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- 探 赖
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1 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 1 第 3 章物體的運動 3-1 物體運動的軌跡 3-2 牛頓運動定律 ( 示範實驗 : 摩擦力的觀察 ) 3-3 克卜勒行星運動定律 本章教學理念牛頓曾說 : 自然界的一切現象,均可根據力學的原理,用相似的推理,一一引導出來 本章先介紹基本的運動現象,然後引入力的觀念,說明力是如何改變物體的運動狀態,以及力對日常生活有哪些的影響 數千年來, 人們對於自然界中變化的現象一直都充滿著好奇 在物理上, 最基本的變化就是 位置的改變 - 即運動 運動該如何描述? 又是什麼使運動發生? 3-1 教學理念從日常生活中見到的各種運動現象,讓學生認識位置 位移 速度 加速度等物理量,以及這些物理量隨時間變化的關係,但不涉及引起運動變化的原因 並介紹一維運動的公式與計算 3-1 物體運動的軌跡 街上的行人 競賽的跑者 路上的汽車 翻轉的雲霄飛車 滾動的撞球 擺盪的鞦韆 升起的日月 漲落的潮水等,這些物體的運動狀態都是隨時間在改變 基本上,物體的運動可區分為下列三種 ( 圖 3-1):
2 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 2 圖 3-1 物體的運動 :(A) 平移 (B) 振動 (C) 轉動 生活中常見的運動 1. 平移 (translation): 在空間中,位置的改變 例如 : 移動的汽車 2. 振動 (vibration): 在平衡點附近,沿同一路徑來回的週期性運動 例如 : 彈簧一端固定,另一端與木塊連接,壓縮彈簧,釋放後木塊的運動 3. 轉動 (rotation): 繞著一軸心旋轉的圓周運動 例如 : 摩天輪的轉動 此外,還有由以上三種情形組合成的運動 例如 : 滾動的圓盤邊緣上一點之運動等於圓盤中心的平移加邊緣上一點對圓盤中心的轉動 ( 圖 3-2) 要描述物體的運動,通常應指出 1. 在何處 物體的位置 2. 有多快 物體的速率以下將從較簡單的直線運動,來探討描述物體運動的方法 圖 3-2 圓盤邊緣上一點及圓盤中心的運動軌跡 一 位置與路徑長路徑與位移如何決定物體在直線上的位置 (position),首先得定出一基準參考點,通常我們稱它為原點 (origin),並令原點之位置為 0( 圖 3-3) 圖 3-3 物體位置的標示
3 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 3 在通過此原點之直線上,刻畫出某一長度單位之各種倍數 習慣上規定在原點右方或上方之值為正,左方或下方之值為負 一物體在此直線上之位置便可被決定或測量出來 一般我們所言物體運動有多快,是指在一特定時間間隔內,物體所經過的路程總長度 ( 或路徑長 ) 此比值稱為平均速率 (average speed) 物體平均速率的定義為 路徑長 l 平均速率 = 或 v 經歷時間 s = t (3.1) 速率的單位為公尺 秒 (m s),或其他相關的單位 例如 : 一輛汽車在一小時內,可往返 相距 30 公里的兩城市,則此車之平均速率為 60 公里 時 生活中常見的車速限制就是以 公里 時為單位 ( 圖 3-4) 圖 3-4 此條道路的速限為 50 公里 時 ( 約 14 公尺 秒 ) 二 位移與速度在物理上要強調 著重的經常不是路徑長,而是位置狀態 (state) 的變化 也就是只要物體起點初位置到終點末位置之間的距離長度及移動方向,而不論其中的過程如何,此稱之為物體的位移 (displacement) 位移 = 末位置 - 初位置 正,代表往右 ( 或向上 ) 負,代表往左 ( 或向下 ) (3.2) ( x= x - x 0 ) 0,代表無變化 位移的單位為公尺 (m) 範例 3-1 如右圖,一物體自 A 點往右前進至 B 點後,折回至原點 C,求此物所行之路徑長及位移分別為何? 相關練習: 習題 1. 分析路徑長 = 路程總長度,位移 = 末位置 - 初位置解路徑長 =2+3=5( 公尺 ) 位移 =C 點位置 -A 點位置 =0-1=-1( 公尺 ),負號代表往左 在一特定時間間隔內,物體位置狀態的改變和經歷時間的比值,稱之為平均速度 (average velocity) 物體平均速度的定義為
4 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 4 位移平均速度 = 經歷時間 或 v= x-x 0 t (3.3) 跟速率一樣,速度的單位為公尺 秒 (m s) 範例 3-2 小敏花 1 分鐘在路上向右跑了 200 公尺,然後花了 4 分鐘沿相同的路徑步行折返 150 公尺,求小敏的位移及平均速度分別為何? 相關練習: 習題 1. 分析解 位移 = 末位置 - 初位置,平均速度 = 位移 所需時間 位移 =( )=50( 公尺 ),往右 平均速度 =50 (1+4)=10( 公尺 分 ),往右 平均速率與平均速度在意義及數值上並不相同,只有當路徑長與位移量值相等時,其值才會相等 在極短 ( 幾乎為零 ) 時間內,物體的移動可視為直線且不折返 在此情形下,位移與路徑長接近相同,此很短時間內的平均速度與平均速率,稱為瞬時速度與瞬時速率 所以瞬時速率必等於瞬時速度的量值 而通常我們所說的速度或速率,指的是瞬時速度或瞬時速率,例如:汽車上的速率表顯示的是瞬時速率 三 加速度速度 加速度與慣性一般而言,運動大致可分為速度不變 ( 等速 ) 與速度改變 ( 變速 ) 兩種 一物體速度若不斷地在增加,習慣上常說此物正在加速之中 物理學上之加速度 (acceleration) 則是表示物體速度變化快慢的量,它的定義為 速度變化平均加速度 = 經歷時間 或 a= v-v 0 t (3.4) 加速度的單位為公尺 秒 2 (m s 2 ) 範例 3-3 小淮投擲一溜溜球,球以 1 公尺 秒的速率擲出,在 2 秒後以相同速率 相反方向回到他的手中 ( 小淮手的位置未變 ) 求此球自離開小淮手中,再回到小淮手中的平均速度及平均加速度之量值分別為何? 相關練習: 習題 2. 分析 位移 = 末位置 - 初位置,速度變化 = 末速度 - 初速度
5 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 5 解平均速度 = 位移 經歷時間,平均加速度 = 速度變化 經歷時間在 2 秒之間,球自小淮手離開,又再回到小淮手上 設小淮手的位置當參考原點,則球的位移 =0-0=0( 公尺 ) 假設球以 1 公尺 秒之初速率往下,又以 1 公尺 秒之末速率往上回到小淮手中,則球的速度變化 =1-(-1)=2( 公尺 秒 ) 因此平均速度 =0 2 =0( 公尺 秒 ) 平均加速度 =2 2=1( 公尺 秒 2 ),向上 物體的速度可以愈來愈快,也可以愈來愈慢 但加速度為正,並不一定代表速度會愈來愈快,這是因為速度是有正 負方向區分的 歸納而言,運動愈快,表示加速度與速度同方向,例如 : 飛機的起飛 汽車的加速 相反的,運動漸慢,表示加速度與速度反方向,例如 : 飛機的降落 汽車的煞車,此時也可稱為減速度 (deceleration)( 圖 3-5) 圖 3-5 汽車的等速運動與等加速運動的位置 - 時間對比圖,以向右為正以向右為正 注意圖 (D) 中等減速運動之加速度值為正 範例 3-4 一部向上運動的電梯初速為 1 公尺 秒,在 2 秒內穩定地減速至停止,求電梯的平均加速度為何? 相關練習: 習題 2. 分析物體停止代表速度為 0,速度變化 = 末速度 - 初速度平均加速度 = 速度變化 所需時間解速度變化 =0-1=-1( 公尺 秒 ) 平均加速度 =-1 2=-0.5( 公尺 秒 加速度值為負,但速度值為正,兩者符號 ( 方向 ) 相反,代表電梯速度愈來愈慢 2 ) 四 落體運動 等加速運動
6 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 6 一物體自空中釋放,在地球表面某處測量出在不同時間的位置如下 :( 此處為方便計算, 取向下為正 ) 則 秒間之平均速度 v 1 v 2 v 5 由式 (3.3) 可得 v 1 = x 1-x 0 = 5-0 t 1 =5, v 2=15,..., v 5 =45 若將 v 1 v 2 v 5 之平均速度分別視為在 秒之瞬時速度,則自 0.5 秒到 4.5 秒,每秒之間的平均加速度值,由式 (3.4) 可得 ( 註 : 這是等加速運動的性質,參 考本章習題 4 ) a 1 = v 2-v 1 t = =10, a 2=10,..., a 4 =10 這說明此物體都是以均勻 10 公尺 秒 2 的加速度往下墜落 物體在任何時刻之加速度都相 同的運動,稱為等加速運動 在真空中自由釋放的落體運動,就是一種常見的等加速運動 ( 圖 ) 圖 3-6 物體不論質量為何,在真空中皆會以相同的加速度落下在真空中皆會以相同的加速度落下
7 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 7 圖 3-7 物體自由落下時,每秒鐘的速度變化量都一樣每秒鐘的速度變化量都一樣,圖中速度單位為 m s 在地球表面自靜止落下的物體,其加速度均為一固定值,約為 10 m s 2 ( 往下 ),故由 式 (3.4) 可得,自靜止落下,初速 v 0 =0 之等加速運動物體,在任意時刻的末速度皆為 v=at (3.5) 西元 1300 年左右,雖然無坐標與解析幾何的觀念,但中世紀的學者已發現 : 等加速直線運動的物體在 t 秒內所行進的距離,等同於在 t 秒內以固定的中間速度等速前進的距離 ( 圖 3-8) 若自靜止( 初速為 0 ) 開始, 則以等加速度 a 在 t 秒內所行進的距離, 可以直角三角形面積 ( 斜線部分 ) 來代表,而此面積也等於圖示中的長方形面積 ( 綠色部分 ),它代表以等速度 v 2 在 t 秒內所前進的距離 利用式 (3.3) 與 (3.5),可得距離 圖 3-8 中世紀所發現加速度與等速運動的關係圖 S=v 平均 t= 1 2 v t= 1 2 at t= 1 2 at2 (3.6) 其中 v 為 t 秒末的速度 3-2 教學理念 說明質量代表物體運動慣性之大小 力對物體運動狀態的影響,使學生了解運動與力之 間的關係,並介紹生活中幾種常見的力,如摩擦力及彈簧力
