CH 1 直線運動 § 1-1 位移

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1 (1) 位置向量 : (a) 參考點 ( 原點 ): 相對於參考點的距離和方向, 以定出物體位置 不同的參考點, 物體位置表示結果不同, 但並不改變物體的真實位置 (b) 表示法 : 物體和原點的距離再加上方向符號, 原點右方為 +, 在原點左方為 - () 路徑與位移 : (a) 位移 : 質點位置的變化量 ( 向量 ) S =Δ x = xf ( 末位置 ) x( i 初位置 ) 位移以正負來表示物體移動的方向 (b) 路徑長 : 質點移動的軌跡長度 ( 純量 ) 位移 : 路徑長 : When Δt 0 : (1) 速度 (a) 平均速度 : x x1 Δx 1) 意義 : 一段時間內, 單位時間內 ( 每秒 ) 的位移 v = = ( 速度方向 = 位移方向 ) (m/s) t t1 Δt )x-t 圖中割線段 AB 的斜率為平均速度 (b) 瞬時速度 : 1) 定義 : Δt 0 時的平均速度, 稱為瞬時速度 ( 又簡稱為速度 ) x x1 Δx dx ) 公式 : v = lim = lim ( 速度方向 = 位移方向 ) t t1 t t 0 t Δ 1 Δt dt 3)x-t 圖中在 t 1時刻的切線斜率為瞬時速度 Ch1 直線運動 -1-

2 實例 : 某質點運動之 x-t 關係函數為 x() t = t t, 如右圖示 (1) t=1~3 的平均速度? () t=3 的瞬時速率為何? 方法一 : x(3 +Δt) x(3) 由定義 v = lim = Δ t 0 Δt 方法二 : 微分 () 速率 : (a) 平均速率 : 在一段時間內, 單位時間所走的路徑長 平均速率 v = 路徑長 經過時間 Δt (b) 瞬時速率 : 為 Δt 0 的平均速率 瞬時速率大小和瞬時速度相同, 但瞬時速率沒有方向 (3) 等速度運動 : (a) 速度的大小 方向均維持不變 ; 其軌跡為直線 (b) 任一時刻的瞬時速度等於任一時段的平均速度 (c) 等速度運動圖形 : 1) x t 圖 : 圖形直線斜率等於速度 ) v t圖 : 曲線與時間軸所包圍的面積等於物體所經的位移

3 某人上山速率為 6km/hr, 下山速率為 1km/hr, 則其往返一趟之平均速度與平均速率各為若干? Ans:8km/hr;0 km/hr 某運動體之 x-t 圖如右, 則 : (1) 第 6 秒末之位置為 () 第 6 秒內之位移為 (3)6 秒內之位移為 (4) 該物體速度為 (5) t=10 秒時, 物體位置為何? Ans:(1)+1m;()+3m;(3)+18m/s;(4)+3:(5)4 一物體的位置 時間關係式為 x() t = t t+ 5,x:m,t:sec, 求 : (1) 初速? () 秒時的速度和加速度? (3) 何時速度為零? 此時的位置? 位移? (4)0~3 秒的平均速率? (5)0~3 秒的平均速度? Ans:(1)-m/s ()m/s,m/s (3)1s,4m,-1m (4)5/3 m/s (5)1m/s 1. 某人開車自甲鎮先到位於其西方 km 之乙鎮, 再折回至位於甲鎮東方 6km 之丙鎮共經 1/4 小時, 在此時間內, 求 (1) 平均速率?() 平均速度?Ans:40km/hr;4km/hr 向東. 一物體在直線上運動之 x-t 函數關係為 x() t = + 4t t,x 之單位為米,t 之單位為秒, 求此物體前 4 秒內之平均速率為?Ans: 3 3. 物體作直線運動, 其位置對時間的關係可表為 x() t = t + t 3t+ 4(m,sec), 則 Ans: BCDC (1) 物體在第 1 秒末至的 3 秒末之平均速度為 (A)0 (B)18 (C)16 (D)14 (E)10 m/s () 物體在第 3 秒末之瞬時速度為 (A)18 (B)4 (C)36 (D)48 (E)54 m/s (3) 物體在第 1 秒末至的 3 秒末之平均加速度為 (A)0 (B)18 (C)17 (D)16 (E)1 m/s (4) 物體在第 3 秒之瞬時加速度為 (A)0 (B)18 (C) (D)16 (E)4 m/s Ch1 直線運動 -3-

