b. 二維空間 : 笛卡兒直角坐標系 ( 平面直角坐標系 ) 如右圖所示,C 點的位置記做 (+3,+) 除了直線坐標與直角坐標系外, 在日常生活中極坐標 (polar coordinates) 及球面坐標也常被使用 () 位置向量 : 亦可用一箭號來表示物體位置的方法, 稱為位置向量 (posit

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衩德扶
5 years ago
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1 物體的位置 1. 當物體的位置隨時間而改變時, 則稱此物體在運動要描述物體的運動, 首先必須要能描述物體的位置 (position). 質點的意義由於一般物體皆具有體積, 故需先簡化物體成為一質點 (particle), 以降低問題的複雜度物理學中的質點類似數學中的點, 僅存在於空間中某處, 但不具有體積, 且為了往後進一步的分析處理, 於是賦予這個點質量 (mass) 的性質, 因此稱之為質點質點的概念使得物體位置的描述被大幅度簡化 3. 將物體視為質點, 需滿足下列條件 : (1) 若物體的體積相較於其運動範圍可以被忽略時, 則可將此物體視為質點例如 : 太空站的大小遠小於其公轉運動範圍, 可將太空站視為質點處理 () 即使物體的體積相較於其運動範圍無法被忽略, 但若物體體積對其運動狀態的描述沒有影響, 也可以視為質點來處理例如 : 懸掛在彈簧上做振盪的等質量物體, 體積對其運動狀態的描述沒有影響, 可視為質點來處理 (3) 最後即便不符合以上兩種情況, 當一個物體的各個部分以不同的方式運動, 而欲了解物體整體的運動狀態時, 亦可用質點的概念來協助了解例如 : 振動的繩波可視為由很多質點組成, 分別描述各質點的運動狀態可幫助了解波的傳遞 4. 描述物體位置的方法 (1) 坐標法 : 常用直線坐標直角坐標 (rectangular coordinates) 或稱笛卡兒坐標 (Cartesian coordinates) 來描述物體的位置描述物體的位置坐標需要三個要素 : 參考點 (reference point) 距離和方向參考點 : 通常選用明顯的目標做為參考點, 或稱為原點 (origin) 距離 : 物體到參考點的直線長度方向 : 由參考點指向物體的方向 a. 一維空間 : 直線坐標系 ( 數線 ) 一般習慣以 x 代表質點在直線上的位置, 在原點的右邊, 其坐標取正 ; 原點的左邊, 坐標取負如圖所示,A 點在原點右方 3 公分處, 記做 +3 cm B 點在原點左方公分處, 記做 - cm 需特別注意的是一旦選定正負號所代表的方向, 則在整個問題分析處理的過程中均須維持一致高二 -1

2 b. 二維空間 : 笛卡兒直角坐標系 ( 平面直角坐標系 ) 如右圖所示,C 點的位置記做 (+3,+) 除了直線坐標與直角坐標系外, 在日常生活中極坐標 (polar coordinates) 及球面坐標也常被使用 () 位置向量 : 亦可用一箭號來表示物體位置的方法, 稱為位置向量 (position vector), 簡稱為位置, 一般記作 x 或 r 如下圖所示, 物體 P 的位置向量 OP 為自原點 O 指向 P 點的箭號想一想 : 選取不同的原點, 則所得的質點位置位移及路徑長是否會不同? 位置的變化 1. 時間軸的描述想要描述物體的運動顯然還需要考慮時刻 (time) 的因素, 時間的改變是連續的, 但有時我們會用第 t 秒 t 秒內及第 t 秒內來表示某一個時刻或某一段時間, 如下圖所示. 物理量可分成純量 (scalar) 與向量 (vector) (1) 純量 : 只需用量值 ( 即大小 ) 與單位即可表示者如密度溫度及質量等 () 向量 : 除了量值與單位以外仍須標明方向者如位移速度加速度等一個向量 A 的量值常以加絕對值符號 A 表示, 有時也不加符號上方的向右小箭頭, 而以 A 表示高二 -

3. 路徑長 (path length), 常記作 Δ 物體自某一位置開始運動, 經過一段時間後移動至另一位置, 將此物體實際運動所經路徑 (path) 的總長度稱為路徑長 (path length), 常記作 Δ 由於物體運動不必然是沿著一條直線, 即便是直線也可能有往返的情形, 因此路徑長僅表示物體運動路徑的長度, 而不具有方向性, 故路徑長為純量 (scalar) 4.

