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之宿顾
4 years ago
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1 第 6 章

2 第页共 50 页第 6 章 6. 微观粒子的波粒二象性和不确定关系式 6.. 微观粒子的波粒二象性. 玻尔理论的困难玻尔量子理论成功地解释了原子的稳定性大小及氢原子光谱的规律性. 为人们认识微观世界和建立近代量子理论打下了基础. 玻尔理论是经典与量子的混合物, 它保留了经典的确定性轨道, 另一方面又假定量子化条件来限制电子的运动. 它不能解释稍微复杂的问题, 正是这些困难, 迎来了物理学的大革命. Louis de Broglie The Nobel Prize in Physics 99

3 . 微观粒子的波粒二象性德布罗意假设 : 不仅光具有波粒二象性, 一切实物粒子如电子原子分子等也都具有波粒二象性. E p mv mc h h 注意 : 实物粒子的波动既不是机械波也不是电磁波. 这种与实物粒子相联系的波称为物质波 matter wave 或德布罗意波 de Broglie wave. 物质波波长的数量级 : 地球 : 第 3 页共 50 页 m h m 0 v 4 kg v 9.8 km s m

4 第 4 页共 50 页子弹 : m kg h m v 0 v 300m s.0 宏观物质的德波罗意波长均太小, 难以观察其波动特性. 电子 : 34 m 质量 m 0 = kg, 加速电压为 U m0v eu h m v h v.5 0 m 0 eu U eu m 0 nm U = 50 V, = 0. nm ; U = 0000 V, =0.0 nm

Clinton Joseph Davisson 88-958 Lester Halbert Germer

5 . 物质波的实验证明 97 年 Davisson 和 Germer 以电子射线代替 X 射线进行了镍单晶体的衍射实验. Clinton Joseph Davisson Lester Halbert Germer The Nobel Prize in Physics 937 由布拉格公式 d sin k nm.5 U k d sin 第 5 页共 50 页 d.5 U k,, 电子枪探测器

6 U k.5 d sin k,, 固定 θ=80 o,d=0.03nm, 改变电压 U,θ 方向上接受到的光子数. Thomson 的电子衍射实验电子枪电子束金箔 George Paget Thomson 屏 The Nobel Prize in Physics 937 第 6 页共 50 页

7 第 7 页共 50 页例 7- 求一动能为 3.6 ev 的电子的德布罗意波波长. 解 : 因为 m c ev 所以 E 3.6 ev m c k h m E 0 k m

8 第 8 页共 50 页 6.. 不确定关系式 uncertainty relation 由于微观粒子具有波粒二象性, 用经典概念坐标动量能量轨道等描述其状态会受到限制. 其中为缝宽,p 为粒子的动量. 电子一个一个地通过单缝长时间积累后也出现衍射图样由单缝衍射公式 : sin p 粒子动量在方向的分量 p 不再为零, 而存在一个分布.

9 以衍射极小值的的位置进行估算 : λ Δ p psin p Δ h 或 p p h p 严格推导可以证明 : p yp zp y z 海森伯不确定关系 W. Heisenberg The Nobel Prize in Physics 93 第 9 页共 50 页

10 第 0 页共 50 页继续分析可得 t E 结论 : 对于微观粒子, 不能同时用确定的位置和动量来描述. 不确定关系是微观粒子波粒二象性的必然结果. 不确定性不是实验误差, 而是量子系统的内禀性质. 它通过与实验装置的相互作用而表现出来. 3 不能同时准确确定位置和动量. 4 作用量子 h 给出了宏观与微观的界限.

11 第页共 50 页例 7- 试比较电子和质量为 0 g 的子弹位置的不确定量, 假设它们在方向都以速度 00 ms - 运动, 速度的不确定度在 0.0% 内. 解 : p 4 3 电子 : p 0.0% mv kg m p p s - h 子弹 : p 0.0% mv kg ms m m

12 第页共 50 页 6.. 概率波 6. 波函数及其统计解释. 波包说 : 认为粒子实为波包. 问题 : 不同波长的波在媒质中的群速度不同, 波包在传播中的会扩散, 使粒子发胖 ; 波包在媒质界面上要反射和折射. 波包说夸大了波动性一面, 抹杀了粒子性一面.. 疏密波说 : 认为波动是大量粒子分布在空间的一种疏密分布. 疏密波说夸大了粒子性一面, 抹杀了波动性一面.