4 (1) 意義 : 描述物體速度變化的狀況 () 平均加速度 : v v1 Δv (a) 單位時間內物體的速度變化量, a = = ( 物體在 t1 t時間內, 速度 v1 v )( a 和 Δv 同 t t1 Δt 向 ) (b) 圖形意義 :v-t 圖中, 割線斜率為平均加速度 (3) 瞬時加速度 : (a) 意義 : 若平均加速度的 Δ t 極小, 則此平均加速度稱為瞬時加速度 v v1 Δv dv (b) 數學公式 : a = lim = lim t t1 t t 0 t Δ 1 Δt dt (c) 圖形意義 :v-t 圖,C 點的切線斜率為瞬時加速度 (4) 等加速度運動 (a) 單位時間內的速度變化量相同 任一時刻瞬時加速度 = 任一時段的平均加速度 ( v t圖中斜率為定值 ) (b) 等加速直線運動的四種 v t圖 (c) 綜合 : (5) 圖形意義 : (a) v t圖 : 圖形斜率等於加速度, 曲線下面積等於位移 4

5 (b) a t 圖 : 曲線下面積等於速度變化量 (6) 速度與加速度的關係 (a) 加速度和運動方向平行 : 速度快慢變化 運動軌跡為 - 直線 a 與 v 同向 運動速率變快 推力 a 與 v 反向 運動速率變慢 阻力 (b) 加速度和運動方向垂直 : 速度方向變化 運動軌跡為拋物線 右圖表某物體在直線上運動之 v-t 圖, 試求 : (1)7 秒內之平均速度 () 前 7 秒內之平均速率 (3) 前 7 秒內之平均加速度 (4) 第 5 秒末之加速度 (5) 正向最大位移 Ans:(1) () (3) (4) (5) Ch1 直線運動 -5-

6 右圖為某質點作直線運動之 v t圖 若初位置 x0 = 10m, 則 : (1) t = 4s時之位置為何? () 何時通過原點? 何時正向位置最大? Ans:(1)+50 () + 3秒,18 秒 初速為 +m/s, 由原點出發的運動質點, 其 a-t 圖如下圖所示, 於圖示範圍內, 試求質點 : (1) 距原點的最遠距離為 m () 前 5 秒內的平均加速度為 ms Ans:(1)101;() 沿正向作直線運動之物體, 其 a t圖如圖所示, 求 : (1) 此物之速度隨時間變快或變慢? ()4 秒末之瞬時加速度為何? (3) 若初速度為 0, 則 4 秒末之瞬時速度為何? Ans:(1) 變快 ()+5 (3)30m/s 6

7 下列四圖分別表示甲 乙 丙 丁四個物體運動時, 位置或速度與時間的關係, 哪兩個物體有相同的運動型態? (A) 甲丙 (B) 乙丙 (C) 甲丁 (D) 乙丁 Ans:B 1. 直線上作運動物體之 v t (1)1 秒後與出發點相距若干? ()1 秒內所行之總路程為何? (3)1 秒內與出發點相距最遠是何時? Ans:(1)50 ()8 (3)8 秒 圖如下圖所示, 求 :. 有一物體在水平面上運動, 其 v t圖如下 : (1) t=30 秒瞬間速度為何? () 0~30 秒平均速度為何? (3) 0~30 秒平均速率為何? (4) 0~15 秒平均加速度 =? (5) 10~15 秒平均加速度 =? (6) 物體在何時有向右的最大位移為何? 35 Ans:(1)-10 () (3) (4) 4 3 (5) (6) 5 3. 左下圖為直線運動體的 a t圖, 若 t=0 時, 物體在原點, 初速為 10m/s, 求 : (1) 何時速度最大? 最大速度若干? () t=0~10 內, 何時位移最大? (3)0~4 秒內及 0~10 秒內平均加速度各若干? Ans:(1)t=4 v=18m/s ()10s (3) ms ; 1m s Ch1 直線運動 -7-

