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- 梧 萧
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1 1 S 1 S M J 1s 1 D 1 D D(r).4 np 组态能级 3 P P 3 - P 1 1 3s 3 P 第二章 -1 原子结构 光谱项光谱支项外磁场中. 电子相互作用旋轨偶合蔡曼分裂 p s 3d 3p r/a Atomic Structure
2 Sir Joseph John Thomson 1897 年发现电子 (196 年物理奖 ) Cambridge Cavendish Lab. 主任学生中 7Nobel 获奖者 Sir Ernest Rutherford 1911 年建立原子模型 (198 年化学奖 ) Cavendish Lab. 主任 (1919) 学生中超过 11 人获 Nobel 奖 Niels Bohr 1913 年提出 Bohr 模型 19 年物理奖 Bohr's institute in Copenhagen Erwin Schrödinger 发现原子理论的有效新形式波动力学 1933 年获 Nobel 物理奖 Schrödinger 方程首先是解氢原子获得成功, 从而得到人们的重视和公认
3 .1 单电子原子 Schrödinger 方程的解.1.1 单电子原子的 Schrödinger 方程 1. 直角坐标表示式 r e (x,y,z) x O z r P Ze x y z 4πr y 动能项. 球极坐标表达式 势能项 直角坐标与球坐标的关系 x = r sin cos y = r sin sin z = rcos r x y z xyz,, E xyz,, + r x y z 直角坐标系下变量无法分离 取值范围 : r OP 长为 r OP 与 z 轴夹角为 OP 在 xy 平面投影与 x 轴夹角为
4 1 r r r r r 1 sin θ θ sin θ θ r 1 sin θ d = r sin dr d d r sinθ r,θ, r r r r sinθ θ θ r sin θ Ze r,θ, E r,θ, 4πε r 球极坐标下 Schrödinger 方程 ˆ M x isin cotcos ˆ M y icos cotsin Mˆ z i ˆ 1 1 M sinθ sinθ θ θ sin θ
5 .1. 单电子原子体系的 Schrödinger 方程的变数分离 Ze r sinθ r,θ, r,θ, E r,θ, r r r r sinθ θ θ r sin θ 4πεr Ze r sinθ r,θ, E r,θ, r r r r sinθ θ θ r sin θ 4πεr ( r,, ) R( r) Y (, ) Y R R Y Ze r R sinθ Y E RY r r r r sinθ θ θ r sin θ 4πεr 两侧 r RY R 径向函数 Y 球谐函数 1 R r Ze 1 1 r E sin Y Y R r r 4π r Ysin Ysin = =
6 把 r 和 函数分开 1 d dr r Ze r E R dr dr 4π r 1 Y 1 Y sin Y sin sin R 方程 Y 方程 再把 函数分开, 令 Y(, )=( )( ) 代入 Y 方程 d d d sin sin d d sin d 两侧同乘 sin /, 得 sin d d 1 d sin sin m d d d sin d d sin sin m 方程 d d 1d m 方程 d 将含有三个变量的偏微分方程转换为三个只含单个变量的常微分方程
7 .1.3 方程的解 特解 : 1d m d i ( ) Ae m 两边同乘 d m d ( 常系数二阶线性齐次方程 ) 根据单值条件 ( 周期性边界条件 ), 有 : ( ) Ae ( π) Ae e i m i m i m π m m imπ e cos π isin π 1 cos(m)=1 i sin(m)= 根据归一化条件 A 1π (Euler 公式 ) m =, 1,, m 称磁量子数 (megnetic quantum number) i ( ) 1 π m m e
8 1 实数解复数解实数解 i 1 1πe 1πcos isin cos 1( ) 1π cos i 1 1πe 1π cos isin i( ) 1π sin sin m 复数解实数解 ( ) 1 π i ( ) 1 πe 1 ( ) 1 πe i ( ) 1 πe i i3 ( ) 1 πe 3 函数 m ( ) ( ) 1 πe i 1 ( ) 1 πe i3 3 ( ) 1 π cos 1 ( ) 1 π cos sin 1 ( ) 1 π sin cos ( ) 1 π cos sin ( ) 1 π sin cos 3 ( ) 1 π cos3 sin 3 ( ) 1 π sin3
9 .1.4 方程的解 sin d d sin sin m d d 化为联属勒让德 (Associated Legendre) 方程, 具有已知解 有满足合格条件的解 l,1,,3... ll ( 1)l m 对于给定的 l m=, ±1, ±l m ( ) CP l (cos ) 与量子数 l, m 有关 1 d l (cos ) (1 cos ) (cos 1) l! dcos 联属勒让德函数 m l m m P l l l m l 为角量子数 (angular momentum quantum number)
10 联属 Legendra 函数 lm ( ), 1 14 (5cos 3 3cos ) 3, 4 1, 6 cos 4 sin (5cos 1) 3, 1 8 1, 1 3 sin 15 sin cos 3, 4, 1 (cos 1) 4 3, 3 7 sin , 1 sin cos, 15 sin 4 注 : 归一化条件 π * sind1
11 .1.5 R 方程的解 1 d dr r Ze r E l( l 1) R dr dr 4π r 联属拉盖尔 (Associated Laguerre) 方程 有收敛解条件 n l + 1 n = 1,,3, E n e 8 h Z n 4 n 为主量子数 (principal quantum number) R 函数 :R n,l (r) 与量子数 n, l 有关归一化条件 : RRr * dr1 l l1 nl () n1 ( ) R r Ce L Z r na a 4π me e Bohr radius d d ( ) e (e ) d d l1 n1 l1 n1 L n 1 l1 n1 联属拉盖尔函数
12 1, 3/ / R () r Z a e 3/ () Za R, r e Za 3/ / / R () e,1 r 6 3/ () Za R3, r e / 3/ () Za R3,1 r e / Za 3/ / R () e 3, r 9 3 类氢原子径向波函数 R nl (r) R R 4, 4,1 Z r na 3/ Za ( r) e 96 3/ Za 3 / ( r) 1 e / 3/ () Za R4, r e 3 / Za 3/ 3 / R () e 4,3 r 96 35
13 .1.6 单电子原子体系 Schrödinger 方程解的综合 : 三个量子数 n, l 和 m 具有如下的关系 n = 1,, l =,1,,,n-1 m =,1,,, l 每套量子数 n, l 和 m 决定一个波函数 nlm 的形式, 即决定了单电子原子体系的一种状态, 简称为原子轨道 (AO, Atomic Orbital) R nl (r) 只与 r 有关, 为原子轨道的径向部分 ; 球谐函数 Y 只与 和 有关, 为原子轨道的角度部分 R () r Y (, ) R () r () () nlm,, nl, lm, nl, lm, m d sind dd 归一化条件为 : π π ( ) ( )d 1 * m * lm m ( ) ( )sind 1 lm π π r r π π * Y lm Ylm * nl nl * nlm nlm (, ) (, )sindd 1 R () r R () r r dr 1 (, r, ) (, r, ) r sindd r d 1
14 复函数表示 : 具有确定的量子数 n, l 和 m, 直接用 nlm 表示, 如 : 实函数表示 : 将球谐函数 Y 中角度部分换算为直角坐标, 可得原子轨道角度部分所包含的直角坐标因子 如 : Y 1 l=1, 为 p 轨道,Y 1 中含 z, 对应 p z 轨道 ; Y 包含 3z r 项, 对应于 d z 等等 1 p y ( ) 3d i xz 1 3d yz ( ) i 1 p x ( ) 1 ( ) 1 3d xy ( 3 3 ) i 1 3d ( 3 3 ) x y
15 1 Y s 4π z Y1 pz 34πcos 3 4π r x px 34πsincos 3 4π Y r 1, 1 y py 34πsinsin 3 4π r 3z r Y d 516π3cos π z r xz dxz 15 4π sincoscos 15 4π Y r, 1 yz d yz 15 4π sincossin 15 4π r xy dxy 15 16π sin sin 15 16π Y r, x d 15 16π sin cos 15 16π x y 类氢原子波函数的角度部分 Y lm (, ) y r
16 . 量子数的物理意义..1 主量子数与能量 E n,l,m 是 Hamilton 算符的本征函数 ( 实函数也是 ) 本征值 ( 单电子原子能量 E) 只与主量子数 n 有关 E n 4 e Z Z ( ev) 8 h n n me Z Z Z En R ( ev) 8 4 e h n n n 定核近似下 能量是量子化的 能量为负, 电子离核无穷远时作为位能的零点 简并度 : 在相同 n 下, 而 l, m 不同的 AO 有 n 个例如,n= 时, 空间波函数有 4 个状态 : s pz p1 p-1 或 s pz px py n = 1,,
17 例 : px 是否是 Hamilton 算符的本征函数? 1 p x ( ) c c Hˆ 1 E11 Hˆ E H ˆ ch ˆ ch ˆ ce ce 一般情况 1 1 若 E 1 =E 则 Ĥ E c c E 是 Hamilton 算符的本征函数若 E 1 E 则 不是 Hamilton 算符的本征函数 单电子原子体系 c1nlm c 11 1 nlm n 1 =n, 则 E 1 =E, 是 Hamilton 算符的本征函数 n 1 n E 1 E 不是 Hamilton 算符的本征函数 1 p x ( ) px 是 Hamilton 算符的本征函数
18 .. 角量子数 l 及角动量 M n,l,m 是角动量平方算符的本征函数 ( 实函数也是 ) ˆ 1 1 M sin sin sin ˆ ˆ 1 Y) 1 Y M M RY R sin YR l( l1) sin sin Mˆ l( l1) ˆ 本征值为 l(l+1) M Y l( l1) Y M 有确定值 l(l+1) 角量子数 l 决定电子轨道角动量的大小 M l( l1) 磁矩 : e m e M e ll ( 1) ll ( 1) m e B B e J T m e 4 1 Bohr 磁子
19 例 : c c 1 nlm n l m nlm 是否是 Mˆ cmˆ c Mˆ cm 11 1 cm 1 1 nlm n l m n l m c l l c l l ˆM 的本征函数? nlm n l m 11 1 单电子原子体系 c c 1 nlm l 1 =l, 则 M 1 =M, 是 ˆM 算符的本征函数 l 1 l M 1 M 不是 ˆM 算符的本征函数 M ( cm cm ) ( c c) 思考题 : 若 l 1 l 下式是否正确? M c M c M 1 1 n l m
