 也引入單位換算與相關計算 認識刻度尺上的刻度結構是學生建立一公分量感的入口, 可引導學生測量身體的部位, 如量身高 手指的寬度, 作為以後公分量感估測的基礎 刻度尺的使用應注意 對齊 0, 再報讀尺上對應的數字, 此時不強調毫米的

75 刻度, 僅就公分刻度做判讀 所測量物體如果不是整數公分單位, 則以 大約多少公分 做報讀 可引導學生討論 : 如果是一把斷掉的尺, 無法從 0 對齊時, 若所測量的物體是從刻度 5 到 8, 則這個物體有 3 公分長亦即 5 到 6 是 1 公分 ;6 到 7 是 1 公分 ;7 到 8 是 1 公分, 共 3 公分 而非點尺上的數字 , 長度為 4 公分的迷思概念 例 : 一個箱子高 50 公分, 則 3 個箱子疊起來是 50 公分 3=150 公分 ( 參見 2-n-06) 學童在認識 1 公尺 =100 公分 的關係並理解其意義後, 知道可利用單位換算, 記錄測量值 例如 : 小明的身高為 123 公分或記成 1 公尺 23 公分 量的估測活動不是實測的近似值, 而是培養量感的活動, 在原則上不用正式測量工具的條件下, 估測 量的大小, 因此量的估測與量的經驗很有關係 有好的量感, 對日常生活很有助益, 但是估測教學就數學課程而言並不宜過分評量 做估測活動時, 應注意單位的合理性 例如二年級的學童只學過整數, 因此 用公尺來估計人的身高並不合適, 但是如果結合公分, 則為適當 例 : 學童可以用目測, 也可以用步測來估計教室的長度大概有 10 公尺長 例 : 同學可以用指幅 掌幅與自己的身高估測同學的身高 例 : 估測同學的鉛筆有多長 2-n-15 能認識容量, 並作直接比較 N-1-14 說明 : 量的教學請參見附錄中 量與實測 的主題說明 2-n-16 能認識重量, 並作直接比較 N-1-14 說明 : 量的教學請參見附錄中 量與實測 的主題說明 小學所學的七種量中, 重量 時間 是比較不一樣的量, 其他五種量都與視覺或幾何感有關, 比較能做直接比較 但是 重量 完全依賴於身體的感覺, 因此直接比較, 只能用手 ( 單手測量兩次或左右手同時 ) 經驗重物與輕物的差別 ( 兩物的重量不宜過近 ), 不然就得借助天平的機械裝置 2-n-17 能認識面積, 並作直接比較 ( 同 2-s-05) 說明 : 量的教學請參見附錄中 量與實測 的主題說明 N-1-14 S

76 幾何 2-s-01 能認識周遭物體上的角 直線與平面 ( 含簡單立體形體 ) S-1-03 說明 : 例 : 指出課桌的角 直線與平面的所在, 並能使用 角 直線 與 平面 的名詞與人溝通 應進行在簡單立體形體中 ( 參見 1-s-02), 認識 角 邊 與 平面 的教學活動 2-s-02 能認識生活周遭中水平 鉛直 平行與垂直的現象 S-1-07 說明 : 例 : 觀察傾斜的裝水透明正方體容器 ( 例如 :1 公升的正方體透明容器 ) 中的水平面 容器底面與鉛垂繩子三者之間的關係 先認識水平與鉛直的概念 再透過觀察桌腳與地面 牆角 樑柱 各式窗格 欄杆 圓柱的軸向等, 認識垂直與平行的現象 希望學童能注意到窗格垂直與切蛋糕四等分的方式相同 平行大致上是寬度相同的意思 從窗格觀察到垂直與平行間的關係 2-s-03 能使用直尺畫出指定長度的線段 說明 : 單位限 公分, 直尺長度小於 15 公分 基本上在學習使用直尺畫線 由於學童手部肌肉尚未發展成熟, 教師不宜過度評量 2-s-04 能畫出兩點間的線段, 並測量其長度 說明 : 本細目在讓學童體會兩點決定一直線, 並可度量其距離的事實, 但在教學上 N-1-16 S-1-02 N-1-16 S-1-02 不必提及這些性質 ( 參見 1-n-10) 學童可先運用直尺, 在兩點間做一線, 再進行測量, 測量長度不超過 15 公 分 2-s-05 能認識面積, 並作直接比較 ( 同 2-n-17) N-1-14 S s-06 能由邊長關係, 認識簡單平面圖形與立體形體 N-1-16 S

77 說明 : 例 : 由實測邊長, 知道邊長相等的幾何形體有正三角形 正方形 正方體 代數 2-a-01 能用 < = 與 > 表示數量大小關係, 並在具體情境中認識遞移律 ( 同 2-n-03) N-1-01 A a-02 能將具體情境中單步驟的加 減問題列成算式填充題, 並解釋式子與原問題情境的關係 A-1-02 說明 : 例 : 小明原有 8 張怪獸卡, 又獲得幾張怪獸卡之後, 總共有 13 張怪獸卡?, 學生能將題目列成 8+( )=13, 且能說明式子和題目之間的關係 當學生具有充足的學習經驗之後, 教師可引入如被加數未知 被減數未知等不同題型之算式填充題, 讓學生列式並解釋式子和題目之間的關係 本細目主要為發展兒童列式之能力, 問題中之數量 情境描述應配合學生的認知發展 2-a-03 能在具體情境中, 認識乘法交換律 A-1-03 說明 : 本細目為 檢查細目, 應併入整數教學單元中進行 ( 參見 2-n-06,2-n-08), 不應另立單元教學 乘法交換律 一詞建議不出現在四年級 ( 包括四年級 ) 以前的教學與課本中 兒童在解 一排有 7 個人,4 排有幾個人? 的問題時, 他可以看成一排有 7 個人有 4 排得 7 4, 或一列有 4 個人有 7 列得 4 7, 結果都一樣 ( 參見 2-n-06) 認識乘法交換律以後, 知道九九乘法表中有一半的乘法事實可以透過交換律得到 ( 參見 2-n-08) 2-a-04 能理解加減互逆, 並運用於驗算與解題 A-1-04 說明 : 本細目為 檢查細目, 應併入整數教學單元中進行 ( 參見 2-n-04), 不應另立單元教學 加減互逆 一詞建議不出現在教學與課本中 與 1-a-03 的主要差別是, 這裡不再涉入具體情境, 應該用比較形式的方式應用加減互逆, 來作加減算式的驗算或解題 例 : 小華有 5 元, 牛奶糖一盒要 12 元, 小華還需要多少錢才能買一盒牛奶

78 糖? 學生可依題意列出 5+( )=12, 並透過 12-5 的算式解決問題 也可開始引入下列題型, 作為學童練習 加減互逆 的題型 學童不了解如何解題時, 教師可以提供具體的解題情境, 讓學童運用在具體情境中的解題方式 例 :18+( )=27,22-( )=14,( )+12=30,( )-25=

79 ( 三 ) 三年級 數與量 3-n-01 能認識 以內的數及 千位 的位名, 並進行位值單位換算 N-1-01 說明 : 參見 1-n-01,2-n-01,2-n-02 新增位值單位為 千位, 並認識 和 1 彼此之間的關係, 例如知道 千 是 10 個 百 例 : 位值單位的換算可讓學童進行如知道 15 個 百 是 1 個 千 5 個 百 應認識 1000 元的錢幣, 並進行錢幣換算之活動 ( 參見 2-n-02) 3-n-02 能熟練加減直式計算 ( 四位數以內, 和 <10000, 含多重借位 ) 說明 : 參見 2-n-04 本細目旨在檢查三年級應熟練加減直式計算 ( 包括連加法 ) N-1-02 N-1-05 熟練的意義, 包括學童能流利應用心算來計算連加的直式計算 3-n-03 能熟練三位數乘以一位數的直式計算, 並解決二位數乘以二位數的乘法問題 N-1-02 N-1-07 說明 : 在恰當教學時機, 應引導學生討論 0 的乘法 三年級學習乘法直式計算的程序, 由淺入深, 順序如下 : (1) 在二年級已完成九九乘法, 並以橫式記錄 ; 三年級一開始, 先將九九乘法用直式來表示 (2) 二位數乘以一位數 ( 例如 32 6), 學童應理解其意義 (32 6 是 30 7 與 2 6 的和 ) (3) 三位數乘以一位數, 教師引用 (2) 的經驗, 說明計算的意義與規則即可, 讓學童自行熟練 (4) 二位數乘以 10 的倍數 ( 如 等 ) 學童應理解其原理, 並與 (2) 相結合 這裡雖隱含乘法結合律, 但不用強調 三年級結束前應理解二位數乘以二位數 ( 例如 34 25) 的直式計算的意義 學童應理解 是 的和, 其中 34 5 可以配合 (2) 的經驗, 可以配合 (4) 的經驗, 在學童熟悉此原理並能解決問題後, 再將其以直式來記錄

