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1 3 校清 第九章萬有引力 1. 一衛星環繞一行星做橢圓軌道的運動, 設此衛星至行星最遠距離與最近距離的比為 4:1, 則相應的角速度大小之比為 (A) 16:1 (B) 2:1 (C) 1:2 (D) 1:4 (E) 1:16 (E) 解析 : 由 2. 設一人造衛星以圓形軌道繞地球運行, 其軌道半徑為月球軌道平均半徑的, 則此衛星繞地 球之週期 (A) 在一至四天之間 (B) 在四至八天之間 (C) 在八至十六天之間 (D) 大於十六 天 (E) 與地球自轉週期相同 (B) 解析 : 由週期定律可知 : 3. 地球與太陽的連線在空間掃過的面積速度最大的月份是 (A) 元月份 (B) 七月份 (C) 十一月份 (D) 九月份 (E) 各月份均相同 難易度 : (E) 4. 假如太陽系中又發現一個小行星, 其與太陽的距離是地球與太陽距離的 8 倍, 可估計其週期約 為 (A) 12 年 (B) 22.6 年 (C) 48 年 (D) 1 年 (E) 18 年 難易度 : (B) J5 W.Y.Y 5. 地球在近日點時與太陽距離 0.5A.U. W26Xhg *@@1hg V'@5hg N@Hhg 遠日點時距太陽 1.5A.U., 則地球在近日點與遠日點時的 面積速率比為 (A) 4:1 (B) 1:3 (C) 3:1 (D) 1:1 難易度 : (D) 6. 由克卜勒之週期定律知 (A) 軌道半徑與週期成正比 (B) 行星之週期與其質量無關 (C) 行星軌道半徑愈大則速率愈小 (D) 行星之軌道半徑愈大則週期愈小 (E) 行星運行之速率與質量成反比 難易度 : (B) (C) 7. 質量為 m 的行星以橢圓軌道繞太陽運轉, 若行星與太陽連線在單位時間內掃過的面積為 A, 則 此行星運行時對太陽的角動量量值為 2mA 9-1

2 解析 : 兩邊各乘以 m 得, 故角動量 8. 某彗星以橢圓軌跡繞太陽公轉, 其與太陽之最大距離為其與太陽最短距離之 100 倍 今測得此彗星在最接近太陽時之速率為 1000 公里 / 秒, 則其在最遠離太陽時之速率為公里 / 秒 難易度 : 一衛星環繞一行星做橢圓軌跡之運動, 設此衛星至行星最遠距離與最近距離之比為 2:1, 則相 對應的角速度之比為 1:4 解析 : 依據克卜勒行星運動第二定律知 : = 定值 知 與 r 2 成反比 10. 已知土星繞太陽運轉之平均距離約為地球繞太陽運轉平均距離的 10 倍, 則土星繞太陽一周需 時 年 難易度 : 11. 有關克卜勒行星運動定律何者正確 (A) 行星繞太陽作橢圓軌道運動 (B) 太陽系所有行星與太陽的連線在相同的時間內掠過的面積相同 (C) 火星和地球繞太陽週期的平方除以到太陽平均距離的三次方得到的值會相同 (D) 行星繞太陽是等加速度運動 (E) 不論近日點或遠日點, 地球繞太陽的面積速度都相同 難易度 : (A) (C) (E) 12. 根據克卜勒行星定律, 可推知地球繞太陽運轉時 (A) 作變速率橢圓軌道運動 (B) 作等速率圓周運動 (C) 在近日點時, 地球繞日速率最快 (D) 在遠日點時, 地球移動速率最慢 (E) 所謂軌道平均半徑是長軸與短軸的平均值 難易度 : (A) (C) (D) (E) 13. 下列有關克卜勒行星運動定律的敘述, 何者正確 (A) 第一定律也稱為週期定律 (B) 軌道平均半徑與公轉週期成正比 (C) 行星與太陽連線的面積速率為定值 (D) 行星運動的軌道為橢圓 9-2

3 形 (E) 第二定律也稱為等面積定律 難易度 : (C) (D) (E) 14. 根據克卜勒行星定律, 可推知地球繞太陽運動時 : (A) 作變速率橢圓軌道運動 (B) 作等速圓周運動 (C) 在近日點時, 地球繞日速率最快 (D) 在遠日點時, 地球移動速率最慢 (E) 從近日點到遠日點與從遠日點到近日點所經歷的時間並不相同 (A) (C) (D) 解析 :(B) 軌道為橢圓 (E) 掃過的面積相同, 所以時間相同 故正確選項為 (A) (C) (D) 15. 一人造衛星繞地運行的週期為 T, 且衛星在近地點與遠地點, 與地心的距離為 r 1 與 r 2, 則 (A) (B) (C) (D) 難易度 : (C) 16. 已知某彗星以橢圓太陽公轉時, 其最大速率為最小速率的 100 倍, 則該彗星在遠日點與近日點 處, 與太陽間距離的比值為 (A) 1 (B) 10 (C) 100 (D) 1000 難易度 : (C) 17. 已知木星繞太陽運轉的週期為地球的 12 倍, 則木星軌道的平均半徑約為地球軌道半徑的幾 倍 (A) 2.5 (B) 3.6 (C) 4.2 (D) 5.2 難易度 : (D) 18. 甲 乙兩衛星分別環繞地球做等速率圓周運動, 已知兩者的週期比值為 T 1 /T 2 =8, 則兩者的速 率比值 v 1 /v 2 為 (A) 4 (B) 2 (C) 1 (D) (E) (D) 解析 : 克卜勒行星運動第三定律知 : = 常數 故 得 又 得 知 v 與 成反比 故 故正確選項為 (D) 9-3