20 ..3 磁量子数 m 和角动量在磁场方向上的分量 M z n,l,m 是角动量 z 分量算符的本征函数 ˆ M z Mˆ MY ˆ i m z nlm nlm my z lm lm ˆ d m M ir m d z nlm nl lm nlm M z = m m =,1,, l H z m B m 决定角动量在磁场方向的分量 M z, 称 ( 轨道 ) 磁量子数 M z 是量子化的, 即角动量方向是量子化的 m 决定着轨道角动量的方向,l 决定轨道角动量大小 除 m= 外, 单电子原子体系实数解 ( 如 px ), 3d 不是角 xy 动量 z 分量算符的本征函数
21 例 : c c 是否是 M ˆ z 的本征函数? 1 nlm n l m 11 1 Mˆ cmˆ c Mˆ z 1 z nl m z n l m 单电子原子体系 cm 11 1 cm 1 z1 nl m z n l m cm 11 1 cm 1 1 nlm n l m 11 1 c c 1 nlm n l m ˆ z 11 1 m 1 =m, 则 M z1 =M z, 是 M 算符的本征函数 m 1 m M z1 M z 不是 M 算符的本征函数 思考题 : 如果测量 px 角动量 z 分量, 有几个可能值, 出现概率分别是多少? 扩展 : px 是角动量 x 分量算符的本征函数吗? ˆ z
22 ˆ ˆ ˆ..4 nlm 是 H, M, 的共同的本征函数集 M z 证明 Hˆ, Mˆ 对易 ˆ 1 1 M sinθ sinθ θ θ sin θ ˆ 1 ˆ Ze H r M m r r r r 4π r 只与 和 有关与 r 无关除 ˆM 外只与 r 有关与 和 无关 HM ˆ ˆ, 同理 HM ˆ, ˆ z ˆ, ˆ M M z 相互对易 两个算符对易, 则它们具有共同的本征函数集, 在一定状态下, 这些算符所对应的物理量可以同时具有确定值 nlm 是 Hˆ, Mˆ, Mˆ z共同的本征函数 E M 和 M z 可以同时具有确定值
23 ..5 总结 1. 波函数的实数表示和复函数表示 s s p p1 p-1 1s s p z px py 哪些函数是 Hˆ, Mˆ, Mˆ z 的本征函数?. 本征方程和本征值 Hˆ E nlm n nlm E n Z 13.6 ( ev ) n Mˆ l( l1) nlm nlm M = l ( l +1) M l( l1) ˆ z nlm m nlm M M z = m
24 .3 波函数及电子云图形.3.1 径向部分图形 径向波函数 (radical function)r n,l (r)~r 图表示在任意给定角度方向上 ( 即一定 和 ), 波函数随 r 变化情况 R n,l (r 1 )/R n,l (r )= 1 (r 1,,)/ (r,, ) 径向密度函数 R n,l (r)~r 图表示在任意给定角度方向上, 概率密度 随 r 的变化情况 R (r 1 )/R (r )= 1 / 径向分布函数 (radical probability density)d(r)~r 图 D(r)=r R (r) 为径向分布函数把 在, 的全部变化范围积分 π π nl lm l Dr () R Y r sin d d Rr D(r) 表示半径为 r 的球面上电子出现的概率密度 D(r)dr 表示半径为 r, 厚度 dr 的球壳内电子出现的概率
25 R 1 R R r/a 5 1 r/a. 5 1 r/a R 3. R 31.5 R r/a 1 r/a. 1 r/a 径向波函数 R n,l (r)~r 图
26 R 1 1s(n=1, l=) R.4. s(n=, l=) R 1..1 p(n=, l=1) r/a r/a r/a R 3.5 3s(n=3, l=) R p(n=3, l=1) R 3. 3d(n=3, l=) r/a r/a r/a 径向密度函数 R n,l (r)~r 图
27 R.3 1s..1. s 3s R.1. p 3p 3d r/a r/a R(r) 和 R (r) 的形状只与 n 和 l 有关 除 s 轨道外, 所有径向部分函数在原子核处均为零 当半径增加时,R(r) 和 R (r) 都很快地趋于零, 在离核较远的地方发现电子的概率非常小 n 越大,R(r), R (r) 伸展范围越大,n 决定波函数伸展范围 在 n>l+1 时, 会出现 R(r) = 的球节面, 即在这个球节面上发现电子的概率密度为零, 有 (nl1) 个
28 r R 1.4 1s(n=1, l=) r R. s(n=, l=) r R p(n=, l=1) r/a r/a r/a r R 3.1 3s(n=3, l=) r R p(n=3, l=1) r R 3.1 3d(n=3, l=) r/a r/a r/a 径向分布函数 r R n,l (r)~r 图
29 .4 1s D(r). p s 3d 3p 3s r/a 规律 a. 球节面数 n-l-1 b. 极大值数 n-l c. 最可几半径 : 最大的极大值所对应的 r 为最可几半径
30 思考 : 两图是否矛盾 r R s(n=1, l=) s r/a r/a 1s
31 .3. 角度部分图形 通常角度部分图形可用空间特定的剖面图表示 1. 波函数的角度部分图 Y l,m 表示同一球面上不同方向上 的相对大小 ( r) ( r ) Y( ) Y( ) 电子云的角度分布图 Y l,m 表示电子在同一球面的不同方向上各 点概率密度的相对大小 ( r) ( r ) Y( ) Y( ) 如果将 (r,,) 对 r 的全部变化范围积分, 则有 (, r, ) d r R ()d r r Y(, ) sindd Y(, ) d r r z Y d 表示电子在, 方向附近微立体角元内出现的概率 Y 表示电子在, 方向附近单位立体角内出现的概率密度 d d sindd d 从几何上看表示一个微立体角元, 象一支方手电筒一样射向无限远处 y x
32 + + x + y s p x p y z z y p z d z d x -y x y z z x + x + y d xy d xz d yz 波函数的角度部分图 Y ~ ( 注意标正负号 )
33 z x y s p z p x p y 电子云的角度分布图 Y l,m (,) z y y z z x x x y d z d x -y d xy d xz d yz 角节面数 =l 角度分布图 Y(,) 和电子云角度分布图 Y(,) 所反映的仅是角度部分的性质, 并非波函数的整体性质
34 .3.3 空间分布图 1 原子轨道轮廓图 等值线图 网格立体图 电子云黑点图
35 p 1s s 波函数的等值线图 d z 3d x -y 3d xy 3s p
36 1s s p 3s 原子轨道网格图 3p 3dz 3dx-y 3dxy 结构化学 第二章 原子结构
37 1s s p 3s 电子云网格图 3p 3d z 3d x -y 3d xy
38 1s s p 3s 电子云分布图 3p 3d xy 3d z 3d x -y 球节面数 : n l -1; 角节面数 : l
39 例 : 某类氢原子轨道电子云的角度分布图和径向密度函数图如下, 该轨道是什么轨道, 粗略画出其电子云图 z x(y) 角节面 = l= 5 节面数为 n-l-1=,n=3 3s R 3,.5 3s r/a r/a
40 原子轨道轮廓图 1s s p z p x p y
41 3s 3p z 3p x 3p y 4s 4p z 4p x 4p y
42 3d z 3d x -y 3d xy 3d xz 3d yz
43 4d z 4d x -y 4d xy 4d xz 4d yz
44 4f z 3 4f xz 4f yz 4f z(x -y ) 4f zxy 4f x(x -3y ) 4f y(3x -y )
45 .4 多电子原子结构 r 1 z e 1 r 1 r e 定核近似下,He 原子的 Schrödinger 方程 : e e e ( 1 ) (1,) E(1,) m 4π1 r 4π r 4π1 r 电子 1 和电子 的动能 对于 n 个电子的原子体系 : r ( x x ) ( y y ) ( z z ) ij i j i j i j 电子 1 和电子 两电子间的与核吸引位能排斥位能 n n n n ˆ Ze 1 e H i m 4π r 4π r e i1 i1 i i1 j1 i j 电子动能算符 电子与核吸引位能 x 电子间的排斥位能 ij y (1,, i n) = (x 1, y 1, z 1, x, y, z, x i, y i, z i, x n, y n, z n ) (1,, i n) 表示电子 1 出现在 x 1 y 1 z 1 附近, 同时电子 出现在 x, y, z 附近 的概率密度
46 .4.1 零级近似 设电子之间的相互作用为零 ˆ Ze Ze H me 4πri me 4πri 设波函数 (1,,..., i,... n) 1(1) ()... i( i)... n( n) 可分离为单电子 n 个方程 Hˆ ( i) E ( i) i i i i 剩余的位能项只是 r i 的函数 有精确解析解, 可求解出 i 和 E i 单电子波函数与类氢波函数一样 R i nl l m () r Y (, ) ii i i 1 e 4π r E 13.6Z n i i j ij n n n n i i i i1 i1 i1 i1 i 电子的填充按能量最低原理,Pauli 原理, Hund 规则例 :He 原子状态基态 1 = = 1s E= E 1 + E =E 1s = 13.6 = 18.8eV 实验值为 79.6eV 评价 : 误差太大 Hˆ
47 .4. 中心力场近似 1. 基本思想 以单电子近似为基础将多电子原子的 Schrödinger 方程就可以分解成 n 个单电子的方程 对位能项采用中心力场模型校正将每个电子都看成是在核与其它电子所形成的平均势场中运动, 那么该电子的势能项将只与其自己的坐标有关, 即考虑了电子的相互作用项, 以避免了 r ij 的出现 n n ˆ ˆ Ze H Hi i U( ri) i1 i1 me 4π ri 求解得到的单电子波函数其角度部分 Y lm (,) 应与单电子原子体系相同, 其径部分 R nl (r i ) 与单电子原子体系不同 R ( r) Y (, ) i nl i lm
48 . 屏蔽常数法将其它电子对第 i 个电子的作用看成是抵消了 i 个原子核正电荷的作用, i 称为其它电子对 i 电子的屏蔽常数 (nuclear screening constant) ( Z i ) e Z i Ei 13.6 ev i ij i i Ei i * n ji me 4π ri 屏蔽常数 i 取决于 i 电子所受屏蔽情况, 为其它电子对 i 电子屏蔽的总和 Slater 屏蔽常数规则 : 用有效主量子数 n* 代替 n, n*=n(n=1,,3), n*=3.7, 4., 4.(n=4, 5, 6) 将电子按照以下壳层从内到外分组 : 1s s,p 3s,3p 3d 4s,4p 4d 4f 5s,5p 5d; 外层电子对内层电子无屏蔽作用, = 同组电子间屏蔽作用为 =.35, 对 1s 电子, =.3; 对 ns, np 组中的电子, 主量子数少 1 的每个电子 =.85, 主量子数少 及以上的 =1; 对 nd 和 nf 组中的电子, 其左边各组电子对其电子屏蔽作用为 =1
49 例 :He 的基态能量 He 基态的电子组态为 1s, 根据 Slater 方法 1 = =.3 E1 s = 39.3eV 1 E = E 1s =78.6 ev 与实验值 79.6 ev 接近了 多电子原子的能量不仅与主量子数有关, 而且与角量子数有关 (l) 问题 :He 原子的第一电离能是否等于 1s 轨道的能量? 电子光谱 : 是两个轨道间的能量差吗?