13 第 3 页共 50 页 3. 概率波 probability wave 96 年 Born 提出粒子在空间位置出现的概率具有波动性的分布概率波. 屏电子枪电子束金箔 4. 波函数 wave function Ψ Ψ, y, z, t

14 第 4 页共 50 页类比光栅衍射电子衍射 I I Nh N I Ψ I N E 0 I 大处到达光子数多电子到达该处概率大 I 小处到达光子数少电子到达该处概率小 I = 0 无光子到达电子到达该处概率为零

15 第 5 页共 50 页结论 : 波函数在某一点的强度和该点找到电子的概率成正比, 它是大量粒子形成总分布的一种统计规律. 波函数乃是概率波. 玻恩对波函数的统计解释 : Ψ Ψ Ψ * 波函数模的平方 Ψ r, t 代表时刻 t, 在 r 处粒子出现的概率密度 probability density. 时刻 t 粒子出现在 r 附近 dv 体积内的概率为 : Ψ r, t dv 波函数必须满足的条件 : 标准条件 : 单值性连续性有限性归一化条件 normalizing condition V Ψ d V 粒子在整个空间出现的概率为.

16 第 6 页共 50 页单色平面简谐波波动方程为 : y, t 用复指数形式表示 : y, t A cos π vt Ae iπ t 一维方向运动的自由粒子的波函数 : Ψ, t Ψ, t 0e e i pet 只与坐标有关而与时间无关, 称为振幅函数, 通常也称为波函数. i Et

17 6.. 态叠加原理 principle of superposition of states Ψ cψ c Ψ c n Ψ n 如果 ψ, ψ,ψ 3, ψ n, 都是体系的可能状态, 那么, 它们的线性叠加态 ψ 也是这个体系的一个可能状态. 波函数不仅把粒子与波统一起来, 同时以概率波概率密度波的形式描述粒子的运动状态. 为了理解态叠加原理的深刻含义, 用电子的双缝干涉实验的结果来进行分析 : 任一点出现的概率密度 : Ψ cψ c Ψ c * * * * cψ cψ cψ cψ * * * * Ψ cψ c cψ Ψ ccψ Ψ 第 7 页共 50 页干涉项

18 第 8 页共 50 页. 薛定谔方程的引入 6.3 薛定谔方程 Erwin Schrödinger, 奥地利理论物理学家. 在德布罗意物质波思想的基础上, 引入波函数来描述微观客体, 提出了薛定谔方程 Schrödinger equation 作为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律, 并建立了微扰的量子理论量子力学的近似方法. 他是量子力学的创始人之一. 一维自由粒子的波函数 : p E m Erwin Schrödinger The Nobel Prize in Physics 933

19 第 9 页共 50 页 i Ψ m Ψ t 一维自由粒子的薛定谔方程 pψ Ψ i Ψ p Ψ i 0 e, p Et t Ψ EΨ t Ψ i 一维粒子在外保守力场中运动时具有势能 V V m p E Ψ V m Ψ t i

20 第 0 页共 50 页 Ψ V m Ψ t i 3 非自由粒子在三维空间中运动 z y 引入拉普拉斯算符定义哈密顿算符 HΨ t Ψ ˆ i ˆ r V m H 薛定谔方程含时间的薛定谔方程是量子力学的重要假设和基本方程. 此方程是线性的, 其解满足态叠加原理.

21 第页共 50 页 4 多粒子体系的薛定谔方程,,, N N i i i r r r V m p E,, i t r Ψ V m t r Ψ t i N i i. 定态不含时间的薛定谔方程在薛定谔方程中,V 通常也是时间的函数. 现考虑 V 不显含时间的情况 : 可令粒子的波函数为,,,,, t f z y t z y Ψ ] ][ [ ] [ t f r V m t f t i V m t f f i 分离变量可得

22 第页共 50 页要使该式恒成立, 左右两边必须同等一个常数 E. E t f f d d i t E f f d d i t E f f d i d 薛定谔方程的解为 t E e z y t z y Ψ i.,,,, V E m ] [ 定态薛定谔方程 stationary Schrödinger equation,, z y 定态波函数 stationary wave function t E ke t f i k 为积分常数

23 第 3 页共 50 页定态波函数描述的粒子具有的性质 : 空间各处的几率密度不随时间变化. 一切力学量不含时间 t 的平均值不变. 定态 stationary state : 能量不随时间变化的状态. 定态 Schrödinger 方程的讨论 : Schrödinger 方程是描述微观粒子运动的基本方程, 若 r 是方程的一个解, 则 r 就对应一个粒子运动的稳定态 ; 方程的每一个解必有一个相应的能量 E,E 值称为体系的能量本征值 energy eigenvalue; 相应于每个 E 值的解 ψ 也被称为能量本征函数 energyeigenfunction;

24 第 4 页共 50 页 3 波函数应满足单值有限连续的要求, 能量 E 只能取某些分立值能级或能带 ; 4 Schrödinger 方程的局限性 : 未反映电子自旋 ; 未满足相对论要求相对论量子力学 ; 未考虑粒子的产生和湮灭量子场论.