8 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 牛頓運動定律 一 牛頓第一運動定律 - 慣性定律一維空間的作用力 慣性定律西方在中世紀之前,皆認為物體在不受外界干擾下的 自然運動 僅有兩種形式 : 向上與向下 輕物如火和氣,會朝上飛向天際 ; 重物如土和水,會朝下向宇宙中心 地心運動 直到約 1590 年,伽利略提出一圓球在光滑的傾斜面上方釋放 ( 圖 3-9),當球抵達水平面後,它可在不受外界干擾下,於水平的木板上繼續運動下去,既不是向上,也不是向下,而成為指出前人以重物 輕物的 二分法 來解釋自然運動所造成謬誤的第一人 他說 : 圖 3-9 球在斜面上釋放後的運動情形 若某物體沿水平面運動若某物體沿水平面運動,而運動中又沒有遇到任何阻止而運動中又沒有遇到任何阻止,那麼 該物體將作均勻地等速運動 而如果平面在空間延伸至無限遠的話而如果平面在空間延伸至無限遠的話,這一運動將永遠延續下去 但伽利略認為地球上並沒有無限長的平面,這個平面若繼續延長下去,應該是會圍繞著 地球的圓形平面,回到原處 1644 年哲學家笛卡兒針對此,提出了以下運動規律 : 所有物體會盡它們最大的可能所有物體會盡它們最大的可能,保持自己的狀態保持自己的狀態 對運動物體而言,它將趨向保持同一速度和同一方向同一方向,除非有別的物體制止或減慢它的運動速度除非有別的物體制止或減慢它的運動速度 笛卡兒在此提出了伽利略所未含有的概念 狀態 即在不受外界物體制止 干擾的話,則原先處於 靜止 的物體,將繼續保持著 靜止狀態 而原先 運動 的物體將會繼續維持著以同一速率,沿著同一方向 ( 即等速直線 ) 的 運動狀態 此外,他們倆是用 沒有遇到阻止 或 制止 等語詞來表示不受外界干擾的影響 牛頓在 1666 年稱它為 外因,二十年後,他稱此 外因 為力 (force),並寫出以下有名的第一定律 : 任何物體將繼續保持靜止,或維持在一直線上等速運動或維持在一直線上等速運動的狀態的狀態,直到有加予在它上面的力,迫使它改變這種狀態為止迫使它改變這種狀態為止 也就是說 : 如果沒有外因或外力,物體將保留其原先習慣的狀態 靜止不動或速度不改變,故此第一運動定律亦被稱為慣性定律 (law of inertia) 在生活中可以看到許多慣性定律的實例 例如 : 工人發現鐵鎚的鎚頭鬆脫,他就緊握把柄,將把柄迅速向下敲在地板上 由於把柄撞地後突然靜止,而鎚頭因慣性仍繼續向下運動,使得鎚頭與把柄可以結合得更緊 ( 圖 3-10) 慣性鐵鎚
9 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 9 圖 3-10 利用慣性可使鬆脫的鐵鎚卡緊 在等速前進的車上,手握一棒球,當手鬆開球時,此時球在沿著水平的方向上,並未受任何外力,故在水平方向上,球將保持原來狀態,繼續維持著等速的運動 ( 圖 3-11) 慣性快速抽走鈔票 圖 3-11 在等速度前進的車外釋放一棒球後球後,球在水平方向並無受到任何外力球在水平方向並無受到任何外力,故球會以原先的水平速度繼續向前運動,而使車上的人認為球是鉛直落下而使車上的人認為球是鉛直落下 ( 紅線代表靜止在車外的人所見的棒球路徑 ) 在等速飛行的飛機上,釋放一炸彈,當炸彈著地前,在水平方向上炸彈均會一直與飛機處於 相同的運動狀態,也是同樣的道理 ( 圖 3-12) 圖 3-12 飛機釋放一炸彈後,由於炸彈在水由於炸彈在水平方向並無受到任何力 ( 空氣阻力可忽略 ),故會維持相同的水平速度繼續向前運動 範例 3-5 乘客站在平穩前進中的公車內,當公車緊急煞車時,乘客上身會向車頭方向前傾,是何原因? 分析對靜止在地面的觀察者,平穩前進的公車及乘客,均以等速運動,當車緊急煞車後,慣性會使得乘客繼續向前運動,另一方面腳底與車子地板間的摩擦力,
10 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 10 則可阻止乘客的腳向前運動 解摩擦力的存在,使得腳會隨煞車後靜止不動,但人上身遵循慣性定律會繼續向前運動,故上身將前傾 二 牛頓第二運動定律由慣性定律,牛頓很自然地會反過來陳述同樣正確的命題 : 若物體的運動狀態改變時,則必有一外力作用其上 而形成了他的第二定律 : 運動狀態的變化與所加的外力成比例 ; 且運動狀態的變化是沿著外力的方向 因此,一物體由靜止狀態變為運動狀態,或運動得愈來愈快 或愈慢,則必定有外力作 用在此物體上 且外力 (F) 愈大,則同一物體在某一時段 ( t) 內的速度變化量 ( v=v 末 -v 初 ) 也愈大 即 F v t =a (3.7) 其中 a 為加速度 也就是物體的加速度與所受外力成正比 例如 : 一物體若受一固定外力 F 使得物體自靜止開始,獲得加速度 a, 1 秒後之速度為 v,則若物體受 2F 之力,將獲得 2a 的加速度,亦即於 0.5 秒後,便可達到速度 v( 圖 3-13) 另外,首先由伽利略所發現,地球上之任一下落物體皆有相同的向下加速度;而由牛頓運動定律,表示必會有一外力 ( 重力 ) 作用於每一落體上,且方向朝下 另一方面牛頓在 1665 年也提及 : 使物體運動的力與物體的量成比例,即 F m (3.8) 其中 F 為外力, m 為牛頓所言 物體的量,也是後來所稱之物體質量,例如 : 一塊物體若受一固定外力 F,使得物體自靜止開始,獲得加速度 a,則兩塊相同物體,若欲獲得相同加速度,則需施以 2F 的力 ( 圖 3-14) 將此比例式與運動定律式 (3.7) 合併,即可得常見的關係式 F=ma (3.9) 若質量單位為公斤,加速度單位為公尺 秒 2,則力之單位稱為牛頓
11 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 11 圖 3-13 同一物體所受的外力愈大,可產生愈大的加速度可產生愈大的加速度 圖 3-14 質量愈大物體,需受愈大的力需受愈大的力,才可產生相同的加速度才可產生相同的加速度 範例 3-6 若以一固定外力,作用於靜止在光滑水平面上質量為 m 1 之物體上,於 2 秒鐘內前進了 5 公尺 若以相同之外力,作用在靜止於相同光滑水平面的第二個物體上,於 2 秒鐘內前進了 10 公尺,求此物體之質量 分析 1. 固定外力作用於一物體上,會發生等加速運動 F a ( 式 3.7) 2. 在相同時間下,等加速運動的物體,其所行進距離與加速度成正比, S= 1 2 at2 a ( 式 3.6) 解 3. 相同外力作用下,不同物體所生之加速度與質量成反比, a 兩物體受固定外力作用相同時間後,所生之加速度比為 a 2 a 1 =S 2 S 1 =10 5=2 在相同外力下,此兩物體之質量比為 m 2 m 1 =a 1 a 2 =1 2 故 m 2 = 1 2 m 1,第二個物體之質量為第一個物體質量之一半 1 m ( 式 3.9) 三 牛頓第三運動定律 - 作用反作用定律牛頓受到笛卡兒探討物體藉著碰撞來傳遞速度的影響,也著手研究物體碰撞問題,並認為當兩物體彼此受壓至最大時,兩物體將會受到同樣強烈的力,也會施予對方相同量值的作用 ( 圖 3-15) 在自然哲學的數學原理的第一章中,牛頓寫下最後一個定律:
12 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 12 圖 3-15 兩撞球接觸時, A 球作用在 B 球之力 F,與 B 球作用在 A 球之力 F,量值相等量值相等,方向相反方向相反,但作用在不同物體上 對一個作用力而言,永遠存在一個量值相等的反作用力永遠存在一個量值相等的反作用力 或者說 : 兩物體作用在對方的相互作用力永遠相等,且指向相反的方向且指向相反的方向 四 日常生活中常見的力揹書包 提菜籃 搬桌子 抬重物 推購物車,每天生活中處處可見需要使用力的地方 觀察力的實例發現,大多必須藉由接觸,力才能傳遞,我們稱此種力為接觸力,例如 : 手推力 手拉力 彈力 此外,兩磁棒的吸引 排斥及摩擦墊板後吸引紙屑,卻都不必經由接觸即可對另一物體產生影響,我們稱此種力為非接觸力,例如 : 重力 磁力 靜電力 ( 圖 3-16) 圖 3-16 接觸力..腳要接觸足球才能將足球踢出腳要接觸足球才能將足球踢出 非接觸力非接觸力..磁鐵不需要接觸迴紋針磁鐵不需要接觸迴紋針,即可使迴紋針受力移動即可使迴紋針受力移動 重力伽利略之前的學者已察覺地球表面附近的重物,皆會朝向地球墜落,他們只知這是一種普遍性質,但尚不知其成因,直到牛頓時才明白物體落下時,因速度一直增加而存在有加速度,故受一外力作用,他稱此外力為重力 (gravitational force),利用第二運動定律,其量值與此物體的質量成正比,也與此物體朝向地球的加速度成正比,即 重力 = 質量 重力加速度 W = m g (3.10)
13 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 13 而重力加速度 g 值與物體和地球中心的距離有關,物體愈遠離地心,則 g 值愈小,其所受的重力將愈弱 此物體所受的重力量值,稱之為重量 (weight)( 圖 3-17) 在地球北緯 45 海平面所測得之重力加速度值為 g=9.8 公尺 秒 2 ( 在此僅取 2 位有效數字 為計算方便,有時假設 g=10 公尺 秒 2 ),質量為 1 公斤的物體,在此處所受之重力稱為 1 公斤重,亦即 圖 3-17 鉛球與蘋果同時墜落後,在同一時刻的速度皆相等在同一時刻的速度皆相等,但所受重力不同所受重力不同 W=1 公斤重 =1 公斤 9.8 公尺 秒 2, =9.8 公斤 公尺 秒 2 若定義單位 : 2 1 牛頓 =1 公斤 公尺 秒或 1 N=1 kg.m s 2 (3.11) 則重力或重量單位可為 公斤重 或 牛頓,且 1 公斤重 =9.8 牛頓 由於任一物體在同一地點所 具有 的重力加速度 g 均為定值,因此不僅自靜止落下的物體如此,任何地球表面上的運動,如垂直上拋 斜向拋射等物體,也都會有相同的向下加速度 由式 (3.4) 可得知在任意時刻,垂直下落 垂直上拋及斜向拋射物體,沿著垂直軸的末速均為 v =v 0 + at=v 0 - gt (3.12) 其中 v 0 代表初速,以向上為正 範例 3-7 在地表附近之物體,會有向下的重力加速度 10 公尺 秒鉛直向上發射一球,求.. (1) 1 秒後,球的速度為多少? (2) 上升至最高點經歷多少時間? 2 影響,若以 60 公尺 秒的初速, 相關練習 : 習題
14 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 14 分析 1. 上拋運動為等加速運動 2. 若取向上為正,則重力加速度向下,即 a=-10 公尺 秒 3. 等加速運動的末速 v=v 0 +at,其中 v 0 =60 公尺 秒 4. 上升至最高點時,速度為零 解 (1) 1 秒後,球的速度 v=60+(-10) 1=50( 公尺 秒 ),向上 (2) 上升至最高點時,由末速為 0,且 0=60+(-10)t 故上升至最高點需時 t, t =60 10=6( 秒 ) 2 彈力擴胸器受力後,會被伸展開,而改變其長度 最能代表此種受力後,外表形狀改變的材料是彈簧 當手向外拉彈簧時,彈簧形狀變長,同時手可明顯感受到一向內之拉力 ( 圖 3-18),這種彈簧欲恢復到原來狀態的作用力, 稱之為彈力 (elastic force) 或回復力 (restoring force) 圖 3-18 擴胸器所呈現的彈力 要了解彈力的性質,我們可先觀察彈簧伸長量與懸掛物體重量 W 之間的關係 若彈簧原 來長度為 l 0,懸掛重量為 A 之重物後,彈簧長度為 l 1,長度伸長量 l=l 1 -l 0 若再懸掛 重量為 2A 及 3A 之重物,可發現彈簧伸長量與重量或重力成正比 ( 圖 3-19) 即
15 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 15 圖 3-19 彈簧伸長量與物體所受重力成正比 W l 或 W=k l (3.13) 上式為虎克定律 (Hooke's law) 應用在重力上的一種表示,它也是物理學發展史上最早以數學式來描述力作用的關係,其中 l 代表彈簧伸長量,比例常數 k 稱為彈簧的力常數 (force constant) 進一步而言,彈簧下方因懸掛重物,造成彈簧變形伸長,使得彈簧產生向上的回復力 當物體靜止時,因所受合力為零,則 物體受彈簧向上的回復力 (F)= 物體受地球向下的重力 (W) (3.14) 由虎克定律可知,回復力的量值也與伸長量成正比,故可從彈簧的伸長量或彈簧秤上的指針 讀數,讀出回復力的量值或物體向下的重力量值 ( 圖 3-20) 圖 3-20 物體同時受到地球的重力與彈簧的回復力力與彈簧的回復力,且兩者互相平衡且兩者互相平衡 範例 3-8 彈簧上端固定,自然長度為 10 公分,彈簧重量不計,在彈簧下端懸掛 20 克重之物體時,彈簧全長為 15 公分 若懸掛 30 克重之物體時,彈簧全長為多少?