50 j d j.4.3 自洽场 (SCF, self-consistent field) 方法 198 年 Hatree 轨道近似的思想 : 第 j 个电子在微体积元 d j 附近呈现的电荷为 e j d j, 它对第 i 个电子的排斥能为 ( e) j d j 4πrij n e 对 j 电子出现的整个空间积分, 有 V() r j d j 4π r ji ij +Ze r ij r i i(-e) i 电子单电子 Schrödinger 方程为 1 Z j i d j i Ei i r i ji rij Hartree 方程 Hartree 引入中心势场近似, 对势场函数作球形平均, 使势场只是 r 的函数, 进一步通过变量分离, 获得原子的径向 Hartree 方程 用迭代逼近方法求解, 大致过程如下 : 1. 先给出原始势函数 V j () (r), 得 n 个独立的常微分方程, 解之 ;. 用求解的结果计算 V j (1) (r), 重新得 n 个独立的常微分方程, 重复解直到势函数 V j (n) (r) 与 V j (n+1) (r) 之差达到要求的精度
51 .4.4 定态微扰理论简介 (Perturbation Theory)* 微扰理论是量子力学重要的近似方法 假定一个不含时的 Hamilton 算符的体系不能精确求解 Hˆ ˆ E k k k () () () 而 H k Ek k H ˆ H ˆ H ˆ 可求解 H 与 H 相差很小, 我们将具有 H 的体系称为未微扰体系,H 称为微扰体系,H' 称为微扰 微扰要一点一点加, 使未微扰体系连续变到微扰体系 Hˆ Hˆ ˆ H 微扰理论可将微扰体系未知的能级和波函数与未微扰体系的已知的能级和波函数联系起来, 从而不用精确求解 Schrödinger 方程即可得到体系近似的能级和波函数
52 非简并微扰理论 Nondegenerate Perturbation Theory Hˆ ˆ () () () n n n ˆ E ( H H ) n Enn n () 为能量为 E n () 的未微扰非简并能级的波函数, n 为微扰函数. n 和 E n 的依赖于参数, 按 的幂次 Taylor 展开 n n n n! ( k ) n k 1 n k k! E n E n n En! E E ( k ) n k 1 E k k! n () (1) () k ( k) n n n n n E E E E E () (1) () k ( k) n n n n n k=1,,3, n (k) 和 n (k) 称为波函数和能级的 k 级校正
53 Hˆ Hˆ () (1) () k ( k) ( )( n n n n ) () (1) () k ( k) () (1) () k ( k) En En En En n n n n ( )( ) 合并 相同的幂的系数 Hˆ E Hˆ Hˆ E E () () () (1) () () (1) (1) () ( n n n ) ( n n n n n n ) ˆ () ˆ (1) () () (1) (1) () () ( H n Hn En n En n En n ) 如果该级数是一致收敛的, 则 系数必为零 () () () Hˆ n En 无微扰体系 n 1 ˆ (1) ˆ () () (1) (1) () H H E E n n n n n n ( Hˆ E ) ( E Hˆ ) () (1) (1) () n n n n 将 n (1) 用未微扰的波函数展开 j 一级微扰 a (1) (1) () n j j j a ( Hˆ E ) ( E Hˆ ) (1) () () (1) () j n j n n
54 两端同乘 m ()* 并对整个空间积分 a ( Hˆ E ) d ( E Hˆ ) d j ()* (1) () () ()* (1) () m j n j m n n j a ( E E ) d ( E Hˆ ) d (1) () () ()* () ()* (1) () j j n m j m n n () () m j mj (1) () () (1) ()* ˆ () am ( Em En ) En mn m Hn d m=n E Hˆ d Hˆ H (1) ()* () () () n n n n n nn 能量的一级修正值等于微扰算符 H' 对体系相应未微扰态的平均值 a (1) m 波函数一级校正 mn Hˆ d ()* () m n () () n Em E Hˆ d 可确定除 a n (1) 外所有系数, 习惯上选 a n (1) = ()* () (1) m n () n () () m mn En Em
55 例 : 氦原子基态 ˆ 1 1 Z Z 1 H 1 r1 r r1 1 Ĥ Hˆ Hˆ Hˆ r 1 () () () 1 e r 1 +Ze r 1 r e () r1 1 1 r F1 r1 1 1 F r (,,,,, ) (,, ) (,, ) 3 n 1 =1, n =1 () Z e Z r1 r () () () Z 1 1 E E1 E () n1 n E Z 1/r 1 按球谐函数展开 1 r 1 l 1 4 r m * m [ Yl ( 1, 1)] Yl (, ) r1 r r1 l m l1 r1 l 1 4 r 1 m * m [ Yl ( 1, 1)] Yl (, ) r r1 r l m l1 r E (1) =5Z/8 E E () +E (1) =.75(hartree)=74.8eV 误差 5.3% ( )
56 .5 电子的自旋和 Pauli 原理.5.1 电子自旋 Stern-Gerlach 实验 (191 年 ): 将碱金属原子束通过一个不均匀的磁场, 原子束发生偏转, 在照相底片上出现两条分立谱线 195 年,Uhlenbeck 和 Goudsmit 根据实验提出 电子除了有轨道运动以外 ( 所谓轨道运动, 即电子在空间的坐标改变 ), 还有自旋运动 ( 电子在空间位置不变 ) 单电子自旋角动量大小 M s 3 外磁场中, 单电子自旋角动量 z 分量 1 M sz 对应着电子两种自旋状态 与 Uhlenbeck, Kramers and Goudsmit
57 关于自旋的量子力学假设 1. 自旋算符及本征方程 : 轨道角动量平方算符 ˆM 自旋 Ŝ 本征方程 ˆ ( 1) M l l ˆ ( 1) S s s 角动量大小 M l( l1) S s( s1) 角动量 z 分量算符 l 轨道量子数 Mˆ z s 自旋量子数 Sˆz 本征方程 ˆ z M m l S m ˆz s 本征值 M z = m l m l 轨道磁量子数 S z = m s m s 自旋磁量子数
58 . 单电子自旋算符的本征值及量子数取值 与实验结果比较可得 : M s( s1) 3 单电子自旋角动量为 3 自旋量子数 s =1/ 自旋角动量 z 分量为 ±1/ M sz = m s =±1/ 自旋磁量子数为 m s =±1/ 自旋角动量与 z 分量之间的方向量子化 : 自旋角量子数 s 决定其大小 ; 方向由自旋磁量子数 M s 决定 s 3. 单电子的自旋波函数 对应于空间波函数 nlm(r,,) 自旋波函数 ms () * * d d1 1 ms 1 ms * * d d
59 .5. Pauli 原理 1. 全同性粒子体系 原子中的电子是不可分的, 即电子是全同性的 ( 质量 电荷 自旋等固有性质无法用物理方法区分开 ), 因此只能得到电子在各处出现的概率, 无法确定是哪一个电子 e 1 x 1,y 1,z 1, 1 x 1,y 1,z 1, 交换位置 e 1 (1,) (,1) e x,y,z, e 1 x,y,z, 交换两个电子的位置, 其概率状态不变全同性粒子体系, 交换任意两个粒子的坐标, 粒子在空间出现的概率不变, 即波函数平方不变 (1,,3, i j ) = (1,,3, j i ) 交换两粒子坐标, 波函数值不变叫对称波函数, 波函数值改变符号叫反对称波函数 全同性粒子的完全波函数不是对称的, 就是反对称的
60 . 保里 (Pauli) 原理 对于自旋量子数为半整数的多粒子体系 ( 电子 s=1/) 其完全波函数必须是反对称的 同一原子中, 不能确定两个或两个以上电子具有相同的四个量子数 ( 否则不满足反对称条件 ) 每个原子轨道能容纳两个自旋相反的电子 ; 每个自旋轨道能容纳一个电子 3. 斯莱特 (Slater) 行列式 如果多电子原子的完全波函数看成单电子完全波函数的自旋轨道的乘积, 不满足保里原理 例 :He 原子基态波函数 : (1,) = (1)(1)()() 交换两个电子的坐标 : (,1) = ()()(1)(1) (1,) 与 (,1) 不满足 Pauli 原理 1s
61 对上述两个波函数线性组合相减 : (1,) = (1,) (,1) (1,) 满足反对称, 即 (1,) = (,1) 写成行列式形式 : 多电子体系 : (1, ) (1,,... n) 1 1s(1) (1) 1s() () 1s(1) (1) 1s() () 1(1) 1(1) 1() 1() 1( n) 1( n) 1 (1) (1) () () ( n) ( n) n! (1) (1) () () ( n) ( n) n n n n n n 1,,, n 代表不同的空间轨道 ( 如 1s ) 1,,, n 代表不同的自旋轨道 ( 如 ) 括号内数代表粒子的空间及自旋坐标 交换行列式两列即交换两电子坐标, 符号改变 当两个电子占据同一自旋轨道时, 就会出现行列式两行相同则行列式的值为零
62 .6 多电子原子状态.6.1 多电子原子的角动量耦合 多电子原子中, 电子间存在着复杂的相互作用, 单个电子的角动量因无法确定而失去意义, 但电子之间的相互作用所产生的原子的总角动量是确定的 ( 在没有外力场的情况下始终保持不变 ) 用单个电子的角动量通过一定方式组合, 得到确定的总角动量的方式, 称为角动量耦合 (Coupling of angular momentum) 多电子原子的角动量耦合有两种方式 :LS 耦合 j-j 耦合 电子间轨道 轨道 自旋 自旋相互作用 > 每个电子自旋 轨道相互作用, 采用 LS 耦合 (Russell-Saunders 耦合 ), 原子序数较小的原子一般采用这种耦合方式 当每个电子自己的自旋 - 轨道相互作用比较强烈时, 采用 j j 耦合, 原子序数较大的重元素多采用这种耦合方式 l + l L s s S 1 j j J + 1 +
63 .6. 多电子原子的角动量和量子数 LS 耦合规则 单个电子的轨道角动量相加得原子的总轨道角动量 单电子的自旋角动量相加得原子的总自旋角动量 总轨道角动量和总自旋角动量矢量加合得原子总角动量 L S i i l i s i J L S
64 L 1. 原子的总轨道角动量 l 1 l z l z L z l z1 总轨道角动量大小 L 总轨道角动量磁场方向分量 M L 总轨道磁量子数 L( L1) L 总轨道角量子数 (total orbital angular momentum quantum number) L = l 1 +l, l 1 +l 1,, l 1 l l 1, l 为单电子轨道角量子数 对多电子原子体系, 可先计算两个电子的总轨道角量, 再与第三个电子相加合, 依此类推得到多电子原子体系的总轨道角量 L z = M L M L ml ( i) i 单电子的轨道磁量子数的加合, 结果为 : M L =,1,,..., L ( 共 L+1 个值 )