4 19. 某行星繞日之週期為 64 年, 而測得此行星與太陽最近之距離為 2A.U, 則此行星繞日之最遠之距離為 (A) 24 (B) 16 (C) 30 (D) 32 (E) 64A.U (C) 解析 : 由週期定律 = 定值 20. 根據克卜勒第三定律, 所指的軌道半徑 R 為太陽與行星的 (A) 最長距離 (B) 最長與最短距離的幾何平均值 (C) 橢圓長軸的一半 (D) 橢圓長軸與短軸相加的一半 難易度 : (C) 21. 設某行星繞日公轉經近日點時的切線速率為 v 1, 經遠日點時的切線速率為 v 2, 而行星與日連線 在單位時間掃過之面積為 S, 則行星距日之平均距離為 (A) (B) (C) (D) (E) 難易度 : (E) 22. 有一彗星距太陽最近距離 3A.U, 週期 8 年, 則該行星離太陽最遠距離 = 5A.U 解析 : 由克卜勒第三定律可知 地球的軌道半徑為 1A.U. 週期為 1 年 23. 假設在太陽系中發現一新行星, 公轉方向與地球相同, 其連續兩次與地球相距最近時相隔 年, 若兩者的軌道均為圓形, 則此行星的軌道半徑為地球的 倍 9 解析 : 兩次相遇二者所走的圈數相差 1 年 由 9-4

5 倍 24. 一衛星環繞行星做橢圓軌道之運動, 設此衛星至行星最遠距離與最近距離之比為 3:1, 則相應 的角速度之比為 難易度 : 1:9 解析 : 面積速率 = 25. 某星球繞太陽公轉, 其平均軌道半徑為地球平均軌道半徑的 9 倍, 若地球公轉週期為 1 年, 則 該星球公轉週期為 年 27 解析 : 年 26. 某彗星以橢圓軌跡繞太陽公轉, 其與太陽之最大距離為其與太陽最短距離之 60 倍 今測得此彗星在最接近太陽時之速率為 1200 公里 / 秒, 其在最遠離太陽時之速率為公里 / 秒 20 解析 : 27. 已知某行星繞太陽運行, 軌道為圓形, 半徑為 r, 在單位時間內半徑掃過的面積為 A, 則其繞 太陽公轉之瞬時速度為 難易度 : 解析 : 面積速率 28. 某彗星每 64 年出現於太陽旁一次, 其近日點為 0.5 天文單位, 求此彗星距太陽最遠距離為天文單位 31.5 解析 : 又 近遠遠 遠 9-5

6 29. 某行星繞日運動, 面積速率為 A, 在近日點時速率為 v 1, 在遠日點時速率為 v 2, 則此行星繞太 陽運行的橢圓軌跡的半長軸長度為 解析 : 近日點距日的距離, 遠日點距日的距離 半長軸長度 30. 已知某行星之橢圓軌道之短軸長為 4A.U, 繞太陽週期為 8 年, 則其長軸之長度為 A.U (1A.U 為地球繞太陽之軌道半徑 ) 8 解析 : 由週期定律 長軸長 31. 地球與某行星均繞太陽作近似圓形軌道運行, 由地球上觀測, 發現該行星與太陽可能呈現的最大視角為 θ, 其正弦值 sinθ=1/4, 則 (A) 行星公轉軌道平均半徑為地球軌道半徑的倍 (B) 行星繞日運行公轉週期年 (C) 地球的軌道速率為該行星速率的倍 (A),(B),(C) 解析 :(A) 如右圖 (B) ( 年 ) (C) 32. 一人造衛星環繞地球做橢圓軌道之運動, 設此人造衛星至地球之最遠距離與最近距離之比為 4:1, 則相對應的角速度之比為 難易度 : 1: 人造衛星繞地球作離心率為 0.6 之橢圓軌道運轉, 當衛星於長軸之 A B 兩 位置, 求切線速率比 v A :v B = 4:1 解析 : 9-6

7 由等面積定律 34. 已知月球繞地球的軌道半徑為地球半徑的 60 倍, 且其繞地的週期為 27.3 日 若有某個人造衛星在低空繞行地球時, 其週期約為多少 84.6 分鐘 解析 : 定值 衛 月 衛 天 分 35. 假定火星與地球的軌道比為 3:2, 則 (A) 火星的公轉週期為多少個地球年 (B) 火星與地球平均的公轉速率比值為何 (C) 火星與地球繞日運動的平均角速率比值為何 (A) 1.8 年,(B) 0.83,(C) 0.54 解析 :(A) 由克卜勒第三定律知年 (B) (C) 36. 火星與水星繞日公轉半徑之比為 4:1 則 (A) 兩者公轉的週期比為何 (B) 兩者平均公轉速率 比為何 (C) 兩者公轉的角速度比為何 難易度 : (A) 8:1,(B) 1:2,(C) 1:8 37.A B 兩顆人造衛星, 以不同的圓軌道繞地運行 已知其週期為 T A 與 T B, 且 T A <T B 若兩衛星均同向運行, 則兩衛星相距最近的週期為何 解析 : 令連續兩次最近的時間差為 T, 則在這段時間中, 內圈的衛星比外圈的衛星多轉 1 圈, 意即 9-7