3 3. 路徑長 (path length), 常記作 Δ 物體自某一位置開始運動, 經過一段時間後移動至另一位置, 將此物體實際運動所經路徑 (path) 的總長度稱為路徑長 (path length), 常記作 Δ 由於物體運動不必然是沿著一條直線, 即便是直線也可能有往返的情形, 因此路徑長僅表示物體運動路徑的長度, 而不具有方向性, 故路徑長為純量 (scalar) 4. 位移 (displacement), 常記作 x 由於物體的運動路徑可能有彎曲或是往復的現象, 因此除了用路徑描述物體的運動外, 另外定義一個物理量位移 (displacement) x 來描述物體的位置變化, 位移僅與物體運動的起迄位置有關, 其定義為 x = x f - x i 亦即用物體末位置 x f 與初位置 x i 的差值來表示物體的位移, 而位移方向則由起點指向終點, 與物體運動的過程無關與路徑長不同的是, 位移是一個向量, 在一維笛卡兒坐標中表示其結果時還包含正負號, 以表示物體位置變化的方向 Δ x >0 表示往正方向移動, 若 Δ x <0 表示往負方向移動另外位移的量值不一定會等於路徑長, 事實上只有在物體做直線運動並且沒有發生折返現象時, 其路徑長與位移量值才會相等, 否則路徑長必定大於位移量值 5. 位置函數 x (t) 和 x-t 圖為了描述物體的運動狀況, 須記錄下物體在不同時刻 (t) 的位置 (x) 如下表 t(s) x(cm) t(s) x(cm) t(s) x(cm) t(s) x(cm) t(s) x(cm) 然而物體的運動是連續性的, 上表這種描述方式顯現不出物體位置的連續性變化, 也不容易看出其運動的趨勢, 故可改用 x 和 t 的函數 x (t) (x: 公尺,t: 秒 ) 來描述物體運動, 只要代入某個 t, 就可知此瞬間物體在哪個位置高二 -3

4 亦可由其關係圖 x-t 圖來表達物體的運動狀況, 即是將上表的點標示於坐標中, 再將其連成 x-t 圖 x-t 圖不只可以清楚描述物體在不同時刻的位置, 甚至可以進一步獲得速度對時間的關係注意!x-t 圖並不是物體真正的運動軌跡! 如右圖, 為一物體運動的位置與時間關係圖 x-t 圖, 雖然圖形看起來高低起伏, 但物體的運動軌跡仍然在一條直線 (x 軸 ) 上, 只是快慢及方向不固定, 忽而向 +x 軸運動忽而向 -x 軸運動變化量 Δ: Δ 是一個大寫的希臘字母, 讀作 delta, 在物理上常用來表示某物理量的變化例如 : x 表示位置的變化 ( 即位移 = 末位置減初位置 ) t 表示時刻的變化 ( 即時間間隔 = 末時刻減初時刻 ) 想一想 : 在何種情況下, 一運動中的質點, 其位移量值會和路徑長相等? 例題 1: 如圖所示, 先將彈跳小紅馬拉至最低點 A, 放開後彈跳小紅馬將上下振盪, 且振盪最高點為 C 若是將最上端的懸掛點定為坐標原點, 並且將彈跳小紅馬於不同時刻所在的位置標示在圖上 (1) 彈跳小紅馬在 t=0.90 秒的位置向量 () 彈跳小紅馬在 0.90 秒內的位移 (3) 彈跳小紅馬在 0.90 秒內移動的路徑長速度與速率 1. 探討物體的運動, 當然不能忽略物體在運動過程中有移動快慢的差異描述物體的移動快慢可以選定一段時間 Δt, 觀察其路徑長 Δ 或位移 Δx, 並分別定義平均速率 (average speed)v s,av :v s,av = 平均速度 (average velocity) v av : v av = 平均速率與平均速度的國際單位制單位均為公尺 / 秒 (m/s), 都可以用來描述物體在單位時間內的移動狀況, 但平均速度繼承位移的方向性, 也是一個向量, 而平均速率則僅是一個純量高二 -4