80 3-n-04 能理解除法的意義, 運用 = 作橫式紀錄 ( 包括有餘數的情況 ), 並解決生活中的問題 N-1-04 說明 : 以 2-n-07 的前置經驗, 在 分裝 與 平分 兩種不同的情境中, 理解除法的意義, 並知道除式的記法 理解商與餘數的意義, 並能由餘數判斷是否整除, 知道餘數要小於除數的約定, 以及被除數減餘數後就可以被整除的事實 知道除式記法中 被除數 除數 商 的位置, 並知道如何記錄 餘數 記法為 32 6=5 2 關於除法的日常生活問題, 要特別小心餘數的處理 例 : 全班 35 個小朋友搭遊覽車作校外活動, 每排座位坐 3 個小朋友, 請問全班小朋友坐了幾排座位?, 這時的答案不是 11 排而是 12 排, 因為剩下的 2 個小朋友也需要坐一排 但是如果問題換成 35 顆巧克力糖平分給 3 個小朋友, 每個小朋友可分得幾顆?, 由於問題強調平分, 所以答案是每個小朋友分得 11 顆, 當然學童應注意到還有 2 顆剩下來 連結量與實測之長度測量的活動於除法單元中 如線段問題 : 把一條長 8 公分的緞帶, 以每 2 公分剪成一段時, 可剪成四段 ( 包含除 ) 可讓學童用 2 公分做測量單位進行實測, 來求出答案 亦可以將題目改為 : 把一條長 8 公分的緞帶, 分給 4 個人, 每人可以得到多長的緞帶?( 等分除 ) 要連結 分裝 ( 包含除 ) 與 平分 ( 等分除 ), 可以運用 2-n-06 中的排列模型, 本質上是乘法交換律 在 平分 的情境中, 理解 先處理大數, 再處理小數 的訣竅, 例如 36 個平分為 3 份時, 可先將 30 個平分成 3 份得 10 個, 再將 6 個平分成 3 份得 2 個, 所以總共平分得 12 個 這是理解除法直式計算及分數除法 ( 例 : 10 3=3 1 3 ) 的前置經驗 三年級除法教學也應該理解簡單的連續量除法 ( 也可在 3-n-07 或 3-n-09 中進行 ) 例( 等分除 ): 有一條緞帶長 40 公分, 平分給 4 個小朋友, 每個小朋友的緞帶是多長?, 學童不只要能計算 40 4=10, 也應理解在此情境中平分的意義 例 ( 包含除 ): 有一條緞帶長 40 公分, 每 10 公分剪一段, 可剪成多少段?, 學童不只要能計算 40 10=4, 也應理解此問題相當於用 10 公分為單位, 去測量此緞帶 ( 例如先做標記再剪斷 ) 在除法教學中, 若要檢查兒童對所給定的除法算式是否理解, 可讓學童練習擬出對應的生活應用情境 ( 包含餘數的處理 ) 3-n-05 能熟練三位數除以一位數的直式計算 N

81 N-1-07 說明 : 學習除法直式計算, 以九九乘法的熟練為軸心, 熟練估商的技巧 ( 其前置經驗為 2-n-07) 三年級除法直式計算的大致進程如下: (1) 在 2-n-07 的九九乘法範圍中, 學習兩位數除以一位數的除法直式紀錄方式, 這時是可整除的情況 (2) 兩位數除以一位數, 且商為一位但有餘數的情形 ( 例 : ), 熟練運用九九乘法來估商, 並能計算餘數 (3) 兩位數除以一位數, 且商為兩位但可能有餘數的情形 ( 例 : ), 知道兩位的商出現的原因 ( 參見 3-n-04 先處理大數, 再處理小數 的說明 ), 並知道如何用九九乘法估商的十位數 ( 不要用分配律來說明 ) 應讓學童徹底理解這個情況裡, 除法直式計算記法的意義 (4) 處理被除數為三位的情況, 教師不需要每次都討論其意義, 但應清楚讓學童知道, 整個計算方式只是 (3) 的延伸 除法計算對此階段的學童來說較困難, 整個除法直式的熟練, 應到四年級, 評量上應多分析學童發生錯誤的原因, 不要過於嚴苛 3-n-06 能在具體情境中, 解決兩步驟問題 ( 加 減與除, 不含併式 ) N-1-08 說明 : 繼續 2-n-09, 進行兩步驟的解題, 只是多了除法 包括除法的兩步驟問題, 必須特別小心餘數的處理 ( 參見 3-n-04) 例 : 園遊會需要 8 公分的短緞帶打成小花結來裝飾, 小麗已經有 20 個小花結, 但是還不夠, 小明再找來 240 公分長的長條緞帶, 用剪刀剪成短緞帶, 請問總共可打成多少個小花結?, 算式先做 240 8=30, 再算 20+30= 50 這題也可改成 245 公分的長條緞帶, 學童應知道不必處理多餘的部分 例 : 園遊會需要 8 公分的短緞帶打成小花結裝飾, 小明找來 300 公分長的長條緞帶, 準備用剪刀剪成短緞帶, 但是隔壁班要走了 100 公分的緞帶, 請問剩下的緞帶總共可打成多少個小花結?, 算式是 =200,200 8=25 在兩步驟問題中, 也可以出些簡單的區間問題, 增加學童解題的經驗, 但由於此種題型無法直接從數字進行計算, 仍須經過思考轉換, 所以題目上的數字不宜太大, 將焦點擺在思考的訓練上 例 : 小英幫班上布置園遊會會場, 她想在一條 6 公尺長的彩繩上, 每隔 2 公尺綁上一個小花結, 首尾都要有, 請問小英需要多少小花結?, 算式是 6 2=3 3+1=4 例 : 小華要在 60 公分的花繩掛 4 個鈴鐺, 由於花繩兩端要固定在牆上, 不掛鈴鐺 如果小華希望鈴鐺能平均地掛在花繩上, 也就是兩相鄰鈴鐺的距離及鈴鐺與端點的距離都要一樣, 那麼距離應該是多少呢?, 教師應先說明題意

82 3-n-07 能由長度測量的經驗, 透過刻度尺的方式來認識數線, 標記整數值, 並在數線上作比較 加 減的操作 N-1-11 N-1-12 說明 : 學童在有了長度測量的經驗之後, 數線在此時可適時引入 數線是統整所有數系及幾何的重要基礎, 應讓學童慢慢學習數線的使用 數線初步引入時, 只是像尺一樣的半線, 左邊以 0 為起點, 但右邊不做限制 在學童對數線還不熟悉時, 可以暫時用刻度尺的方式去解釋, 但要讓學童意識到數線與一般尺稍有不同, 譬如可以把數線想像成一把很長的尺 數線概念最重要的概念是數與點的對應, 例如數線上的 1 除了代表在數線上的位置是 1, 也代表與原點的距離是 1 日常生活中也有許多數線的具體例子, 例如高速公路上在連續兩里程碑之間以 0.1 至 0.9 的小牌 離起點 49 公里的交流道等? 以 1-n-10 長度的合成分解為前置經驗, 以刻度尺為例, 學童應理解在刻度尺 上如何模仿離散量, 做加與減的具體操作 在此後不斷學習新的數量時, 也要同時強調這些操作, 讓學童最後能將各種數匯聚到數線上 3-n-08 能在具體情境中, 做三位數以內的加減估算, 並用來檢驗答案的合理性 N-1-02 說明 : 估算教學請參閱附錄中 估算 的主題說明 估算是比較高層次的數學能力, 在教學時, 首先應確定學童有正確計算的能力, 並透過恰當的問題, 來訓練學童的估算能力, 讓學童在日常應用中, 能有判斷的依據 教師不宜在評量時, 直接要求標準答案, 也切忌認為使用正確計算的學童是錯誤的 評量以利用排除錯誤答案的方式來進行比較恰當 ( 見後例 ) 三年級學童已理解加減法的意義, 可以在具體情境中, 引入估算的問題, 並使用 大約 大概 差不多 等語詞 加減估算教學, 先從加減法的較大位數估算入手 由合成分解情境, 捨去十位以下的數, 知道 會比 50 大, 不可能是 40 多 反過來知道和不可能多於 70 並將估算結果記錄為 50 < < 70 例 : 小明有 250 元, 小華身上有 400 多元, 他們可以合買一套 800 元的漫畫嗎? 小明的錢不到 300 元, 小華的錢不到 500 元, 因此他們的錢不可能湊足 800 元 例 : =( ), 請問下列答案中, 何者最靠近正確答案 (1)200 (2)500 (3)700? 在上述的估算熟練後, 也可以估算如 , 告訴學童估成

83 比估成 恰當的理由 但暫時不宜碰觸四捨五入的課題 3-n-09 能在具體情境中, 初步認識分數, 並解決同分母分數的比較與加減問題 N-1-09 說明 : 在三年級應初步認識分數的意義, 並能理解在日常生活中使用分數的溝通方 式 本細目的目標在於, 學童從具體情境或活動中掌握分數的概念, 能學會 分數的記號, 並理解運用分數記號來記錄同分母分數的比較與加減的方式 評量時不以形式記號之操作為目標, 形式計算應留到四年級之後 這裡的分數並未限制在真分數, 其目的在於避免以後分數教學的限制 但是 由於日常生活的分數使用, 常常用到小於 1 的分數, 因此在三年級多強調真 分數的部分是自然的, 但是教師不必自限於真分數 本細目在評量時, 學童 應能完成的幾項目標, 分列如下 : 以平分為基礎的活動 ( 連續量 ): 3 (1) 知道 一個披薩的四分之三 或 一個披薩的 4 是將一個披薩平分成 4 1 片後, 取其中的 3 片, 因此相當於 4 個披薩取 3 片, 記成 3 4 個披薩, 並 能說明分子 分母的意義 3 (2) 由於學童在 (1) 中已學過 4 個披薩是一個披薩平分成 4 片後, 取其中的 3 片, 而 2 4 個披薩 也是同樣的意思, 因此學童可以了解 3 4 個披薩 比 2 4 個披 薩 多的原因, 亦即學童可以學習比較同分母分數的大小 同時, 透過 一 半 的語言, 也能說明為什麼 2 4 個披薩 就是 1 2 個披薩 (3) 由於學童在進行同分母分數的大小比較時, 常常只以分子的大小比較作為解 題策略, 亦即學童只用整數的大小比較就可以答對, 因此亦誤使教師以為

