第一章量子论基础

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岱壁窦
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1 第五章近似方法一概念与名词解释. 斯塔克效应. 跃迁概率 3. 费米黄金规则 4. 选择定则二计算. 如果类氢原子的核不是点电荷, 而是半径为 r, 电荷均匀分布的小球, 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正.. 转动惯量为 I, 电矩为 D 的空间转子处在均匀电场 E 中, 如果电场较小, 用微扰理论求转子基态能量的二级修正. 3. 转动惯量为 I, 电矩为 D 的平面转子处在均匀弱电场 E 中, 电场处在转子运动的平面上, 用微扰法求转子的能量的二级修正. a b 4. 设哈密顿量在能量表象中的矩阵是, a b 是实数. b E a () 用微扰公式求能量至二级修正 ; () 直接用求解能量本征方程的方法求能量的准确解, 并与 () 的结果比较. a 5. 设哈密顿量在能量表象中的矩阵是 E b,(e ) * * a b E () 用简并微扰方法求能量至二级修正 ; () 求能量的准确值, 并与 () 的结果比较. 6. 在简并情况下, 求简并微扰论的波函数的一级修正和能量的二级修正. 7. 线谐振子受到微扰 aexp(-βx ) 的作用, 计算基态能量的一级修正, 其中常数 β>. 8. 设线谐振子哈密顿算符用升算符 a + 与降算符 a 表示为 (a a /), 此体系受到微扰 Ĥ' (a a) 的作用, 求体系的能级到二级近似. 已知升与降算符对 Ĥ 的本征态 > 的作用为 a ; a 一个电荷为 q 的线谐振子受到恒定弱电场 E 的作用, 利用微扰论求其能 Ĥ

2 量至二级近似, 并与其精确结果比较.. 一维非简谐振子的哈密顿量为 H=p /m+mω x /+βx 3. β 是常数, 若将看成是微扰, 用微扰论求能量至二级修正, 求能量本征函数至一级修正. 3 H' x. 二维耦合谐振子的哈密顿量为 H=(p x +p y )/μ+μω (x +y )/+λxy. 若 λ<<, 试用微扰论求其第一激发态的能级与本征函数.. 在各向同性三维谐振子上加一微扰 H' axy bz, 求第一激发态的一级能量修正. x/a ( x a/) 3. 一维无限深势阱 (<x<a) 中的粒子, 受到微扰 H' 作 x( - x/a) (a/ x a) 用, 求基态能量的一级修正. 4. 处于一维无限深势阱 (<x<a) 中的粒子, 受到微扰 H' - V ( x a/3,a/3 x a) 的作用, 计算基态能量的一级修正. (a/3 x a/3) -b ( x a/) 5. 在一维无限深势阱 (<x<a) 中运动的粒子, 受微扰 H' 作 +b (a/ x a) 用, 求波函数至一级修正. ( x, y a) 6. 一个粒子处在二维无限深势阱 V(x, y) 中运动, 现加上微扰 ( 其他 ) H' xy( x, y a), 求基态能量和第一激发态的能量修正值. - s( x/a)/8 a ( x a) 7. 粒子在如下势阱中运动 V(x), 求其基态 (x,x a) 能量的一级近似. ( x a/) 8. 粒子处于如下势阱中 V(x) /8a (a/ x a), 求其能级的一级近似 (x,x a) 值. 9. 自旋为 ħ/ 的粒子处于一维无限深方势阱 (<x<a) 中, 若其受到微扰 cos(x/a)ŝ H' y ( x a) 的作用, 求基态能量至一级修正, 其中 λ 为 (x, x a)

3 一小量.. 两个自旋为 ħ/, 固有磁矩算符分别为 ˆ ˆ ˆ 和 ˆ 的粒子, 处于均匀磁场 B Bk 中, 若粒子间的相互作用 ˆ ˆ 可视为微扰, 求体系能量的二级近似, 其中 α β γ 为实常数.. 类氢原子中, 电子与原子核的库仑作用为 U(r)=-Ze /r, 当核电荷增加 e( 从 Z Z+), 相互作用增加 H' -e /r, 试用微扰论求能量的一级修正并与严格解比较.. 设氢原子处于均匀的弱电场 k 和弱磁场 B Bk 中, 不考虑自旋效应, 用微扰论讨论其 = 的能级劈裂情况. 3. 求氢原子 =3, 简并度 =9 时的斯塔克效应. 4. 设在 t= 时, 电荷为 e 的线性谐振子处于基态. 在 t> 时起, 附加一与谐振子振动方向相同的恒定外电场 ε, 求其处在任意态的概率. 5. 一个自旋为 ħ/, 磁矩为 ˆ g ŝ 的粒子处于如下弱旋转磁场中 B cos( t) B s( t) j Bk, 粒子与磁场的作用为 - g ŝ B. B 若粒子开始处于 s z = ħ/ 的状态, 讨论跃迁情况并计算跃迁概率. 6. 求氢原子的第一激发态的自发辐射系数. 7. 一个处在第一激发态 (p) 的氢原子位于一空腔中, 求空腔温度等于多少时, 自发跃迁概率和受激跃迁概率相等. 8. 一个粒子在吸引势 V(r)= -g /r 3/ 中运动, 试用类氢原子的波函数作为尝试波函数, 求基态能量. 9. 以 (r) exp(-cr ) 为试探波函数, 求氢原子基态能量与波函数, 其中 c> 设一维非简谐振子的哈密顿算符为 Ĥ pˆ / x, 以 x (x) a/ exp(-a x /) 为试探波函数,a 为变分参数, 求其基态能量. -ax 3. 取尝试波函数为 Ce, C 为归一化常数,a 是变分参数, 试用变分法求谐振子的基态能量和基态波函数, 并算出归一化常数 C. 3. 设粒子在中心力场 V(r)= -Ar ( 为整数 ) 中运动, 选 R(r)=Nexp(-βr) 为试探波