8 38. 已知地球與太陽連線的面積速率為 A, 且地球在近日點處與太陽的距離為 P, 則 (A) 地球在近日點處的移動速率為何 (B) 地球與太陽連線, 在近日點處的角速度量值為何 (A),(B) 解析 : (A) (B) 39. 設地球與某行星繞日運動的軌道為圓形, 已知由地球觀測時, 發現某行星與太陽間最大夾角的正弦值為 30, 則 (A) 此行星的軌道半徑為何 (B) 此行星的週期為何 ( 令地球的軌道半徑為 R) 見解析解析 :(A) 由幾何關係知 : 最大角度發生在視線與軌道相切的情況, 由以條件知 (B) 由克卜勒第三定律知年 40. 地球與外側行星以圓軌道繞日運動時, 由地球觀測行星與太陽的最大角度為何 難易度 : 41. 人造衛星 中華 1 號衛星繞地的週期約為 84 分鐘, 而月球的繞地週期約為 27.3 日, 則中華 1 號與月球繞行地球的軌道半徑比值約為多少 ( 取至小數點以下第 2 位 ) 0.02 解析 : 由於中華 1 號衛星與月球均繞地球運行, 由克卜勒第三定律知 42. 某個行星繞日運動過程中, 近日點處的移動速率為 v 1, 遠日點處的移動速率為 v 2 已知該行星的平均軌道半徑為 R, 則 (A) 近日點時的離日距離為何 (B) 遠日點處的離日距離為何 (C) 此行星繞日運動的面積速率為何 (A) (B) (C) 9-8

9 解析 : 令近日點的距離為 r 1, 遠日點的距離為 r 2, 則 (A) (B) 由克卜勒第二定律知 又平均軌道半徑等於 r 1 r 2 的算數平均數, 意即 將 (1) 代入 (2) 式 (C) 面積速率為 43. 有一枚人造衛星以橢圓軌道繞地球運行, 已知其平均軌道半徑為月球公轉半徑的 倍, 且該 人造衛星離地最遠的距離, 為離地最近距離的 4 倍, 若月球的公轉週期為 27.3 日, 則 (A) 此 衛星的公轉週期為何 (B) 此衛星離地最近的距離為平均軌道半徑的幾倍 (A) 20.6 小時,(B) 解析 :(A) 人造衛星與月球皆繞地球運行, 令人造衛星的週期為 T, 則由克卜勒第三定律知 =0.86 日 =20.6 小時 (B) 令衛星與地球最近的距離為 r 1, 最遠的距離為 r 2, 平均距離為 R, 則 44. 設中華衛星一號與月球均繞地球做近似圓形軌道運行 由月球 上觀測, 發現該人造衛星與地球可能呈現的最大視角為 θ, 如 圖所示 中華衛星一號運行的軌道半徑 R s 與月球運行半徑 R M 的比值 R s /R M 為多少 (A) (B) (C) (D) (E) 難易度 : (A) 解析 : 由圖中知 45. 某彗星以橢圓軌道繞太陽公轉, 其與太陽之最遠距離為其與太陽最近距離之 100 倍 今測得此星在最接近太陽之速率為 1000 公里 / 秒, 其在最遠離太陽時之速率為何 10 公里 / 秒解析 : 依克卜勒第二定律知 r 1 v 1 =r 2 v 2 得 100v 1 = 得 v 1 =10 公里 / 秒 46. 已知土星繞太陽運轉之平均距離約為地球繞太陽運轉平均距離的 10 倍, 則土星繞太陽一周需時多少年 難易度 : 9-9

10 年 解析 : 由克卜勒第三定律知得年 47. 已知某行星繞太陽運行, 軌道為圓形, 半徑為 r, 在單位時間內半徑掃過的面積為 A, 如圖 則其繞太陽公轉之瞬時速率為若干 難易度 : 解析 : 設瞬時速率為 v, 且由克卜勒第二定律知 即 48. 設中華衛星一號與月球均繞地球做近似圓形軌道運行 由月球上觀測, 發現該人造衛星與地球可能呈現的最大視角為 θ, 如圖所示 中華衛星一號的運行週期 T S 與月球繞地球運行週期 T M 的比值 T S / T M 為 (A) (B) (C) (D) (E) (C) 解析 : 克卜勒行星運動第三定律知 : = 常數, 故 T 2 與 R 3 成正比 49. 設中華衛星一號與月球均繞地球做近似圓形軌道運行 由月球上觀測, 發現該人造衛星與地球可能呈現的最大視角為 θ, 如圖所示 單位時間內, 中華衛星一號軌道半徑所掃過的面積 A S 與月球軌道半徑所掃過的面積 A M 的比值為多少 (A) (B) (C) (D) (E) (D) 解析 : 克卜勒行星運動第二定律知 : 單位時間掃過的面積 50. 一衛星環繞一行星做橢圓軌道之運動, 設此衛星至行星最遠距離與最近距離之比為 2:1, 如圖, 則相應的角速度之比為多少 9-10

11 解析 : = 定值, 故與 r 2 成反比故 51. 甲 乙兩衛星分別環繞地球做等速率圓周運動, 已知兩者的週期比值, 則兩者的速率比 值為多少 解析 : 由得又速率, 故 52. 已知土星繞太陽運轉之平均距離約為地球繞太陽運轉平均距離之 10 倍, 則土星繞太陽一週需時多少年 約 31.6( 年 ) 解析 : ( 年 ) 53. 假若某一小行星與地球皆以圓形軌道, 繞太陽同向運行 已知該小行星繞行之平均軌道半徑為 0.5A.U, 則 : (A) 該小行星運行週期 T 為若干年 (B) 此小行星與地球從某次最近距離至下一次最近距離的時間為若干年 (C) 一天中由地球所能見此行星之最晚時刻是何時 (A) (B) (C) pm 難易度 : 54. 已知某行星繞太陽作橢圓軌道運行, 其與太陽連線在單位時間內掃過的面積為 A, 當此行星距離太陽 R 時, 相對於太陽的角速度為何 解析 : 由克卜勒行星運動定律知 = 定值, 得, 即 55. 某行星與地球均作繞日運動, 若其軌道均為圓形 假定由地球上觀測時, 發現行星與太陽間的最大夾角的正弦值為, 該行星的週期為 (A) 0.41 (B) 0.51 (C) 0.61 (D) 0.71 地球年 (B) 難易度 : 9-11