84 學童的學習情況良好, 但學生常常沒有注意這必須是在相同的單位量下才 可以使用此策略, 因此建議增加下列二類活動以澄清學童對分數概念及同 分母分數大小比較的了解 例 : 1 盒餅乾有 8 片, 分給小志和小英, 小英得到 3 盒, 小志得到 2 片, 8 3 請問誰得到比較多的餅乾?, 以檢驗學生是否知道盒是 3 片 ( 將 8 片 8 3 平分成 8 等份後的 3 等份 ), 所以盒比 2 片多 8 例 : 哥哥有 8 個蘋果, 姊姊有 16 個蘋果, 哥哥吃掉自己全部蘋果的 姊姊吃了自己全部蘋果的 5, 8 3, 請問誰吃的蘋果個數比較多?, 以檢驗學 8 生是否注意到不同單位量的影響 同樣的, 上述活動均讓學生透過將蘋果 平分成幾份再取幾份的方式, 以具體量作比較 (4)( 討論活動, 不宜評量 ) 例 : 有 8 個小朋友到披薩屋吃披薩, 由於餐廳人 擠, 有 5 個小朋友坐在一張大桌子,3 個小朋友擠另一張小桌子, 他們共 點了 2 個披薩要平分, 要怎麼分? 首先學童要能先理解,8 個人分 2 個披薩, 相當於 4 個人分 1 個披薩, 也 1 1 就是每人分 4 個披薩 如果披薩已經 4 等分切好, 大桌子的小朋友要拿走 4 個披薩共 5 片, 擴張 (1) 的解釋, 可將此記為 5 4 個披薩 ( 教師要強調 5 個披薩 的單位才能化解小朋友誤認為 8 的問題 ) 並且讓學童討論 5 4 個 1 披薩 其實就是 1 個披薩再加上 4 個披薩, 也要討論 5 4 個披薩 再加 上另一桌的 3 4 個披薩 就是 8 4 個披薩, 也就是 2 個披薩 在三年級 只要做這樣的活動即可, 較一般的解釋則留到四年級 ( 參見 4-n-06)

85 上述例子除了分數日常使用的約定外, 也應將牽涉到的運算記錄下來 ( 只 是記錄, 不宜評量 ) 例如 : 3 4 個披薩 > 個披薩, 並簡記為 4 >2 4 ; 2 4 個披薩 = 個披薩, 並簡記為 4 =1 2 ; 5 4 個披薩 =1 個披薩 個披薩, 並簡記成 4 =1+1 4 ; 5 4 個披薩 個披薩 = 個披薩 =2 個披薩, 並簡記成 =8 4 =2 以平分為基礎的活動 ( 離散量 ): (1) 例 : 知道 30 元的二分之一 意指 30 元的一半, 也就是 30 元除以 2 的溝 通約定 ( 這只是針對 平分 的合理解釋, 是 30 元 1 2 的前置經驗, 但並 不相同 ) (2) 例 : 知道 32 顆葡萄的四分之三是 24 顆, 意指將 32 顆葡萄平分成四份 ( 每份 32 4=8 顆 ), 再取其中的三份 ( 得 8 3=24 顆 ) 部分與全體的活動 ( 離散量 ): (1) 例 : 知道 小明有一盒巧克力, 他自己要留一半, 其他再平分給小麗和小 1 華, 意指小麗與小華會各得 全部巧克力的 4, 小明自己則保留 全部 巧克力的一半 或 半盒 並知道 這盒糖果我們四個人各分四分之一 的意思, 意指將盒中的糖果平分給四人的意思 (2) 例 : 知道 一盤水果有 6 顆蘋果, 小明拿走 2 顆蘋果, 相當於拿走了全部 2 蘋果的 6, 2 並知道 2 顆蘋果佔 6 顆蘋果的 6, 1 也就是 3 也知道若將 1 個 2 披薩平分成 8 片, 則 2 片佔全部的 8, 1 也就是 4 ; 也可問下列深色區域是全 部圖形的幾分之幾 ( 參見 3-s-06) ( 進階討論, 有恰當時機再進行, 不宜評量 ) 還可以在具體情境中 ( 例如分 1 披薩 ), 討論自然的分數問題 例 : 如果一餐吃 3 個披薩,1 個披薩可以吃幾

86 餐? 如果 2 個披薩平分給 3 個人, 應該怎麼分?, 不用做符號式的紀 錄 3-n-10 能認識一位小數, 並作比較與加減計算 N-1-10 說明 : 在處理連續量的脈絡中, 連結數與測量, 是理解小數的一種方法 ( 例如使用 有公分與毫米之刻度尺 ) 小數的學習不需要限制在 1 以內, 因為這與測量 的情境不符 1 新增位值單位為 十分位, 位名的由來是由於 10 =0.1 的關係 對於一位小 數的讀法應注意,10 個 0.1 合起來是 1.0= =1, 而非 零點十 在測量情境中, 使用直尺 ( 數線 ) 上之加 減計算方式, 以 0.1 為計數單位, 來學習一位小數的記號與計算, 再記錄成算式並練習 ( 不限制在 1 以內 ), 例如 : 知道 2.1> = =9.3 三年級學童已熟悉整數加減法與乘法直式計算, 應學習一位小數 ( 整數兩位 ) 的加減直式計算 重點在熟悉小數點的意義, 知道小數點區隔了整數和小數 的部分, 並理解在小數加減直式計算中要對齊小數點 3-n-11 能認識時間單位 日 時 分 秒 及其間的關係, 並作時或分同單位時間量的加減計算 N-1-13 說明 : 能認識 1 日 =24 時 1 時 =60 分 及 1 分 =60 秒 的關係 例 : 能用馬表報讀同學跑 50 公尺, 所用的時間 ( 幾秒 ) 能認識 24 小時制, 知道 15 時 20 分就是下午 3 時 20 分 知道正午是 12 時 0 分, 凌晨是 0 時 0 分, 也是 24 時 0 分 由於時間的計算, 牽涉到時間單位的複雜進位 (24 進位 60 進位 ) 與數的 10 進位記數系統混合的問題, 必須完全仰賴單位的換算, 比其他量要困難 因此在三年級時, 只宜進行 時 或 分 同單位時間量之加減計算 例 : 知道現在的鐘面是 5 時 53 分, 而且差 7 分就是 6 時 例 : 媽媽說 我再過 2 小時會回來, 現在時鐘是 3 時 20 分, 請問媽媽什 麼時候會回來? 例 : 小麗上學出門時是 7 時 42 分, 走到學校時已經是 7 時 55 分, 請問小麗 從家裡到學校走了多少時間? 3-n-12 能認識長度單位 毫米, 及 公尺 公分 毫米 間的關係, 並作實測與相關計算 N

87 說明 : 認識 1 公分 =10 毫米 1 公尺 =1000 毫米 的關係 1 毫米的引入應與小數教學相互加強 知道 0.1 公分 ( 或 10 公分 ) 就是 1 毫米, 也應知道 2.1 公分 就是 2 公分 1 毫米 3-n-13 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同容器的容量 N-1-15 說明 : 量的教學請參見附錄中 量與實測 的主題說明 3-n-14 能認識容量單位 公升 毫公升 ( 簡稱 毫升 ) 及其關係, 並作相關的實測 估測與計算 N-1-16 N-1-17 說明 : 認識 1 公升 =1000 毫公升 的關係 並知道日常生活的應用中, 毫公升 也常標記為 ml 與 cc 例 : 知道養樂多一瓶為 100ml, 並操作 10 瓶養樂多為 1 公升的活動 理解 1 一瓶養樂多的容量是 0.1 公升或 10 公升 例 : 小明的水壺可裝約 8 瓶半的養樂多水量, 則小明水壺的容量約為 =850(cc 或毫升 ) 3-n-15 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同物體的重量 N-1-15 說明 : 量的教學請參見附錄中 量與實測 的主題說明 可在此細目中再進行一次遞移律的活動 ( 參見 2-n-03), 由於重量不是一個 視覺量 ( 小的物品可能較重 ), 特別適合討論遞移性 3-n-16 能認識重量單位 公斤 公克 及其關係, 並作相關的實測 估測與計算 N-1-16 N-1-17 說明 : 認識 1 公斤 =1000 公克 的關係 例 : 知道全家人的體重, 並能計算全家人體重的總和 例 :6 公斤 500 公克的油, 若 600 公克的油裝一瓶, 共可裝滿 10 瓶, 還剩 500 公克的油 注意分辨 淨重 與 毛重 的差別 例 : 用洗菜籃裝蕃茄去秤重得 1 公斤, 又洗菜籃為 100 公克, 則蕃茄的淨重為 900 公克 3-n-17 能認識角, 並比較角的大小 ( 同 3-s-04) N-1-14 N

88 S-1-03 說明 : 量的教學請參見附錄中 量與實測 的主題說明 3-n-18 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同面積的大小, 並認識面積單位 平方公分 ( 同 3-s-05) N-1-15 N-1-16 說明 : 量的教學請參見附錄中 量與實測 的主題說明 幾何 3-s-01 能認識平面圖形的內部 外部與其周界 S-1-04 說明 : 以周界 ( 輪廓線 ) 來區分平面圖形的內部 外部, 強調平面圖形本身的封閉性質, 並讓學童理解周界為該圖形的組成要素 原則上, 只考慮常見的平面圖形 不考慮如 環 狀圖形, 也不處理複雜如螺旋形的圖形 3-s-02 能認識周長, 並實測周長 說明 : 認識周長是平面圖形周界 ( 輪廓線 ) 的長度 這裡強調的是以實測的方式來 N-1-16 S-1-04 測量周長, 其精確度可到毫米 實測對象以長方形等的簡單平面圖形為主 當圖形形狀簡單時, 例如正方形, 且其邊長為整數或一位小數時 ( 在三年級的限制下 ), 也可透過連加或乘法來計算其周長 3-s-03 能使用圓規畫圓, 認識圓的 圓心 圓周 半徑 與 直徑 說明 : 圓規的針尖處是 圓心, 筆尖與針尖的距離是 半徑, 旋轉一周所畫出之 S-1-02 S-1-04 圖形為 圓 ( 只考慮此曲線時為 圓周 ) 知道圓心與圓周上任一點之距離皆等長 ( 半徑 ) 若圓周上兩點連線過圓心, 則此兩點的距離為 直徑, 是半徑的兩倍 也可以讓學童理解, 利用圓規筆尖與針尖間的距離為單位, 來測量線段的長度 3-s-04 能認識角, 並比較角的大小 ( 同 3-n-17) N