65 例 1: 对电子组态 p 1 d 1, 求其总轨道角动量大小及 z 分量 l 1 =1 l = L = l 1 +l l 1 +l -1 l 1 -l L L( L 1) M L =, 1,, 3, 1,,, 1 L z =M L,,, 3,,, z z z L 3 L 6 L 1-1 l 1 =1(m l1 =, 1) l =(m l =, 1 ) 每个 p 电子的状态 (3 个 ) 和每个 d 电子的状态 (5 个 ) 都要进行耦合, 得 15 个大小方向不同的总轨道角动量
66 l 1 =1, m 1 =1, l =,m = L=3, M L =3 l 1 =1, m 1 = 1, l =,m = L=, M L =1
67 . 原子的总自旋角动量 总自旋角动量大小 S S( S 1) S 为总自旋角量子数 (total spin quantum number) S= s 1 +s, s 1 +s -1,..., s 1 -s s 1, s 为单电子的自旋量子数 1/ 总自旋角动量 z 分量 S z S z =M s M s 总自旋磁量子数 M s 取值 M s ms ( i) i 为单电子自旋磁量子数加合 M s =S, S-1,... -S (S+1 个 )
68 例 : 求 p 1 d 1 s 1 的总自旋角动量大小 对 p 1 d 1 s 1 =1/, s =1/ S 1+ =1, S 1+ = 1 s 3 = 1/ 3/ z p 1 d 1 s 1 S = 3/ 1/ S S( S 1) / 3 M S = 3/, 1/ 1/ 1/ S z = 3/, / / / 3 个电子每个两种自旋角动量状态耦合得出, 即 =8 1/ -1/ 1/ -1/ -3/ z -1/ S S / z
69 3. 原子的总角动量总角动量的大小 J J ( J 1) J=L+S, L+S1,..., LS ;( L>S 共 S+1 个 L<S 时 L+1 个 ) 总角动量 z 分量 J z =M J M J 总磁量子数 M J = J, J1,, J ( 共 J+1 个 ) 单电子原子量子数 l l( l 1) L li L L( L 1) L=l 1 +l, l 1 +l 1,, l 1 l l zi L z =l zi =M L M L =m i =, 1,, L S si S S( S 1) S=s 1 +s, s 1 +s 1,, s 1 s s s( s 1) J 总角量子数 (total angular momentum quantum number) s zi =m si S z =s zi = M S M Sz =m si =S, S1,, S) J L S J J ( J 1) J = L+S, L+S1,..., LS J z = M J J z = M J
70 例 3: 求 1s 1 s 1 组态总角动量及 z 分量 解 : 1 求总轨道角量子数 L L = l 1 +l = 求总自旋角量子数 S S = s 1 +s =1/+1/ = 1 s 1 +s -1 = 3 求总量子数 J 和总角动量大小 J = S + L= 1, J J 4 求总磁量子数 M J 和总角动量 z 分量 J = 1 M J =, 1 J z =, J = M J = J z = 思考 :d 组态可否用同样方法求?
71 .6.3 多电子原子电子状态的描述 单电子原子 n, l, m l, m s 四个量子数确定一个运动状态 n,l,m l,m s (r,,,)=n,l,m l (r,,)m s () 多电子原子所有电子的 n 和 l 都确定时, 电子排布方式称为原子的电子组态 (configuration) 如:1s, s 1 p 1 能量最低的电子组态称基组态, 其余的为激发态多电子原子的电子组态, 其整体状态需要用 L S J 和 M J 四个量子数来描述
72 Ĥ H ˆ H ˆ Hˆ Hˆ Hˆ SO H ˆ ˆ ˆ ˆ H HSO H B 中心势场电子瞬间作用旋轨耦合作用外磁场 体系能量只与各电子的 n 和 l 有关 组态所有微观状态简并 轨道角动量间自旋角动量间 L, S 描述微观状态的能级 具有不同 J 的状态能级不同 增加 J 描述微观状态的能级 蔡曼效应不同 J z 能级不同 增加 J z 描述微观状态的能级
73 .7 原子光谱项.7.1 原子光谱项和光谱支项 1. 光谱项给定组态, 如确定 L 和 S, 就确定了一个光谱项 S+1 L L S P D F G H I K L M S+1 叫多重度 (multiplicity) 例 : L=1,S=1 3 P 三重态 (triplet)p P3 谱项 L=,S=1/ S 二重态 (doublet)s S 谱项 L=,S= 1 D 单重态 (singlet)d D1 谱项 光谱项是完全考虑了电子库仑相互作用后的能级表示
74 . 光谱支项给定组态, 如确定了 L,S 和 J, 就确定一个光谱支项 S+1 L J S=1,L=1 光谱项为 3 P J=, 1, 三个光谱支项 3 P, 3 P 1, 3 P 当 L>S 时,S+1 等于光谱支项的个数 ( 多重度 ) 光谱支项标记考虑了旋轨耦合后体系状态和能量 3. 蔡曼分裂 由于外磁场影响的存在, 每一个光谱支项所表示的能级分裂为 J+1 个, 这时, 原子能级的简并态才全部排除, 每个能级代表一个状态, 即四个量子数 L, S, J 和 M J 全部确定, 才确定一个状态
75 .7. 原子光谱项的推求 几种情况 : 非等价电子组态 ; 闭壳层及互补组态 ; 等价电子组态 等价电子 :n, l 都相同的电子 如 p, 也叫同科电子 非等价电子 :n, l 有一个量子数不同的电子, 如 1s 1 s 1 1. 非等价电子组态原子光谱项的推求 只需根据 LS 耦合规则, 将单电子的轨道角量子数 l 自旋角量子数 s 分别加合, 即可求得该组态的总轨道角量子数 L 和总自旋角量子数 S, 即可求出该组态所有的光谱项 例 1 ns 1 组态 l= L= 总轨道角量子数 s=1/ S=1/ 总自旋角量子数 S 光谱项 J=1/ 总角量子数 S 1/ 光谱支项 M J =1/, -1/ 外磁场中 ns 1 S S1/ M J =1/ -1/
76 光谱项 l=1 L=1 s=1/ S=1/ P J=3/, 1/ 例 np 1 组态 np 1 P 光谱支项 P 3/, P 1/ 例 3: 求 He 激发态 1s 1 p 1 组态的光谱项和光谱支项 l 1 = l =1 L=1 s 1 =1/ s =1/ S=1 光谱项 3 P 1 P 微观状态数 (S+1)(L+1) 9 3 J=,1, 1 P 3/ P 1/ 3/ 1/ -1/ -3/ 1/ -1/ 光谱支项 3 P, 3 P 1 3 P 1 P 1 微观状态数 (J+1) 5,3,1 3 1s 1 电子包含 种微观状态,p 1 电子 6 种微观状态,1s 1 p 1 组态共存在 6=1 种微观状态, 与光谱项相加得到的微观状态数相同
77 . 闭壳层及互补电子组态 亚层全充满闭壳层, 如 np 6, 电子云球对称, 光谱项为 1 S, 支项为 1 S 闭壳层和开壳层形成的组态 ( 如 s p ), 只考虑开壳层的价电子即可 两个具有相同 n, l 的组态, 如电子数之和为 (l+1), 这两个组态为互补组态 ( 如 p -p 4 ), 互补组态的总轨道角动量和总自旋角动量大小相等, 方向相反, 具有相同的光谱项 3. 等价电子的组态光谱项推求 电子排布法 k I. 按 Pauli 原理的要求, 把电子排布的所有可能情况列出 C(l 1) II. 对每种微观状态, 计算 M S (M S =m s ) 和 M L (M L =m l ) l 角量子数由 M L =,1,...,L, 可知 (M L ) max =L k 电子数 M S =S,S-1,...,-S, 可知 (M S ) max = S III. 在所有可能状态中, 找具有最大多重度条件 ( 自旋角量子数 S 最大 ) 下其所对应的 (M L ) max 为光谱项的 L, 确定一个谱项 S+1 L IV. 去除已找到的谱项所包含的所有微观状态 (L+1)(S+1) V. 在剩余微观状态中, 重复 IIIIV, 直至找到所有谱项
78 C 原子基态 :1s s p m l M S =m s M L =m l 谱项 P D - 1 S 注 : 本表仅考虑了微观状态数目上与谱项的对应, 实际上, 如 M s =, M L = 的微观状态有 3 个, 是无法确定其属于 3 P 1 D 还是 1 S 的
79 4. 等价双电子组态原子光谱项的简单推求 m l1 1-1 m l 画出两电子的轨道磁量子数加合结果 画一对角线, 当 S=1 时,M L 取对角线以上数值 1,,-1 (L=1), 对应 3 P 谱项 当 S= 时,M L 取对角线及对角线以下的数值, 对应 1 D 和 1 S 谱项 3 P 1 D 1 S
80 5. 等价双电子组态原子光谱项的简单记忆法 对 np, 如按非同科电子推求光谱项方法可得到以下谱项 : 3 D 3 P 3 S 1 D 1 P 1 S 1 D, 3 P, 1 S 为同科电子的光谱项 满足 L+S= 偶数 对等价双电子组态, 可以先按非同科电子推出所有谱项, 然后找出满足 L+S= 偶数的谱项即为等价双电子组态的光谱项 6. 微观状态数计算 k 等价电子组态 : C(l 1) k 为等价电子数,l 为组态的角量子数 如 :p 组态包含的微观状态数为 p 3 组态为, d 组态为 45 C( 1) 15 光谱项 :(L+1)(S+1) 如 3 P 谱项的微观状态数为 9 光谱支项 :J+1 如 3 P 谱项的微观状态数为 5
81 .7.3 原子光谱项和对应的能级 对给定的组态, 具有最高多重度的光谱项能量最低 ; 对于给定组态和多重度, 具有最大轨道角动量的谱项能量最低 ( 洪特第一规则 ) 当考虑旋轨偶合时, 光谱项按光谱支项进行分裂,S, L 相同时, 在支壳层半满及半充满前 J 越小, 能量越低 ; 在支壳层半满后,J 越大, 能量越低 ( 洪特第二规则 ) 在外磁场中,M J 越小, 能级越低 M J = 1 S 1 S 1 S 1 S M J = M J = D 1 D 1 D 1 D M J = M J = 1 np np P 3 P 3 P 3 P 1 M J = M J = 1 M J = 1-1 M J = 3 P 1 3 P 3 P 3 P M J =
82 某个组态能量最低的光谱项称为基谱项, 能量最低的光光谱支项称为基谱支项 ( 光谱基项 ) 根据洪特第一规则, 电子要尽量自旋平行向上, 并尽量向 m l 大的轨道上填充所得到的 m l 和 m s 所确定的谱项为基谱项 根据洪特第二规则, 确定光谱基项 例, 求 O 原子基态 p 4 的光谱基项 1-1 S=1, L=1 3 P p 4 为半满后, 基支项为 3 P.7.4 原子光谱 LS 耦合一般原子光谱选律 : 两个电子组态能级同时满足下列条件时 S= L=,±1( 单电子 L=±1 ) J=, ±1 (J= 到 J = 除外 )