5 . 平均速度及平均速率的概念是透過測量或計算一段時間的位移或路徑長來獲得, 但運動中的物體應該每一瞬間都具有運動速度及速率, 而不是運動了一段時間之後才得以量測或計算一個平均速度平均速率理論上, 只要將計算平均速度的時間間隔取得極短 ( 理論上要短到趨近於零 ), 所得到的便是瞬時速度 (instantaneous velocity) 瞬時速率 (instantaneous speed), 瞬時速度與瞬時速率可更清楚地反映物體運動時每一瞬間的運動快慢, 使得描述物體運動時更加精準而詳細定義瞬時速率 (instantaneous speed) v s :v s = 瞬時速度 (instantaneous velocity) v : v = 3. 路徑長與位移量值不一定相等, 因此平均速率與平均速度的量值也不一定相等, 只有當物體在做直線運動且沒有發生折返現象時, 其路徑長與位移量值才會相等, 否則路徑長必定大於位移量值, 因此平均速率必定大於或等於平均速度的量值然而在時間間隔非常短的情況下, 直觀上可將物體的運動視為沒有發生折返的直線運動, 因此瞬時速率必定等於瞬時速度的量值例 : 承例 1, 計算彈跳小紅馬在 0.90 秒內的平均速度與平均速率速度的變化與加速度 1. 隨著物體的運動, 會改變的物理量不只是物體的位置, 速度也可能發生變化為了描述物體速度的變化, 模仿速度的定義方式, 選定一段時間 Δt 觀察其速度變化 Δ v, 並定義平均加速度 (mean acceleration): a av= 比照瞬時速度的定義方式, 若將計算平均加速度的時間間隔取得極短 ( 理論上要短到趨近於零 ), 所得到的便是瞬時加速度 (instantaneous acceleration), 一般所講的加速度 (acceleration) 指的就是瞬時加速度, 可寫成 a = 從以上公式可以看出平均加速度與瞬時加速度都是向量, 用來描述物體在單位時間內的速度變化, 且其國際單位制的單位均為公尺 / 秒 (m/s ) 高二 -5

6 . 加速度的方向不一定與速度的方向相同與速度相同方向的加速度會使速度量值增加 ( 變快 ), 即在直線運動中 a 與 v 同號 (a v 皆為正或皆為負 ), 則物體速率正在變快與速度相反方向的加速度會使速度量值減少 ( 變慢 ), 即在直線運動中 a 與 v 符號相反 (a 正 v 負或 a 負 v 正 ), 則物體速率正在變慢 3. 若速度方向與加速度不平行, 加速度不僅會造成速度的量值的改變, 甚至連速度的方向也受到影響想一想 : 1. 當一物體的速度為零時, 其加速度是否也為零? 試舉例說明. 當一物體的加速度為零時, 其速度是否也為零? 試舉例說明例 3: 承例 1, 在彈跳小紅馬上下振盪期間, 以儀器測量其運動速度 ( 以向上方向為正值 ), 並將結果標示於圖中 (1) 彈跳小紅馬在 t=0.00 s 到 t =0.30 s 期間的平均加速度 () 彈跳小紅馬在 t=0.30 s 到 t =0.60 s 期間的平均加速度 (3) 彈跳小紅馬在 t=0.60 s 到 t =0.90 s 期間的平均加速度 (4) 彈跳小紅馬在 t=0.90 s 到 t =1.0 s 期間的平均加速度速度及加速度的極限求法 ( 微分 ) 若有一物體在直線上運動, 其位置 x(m) 與時間 t(s) 的關係式為 x(t)=at +Bt+C 其中 A B 及 C 均為常數我們如何求出速度和加速度呢? 按照瞬時速度的定義,v= lim Δt 0 Δx Δt 亦可寫成高二 -6 d x d t, 稱為 x 對 t 的微分, 亦即位置

7 對時間的變化率, 就是瞬時速度, 式中的 Δx 為從時刻 t 到 t+δt 時間間隔內的位移, 可計算如下 : Δx=x(t+Δt)-x(t) = A(t+Δt) +B(t+Δt)+C - At +Bt+C =AtΔt+A(Δt ) +BΔt 令 Δt 趨近於零, 可得物體的瞬時速度為 Δx v= Δt 0 lim Δt = Δt 0 lim AtΔt+A(Δt) +BΔt Δt 而當時間間隔 Δt 趨近於零時, 可視 v(t)=at+b 同理可求得物體的瞬時加速度為 Δx Δt 0 lim Δx a= Δt 0 lim Δt = Δt 0 lim v(t+δt)-v(t) Δt At(t+Δt)+B - At+B = Δt 0 lim Δt =At+B+A Δt Δt 等於零, 故 = lim Δt 0 Δt 0 lim Δt AΔt Δt =A 多項式微分公式 : d d t t n =nt n-1, d d t c=0(c 為常數 ), d d t (at +bt+c)=at+b 即時練習 : 1. x (t)=t 3 +3t -4t+8, 則 v (t)= d d t (t3 +3t -4t+8)=6t +6t-4. 若 x=5, 則 v= d d t (5)= 0 例 4: 某運動質點之位置與時間之函數關係為 x=-t +4t+; 其中 x: 公尺, t: 秒且令 +x 軸為東方則請問該質點 (1) 初速度? () 第四秒瞬間速度為何? (3) 質點在第幾秒時運動方向發生改變? (4) 方向如何改變? 答 :(1) 4 m/s;() -4 m/s;(3) 第秒 ;(4) 向東變成向西等加速度直線運動一定義與特性 1. 在直線上運動的物體, 其加速度的大小及方向皆不變的運動形式稱為等加速度直線運動. 當物體做等加速度直線運動時, 物體的平均加速度等於瞬時加速度高二 -7