12 56. 有一雙星系統, 兩星球間的距離為 L 已知雙星系統的總質量為 m, 則雙星運行的週期為 (A) (B) (C) (D) 難易度 : (C) 57. 地球與某個外側行星以圓軌道繞日運行時, 會衝 ( 指兩星球距離最近時 ) 的週期為 8 / 7 年 地球的軌道半徑為 R, 則此行星的軌道半徑為 6 (A) 2R (B) 3R (C) 4R (D) 5R 難易度 : (C) 58. 某個繞日運動的行星, 其平均軌道半徑為 R, 近日點與太陽的距離為 r, 此該行星與太陽的最 遠距離為 (A) R-r (B) 2 (R-r) (C) R-2r (D) 2R-r 難易度 : (D) 59. 質量為 m 的人造衛星環繞半徑為 R 的地球運動 已知該衛星與地面的距離始終為 R, 而地表的重力加速度為 g, 則此衛星的運行速率為 (A) (B) (C) (D) (A) 難易度 : 60. 某行星繞日運動的軌道如右圖所示, 已知該行星通過近日點的速率為 v, 且其公轉週期為 T, 則 (A) 平均軌道半徑為 a (B) 通過 p 點的速率為 (C) 通過 p 點的速率為 (D) 通過 q 點的速率為 (E) 由近日點到 p 點的時間等於由 p 點到 q 點的時間 難易度 : (A) (B) (D) 61. 下列有關行星繞日運動的敘述, 何者正確 (A) 行星的軌道均為圓形 (B) 公轉週期正比於軌道半徑 (C) 每個行星都有相同的面積速率 (D) 火星與地球所對應的克卜勒第三定律的常數是相同的 (E) 近日點的軌道速率恆大於遠日點的軌道速率 難易度 : (D) (E) 62. 牛頓萬有引力定律可應用於 :(A) 解釋潮汐現象 (B) 解釋行星轉動現象 (C) 解釋星球質量之測定 (D) 說明人造衛星之繞轉 (E) 說明物體的重量 難易度 : (A) (B) (C) (D) (E) 63. 下列敘述何者正確 (A) 物體不論在何處, 所受到地球的引力皆為 (B) 物體在 地球內部時, 受到的地心引力與到地心距離成正比 (C) 在地球開一個貫通地心的通道, 將物 體放入通道中, 此物體會作簡諧震盪, 平衡點為地心處 (D) 物體的重量即為物體此處所受的 9-12

13 引力大小 (E) 物體重量可表為 難易度 : (B) (C) (D) (E) 64. 地球繞日運動時, 近日點與太陽相距為 r 運行速度為 v, 若太陽的質量為 M, 則地球繞日的橢圓軌道於近日點處的曲率半徑為 解析 : 65. 人造衛星以圓軌道繞地運行, 其面積速率為 S 若人造衛星的軌道速率為 v, 則其軌道半徑為 難易度 : 66. 在某星球表面作落體實驗時, 發現下落 h 的時間為地球上的 4 倍 若已知該星球的半徑為地球 的 2 倍, 則其密度為地球的 倍 難易度 : 67. 將質料 密度相同, 但半徑為 R 與 2R 的兩個金屬球, 融合成為一個密度相同但半徑更大的金 屬球時, 則此大金屬球的半徑為 ; 若半徑 R 的金屬球表面的重力加速度為 g, 則此大金 屬球表面的重力加速度為 解析 :(A) 合 合 (B) 相同 大 68. 四個均勻球體 ABCD 排成一直線, 已知 ABCD 的質量分別為 2m m m 2m, 考慮它們之間的萬有引力時,C 球所受引力的方向為 ;C 球所受引力的量值為 向左 解析 : 9-13

14 69. 半徑為 R 的一行星, 旁有一質量為 m 的衛星繞其運轉, 如圖, 軌道半徑為 r, 週期為 T, 萬有引力常數 G 為, 回答下列問題 (A) 此行星的質量為多少 (B) 衛星運轉時的向心加速度為多少 (C) 衛星所受行星的引力為多少 (D) 行星表面的重力加速度為多少 (E) 行星的密度為多少 (A) (B) (C) (D) (E) 解析 : 設行星的質量為 M (A) 得 (B) 向心力加速度即 70. 一質點 p 在兩個固定不動大球的中垂線上運動, 當圖中的 x<< d 時 (A) 證明質點 p 的運動是簡諧運動 (B) 質點運動的週期為何 (A),(B) 解析 :(A) 質點 p 所受的合力 x << d 時 簡諧運動 (B) 週期 71. 史努比登陸艇在完成登月任務後, 自月球表面升空與母船會合 母船與登月艇會合後一起繞月球作圓周運動, 其速率為 v 母船與登月艇的質量均為 m, 月球的質量為 M, 重力常數為 G, 求母船與登月艇繞月球軌道運動的 (A) 週期 (B) 軌道半徑 在啟動歸程時, 船上火箭作一短時間的噴射 ( 噴出廢氣的質量及動量均可忽略, 見解析 ), 使登月艇與母船分離, 且分離方向與速度方向平行 若分離後母船恰能完全脫離月球的引力, 求 (C) 在剛分離後登月艇的速率 ( 提示 : 當物體要由軌道上完全脫離星球的引力時, 所需的逃脫速度為軌道速度的倍 ) (A),(B),(C) 解析 :(A) 9-14