8 4. 停在十字路口之 B 車, 當綠燈亮時, 加速前進, 同時另一 A 車以一定速度穿過十字路口, 其 v t圖如右, 則 : (1)B 車最初加速度為若干 ms? () 何時兩車速率相等? (3) 何時 B 車趕上 A 車? (4) 兩車速率相等時, 兩車相距多遠? (5)B 車趕上 A 車時, 離十字路口多遠? Ans:(1)0.15 ms ()40s (3)90s (4)10m (5)540m 5. 一人自靜止開始運動, 其加速度對時間之關係如右圖, 則此人離出發點最遠之距離為 (A)10m (B)0m (C)30m (D)40m (E)50m 84 臺北區模擬考 Ans: (B) 8

9 物體初速 v 0, 加速度 a, 啟動經 t 秒 (1) 由斜率 : v t圖斜率 () 由面積 : v t圖曲線面積 y( x) = ax + bx+ c x() t (3) 將 (1) 代入 () 可得 : (4) 0秒 t秒的平均速度 : S v + v v = = t 1 (5) 物體由靜止作等加速度運動 (a)1 秒內的位移 : 秒內的位移 :3 秒內的位移 : =1:4:9:. (b) 第一秒內的位移 : 第二秒內的位移 : 第三秒內的位移 : =1:3:5: (c) 前半時距與後半時距位移的比若干? 1:3 (d) 其前半程與後半程之時距的比若干? 1:( 1) Ch1 直線運動 -9-

10 某物體沿直線作等加速度運動, 經過原點時開始計時, 此時物體之速度為 10m/s 向右,l0 秒後物體位置在原點左方 100m 處, 試求 (1) 物體之加速度,() 物體向正方向之最大位移,(3) 第 3 秒內之平均速度,(4) 物體在 8m 處時之速度,(5) 前 10 秒內之平均速度 Ans: (1)-4 ()1.5 (3)0 (4) ± 6 (5)-10 已知運動之位置與時間函數為 x = t 4t+ 3,x 以公尺為單位,t 以秒為單位, 則 (1) 初位置? () 初速? (3) 何時離原點最近? 其距離若干? (4) 由 0 秒至 4 秒物體之平均速度及平均速率各若干? (5) 第 5 秒末之加速度為何? (1)3m ()-4m/s (3)1sec (4)4m/s,5m/s (5)4 ms 某人測量一物體之運動, 得到如下數據 求 (1)x(t) 與 v(t) xt () = t + t+ 10; vt () = 4t+ t( 秒 ) x( 公尺 ) 某物體作等加速度運動, 第 6 秒內, 第 9 秒內位移分別為 30m 4m, 則加速度與初速各若干? (1)4 ()8 一質點作等加速度直線運動, 過 A 點時速度為 15 米 / 秒, 再經 6 秒通過 B 點,A B 相距 180 米 試求 :(1) 通過 B 點時之速度 ;() 加速度 ;(3) 通過 A 點後 3 秒之速度及位置 (1)45 ms ()5 ms (3)30 ms;67.5m 10