83 钠原子的能级图 S P 1/ P 1/ 3/ D D 3/ 5/ F 5/ F 7/ -1 6s 5s 5p 4p 5d 4d 3d 5f 4f 基系 - 4s ev -3 锐系 3p 漫系 -4-5 主系 3s
84 原子结构纲要 氢原子量子数与相关力学量 Hˆ En 本征值与平均值 氢原子量子数与波函数图形关系 光谱项 光谱支项推求及相关力学量 E nlm n nlm 1/ n au.. Mˆ nlm l( l1) nlm Mˆ z nlm m nlm M = l ( l +1) M z = m 单电子原子量子数 l l( l 1) L li L L( L 1) L=l 1 +l, l 1 +l 1,, l 1 l l zi L z =l zi =M L M L =m i =, 1,, L S si S S( S 1) S=s 1 +s, s 1 +s 1,, s 1 s s s( s 1) s zi =m si S z =s zi = M S M Sz =m si =S, S1,, S) J L S J J ( J 1) J = L+S, L+S1,..., LS J z = M J J z = M J
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.5 力学量的平均值 算符表示 平均值 粒子在外场 V() 中运动, 体系的定态薛定谔方程 : m V ( ) u( )= Eu( ) 求解该方程, 可以得到体系的波函数和能量 E 例如 : 粒子束缚在一维无限深方势阱中 0 a 一维无限深方势阱 波函数 能量 n sin x, 0 xa ux ( ) a a, x 0, o, x a 0 En n n 1,,3, ma .5 力学量的平均值 算符表示
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第二章原子的激发态结构. 单电子 (H) 原子 ( 类 ) 氢原子的薛定谔方程 -e 3D 不含时的定态薛定谔方程 其中库仑势 m + ( ) V ( ) V ψ Ze 4πε Eψ + +Ze 电子束缚在原子核的中心力场中 只与电子和原子核之间的径向距离有关 Fom www.hpephsics.ph-ast.gsu.edu . 单电子 (H) 原子氢原子的薛定谔方程 Catesian coodinates
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.5 力学量的平均值 算符表示 平均值 粒子在外场 V() 中运动, 体系的定态薛定谔方程 : m + V () u()= Eu() 求解该方程, 可以得到体系的波函数和能量 E 例如 : 粒子束缚在一维无限深方势阱中 0 a 一维无限深方势阱 波函数 能量 nπ sin x, 0 x a ux ( ) = a a, x < 0, o, x > a 0 π En = n ma n = 1,,3, .5
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. 多电子原子中心力场近似和电子组态 考察一个原子或离子, 包含一个电荷量为 +Ze 的原子核和 个电子 e - H Ze = + m 4πε0r = < j= 4πε0rj e r r r r j r 是第 个电子相对核的坐标 r = r r j j +Ze r j 第二项求和遍及所有两两电子之间 使用原子单位 H Z = + r r = < j= j . 多电子原子中心力场近似和电子组态 所以
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前 言 本书是我们在中国科学技术大学讲授 物质结构 课程所编的讲义的基础上多次补充 修改而成的 目前, 用量子理论处理原子 分子和固体的结果已能根据微观粒子的相互作用来解释和预言很多宏观上所能观察到的规律 因此, 这门课的目的在于使化学 材料科学 生物等专业的学生能在量子理论的基础上了解化学和化学物理的有关现象与物质的微观结构的本质联系, 以及掌握有关揭示物质微观结构的理论和实验方法 本书从量子理论的建立和发展讲起,
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化学元素周期表 每个周期都是以 s 支壳层开始, 而以填满 p 支壳层结束. 上节小结 同一族元素有相似的电子结构 ( 化学 物理性质相似 ). 6 p 满壳层, 惰性气体. 5 p 卤族元素. s 碱金属. s 碱土金属. 过渡元素和稀土元素都有未满的内壳层. 每个 p 支壳层和下 s 支壳层的能量差特别大. 满支壳层电子状态闭合的支壳层的角动量为零 ; 故闭合的主壳层的角动量为零. 因此, 原子的角动量就是未闭合壳层的角动量.
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3. 电子自旋和自旋 - 轨道相互作用 自旋 - 轨道相互作用 原子光谱存在精细结构 887 年, 迈克耳逊 (A. Michlson) 和莫雷 (E. Moly) 就利用高分辨的干涉光谱仪观测到了 H α 线的双重结构并测量到其间隔约为.53 cm -, 双重结构的重心也偏离理论计算. cm - 左右 3. 电子自旋和自旋 - 轨道相互作用 自旋 - 轨道相互作用 自旋 - 轨道相互作用 : 电子的轨道运动会在原子内部产生一个内磁场,
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.4 一维定态问题 无限深方势阱 一维定态问题 设质量为 m, 能量为 E 的粒子沿 x 轴运动, 势能是不含时的 V(x), 则这是一个一维的定态问题, 其 Schrödinger 方程 : d + Vx ( ) ux ( )= Eux ( ) m dx 一维无限深方势阱 V( x) 0, 0 x a =, x < 0, or, x > a 0 a 一维无限深方势阱 .4 一维定态问题 无限深方势阱
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4.3 多电子原子 基态原子的核外电子排布 ( 基态电子组态 ) N 个电子组态 nl 11, nl 2 2, nnln 基态电子组态? (1) 能量最低 E 体系总能量 (0) N = E i= 1 nl ii 其中单电子能量 E nl = 1 2 mc e α 2 2 Z *2 nl 2 n 1,1, s s 1s? (2) Pauli 不相容原理 支壳层容纳的电子数目受到不相容原理限制 按照支壳层能量的高低,
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Ch6. Quantum Theory of the Hydrogen Atom Introduction 1945 Schrodinger Schrodinger equation : If only I knew more mathematics wave function analytical solution Schrodinger Equation for the Hydrogen Atom
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-2 4 - cr 5 - 15 3 5 ph 6.5-8.5 () 450 mg/l 0.3 mg/l 0.1 mg/l 1.0 mg/l 1.0 mg/l () 0.002 mg/l 0.3 mg/l 250 mg/l 250 mg/l 1000 mg/l 1.0 mg/l 0.05 mg/l 0.05 mg/l 0.01 mg/l 0.001 mg/l 0.01 mg/l () 0.05 mg/l
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预备知识 : 量子力学近似方法 在量子力学中, 只有少数问题可以精确求解, 因而, 近似方法对量子力学应用到原子分子物理中解决具体问题十分重要 在本课程展开之前, 先回顾一下量子力学中几种常用的近似方法.1 定态微扰论 (Tie-independent perturation theory) 微扰理论是用来处理体系受到微小的扰动而改变的情形的, 设体系的哈密顿量 H 不显含时间 t, 并可以分成两部分
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66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布 设 是一随机变量, 是 的函数, g(, 则 也是一个随机变量. 本节的任务 : 当 取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一 离散型随机变量的函数 设 是离散型随机变量, 其分布律为 或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量 的分布, 并且已知 g 要求随机变量 的分布. (, 是 的函数 : g(, 则 也是离散型随机变
器之 间 向一致时为正 相反时则为负 ③大量电荷的定向移动形成电 流 单个电荷的定向移动同样形成电流 ３ 电势与电势差 １ 陈述概念 电场中某点处 电荷的电势能 Ｅ ｐ 与电荷量 ｑ Ｅｐ 的比值叫做该点处的电势 表达式为 Ｖ 电场中两点之间的 ｑ 电势之差叫做电势差 表达式为 ＵＡＢ Ｖ Ａ ＶＢ ２ 理解概念 电势差是电场中任意两点之间的电势之差 与参考点的选择无关 电势是反映电场能的性质的物理量
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
4. 氦原子的光谱和能级 He 原子的光谱和能级 核外有两个电子, 有两套谱线, 分别是三线和单线的结构 能级有以下特点 : 两套能级, 一套单层, 另一套三层, 对应的原子多重态称为单态和三重态, 单态和三重态之间无跃迁 基态和第一激发态能量差很大, 约为 9.8ev 3 三重态能级低于相应的单态
第五章氦原子和多电子原子 4. 氦原子的光谱和能级 4. 全同粒子和泡利不相容原理 4.3 多电子原子的电子组态 4.4 原子的壳层结构和元素周期表 4.5 多电子原子的原子态和能级 4. 氦原子的光谱和能级 He 原子的光谱和能级 核外有两个电子, 有两套谱线, 分别是三线和单线的结构 能级有以下特点 : 两套能级, 一套单层, 另一套三层, 对应的原子多重态称为单态和三重态, 单态和三重态之间无跃迁
5 (Green) δ
2.............................. 2.2............................. 3.3............................. 3.4........................... 3.5...................... 4.6............................. 4.7..............................