16 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 16 分析由虎克定律 : 重力與彈簧伸長量的關係為 W=k l,其中伸長量 l = 全長 - 原長 = l 1 -l 0 解 W 1 =k(l 1 -l 0 ) 因 W 2 =k(l 2 -l 0 ) 20=k(15-10) 故 30=k(l 2-10) 兩式相除,得 3 2 =(l 2-10) (15-10) l 2-10=7.5 l 2 =17.5( 公分 ),所以彈簧全長為 17.5 公分 另一方面,彈簧秤也可作為測量拉力的工具,只要將拉力作用在彈簧秤之掛鉤處,則彈 簧秤上之讀數,即是此彈簧秤所受拉力之量值 ( 圖 3-21) 圖 3-21 彈簧秤亦可用來測量拉力的量值量值 摩擦力在接觸力中,除了上述的推力與拉力外,最常見的就是阻力或摩擦力 有了摩擦力的概念,可讓我們了解為何在冰上就可輕易地推動一重物 ( 圖 3-22) 圖 3-22 在冰上可以很容易地推動一重物 一個非常光滑的平面,在顯微鏡底下,它仍然是凹凸不平的 ( 圖 3-23) 因此在其上置一重物,兩者之間在接觸處,仍然會很不規則地糾纏在一起 若要讓重物在地上移動,必須要施加外力,來克服此種因表面粗糙而永遠存在的阻力,這種阻力稱為摩擦力 (frictional force) 使物體移動前,所存在之最大摩擦力,稱為最大靜摩擦力,以 f s (max ) 來表示 圖 3-23 在顯微鏡底下一光滑平面的粗糙情形 示範實驗摩擦力的觀察目的 :
17 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 17 探討摩擦力和哪些因素有關 物體質量 接觸面積或接觸面材質 實驗器材 : 砝碼 (0.5 kg 1.0 kg 2.0 kg) 木塊 (0.5 kg, 10 cm 5 cm 3 cm) 木質桌板 玻璃桌板 彈簧秤實驗步驟 : 1. 用彈簧秤拉一靜置於水平木質桌板上的一木塊如圖 3-24( 木塊接觸面積 10 cm 5 cm),至木塊 開始 運動時記錄彈簧秤的最大讀數 圖 依序將不同重量的砝碼置於木塊上,並記錄木塊開始運動時彈簧秤的最大讀數 3. 將木質桌板換為玻璃桌板,重複步驟 1 2 並記錄彈簧秤的最大讀數 4. 將木塊轉 90 放置 ( 接觸面積 10 cm 3 cm),重複步驟 1 3,並分別記錄彈簧秤的最大讀數 數據與分析 : 1. 分別在實驗步驟 1 3,觀察木塊與砝碼的總重量,和彈簧秤的最大讀數有何關係? 2. 在相同的木塊與砝碼之總重量下,彈簧秤的最大讀數和接觸材質有何關係? 3. 在相同的桌板及相同的木塊與砝碼之總重量下,彈簧秤的最大讀數和接觸面積有何關係? 應用 : 政府新法令中,汽車輪胎 ( 圖 3-25) 為什麼要設定胎紋深度不可小於 1.6 mm,以確保行車安全? 圖 3-25 在實驗中,施以一水平拉力於木塊上,但木塊維持靜止,這表示木塊所受合力為零,即桌面對木塊在接觸面提供一摩擦力進行抵制之故 若拉力逐漸增大,而木塊依然靜止,代表摩擦力並非一固定值 在木塊開始運動前,彈簧秤上的最大讀數,就代表桌面與木塊之間的最大靜摩擦力 加上砝碼後的木塊,由於受到重力的影響,會比未加上砝碼的木塊更緊密的接觸桌面,使得重物受到的最大靜摩擦力也會較大 實驗發現最大靜摩擦力量值與物體重量成正比,即
18 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 18 f s (max )= µ sw (3.15) 此處之比例常數 µ s 稱為靜摩擦係數,與物體和接觸面的材質及粗糙程度有關 圖 3-26 物體移動前後,摩擦力 ( f ) 與拉力 ( F ) 之關係圖 但若對靜止置於水平面物體除了水平拉力外,也給予一個垂直向上的拉力 F,則物體與 接觸面的緊密程度將會降低,所對應的最大靜摩擦力也會減少 顯然此時最大靜摩擦力並不 會與物體重量 W 成正比,而會與重量及向上拉力之差 W-F 成正比 ( 圖 3-27) 圖 3-27 靜止物體重量 W,受一垂直向上拉力 F 時,最大靜摩擦力與 W-F 成正比 W-F 等於平面施於物體的向上支撐力 N 由於物體在垂直方向處於靜止,故接觸物必會給予物體一向上的支撐力 N,方能使物體 所受的垂直合力為零 即 N=W-F (3.16) 此向上支撐力 N 又稱為正向力 (normal force),因它的方向永遠沿著與接觸面垂直的法線方 向 而 N 才真正可代表物體與表面接觸的緊密程度,故最大靜摩擦力的正確形式,應為 f s (max )= µ s N (3.17) 靜摩擦係數 µ s 之值是由實驗測量來決定,常見之靜摩擦係數如表 3-1 所示 物體開始移動,摩擦力 ( 或稱為動摩擦力 ) 依然存在,其量值維持定值,方向與運動方
19 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 19 向相反,且與有無受到水平外力 物體移動速度等皆無關,如圖 3-26 所示 實驗得知一運動物體所受之動摩擦力,其形式與最大靜摩擦力相似,為 f k =µ k N (3.18) 其中 N 為物體所受之正向力, µ k 稱為物體與接觸面之動摩擦係數,可由實驗測量得知,常見之動摩擦係數,如表 3-1 所示 表 3-1 摩擦係數 ( 所有數據皆為近似值 ) 範例 3-9 一運動物體以某一初速進入一粗糙平面, 5 秒鐘後停止 若此物體以相同速度,進入另一粗 糙平面,所受摩擦力為原先粗糙面之 2 倍,則物體何時會停止? 相關練習 : 習題 9. 分析 解 1. 同一物體所受之動摩擦力與運動方向相反 2. 相同時間內,速度變化率 v t 與外力 F 成正比 3. 物體的速度變化量相同,但加速度不同,故所需時間不同 設物體在兩種表面所受之摩擦力分別為 f 1 及 f 2,則 f 2 f 1 =2,所引起物體之 加速度分別為 a 1 及 a 2 由運動定律式 (3.7) a 2 a 1 = f 2 f 1 =2 設物體之初速為 v,物體在第二粗糙面 t 秒後停止,則由加速度定義知 a 2 a = (0-v) t 1 (0-v) 5 =5 t =f 2 f =2 1 故 t=2.5 秒後,物體將停止 範例 公斤重的物體靜止置於水平桌面上,施以一水平拉力 F,若物體與桌面之靜摩擦係數為 0.30,動摩擦係數為 0.20,求: (1) 欲使物體自靜止開始移動,拉力 F 至少為何? (2) 若 F 為 1 公斤重,物體與桌面之摩擦力為何? (3) 若 F 為 5 公斤重,物體與桌面之摩擦力為何? 相關練習: 習題 10. 分析 1. 在水平面上, N( 正向力 )= W( 重量 ), f s (max )= µ s N
20 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 20 且當拉力 F > f s (max ),物體開始移動 2. 若拉力 F < f s (max ),物體靜止,摩擦力為靜摩擦力,且 f s =F 3. 當物體移動後,所受之摩擦力為動摩擦力,且 f k =µ k N 解 (1) 最大靜摩擦力 f s (max )= µ s N= =3( 公斤重 ) 故拉力 F 至少需 3 公斤重,物體才開始移動 (2) 因 F =1 公斤重 < 3 公斤重,所以物體仍靜止,摩擦力 =1 公斤重 (3) 因 F =5 公斤重 > 3 公斤重,所以物體將移動,所受之摩擦力 =f k =µ k N= =2( 公斤重 ) 摩擦力的存在,有時會使物體運動速度減慢,也會造成零件磨損,為了減少摩擦,通常可在接觸面之間加入潤滑油,將接觸面變得更光滑些;或者在兩固體接觸面之間加入鋼珠,使物體表面的接觸方式由滑動轉變為滾動,以降低摩擦 ( 圖 3-28) 但摩擦力並非只會帶來缺點,若無摩擦力存在,則平常走路時,將會像在冰上行走,寸步難行 ; 高速行駛的汽車,也因無法使用 煞車 而不能停下 ; 餐桌上的盤子,會因桌子稍微不平,即滑到地面而破碎 ; 所坐的椅子,也會四處滑動而無法固定 ; 陷於泥沼中之輪胎,將繼續空轉而無法前進 ( 圖 3-29) 摩擦力除了存在於固體之間外,流體 ( 液體與氣體 ) 和固體間亦有摩擦力 ( 或黏滯力 ) 存在,此時的摩擦力則與流體的速度及與固體接觸面積的大小有關 ( 圖 3-30) 當汽車在高速公路上行駛時,會受到很大的空氣阻力 跑車車身流線型的設計,可使空氣順暢地流過汽車表面,而減低空氣阻力 游泳選手穿著貼身且平滑的泳衣,也可減低游泳時水的阻力 圖 3-28 軸承內的滾珠可使物體的接觸情形變為滾動方式,而降低摩擦效應而降低摩擦效應 圖 3-29 在泥沼中的輪胎與地面摩擦力非常小,使得輪胎不斷空轉而無法前進使得輪胎不斷空轉而無法前進
21 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 21 圖 3-30 汽車設計需考慮空氣對車身接觸面所造成的摩擦阻力,以節省耗油量 ( 汽車上方之線條為流線,空氣沿著流線流動 ) 3-3 教學理念 知道克卜勒歸納前人觀測資料,提出克卜勒三大定律,簡介發現的歷史背景及內容,讓 學生知道物體軌跡遵循已知的明確規律 3-3 克卜勒行星運動定律 哥白尼在 1543 年所完成的著作天體運行論中,提出了革命性的 日心說 觀念,但並未得到科學界的高度重視 直到 60 年之後,克卜勒 (Johannes Kepler, 1571~1630,德國人) 將哥白尼的學說加以證實與推廣,並形成重要的行星定律, 宇宙是以太陽為中心 的觀點才被大家廣泛接受 克卜勒雖然得力於第谷 (Tycho Brahe, 1546~1601,丹麥人) 所提供豐富的天文資訊,但更關鍵的是克卜勒體會出從哥白尼所開始之科學革命的意義 宇宙運動之原因,必須以背後所呈現的數學簡單性與數學和諧性,來重新加以解釋 ; 同時,凡數學上為真的東西,在實際上或天文學上也必為真 這種信念,使得克卜勒終其一生投入在天文學與數學知識的結合,為後世開啟了研究天文學的新方法 圖 3-31 克卜勒在 1605 年所出版的新天文學一書中,找出行星軌道不是找出行星軌道不是圓形圓形 也不是卵形也不是卵形,而是橢圓形的原圖 右上角他自己畫上了一位女神的像右上角他自己畫上了一位女神的像,象徵著對天文發現上的勝利象徵著對天文發現上的勝利 一 橢圓定律克卜勒藉著火星的觀測資料,計算火星的軌道位置,發現火星的路徑是以太陽為焦點的橢圓 (ellipse),如圖 3-31 所示 他從這發現了行星第一定律 ( 橢圓定律 ):
22 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 22 太陽系的每一顆行星都以橢圓軌道運行,且太陽位於該橢圓的一個焦點上且太陽位於該橢圓的一個焦點上 如圖 3-32,太陽位於焦點而不在橢圓中心,行星在 P 點時距太陽最近,在 Q 點時距太 陽最遠, P 和 Q 分別稱作行星的近日點和遠日點 近日點和遠日點的連線 PQ 稱為橢圓的長 軸,此長軸長度的一半,定為行星至太陽的平均距離 R 如果焦點到橢圓中心的距離愈遠,畫出的橢圓形狀就愈扁;而當橢圓的焦點慢慢靠近橢 圓中心時,畫出的圖形則漸漸趨於一圓,此時太陽與行星間的平均距離即等於圓的半徑 圖 3-33 為太陽系八大行星的軌道,其中地球的軌道近乎為圓形 圖 3-32 P 點離太陽最近,稱為近日點稱為近日點,其距離 R min 稱為近日距 ;Q 點離太陽最遠,稱為遠日點稱為遠日點,其距離 R max 稱為遠日距,近日距與遠日距之和則為橢圓的長軸長 2R 圖 3-33 太陽系八大行星的軌道示意圖,此八大行星的軌道都在同一平面附近此八大行星的軌道都在同一平面附近 ( 國際天文聯合會於 2006 年決議,將圖中最外圈的冥王星歸類為矮行星 ) 二 面積定律克卜勒依據觀測資料分析,宇宙的中心 太陽是在行星橢圓軌道的焦點上 當行星靠近太陽時,運動得較快;遠離太陽時,運動得較慢 他從火星運轉的數據,經過長期的分析,發現了行星第二定律 ( 面積定律 ): 同一顆行星與太陽的連線,在相等時間內掃過的面積相等在相等時間內掃過的面積相等 例如行星在遠日點處運動較慢,且它與太陽連線在時間 T 內掃過之面積若為 A,則當 行星在近日點處,它與太陽連線在時間 T 內,將運動得較快,但掃過之面積仍為 A ( 如圖 3-34)
23 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 23 圖 3-34 根據面積定律,若在相同時間內掃過的面積相等 ( 皆為 A ),則行星在遠日點附近所走的距離比在近日點附近小得多 三 週期定律哥白尼於 1543 年提出 日心說 時,所討論的行星有 6 顆 : 水星 金星 地球 火星 木星 土星 當時所能觀測到的只是各行星環繞太陽的公轉週期,及部分行星間相對的距離比值,仍無法測量出各行星至太陽的實際距離 到了克卜勒,最初他以尋找完美的幾何模型,來解釋天體為何會有 6 顆行星,並由模型中求得行星間相對的距離比值,以與哥白尼的觀察值比較,為其研究目標 在他利用了第谷累積的大量觀測資料和近 20 年努力不懈的分析後,克卜勒體會到他所設定的目標只能了解天體的外貌,卻不能知道背後更完美的形式 他放棄了先前的幾何模型,而著重在數值比例,最後發現了各個行星均服從唯一的宇宙和諧關係,並於 1619 年提出了此和諧關係,即行星第三定律 ( 週期定律 ): 任一顆行星繞太陽週期 T 的平方,與行星至太陽平均距離 R 的立方之比值皆相同 亦即 R 3 T 2= 常數 =K ( 對繞太陽運轉的每一顆行星 ) (3.19) 其中 K 為定值 表 3-2 所列為克卜勒之後所得知各行星至太陽的距離及其公轉週期 表 3-2 太陽系八大行星運行軌道的主要數據 表中最右行之 AU 稱為天文單位 (astronomical unit) ),是地球和太陽之間的平均距離是地球和太陽之間的平均距離, 1 AU= m