89 N-1-15 S s-05 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同面積的大小, 並認識面積單位 平方公分 ( 同 3-n-18) N-1-15 N s-06 能透過操作, 將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形 S-1-05 說明 : 由 1-s-04 的前置經驗, 可透過全等操作 ( 平移 翻轉 ), 將已分割之平面圖形, 重組為另一已知的平面圖形 本細目的差別在於, 學童必須自己推敲組成的方式 本細目的另一重點為練習平面圖形的簡單切割, 如將一個長方形切割成兩個三角形, 再組合成一個平行四邊形 這可以讓學童同時學習平面的全等操作 面積的保留概念與分數 代數 3-a-01 能將具體情境中單步驟的乘 除問題列成算式填充題, 並能解釋式子與原問題情境的關係 說明 : 例如 : 小明有一些怪獸卡, 平分給 4 人, 每人得到 3 張怪獸卡 請問小明原有 幾張怪獸卡? 學生能將題目列成 ( ) 4=3, 且能說明式子和題目之間的關係 當學生具有充足的學習經驗之後, 教師可引入如被乘數未知 除數未知等不同 題型之算式填充題, 讓學生列式並解釋式子和題目之間的關係 本細目最主要為發展兒童列式之能力, 問題中之數量 情境描述應配合學生的 認知發展 A a-02 能在具體情境中, 認識乘除互逆 A-1-05 說明 : 本細目為 檢查細目, 應併入整數教學單元中進行 ( 參見 3-n-04), 不應另立單元教學 乘除互逆 一詞建議不出現在教學或課本中 例 : 在 一包口香糖有 12 片,8 包口香糖有幾片? 的問題中, 兒童能理解 12 的 8 倍是 96, 也知道 96 平分成 8 份是 12( 等分除 ), 以及 96 片口香糖,12 片裝一包, 可裝 8 包 ( 包含除 ) 暫不強調較形式乘除互逆的熟練 ( 參見 4-a-03), 但可做練習

90 統計與機率 3-d-01 能報讀生活中常見的直接對應 ( 一維 ) 表格 D-1-02 說明 : 例 : 電視節目表 各班人數表 餐廳價格表等, 並配合 數與量 單元進行 教學 3-d-02 能報讀生活中常見的交叉對應 ( 二維 ) 表格 D-1-03 說明 : 例 : 用功課表等來教學, 並配合 數與量 單元進行 可利用火車時刻表等, 來規劃旅行計畫

91 ( 四 ) 四年級 數與量 4-n-01 能透過位值概念, 延伸整數的認識到大數 ( 含 億 兆 之位名 ), 並作位值單位的換算 N-2-01 說明 : 參見 1-n-01,2-n-01,3-n-01 認識由 個 十 百 千 及 萬 億 兆 所組成的位名, 及其形成的計數系統 進行兩階或跨階單位的換算 例 : 知道 千 是 百 的十倍, 十 是 千 的百分之一 例 : 學童知道 讀作五億零三百萬, 以及能將三百二十萬三千寫作 例 : 也可練習 8 萬 6 千 +9 萬 7 千 3 萬 4 千 -9 千 2 億 3000 萬 +4 億 5000 萬的問題 4-n-02 能熟練整數加 減 乘 除的直式計算 N-2-02 說明 : 參見 3-n-02 3-n-03 3-n-05 熟練加 減 乘 除直式計算, 是四年級的重要教學目標 原則上位數不應設限, 但也不要過於繁瑣, 重點在於不讓學童自我侷限於較小位數的計算, 並且有處理大數計算的經驗 在學習直式計算的進程中, 不鼓勵學童用交換律, 因為這個捷徑, 對掌握直式計算的算則並無好處 但除此之外, 在一般解題與計算中, 當然鼓勵學童用自己比較能掌握的方法 4-n-03 能在具體情境中, 解決兩步驟問題, 並學習併式的記法 ( 包括連乘 連除 乘除混合 ) N-2-03 A-2-01 說明 : 併式在解題過程雖非必要, 但是可作為日後代數學習的前置經驗, 並且也可以讓學童理解四則混合計算的應用 ( 參見 4-n-04) 在本細目中, 應引入括號的使用, 並讓學童知道括號中的運算應先計算 例 : 一打鉛筆有 12 枝, 文具店有 3 打黃色鉛筆,7 打粉紅色鉛筆, 拆開來放在筆筒裡, 共有多少枝鉛筆?, 這個問題可併式記為 12 (3+7)=120 枝鉛筆 例 : 2 日有多少分?,2 日有 24 2=48 時, 但因 1 時 =60 分, 所以

92 時有 60 48=2880 分 可併式記為 60 (24 2)=2880 例 : 以正方體的小積木排一個長方體, 直排一排有 8 個, 橫排一排有 6 個, 高一排有 5 個, 共有多少小積木?( 這是體積公式的前置經驗 ) 例 : 一箱布丁裝 6 條, 一條布丁有 4 個, 媽媽買了 5 箱布丁, 拆開來共有多少個布丁?, 每箱布丁有 4 6=24 個布丁,5 箱布丁共有 24 5=120 個布丁 可併式記為 (4 6) 5=120 例 : 36 顆蘋果平分成 3 箱, 其中 2 箱送禮, 送出去多少顆蘋果?, 問題的解法可以列成每箱 36 3=12 顆蘋果,2 箱共有 12 2=24 顆蘋果 可併式記為 (36 3) 2=24 例 : 一箱蘋果有 24 顆, 將 2 箱蘋果分給 3 個人, 每人可分得多少顆蘋果?, 問題的解法可以列成 2 箱蘋果共有 24 2=48 顆蘋果, 再平分給 3 人, 每人得 48 3=16 顆蘋果 可併式記為 (24 2) 3=16 例 : 48 個布丁, 每 3 個布丁裝 1 盒, 每 8 盒裝一箱, 請問可裝成幾箱?, 問題的解法可以列成 48 個布丁可裝成 48 3=16 盒,16 盒又可裝成 16 8 =2 箱 可併式記為 (48 3) 8=2 例 : 72 個蓮霧, 平分給 4 個小隊, 再平分給小隊的隊員, 若每小隊有 6 名隊員, 請問 1 個隊員可以分到幾個蓮霧?, 問題的解法可以列成每小隊可得到 72 4=18 個蓮霧, 再平分給 6 個隊員, 每個隊員可得 18 6=3 個蓮霧 可併式記為 (72 4) 6=3 4-n-04 能作整數四則混合計算 ( 兩步驟 ) 說明 : 初步學習整數四則混合計算時, 併式的約定如下 : N-2-03 A-2-01 (1) 有括號時, 括號內的運算先進行 (2) 當式子中只有乘除或只有加減的運算時, 由左向右逐步進行 (3) 先乘除後加減 在整數四則混合運算時, 除法應能整除 關於混合計算可運用到的性質, 請參見 1-a-02,2-a-01,2-a-03, 4-a-01 4-n-05 能用四捨五入的方法, 對大數在指定位數取概數, 並做加 減之估算 N-2-05 說明 : 概數是大概準確的數字, 至於此概數是否恰當, 則依賴問題的情境 例如我們可以說台灣人口約兩千萬人, 但是如果我們關心的是今年台灣人口增加多少時, 那麼將去年與今年的人口都說成兩千萬人就是不恰當的 在指定位數用四捨五入法求概數

93 四年級階段只作整數的加減估算, 與乘 除有關的估算可在五年級配合小數 的教學時再進行 ( 參見 5-n-10) 4-n-06 能在平分情境中, 理解分數之 整數相除 的意涵 N-2-06 說明 : 理解分數的 整數相除 意涵 ( 例如 2 3= =2 3), 是分數教學的重 要課題, 日後一般學童也都只記得分數就是分子除以分母的概念 由於除法 有兩種不同的應用情境, 在四年級處理較簡單的平分情境 ( 等分除 ), 五年 級再處理測量的情境 ( 包含除 ) 在被除數附上單位的情境裡, 比較能順利 進行這個課題的教學 先複習 單位分數 ( 參見 2-n-10,3-n-09, 這是在平分情境中進行的 ), 例 1 如 : 將 1 個披薩, 平分給 3 個小朋友, 每個小朋友分得 3 個披薩, 因此 1 個 披薩 3= 1 3 個披薩, 簡記成 1 3= 1 3 討論 如何將 2 個披薩, 平分給 3 個小朋友?, 歸結到先將每個披薩各平 1 分成 3 片的方法, 再從每個披薩中各取 3 1 個披薩, 但是 3 個披薩有 2 片, 所 以應該是 3 個披薩, 也就是每個小朋友各分得 3 個披薩, 可以讓學童將 3 個披 薩總加起來, 確定會得 2 個披薩 1 在這裡教師一定要迫使學童處理, 這樣平分到底是 3 2 還是 3 的認知衝突 ( 即 全體與 個披薩 單位的衝突 ) 學童必須清楚知道, 2 個披薩的三分之一 2 是 3 個披薩 學童在這一點上能突破, 才能較穩定理解分數記號的意義 也可以再討論 如何將 4 個披薩, 平分給 3 個小朋友? ( 引導出帶分數的 結果 ) 如何將 2 個披薩, 平分給 4 個小朋友? ( 引導出等值分數 ) 等問 題 在具體情境中, 讓學童認識有餘數 ( 不准分割之離散量個別單位, 如 5 個糖