é SI 12g C = 6 12 = 1 H2( g) + O2( g) H2O( l) + 286kJ ( 1) 2 1 1 H 2( g) + O2( g) H2O( l) H = 286kJ mol ( 2) 2 1 N 2 ( g) + O2( g) NO 2 ( g) 34kJ 2 1 1 N 2 ( g) + O2( g) NO 2 ( g) H = + 34kJ mol 2 1 N
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(i) (ii) 70,000,00081,620,000 78,158,00091,132,228 70,000,0006,058,000 2,100,000(36) 1 14.07 5% 25% 14 217,984,000 11.34% 75% 50.53% 14A 2 (i) (ii) (iii)(iv) (i) (ii) 70,000,000 81,620,000 78,158,00091,132,228(36)
( m+ n) a 6 4 4 4 4 7 4 4 4 48 m n m+ n a a = a 4 a 4 3 a a 4 a 4 3 a = a 4 a 4 4 a 4 == 3 = a ma na ( m+ n) a A 0 a m a n m n a m+n 0 B a m a n m n m>n a m-n C 0 (a m ) n m n a mn D (ab) n n a n b n (
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,, (CIP) /.:, 2006 ISBN 7-5629-2480-5... -. U415.6 CIP (2006) 160794 : ( 122 :430070 ) http: ww w.t ech book.com.cn E-mail: w u tpyyk@163.com : : :7871092 1/ 16 :12.25 :302 :2006 12 1 :2006 12 1 :12000
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三 微扰计算 : 考虑长度 L=Na 的一维晶体 ħ dd yy m ddxx + U x ψψ xx = Eψψ(xx) 周期性势场 : U(x)=U(x+ a) a 为晶格常数因其周期性, 可作 Fourier 展开 : U x = U + UU nn exp(i ππππππ aa ) nn 其中 U = 1 LL LL UU x dx = U 势能平均值 U 视为常数 U = 1 LL LL
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第 6 章 第 页共 50 页 第 6 章 6. 微观粒子的波粒二象性和不确定关系式 6.. 微观粒子的波粒二象性. 玻尔理论的困难 玻尔量子理论成功地解释了原子的稳定性 大小及氢原子光谱的规律性. 为人们认识微观世界和建立近代量子理论打下了基础. 玻尔理论是经典与量子的混合物, 它保留了经典的确定性轨道, 另一方面又假定量子化条件来限制电子的运动. 它不能解释稍微复杂的问题, 正是这些困难, 迎来了物理学的大革命.
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西华大学应用数学系朱雯 微分方程 习题课 解题方法流程图 求 Pd Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 解出 No dy = f (, y ) d 可分离变量方程 齐次方程 dy y ( ) d 令 y u 一阶线性方程 dy P( ) y Q( ) d 其它一般方程 g ( y) dy f ( ) d g ( y) dy f ( ) d du ( u) u d 可分离变量 通解为 Pd Pd y
高等数学A
高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March
女性美容保健（四）.doc
...1...4...6...8...9...10... 11...12...13...15...18...20...21...22...26...33...39...43 I II...47...52...53...59...60...63...65...68...69...71...73 1.5 ml...78...79...85...88...90...94...95...97...98...
201320142015 99.4% 98.6% 99.0% 1. 1999GB17761-1999 1999 5 28 1999 10 1 GB17761-1999....... 5.1.1 6.1.1 5.2.1 6.2.1 5.2.2 6.2.2 89
2005 7 9 2005 9 1 2005 9 15 2014 4 212014 8 1 2010 8 25 201090 2003 2009 88 201320142015 99.4% 98.6% 99.0% 1. 1999GB17761-1999 1999 5 28 1999 10 1 GB17761-1999....... 5.1.1 6.1.1 5.2.1 6.2.1 5.2.2 6.2.2
G(z 0 + "z) = G(z 0 ) + "z dg(z) dz z! # d" λ "G = G(z 0 ) + #cos dg(z) ( & dz ) * nv #., - d+ - - r 2 sin cosds e / r # ddr 4.r 2 #cos! "G = G(z 0 )
2005.7.21 KEK G(z 0 + "z) = G(z 0 ) + "z dg(z) dz z! # d" λ "G = G(z 0 ) + #cos dg(z) ( & dz ) * nv #., - d+ - - r 2 sin cosds e / r # ddr 4.r 2 #cos! "G = G(z 0 ) + #cos dg(z) ( & dz ) * nv 2+ + ds -
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05 年 入 学 MBA 联 考 综 合 试 卷 参 考 答 案 及 详 解 说 明 : 由 于 05 年 入 学 MBA 联 考 试 题 为 一 题 多 卷, 因 此 现 场 试 卷 中 的 选 择 题 顺 序 及 每 道 题 的 选 项 顺 序, 不 同 考 生 有 所 不 同 请 在 核 对 答 案 时 注 意 题 目 和 选 项 的 具 体 内 容 所 有 解 析 来 自 网 络, 仅 供
2 23 (b) 4. (a) B X = µ 0I = (4π 10 7 )(1.5) X 2π(0.045) = 6.67 μt B Y = µ 0I = (4π 10 7 )(1.5) Y 2π(0.015) = 20 μt (b) B X = µ 0I = (4π 10 7 )(2) X 2
23 (b) 1 (p. 192) 1. (a) F (b) F 2. (a) C C B B B A (b) 2 (p. 196) 1. (a) T (b) F (c) T 2. (a) W 4. 3 (p. 205) 1. A A 2. (a) F (b) T 3. 4. (a) (b) Z 3. (a) 2 23 (b) 4. (a) B X = µ 0I = (4π 10 7 )(1.5)
避孕篇
避 孕 篇 生 育 后 时 期 的 避 孕 方 法 : 适 用 的 方 法 : 1) 宫 内 节 育 器 类 : 金 属 环 可 放 置 15 年 左 右 ;V 型 环 可 放 置 5-7 年 ;T 型 环 可 放 置 10-15 年 2) 避 孕 药 ( 针 ) 类 : 各 种 短 效 口 服 避 孕 药, 如 妈 富 隆 敏 定 偶 三 相 片 及 达 英 -35 等, 按 规 定 方 法 服
幻灯片 1
.5 IIA 和 IIB 族原子 .5 IIA 和 IIB 族原子 碱土金属 IIA 族 基电子组态 铍 4Be(s s ) 镁 Mg(KLs ) 钙 Ca(KLs p 6 4s ) 锶 8Sr(KLM4s 4p 6 5s ) 钡 56Ba(KLM4s 4p 6 4d 5s 5p 6 6s ) 镭 88Ra(KLMN5s 5p 6 5d 6s 6p 6 7s ) 基态和 ns 价电子的激发态能级与光谱与
五花八门宝典（一）.doc
BBS...5... 11...23...26...31...46...49...54...55...57...59...62... 110... 114... 126... 132... 149 I "108" 1 2 3 4 BBS 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 M ( ) Kg S ( ) A ( ) K (
(p.29). (a) F Qq r 2 ()() N (b) Q 2 r 2 F ( 2 )() Q 0 5 C 2. (a) F (b) F 3. 7 (p.42). (a) T (b) F (c) T 2. (a) A (b) (c) 4. (a) 4 (b) (
20 (p.7). (a) T (b) T (c) T (d) F 2. B 3. 3 (p.4). D 2. C D A B D B D B D 3. (a) F (b) F (c) T 4. 2 (p.0) 4 (p.23). (a) B (b) A P 2. (a) F (b) T 3. 4. 5. 6. (a) (b).6 0 9.6 0 9 0 0. (a) X Y (b) X Y Z 2.
( CIP).:,3.7 ISBN TB CIP (3) ( ) ISBN O78 : 3.