11 列車沿直線自甲站開往乙站, 最初四分之一的行程係作等加速度行駛, 最後的四分之一則作等減速行駛, 其他 為等速行駛, 則列車之平均速度為等速時的 (A) (B) (C) (D) (E)1 倍 Ans:(B) : 如右圖示 : 將其運動分為 3 段, 其中 a 1 = v v,a = t 1 t S 1 S 且 = t1.v, =v.t 4 S v = t 1 +t = S = v S S 3 + v v 一物體作直線運動 先以 4 m s 的等加速度從靜止開始運動, 接著以 - m s 的等加速度運動直到停止 若運動的總距離為 150 公尺 則此物體運動所需時間為 (A)5 秒 (B)10 秒 (C)15 秒 (D)0 秒 (E)5 秒 83 日大 (C) 1. 作等加速度直線運動的質點, 若於第 5 秒內與第 9 秒內的位移分別為 6m 及 -m, 則 (A) 初速度為 6m/s(B) 加速度為 - ms (C) 第 6 秒內的位移為 17m (D) 最初 6 秒內位移為 54m (E) 第 4 秒末至第 8 秒末期間內的平均速度值為 3m/s Ans: BDE. 汽車行車速度為 v 0 公尺 / 秒, 若希望在開始煞車後再行 d 公尺即停止, 問此汽車的加速度若干? 停車需 v0 時多久? Ans: d ; d v0 3. 某質點沿直線作等加速度運動, 通過線上 A 點時的速度為 V, 通過線上另一點 B 時的速度為 3V, 則該 質點通過 AB 中點時的速度為若干?(A) V (B) 3 V (C)V (D) 5V (E) 7 V [88 臺北區聯合 模擬考 ] Ch1 直線運動 -11-

12 4. 長 L 之火車在平直軌道上等加速度行駛, 其前端通過車站某一點時, 速率為 u, 後端通過時速率為 v, 求 : (1) 火車中點通過該點時速率 () 距車頭 L/3 之點通過該點之速率 (3) 首尾通過車站某一點需時若干 Ans:(1) v + u ;() v + u 3 ;(3) L u+ v 5. 一質點作等加速度直線運動, 每隔時間 t 照一次像, 在照片中發現某相鄰兩像間之距離為 d 1, 次兩像間距離為 d, 則此質點之加速度為何? ( d d1) Ans: t 6. 一物自靜止起作等加速度運動, 第 n 秒內之位移為第 ( n 1) 秒內的 p 倍, 則 n = (A) 3 p 1 p p p 1 1 3p (C) (D) (E) Ans: (B) 3(1 + p) + 3p (1 p) (B) 1 3 p (1 p) 1 7. 某人以等加速 ( 靜止起 ) 走 4 速度之比為何?Ans: 11:8 1 行程後改等速走, 最後行程改為等減速度至停止, 則其最大速度與平均 8 8. A B 二車同時由甲站出發, 沿直線軌道進行, 同時刻到達乙站 若 A 車以 a 作等加速度運動一段時間後, 再以 3a 作等減速度運動到乙站而停止 而 B 車則一直作等加速度運動, 則 B 車之加速度量值為 (A)a/4 (B)3a/4 (C)5a/4 (D)a/ (E)a 85 臺北區模擬考 Ans: (B) 9. 一質點自靜止開始作直線運動, 最初以加速度 a 行進, 每行走一段位移 S 後加速度增加 a, 則前進 ns 位移後的末速度為?( 每段 S 內皆作等加速運動 )Ans: : nn ( + 1) as 1

13 (1) 物體靜止自由落下,g=9.8 ms () 自由落體的 x-t 圖 v-t 圖 a-t 圖 自由落體基本某物體自 15m 高處落下, 求 :(1) 著地速度?() 著地時間?(3) 從出發到著地, 每秒所落下的距離為何? (g=10 ms ) Ans: (1)50 ms ()5s (3)5m,15m,5m,35m,45m.. 高度差為 14.7 米之甲球與乙球, 同時自由落下, 則甲球比乙球遲一秒鐘著地, 甲球原來之高度為 (A)39. 米 (B)34.3 米 (C)9.4 米 (D)4.5 米 (E)19.6 米 Ans: (E) Ch1 直線運動 -13-