94 果分給 3 個小朋友 ) 與無餘數 ( 准許分割之連續量個別單位,5 個披薩平分 給 3 個小朋友 ) 兩者間的不同, 進而清楚理解這兩種情境的差別 4-n-07 能認識真分數 假分數與帶分數, 熟練假分數與帶分數的互換, 並進行同分母分數的比較 加 減與非帶分數的整數倍的計算 N-2-07 說明 : 由本細目, 開始發展分數的計算課題, 建議分母小於 20, 且用較常出現的數, 如 等 為與小數做連結, 應做分母 為 等的分數 由於分數本質上是一種乘除關係, 一般其加減計算其實比乘除計算複雜, 但 是在同分母的情形, 可以利用單位分數的點數, 與整數的計算完全連結, 這 就是本細目所處理的所有情形 建議教師先在一固定情境中 ( 如平分披薩 ), 將課題說明清楚並做計算練習後, 才開始做其他應用問題 ( 如平分緞帶 ) 本細目應處理 : 1 9 (1) 將整數點數與分數記號連結起來 ( 例如 9 個 4 就是 4 ) (2) 說明真分數 假分數 帶分數的意義 (3) 說明假分數與帶分數的轉換, 並理解這與分子除以分母的商與餘數的關係 (4) 說明整數的比較與計算如何與同分母的比較與計算連結 由於同分母分數的比較與加減, 與學童的整數經驗完全相同, 所以較容易 因此, 此細目可作假 ( 真 ) 分數的整數倍, 但不作帶分數的整數倍 在說明 2 分數的整數倍時, 先確定學童已能接受 4-n-06 中 若每個小朋友有 3 個披薩, 2 所以 3 個小朋友 (3 倍 ) 共有 3 個披薩 3=2 個披薩 的說明 教師可以採 用整數乘法的經驗, 建立整數倍的計算, 也可與 整數相除 的概念連結 簡單整數除數的情況也類似 透過分解合成, 理解加減互逆也可用於分數加減 理解作帶分數減法時, 可能要從整數借 1 的計算原理 並在以 10 為分母時, 理解這與小數相減借位的原理相通 本細目處理完後, 學童應能理解或計算 : <1<45 30,16 30 是真分數, 是假分數 =51 25 =2 1 25, = = =2,9 8 3=

95 21 33= ( 教師指定要寫成分數時 ) 4-n-08 能理解等值分數, 進行簡單異分母分數的比較, 並用來做簡單分數與小數的互換 N-2-08 N-2-13 說明 : 等值分數是一般分數加減的基礎, 也可當做約分 擴分的前置經驗 ( 參見 5-n-04) 本細目著重等值分數的概念理解, 其計算則應透過 5-n-04 來完成 可先討論 如何將 2 個披薩, 平分給 4 個小朋友?, 除了將每個披薩各平 分成 4 片的方法之外, 教師也要引導學童理解, 這問題相當於 如何將 1 個 披薩, 平分給 2 個小朋友? 於是可以得到 2 4 個披薩 = 1 2 個披薩, 簡記成 2 4 = 另外學童應該從具體平分情境中, 理解可用再細分的方式, 得到 4 個披薩 = =2 8 個披薩 這是擴分的前置經驗, 比約分容易操作 在具體的平分情境中 ( 參見 4-n-06), 知道 3 個披薩分給 9 人, 相當於 1 個 披薩分給 3 個人 因此 3 9 =3 9=1 3=1 3 其中 3 9=1 3 的情況, 可以當 作因數與約分的前置經驗 等值分數的學習與因數 倍數的學習, 不應隔得 太遠 ( 參見 5-n-03) 由於本細目僅強調 等值分數 概念的理解, 因此在處理比較問題時, 只處 理分母為 或 1000 的分數, 這些是比較常用的情形 2 先複習 2 =3 3 =4 4 = =1 的事實, 然後在具體情境中, 說明分數等值的理由 可先由分母的倍數差 2 4 倍的分數先出發 ( 因為切半的操作最簡單 ) 3 6 例如讓學童理解 4 與 8 即為等值分數, 並運用等值分數進行簡單異分母分數

96 ( 限一分母為另一分母之倍數時 ) 的比較, 如 : 3 4 =6 8 > 在這裡也引入 1000 = 1 100, 與小數相連結 4-n-09 能認識二 三位小數與百分位 千分位的位名, 並作比較 N-2-10 說明 : 1 新增位值單位為 百分位 及 千分位, 位名的由來是由於 100 = 及 1000 =0.001 的關係 學童應理解十分位 百分位及千分位, 如同整數時各個位值間的關係 ( 參見 4-n-01), 如 10 個 是 個 0.01 是 0.1 等, 並了解 0.023= = 要教導學童 小數點以下 2 位 或 2 位小數 的講法 ( 這相當於百分位 ), 因為小數的位名, 除了教學外, 很少使用 對於二 三位小數的讀法應注意, 如 讀成 零點二三五, 而非 零點二百三十五 例 :0.27 < 0.5, 或 0.3 > 0.299( 透過分數的轉換, 也許比較容易理解 ) 4-n-10 能用直式處理整數除以整數, 商為三位小數的計算 說明 : 在 4-n-06 中已經知道整數除以整數都可以表為分數, 在 4-n-08 中知道許多分數可以表為小數, 本細目則在學習如何將分數, 直接透過整數除以整數的計算, 表為小數 其商限定為最多三位小數 N-2-06 N-2-10 N-2-13 應鼓勵學童熟悉分母為 之真分數所對應的小數值 4-n-11 能用直式處理二 三位小數加 減與整數倍的計算, 並解決生活中的問題 N-2-10 說明 : 本細目的重點, 在於讓學童理解這與整數之四則直式計算幾乎相同, 其關鍵 在小數點位置的處理 4-n-12 能解決複名數的時間量計算, 以及時刻與時間量的加減問題 N-2-15 說明 : 本細目之加減計算含 日 時 分 秒 例 :2 時 35 分 =60 分 2+35 分 =155 分 60 時 =2 日 12 時 例 : 現在是早上 10 時 50 分, 再過 90 分是幾點?, 由於 90 分是 1 時 30 分, 所以再過 90 分是 11 時 80 分, 即 12 時 20 分, 知道是午後 20 分

97 例 : 現在是早上 10 時 30 分, 再過多久是午餐時間? 再過多久是放學時間?, 這個問題的答案以各校之課表時間為準, 教師要協助學生處理經過正午的時間計算問題 例 : 現在是下午 5 時, 知道再過 24 時, 是明天下午 5 時 再過 36 時是後天早上 5 時 例 : 小明上學出門時間是 7 時 45 分, 如果他走路需要花 20 分, 請問小明 會不會遲到? 例 : 小英今晚看卡通的時間是 30 分, 洗澡 15 分, 吃飯 50 分, 請問小英做 這些事, 總共花了幾時幾分? 例 : 電影片長 2 小時 15 分, 如果已經播了 57 分鐘, 還有多久才播完? 4-n-13 能認識長度單位 公里, 及 公里 與其他長度單位的關係, 並作相關計算 N-2-15 說明 : 能認識 1 公里 =1000 公尺, 所以 1 公里 = 公分 等 並可與概數的教學單元互相加強 ( 參見 4-n-05) 例 : 知道 操場跑 5 圈約為 1 公里 ( 假設操場一圈約為 200 公尺 ) 也能計算 操場跑 7 圈約為 1 公里 400 公尺 公里不容易直接估測, 不需強調, 但可討論其它的策略, 譬如由經驗知道大概相當於學童走 30 分鐘, 或大人走 15 分鐘的距離 教師也可舉當地兩市鎮間的距離為例子 例如 : 甲鎮到乙鎮的省道長 4 公里 300 公尺, 乙鎮到丙鎮之省道長 3 公里 800 公尺, 則順著省道由甲鎮到丙鎮, 長度為 7 公里 1100 公尺, 等於 8 公里 100 公尺 4-n-14 能認識角度單位 度, 並使用量角器實測角度或畫出指定的角 ( 同 4-s-04) N-1-16# S-2-05 說明 : 要注意學童以為度數隨角的邊長增加而增加的常犯錯誤 ( 這是與面積混淆所產生的錯誤 ) 學童在學習使用量角器時, 經常有無法對準中心及角的一邊未對齊 0 度線的問題, 教師應仔細檢查 學童初步熟悉 30 度 45 度 60 度 90 度 120 度 135 度 150 度 180 度的角度即可 在做角度估測時, 不應要求太嚴格 4-n-15 能認識面積單位 平方公尺, 及 平方公分 平方公尺 間的關係, 並作相關計算 N