15 (B) 令登月艇的速度為 v 1 母船的速度為 v 2, 由動量守恆知 (2m)v=mv 1 +mv 2 又 聯立二式 72. 人造衛星以圓形軌道環繞地心運動時, 其力圖為 (A) (B) (C) (D) (D) 難易度 : 73. 一艘太空船, 在圓軌道上繞地球運動, 則太空船上的駕駛員的視重 (A) 只與太空船的質量有關 (B) 只與駕駛員的質量有關 (C) 與太空船及駕駛員質量都有關 (D) 與太空船及駕駛員的質量都無關 難易度 : (D) 74. 將密度相同的大 小實心球靠在一起, 如右圖 已知小球的質量為 m, 則大 小兩球間的萬有引力為 (A) (B) (C) (D) (C) 解析 : 由萬有引力公式 故正確選項為 (C) 75. 將密度相同的大 小實心球靠在一起 已知小球的質量為 m, 將密度均勻的大球挖去一部分, 如右圖所示, 則此時大 小兩球間的引力為 (A) (B) (C) (D) (D) 解析 : 大球之半徑為小球之 2 倍質量為 8m, 挖掉後兩球之引力 =( 挖掉前兩球之引力 )-( 挖掉部分與小球之引力 ) = 故正確選項為 (D) 9-15

16 76. 靜置於桌面重量 W 的物體,W 的反作用力是 (A) 桌面作用之正向力 N (B) 作用於同一物體上的力 (C) 支撐桌的力 (D) 吸引地球的萬有引力 (E) 以上皆非 難易度 : (D) 77. 一物由高空落入地下之深井中, 其所受重力 (A) 維持不變 (B) 一直增大 (C) 變化不定 (D) 先減後增 (E) 先增後減 (E) 解析 : 因地球表面重力加速度, 而地表內重力加速度, 又重力 =mg, 故當物體 由高空落下時 r 減少, 在地表時重力增加, 掉落井內 ( 在地表內 ) 時重力減少 78. 若地球之半徑增倍, 而其質量不變, 則地球上的人重量變為原來的 (A) 2 倍 (B) 1/2 倍 (C) 1/4 倍 (D) 4 倍 (E) 1 倍 難易度 : (C) 79. 質量 M 的薄球殼中心處有一等質量的小球, 已知小球半徑為 R 今將質量 m 的質點 p 置於不同位置處, 下列敘述何者正確 (A) p 置於球殼的外表面處, 當時所受的引力為 (B) p 置於球殼的內表面處, 當 時所受的引力為 (C) p 置於球殼的小球表面處, 當時所受的引力為 (D) p 置 於球殼的內表面處, 當時所受的引力為 (E) p 置於小球的表面處, 當時所受的引力為 (A) (D) (E) 解析 :(A) (B) 由, 可得 (C) (D) (E) 由球殼定理知外球殼對內部任一點質點的作用力為零可知, P 於球殼內表面時, P 於小球表面處, 故正確選項為 (A) (D) (E) 80. 一人造衛星以橢圓軌道繞地球運行 設 A B 分別為衛星距地球最遠與最近的位置 ( 如圖 ) 若忽略其他星體的影響, 則下列敘述何者正確 (A) 衛星在 A B 兩處的速率比為 R A :R B (B) 衛星在 A B 兩處相對於 9-16

17 地心的角速率比為 R A :R B (C) 衛星在 A B 兩處的加速度比為 R B :R A (E) 衛星在 A B 兩處所 受萬有引力的比為 (C) (E) 81. 下列有關萬有引力的敘述, 何者正確 (A) 均勻球體間的引力必在兩球的連心線上 (B) 質點間的萬有引力與質點質量的乘積成正比 (C) 質點間的萬有引力與質點間的平方成反比 (D) 兩塊方糖間的萬有引力恆與方糖幾何中心距離的平方成反比 (E) 兩空心球殼間的萬有引力公式與質點間的引力公式相同 (A) (B) (C) (E) 解析 :(D) 不是, 須考慮方糖的密度 故正確選項為 (A) (B) (C) (E) 82. 兩個星球在外太空中互繞其質心而運行, 稱為雙子星 若此兩星質量比為 2:1, 周圍無其他星 球, 則 (A) 兩星週期比為 1:1 (B) 兩星軌道半徑比為 2:1 (C) 兩星速率比為 1:1 (D) 兩 星向心力比為 1:1 (E) 兩星向心力加速度比為 2:1 (A) (D) 解析 :(A) 兩者之週期必相同 (B) 軌道半徑 = 與質心的距離, 兩星球與其質心的距離和質量成反比 為 1:2 (C) 而 (D) 為兩者距離, 故相同 (E) 故正確選項為 (A) (D) 83. 有一人造衛星在地球表面上高度 R 的圓軌道上運行 (R 為地球半徑 ) 如果地表處的重力加速度為 g, 則此人造衛星的速率為 ; 該衛星的運行週期為 84. 有 A B 兩太空船, 以圓形軌道環繞地心運行, 已知太空船 B 的軌道半徑大於 A 已知由太空船 B 觀察太空船 A 與地球間夾角正弦值 sinθ 的最大值為, 則太空船 A 與 B 的軌道半徑比值為 ; 太空船 A 與 B 公轉週期比值為 9-17