4 函数, 求其基态能量. 进而求出库仑场 (= -,A>) 和谐振子势 (=,A<) 的结果, 并与严格解比较. 33. 试用 Φ=exp[-f(x-) (x+)/3]/(x+) 为试探波函数,f 为变分参数, 求势场为 V(x)=g (x -) / 的基态能量, 其中 g 是个很大的常数. 三证明. 在无简并的微扰论中, 证明 () () Ĥ Ĥ () () E () () E E () () E () E () E (3) () Ŵ - E () (). 一维运动的体系, 定义从 m> 态跃迁到 > 态相应的振子强度为 f m m x m /, m 是粒子质量, 求证 : f m m 3. 设体系在 t= 时处于基态 >, 若长时间加上微扰 Ŵ(x, t) Fˆ (x)exp(-t/ ), 证明该体系处于另一能量本征态 > 的概率为 (E - E ) / 四综合题 Fˆ. 一根长度为 d 质量均匀分布的棒可绕其中心在一平面内转动, 棒的质量为 M. 在棒的两端分别有电荷 +Q 和 -Q. () 写出体系的哈密顿量本征函数和本征值 ; () 如果在转动平面内存在一电场强度为 E 的弱电场, 准确到一级修正, 它的本征函数和能量如何变化? (3) 如果这个电场很强, 求基态的近似波函数和相应的能量值.. 对于一个球形核来说, 可以假定核子处在一个半径为 R 的球对称势阱中, 势 (r R) 场是 V. 相应地, 对发生微小形变的核, 可以认为核子处在椭球形 (r R) 势阱中, 势壁高仍为无限大, 即势场是 V ( 在 (x y )/b ( 其他地方 ) z /a 内 ) el, 其中 a R(+β/3), b R(-β/3), 且 β<<, 利用微扰论, 准确到一级近似, 求椭球形核相对于球形核基态能量的变化.( 提示 : 作变量代换, 将椭球形势阱化成球形势阱后再讨论微扰影响.)

5 3. 一个量子体系由哈密顿量 H=H +H' 描述, 其中 H'=λ[A,H ] 是一个加在非微扰哈密顿量 H 上的微扰,A 是个厄米算符,λ 是个实数. 设 B 是另一个厄米算子, 而且 C=[B,A]. () 已知 A B C 在无微扰 ( 非简并 ) 基态的平均值为 <A> <B> <C>. 当微扰加入时, 求 B 在微扰后的基态上的平均值至 λ 的第一级 ; 3 p () 将这个结果用到如下三维问题上 : H m x, H' x. 计算 x 3 m 在基态的平均值 <x >(=,,3) 至 λ 的最低阶, 并将这个结果和精确解相比较. 4. 把处在基态的氢原子放在平行板电容器中, 取平行板法线方向为 z 轴方向. 电场沿 z 轴方向, 可视为均匀电场. 设电容器突然充电, 然后放电, 电场随时间 (t ) 的变化是 (t) ( 为常数 ). 求时间充分长后, 氢原子跃迁到 s 态和 -t/ e (t ) p 态的概率. 5. 考虑势 U=g x 的能级. () 用量纲分析, 推导本征值和参数 ( 质量 m ħ g) 的关系 ; () 用尝试波函数 φ=cθ(x+a) θ(a-x)(- x /a) 对基态能量作变分计算 C, a (x ),(x) ; (x ) (3) 为什么 φ=cθ(x+c) θ(a-x) 不是一个好的尝试波函数? (4) 如果要求第一激发态能量, 你将如何处理? 6. 一个质量为 m 的粒子在汤川势 U(r)= -λe -μr /r 中运动, 用变分法, 取尝试波函数 φ=e -ar, 问 λ 的临界值 λ 等于多少时, 能使得 λ<λ 无束缚态,λ>λ 有束缚态? 7. 介子一般可看成夸克和反夸克 (q q) 的束缚态. 考虑 s 态介子, 设夸克质量为 mq, 束缚 q 和 q 的势 U=A/r+Br,A<,B>. () 选用类似于氢原子基态波函数的 φ=e -r/a 作为尝试波函数, 用变分法求基态能量 ( 在用变分法决定 a 的方程中, 可近似取 A= 来简化计算 ). () 用不确定性原理估算基态能量, 并和变分法的结果 () 比较.

幻灯片 1

幻灯片 1 .5 力学量的平均值算符表示平均值粒子在外场 V() 中运动, 体系的定态薛定谔方程 : m V ( ) u( )= Eu( ) 求解该方程, 可以得到体系的波函数和能量 E 例如 : 粒子束缚在一维无限深方势阱中 0 a 一维无限深方势阱波函数能量 n sin x, 0 xa ux ( ) a a, x 0, o, x a 0 En n n 1,,3, ma .5 力学量的平均值算符表示

第一章 量子论基础

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