Microsoft PowerPoint 南興國小_怎樣解題(講義版).pptx

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午仲
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1 怎樣解題桃園縣國民教育輔導團數學領域輔導員桃園縣桃園市會稽國民小學莊凱安代數與怎樣解題波利亞 (G. Polya) 提出了解題意的四大步驟第一你要了解問題 : 未知數是什麼? 已知數是什麼? 條件是什麼? 第二擬定計畫 : 找出已知數和未知數之間的關係是否知道什麼相關的題目第三執行計畫 : 仔細地檢查每一個步驟第四驗算與回顧 : 驗算所得的答案檢驗論證過程能否用不同的方法得出相同的答案習題怎樣學會解數學題的解題觀習題的圖示分析題解分析習題尋找解題方法擬定解題方案案實現解題方案討論習題弗里德曼一強調解題的實踐性和創造性二解數學題就是要找到一種一般數學原理三解題過程的結構四如何尋找解題方案檢驗答案國立台灣師範大學數學系張幼賢 1

2 國小代數題材安排特色 : 能理解常用算術符號的使用方式, 並用來列出日常問題的算式, 以進行解題關係符號如 :=, <, > 運算符號如 :+, -,, 未知數符號如 :, 甲, 乙, x, y 國小代數題材安排特色 : 從最基本的加減問題開始, 詳細安排兩步驟至多步驟的教學次序, 並依序安排四則運算規律的教學, 從整數到分數小數, 在具體情境中, 瞭解各基本運算之性質, 並應用於不同教學目標的教學加法交換律結合律乘法交換律結合律乘法對加法的分配律加減互逆乘除互逆 =, <, > 的遞移律國小代數題材安排特色 : 從最基本的加減問題開始, 到四則混合計算, 讓學生最後能獨立於生活與具體情境, 在形式與程序上, 流暢進行整數計算, 其中包括併式演算的能力, 並活用運算律於簡化計算橫式演算與運算律都是國中代數符號演算的重要基礎國小代數題材安排特色 : 協助發展對數學問題之解題策略代入法加減互逆乘除互逆, 反向思考解題比例推理解題比值解題, 更複雜之混合策略解題 ( 如傳統應用問題 ) 能理解等量公理能力指標 A-1-01 能在具體情境中, 認識等號兩邊數量一樣多的意義與 < = > 的遞移律 A-1-02 能在具體情境中, 認識加法的交換律結合律乘法的交換律, 並運用於簡化計算 A-1-03 能理解加減互逆, 並運用於驗算與解題能力指標 A-2-01 能理解乘除互逆, 並運用於驗算與解題 A-2-02 能在具體情境中, 理解乘法結合律, 並運用於簡化計算 A-2-03 能在四則混合計算中, 運用數的運算性質 2

3 能力指標 A-3-01 能在具體情境中, 理解乘法對加法的分配律與其他乘除混合計算之性質, 並運用於簡化計算 A-3-02 能由生活中常用的數量關係, 運用於理解問題, 並解決問題 (N-3-18) A-3-03 能認識等量公理能力指標 A-3-04 能用含未知數符號的算式表徵具體情境之單步驟問題, 並解釋算式與情境的關係 A-3-05 能解決用未知數列式之單步驟問題 A-3-06 能用符號表示簡單的常用公式 A-1-01 能在具體情境中, 認識等號兩邊數量一樣多的意義與 < = > 的遞移律 1-n-04 能從合成分解的活動中, 理解加減法的意義, 使用 + - = 做橫式紀錄與直式紀錄, 並解決生活中的問題 2-a-01 能用 < = 與 > 表示數量大小關係, 並在具體情境中認識遞移律 ( 同 2-n-03) 在一年級學習將合成分解活動的結果, 寫成加減法的橫式紀錄與直式紀錄例如 :7 顆蘋果和 3 顆蘋果合起來是 10 顆蘋果, 可以記成 7+3=10; 或 7 顆蘋果中吃掉 3 顆蘋果剩下 4 顆蘋果可以記成 7-3=4 在介紹 < 或 > 的符號時, 可讓學童知道接近開口位置的數比較大, 接近尖點位置的數比較小在中填入 < = >: A-1-02 能在具體情境中, 認識加法的交換律結合律乘法的交換律, 並運用於簡化計算 1-a-01 能在具體情境中, 認識加法的交換律 2-a-02 能在具體情境中, 認識加法順序改變並不影響其和的性質 2-a-03 能在具體情境中, 認識乘法交換律 3