( CIP).:,3.7 ISBN 7 568 383 3.......... TB CIP (3) 334 3 37 ( ) 64536 www.hdlgpress.com.c 7879 6 9.75 479 3 7 3 7 45 ISBN 7 568 383 3O78 : 3. 995,.,.,.,. :,,,,.. :,,,,,,.,,,,.,,. ,,.,,,.,,,.,,,,.,.,,,
幻灯片 1
.5 IIA 和 IIB 族原子 IIB 族 基电子组态 锌 Zn(KLs p 6 d 4s ) 镉 48Cd(KLM4s 4p 6 4d 5s ) 汞 8Hg(KLM4s 4p 6 4d 4f 4 5s 5p 6 5d 6s ) 基态和 ns 价电子的激发态能级与光谱与 He 原子和 IIA 族原子类似 钙 Ca(KLs p 6 4s ) 锶 8Sr(KLM4s 4p 6 5s ) 钡 56Ba(KLM4s
Molecular Modeling Elementary Principles and Applications
Course for Molecular Modelling Elementary Principles and Applications Jian Wan Department of Chemistry Central China Normal University Wuhan 430079, China Tel: +86-27-6786-2022 E-mail: jianwan@mail.ccnu.edu.cn
1 2 m v e 2 ö e m e m e m e m e e m m 1 1840 e m e m 2 v r Å Å Å 9999 10000 2 n λ = b( 2 2 ) n 2 Å 1 1854 1919 λ 1 1 1 2 2 λ = R ( Z H n ) 1 1 1 2 2 λ R H ( ) n f ni Z Z E ν = h mvr = n h 2π mvr = nh
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F = k Q Q r F = k Q = k Q r r Q Q = Fr k = C 0 5 C 9 0 5 Q 0 3 n = = 9 = 65. 0 e 6. 0 4 3 A B 7 7 9 6 C D 7 7 F = k q 7q = k 7q r r q + 7q = 4q F = k 4q 4q = k 6q r r F = 6 F 7 7q q = 3q s c = t s c =
(CIP) ().: ISBN O4-44 CIP (2004)
( ) (CIP) ().:. 2004.11 ISBN 7-04 - 015565-6... - -.O4-44 CIP (2004)092157 010-64054588 4 800-810 - 0598 100011 http:www.hep.edu.cn 010-58581000 http:www.hep.com.cn 8501168 1 32 1 8.625 220 000 12.00,.
Homework9 答案 1. 粒子在一维势场 V (x) = k x ν 中运动,k, ν > 0. 利用测不准关系估算基态能级和 x. 解 : 粒子在某个态下的能量期望值可以写成 : p 2 E = 2m + k x ν (1) 考虑 x ν x 2 ν/2 V (x) = k x ν 是偶函数
Homework9 答案 1. 粒子在一维势场 V (x) = k x ν 中运动,k, ν > 0. 利用测不准关系估算基态能级和 x. 解 : 粒子在某个态下的能量期望值可以写成 : p E = m + k x ν (1) 考虑 x ν x ν/ V (x) = k x ν 是偶函数, 因而 Schrodinger 方程的解必然具有宇称对称性, 从而可以得到 : 所以 < x >= 0, < p
x y 7 xy = 1 b c a b = x x = 1. 1 x + 17 + x 15 = 16 x + 17 x 15 + 17 15 x + 17 - x 15 = (x x ) ( ). x + 17 + x 15 x + y + 9 x + 4 y = 10 x + 9 y + 4 = 4xy. 9 4 ( x + ) + ( y + ) = 10 x y 9 ( x + )( ).
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() * 3 6 6 3 9 4 3 5 8 6 : 3. () ; () ; (3) (); (4) ; ; (5) ; ; (6) ; (7) (); (8) (, ); (9) ; () ; * Email: huangzh@whu.edu.cn . () ; () ; (3) ; (4).. () : P.4 3.4; P. A (3). () : P. A (5)(6); B. (3) :
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01 1-1 1-2 1-3 1-4 physics 1-1 1-1 1900 1900 2 01 1. (1) (2) (3) 2. (1) (2) (3) 3. (1) (2) (3) (4) 4. (1) (2) (3) (4) (5) 5. (1) (2) 3 (Aristotle, 384~322B.C.) (Galileo Galilei, 1564~1642) g 1-1 (Issac
第一章 量子论基础
第五章近似方法 一 概念与名词解释. 斯塔克效应. 跃迁概率 3. 费米黄金规则 4. 选择定则二 计算. 如果类氢原子的核不是点电荷, 而是半径为 r, 电荷均匀分布的小球, 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正.. 转动惯量为 I, 电矩为 D 的空间转子处在均匀电场 E 中, 如果电场较小, 用微扰理论求转子基态能量的二级修正. 3. 转动惯量为 I, 电矩为 D 的平面转子处在均匀弱电场
99710b45zw.PDF
1 2 1 4 C && Zn H H H H H Cl H O H N H H H CH C H C H 3 2 5 3 7 H H H H CH 3 C2H 5 H H H O H H O K K O NO 2 H O NO 2 NO O 2 C2H5 H O C2H5 C H O C2H3 2 5 H H H O H H O 1826 O
《西游记》（一）
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Microsoft Word - chapter4-electronic-correlation
计算物理 王延颋 6 年 月 7 日 4. 电子关联方法 Hartree-Fock 方法忽略了电子间的关联, 可以得到 99% 的总能量, 但是剩下的 ~% 对于化学体系至关重要, 尤其考虑到化学反应等现象更多取决于不同状态的能量差值 基于 HF 方法基础上加入电子关联的计算方法统称为电子关联方法 (Electronc Correlaton Methods), 主要包括组态相互作用 (Confguraton
5 551 [3-].. [5]. [6]. [7].. API API. 1 [8-9]. [1]. W = W 1) y). x [11-12] D 2 2πR = 2z E + 2R arcsin D δ R z E = πr 1 + πr ) 2 arcsin
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38 5 216 1 1),2) 163318) 163318). API. TE256 A doi 1.652/1-879-15-298 MODE OF CASING EXTERNA EXTRUSION BASED ON THE PRINCIPE OF VIRTUA WORK 1) ZHAO Wanchun,2) ZENG Jia WANG Tingting FENG Xiaohan School
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银河银联系列证券投资基金
2-1 ...3...7...8...9...15...23...25...26...27...28...35...35...38...39...39...40...45...45...46...48...50...52...53...56...58...59...59...60...61...61 2-2 1998 12 29 2004 6 8 2004 7 1 2004 6 29 2004 7
微积分 授课讲义
2018 10 aiwanjun@sjtu.edu.cn 1201 / 18:00-20:20 213 14:00-17:00 I II Taylor : , n R n : x = (x 1, x 2,..., x n ) R; x, x y ; δ( ) ; ; ; ; ; ( ) ; ( / ) ; ; Ů(P 1,δ) P 1 U(P 0,δ) P 0 Ω P 1: 1.1 ( ). Ω
6CO2 6H 2O C6H 2O6 6O2 = = n i= P X i n H X - P X logp X i= i n X X X P i P 0 i l n i n n P i= i H X = - p log P n i= i i i + H X - P X logp X dx - 2 2 2 2 3 2 4 2 d( Q) d( Q) > 0 = 0 di di d(
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8.1 f G(f) 3.1.5 G(f) f G(f) f = a 1 = a 2 b 1 = b 2 8.1.1 {a, b} a, b {a} = {a, a}{a} 8.1.2 = {{a}, {a, b}} a, b a b a, b {a}, {a, b}{a} {a, b} 8.1.3
() 求 其 能 级 和 本 征 函 数 ; V, α < ϕ < () 加 ˆ H ' = V ( ϕ ) = V, < ϕ < α 微 扰,, 其 他 求 对 最 低 的 两 能 级 的 一 级 微 扰 修 正 注 : 在 坐 标 系 中 = ( r ) + + r r r r ϕ, < x <
中 国 科 学 院 研 究 生 院 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 统 一 考 试 试 题 第 一 题 : 选 择 和 简 答 ( 5' 8 = 4' ) 试 题 名 称 : 量 子 力 学. 氢 原 子 的 基 态 电 离 能 是 3.6ev, 问 处 于 第 一 激 发 态 的 氢 原 子 电 离 能 是 ( 3.4ev) 34. 普 朗 克 常 数 h 等
. m. m. m s H m h h h h h - - H H H h = H h 国防常识
...1...14...14...18...19...26...28...30...31 97...40...40...41...42 ()...43...43...44...44...45...46 I ...47...47...48...49...49...52...53...54...54...55...57...58...59...61...62...62...64...66...68...69...72
Microsoft Word - 物质结构导论E4.docx
前 言 本 书 是 我 们 在 中 国 科 学 技 术 大 学 讲 授 物 质 结 构 课 程 所 编 的 讲 义 的 基 础 上 多 次 补 充 修 改 而 成 的 目 前, 用 量 子 理 论 处 理 原 子 分 子 和 固 体 的 结 果 已 能 根 据 微 观 粒 子 的 相 互 作 用 来 解 释 和 预 言 很 多 宏 观 上 所 能 观 察 到 的 规 律 因 此, 这 门 课 的 目
Persuasive Techniques (motorcycle helmet)
M O D E A T H E E L E M E N T S O F A N A R G U M E N T 1n t h l s t e s t i m o n y g iv e n b e f o r e t h e M a ry l a n d Se n a t e t h e s p e a ke r m a ke s a s t r o n g c l a i m a b o u t t
1-1 + 1 + + 2 + + 3 + 4 5 + 6 + 7 8 + 9 + 1-2 1 20000 20000 20000 20000 2 10000 30000 10000 30000 3 5000 5000 30000 4 10000 20000 10000 20000 5 3000 3000 20000 6 3000 3000 20000 7 5000 15000 8 5000 15000
腰部酸痛保健法
識 臨 都 老 年 勞 不 不 理 不 便 了 療 離 狀 力 力 易 拉 狀 勞 裂 類 老 年 刺 滑 不 良 六 尿 列 類 說 裂 神 神 見 勞 滑 不 烈 兩 來 暴 力 勞 裂 刺 神 神 狀 見 勞 見 臨 度 降 年 連 都 類 淋 刺 刺 不 勞 易 老 不 不 若 神 神 行 力 不 良 了 不 良 立 年 女 老 年 度 度 度 勞 見 老
第三讲 空间解析几何与向量代数
第 三 讲 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 3.. 向 量 代 数. 数 量 积 ( 内 积 ): a b = a b cos θ; θ 是 ab, 之 间 的 夹 角. 向 量 积 ( 外 积 ): a b = a b sin θ; a b a, a b b, 构 成 右 手 系 a b( 含 共 线 ) a b = ; a b a b = aba,, b 3. 坐 标 表 示 : ab
6 2016/5/ /6/19 z B (HDM) (CDM) CDM (Λ = 0) (k = +1) Friedmann ( ) dr 2 = Rmax R R 2 (4.1) dθ R(θ) = R max 2 t(θ) = R max 2c (1 cos θ), (4.2) (θ
6 206/5/9 206/6/9 z B (HDM) (CDM) CDM (Λ = 0) (k = +) Friedmann ( ) dr 2 = Rmax R R 2 (4.) dθ R(θ) = R max 2 t(θ) = R max 2c ( cos θ), (4.2) (θ sin θ); (4.3) R(θ) θ = 0 θ = π (turn-around time) θ = 2π
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() ( 3845 ) ...10... 10... 11...12... 12... 12... 15... 16... 18... 18...19... 19... 19... 20...21... 21... 21... 23... 23... 23... 24... 24... 24... 24... 25...26... 26... 27... 31... 57... 58...