14 (1) 上升過程與下降過程 : (a) 上升過程 : 加速度和運動方向相反 ; 速度大小變慢 (b) 下降過程 : 加速度和運動方向相同 ; 速度大小增加 (c) 最高點時速度 =0 () 運動的對稱性 : 以 v 0 拋出之物體 (3) 實例 : 物體以初速 v 0 =30m/s 於地面向上拋出 14

15 向上拋體基本 將某物在 80m 深的懸崖邊以初速 30m/s 向上拋出,(g=10 ms ), 問 :(1) 何時達最大高度? 最大高度為何?() 拋出後又回到相同高度的時間? (3) 物體最後落在谷底, 從拋出到谷底共費時多少? 著地時速度? (4) 物體拋出後在崖邊 5 公尺高時費時多少? 此時速度為何? Ans: (1) 3s,45m ()6s (3)8m,-50m/s (4)1 秒或 5 秒,±0m/s 運動的對稱性由地面鉛直上拋一物, 若不計空氣阻力, 而於拋出後 秒與 4 秒時, 此物體高度相同則 :(1) 所能到達的 最大高度 () 第 5 秒末的高度 (3) 拋射時初速 (4) 前 5 秒內平均速度 (5) 前 5 秒內平均速率 (g=9.8 ms ) Ans: (1)44.1 ()4.5 (3)9.4 (4)4.9 (5)1.74 自地面鉛直上拋一物, 到達高度 h 時, 速度減半, 則此物可達最大高度為何? Ans: 4 3 h 氣球以 1m/s 的等速率上升, 有一包裹墜落時, 此時氣球之高度為 3m; 若包裹離開氣球後氣球使以 ms 之加速度上升,(1) 包裹脫離時速度?() 包裹從脫落到著地共費時?(3) 當包裹著地時氣球之高度 為何?(g= 10m s ) Ans:(1)1m/s ()4 秒 (3)96m 物體以初速 v 被垂直上拋 ; 設重力加速度為 g, 則自拋出上升到其最大高度的一半處, 所需時間為 : v (A) g (B) v 1 v 1 v 1 v 1 (1 ) (C) (1 ) (D) (E) 87 日大 g g 3 g 3 g Ans: (B) Ch1 直線運動 -15-

16 1. 自地面鉛直上拋一球, 當其兩次通過 14.7 公尺高處時, 其時間間隔為 秒, 則球所能達之最大高度為何?Ans: 19.6 公尺. 從高度 80 公尺的塔頂上, 一某速度鉛直向上拋射一物體, 落回地面時的速度大小為拋出時的 3 倍, 若不計空氣 阻力, 則試求 :(g=10 ms ) (1) 初速度 () 最大高度 (3) 飛行時間 (4) 飛行的總路徑長為何? Ans: (1)10 ms ()90m (3) 4 sec (4)60 公尺 3. 一物體自地面鉛直上拋, 當其通過離地面 40m 高之塔頂時, 二次時間間隔為 sec, 則此物體上升的最大高度為 m, 初速度為 m/s (g= 10m s )Ans:45,30 4. 在高樓上, 鉛直上拋一物, 經 5 秒著地, 以相同速度下拋, 經 3 秒著地, 求 :(1) 樓高?() 拋出速率? Ans: (1)80m ()10m/s 5. 汽球上帶著一小石子, 自地面以 ms 的加速度上升, 當高度為 100m 時自由釋放小石子墜落,(g=10m s ), 則此小石子自釋放至著地需 (A)6.9 (B)6.0 (C)4.8 (D)5.5 (E)8.4s Ans: (A) 16

17 (1) 意義 : 不同觀察者觀察某物體的運動狀態, 會因為觀察者本身的運動狀態不同, 導致觀察結果不同 () 相對位置 :A 相對 B = A 相對 O - B 相對 O 另一種說法 :A 看 C = A 看 B + B 看 C (3) 相對速度 (4) 相對加速度 在一直線的高速公路上, 有甲 乙兩車正以等速度行駛 甲車的速度為 80 公里 / 時, 乙車落在甲車之後 5 公里處, 正以 90 公里 / 時的速度追趕甲車, 試求乙車何時可追上甲車? 0.5hr Ch1 直線運動 -17-