4 認識加法的交換律小明左口袋有 3 顆糖, 右口袋有 4 顆糖, 要計算總量時, 知道不論左口袋加右口袋得 3+4, 或右口袋加左口袋得 4+3, 結果都一樣加法順序改變不影響其和小明有 3 顆糖, 小華有 4 顆糖, 小麗有 7 顆糖, 合起來共有多少顆糖? 4 顆糖 3 顆糖 4+3=7 3+4=7 4+3= = 同數相加合十相加認識乘法交換律一排有 7 個人,4 排有幾個人? 可以看成一排有 7 個人, 有 4 排, 得 7 4; 或一列有 4 個人, 有 7 列, 得 4 7, 結果都一樣乘法交換律算算看, 有多少個球? 用乘法算式記下來 5 4=20 4 5= = 4 5 A-1-03 能理解加減互逆, 並運用於驗算與解題 1-a-02 能在具體情境中, 認識加減互逆 2-a-04 能理解加減互逆, 並運用於驗算與解題認識加減互逆兒童在合成分解的情境中, 瞭解 7 個花片和 6 個花片可以合成 13 個花片, 也知道 13 個花片拿掉 6 個剩下 7 個花片,13 個花片拿掉 7 個剩下 6 個花片小華有 5 元, 牛奶糖一盒要 12 元, 小華還需要多少錢才能買一盒牛奶糖? 桌上有一些餅乾, 弟弟吃掉 6 塊, 還剩下 4 塊, 桌上原有幾塊餅乾? 盒子裡有 17 顆彈珠, 拿走幾顆後, 盒子裡剩下 8 顆彈珠? 4

5 小英有 65 元, 想買一個 90 元的布偶, 不夠多少元? 小玉買了一個 65 元的熊寶寶後剩下 25 元, 小玉原來有多少元? 18+( )=27 22-( )=14 ( )+12=30 ( )-25=10 A-2-01 能理解乘除互逆, 並運用於驗算與解題 3-a-01 能理解乘除互逆, 並運用於驗算及解題 4-a-02 能在四則混合計算中, 應用數的運算性質乘除互逆求出下列各題中的數 : 7=28 6 =96 72 =8 11=8 一包口香糖有 7 片, 需要購買幾包才會有 28 片? 一條繩子平分成 8 段後, 每一段長是 10 公分, 這條繩子原來有多長? 四則混合計算四年級 : 加法交換律結合律, 加減混合之計算順序可調換, 乘法交換律結合律五年級 : 分配律與除法有關之性質讓學生在實際的計算中, 活用運算規律, 才能讓學生初步理解運算律之重要性 A-2-02 能在具體情境中, 理解乘法結合律, 並運用於簡化計算 4-a-01 能在具體情境中, 理解乘法結合律乘法結合律學期末, 每班發給 3 個小朋友學業優良獎, 一個年級有 10 班, 全校有 6 個年級, 共有多少個小朋友可以得到學業優良獎? 先計算 3 10, 再乘以 6 個年級與先計算 10 6, 再計算 3 乘以全校的班級數, 得出全校的受獎人數之結果都一樣, 進而理解 (3 10) 6=3 (10 6) 的意義 5

6 乘法結合律以正方體的小積木排一個長方體, 直排一排有 8 個, 橫排一排有 6 個, 高一排有 5 個有許多不同的方式可以計算總積木數單位換算也是自然的連乘與乘法結合律情境 2 天有分鐘 = =100 11=1100 A-3-01 能在具體情境中, 理解乘法對加法的分配律與其他乘除混合計算之性質, 並運用於簡化計算 5-a-01 能在具體情境中, 理解乘法對加法的分配律, 並運用於簡化計算 5-a-02 能在具體情境中, 理解先乘再除與先除再乘的結果相同, 也理解連除兩數相當於除以此兩數之積 5-a-03 能熟練運用四則運算的性質, 做整數四則混合計算乘法對加法的分配律如下圖 :4 12= 乘法對加法的分配律一打鉛筆有 12 枝, 文具店有 3 打黃色鉛筆,7 打粉紅色鉛筆, 拆開來放在筆筒裡, 共有多少枝鉛筆? 黃色鉛筆 12 3=36 枝, 粉紅色鉛筆 12 7=84 枝, 總共有 36+84=120 枝先算有 3+7=10 打鉛筆, 再算共有 12 10=120 枝鉛筆 12 (3+7) = 乘法對加法的分配律一束花中有 10 朵玫瑰 12 朵康乃馨,7 束花總共有多少朵花? 7 束花有 10 7=70 朵玫瑰, 12 7=84 朵康乃馨, 合起來共有 154 朵花 ; 也可以先算每束有 10+12=22 朵花, 再算總共有 22 7=154 朵花 (10+12) 7= 先乘再除與先除再乘一盒糖有 15 顆,7 盒糖平分給 5 人, 一人分到多少顆糖? 先算有多少顆糖 (15 7=105), 再算一人分到多少顆 (105 5=21); 也可以先將一盒糖分給 5 人 ( 每人 15 5= 3 顆 ), 再看 7 盒糖一人分到多少顆 (3 7 =21) 併式紀錄呈現 :15 7 5=