98 說明 : 能認識 1 平方公尺 =10000 平方公分 4-n-16 能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式 ( 同 4-s-09) 說明 : 這裡所有長方形與正方形的邊長皆為整數 N-2-17 S-2-07 長方形面積公式 = 長 寬, 周長 =( 長 + 寬 ) 2 正方形面積公式 = 邊長 邊長, 周長 = 邊長 4 教師應與學童討論兩面積公式之間的關係 也應討論長方形面積相等, 形狀卻不一定相同 ( 因數的前置經驗 ); 若長方形周長相等, 形狀也不一定相同 可讓學童計算由長方形與正方形組成的簡單複合圖形, 只處理相接而不相重疊的圖形 如下圖 : 4-n-17 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同體積的大小, 並認識體積單位 立方公分 N-1-15# N-1-16# 說明 : 例 : 用數量一定 形狀及大小相同的積木, 堆積成各種可能的長方體或正方 體 認識 1 立方公分的積木, 用小積木複製某一特定物件, 並點數複製時所 使用的積木數量 幾何 4-s-01 能運用 角 與 邊 等構成要素, 辨認簡單平面圖形 S-2-01 說明 : 小學前三年與後三年的幾何教學定位不同 ( 參見幾何主題說明 ) 本細目一方面是針對前階段的檢查性細目, 但也是後階段幾何教學的開始 在 2-s-01 中, 先在實測中認識給定平面圖形的構成要素 本細目則在強調, 由構成要素來刻畫一簡單幾何圖形 在順序上, 前者是先給定圖形, 再作實測並認識 ( 例如 : 正方形在實測中, 邊長可能略有誤差 ) 但本細目, 則在強調用構成要素的性質來 刻畫 一理想的幾何圖形 ( 例如 : 四邊相等且四

99 角為直角的四邊形為正方形 ) 例 : 有一個直角的三角形是直角三角形 ; 有四個直角的四邊形是長方形 4-s-02 能透過操作, 認識基本三角形與四邊形的簡單性質 S-2-03 說明 : 本細目開始探討基本三角形與四邊形的簡單性質 操作可使用直尺 三角板 量角器 圓規 模型 ( 圖板的或骨架的 ) 摺紙 剪裁等 基本三角形如 : 正三角形 等腰三角形等, 其簡單性質如 : 正三角形三角相等 ; 等腰三角形兩底角相等 基本四邊形如 : 平行四邊形等, 其簡單性質如 : 平行四邊形沿對角線分開之兩三角形全等 4-s-03 能認識平面圖形全等的意義 S-2-04 說明 : 此為 檢查細目, 應在相關幾何教學中進行, 不需自成單元 在先前之幾何操作如平移 旋轉 翻轉中, 學童早已開始運用全等的直覺 本細目在將全等的概念定義得更清楚, 印證學童的經驗 簡單平面圖形的全等意指兩平面圖形在疊合時, 其頂點 邊 角完全重合 能以 對應頂點 對應角 與 對應邊 的關係來描述三角形全等的意義 理解平面圖形的性質 ( 參見 4-s-02), 在全等的操作下皆不變 4-s-04 能認識 度 的角度單位, 使用量角器實測角度或畫出指定的角 ( 同 4-n-14) N-1-16# S s-05 能理解旋轉角的意義 S-2-05 認識順時針 逆時針的意義 認識旋轉角度是沿著順時針或逆時針方向轉動的角度 4-s-06 能理解平面上直角 垂直與平行的意義 S-2-02 說明 : 能利用三角板來輔助垂直的理解, 並由窗格知道, 垂直相交的兩線段所成的四角相等 ( 對稱 ), 都是直角 也可由窗格門柵知道平行線在直觀上等寬 並將平行總結為 : 兩線( 段 ) 同時垂直於某線 ( 段 ) ( 注意本細目只討論平面上的情況 ) 在圓平分的例子中, 作兩次對半分割 ( 即 4 等分 ), 認識垂直就是 4 等分割時的自然結果, 並與分數中的 4 等分相互加強

100 4-s-07 能由直角 垂直與平行的概念, 認識簡單平面圖形 說明 : 本細目中的垂直與平行, 指的是邊的垂直與平行 S-2-02 S-2-03 例 : 透過直角 垂直與平行的概念, 認識直角三角形 平行四邊形 梯形 4-s-08 能利用三角板畫出直角與兩平行線段, 並用來描繪平面圖形 說明 : 例 : 學童會使用直尺或三角板畫出直角及兩平行線段, 進而用來繪製直角三 S-2-02 S-2-03 角形 正方形 長方形 平行四邊形與梯形 4-s-09 能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式 ( 同 4-n-16) N-2-17 S-2-07 代數 4-a-01 能在具體情境中, 理解乘法結合律 先乘再除與先除再乘的結果相同, 也理解連除兩數相當於除以此兩數之積 A-2-01 說明 : 本細目為 檢查細目, 應併入整數教學單元中進行 ( 參見 4-n-04), 不應另立單元教學 乘法結合律 一詞建議不出現在四年級 ( 包括四年級 ) 以前的教學與課本 注意到這裡的除法都必須整除 乘法結合律, 例 : 學童可以在具體情境中理解當計算 學期末, 每班發給 3 個小朋友學業優良獎, 一個年級有 10 班, 全校有 6 個年級, 共有多少個小朋友可以得到學業優良獎? 之問題時, 先計算 3 10 得出每個年級得獎人數後, 再乘以 6 個年級, 可以得到全校的受獎人數, 與先計算 10 6 得出全校的班級數後, 再計算 3 乘以全校的班級數, 得出全校的受獎人數之結果都一樣, 進而理解 (3 10) 6=3 (10 6) 的意義 乘法結合律, 例 : 以正方體的小積木排一個長方體, 直排一排有 8 個, 橫排一排有 6 個, 高一排有 5 個, 讓學童知道有許多不同的方式可以計算總積木數 這裡會用到乘法的結合律與交換律 單位換算也是自然的連乘與乘法結合律情境 例 : 知道 2 天有 分鐘, 且能說明結合律在此例中的意思 例 : 一盒糖有 15 顆,7 盒糖平分給 5 人, 一人分到多少顆糖?, 這個問題可以先算有多少顆糖 (15 7=105), 再算一人分到多少顆 (105 5=21); 也可以先將一盒糖分給 5 人 ( 每人 15 5=3 顆 ), 再看 7 盒糖一人分到多少顆 (3 7=21) 併式紀錄呈現:15 7 5=15 5 7, 可討論後者的計算較容

101 易 先乘再除相當於先除再乘, 也可以運用 2-n-06 中之乘法 排列 模型來理解 ( 圖例 :6 3 2=6 2 3) 續 4-n-03 例 : 48 個布丁, 每 3 個布丁裝 1 盒, 每 8 盒裝一箱, 請問可裝成幾箱? 學童應理解, 這相當於先計算每箱可裝 3 8=24 個布丁, 所以 =48 (3 8)=48 24=2 例 : 72 個蓮霧, 平分給 4 個小隊, 再平分給小隊的隊員, 若每小隊有 6 名隊員, 請問 1 個隊員可以分到幾個蓮霧? 學童應理解, 這相當於先計算總共有 6 4=24 個隊員, 所以 =72 (4 6)=72 24=3 例 : = =100 11=1100 例 : = =5 32=160 4-a-02 能將具體情境中所列出的單步驟算式填充題類化至使用未知數符號 的算式, 並能解釋式子與原問題情境的關係 A-2-03 說明 : 能將具體情境中簡單問題, 從含有 ( ) 的算式填充題, 類化至使用含有 甲 乙? 等的算式, 並能解釋算式與原問題情境的關係 ( 符號代表未知量 ) 例 : 小明原有 8 張怪獸卡, 又獲得幾張怪獸卡之後, 總共會有 13 張怪獸卡?, 學生能將題目列成 8+ =13, 且能說明式子和題目之間的關係 例 : 一包口香糖有 8 片, 需要購買幾包才會有 32 片的乘法問題, 學生能將題目列成 8 =32, 且能說明式子和題目之間的關係 4-a-03 能理解乘除互逆, 並運用於驗算與解題 A-2-02 說明 : 本細目為 檢查細目, 應併入整數教學單元中進行 ( 參見 4-n-03,4-n-04), 不應另立單元教學 乘除互逆 一詞建議不出現在教學與課本中 與 3-a-02 的主要差別是, 這裡不再涉入具體情境, 應該用比較形式的方式應用乘除互逆, 來作乘除算式的驗算與解題 例如 : 一包口香糖有 7 片, 需要購買幾包才會有 28 片的乘法問題, 學生可依題意列出 7 ( )=28, 並透過 28 7 的算式解決問題 也可引入下列題型, 作為學童練習 乘除互逆 的題型 學童不了解 如何解題時, 教師可以提供具體的解題情境, 讓學童運用在具體情境中的解 題方式 例 :12 ( )=84,( ) 25=175,169 ( )=13,( ) 16=

102 4-a-04 能用中文簡記式表示長方形和正方形的面積公式與周長公式 A-2-04 說明 長方形面積 長 寬 長方形周長 長 寬 2 或是長方形周長 長 2 寬 2 正方形面積 邊長 邊長 正方形周長 邊長 4 統計與機率 4-d-01 能報讀生活中資料的統計圖 如長條圖 折線圖與圓形圖等 說明 利用生活上的統計圖 作為例子 例如 某班的成績分佈情形 可分別以長 條圖 折線圖或圓形圖來呈現 報讀 是指將統計圖上所看到的資料讀出來 資料的解讀應於 社會 自然與生活科技 等領域的教學中進行為宜 圖 1 成績分佈長條圖 人數 分數 D-2-01

103 圖 2 成績分佈折線圖 人數 分數 圖 3 成績分佈圓形圖 此階段長條圖 折線圖不涉及座標的教學 只需對橫軸 縱軸的資料有所了 解 教師可以使用生活中簡單的長條圖 折線圖 來使學童認識統計圖上橫 軸 縱軸的資料 並報讀資料 圓形圖部份 不涉及圓面積 圓心角及扇形面積的教學 僅報讀資料 並觀 察各區域大小與資料間的對照關係 4-d-02 能報讀較複雜的長條圖 說明 此處的較複雜的長條圖是指各種變形或資料較煩瑣的長條圖 利用已學過的長條圖知識 讓學童舉一反三地報讀變形長條圖 並不需要 教遍各種變形長條圖 示例中的各種變形長條圖不一定都要呈現 可以當作學習活動來進行相關 討論 121 D-2-02