25 第 5 页共 50 页 6.4 一维定态问题 6.4. 一维无限深方势阱 Infinite potential well. 势函数. 定态薛定谔方程 Eψ ψ V m 阱内方程 : d d E m 令 : me k o a V a a V, 0 k

26 通解 : 第 6 页共 50 页 C sin k D cosk C 和 D 是待定常数因势阱壁无限高, 粒子不能穿透阱壁, 故阱外出现粒子的几率为零. 0, 0, a 由波函数自然条件和边界条件定特解波函数连续 : 能量的可能值为 : E n n π ma 0 0 D0 a 0 sin ka0, C 0 ka nπ, k 0 nπ k, a n,,3, n h 8ma E n 称为能量的本征值

27 第 7 页共 50 页显然 : 能量取分立值能级能量量子化 quantization; 当 n 时, 量子化连续 ; h 8ma 3 当 n= E >0 最低能量 : 基态能量零点能, zeropoint energy π 4 相邻两能级间隔 E n n ma n 增大, 相邻两能级间隔增大 ; a 增大宏观尺度则 E n 0, 能量连续变化经典情况 ; 反之, 出现量子尺寸效应.

28 第 8 页共 50 页与各能级相对应的波函数由归一化条件 : d n 0 a 0 a 本征函数 eigenfunction 系 n C n nπ sin a C n a d C nπ sin n,,3, a a n a n 0, 否则 = 0; 主量子数 n, 代表同一状态, 取正值 ; 3 一个 n 对应一个波函数 n, 即对于粒子的一个可能态一个轨道.

29 第 9 页共 50 页一维无限深势阱的能量本征函数 3 概率密度当 n 时, 量子 n sin a nπ a 经典在坐标处找到粒子的概率密度 n 在 - 区间内找到粒子的概率 P n d

30 第 30 页共 50 页例 7-3 设在一维无限深方势阱中, 运动粒子的状态用 3 sin sin a,0 a a a 描述, 求粒子能量的可能值及相应的概率. 解 : 已知无限深方势阱中粒子的本征函数和能量本征值为 n nπ sin a a E n π ma n n π 3π sin sin 3 a a a 能量的可能值 E 相应的概率 π π E 3 3 ma ma E

31 6.4. 隧道效应 V 隧道效应 : 粒子能穿透比自己动能更高的势垒的现象.. 一维方势垒 potential barrier V 0 0 a V 0 0 或. 定态薛定谔方程 m 3. 分区求通解第 3 页共 50 页 V r ψ r V I 区 III 区 : 0 d a Eψ r V=0 势垒 V=V 0 Ⅰ Ⅱ Ⅲ V=0 d me k

32 第 3 页共 50 页令 me k d me k 得 k 0 Asin k I I 区 III 区 : II 区 : 令 m k V E 0 可见 B sin k 3 d m V 0E k d 3 0 d 得 0 k Ce 对于 Ⅲ 区而言, 其波函数不为零, 这说明原处于 Ⅰ 区的粒子有通过势垒区而进入 Ⅲ 区的可能.

33 第 33 页共 50 页 4. 隧道效应 tunnel effect 穿透势垒的概率 3 P 根据波函数的连续性 P a a 0 e E V m a C e C k 可见 : 势垒厚度 a 越大, 粒子通过的概率越小 ; 势垒高度 V 0 超过粒子能量 E 越大, 粒子穿透势垒的概率越小. a k e

34 5. 扫描隧道显微镜 Scanning tunneling microscopy,stm G. Binnig H. Rohrer Nobel Prize in Physics 主要贡献 : 发明隧道扫描显微镜第 34 页共 50 页 Omicron 低温超高真空 STM 98 年, 第一台扫描隧道显微镜诞生. STM 是根据电子穿过表面势垒的隧道效应制成的. 它利用针尖扫描样品表面, 通过隧道电流 tunnel current 获得样品表面的图像.

35 第 35 页共 50 页砷化镓表面砷原子的排列硅表面硅原子的排列

36 第 36 页共 50 页 48 个 Fe 原子围成一个平均半径为 7.3nm 的圆圈量子围栏, 围栏中的电子形成驻波. 通过移走原子构成的图形

37 6.4.3 一维谐振子 linear harmonic oscillator. 势函数 V k m m 振子质量, 固有频率, 位移.. 定态薛定谔方程 d d m E m 0 E n n n h n 0,,, 能量本征值能量量子化能量间隔最低能量零点能第 37 页共 50 页 n E n E E 0 0

38 第 38 页共 50 页 6.5 原子中的电子原子的壳层结构 6.5. 氢原子中电子的波函数及其概率分布球坐标下的定态薛定谔方程 0 4π sin sin sin 0 r e E r r r r r m 3 分离变量法求解定态方程势函数 r e V 0 π 4. 氢原子的定态薛定谔方程,, Φ Θ r r R 将代入方程, 得 0 d d Φ m Φ l