18 85. 兩個密度均勻的正球形星半徑均為 R, 密度均為, 今若將此二星球緊靠在一起, 則其受到 彼此間的引力為 86. 邊長為 a 的正三角形頂點分別放置質量為 2M M M 的三個質點, 若在此三角形幾何上的重 心有一質量為 m 之物體, 則此物體所受到萬有引力的合力大小為 87. 一雙星系統兩個互繞的星球質量均為 m, 距離為 L, 互繞的週期為 T, 若另一雙星系統兩個互 繞的星球質量分別為 及, 距離亦為 L, 則此雙星互繞的週期為 T 88. 一平面坐標原點 O, 質量 m 的質點位於坐標 (,0) 處, 兩個質量 M 的質點位於坐標 (0,+d) 及 (0,-d) 處, 如下圖, 則雙 M 系統與 m 之間的萬有引力大小為 ( 萬有引力常數為 G) 解析 : 如右圖所示 : 89. 三個質量同為 M 的質點, 位於邊長為 L 的等邊三角形的頂點 在萬有引力影響下, 這三質點 在外接此等邊三角形的圓形軌道運轉, 且仍保持彼此間的距離, 則其中一星球運轉時之加速度 大小為 解析 : 其中一星球受另外兩星球引力之合力 合力作為向心力, 故向心加速度 90. 設太陽的質量為地球質量的 n 倍, 兩者的距離一直維持為 R, 若有一火箭由地球飛向太陽, 當飛到離太陽距離為時, 所受到二者對火箭之引力和恰為零 9-18

19 解析 : 若 則 又 91. 如右圖, 有質量 M 半徑 R 的均勻材質的大球, 挖去一直徑 R 的小球, 有質量 m 的質點置於大球球心, 萬有引力常數為 G, 求大球剩餘部分與質點 m 間的萬 有引力大小為 ( 以 M R G 表示 ) 解析 : 將小球補滿後在球心處之合力為 0, 又小球對 0 之作用力 故原題之答案為 92. 設 R 表地球半徑, 則自地面由靜止鉛直發射的火箭, 當其質量減半時, 重量為出發時的, 試求此時火箭的高度為何 難易度 : R 93. 一孤立的雙星系統, 兩星球質量分別為 M m, 球心相距 d, 相互繞其系統的質心作等速率圓周運動, 求 m 的軌道切線速率 解析 : 9-19

20 94. 質量 m 的均勻小球置於質量 8m 的均勻大球外側 R 處, 如下圖, 則 : (A) 小球所受的萬有引力大小為 (B) 若將斜線部分挖去, 小球所受的萬有引力大小為 (1),(2) 95. 質量皆為 m 的四個質點排在正方形的角上, 如圖所示 則 (A) 質點 p 所受的引力為何 (B) 若將質點 q 拿走, 則質點 p 所受的引力為何 (A), 方向指向 q,(b), 方向指向 q 解析 :(A) 質點 p 同時受到三個質點的作用力, 其合力由向量合成計算, 其 值為, 方向指向 q (B) 若將質點 q 拿掉, 則 p 指受到兩質點的作用, 故合力為, 方向指向 q 96. 有一質量為 M 的球殼, 其密度均勻但厚度不計 今將質量 m 的質點分別擺在圖中的 A B C 三處時, 質點 m 所受的引力各為何 解析 : 質點擺在 A 點處 : 質點擺在 B 點處 : 質點擺在 C 點處 : 以 C 為頂點, 取一對稱的圓錐 ( 有相同的立體角 ), 兩圓錐在球殼面上的截出的面積為, 對應的質量為與 假定圓錐角甚小, 則圓錐所截面積與 C 點的距離分別為 r 與, 則這兩截面積上物質對質點 m 的引力比值為 已知與與分布的面積成正比, 意即, 又, 因此可推論出與對質點 m 的合力為 9-20

21 零 同理可證, 球殼表面上的其他面積上的物質, 對 C 點的引力也能成對相消, 故而質點 m 所受的總引力必為零! 值得注意的是, 這樣的結果, 不只是針對位置 C 而言, 事實上, 對球殼內部任何一點, 都可以用相同的推論方式, 得出不受力的結果! 97. 三個質點排在正三角形的角上, 其質量均為 m, 則質點 p 所受的引力為何, 方向朝下 98. 將質量 m 的質點先後置於質量 M 的甜甜圈外側的 (A) p 點 (B) q 點處, 則在這兩種情況下, 質點所受的引力各為何, 方向朝下 解析 :(A) p 點恰為甜甜圈的圓心處, 故由對稱性知, 來自甜甜圈各部分的引力的合力必為零 (B) 將甜甜圈視為由極小質點 M( 此處 ) 所組成, 此時質點 M 對 m 的引力表為 由甜甜圈的幾何形狀可知, 各質點 M 對 m 的引力之合力 恆指下方, 其值為 已知, 所以,, 方向朝下 99. 質量為 M 完全相同的三個星球, 位於邊長為 d 的等邊三角形頂點 若星球受相互間的重力影響, 繞共同質心在外接三角形的圓形軌道上運動, 如圖, 三個星球的連線距離保持不變, 而仍保持等邊三角形, 試求此系統中每一星球的速率應為若干 週期又為何 (1),(2) 解析 : 三個星球在同一軌道上運轉, 設半徑為 r, 則 9-21

22 向心力 (1) 得 (2) 100. 某星球其平均密度與地球相同, 半徑則為地球的兩倍, 在地球上重量為 64 公斤的人到該星球上時, 其重量為多少公斤重 難易度 : 128 公斤重 101. 若地球為均質的球體, 質量為 M, 半徑為 R 現由北極通過地心挖一地道至南極, 將一物由洞口靜止釋放 若忽略其他阻力, 則 : (A) 當此物體距離地心 X 時, 所受重力大小若干 (B) 物體來回運動的週期 T 為何 (C) 物體通過球心時的速率為何 (D) 由端點移動 R/2, 所需之最少時間為何 (A),(B),(C),(D) 解析 :(A) 由球殼定理, 可知地球對物體產生重力的有效質量為 重力 (B) 因所受重力正比於 X 且反向, 故為一簡諧運動 (C) 通過球心的速率 (D) 由參考圖可知 102. 一個密度均勻的星球分裂為 8 個密度不變, 質量相等的星球 則每個星球表面的重力加速度 變為原來的多少倍 (A) 1 (B) 2 (3) (4) (C) 9-22

