幻灯片 1

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始荏能
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1 .5 力学量的平均值算符表示平均值粒子在外场 V() 中运动, 体系的定态薛定谔方程 : m V ( ) u( )= Eu( ) 求解该方程, 可以得到体系的波函数和能量 E 例如 : 粒子束缚在一维无限深方势阱中 0 a 一维无限深方势阱波函数能量 n sin x, 0 xa ux ( ) a a, x 0, o, x a 0 En n n 1,,3, ma

2 .5 力学量的平均值算符表示平均值能量的实验观测 : 能谱 ( 光谱 ) 测量光谱测量 e EG 能谱测量 (Fanck-Hetz)

3 .5 力学量的平均值算符表示平均值其它力学量呢? 比如 : 粒子的位置动量 p 动能 T 角动量 L, (1) 粒子的位置例如 : 一维无限深方势阱粒子的位置是不确定的, 取值在 [0, a] 之间但粒子的概率分布是确定的, 是 n sin x, 0 xa ux ( ) a a, x 0, o, x a 0 n 1,,3, 所以, 可以得到粒子位置的平均值 ( 假设粒子处在基态 n =1 态 ): a a x a x x u( x) dx x sin dx 0 0 a a 加权平均

4 .5 力学量的平均值算符表示平均值一般地, 设粒子的波函数为 (, t), 则在 t 时刻粒子出现在附近 d 体积元内的概率为 : * (, t) d (, t) (, t) d 其中 (, t) 是概率密度假设波函数已经归一化, 即则位置的平均值为 : (, td ) 1 * (, t) d (, t) (, t) d

5 .5 力学量的平均值算符表示平均值 () 粒子的势能 V(, t) 粒子在点的势能为 V(, t), 而粒子出现在该点的概率密度为 (, t) 则 V(, t) 的平均值为 : (3) 粒子的动量 p * V (, t) V (, t) (, t) d (, t) V(, t) (, t) d 如果粒子动量可以表示为点的函数 p(, t), 则可以用上述同样的方法求平均值但是, 按照不确定关系, 位置和动量不能同时具有确定的取值! 因此, 粒子在空间某点的动量是没有意义的 p(, t)

6 .5 力学量的平均值算符表示平均值将位置空间的波函数用平面单色波展开 : i 1 ( p -Et ) (, t) ( )e d 3/ p p 1 ( p, t)e 3/ 展开系数是 (, t) 的傅立叶变换 3/ i p dp 动量空间体积元 i 1 p ( p, t ) (,t)e d d p= dpxdpydpz ( p, t) 表示平面波 e i p 的所占的比重, 即粒子动量取为 p 的概率 (p, t) 称为动量空间波函数

7 .5 力学量的平均值算符表示平均值所以, 动量的平均值 * (, ) (, ) (, ) p p p t d p p t p p t d p i 1 p ( p, t ) (,t)e d 3/ p * (, t)( i ) (, t) d 仍然可以用位置空间波函数为 (, t) 来求平均值, 但动量算符 : pˆ i p i

8 .5 力学量的平均值算符表示平均值 (4) 粒子的动能 T = p /m 类似地, 动能的平均值动能算符 : * T (, t)( ) (, t) d m ˆ T m ˆ 且有 Tˆ p m (5) 粒子的总能 E = T+V (, t) 平均值 * E (, t) V (, t) (, t) d m H ˆ (, ) (, ) V t p m m V t 总能能算符 : ˆ 称为粒子的哈密顿算符

9 .5 力学量的平均值算符表示平均值含时薛定谔方程 : (, ) t m i V t i t Hˆ 定态薛定谔方程 : m V ( ) u( )= Eu( ) Hu ˆ ( )= Eu( )

10 .5 力学量的平均值算符表示算符表示量子力学中, 描述微观粒子的力学量均有对应的算符 (1) 位矢 () 势能 V() V() (3) 动量 p pˆ i (4) 动能 T (5) 总能量 E Tˆ m ˆ V() H (6) 角动量 L p m ˆ 在直角坐标系中的三个分量 pˆ x pˆ y i i x y pˆ z i z L pˆ ˆ ˆ ˆ 在直角坐标系中的三个分量 Lx ypz zpy i y z z y Lˆ y zpˆ x xpˆ z i z x x z Lˆ z xpˆ y ypˆ x i x y y x

11 Catesian coodinates Spheical coodinates ),, ( z y x ),, ( x sin cos y sin sin z cos z y x accos z y x z x y actan.5 力学量的平均值算符表示算符表示

12 .5 力学量的平均值算符表示算符表示角动量算符 Lˆ pˆ ˆ Lx i sin ctg cos Lˆ y i cos ctg sin Lˆ z i 在球坐标系中的三个分量为角动量平方算符 ( 表征其大小 ) Lˆ 1 1 sin sin sin