7 先乘再除相當於先除再乘也可以運用乘法排列模型來理解先乘再除與先除再乘 48 個布丁, 每 3 個布丁裝 1 盒, 每 8 盒裝一箱, 請問可裝成幾箱? =48 (3 8)=48 24= = 個蓮霧, 平分給 4 個小隊, 再平分給小隊的隊員, 若每小隊有 6 名隊員, 請問 1 個隊員可以分到幾個蓮霧? =72 (4 6)=72 24=3 整數四則混合計算四則運算的性質指加法與乘法的交換律結合律, 乘法對加法的分配律 A-3-04 能用含未知數符號的算式表徵具體情境之單步驟問題, 並解釋算式與情境的關係 A-3-05 能解決用未知數列式之單步驟問題 5-a-04 能將整數單步驟的具體情境問題列成含有未知數符號的算式, 並能解釋算式求解及驗算 6-a-02 能將分數單步驟的具體情境問題列成含有未知數符號的算式, 並求解及驗算小明原有 8 張怪獸卡, 又獲得幾張怪獸卡之後, 總共有 13 張怪獸卡? 列出 8+ x =13 後, 由加減互逆運算, 知 x 的答案等於 13-8=5 一包口香糖有 7 片, 需要購買幾包才會有 28 片? 列成 7 x =28 後, 透過乘除互逆, 得知 x 的答案等於 28 7=4 單步驟指的是未知數之計算步驟為單步驟 : 8+ x =13, x +5=16; x -10=10, 20- x =15; 7 x =28, x 5=20; x 9=63, 40 x =5 7

8 A-3-03 能認識等量公理 6-a-01 能理解等量公理等量公理等式兩邊同加減乘除一數時, 等式仍然成立讓學生體認如何以等量公理重新思考解題的意義即可, 較複雜之兩步驟問題是國中階段的課題 A-3-06 能用符號表示簡單的常用公式 6-a-03 能用符號表示常用的公式正方形的面積 = a a, 其中 a 為正方形的邊長長方形的面積 = a b, 其中 a b 為長方形的兩鄰邊長直柱體的體積 = A h, 其中 A 為底面積, h 為高數量關係年齡問題小麗今年 12 歲, 爸爸與小麗的年齡相差 24 歲, 再過幾年爸爸的年齡是小麗的兩倍? 平均問題小明的國語社會自然三科平均為 90 分, 問小明的數學要考多少分才會讓四科平均達到 88 分? 數量關係追趕問題小英跑步的速度是每秒 5 公尺, 小麗跑步的速度是每秒 4 公尺, 兩人賽跑, 如果小麗在小英前方 40 公尺, 請問小英何時可以趕上小麗? 雞兔問題倉庫中有一種輪胎 100 個, 可以裝在六輪小貨車上, 也可以裝在四輪汽車上, 今天裝配了 22 輛車子, 剛好將輪胎都用光, 請問這些車子中, 有幾輛是六輪小貨車, 有幾輛是四輪汽車? 8

目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式二次方根與畢氏定理因式分解一元二次方程式

目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式二次方根與畢氏定理因式分解一元二次方程式給同學的話 1 2 3 4 目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 1-1 3 1-2 7 1-3 11 1 16 2 二次方根與畢氏定理 2-1 20 2-2 24 2-3 29 2 33 3 因式分解 3-1 37 3-2 41 3-3 45 3 49 4 一元二次方程式 4-1 53 4-2 57 4-3 61 4 65 3 1-1 乘法公式本節性質與公式摘要 1 分配律 : ddd