24 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 24 範例 3-11 某彗星的週期約為 125 年,則其與太陽的平均距離約為地球與太陽平均距離的多少倍? 分析 相關練習 : 習題 行星 ( 也包括彗星 ) 繞太陽週期 T 的平方與至太陽平均距離 R 的立方成 正比 1. 設此彗星與太陽的平均距離為 R 彗 2. 週期定律: R 3 彗 T 2= R 3 地 2 或 R 彗 T 3 彗: R 3 地 =T 2 彗: T 2 地 地 解由 R 彗 3 : R 地 3 =T 彗 2 : T 地 2,且 T 地 =1 年 T 彗 =125 年, 因此 R 彗 3 :R 地 3 =125 2 :1 2 R 彗 :R 地 = : 1=25:1 要點整理 平均速率 : 物體所經過的路程總長度和經歷時間之比值 位移 : 位置狀態的變化 路徑長 l 平均速率 v s = = 經歷時間 t 平均速度 : 在一特定時間間隔內,物體位置狀態的改變和經歷時間的比值 位移平均速度 v= = x-x 0 經歷時間 t (3.1) (3.3) 加速度 : 物體速度變化快慢的量 速度變化平均加速度 a= = v-v 0 經歷時間 t (3.4) 等加速運動 : 物體在任何時刻的加速度都相同的運動 例如 : 自由落下 垂直上拋 斜向拋射的物體,都會有相同量值的向下加速度 基本原理
25 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 25 初速 v 0 =0 的物體,在加速度為 a 的運動中,其任意時刻 t 的速度 v v=at (3.5) 在此時間間隔內,物體所前進的距離 S S= 1 2 at2 (3.6) 牛頓第一運動定律 ( 慣性定律 ): 任何物體將繼續保持靜止,或維持在一直線上等速運動 的狀態,直到有加予在它上面的力,迫使它改變這種狀態為止 牛頓第二運動定律 : 運動的變化與所加的外力成比例;且運動的變化是沿著外力的方向 即外力 物體質量與加速度三者關係可表示為 F=ma (3.9) 牛頓第三運動定律 : 對一個作用力而言,永遠存在一個量值相等的反作用力 或說 : 兩物 體作用在對方的相互作用力永遠相等,且指向相反的方向 虎克定律 : 彈簧伸長量與所懸掛物體的重量或重力成正比 式中 k 稱為彈簧的力常數 W=k l (3.13) 克卜勒行星第一定律 ( 橢圓定律 ): 太陽系的每一顆行星都以橢圓軌道運行,且太陽位於該 橢圓的一個焦點上 克卜勒行星第二定律 ( 面積定律 ): 同一顆行星與太陽的連線,在相等時間內掃過的面積相 等 克卜勒行星第三定律 ( 週期定律 ): 任一顆行星繞太陽週期 T 的平方,與行星至太陽平均 距離 R 的立方之比值皆相同 即 分析應用 R 3 T 2= 常數 =K( 對繞太陽運轉的每一顆行星 ) (3.19) 最大靜摩擦力與動摩擦力 : 物體受到的最大靜摩擦力為 運動物體所受的動摩擦力 名詞術語 f s (max )= µ sn (3.17) f k =µ k N (3.18) 平移 振動 轉動 位置 平均速率 位移 平均速度 加速度 慣性定律 運動定律 接 觸力 非接觸力 重力 重量 虎克定律 最大靜摩擦力 正向力 動摩擦力 焦點 近日 點 遠日點
26 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 26 習題 3-1 物體運動的軌跡 ( )1. 小淮在離地 2 公尺處釋放一個皮球,當皮球回彈時,她在距離地面 1.5 公尺的位 置接住它,則球所移動的位移為多少公尺? (A) 0.5 (B) -0.5 (C) 1.5 (D) -1.5 (E) 3.5 ( )2. 一足球以 4 公尺 秒的速度在運動,並在 10 秒後停止下來 若足球的加速度維 持不變,求此球的加速度為多少公尺 秒 2? (A) 4.0 (B) -4.0 (C) 0.4 (D) -0.4 (E) -40 ( )3. 將一個小石頭以 10 公尺 秒之初速向上垂直拋出,當石頭抵達最高點時上升高度 為多少公尺?( 假設重力加速度 g =10 公尺 秒 (A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20 (E) 25 ( )4. 一物體若自靜止開始作等加速運動,其速度 - 時間關係式為 v=at, a 為加速度, 求在任意兩時刻 t 1 t 2 間,何時之速度會等於 v 1 與 v 2 之平均值? (A) t 1 (B) t 2 (C) t 2-t 1 2 (D) t 2+t 1 2 (E) t 2-t 1 4 ( )5. 海洋公園的海豚跳出水面後,最高剛好可接觸到距離水面 4 公尺的皮球 若不計 水的阻力,求海豚身體前端 ( 嘴部 ) 剛離開水面時的速率最低約為多少公尺 秒? 2 )
27 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 27 ( 假設重力加速度 g =10 公尺 秒 2 ) (A) 6 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) 15 ( )6. 動物跳躍時會將腿部彎曲然後伸直加速跳起 下表是袋鼠與跳蚤跳躍時的垂直高度 若不計空氣阻力,則袋鼠躍起離地的瞬時速率約是跳蚤的多少倍? (A) 1000 (B) 25 (C) 5 (D) 學測 3-2 牛頓運動定律 ( )7. 一小球在水平面上移動,每隔 0.02 秒小球的位置如右圖所示 每一段運動過程分別以甲 乙 丙 丁和戊標示 試問在哪一段,小球所受的合力為零? (A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D) 丁 (E) 戊 94. 學測 ( )8. 一質量為 2 千克之物體靜止於光滑平面上,受到一 10 牛頓方向一定之水平推力,維持 5 秒後停止施力,則自起動時算起, 8 秒後物體之速度為多少公尺 秒? (A) 5 (B) 10 (C) 20 (D) 25 (E) 40 ( )9. 一木塊放在水平桌上,同時受到向右 5 牛頓與向左 2 牛頓之兩外力作用,但木塊仍保持靜止,求木塊所受到的摩擦力為多少牛頓? (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 7
28 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 28 ( )10. 一質量為 70 千克的書桌靜止於水平地面,書桌與地面之最大靜摩擦係數與動 摩擦係數分別為 0.4 與 0.3 求至少需施多大的水平力,才能移動此書桌? (A) 21 (B) 28 (C) 30 (D) 91 (E) 98 公斤重 ( )11. 具有相同體積且質料均勻的實心鐵球與鋁球,從離地面等高處由靜止自由落下, 重力加速度的量值為 g 在落下的時間均為 t 時 ( 尚未到達地面 ),忽略空氣阻力 及風速的影響,下列哪幾項敘述正確?( 應選三項 ) (A) 兩球所受的重力相同 (B) 兩球下落的距離相同 (C) 兩球具有相同的速度 (D) 兩球有相同的加速度 (E) 兩球有相同的質量 97. 學測 ( )12. 甲的質量為 50 公斤,乙的質量為 25 公斤,兩人在溜冰場的水平冰面上,開始 時都是靜止的 兩人互推後,甲 乙反向直線運動,甲的速率為 0.1 公尺 秒, 乙的速率為 0.2 公尺 秒 假設互推的時間為 0.01 秒,忽略摩擦力及空氣阻力, 則下列敘述哪一項正確? (A) 甲 乙所受的平均推力均為 500 牛頓,方向相反 (B) 甲 乙所受的平均推力均為 250 牛頓,方向相反 (C) 甲受的平均推力 500 牛頓,乙受的平均推力 250 牛頓,方向相反 (D) 甲受的平均推力 250 牛頓,乙受的平均推力 500 牛頓,方向相反 3-3 克卜勒行星運動定律 97. 學測 ( )13. 假設太陽系某行星的軌道半徑為地球軌道半徑的 100 倍,則此行星繞太陽一周約 需幾年? (A) 10 (B) 10 2 (C) 10 3 (D) 1 10 (E) ( )14. 一彗星的週期約為 64 年,則此彗星繞行太陽的平均距離約為地球軌道半徑的多 少倍? (A) 2 (B) 4 (C) 16 (D) 64 (E) 128 ( )15. 假設太陽系內各行星繞太陽的軌道為圓形,且其半徑為 R,則在相同時間內,不 同的行星與太陽連線所掃過的面積與下列何者成正比? (A) R (B) R 2 1 (C) R 3 1 (D) R 2 3 (E) R 3 2 科學史 伽利略的數學論證雖然許多人都以為伽利略是由分析比薩斜塔實驗結果,來探討落體運動的 但到目前為止,從未發現伽利略留下任何有關比薩斜塔實驗之記載
29 高中基礎物理 ( 一 ) 課本第 3 章物體的運動 29 對於落體運動,伽利略最初是由論證出發,而非由觀察或實驗測量來獲得運動關係 他對於長期以來多數人認為 落體速度(v) 與下落距離 (S) 成正比 的觀點,最先提出了他嚴謹與創新的數學論證 : 若 v S,則物體通過上下相等兩段(AB 與 BC) 總距離 (AC) 所需之時間 ( t AC ),將和通過上半段距離所需時間 ( t AB ) 一樣 換句話說,通過下半段距離將不花時間 ( t BC =0),這顯然不合理 ( 如下圖 ) 雖然 實驗 確實在伽利略所開創的物理學中扮演著重要的角色 至於究竟是 實驗 或是 論證 才是他發現自然的奧祕之關鍵呢? 在兩門新科學的對話中,他藉著他的化身薩爾維阿蒂 (Salviati) 結論道 : Sagredo: 只有在數學中才能找到必要的證明,這種力量讓人充滿驚奇與喜悅 了解為什麼會如此的理由,遠勝過 重複的經驗 Salviati: 您的推理很適當 經由了解原因,而獲得某一種現象的知識,等於是開啟心智 您可以由此了解並且確定其他現象,而不需訴諸經驗
二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲
-1 圓方程式 第 章 二次曲線 38 二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲線合稱為圓錐曲線 因為在平面坐標 系中 其對應的方程式均為二元二次式
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本實驗的目的在於了解摩擦力的性質, 分別探討摩擦力與正向力的關係 摩擦力與接觸面積的關係, 以及最大靜摩擦力和接觸面性質的關係 1. 摩擦力 : 當兩物體有發生相對滑動的傾向時, 在其接觸面間所產生阻止物體發生相對滑動的力, 即為摩擦力 (1) 發生摩擦力的必要條件, 包含以下幾點 : 接觸面粗糙 : 當物體相接觸而發生相對滑動時, 因接觸面粗糙, 有摩擦係數 存在, 故會產生摩擦力 1 接觸面有擠壓
１２３４５６７８９０１２３４５６７８９０１２３４５６７８９０１２３４５６７８
74 第 5 章直線運動 第 5 章直線運動 一 自我評量 一 選擇題 題前標註 *, 表示重要且常考的題目 5-1 運動的種類 ( A )1. 作等速運動的物體, 下列何者正確? (A) 必沿直線進行 (B) 必沿曲線進行 (C) 必沿圓周進行 (D) 可沿直線或曲線進行 ( D ). 速度與時間之關係如圖 (1) 所示, 則其為 (A) 等加速度運動 (B) 變形之等速運動 (C) 等加速度運動及等減速度運動
目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 相似三角形的應用 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 外心 內心與重心 3-1 推理證明 三角形與多
給同學的話 1.. 內 3. 內 內 目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 8 1-3 相似三角形的應用 13 1 18 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 9 34 3 外心 內心與重心 3-1 推理證明 40 3- 三角形與多邊形的心 45 3 51 3 1-1 比例線段 本節性質與公式摘要
0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1