8 二物理量與時間的關係圖及運動公式若物體作等加速度直線運動, 設其初速度 v 0 末速度為 v 加速度為 a 位移為 S 且運動經歷的時距為 t 今令初速度的方向為正且初速度與加速度同方向, 則物體的物理量與時間的關係圖及運動公式分析如下 : 1. a t 圖 (1) 等加速度運動的 a t 圖為水平線的形式 () a t 圖底下的面積為物體的速度變化量. v t 圖 0 (1) 等加速度運動的 v t 圖為斜直線的形式 () 斜直線的斜率等於物體的加速度 (3) 末速度的公式 v v0 at (4) v t 圖底下的面積為物體的位移 v v0 1 (5) 位移的公式 S t S v0t at 0 (6) 末速度的公式 v v as 0 3. x t 圖 (1) 等加速度運動的 x t 圖為拋物線的形式 ( 右圖以物體初位置為座標原點 ) 0 自由落體運動一定義物體僅受星球引力作用, 不受任何阻力影響, 自空中落下的運動稱為自由落體運動不論物體起初是向上拋向下丟或是自靜止下落, 一旦被釋放後, 都屬於自由落體運動二運動特性 1. 在地表附近, 無論物體的質量及體積, 做自由落體運動時, 物體的加速度均為定值, 故此運動為等加速度運動. 重力加速度量值的符號以 g 表示, 其值通常取 9.8m / s, 有時為了計算方便起見, 會取為 10m / s 3. 若處理的題目為單純以符號運算的題目, 則重力加速度只要以 g 表示即可, 不需要代入數值, 若題目是以數值來計算, 若無特別聲明, 則重力加速度需代入 9.8m / s, 若有特別聲明, 才可代入 10m / s 三各種自由落體運動高二 -8

9 1. 自高空靜止釋放的自由落體運動將物體自地面上方某處由靜止狀態釋放, 若取方向向上為正, 則物體初速度 v0 0, 加速度 a g, 將這些條件代入等加速度運動公式中可得 1 v gt; S gt ; v gs 利用上述三式可在已知時間的情況下求得物體瞬時速度或位移, 或是在已知位移的情況下求得物體的瞬時速度或運動經歷的時間. 鉛直向上拋的運動 ( 鉛直上拋 ) 將物體自地面上方某處由以初速度 v 0 鉛直上拋, 若取方向向上為正, 則物體加速度 a g, 將這些條件代入等加速度運動公式中可得 1 v v0 gt; S v0t gt ; v v0 gs 利用上述三式可在已知時間的情況下求得物體瞬時速度或位移, 或是在已知位移的情況下求得物體的瞬時速度或運動經歷的時間鉛直上拋運動具有以下兩個對稱性 : (1) 物體會經過某高度兩次, 這兩次的速度大小相等方向相反 () 從某處運動至最高點的時距等於由最高點落至該處的時距一維空間的相對運動當觀察者改變時, 所有與運動學有關的物理量都會隨之改變, 此乃運動的相對性一相對位置 : x AB x A x B 設 A 之位置座標 x A,B 之位置座標 x B, 則 A 相對於 B 之位置 ( 由 B 的眼光看 A 的位置 ) 等於 A 之位置座標減去 B 之位置座標二相對位移 : x AB x A x B 設 A 之初位置 x A, 末位置 x A;B 之初位置 x B, 末位置 x B, 則 A 相對於 B 之位移 (B 看到 A 之位移 ) 為 A 的位移減去 B 的位移三相對速度 : v AB v A v B 1.A 相對於 B 之速度 ( 由 B 看 A 的速度 ) 等於 A 的速度減去 B 的速度.A 相對於 B 的速度, 與 B 相對於 A 的速度恰好量值相等, 方向相反 vab v BA 3. 若有第三觀察者 C, 則 A 相對於 B 的速度與第三者 C 的關係為 (1) v AB v AC v BC () v AB v AC v CB ( 相對速度的座標轉換關係 ) 四相對加速度 :a AB = a A a B 高二 -9