13 .5 力学量的平均值算符表示算符表示任意力学量 A 算符 Â 其平均值 * ˆ A (, t)a (, t) d 定态薛定谔方程 : Hu ˆ ( )= Eu( ) 哈密顿算符的本征方程不是所有的能量值取值, 本征方程有满足物理条件下的解的, 能满足本征方程的能量 E, 称为哈密顿算符的本征值满足本征方程的波函数 u(), 称为哈密顿算符的本征函数任意力学量算符 Â 的本征方程 Au ˆ ( )= Au ( ) A 本征函数本征值 A

14 .6 单电子 (H) 原子中心力场薛定谔方程氢原子 ( 类氢离子 ) 的薛定谔方程 -e 3D 不含时的定态薛定谔方程 m V u Eu + +Ze 其中库仑势 V Ze 4 0 电子束缚在原子核的中力场中, 只与电子和核间的径向距离有关 Fom

15 Catesian coodinates Spheical coodinates ),, ( z y x ),, ( x sin cos y sin sin z cos z y x accos z y x z x y actan.6 单电子 (H) 原子中心力场薛定谔方程

16 .6 单电子 (H) 原子中心力场薛定谔方程 Fom 求解中心力场中的薛定谔方程, 球坐标系是自然的选择 u( ) V ( ) u( ) Eu( ) m 库仑势 Laplace 算符 : V Ze 4 0 (,, ) 1 1 sin sin 1 sin

17 .6 单电子 (H) 原子中心力场薛定谔方程分离变量 u( ) u(,, ) R( ) Y(, ) 径向波函数角向波函数 1 d dr m [ E ( )] V R d d 1 Y 1 Y sin 常数 Ysin Ysin 1 d dr m ( E V ( )) R 0 d d 1 Y 1 Y sin Y sin sin 径向方程角向方程

18 .6 单电子 (H) 原子角向方程角动量平方算符 Lˆ 1 1 sin sin sin 所以 1 Y 1 Y sin Y sin sin ˆ (, ) Y (, ) L Y 角动量平方算符的本征方程与电子受到的作用势的具体形式无关, 只要是中心势, 均可以分离变量, 角向方程均为上述方程

19 .6 单电子 (H) 原子角向方程波函数的标准条件 : Y (, ) 在 [0, ] 有限 ; 在 [0, ] 单值则要求方程中的参数 l( l 1), l 0,1,,3, 方程的解是球谐函数 m im Y (, ) N P (cos ) e lm lm l l 0,1,,3, m 0, 1,, m lm m 1 d l Pl ( x) (1 x ) ( x 1) l lm 0x 1 l! dx 是特殊函数, 称为连带勒让德多项式

20 .6 单电子 (H) 原子角向方程 N lm 是归一化系数 0 0 Y (, ) Y (, )sind d 1 * lm lm N lm m (l 1)( l m)! ( 1) 4 ( l m)! 1/ d d d sind sindd 角向的球谐函数是 L 和 L z 的本征函数 : ˆ Y (, ) ( 1) lm l l L Lˆ Y z lm (, ) m Y lm Y lm (, ) (, )

21 .6 单电子 (H) 原子角向方程 Y 1 (4 ) 0,0 1/ Y 1, / cos Y 1, / sin i e Y, / (3cos 1) Y, / sincos i e 1/ 15 i Y, sin e 3 1/ 3 (5cos 3cos ) 7 Y3,0 16 Y 3, / i sin (5cos 1) e 1/ 105 i Y3, sin cose 3 1/ i Y3, 3 sin e 64 Y m * l, m(, ) ( 1) Ylm (, ) l =0,1,,3,4,5, 分别称为 s, p, d, f, g, h, 态

22 .6 单电子 (H) 原子径向方程 1 d dr m l( l 1) ( E V ( )) R 0 d d l 0,1,,3, Z Z Z L na na na0 l1 R nl ()=N nl e nl l 0 0 L n l 1 l1 v1 nl ( ) ( 1) v0 v [( n l)!] ( n l 1 v)!(l 1 v)! v! 称为连带拉盖尔多项式归一化系数为 N nl, 3 na0 n[( n l)!] 3 Z ( n l 1)! 1/

23 .6 单电子 (H) 原子径向方程 R ( ) ( Z / a ) exp( Z / a ) 3/ R ( ) ( Z / a ) (1 Z / a )exp( Z / a ) 3/ / R1( ) ( Z / a0) ( Z / a0)exp( Z / a0) 3 R ( ) ( Z /3 a ) (1 Z /3a Z / 7 a )exp( Z /3 a ) 3/ / R31 ( ) ( Z / 3 a0) (1 Z / 6 a0)( Z / a0)exp( Z / 3 a0) 9 4 3/ R3 ( ) ( Z / 3 a0) ( Z / a0) exp( Z / 3 a0) 7 10

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幻灯片 1 .5 力学量的平均值算符表示平均值粒子在外场 V() 中运动, 体系的定态薛定谔方程 : m + V () u()= Eu() 求解该方程, 可以得到体系的波函数和能量 E 例如 : 粒子束缚在一维无限深方势阱中 0 a 一维无限深方势阱波函数能量 nπ sin x, 0 x a ux ( ) = a a, x < 0, o, x > a 0 π En = n ma n = 1,,3, .5