18 A 車在 B 車之前,A B 兩車同向行駛,A 車上之人見 B 車以 v 之速度後退, 當 A 車車速減為 3 倍時, 則見 B 車以 v 6 靠近, 則原來兩車之速率各為何? 7 5 va = v, vb = v 一家百貨公司的電扶梯全長為 15 米, 正以 1 米 / 秒的速度運行, 由一樓升至二樓 (1) 某甲由一樓地面跨上電扶梯後, 即以 米 / 秒相對於梯面的速度在扶梯上快走, 如右圖 (a) 所示, 則此人從一樓升至二樓需經多少時間? () 某乙欲從二樓下至一樓, 卻誤走人上升中的電扶梯, 假設他以 米 / 秒相對於梯面的速度在扶梯上快步往下走, 如右圖 (b) 所示, 則此人從二樓下至一樓需經多少時間? (1)5 秒 ()15 秒 空中相遇 A 物體在高 80 米處自由落下, 同時將 B 物體自地面以 40m/s 初速鉛直向上拋出, 求 : (1) 兩物體相遇時間?() 相遇高度?(3) 相遇時 B 的速度? (1)s ()60m (3)0m/s 不計空氣阻力, 自屋頂以 49m/s 鉛直向上拋出一物體 A,A 被拋出 1 秒後, 在原處以相同初速鉛直拋出另一物體 B, 則 B 被拋出 秒後 A B 在空中相遇, 此時高度 公尺 [81 臺北區模擬考 ] 18

19 相對運動 電梯以. m s 之加速度上升, 當向上速度為 m s 時, 一鬆脫之螺栓從電梯內 6 公尺高的天花板上落下 則 :(1) 螺栓從天花板落至地板需時幾秒? (g=9.8 ms )() 承 (1) 對地面的觀察者而言, 螺栓從脫落至著地共位移幾公尺? Ans:(1)1 秒 ()-.9 米 1. 某物自高 H 的天花板自由落到正以 a 加速上升的升降機地板上, 共歷時若干?( 設地表之重力加速度為 g) Ans: H g+ a. 一石子自高 h 的懸崖頂自由落下, 在此同時自崖底鉛直向上拋出一球, 若球與石子相遇處距崖頂 h/, 若不考慮空氣浮力與阻力, 則相遇時球的情況為何 :(A) 仍在上升 (B) 已在下降 (C) 應呈靜止 (D) 加速度為零 (E) 可能上升, 可能下降, 視球之初速而定 88 臺北區聯合模擬考 Ans: C 3h 3. 在高 h 處自由落下 A 石, 同時自地面以 v 0 初速鉛直向上拋出 B 石, 二石相遇在空中處, 則 : 則 : 4 (1)B 石上拋初速 v 0 為若干?() 二石出發後至相遇歷時多久?(3) 二石相遇時,B 石之瞬時速度為何? Ans: (1) gh () h g (3) gh 4. 將兩質點 A B 同時從塔頂, 以相同的初速 v 0 拋出,A 被垂直上拋,B 被垂直下拋, 則在 t 時間後 ( t 小於 B 著地所須時間 ),A B 兩質點間的距離為何?Ans: v 0 t 79 日大 Ch1 直線運動 -19-

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12345678901234567890123456789012345678 74 第 5 章直線運動 第 5 章直線運動 一 自我評量 一 選擇題 題前標註 *, 表示重要且常考的題目 5-1 運動的種類 ( A )1. 作等速運動的物體, 下列何者正確? (A) 必沿直線進行 (B) 必沿曲線進行 (C) 必沿圓周進行 (D) 可沿直線或曲線進行 ( D ). 速度與時間之關係如圖 (1) 所示, 則其為 (A) 等加速度運動 (B) 變形之等速運動 (C) 等加速度運動及等減速度運動

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