10 五總結 1. 被觀察者相對於觀察者的物理量 = 被觀察者的物理量 - 觀察者的物理量. 利用相對運動原理可將兩個東西同時在運動的情況轉化成只有一個東西在動的情況測量與誤差一游標尺的測量方法 1. 游標尺的構造及其應用游標尺由兩支有刻度的尺構成, 長的為主尺固定不動, 短的為副尺可相對於主尺移動, 如圖所示游標尺可用來測量一段空心圓筒的外徑內徑及深度. 副尺的刻度設計 (Ⅰ) 副尺 10 個刻度相當於主尺 9 mm 定義精密度 =0.1 mm 3. 副尺的刻度設計 (Ⅱ) 副尺 0 個刻度相當於主尺 39 mm 定義精密度 =0.05 mm 高二 -10

11 4. 游標尺的歸零修正副尺與主尺密合時, 副尺的零刻度與主尺的零刻度沒有對齊, 須做歸零修正 (1) 副尺零刻度線位於主尺零刻度線的右側, 修正量為負值 () 副尺零刻度線位於主尺零刻度線的左側, 修正量為正值二單次測量之數據紀錄與數據處理 1. 有效數字的來源 (1) 一個物理量的測量結果必須包括數值和單位兩部分 () 用以表示測量值的數值其正確表示法為 : 準確值 +1 位估計值. 有效數字的判定原則條件實例 (1) 所有非零的數字皆為有效數字位位 () 介於非零數字間的 0, 皆為有效數字位 (3) 量測值為整數時, 整數後面的 0 不加小數點時,0 不是有效數字 0 位加小數點時,0 是有效數字 0. 3 位 (4) 在純小數中, 位於數值之前的 0, 不是有效數字位 (5) 在純小數或帶小數中, 位於數值之後的 0, 都是有效數字位位 (6) 若一數用科學記號 a 10 n 表示, 則 a 皆為有效數字位 (7) 無理數三角函數等非測量所得的數字, 其有效數字皆為無窮多位 3. 有效數字的取捨有效數字經過運算後的數值必須作適當的取捨, 其方法為常用的 4 捨 5 入或下表所示的 4 捨 6 入 5 成偶 ( 逢 5 將尾數湊成偶數 ) 條件實例 (1) 要捨去部分的第一位數 4 捨去後, 前一位數不加 1(4 捨 ) () 要捨去部分的第一位數 6 捨去後, 前一位數加 1 (6 入 ) (3) 要捨去部分的第一位數 =5 只捨去一位前一位為偶數捨去後前一位數不加 1( 逢雙則捨 ) 前一位為奇數捨去後前一位數加 1( 遇奇則入 ) 不只捨去一位捨去後前一位數加高二 -11

12 4. 有效數字的運算在有效數字中, 最後一位是估計值, 因此我們可將它稱為 : 可疑數字, 而前面位數的數字均為準確值, 因此我們可將它稱為可靠數字在作有效數字的運算時, 我們只能留下一位可疑數字, 而其取捨的原則依上述 4 捨 6 入 5 成雙的方法若單位不相同時, 需化成相同單位再運算三多次測量之數據紀錄與數據處理 1. 誤差 : 誤差是指測量值與真值 ( 或準確值公認值 ) 間的偏差. 誤差的種類 : 按來源不同, 可區分為系統誤差與隨機誤差兩類 (1) 系統誤差來自儀器的校正不良引用的理論公式不正確或人為操作的習慣不當等因素造成的誤差, 稱為系統誤差系統誤差的特徵是所有的測量值都比真值偏大或偏小系統誤差無法經由多次測量的結果觀察出來, 因此實驗前對儀器的仔細校正分析實驗流程與理論間的差異, 並熟悉正確的操作方式, 是降低系統誤差的不二法門 () 隨機誤差來自一些偶然不確定的因素 ( 如不預期的振動氣流的影響測量者的個人因素等等 ) 所造成的誤差, 稱為隨機誤差隨機誤差的特徵是, 有些測量值會大於真值, 而有些則小於真值, 但當測量次數夠多時, 大於真值與小於真值之測量值的出現機率會趨於相等這個等機率的性質表示, 只要大量增加測量次數, 就能有效地降低實驗中的隨機誤差 3. 平均值與真值所在的可能範圍誤差分析的目的即在於從有限次數的測量中, 估計出真值所在的可能範圍若對同一個物理測量得 N 個數據 (x1,x,x3,,xn), 則其算術平均值為 x = 1 Σxi (1-1) N 數學上將這 N 個數據的標準差記為 s, 其定義為 : 1 N s= N-1 ( xi - x ) (1-) i=1 由統計理論可知 ( 大學以上程度的理論, 同學目前可以直接使用其結論 ), 這 N 個數據的算術平均, 會是對真值最好的估計, 而真值所在的可能範圍則由 s 給定出, 由上可看出, 若測量次數越多, 真值所在的可能範圍就越小 N 標準差所以我們將多次測量的結果寫成 : 平均值 ± 測量次數 = x ± s N 高二 -1