第二章
中 国 建 筑 股 份 有 限 公 司 内 部 控 制 手 册 (2009 年 版 ) 目 录 第 一 章 总 则 1 编 制 内 部 控 制 手 册 目 的 依 据 1 2 内 部 控 制 手 册 的 适 用 范 围 1 3 内 部 控 制 基 本 原 则 1 4 内 部 控 制 的 基 本 要 求 2 5 内 部 控 制 组 织 机 构 4 6 内 部 控 制 手 册 的 更 新 与 监 督 4
: : : ( CIP ) : ( ) /. :, ISBN :. G7. 4 CIP ( 00 ) 005 : : ( ) : : ( 0 : 0004) : : : / 6 : 7 ( ) : 408 () : 00
() ( ) ( : ) : : : ( CIP ) : ( ) /. :, 00. 7 ISBN 7-8008 - 958-8... :. G7. 4 CIP ( 00 ) 005 : : ( ) : : ( 0 : 0004) : : 00 7 00 7 : 78709 / 6 : 7 ( ) : 408 () : 000 : ISBN 7-8008 - 958-8/ G89 : 9 98. 00
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- -2-3 -4-5 400 - (electron)(j. J. Thomson) 97.02 0 9 9. 0 2 0.000549amu amu=.0 0 24 + (proton)(neutron) - -amu amu=.0 0 24-2 - (amu) e 9.0 0 2 0.000549 P or H + +.73 0 24.0072 n 0.75 0 24.007-2 93 (Henry
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2001 ( ) 063,, ( CIP ) : : : (100054, 8 ) : : (021) 73094, ( 010 )63223094 : : : 850 1168 1/ 32 : : : : 2001 2001 : : ISBN 7-113 - 04319-4/ U 1192 : 24 00,, : ( 021 ) 73169, ( 010) 63545969 : : : : : :
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26 13 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 1 18 1. xy D D = {(x, y) y 2 x 4 y 2,y } x + y2 dxdy D 2 y O 4 x 2. xyz D D = {(x, y, z) x 1, y x 2, z 1, y+ z x} D 3. [, 1] [, 1] (, ) 2 f (1)
南華大學數位論文
南 華 大 學 哲 學 與 生 命 教 育 學 系 碩 士 論 文 呂 氏 春 秋 音 樂 思 想 研 究 研 究 生 : 何 貞 宜 指 導 教 授 : 陳 章 錫 博 士 中 華 民 國 一 百 零 一 年 六 月 六 日 誌 謝 論 文 得 以 完 成, 最 重 要 的, 是 要 感 謝 我 的 指 導 教 授 陳 章 錫 博 士, 老 師 總 是 不 辭 辛 勞 仔 細 閱 讀 我 的 拙
Microsoft Word - 3.3.1 - 一年級散文教案.doc
光 明 英 來 學 校 ( 中 國 文 學 之 旅 --- 散 文 小 說 教 學 ) 一 年 級 : 成 語 ( 主 題 : 勤 學 ) 節 數 : 六 教 節 ( 每 課 題 一 教 節 ) 課 題 : 守 株 待 兔 半 途 而 廢 愚 公 移 山 鐵 杵 磨 針 孟 母 三 遷 教 學 目 的 : 1. 透 過 活 動, 學 生 能 說 出 成 語 背 後 的 含 意 2. 學 生 能 指
第３２回独立行政法人評価委員会日本貿易保険部会 資料1-1 平成22年度財務諸表等
1 12,403 2,892 264,553 19,517 238,008 10,132 989 36 9,869 2,218 250 122 ( 126 108 1,563 278 159 260 478 35,563 1,073 74 190,283 104,352 140,658 20,349 16,733 21,607 (21,607) 58,689 303,699 339,262 339,262
項 訴 求 在 考 慮 到 整 體 的 財 政 承 擔 以 及 資 源 分 配 的 公 平 性 下, 政 府 採 取 了 較 簡 單 直 接 的 一 次 性 減 稅 和 增 加 免 稅 額 方 式, 以 回 應 中 產 家 庭 的 不 同 訴 求 ( 三 ) 取 消 外 傭 徵 費 6. 行 政 長
2013 年 1 月 23 日 的 立 法 會 會 議 葛 珮 帆 議 員 就 幫 助 中 產 動 議 的 議 案 ( 經 單 仲 偕 議 員 及 莫 乃 光 議 員 修 正 ) 進 度 報 告 在 2013 年 1 月 23 日 的 立 法 會 會 議 上, 由 葛 珮 帆 議 員 就 幫 助 中 產 動 議 的 議 案, 經 單 仲 偕 議 員 及 莫 乃 光 議 員 修 正 後 獲 得 通 過
(f) (g) (h) (ii) (iii) (a) (b) (c) (d) 208
(a) (b) (c) (d) (e) 207 (f) (g) (h) (ii) (iii) (a) (b) (c) (d) 208 17.29 17.29 13.16A(1) 13.18 (a) (b) 13.16A (b) 12 (a) 209 13.19 (a) 13.16A 12 13.18(1) 13.18(4) 155 17.43(1) (4) (b) 13.19 17.43 17.29
(1) 64 15 2062 50 8 818 60 41606 63 8305 53 3 11201 38 10 216C 2012815 2012815 2012815 2012815 2012815 201464 200211 20128 20128 20128 20128 20146 4 2
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1993 79 2010 9 80 180,000 (a) (b) 81 20031,230 2009 10,610 43 2003 2009 1,200 1,000 924 1,061 800 717 600 530 440 400 333 200 123 0 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 500 2003 15,238 2009 31,4532003 2009
Microsoft Word - 08 单元一儿童文学理论
单 元 ( 一 ) 儿 童 文 学 理 论 内 容 提 要 : 本 单 元 共 分 成 三 个 小 课 目, 即 儿 童 文 学 的 基 本 理 论 儿 童 文 学 创 作 和 儿 童 文 学 的 鉴 赏 与 阅 读 指 导 儿 童 文 学 的 基 本 理 论 内 容 包 括 儿 童 文 学 的 基 本 含 义 儿 童 文 学 读 者 儿 童 文 学 与 儿 童 年 龄 特 征 和 儿 童 文 学
bnbqw.PDF
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Microsoft Word - 發布版---規範_全文_.doc
建 築 物 無 障 礙 設 施 設 計 規 範 內 政 部 97 年 4 年 10 日 台 內 營 字 第 0970802190 號 令 訂 定, 自 97 年 7 月 1 日 生 效 內 政 部 97 年 12 年 19 日 台 內 營 字 第 0970809360 號 令 修 正 內 政 部 101 年 11 年 16 日 台 內 營 字 第 1010810415 號 令 修 正 目 錄 第 一
概 述 随 着 中 国 高 等 教 育 数 量 扩 张 目 标 的 逐 步 实 现, 提 高 教 育 质 量 的 重 要 性 日 益 凸 显 发 布 高 校 毕 业 生 就 业 质 量 年 度 报 告, 是 高 等 学 校 建 立 健 全 就 业 状 况 反 馈 机 制 引 导 高 校 优 化 招
I 概 述 随 着 中 国 高 等 教 育 数 量 扩 张 目 标 的 逐 步 实 现, 提 高 教 育 质 量 的 重 要 性 日 益 凸 显 发 布 高 校 毕 业 生 就 业 质 量 年 度 报 告, 是 高 等 学 校 建 立 健 全 就 业 状 况 反 馈 机 制 引 导 高 校 优 化 招 生 和 专 业 结 构 改 进 人 才 培 养 模 式 及 时 回 应 社 会 关 切 的 一 项
鱼类丰产养殖技术（二）.doc
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疾病诊治实务（一）
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名人养生.doc
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嘉 義 地 區 客 家 禮 俗 研 究 第 一 章 前 言 嘉 義 地 區 的 客 家 族 群 約 略 可 分 為 福 佬 客 詔 安 客 與 北 部 客 等 三 種 類 別, 其 分 佈 區 域 以 海 線 地 區 平 原 地 形 沿 山 地 區 為 主 有 相 當 多 的 北 部 客 家 人, 是 二 次 大 戰 末 期 和 戰 後 初 期 才 移 民 嘉 義, 是 什 麼 因 素 令 許 多
05301930
國 立 中 正 大 學 法 學 系 碩 士 論 文 河 川 砂 石 法 規 範 之 探 討 - 以 採 取 土 石 及 挖 掘 河 川 認 定 基 準 為 主 指 導 教 授 : 盧 映 潔 博 士 研 究 生 : 王 瑞 德 中 華 民 國 一 百 零 一 年 五 月 目 錄 第 一 章 緒 論... 1 第 一 節 研 究 動 機... 1 第 二 節 研 究 目 的... 3 第 三 節 研
中老年保健必读（十）.doc
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23 29 15.6% 23 29 26.2% 3 25 2 15 1 5 1,542 12,336 14,53 16,165 18,934 22,698 25,125 25 2 15 1 5 5,557 7,48 8,877 11, 13,732 17,283 22,485 23 24 25 26
4, 197823 2916.3%29 335, 23 29.5% 23 29 16.3% 14 35 33,535 14 135 13 125 1,292 1,3 1,38 1,314 1,321 1,328 1,335 3 25 2 15 1 5 1. 1.1 13,582 15,988 1.4 18,322 11.6 11.9 21,192 24,953 3,67 9. 8.7 12 1 8
海淀区、房山区（四）
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