23 O)Xg 3 校清 103. 在望遠鏡中觀察某一行星外有一小衛星以 T 的週期繞其轉動, 其軌道為半徑等於 R 的圓周, 則該行星的質量應為若干 (A) (B) (C) (D) (A) 104. 質量為 m 之三個完全相同之物體, 位於邊長為 L 之等邊三角形頂點, 物體在相互作用之重力 下, 在外接圓的軌道上運動而保持其相對位置, 則物體之速率為若干 (A) (B) (C) (D) (A) 解析 : 每一星球受到其他兩星球的引力, 而引力的合作力為其環繞質心作圓周運動的向心 力 引力的合力 = 與共同質心之距離 = 化簡得 故正確選項為 (A) 105. A 與 B 兩星球之半徑比為 2:1, 密度比為 1:3, 則兩者表面之重力加速度比為若干 (A) 1:3 (B) 2:3 (C) 4:9 (D) (B) 106. 一星球為密度均勻之球體, 如一質點在此星球表面的重量為 W, 則此質點在此星球球心位置 的重量為 (A) 0 (B) 0.5W (C) W (D) 2W (E) 無窮大 難易度 : (A) 107. 個質量同為 M 的質點, 位於邊長為 L 的等邊三角形的頂點 在萬有引力影響下, 這三質點在外接此等邊三角形的圓形軌道運轉, 且仍保持彼此間的距離, 各質點運轉的角速度大小為 多少 (A) (B) (C) (D) (E) (A) 解析 : 9-23

24 得 得 故正確選項為 (A) 108. 若地球半徑不變, 平均密度增為現在的 2 倍, 則同一選手的跳高能力將變為若干倍 (A) 2 (B) 4 (C) 1/2 (D) 1/4 (C) 解析 : 由 109. 已知月球上的物體重量會是在地球上的六分之一, 若月球的質量為地球的, 則月球的 半徑應為地球的多少倍 (A) (B) (C) (D) (A) 難易度 : 110. 假定地球為正圓球, 半徑為 6400 千公尺, 卻使赤道上物體的視重為零, 其自轉週期應為 (A) 41 小時 (B) 17 小時 (C) 1.4 小時 (D) 24 分 (E) 9.8 分 (C) 111. 設地表處的重力加速度為 g, 地球半徑為 R, 則距地面 2R 處的重力加速度為多少 (A) (B) (C) (D) 難易度 : (D) 112. 某行星繞太陽作橢圓軌道運轉, 近日距轉與遠日距的比為 1:3, 則行星在近日點與遠日點的各項比何者正確 ( 應選兩項 ) (A) 角速度大小之比為 3:1 (B) 切線速度大小之比為 3: 1 (C) 加速度大小之比為 9:1 (D) 動量大小之比為 1:1 (E) 面積速度大小之比為 3:1 (B) (C) 難易度 : 113. 過地球中心挖一個小洞, 一小石由洞口一端自由落下, 設地球表面之重力加速度為 g, 地球半徑為 R, 則 : (A) 此小石作等加速度運動 (B) 此小石作 S.H.M. (C) 小石自一端運動至 洞口另一端須時 (D) 此小石的最大加速度為 g (E) 此小石通過地心時的速率為 (B) (C) (D) (E) 9-24

25 解析 :(A) (B) 為, 其中 (C) (D) 發生在端點即地表 (E) 故正確選項為 (B) (C) (D) (E) 114. 假如地球的質量 m, 人造衛星質量 m, 軌道半徑 R, 週期 T, 當人造衛星質量變為 2m, 若週 期仍為 T, 則其軌道半徑應為 難易度 : R 115. 設地球質量 M, 半徑 r, 萬有引力常數 G, 人造衛星質量 m 今人造衛星在距地面高度為 r 的地方繞地球作圓周運動, 則其速率為 難易度 : 116. 假定地球為正球形, 今質量相同的 A B 兩人分別站在北極與赤道 若地球的半徑為 R, 自 轉的角速度為, 且地表處的重力加速度為 g, 則 A B 兩人受地球引力比為 ;A B 兩人的視重比為 1:1,g:(g- 2R) 解析 :(1) (2) 以 A 而言 : 以 B 而言 117. 一個密度均勻的星球分裂為 8 個密度不變, 質量相等的星球 則每個星球表面的重力加速度 變為原來的 倍 9-25