13 物體的位置練習題 1. 小明小華和小英站在一直線上, 已知小明在小華左邊 5 公尺處, 小華在小英右邊 10 公尺處,(1) 若以小華為數線的原點, 原點右方取正, 左方取負, 並以公尺為單位, 則小明與小英的坐標應如何表示?() 承上題, 若以小明為原點, 則小華與小英的坐標應如何表示? 兩者相對於小明的位置有一樣嗎? 答 :(1) 小明 :-5 m, 小英 :-10 m;() 小華 :+5 m, 小英 :-5 m; 不一樣位置的變化練習題 1. 已知甲乙兩物體在 x 軸上運動, 位置函數分別為 x (t)=t-6 和 x (t)=+4(x: 公尺,t: 秒 ) (1) 畫出甲乙兩物體的 x-t 圖 () 簡述物體的運動狀況並請問物體 t=0 的位置和 t=10 秒的位置 (3) 計時開始幾秒後兩物體相遇?. 如圖為甲乙丙三車位置函數與時間的關係圖, 在 t' 時間內, 下列哪些敘述是正確的? (A) 甲乙丙三車出發點皆不同 (B) 運動過程中只有甲車始終沒有往負方向運動 (C) t' 秒三車皆到達 x' 位置 (D) t' 秒時三車位置相同 (E) t' 秒內只有丙車有換方向運動 3. 物體沿兩個半徑為 R 的半圓弧由 A 到 C, 如圖一所示, 則它的位移和路徑長分別為何? 圖一圖二圖三 4. 圖二為某質點移動路線, 由 P 點出發, 經 A B C 三點回到 P 點, 則其位移量值為多少? (A) 35 (B) 18 (C) 0 (D) 4 (E) 40 cm 5. 圖三為某物體在直線上運動之 x-t 圖, 則前 9 秒內物體運動的軌跡總長度為多少? (A) 8 (B) 4 (C) 4 (D) 1 (E) 36 m 6. 一錶之秒針長.0 cm, 試問 :(1) 秒針針尖在 0 秒至 15 秒間之位移為何?() 秒針針尖在 0 秒至 30 秒間之位移為何?(3) 秒針針尖恰繞一圈之位移為何? 答案 : 1. (1) 如右圖 ;() 甲物體從原點左邊 6 公尺出發, 向著正方向運動, 初位置在 -6 m,10 秒時在 14 m 乙物體一直停留在原點右方 4 公尺處 ;(3) 5 秒時. ABE 3. 4R, 由 A C;πR 4.C 5.C 6. (1) cm, ;() 4 cm, ;(3) 0 高二 -13