0 0 = 1 0 = 0 1 = 0 1 1 = 1 1 = 0 0 = 1 : = {0, 1} : 3 (,, ) = + (,, ) = + + (, ) = + (,,, ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) + = + = = + + = + = ( + ) + = + ( + ) () = () ( + ) = + + = ( + )( + ) + = = + 0
現在人類獲取地球內部訊息的方法, 是從可能影響我們身家性命安全的地震, 用數學模型把地震資料轉換成地震波速度, 進而獲得地底物質密度與深度的關係 地下世界知多少 km/s g/cm 3 P Gpa km S P S 3,000 3,000 ak K 透視地底 Percy Bridgma
透視地球深處 的窗戶? extreme condition extreme environment 94.5 1 270 21 3.9 12.3 6,400 300 4,000 1864 Jules Gabriel Verne 1959 2008 1990 Paul Preuss 2003 24 2013 2 482 現在人類獲取地球內部訊息的方法, 是從可能影響我們身家性命安全的地震, 用數學模型把地震資料轉換成地震波速度,
10 6, 地球的熱循環
52 2013 4 484 人類活動與 地球熱循環 46 不斷追求進步的我們, 殊不知在迅猛發展的同時, 已經陸續對地球的整個環境生態引爆一顆顆不定時炸彈, 所造成的傷害正逐漸擴大並增強中 10 6,000 500 地球的熱循環 3 2013 4 484 53 54 2013 4 484 工業革命後, 人類活動產生的熱迅速增加, 使地球原本趨於最適合人類活動的熱平衡必須重新調整 環境變遷 18 280
推理證明 本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 四邊形四邊中點連線性質 : 例 ABCD E F G H AC 6 BD 8 EFGH AC BD 14 E A H B F C G D
40 3-1 推理證明 本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 1 2 4 四邊形四邊中點連線性質 : 例 H 68 H 14 H 41 41 基礎題 1 ab a366b12 2 a 36 證明 10 分 10 分 P131 2 a366b12 2 1 a6b12 2 36 6b1266b126 6b186b6 36b3b1 b3b1
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練習 9A ( 9. 特殊角的三角比 T ( 在本練習中, 不得使用計算機 如有需要, 答案以根式或分數表示. 試完成下表 三角比 θ 0 4 60 sin θ cos θ tan θ 求下列各數式的值 (. cos 60. sin 4 4. tan 4. cos0 4 tan 0 7. sin 4 cos 4 8. cos 60 tan 4 9. tan 60sin 0 0. sin 60 cos
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1 2 3 4 5 6 7 8 公式 2 4 2 1 能 整除 因此後玩 者贏 且關鍵數 字為3 的倍數 3 0 3 1 不能整除 所 以先拿餘數 2 關鍵數字是 4的倍 數 2 先玩者贏 4 0 4 1 能整除 因此 後玩者贏 且 關鍵數字為 5 的倍數 5 0 5 1 不能整除 所 以先拿餘數 2 關鍵 數字是 6的倍 數 2 先玩者贏 7 0 6 1 能整除 因此 後玩者贏 且 關鍵數字為7
第十一單元(圓方程式)
第一章 ( 圓方程式 ) cos ( ). 下列何者為圓 y 6 y =0 的參數式? (A) sin cos 6 cos (D) (E) 0 θ
f n kg 1 J 1 2 A 5 B 0.05 C D E A B C D E ppb ppb parts per billion ppb A 1 µg 1
自然101 學年度全國公私立高級中學 學科能力測驗模擬考試 自然考科 作答注意事項 考試範圍 : 高一 ~ 高二考試時間 :100 分鐘題型題數 : 第壹部分共 40 題 第貳部分共 28 題作答方式 : 用 2B 鉛筆在 答案卡 上作答, 修正時應以橡皮擦擦拭, 切勿使用修正液 ( 帶 ) 參考資料 : 重力加速度 g=10 m s 2 克卜勒行星第三定律 : R3 = 定值 T 2 正面彈性碰撞公式
第二節 研究方法 本論文第一章 緒論 說明研究動機與目的 研究方法及研究的範圍及限制 並對 飲食散文的義界 作一觀念的釐清 第二章 文獻探討 就將本研究的理 論建構中的概念作釐清 分別為 現代文學 飲食文學的重要論著 等兩個部 分來描述目前文獻的研究成果 並探討其不足待補述的地方 本研究以 文化研 究 為主要研究基礎 統攝整個研究架構 在不同章節裡 佐以相關研究方法進 行論述 茲圖示如下 研究方法
SW cdr
1~2 3 4 5~6 7~8 9~10 11 12 13 14 15 16~18 16 16 17 17 18 18 18 19 19 19 20 21 22 23~26 23 24 24 25 26 27 27 27 : 110V 1 110V 110V 15A 2 3 23 24 4 ( ) 5 6 1 2 26 20 l 1 7 3 4 5 15 17 18 12 7~13 6 ~ 8 ~
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第 5 章功與能量 5-1 單選題 1. 質量 m 的物體作自由落體, 重力加速度 g, 則第 t 秒內重力所做之功為 (A) (B) (C) (D) (E) 難易度 : 解答 :(A) 第 t 秒內所走的距離為 則所做的功 故正確選項為 (A) 2. 一鐵鍊置於光滑水平桌面上, 其長度垂直懸於桌邊, 若鍊長質量 m, 欲將鍊子全部拉回 桌面需做功多少? (A) (B) (C) (D) (E) 解答
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3 校清 第九章萬有引力 1. 一衛星環繞一行星做橢圓軌道的運動, 設此衛星至行星最遠距離與最近距離的比為 4:1, 則相應的角速度大小之比為 (A) 16:1 (B) 2:1 (C) 1:2 (D) 1:4 (E) 1:16 (E) 解析 : 由 2. 設一人造衛星以圓形軌道繞地球運行, 其軌道半徑為月球軌道平均半徑的, 則此衛星繞地 球之週期 (A) 在一至四天之間 (B) 在四至八天之間 (C)
基礎物理 _A_ 第二章牛頓運動定律 B 動摩擦力 : (1) 物體在運動狀態下, 產生的摩擦力, 稱為動摩擦力, 以 f k 表示 () 動摩擦力一般會小於或等於最大靜摩擦力 (3) 動摩擦力的大小恆為定值, 與外力無關, 和物體運動的速度無關, 和物體溫度亦無關 (4) 動摩擦力和接觸面間的正向
基礎物理 _A_ 第二章牛頓運動定律 重點內容 -4 摩擦力 ( 一 ) 摩擦力 : A 定義 : (1) 兩物體相接觸時, 在接觸面間存在一種阻止彼此相對運動的作用力, 即為摩擦力 () 摩擦力存在的證據 : 甲 物體原為靜止狀態, 雖然對物體施力, 但是物體仍維持靜止不動 乙 物體原為運動狀態, 若停止施力, 則物體運動逐漸減慢, 終至停止 B 形成原因 : (1) 觀察接觸面的性質, 兩物體間的接觸面極為凹凸不平,
In this lecture you ll learn 簡介 The concept of force and its role in causing changes in motion 力之觀念, 力與運動的關係 The fundamental forces of physics 自然界的基本力
Chapter 4 Lecture Essential University Physics Richard Wolfson 2 nd Edition 第 4 章 Force and Motion 力與運動 2012 Pearson Education, Inc. Slide 4-1 In this lecture you ll learn 簡介 The concept of force and its
投影片 1
第 133 頁 1. 一人 ( 質量 60kg) 沿著繩子 ( 質量 5kg) 上爬, 繩子掛在秤下, 如圖所示 () 當人以等速上爬時, 秤的讀數為何? (b) 當人以加速度 1m/s 上爬時, 秤的讀數為何?(g=10m/s ) 60(kg) () 令磅秤讀數 F 1 人對繩子施力 F see 人 : 等速上爬合力 =0 F 60(kg) F 1 F 600N see 繩子 : 靜止合力 =0
_題目卷
東大附中國三數學科 :- 練習卷 年 班座號 : 姓名 : 一 單一選擇題. ( ) 如圖, 中, 分別為 上的點, 則下列哪個條件無法推得 //? () : = : () : = : () : = : () : = : 7. ( ) 如圖, 為直角三角形, 且 分別為 的中點, 已知 =, =4, 則 的面積為多少平方單位? () ( ) 8 () 4 () 48. ( ) 如圖, 中, =, =,
當無人飛行器越做越小時, 拍翅型的飛行方式應該是人類要參考及學習的 MAV P V 2 b P V b 0.96 P V 2 b L b 4 L b 4 W b 3 W b 3 2 向自然學習 MAV 3 升力與推力共生的拍翅運動 拍翅頻率的尺度變化
54 204 0 502 仿生飛行 從人類飛行器談起 unmanned aerial vehicle, UAV UAV micro aerial vehicle, MAV 5 cm 0.5 0 log 0.5 (P V 2 ).5 2.5 2 log (b) P V 2 b b 希望製作一架微型飛機像鳥類或蝴蝶那麼小, 就得向會飛的動物學習飛行技巧了 當無人飛行器越做越小時, 拍翅型的飛行方式應該是人類要參考及學習的
3-4
力的分解與摩擦力 項少龍老師 項少龍老師 1 主題四 : 力的分解與摩擦力 一 力的分解 1. 以接觸面的方向分解 : 正向力 (): 與接觸面垂直之力摩擦力 (f): 與接觸面平行之力 v f. 以作用效果分解 : 切線力 ( T ): 與運動方向平行之外力, 使運動體變快 ( 慢 ) 法線力 ( ): 與運動方向垂直之外力, 使物體轉彎 ( 又稱向心力 C ) T v ( ) c 軌跡 二 摩擦力專論
生與死的尊嚴 生與死的尊嚴
生與死的尊嚴 目錄 生與死的尊嚴 2 認識生命的實相 3 生從何處來? 死往何處去? 8 佛教徒的生死觀 10 如何面對死亡? 如何使得死亡有尊嚴? 20 生與死的尊嚴 生與死的尊嚴 認識生命的實相 認識生命的實相 ( 一 ) 由生命的無奈 無所依賴及無所適從, 轉變為生命的可愛 可貴與自我的肯定 ( 二 ) 生命的出生與死亡, 關係密切, 不可分割 出生之時已確定了死亡的必然到臨 生未必可喜, 死未必可哀,
目次 CONTENTS 1 數列與級數 幾何圖形 三角形的基本性質 平行與四邊形
給同學的話 1 3 4 目次 CONTENTS 1 數列與級數 1-1 3 1-8 1 13 幾何圖形 -1 18 - -3 6 30 3 三角形的基本性質 3-1 35 3-39 3-3 44 3 48 4 平行與四邊形 4-1 54 4-59 4-3 63 4 68 3 1-1 數列 本節性質與公式摘要 1 數列 : 1 1 a 3 a 3 n n a n 3 n n1 a n1 4 n n1
第一章 緒論
8.doc 9483 175-203 中共地方政府 較大的市 建制與地位之探討 摘要 關鍵詞 : 較大的市 設區的市 行政區劃 地級市 地方政府 地方立法 175 壹 前言 1 2 貳 較大的市 設置的背景與意義 1949 10 176 1950 1954 9 20 53 1955 6 9 20 1959 9 17 9 3 1978 177 33 4 5 6 80 7 1976 1979 7 1 20
_題目卷
東大附中國三理化科 B5:-3~-4 練習卷年班座號 : 姓名 : 一 單一選擇題. ( ) 下列物理量何者不具方向性? (A) 位移 (B) 加速度 (C) 速度 (D) 速率. ( ) 以初速度 30m/s 運動的火車, 在距離高雄車站 00 公尺時, 以 -m/s 的加速度進行煞車, 則 多少秒後車子會剛好進站? (A) 5 (B) 0 ( C) 5 (D) 0 3. ( ) 附圖為一物體朝固定方向做直線運動的速度
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198 FG7. 199 HG8 E 圖中,DE 為一正方形, = 及 為一邊長 1 cm 的等邊三角形, 而 為此 = 90 若 DE 的面積為 10 cm, 三角形內的任意一點 ( 如圖所示 ) 若 至三邊 求 的面積 及 的垂直距離的總和為 x cm, 求 x 的值 In the figure shown, DE is a square and is an equilateral triangle