39 第 39 页共 50 页. 三个量子数能量量子化和主量子数 principle quantum number ev n h me n E n 能量是量子化的 ; 当主量子数 n 时,E n 连续值. 角动量量子化和角量子数 orbital quantum number 轨道角动量大小 : l l L 轨道量子数 :,,,, 0 n l 处于 l = 0,,, 3, 状态的电子分别称为 s, p, d, f, 电子. 0 sin d d sin d d sin Θ m Θ l 0; 4π 0 R r r e E m r R r r r

40 第 40 页共 50 页 3 角动量的空间量子化和磁量子数 Magnetic quantum number 轨道角动量 z 分量 : L z m l 磁量子数 : 0,,,, l m l 轨道角动量空间量子化示意图 L 6 对于同一 L, 它在 z 方向的投影可以取 l+ 个值, 因此 L 与 z 方向的夹角也只可能是 l+ 个确定值 ; L 在空间的取向是量子化的.

41 第 4 页共 50 页 n 电子状态 : l n l0 简并度 degeneracy: 3 能级简并产生的原因 : 电子所处的势能具有球对称 ; 库仑力具有比一般有心力场更高的对称性. 4 氢原子中电子的概率分布电子在氢原子内部各点出现的概率 : w nlm l r,, dv n l n l0 能级简并 : 一个能级对应一个以上状态波函数. nlm l r,, dv R nl r Y, r lm l sindrdd

42 第 4 页共 50 页电子径向概率分布 w nl rdr R r rdr nl 在 r 和 r0 时, 概率为零. 最概然半径 most propable radius 概率取极大值的位置. 概率的角分布氢原子基态 s 的最可几半径为 a 0 = nm.

43 第 43 页共 50 页概率的角分布 p 电子的几率角分布 3 氢原子的电子云

44 第 44 页共 50 页

45 第 45 页共 50 页 6.5. 电子的自旋施特恩 - 格拉赫实验. 电子自旋提出的实验基础斯特恩 - 格拉赫实验 9 Ag S N Z? G.E. Uhlenbeck P B z B 0 0 用 s 态 l=0 银原子无论有无磁场都只有一条! 实验结果 : 有磁场时, 底板上是呈对称分布的两条纹. S.A. Goudsmit

46 95 年 Uhlenbeck 和 Goudsmit 提出电子自旋 electron spin.. 电子自旋设电子自旋角动量 S s s S 自旋量子数 spin quantum number 自旋角动量 S 在外磁场方向设为 z 方向上的分量 Sz m s s m s s 第 46 页共 50 页

47 第 47 页共 50 页泡利原理多电子原子的壳层结构. 描述原子中电子状态的四个量子数电子运动由四个量子数决定 : 主量子数 n: n =,, 3, 轨道角量子数 l: l = 0,,,, n- 轨道磁量子数 m l : m l = 0,,,, l 自旋磁量子数 m s : m s = / W. Pauli The Nobel Prize in Physics 945. 泡利不相容原理 Pauli eclusion principle 在同一原子中, 不可能有两个或两个以上的电子处在完全相同的量子态, 即不可能具有完全相同的四个量子数 n,l,m l,m s.

48 第 48 页共 50 页原子的壳层结构 : 同一能级电子占据的最大数 z n n l0 l n n =,, 3, 4, 壳层 shell 用 K, L, M, N, 表示 ; l = 0,,, 3,, n 支壳层 subshell 用 s, p, d, f, 表示. 电子组态 electron configuration 如 Ca 的电子排布 s p 3. 能量最低原理能量最低原理 : 原子处于正常稳定状态时, 6 3p 每个电子总是趋向占有能量最低的能级. s 原子的外层电子的 n+0.7l 越大, 能级越高. 3s 6 4s 徐光宪 90-

49 第 49 页共 50 页电子填充次序 : s, s, p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s, 4f, 5d, 6p Hund 规则在同一亚层中排布的电子, 总是尽先占据不同的轨道, 且自旋方向相同. 半满的开壳层 p 3 d 5 f 7 的电子组态能量最低, 最稳定.

50 第 50 页共 50 页元素周期表

幻灯片 1

幻灯片 1 .4 一维定态问题无限深方势阱一维定态问题设质量为 m, 能量为 E 的粒子沿 x 轴运动, 势能是不含时的 V(x), 则这是一个一维的定态问题, 其 Schrödinger 方程 : d + Vx ( ) ux ( )= Eux ( ) m dx 一维无限深方势阱 V( x) 0, 0 x a =, x < 0, or, x > a 0 a 一维无限深方势阱 .4 一维定态问题无限深方势阱