14 速度與速率練習題 1. 有關速度與速率的敘述, 下列哪些正確? (A) 等速運動一定是等速率運動 (B) 等速運動一定是直線運動 (C) 等速率運動一定是等速運動 (D) 變速度運動一定是變速率運動 (E) 直線運動一定是等速運動. 某人開車以 8 m/s 的等速率直線上山, 到了山頂, 立即以 1 m/s 的等速率循原路下山回到原出發點全程的 (1) 平均速度為何?() 平均速率為何? 3. 右圖為某一物體之位置與時間圖, 試問 : (1) 前 5 秒內之平均速度為多少 m/s? () 前 10 秒內之平均速度為多少 m/s? (3) 最初 10 秒內的平均速率為多少 m/s? 4. 在一直線公路上依序有 A B C 三路標,A B 相距 km,b C 相距 3 km, 一車由 A 至 B 時, 以速度 60 km/h 行駛 ; 由 B 至 C 時以 45 km/h 行駛則 A 至 C 的平均速度為多少 km/h? (A) 50 (B) 55 (C) 48 (D) 53 (E) 小廷在百米比賽中, 以 6 m/s 的速度從起點衝出, 經 50 m 處的速度為 8. m/s, 在小廷跑完全程中間時刻 t=5 s 時速度為 10.3 m/s, 最後以 10.4 m/s 衝過終點, 則小廷的百米平均速度量值為 (A) 8. (B) 8.4 (C) 10 (D) 10.4 m/s 答案 : 1.AB. (1)0;()9.6 m/s 3. (1)+ m/s;()-0.5 m/s;(3) 5.5 m/s 4.A 5.C 等加速度直線運動練習題 1. 質點在一直線上作等加速度運動, 在 4s 的時間間隔內經過位移為 5m, 緊接著在 s 的時間間隔內經過的位移為 4m, 求加速度的量值. 等加速度直線運動物體之初速 v 0, 加速度為 a, 經 t 時距後物體的速度為 v, 在此 t 時距內物體之位移為 d, 此時距內物體之平均速度為 v0 v 1 v (A) (B) v0 v (C) v0 at (D) 高二 v (E) t d 3. 火車沿直線軌道作等加速度運動, 車頭經過某點時速度為 v, 車尾經過同一點時速度為 v, 則車身前 1/3 部份經過同一點時火車的速度為何? 4. 一汽車在直線上自靜止起運動, 先以等加速度行駛, 至速度為 v 時, 改以等速度行駛, 一段時間後又改為等減速度行駛, 然後停下來若等加速度行駛的距離為全程的三分之一, 等減速度行駛的距離為全程的四分之一加速等速減速三段的時間分別為 t 1 t t 3, 則 (1)t 1 :t :t 3 =?() 全程平均速度的量值為 v 的幾倍?(3) 加速度量值和減速度量值的比為何? 5. 甲生以 1m/s 之速度前進 5 秒後, 乙生由甲原出發點出發以初速為 0, 加速度為 0.5m/s 作等加速度追上甲, 則乙追上甲前二人相距最遠之距離為何?

15 6. 在直線運動實驗中, 用紙帶經計時器打點, 在紙帶上記錄下打點的點痕, 分析紙帶的點痕, 即可推論物體的運動狀況今台車拉動紙帶, 紙帶經計時器打點 5 秒鐘, 紙帶上有 101 個點痕, 其中第 50 個點至 56 個點之記錄如下, 其每兩個間之距離用厘米 (cm) 為長度單位, 則下列敘述何者正確? (A) 在第 50 點到第 51 點間, 台車的平均速度大小為 0cm/sec (B) 在第 54 點到第 55 點間, 台車的平均速度大小為 36cm/sec (C) 從第 50 點至第 56 點這段期間, 台車作等加速度運動 (D) 從第 50 點到第 56 點這段期間, 台車的平均加速度大小為 80cm/sec (E) 在第 54 點時, 台車的瞬時加速度大小為 80 cm/sec 7. 一子彈沿水平方向連續穿過三個完全相同的木塊後, 速度恰好為零, 設子彈在木塊中的運動是等加速直線運動, 穿過第三個歷時 3 秒, 則子彈穿過三個木塊共需時間多少秒? 8. 一車來回兩地, 往返都是先等加速後再等減速至停止, 且加速度與減速度之量值相等 ; 若去程之加減速度量值為 a 1, 回程之加減速度量值為 a, 則去程與回程所需時間比為何? 9. 在光滑平面上作等加速度運動的物體, 通過一定點 P 時, 其速度為 10 m/s 向右,1 秒後該物在 P 點左方 40 米處, 則 (1) 該物之加速度為何?() 該物自 P 點向右之最大位移為何? 答案 m/s. ACE 3. v 4.(1)8:5:6;()1/19 倍 ;(3)3: 公尺 6. 全 7.3 秒 8. a : a 1 9.(1)-5m/s ;()10m 自由落體運動練習題 1. 某物在地表附近做自由落體運動, 觸地前 1 秒內之行程為全程的 9/5, 則 (1) 落下全程歷時多少時間?() 落下時的高度為何?(g=9.8m/s ). 一石頭從塔頂處自靜止起自由落下, 當它落下 a 公尺的瞬間, 另一石頭由塔頂下方 b 公尺處自靜止起自由落下, 結果兩石頭同時著地, 求塔高 3. 有一石頭由五層樓高的塔上由靜止釋放自由落下, 如圖所示, 已知每層樓高度皆為 h, 重力加速度為 g, 則 (1) 石頭經多久落地?() 石頭落地速率為何?(3) 石頭落經 p q 兩處與 q f 兩處的時間比為何?(4) 石頭經 pqf 三處的速率比為何?(5) 石頭經 pqf 三處的加速度大小比為何? 4. 有一塊小石頭從高樓的樓頂自靜止掉落, 某層樓的住戶觀察到該石頭通過其落地窗戶的時間為 0.1 秒若窗戶的高度為.0 公尺, 則樓頂到窗戶頂的距離為何?(g=9.8m/s ) 5. 熱汽球由地面以 1.5m/s 的加速度上升, 設重力加速度為 10m/s, 當熱汽球離地 30 秒時, 汽球上的乘客將手中的小球釋放, 則釋放後經幾秒小球落至地面? 6. 一球自.45 公尺的高度自由落到地面, 反彈到 1.5 公尺的高度, 若球與地面的碰觸時間為 0.1 秒, 則觸地期間, 球的平均加速度為 (A)0 m s 向下 (B)0 m s 向上 (C)10 m s 向下 (D)10 m s 向上 (E)10 m s 向下 (g=10 m s ) 高二 -15