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. Fluid Statics 1. 流體靜力學 (Fluid Statics): 係探討流體處於靜止狀態或流體內彼此無相對運動情況下之流體受力狀況 因無相對速度, 故無 du 速度梯度, 亦即無剪力, 流體受力主要為 dy 壓力與重力. 流體靜壓力之等向性 (Isotropic) 取一個很小的 element d dy d 因靜止 F = 0 : ( 力平衡 ) ( ) F = 因 ds sinθ
主題一 : 重力 一 牛頓萬有引力定律. 牛頓萬有引力定律 : 宇宙間的任何兩個質點間都具有相互吸引之力 ( 萬有引力 ), 且其大小與兩質點質量的乘積成正比, 而與其間距離的平方成反比 F F F G. 思考 : G 為萬有引力常數 ( Nt /k ), 經英國科學家卡文迪西利用扭
重 力 項少龍老師 項少龍老師 主題一 : 重力 一 牛頓萬有引力定律. 牛頓萬有引力定律 : 宇宙間的任何兩個質點間都具有相互吸引之力 ( 萬有引力 ), 且其大小與兩質點質量的乘積成正比, 而與其間距離的平方成反比 F F F G. 思考 : G 為萬有引力常數 (6.67 0 - Nt /k ), 經英國科學家卡文迪西利用扭秤實驗測出 經由微積分推導, 萬有引力定律亦適用於兩均勻球體 ( 球殼
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1 壹 研究動機 一般而言 傳統大三弦琴碼的擺放位置 圖 1 大約在琴鼓下方 由下往 上三分之一的地方 約 8.5 公分 但是這種擺法 學生在初學大三弦時 左手 常伴隨著指距較大 音準較難以掌握的困擾 為解決這個技巧上的問題 必須不 斷練習將手指指距撐開 並在琴桿上做記號來加以輔助 圖 1 傳統琴碼三分之一的擺放位置 8.5 公分 目前 北京中央音樂學院談龍建教授 採取將琴碼位置 往上移至 五度音
作為單位標準必須具有 : 恆常性 複製性 國際公認三個條件, 則下列何者滿 足上面三個條件? ( A ) 以鉑銥合金標準尺作為長度的單位 ( B ) 以平均太陽日作為時間的單位 ( C ) 以 133 Cs 電磁輻射某一固定振動的波長作為長度單位 ( D ) 以鉑銥合金所製成的公斤原器作為質量單位
高中基礎物理( 一 ) 單一選擇題 : 考慮以下四個敘述 : ( 甲 ) 牛頓開創了實驗物理學 ; ( 乙 ) 伽利略發現了萬有引力定律 ; ( 丙 ) 焦耳證明了熱是一種能量 ; ( 丁 ) 馬克士威將電與磁統一起來, 以上敘述何者正確? ( A ) 甲 丙 ( B ) 丁 ( C ) 乙 丙 ( D ) 丙 丁 ( E ) 甲 丁 100 中山女中 下列何者不屬於國際單位制的基本單位? ( A
2
第 章 直線運動 重點整理. 運動 : 是指物體的位置因時間而改變. 運動依路徑可分為 : 直線運動及曲線運動 運動依速度可分為 : 等速運動及變速運動 3. 位移 : 表示物體或質點位置的改變量, 是向量 路徑 : 表示物體或質點經過的位置連接而成的軌跡, 是純量 4. 速度 : 運動物體在單位時間內, 位移的變化量, 是向量. 加速度 : 物體在單位時間內速度的變化量, 是向量 6. 等加速度直線運動的加速度為常數,
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前言 Excel Excel - v - 財務管理與投資分析 -Excel 建模活用範例集 5 相關 平衡 敏感 - vi - 前言 模擬 If-Then 規劃 ERP BI - vii - 財務管理與投資分析 -Excel 建模活用範例集 ERP + BI + ERP BI Excel 88 Excel 1. Excel Excel 2. Excel 3. Excel - viii - 前言 1.
b. 二維空間 : 笛卡兒直角坐標系 ( 平面直角坐標系 ) 如右圖所示,C 點的位置記做 (+3,+) 除了直線坐標與直角坐標系外, 在日常生活中極坐標 (polar coordinates) 及球面坐標也常被使用 () 位置向量 : 亦可用一箭號來表示物體位置的方法, 稱為位置向量 (posit
物體的位置 1. 當物體的位置隨時間而改變時, 則稱此物體在運動 要描述物體的運動, 首先必須要能描述物體的位置 (position). 質點的意義 由於一般物體皆具有體積, 故需先簡化物體成為一質點 (particle), 以降低問題的複雜度 物理學中的質點類似數學中的點, 僅存在於空間中某處, 但不具有體積, 且為了往後進一步的分析處理, 於是賦予這個點質量 (mass) 的性質, 因此稱之為質點
的友誼 而且無論外貌怎樣改變 自信心是自己給自己的 發自內心 的自我認同感是無法改變的 只要自我認同才能得真正的心靈富足 而不是單純的改變外表 不同的整容公司亦會利用現今社會的價值觀來作宣傳 誇大整容 後的效果 又用明星效應 令消費者認為整容真的能變成明星一樣 整容這個風氣是由人們的價值觀造成的 有人指出 我們要接納 整容後的人以及香港社會應對此持更開放的態度 但相反地 為什麼 不能接納那些我們認為不
戒菸實務個案自助手冊105年Ver.2
本計劃經費來自 品健康福利捐支應 衛生福利部國民健康署 我 名字 為了 以下理由 1. 2. 3. 4. 5. 決定從 年 月 日起 簽署人 (簽章) 見證人 (簽章) 年 月 日 a 準備戒 V 環境的準備 排除讓自己想吸 自己戒 的環境 V 心理的準備 瞭解自己的吸 的環境 建立能提醒 行為 強化戒 決心 V 身體的準備 評估身體的尼古丁依賴度 必要時找尋 藥物降低戒 戒 的難度
ok313 正餘弦定理
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 BC 三內角 表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長 例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題
理性真的普遍嗎 注意力的爭奪戰 科學發展 2012 年 12 月,480 期 13
12 科學發展 2012 年 12 月,480 期 你可能不知道的媒體影響 劉正山若用 選戰 的角度來看選舉和參與選舉, 你大腦裡情感的作用一定大過理性的作用, 便會很習慣地拿各種媒體或別人的觀點來使自己的選擇合理化 2012 理性真的普遍嗎 注意力的爭奪戰 科學發展 2012 年 12 月,480 期 13 14 科學發展 2012 年 12 月,480 期 agendasetting 報紙和網路新聞的頭版空間有限,
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機械類專業科目 ( 一 ) 1 九十五學年度技術院校四年制與專科學校二年制統一入學測驗試題 ( 機械力學 ) (D) 1. 在 MKS 制單位中,1 牛頓等於 : (A)1N-m/sec (B)1kg-cm/sec (C)1kg-mm/sec (D)1kg-m/sec (A). 如圖所示之二力, 其夾角為 60, 合力 R = 10 3 N, 若 F 1 = 10N, 則 F 等於多少 N? (A)10
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第 2 章神奇的質數 2.1.1 什麼是質數 1 1 1 打下好基礎 - 程式設計必修的數學思維與邏輯訓練 1 1 0 10 2 3 5 7 4 6 8 9 10 4 10000 1229 1000 168 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131
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台北市立陽明高中高二自然組動手動腦 單元 :- 圓的方程式 () 班級 : 座號 : 姓名 : 一 選擇題 ( 題每題 分共 分 ); 第 題為單選題 第 題為多重選擇題 ( ) x y 為實數且滿足 x y 求 x 的 最小值 ()0 () 0 ()7 () 7 有一圓通過點 P 且與 y 軸相切若此圓的半徑為 試求此圓的方程式為 ( 有兩解 ) ( ) 三直線 x y 9 0 x y 0 及 x
第 2 單元三角函數編著 By 吳春鋒 一 有向角及其度量 1. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 角度與弧度 : 1() 1() 弧度 弧度 = 180 只有代表弧度時為 180, 其餘皆為 3.14 ( D )1. 角為 (A) 直角 (B) 鈍角
一 有向角及其度量. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 8. 角度與弧度 : () () 弧度 57.957 弧度 = 8 只有代表弧度時為 8, 其餘皆為.4 ( D ). 角為 (A) 直角 (B) 鈍角 (C) 平角 (D) 銳角. 5 等於 5 8 弧度 角度 弧度 6 45 4 6 9 5 5 6 8 7 6 看到角度 弧度, 8 擺分母 ; 看到弧度 角度, 擺分母. 扇形的弧長與面積
contents K 0.9K 05 () 0.9K 3.2K K 9.8K K 20.6K K 28.9K K 41K
contents 01 20 0K 0.9K 05 () 0.9K 3.2K 06 07 3.2K 9.8K 08 09 10 9.8K 20.6K 11 12 13 14 15 70801 6 06 299 1111 16 17 20.6K 28.9K 18 19 20 308 28.9K 41K 21 22 23 41K 52.5K 24 25 22 6 06 272 6988 fl jintainan@gmail.com
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動力學基本定律及應用 7-1 牛頓運動定律 7-2 滑輪 7-3 向心力與離心力重點掃描學後評量 接下來的兩章是屬於動力學的 部分, 本章將先來探討牛頓所研究出來的三大運動定律 牛頓三大運動定律包含了慣性定律 運動定律以及作用力與反作用力定律等三者, 此三大運動定律為動力學奠定其在力學中不可或缺的角色, 現在就讓我們好好來研究牛頓三大運動定律吧! 了解牛頓三大運動定律之意義與應用 能正確應用牛頓運動定律計算物體受力運動之問題
°ò¦ª«²z(¤G)B¤W¥U ½Ò¥»wordÀÉ_²Ä1³¹ ª½½u¹B°Ê
1-1 位置 位移與路徑長位移與路徑長 1- 速度及速率 1-3 加速度 1-4 一維空間的等加速運動 1-5 自由落體運動 1-6 相對運動 直線運動 自然界中所有的物體都不斷的在運動, 我們可以透過觀察與分析來認識自然界的運行 蘋果樹掉下的蘋果或水龍頭滴落的水滴, 是常見的自由落體運動 騎馬的牛仔 玩車的孩子 相對奔跑的山羊乃至爬行的蝸牛, 也在進行五花八門的運動 圖中在鐵道上高速奔馳的火車,
3-2 連比例 連比的運算性質 a b c 0 a b c (a m) (b m) (c m
114 3-2 連比例 1 連比與連比例式 2 應用問題 主題 1 連比與連比例式 12 15 3 6 15 3 6 15 3 6 連比 15 3 6 15 3 3 6 15 6 600 120 15 3 6 7 2 1 3-2 連比例 115 24 2 30 6 12 4 1 3 5 1 2 12 24 4 15 3 6 30 6 12 5 1 2 15 3 6 30 6 12 15 3 6 5
01 用 ActionScript 3.0 開始認識 Flash CS3 Flash 是應用在網路上非常流行且高互動性的多媒體技術, 由於擁有向量圖像體積小的優點, 而且 Flash Player 也很小巧精緻, 很快的有趣的 Flash 動畫透過設計師的創意紅遍了整個網際網路 雖然很多人都對 Fl
01 用 ActionScript 3.0 開始認識 Flash CS3 Flash 是應用在網路上非常流行且高互動性的多媒體技術, 由於擁有向量圖像體積小的優點, 而且 Flash Player 也很小巧精緻, 很快的有趣的 Flash 動畫透過設計師的創意紅遍了整個網際網路 雖然很多人都對 Flash 可以做精美的網路動畫並不陌生, 但是實際上 Flash 不僅如此, 只要搭配 ActionScript
上海市本科教学质量年度报告
上 海 市 本 科 教 学 质 量 年 度 报 告 数 据 内 涵 说 明 V2.0 版 上 海 市 教 委 高 教 处 上 海 喆 思 (2015.07.02) 目 录 一 基 本 统 计 挃 标 说 明... 4 二 挃 标 解 释... 4 1. 全 日 制 在 校 本 科 生 数 及 占 在 校 生 总 数 的 比 例 ( 学 年 )... 4 2. 当 年 本 科 招 生 与 业 总 数
1970 新技術的應用 X = 20 + B 13B δ13c X 1 X