104 例 各種變形長條圖的樣式 圖4 男生人數 女生人數 人數 跳繩 閱讀 打籃球 聊天 興趣 畫圖 圖5 女生人數 男生人數 人數 打籃球 跳繩 閱讀 聊天 畫圖 興趣 圖6 聊天 8 閱讀 跳繩 5 打籃球 畫圖 男生人數 女生人數 圖 4 圖 5 又稱直條圖 圖 6 又稱橫條圖 教學上宜以直立的長條圖為宜 122

105 統計圖表的功能在於由圖表可以輕鬆掌握整筆資料 如果只看原始資料不容 易有整體印象 現成長條圖包括在報紙或雜誌中所見之長條圖 本細目著重在學童直接報讀 長條圖 而非將資料轉換成長條圖 可讓學童省去繪製大量資料圖表的時間 例 92 年五月全國各縣市人口數 人口統計電子報第 598 號 圖7 92年五月全國各縣市人口統計(萬人) 台 宜 桃 新 苗 台 彰 南 雲 嘉 台 高 屏 台 花 澎 基 新 台 嘉 台 台 高 金 連 北 蘭 園 竹 栗 中 化 投 林 義 南 雄 東 東 蓮 湖 隆 竹 中 義 南 北 雄 門 江 縣 縣 縣 縣 縣 縣 縣 縣 縣 縣 縣 縣 縣 縣 縣 縣 市 市 市 市 市 市 市 縣 縣 123

106 ( 五 ) 五年級 數與量 5-n-01 能在具體情境中, 解決三步驟問題 說明 : 本細目為檢查細目, 可與 5-n-02 結合, 不必另立單元教學 N-2-03 A n-02 能熟練整數四則混合計算 說明 : 這是小學對於整數四則混合計算的總結細目, 學童應能熟練整數四則運算的 N-2-03 A-2-01 性質, 來簡化計算 此時數量範圍要配合年級逐漸加大 5-n-03 能理解因數 倍數 公因數與公倍數 N-2-04 說明 : 以 1-n-07( 幾個一數 ),2-n-08( 九九乘法 ),3-n-04( 除法 ) 為前置經驗, 理解因數 倍數的概念 用列表的方式, 尋找兩數的公因數與公倍數 學童應知道兩整數的乘積一定是此兩數的公倍數 5-n-04 能用約分 擴分處理等值分數的換算 N-2-08 說明 : 在 4-n-08 的前置經驗中, 僅強調等值分數概念的認識 在本細目教學時, 可 由具體情境, 解釋約分與擴分的意義, 然後即應運用因數與倍數來理解約分 與擴分, 並做等值分數的換算 5-n-05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減 N-2-09 本細目在小學應以簡單異分母為教學重點, 所謂 簡單 係指兩分母滿足以下情況之一 (1) 分母均為一位數 ;(2) 一分母為另一分母的倍數 ;(3) 乘以 就可以找到兩分母之公倍數 ( 例如兩分母為 12 與 18) 通分是利用約分或擴分, 將兩異分母的分數, 變成兩同分母之等值分數後, 再來做兩同分母分數的比較與加減 由於本細目只作通分概念的認識, 並不要求化成最簡分數 ( 參見 6-n-02) 所以此時學童在做通分時, 可能只是做最簡單的分母相乘, 但教師應鼓勵學童盡量將答案約分為較簡單的分數

107 注意學童經常發生的錯誤類型 : 分母與分子各自相加減 5 3 例 : 當比較, 12 7 需算出 12 7 就可得出 35 的大小時, 由通分分別為及 因此, 發現不 5-n-06 能在測量情境中, 理解分數之 整數相除 的意涵 N-2-06 說明 : 先回顧用測量來理解除法的操作方式 (3-n-04 中平分線段的例題 ) 例 : 給定一條長繩長度為 35 公分, 以一段長度為 4 公分的木條去測量並標 記 ( 想成要將長繩剪成 4 公分長的短繩 ) 由整數計算知 35 除以 4 得到 8 3 ( 段 ), 但還剩下 3 公分 3 公分的長度, 相當於 4 公分的 4, 因此可將剩下 3 的 3 公分的繩子, 記成 4 段 於是可以將整個測量結果, 記成 35 4= ( 段 ) 或 ( 段 ) 用假分數與帶分數的互換, 檢查這個等式的意義 ( 注意到在測量情境中, 真 分數 假分數與帶分數結合的方式 ) 5-n-07 能理解乘數為分數的意義及計算方法, 並解決生活中的問題 N-2-11 說明 : 分數計算的課題, 不管是從形式練習面著手, 還是從情境說明著手, 學童都需要經常練習, 兩者俱進, 才會熟練 本細目在教學上應先處理帶分數乘以整數的問題, 再處理整數乘以分數的情況, 最後處理被乘數為一般分數的情形 理解 分數乘以分數 的方式很多, 底下只是一些方法的範例, 並不表示教師必須全部教完 在乘數為分數的教學中, 最要注意的錯誤類型, 是學童認為 乘積一定比被乘數大, 對於這個基於整數計算經驗的錯誤類推, 教師需細心處理 最好在最容易理解的 乘數為單位分數 的情況下, 就要開始處理 乘數為分數的教學宜先從單位分數開始 3-n-09 中談一數的 幾分之一 是本細目的前置經驗, 但不完全相同 分數倍 的理解比較抽象, 可讓學童從已經熟練的直覺與運算上, 認識其合理性 例 :1 個披薩 300 元,2 個披薩 600 元等, 將幾個轉成幾倍來列式, 再問 如 1 果兩個人平分 1 個披薩 ( 即各吃 2 個披薩 ), 應該各付多少錢? 如果三個人各 1 1 吃 3 個披薩呢? 如果五個人各吃 5 個披薩呢? 讓學童理解 , 其實

108 就是二等分 ( 除以 2 的二分之一 的一半 ) 三等分( 除以 3 的三分之一 ) 五等分( 除以 5, 的五分之一 ) 在此例要小心 元 這個單位不能再分, 因此被乘數必須能被整除 與上例類似的連續量例子 : 從測量情境的分數 整數相除 意涵入手, 假設作為測量單位的木條長 5 公分, 那麼測量結果,1 段就是 5 公分,2 段就是 1 10 公分, 因此 段 也可以作為倍數來理解, 這時問 2 段應該是多長, 顯然 就應該是 5 2= 5 2 公分 如此也可以得到一樣的結果 例 : 由長方形的面積公式入手 ( 只處理乘數是單位分數, 參見 4-n-15) 由於邊長是連續量, 很適合用在分數與小數的教學, 但要注意 4-n-15 的面積公式邊長都是整數 先固定面積公式中的 長, 例如 10 公分, 看出當 寬 1 為 1 與 3 的差別是, 後者的總面積是前者總面積 (10 1=10) 的三等分, 因 此應該是 =10 3, 以此類推 以上處理單位分數倍的方式, 可以建立 1 2 就是 2, 1 3 就是 3 的概念 接 3 著, 討論乘數分子不為 1 的情況如 2 倍的情況, 先在上述類似具體情境中 ( 面 積中可能要用到等積異形 ), 理解這其實就是 2 3 或 3 2; 或者用測量模 型, 則 3 2 相當於 ( 亦即 1 段加半段 ) 並可由此得到一般分數倍的計算 方式 : =5 3 2=5 3 2 =15 2 ( ) 接著, 再說明 = = = =15 8 ( ) 如果要一次完成分數乘以分數, 也可以深入探討長方形面積公式 例如要處 理長為 公分, 寬為 4 公分的長方形, 則可將長方形分割成 15 個長為 2 公分, 1 寬為 4 公分的小長方形, 再將小長方形與邊長 1 公分的正方形比較, 知道其 1 1 面積是 8 平方公分, 因此總面積為 8 15=15 8 平方公分 5-n-08 能認識多位小數, 並作比較與加 減的計算, 以及解決生活中的問 N

109 題 說明 : 所謂多位小數, 只是讓學童知道小數的位數, 原則上跟大數一樣, 可以一再 細分下去 實際教學時, 不特別自限於固定的位值限制即可 要教導學童 小數點以下 ( 後 ) 第 4 位 的講法 在進行多位小數教學時, 要同時將已知關於小數的直式計算加以延伸, 讓學 童理解多位小數的計算, 與小位數小數的計算方式相同 教師也不妨引用自然科學的實際例子, 讓學童知道在微小的世界中, 小數派得上用場, 例如細菌大概是 公分長, 更小的病毒, 大概 公分長 如果細菌像 10 元硬幣那麼大, 那麼小朋友就跟聖母峰一樣高 5-n-09 能用直式處理乘數是小數的計算, 並解決生活中的問題 N-2-12 說明 : 教學以二位小數的互乘為原則 先處理整數的小數倍的計算方式 乘數可先從 0.1 與 0.01 著手, 其效果相當 於移動小數點的位置 再考慮例如乘數為 0.2(= 2 10 ), 或乘數為 1.2(= ) 5-n-10 能用四捨五入的方法, 對小數在指定位數取概數, 並做加 減 乘 除之估算 說明 : 在應用上計算百分率, 經常要用到四捨五入 ( 參見 5-n-12) 例如全班有 人, 女生有 18 人, 則女生佔全班的 32,, 轉換成小數為 , 換成整數值的百分率, 則約為 56%, 若允許到小數一位, 則為 56.3% N n-11 能將分數 小數標記在數線上 本細目可在沒有刻度的輔助下標示整數 分數 小數 N-2-06 N-2-13 小數的標示以一位為原則 分數的標示應以如 等簡易分母為教學重點 5-n-12 能認識比率及其應用 ( 含 百分率 折 ) N-2-14 說明 : 比率 是分數課題之一 大多數情境強調的是部分佔全體的多寡與其表示法, 因此比率的值往往小於或等於 1, 且 1 就是 全部 ( 比率有時被延伸使用到 >1, 不屬於本細目 ) 日常生活中的加成, 如服務費加兩成 ; 犯罪成長率 120% 也是比率的例子 在五年級處理的部分量與全部量為整數或可恰當轉化為整數的量 例如 : 個人中有 75 人及格, 所以及格人數的比率是 100 =0.75 而不及格