16 7. 物體以初速自地面鉛直上拋, 設重力加速度 g, 則自拋出至最大高度的 1/4 處, 所需的時間為何? v 0 8. 把自由落體下落的總距離分成長度相等的三段, 依從上到下的順序, 經過這三段路程的平均速度比為何? 9. 塔頂高度為 h, 在塔頂將一石頭由靜止起自由落下, 同時另一人自地面將一顆球以初速 v 0 鉛直上拋, 如圖所示則 (1)v 0 不能太小, 否則石頭和球無法在空中相遇 ( 空中相遇是指同一時間兩者在同一高度 ) v 0 必須大於何值兩者才能在空中相遇? () 若兩者能在空中相遇, 且相遇時 a. 球還在上升, 求 v 0 的條件 b. 球正在下降, 求 v 0 的條件 c. 球剛好在最高點, 求 v 0 的條件 10. 自距地面高 h 處靜止釋放 A 石, 同時在 A 正下方的地面上鉛直上拋 B 石, 二石相遇於距地面高 3h/4 處, 則 ( 重力加速度 g)( 1)B 拋出時初速為何?() 二石出發後歷時多久相遇?(3) 二石相遇時,B 的瞬時速率為何? 答案 a b 1. (1)5 秒 ;()1.5m. 3.(1) 10 h/ g;() 10gh;(3) 1: 3 ;(4)1: : 4a v 0 3 3;(5)1:1: m 5.15 秒 6.D : : 9. (1) > g v0 gh gh h gh ;()a. v0 > gh ;b. gh > v0 > ;c. v0 = gh 10. (1) gh ;() ;(3) g 一維相對運動練習題 1. 某人靜止在一往上的電扶梯上, 需要 0 秒可到達上一層樓, 但是如果電扶梯靜止不動, 此人在梯面上步行向上, 則需 30 秒若此人在正常運行的電扶梯上, 以相同的速度在梯面上步行向上, 則此人需多少秒可抵達上一層樓?. 已知有一船隻在靜止的河面上航行時速率為 0km/hr, 而河流的流速為 8km/hr, 則在岸邊的人觀察到船隻在順流及逆流時的速率各為何? 3. 承上題, 若有兩艘相同的船隻, 分別於甲乙兩地 ( 甲在上游, 乙在下游 ) 同時出發, 一船是順流而下, 一船是逆流而上, 已知甲乙兩地相距 10 公里, 則兩艘船於何時在何地相遇? 4.A B 兩質點在同一直線上相向運動, 原相距 10 米, 初速各為 +1m/s 與 -3m/s, 加速度各為 +1m/s 與 +m/s, 則 (1) 何時兩者最接近?() 最接近之距離為何? 5. 一升降機以 a 之加速度垂直上升 ( 設重力加速度 g 為常數 ) 此時天花板上正懸吊一小球, 該球離升降機地板之高度為 h 若該小球突然掉落, 則歷時多久會碰觸地板? 答案 1. 1 秒. 順流時 8km/hr; 逆流時 1km/hr 3. 出發後 0.5 小時在距離甲 7 公里處相遇 4.(1)4 秒 ;()m 5. h g a 高二 -16

１２３４５６７８９０１２３４５６７８９０１２３４５６７８９０１２３４５６７８

１２３４５６７８９０１２３４５６７８９０１２３４５６７８９０１２３４５６７８ 74 第 5 章直線運動第 5 章直線運動一自我評量一選擇題題前標註 *, 表示重要且常考的題目 5-1 運動的種類 ( A )1. 作等速運動的物體, 下列何者正確? (A) 必沿直線進行 (B) 必沿曲線進行 (C) 必沿圓周進行 (D) 可沿直線或曲線進行 ( D ). 速度與時間之關係如圖 (1) 所示, 則其為 (A) 等加速度運動 (B) 變形之等速運動 (C) 等加速度運動及等減速度運動