凡發生過的必留下痕跡 同位素分析的考古應用? 如何考古 06 2013 9 489 經由人骨中碳和氮同位素的分析, 提供考古學家另一個探討古代攝食系統的途徑 另外, 可以藉由鍶同位素分析了解人群的來源與遷移過程 1970 新技術的應用 13 15 13 12 15 14 13 15 13 12 15 13 15 13 X = 20 + B 13B δ13c X 1 X 2013 9 489 07 δ
7-1 萬有 引力 定律 7- 地球 表面 的重 力與 重力 加速 度 7- 行星 與人 造衛 星 抬頭仰望點點繁星和偶然劃過天際的流星, 俯拾起身邊翩然飄落的楓葉, 訴不盡的 詩情畫意, 終歸都是自然的運作 本章將介紹存在於天地萬物, 無時無刻存在我們身邊的萬有引力 學完本章你將了解無論是宇宙星辰的運行, 生活中柴米油鹽的斤兩, 或是在現代社會中扮演了重要角色的人造衛星, 都可以用萬有引力來解釋呢
基本數學核心能力測驗_行為觀察記錄紙_G2版本
基本數學數學核心能力測驗 G2 行為觀察記錄記錄紙 學校 : 班級 : 姓名 : 日期 : 記錄者 : ~ 學生作答時, 請他 ( 她 ) 將雙手皆置於桌面 ~ 認識數字 ( 三 ): 數列 ( 共 1 頁 ) 注意事項 逐題觀察並作底下記錄, 等分測驗做完後, 每一個策略任選一題問 這一題你是怎麼算的? ( 如果只運用一種策略, 則再任選 2-3 題訪問 ) 利用學生的回答來作為 自己觀察記錄的證據
Microsoft Word - HKU Talk doc
In the figure, E is a diameter and E is a straight line. Find x. 圖中, E 是一直徑, E為一直線 求 x. 54. 70. 74. 9 E. 94 In the figure, O is the center of the circle. EO and E are straight lines. Find x. 圖中, O 為圓心,
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解答發佈時間 :96.07.09 工程力學 九十六年公務人員高等考試試題工程力學參考題解 一 如圖所示, 裝有輪子的正立方塊 M, 其質量是 8000 kg, 分別受到左 右二個噴嘴的水平撞擊 其中左邊噴嘴直徑 d.m, 水流速度 V = 8 m/se, 而右邊噴嘴直徑 d. m, 水流速度 V = 4 m/se 忽略能量損失, 求方塊 M 由靜止到速度等於 m/se 所需時間是多少?(0 分 )
原子結構
順序 1 2 3 4 5 6 功 動能與位能 內 容影 部聲 部 轉場投影片 標題投影片 : 背景音樂 內容摘要 開場白 老師影像 各位同學大家 好 這個單元 我們要跟大家 介紹作功 動 能與位能 功 與能的觀念和 之前的運動 學 牛頓力學 有關 現在就 讓我們回顧過 去學過的力學 知識 轉場投影片 標題投影片 : 背景音樂 先備知識 先備知識 : 投影片 老師依投影片 V-t 圖, 內容說明 直線代表加速度
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國立嘉義高級中學 107 學年度第一次教師甄選 - 物理科試題 P.1/ 一 填充題 : 共 100 分, 每題 分 1. 有一小石子自塔頂落下 a 後, 另一小石子於離塔頂下方 b 處自由落下, 結果兩石子同時著地, 則塔高為何? ( 但 b>a) ( a+b) a. 如圖所示, 重量分別為 W W 的兩個小物體 P Q, 以 A B C 三條輕繩連接後達平衡 狀態, 若 A 繩與鉛直牆壁間的夾角為
6 2012 8476你猜得到它是什麼嗎 它就是 高分子! 生活中的高分子 有種物質的重要性不亞於我們所呼吸的空氣, 不管身在何處, 都有它的存在, 它甚至就隱藏在人體裡面! 人類若失去了它, 就得回到遠古時代, 甚至可能終止生命 高分子是什麼 高分子是由千個 甚至萬個以上的原子所組成, 呈現柔軟的特性 日常生活中使用的塑膠袋就是由高分子製造的, 人體組成中的 DNA 也是一種高分子 2012 8476
46 2011 11 467 數位遊戲式學習系統 7 2011 11 467 47 3 DBGameSys 48 2011 11 467 正規化資料模組 如何配置並儲存電子化資料 以 便減少資料被重覆儲存的程序 DBGameSys的主要功能模組包 學習者 審核評分模組 含 正規化資料模組 審核評分 模組 高分列表模組3大區塊 系統資料庫 在正規化資料模組的執行 高分列表模組 過程中 先要求學習者瀏覽遊戲
Chapter 3 Camera Raw Step negative clarity +25 ] P / Step 4 0 ( 下一頁 ) Camera Raw Chapter 3 089
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Photoshop CC Camera Raw Photoshop Camera Raw Step 1 3 1 2 3 SCOTT KELBY Step 2 B Camera Raw 088 Chapter 3 Camera Raw Chapter 3 Camera Raw Step 3-4 -100 negative clarity +25 ] P / -75-50 Step 4 0 ( 下一頁
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4-1 萬有引力定律 4- 地球表面的重力與重力加速度 4-3 行星與人造衛星 萬有引力 抬頭仰望點點繁星和偶然劃過天際的流星, 俯拾起身邊翩然飄落的楓葉, 訴不盡的 詩情畫意, 終歸都是自然的運作 本章將介紹存在於天地萬物, 無時無刻存在我們身邊的萬有引力 學完本章你將了解無論是宇宙星辰的運行, 生活中柴米油鹽的斤兩, 或是在現代社會中扮演了重要角色的人造衛星, 都可以用萬有引力來解釋呢 CHAPTR
Erwin Schrodinger
基因改造 的過去 與未來 一般報導 地球是一個充滿生命的星球 在這兒 各種生物所展現的生命跡象都有一些共通性 只是 這麼多千奇百怪的生命現象與生物個體 又具有哪些獨特的性質呢 演講人 周成功 演講人 Erwin Schrodinger 20042374 57 ATGC DNA J. D. Watson and F. Crick DNAATGC DNAATGC DNA ATGC ATGC DNA A
Slide 1
( 一 ) 方 剂 的 概 念 及 方 剂 与 治 法 的 关 系 方 剂 的 概 念 方 剂 是 在 中 医 理 论 的 指 导 下, 在 辨 识 临 床 病 证 的 基 础 上, 依 据 相 应 治 法 和 组 方 原 则, 确 定 适 当 的 药 物 剂 量 用 法, 以 防 治 疾 病 的 一 种 用 药 形 式 ( 二 ) 方 剂 学 的 发 展 简 史 先 秦 两 汉 时 期 (~ 220
YS1.mps
影 视 与 戏 剧 特 征 化 妆 影 视 与 戏 剧 特 征 化 妆 是 化 妆 艺 术 范 畴 内 具 有 代 表 性 的 内 容, 是 掌 握 了 基 础 化 妆 的 前 提 下, 进 入 较 深 入 的 造 型 化 妆 阶 段 影 视 戏 剧 特 征 化 妆 其 妆 型 显 著, 效 果 突 出, 既 是 专 业 影 视 戏 剧 化 妆 的 基 本 内 容 之 一, 又 可 以 在 影 视
Hz 1 k ,186 Hz k 4 k 8 k 2 k
樂音或噪音! 頻率與音高 6 215 2 56 44 16 25, Hz 2 2 K Hz 27.5 4,186 Hz 2196.16 47 13289.75 9397.27 77 8372.2 5587.65 4186.1 3729.31 44. 261.63 41.2 32.7 27.5 18.35 16.35 2 25 5 Hz 1 k 27.5 4,186 Hz 63 125 2 k 4 k
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中 華 民 國 大 專 校 院 100 學 年 度 排 球 運 動 聯 賽 排 球 隊 職 員 名 單 一 般 男 生 組 不 分 級 共 56 所 學 校, 總 計 1083 位 隊 職 員 校 名 : 國 立 嘉 義 大 學 (0018) 校 址 :[600] 嘉 義 市 鹿 寮 里 學 府 路 300 號 聯 絡 人 / 電 話 : 鍾 宇 政 / 05-271#7271 校 長 : 李 明
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第 2 章質點運動學 2-1 單選題 1. 火車由甲站駛向乙站的過程中, 先以等加速度行駛前 的路程, 接著以等速度行駛 的路 程 ; 最後再以減速度駛往剩餘的路程, 則全程的最大速率為平均速率的幾倍? (A) (B) (C) (D) (E) 解答 :(C) 故正確選項為 (C) 2. 一物體做等加速度運動, 其速度隨時間變化的關係圖如圖, 則下面哪幾 速度 項關係式為正確的? (A) (B) (C)
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
CH 1 直線運動 § 1-1 位移
(1) 位置向量 : (a) 參考點 ( 原點 ): 相對於參考點的距離和方向, 以定出物體位置 不同的參考點, 物體位置表示結果不同, 但並不改變物體的真實位置 (b) 表示法 : 物體和原點的距離再加上方向符號, 原點右方為 +, 在原點左方為 - () 路徑與位移 : (a) 位移 : 質點位置的變化量 ( 向量 ) S =Δ x = xf ( 末位置 ) x( i 初位置 ) 位移以正負來表示物體移動的方向
兽医临床诊断学实验指导
兽 医 临 床 诊 断 学 实 验 指 导 河 北 科 技 师 范 学 院 动 物 科 学 系 临 床 兽 医 学 实 验 室 2009 年 2 月 目 录 学 生 实 验 守 则... 3 实 习 一 动 物 的 接 近 保 定 和 基 本 检 查 法...4 实 习 二 临 床 基 本 检 查 法 及 一 般 检 查...10 实 习 三 循 环 系 统 的 临 床 检 查...15 实 习 四
Chinese Fonts Font Book 2012 Additions
Chinese Fonts Font Book 2012 Additions Chinese Fonts Font Book 2012 Additions 繁體 HK Collection Traditional 4 正雅蘭 MEllanHK-SemiBold 5 特黑體 MHeiHK-Heavy 6 特粗楷二 MKai2HK-Black 7 岩流體 MLavaHK-UltraBold 8 毡筆體
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Hella LED 前燈 日行燈 Hella
38 2012 4 472 汽車安全的人因工程 汽車改變了人們的生活, 但在便利的背後, 也帶來生命財產的損失 運用人因工程可以發展有效的安全對策, 減少車禍的發生與降低其嚴重性 1885 1908 1302,000 5,000 亮不亮有關係 daytime running light, DRL Hella 1977 20082011 LED 前燈 日行燈 Hella 2012 4 472 39 40
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原子結構
運動學二 ( 牛頓第一 第二運動定律 ) 順序 1 2 3 4 內 容影 部聲 部時 間 內容摘要 標題投影片 : 背景音樂 內容摘要 開場白 老師影像 各位同學大家 好, 今天我們要 向大家介紹牛 頓第一和第二 運動定律 牛頓 有三大運動定 律, 不過我們這 裡先不談牛頓 第三運動定 律 我們先介紹 牛頓第一運動 定律 轉場投影片 標題投影片 : 背景音樂 運動思想演進 說明亞里斯多德的運動觀 老師影像
FZ1.s92
第 一 章 服 装 制 作 工 艺 基 础 知 识 第 一 节 服 装 术 语 服 装 术 语 是 服 装 技 术 专 用 语, 如 服 装 的 每 一 个 品 种 服 装 上 的 每 一 块 裁 片 服 装 制 作 过 程 中 每 一 种 操 作, 以 及 所 使 用 的 工 具 服 装 制 作 过 程 中 出 现 的 各 种 弊 病 和 要 达 到 的 某 些 质 量 要 求 等, 都 有 其
71 新約聖經的福音 3
信徒的偽善 郭善熙牧師被稱為韓國 本世代最優秀的講道者 講道是他牧會的最大武器 一如他所說 : 這四十年來, 我惟一做的就是講道 他是擺上生命來講道, 曾以系列解經講道, 帶動盼望教會復興 經文 : 加拉太書二章 11 至 13 節 14 但我一看見他們行的不正, 與福音的真理 不合 71 新約聖經的福音 3 72, 干擾信仰的原因 30 然而, 有許多在前的, 將要在後 ; 在後的, 將要在前 73
原子結構