110 人數的比率是 =0.25 也要能處理全部量與比率已知, 推得部分量的情況, 例如 : 全校 500 名學 53 童, 其中的 100 是女生, 請問女生有多少人?, 答案是 =265 部分量與所佔比率已知, 推得全部量的問題則到六年級再處理 ( 參見 6-n-03,6-n-04) 百分率是最常用的比率表示法, 學童應理解其意義 記法與應用, 知道 % 就是 1, 也就是全部 例 : 知道 100 =0.75, 可記成 75% 知道這次考試有 75% 的同學及格, 則不及格的同學佔全班 25%, 知道這相當於計算 1-75%=100% 75%=25% 例 : 500 人的 75% 是多少人?, 若全校有 500 人, 女生有 275 人, 則男生佔全校人數的百分之多少? 熟練常用的百分率與分數轉換, 如 :100%=1( 全部 ),50%= 1 2 ( 一半 ), 25%= 1 4,75%=3 4,20%=1 5,40%=2 5,60%=3 5,80%=4 5,10%= 1 10 折 的日常用法要熟悉並能計算 知道 書店全面七五折 的意思相當於 以定價的 75% 計價, 若買 600 元的書, 只要付 =450 元 學童應理解這樣省了 1-75%=25% 另外要注意 七五折 不是 七十五折 要處理全體中有多少子類的情況, 可與統計機率的細目一起處理 ( 參見 5-d-01) 5-n-13 能解決時間的乘除計算問題 N-2-15 說明 : 本細目的單位換算與計算限於整數範圍 例 : 如果知道練習彈奏一首鋼琴曲要 5 分 30 秒, 連續彈奏三次需要多少時間? 例 : 連續播放一首歌曲五遍共需 31 分 15 秒, 只播放一遍需要多少時間? 5-n-14 能認識重量單位 公噸 及 公噸 公斤 間的關係, 並作相關計算 N-2-15 N-2-16 說明 : 1 公噸 =1000 公斤 本細目的單位換算與計算可引入分數或小數

111 5-n-15 能認識面積單位 公畝 公頃 平方公里 及其關係, 並作相關計算 N-2-15 N-2-16 說明 : 1 公畝 =100 平方公尺 1 公頃 =100 公畝 1 平方公里 = 平方公尺 本細目的計算可引入分數或小數 例 :1 平方公里 =10000 公畝 =100 公頃 例 : 若某正方形區域之公園, 面積為 1 公頃, 請問其邊長為多少公尺? 5-n-16 能運用切割重組, 理解三角形 平行四邊形與梯形的面積公式 ( 同 5-s-05) N-2-19 S-2-08 說明 : 從長方形面積出發, 以 3-s-06 為前置經驗, 運用切割重組與簡單幾何圖形的性質, 來推導這些圖形的面積公式 三角形面積公式 =( 底 高 ) 2 平行四邊形面積公式 = 底 高 梯形面積公式 =( 上底 + 下底 ) 高 2 5-n-17 能認識體積單位 立方公尺, 及 立方公分 立方公尺 間的關係, 並作相關計算 N-2-15 N-2-16 說明 : 1 立方公尺 = 立方公分 5-n-18 能理解長方體和正方體的體積公式 ( 同 5-s-07) 說明 : 長方體體積公式 = 長 寬 高 N-2-17 S-2-07 正方體體積公式 = 邊長 邊長 邊長 教師與學童可討論兩體積公式間關係 可讓學童計算由長方體與正方體組成的簡單複合圖形, 只處理相接而不相內嵌的圖形 如下圖 5-n-19 能理解容量 容積和體積間的關係 N

112 說明 容量 容積與體積均為空間大小的量 一般說來 體積代表實體佔有的空間 容量 容積代表的是實體內可負載的量 其區別如下 體積 物體所佔空間的大小 容積 某一具有確定三度空間的周界內的空間大小 通常此空間有容納物質 可以隨時存取的功能 換言之 容積是指容器內部空間的大小 其概 念是體積概念 例如 冰箱內部的容積 液量 指容器內液體的量 如 水量 容量 指容器可裝載的最大液量 容積 概念的引入 可從容器內部空間的形狀和大小開始討論 引導用多少 個 1 立方公分積木才能填滿 才由教師宣告盒子內部空間的體積就是這個盒 子的容積 容積 容量 的關係 聯絡發生的舊經驗 盒子的容積是多少 同一個盒 子的容量是多少 再由教師配合活動操作的結果宣告 1 公升的水所佔的空間 是 1000 立方公分 讓兒童了解水所佔空間的體積是多少 進一步才討論容器 內部空間不是長方體時 可由容量推算容積 當兒童認識水也有體積之後 便可以討論 沉入水中的物體的體積 等於此 物體所排開的水的水量 也就是水所佔空間的體積 幾何 5-s-01 能透過操作 理解三角形三內角和為 180 度 S-2-03 說明 以測量 剪裁等方式進行 5-s-02 能透過操作 理解三角形任意兩邊和大於第三邊 S-2-03 討論活動題 不宜評量 如果學童理解兩點間的線段長度是最短距離 也 可以用推理知道為什麼這個性質是正確的 5-s-03 能認識圓心角 理解 180 度 360 度的意義 並認識扇形 S-2-03 S s-04 能認識線對稱 並理解簡單平面圖形的線對稱性質 S-2-06 說明 能在具體示例中判斷一圖形是否滿足線對稱 找出該圖形的對稱軸 可能不 只一條 理解哪些常見平面圖形具有線對稱的性質 130

113 知道線對稱圖形的對應邊相等 對應角相等, 並知道對稱軸兩側圖形全等 ( 不 需要證明 ) 知道如何描繪一簡單平面圖形的線對稱圖形 5-s-05 能運用切割重組, 理解三角形 平行四邊形與梯形的面積公式 ( 同 5-n-16) N-2-19 S s-06 能運用 頂點 邊 與 面 等構成要素, 辨認簡單立體形體 S-2-01 說明 : 參見 4-s-01 例 : 正方體的各面都是邊長相等的正方形, 且相對的兩面互相平行, 相鄰的兩面互相垂直 正方體總共有 8 個頂點 12 個邊 6 個面 例 : 正四面體 4 面都是邊長相等的正三角形, 共有 4 個頂點 6 個邊 5-s-07 能理解長方體和正方體的體積公式 ( 同 5-n-18) N-2-17 S s-08 能認識面的平行與垂直, 並描述正方體與長方體中面與面的平行與垂直關係 S-2-02 說明 : 只要具體觀察即可, 不必說明面垂直與面平行的定義 代數 5-a-01 能在具體情境中, 理解乘法對加法的分配律, 並運用於簡化心算 A-2-01 說明 : 本細目為 檢查細目, 應併入整數教學單元中進行 ( 參見 5-n-01,5-n-02), 不應另立單元教學 分配律 一詞建議不出現在教學與課本中 解釋乘法直式計算時, 會用到分配律, 學童可以從錢幣的情境來理解, 也可以透過乘法的 排列模型 來理解 如下圖 :4 12=

114 也可透過下面的例子來理解, 例 : 一打鉛筆有 12 枝, 文具店有 3 打黃色鉛筆,7 打粉紅色鉛筆, 拆開來放在筆筒裡, 共有多少枝鉛筆?, 這個問題可以分開成黃色鉛筆 12 3=36 枝, 粉紅色鉛筆 12 7=84 枝, 總共有 =120 枝來計算, 也可以先算有 3+7=10 打鉛筆, 再算共有 12 10=120 枝鉛筆 所以 12 (3+7) =12 10= =36+84=120 ( ) 例 : 一束花中有 10 朵玫瑰 12 朵康乃馨,7 束花總共有多少朵花?, 這 個問題可以分開成 7 束花有 10 7=70 朵玫瑰,12 7=84 朵康乃馨, 合起來共有 154 朵花 ; 也可以先算每束有 10+12=22 朵花, 再算總共有 22 7=154 朵花 所以 (10+12) 7=22 7= =70+84=154 ( ) 解釋帶分數乘以整數的計算時, 會用到分配律, 如 : = =9+3 2 = ( ) 5-a-02 能熟練運用四則運算的性質, 做整數四則混合計算 說明 : 四則運算的性質指加法 乘法的交換律 結合律 乘法對加法的分配律 N-2-03 A-2-01 併式時的約定參見 4-n-04 5-a-03 能解決使用未知數符號所列出的單步驟算式題, 並嘗試解題及驗算其解 說明 : 能解決使用 甲 乙? 等符號所列出的單步驟加減法算式題, 並 嘗試發展策略解題及驗算其解 ( 符號代表未知量 ) 例如 : 小明原有 8 張怪獸卡, 又獲得幾張怪獸卡之後, 總共有 13 張怪獸 卡?, 學生將題目列成 8+ =13 後, 透過加減互逆運算, 得知 的答案等 於 13-8 能解決使用 甲 乙? 等符號所列出的單步驟乘除法算式題, 並 A