等加速度運動 順序 1 2 3 4 5 6 內 容影 部聲 部時 間 內容摘要 標題投影片 : 背景音樂 內容摘要 開場白 老師影像 各位同學大家 好 這個單元我 們向大家介紹 等加速度運 動 這個單元和 以前學過的運 動學 牛頓力學 都有關連 我們 先回顧過去學 過的內容 轉場投影片 標題投影片 : 背景音樂 先備知識 先備知識 : 投影片 老師配合投影 速度與速率的不同 片內容講解 等速度的意義
40/60 AM Cardio 40/60 ... 4 Cardio 40/60... 4... 5... 5 :... 5... 5... 6 : Cardio 40/60... 6 / (Cardio 40)... 6 / (Cardio 60)... 6 :... 6 : GPS... 7 : Brytonsport.com... 8... 9 :... 9 GPS... 10... 11
TYPE AND PARTS SELECTION OF ALUMINUM FRAME TOLERANCE OF ALUMINUM FRAME 鋁擠型專用資訊頁容易搜尋! 刊載多項技術資訊與使用範例! MISUMI
TYE ND RTS SEECTION OF UMINUM FRME TOERNCE OF UMINUM FRME 容易! 刊載多項技術資訊與使用範例! Q HFS HFS 6N01SST5 HFS84040 HFSB84040 CF84040 HFSY84040 HFS84040 6N01SST5 HFSB84040 NFS NEFS NFS 6063ST5 6063ST5 HFSEFS NEFS84040
Microsoft Word - 人事管理制度汇编＊080429.doc
新 南 方 青 蒿 科 技 公 司 招 聘 管 理 制 度 人 事 管 理 制 度 汇 编 第 一 章 招 聘 管 理 制 度 ( 青 蒿 行 字 [2007]10 号,2007 年 7 月 30 日 印 发, 青 蒿 字 [2008]13 号 修 订 ) 第 一 节 总 则 第 一 条 目 的 ( 一 ) 优 化 公 司 人 力 资 源 配 置, 为 公 司 业 务 发 展 提 供 人 力 资 源
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.3 家庭變遷對健康的影響 在經濟起伏時 家庭支持十分重要 在 兩地三岸社會政策 一書中 魏雁濱 曾群 在 社會排斥 一文提及一項研究發現 在北歐六國和蘇格蘭 家人支持對防止失業 青年陷入貧窮發揮重要作用 在福利制度相對比北歐較弱的南歐國家如意大利 家庭 和社會網絡對失業者起較大的支持和保護作用 在中國人社會 家庭支持也十分重要 根據本港社會服務聯會
Microsoft PowerPoint - Ch08 - Conservation of Energy
Poenl Enery ( 位能 Ch. 8 Conservon o Enery 能量守恆 Fundmenls o Physcs, 8h Edon Dvd Hlldy Unversy o Psurh Roer Resnck Rensseler Polyechnc Insue erl lker Clevelnd Se Unversy Poenl enery s enery h cn e ssoced
12320 专 家 在 线 前 列 腺 癌 术 后 指 标 升 高 咋 办 宝 鸡 读 者 蔡 先 生 问 : 我 今 年 78 岁 今 年 3 月 体 检 时 发 现 前 列 腺 特 异 抗 原 (PSA) 高 达 31.22, 被 诊 断 为 前 列 腺 癌, 随 后 行 根 治 术 术 后 有
健 康 百 科 人 体 奥 秘 科 普 系 列 之 20 尿 道 : 人 体 的 排 污 管 道 核 心 提 示 : 本 期 我 们 来 介 绍 人 体 泌 尿 系 统 的 最 后 一 个 器 官 尿 道 它 从 膀 胱 连 通 到 体 外, 其 作 用 是 将 尿 排 出 体 外 排 污 管 尿 道 是 从 膀 胱 通 向 体 外 的 管 道 男 性 尿 道 细 长, 长 约 18cm, 起 自
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台灣喜宴文化與陶瓷餐具設計開發 廖素慧 林長弘 林秀娟 摘 要 喜宴文化它包括了生活風俗習慣 禮教的 禁忌與料理 飲食的結合 可以看到民族的思 想行為以及社會的結構模式 是生活文化的濃 縮 它的過程對於一對新人在人生旅程開始 時 得到關愛與祝福也給予責任 所以喜宴的 禮教約束 是人生很重要的一個過程 好的飲 食禮教約束可以產生良性的人生觀 從喜宴的 食物料理與新開發餐具的造形與裝飾美感等的 結合來做一個開始
14 高中基礎物理 ( 二 ) B 上 當施力增至某一量值時, 物體恰能開始啟動, 此時可以看成靜摩擦力已達到最大值, 故最大靜摩擦力應等於使物體啟動所需的最小外力 ; 從另一角度來看, 最大靜摩擦力也應等於能使物體仍然維持靜止所施的最大作用力, 如圖 4-40 訳 f s f s,max 物體開始
第 4 章牛運動定律 13 4-4 摩擦力 前文說到亞里斯多德根據直覺的觀察, 認為若要使物體維持運動, 不論是等速運動或是變速度運動, 都必須持續對物體施力 ; 如果沒有力的作用, 物體就要停下來, 這是物體的本性 後來直到十七世紀時, 1 伽利略才指出它的錯誤, 其原因就是以前未考慮到摩擦力 摩擦力的性質 在日常生活中, 你能體會到摩擦力的存在嗎? 摩擦力對我們的生活有哪些好處, 又有哪些壞處呢?
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家具使用說明書_實體版2016.9
續上頁 居家甲醛對策 保持室內空氣流通 甲醛會緩慢地釋放於空氣中 因此平時就需保持室內空氣流通 尤其新居落成時 請盡量將窗子開到最大 以利通風透氣 由於室內溫度 溼度升高時 會大量釋放甲醛 在夏季或梅雨季節 室內經常長時間處於密閉狀態 請特別謹慎注意 此外 若屋內有數個窗戶時 建議保持至少2 扇窗的通風 收納家具用游離甲醛吸附紙/4入 160元 主成分為多孔天然礦石與紙漿 並添加具吸附 分解效果的胺基酸
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98 2009115 1 2 / 3 18-1 1-1 2 2 25 1 4 - - - - - - 5 140 1 60 5 2 8 7 6 229 1-2 - - 26 1-30 32 3 - - - - 1-36 2 - - - - - 1-3 - 1 - - - - - - 4 2 - - - - - - 6 5 4 - - - - - - 9 1 8 - - - - - - 9 - - -
99 1 20045377 45 Wocester Galileo Galilei Heinrich Schwabe 11 46 20045377 Motorola http://sohowww.nascom.nasa.gov/data/summary/gif/031030/smdi_igram_fd_20031030_0800.gif SOHO 47 20045377 150 Cuno HoffmeisterLudwig
極限 limit 是由 無限接 近 的想法產生出來的數學概 念 最初用來決定某些函數在沒 有定義的點上的函數值 使得它 與鄰近的函數值有某種協調關 係 極限觀念的第一個應用 是 在決定函數由平均變化率導出瞬 間變化率 此過程即為微分 萊 布尼茲 Leibniz 1646 1716 從幾何觀點討論微分
微 分 2 極限 limit 是由 無限接 近 的想法產生出來的數學概 念 最初用來決定某些函數在沒 有定義的點上的函數值 使得它 與鄰近的函數值有某種協調關 係 極限觀念的第一個應用 是 在決定函數由平均變化率導出瞬 間變化率 此過程即為微分 萊 布尼茲 Leibniz 1646 1716 從幾何觀點討論微分 切線的斜 率 牛頓 Newton 1642 1727 從物理觀點討論微分 瞬 時速度 微積分實際上是在研討極
能量的形 能量的形式與轉換 項少龍 老師
能量的形 能量的形式與轉換 項少龍 老師 主題一 : 能量的形式與轉換 一 功. 功 : 施力 F ( 牛頓 ) 於物體, 使物體移動 d ( 公尺 ), 且兩者夾角 θ, 則此力對物體作功 W F d //. 思考 : 功為純量, 無方向性, 但有正負之分 ( 正功 系統能量增加 ; 負功 系統能量減少 ) 0 θ
投影片 1
判斷正向彈性碰撞的條件 : 三選二即可 ' ' - = - 動量守恆 3 動能守恆 第 00 頁. 鋼球 公斤 鋁球 0. 公斤, 兩球發生正向碰撞, 下列敘述何者正確? (A) 鋁球受到撞擊力的量值是鋼球的五倍 (B) 鋁球動量改變量的量值是鋼球的五倍 (C) 鋁球速度改變量的量值是鋼球的五倍 (D) 鋁球動能改變量的量值是鋼球的五倍 第 00 頁 A B C 牛三 : F F -F 碰撞期間,
精選題庫 & 解析 4 隨時切線加速度和法線加速度均不為零 (D) 隨時都有法線加速度, 但切線加速度有時為零 () 隨時 都有切線加速度, 但法線加速度有時為零 8. 如附圖示為一行星繞恆星作橢圓運動, 行星經過圖上哪一點時所受的萬有引力最小? () (B) B (C) C (D) D () 9.
40 精選題庫 & 解析 第 7 章萬有引力 7- 萬有引力定律 ( 試題 ) 單一選擇題. 設地球的半徑為 e, 則距地心為 e 與距地表高度為 處相同的兩物, 其重量比為何? (): (B) : (C) 4:9 (D) : () 9:6 e. 甲星球質量為乙星球質量的 6 倍, 兩者連心線長為 a, 現有一火箭恰運行至此連心線上距離甲星球中心 b 時, 兩星球對火箭之引力和恰為零, 則 a 為
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第一章直線運動 1-1 時間 補充習題編授 :Jim 1. 一物體每分鐘振動 600 次, 則 1 其振動的頻率? 10 Hz;2 其週期 0.1 秒 2. 做單擺實驗時, 因空氣阻力使單擺的擺角愈擺愈小, 此時 : 1 單擺擺動的頻率變化如何? 不變 2 單擺擺動的週期變化如何? 不變 3. 怡晴 怡欣 怡汝三人各用長 100 公分之繩子作單擺實驗, 其所用之擺錘質量各重 20 克 30 克 40
縣 94 學年度 上 學期 區 國民中學 Q 年級 R 領域教學計畫表 設計者：
高雄市立茄萣國中國中 103 學年度第一學期八年級 英文補救教學彈性學習課程計畫表 一 教材來源 : 二 教學節數 : 每週 (1) 節, 學期共 ( 20 ) 節 三 各單元內涵分析 : 週次 第一週 第二週 第三週 第四週 9/1 9/5 9/8 9/12 9/15 9/19 9/22 9/26 Lesson1 ( 一 ) Lesson1 ( 一 ) Lesson2 ( 二 ) Lesson2
CO 2 以鄰為壑的台灣建築產業
6 20114460台灣綠建築政策的成就 台灣的建築產業消耗了大量的水泥, 也排放了很多的營建廢棄物, 建築物的壽命卻嚴重偏低 建築的環保時代已來臨 1992 199212United Nations Commission on Sustainable Development, UNCSD1998 1996 CO 2 以鄰為壑的台灣建築產業 27.22 34 1 6 20114460 7 8 201144604
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第 3 章 孵 化 技 术 本 章 按 照 种 蛋 孵 化 的 程 序, 介 绍 了 蛋 的 构 造 与 形 成 种 蛋 的 管 理 家 禽 的 胚 胎 发 育 人 工 孵 化 的 条 件 和 控 制 孵 化 机 的 构 造 与 管 理 孵 化 效 果 的 检 查 与 分 析 以 及 初 生 雏 的 处 理 等 内 容 对 种 蛋 的 选 择 与 消 毒 孵 化 条 件 的 标 准 与 控 制 孵
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1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 8 15 9 10 11 12 13 16 14 17 18 19 20 21 22 15 23 2.3 不同的分析角度 以上種種對影響健康因素的分析 其實來自不同的學說和理論 它們從不同角度分析 健康 建立對健康及影響健康因素的不同理解 這些角度包括 1 生物 2 社 會 3 心理 4 靈性 5 生態及
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第 章 曲線運動 重點整理. 角位移 (θ ): 物體作圓周運動, 繞圓心所經過的角度. 角速度 (ω ): 單位時間內, 物體沿圓周運動角位移的變化量, 其單位為弧度 / 秒 或 rpm rps 等 θ π N ω = = t 3. 角加速度 (α ): 物體在單位時間內角速度的變化量, 單位為弧度 / 秒 4. 等角加速圓周運動 :α 為定值, 其三個運動公式為 ω = ω + at θ = ωt+