26 118. 木星的質量約為地球的 300 倍, 半徑約為地球的 10 倍, 如果一個太空人連其裝備在地球上的 重量為 120 公斤, 則在木星上的重量為 公斤 A 與 B 二行星半徑比為 4:1, 密度比為 3:2, 則兩者表面之重力加速度比為 6: 月球的軌道半徑約為地球半徑的 60 倍, 質量約為地球的 1/81, 則月球在地球表面所造成的 重力場強度, 約為地球表面重力場強度的 倍 ( 以分數表示 ) 121. 木星質量為地球的 300 倍, 其半徑為地球的 10 倍, 若某人在地表上鉛直上拋一石, 其最大高 度為 120 公尺, 則此人在木星上將該石鉛直上拋之最大高度為 40 公尺 122. 設某行星質量為地球的 54 倍, 密度為地球之 2 倍, 則 (A) 該行星之半徑為地球之幾倍 (B) 該行星表面之重力加速度為若干 m/s 2 (A) 3,(B) 一個半徑為 R 的金屬球, 其自身重力在球表面上造成的重力加速度為 g, 則 (A) 該金屬球對表面外 R 處的位置, 所造成的重力加速度有多大 (B) 取兩個一樣的金屬球, 融合為一個密度不變的大球, 則新的金屬球表面的重力加速度有多大 (A),(B) 解析 :(B) 兩個球合而為一時, 總質量與總體積均增為原來的兩倍, 而半徑則增為原來的 2 1/3 倍 大球表面的重力加速度 與 g 的比值為 124. 將兩個一樣的金屬球球體融為一個大球, 若密度變成原來的, 則金屬球表面的重力加速度變為原來的幾倍 解析 : 質量守恆 125. 已知月球的質量約為地球的 0.01 倍, 半徑約為地球的 0.27 倍 若地表的重力加速度為 g, 則 (A) 月球表面的重力加速度為何 (B) 在地表上將石子沿著鉛直方向上拋, 物體上升的最大 9-26

27 高度為 h, 則在月球表面上, 以相同的初速拋出石子時, 上升的最大高度為何 (A) 0.14g,(B) 7.3h 126. 四個質點排在正方形的角上, 如圖所示, 則圖中對角線交點 O 處的重力加速度為何 127. 完全相同的甲 乙二人造衛星均以圓形軌道繞地球運行, 二者之軌道半 徑之比為 2:1, (1) 甲 乙二衛星所受之地球引力之比為何 (A) 1:4 (B) 1:2 (C) 8:1 (D) 4:1 (E)2:1 (2) 甲 乙二衛星軌道速率之比為何 (A) 1:2 (B) 1: (C) 2:1 (D) 1:4 (E) :1 (3) 甲 乙二衛星週期之比為何 (A) 1:2 (B) :1 (C) :1 (D) 1: (E) 2:1 (1) A,(2) B,(3) C 難易度 : 128. 若萬有引力與距離的 4 次方成反比, 則克卜勒第三定律的公式為 (A) (B) (C) (D) (D) 解析 :, 得 為常數 故正確選項為 (D) 129. 假設萬有引力系與兩物體間距離之立方成反比 如以 R 及 T 分別代表行星繞日作圓周運動時之軌道半徑之週期 則下列各種比值中何者對所有行星而言均相同 (A) (B) (C) (D) (D) 解析 : 設太陽質量為 M, 行星質量為 m, 則 M 與 m 間的萬有引力提供 m 作圓周運動所需之向心力, 依題意 : 定值 定值 故正確選項為 (D) 130. 如果重力定律中兩質點間引力的大小與其距離的 n 次方 (n 2) 成反比, 考慮一群以圓形軌道繞行同一恒星的行星, 設各行星的週期與其軌道半徑的平方成正比, 則 n 的值應為 (A) 1 (B) (C) (D) 3 (D) 9-27

28 解析 : 由 移項整理得 定值 與成正比, 由題意 T 與 R 2 成正比, 得 n=3 故正確選項為 (D) 131. 克卜勒定律常數 =K 與萬有引力常數 G 之間成何種關係 (A) 正比 (B) 反比 (C) 平方正比 (D) 平方反比 (E) 無關係 難易度 : (A) 132. 質量 M 半徑為 R 的地球, 其地表處的重力加速度為 g, 則萬有引力常數為 (A) (B) (C) (D) (E) 難易度 : (A) 133. 有一個貼地衛星, 其繞地球運行的週期為 T, 若地表的重力加速度為 g, 則地球的半徑為 (A) (B) (C) (D) (E) (B) 134. 有一個貼地衛星, 其繞地球運行的週期為 T, 若地表的重力加速度為 g, 且地球的平均密度 為 P, 則地球質量為 (A) (B) (C) (D) (E) (A) 解析 : 由, 得, 地球質量 135. 有一人造衛星的週期為 T, 當此衛星移到新的軌道上時, 其向心力變為原來的一半, 則此衛 星的週期變為 (A) (B) (C) (D) (E) (D) 解析 : 由 知, 向心力變為 倍, 令半徑變為 b 倍, 則 或 由常數知, 半徑變為倍, 令週期變為 c 倍, 則, 或 136. 有甲 乙 丙 丁 戊等五個貼地衛星, 其質量由大到小的關係為甲 乙 丙 丁 戊, 若甲 乙 丙 丁 戊繞地運行的向心加速度分別為 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5, 則下面那個關係是正確 (A) (B) (C) 9-28

29 (D) (E) (C) 解析 : 由 知 137. 有甲 乙 丙 丁 戊等五個貼地衛星, 其質量由大到小的關係為甲 乙 丙 丁 戊, 若 甲 乙 丙 丁 戊繞地運行的週期分別為 T 1 T 2 T 3 T 4 T 5, 則下面那個關係是正確的 (A) (B) (C) (D) (E) (C) 解析 : 由 知 138. 有甲 乙 丙 丁 戊等五個貼地衛星, 其質量由大到小的關係為甲 乙 丙 丁 戊, 若 甲 乙 丙 丁 戊繞地運行的向心力分別為 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5, 則下面那個關係是正確 的 (A) (B) (C) (D) (E) (A) 解析 : 由 知 139. 有甲 乙 丙 丁 戊等五個貼地衛星, 其質量由大到小的關係為甲 乙 丙 丁 戊, 若 甲 乙 丙 丁 戊繞地運行的動量量值分別為 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5, 則下面那個關係是正 確的 (A) (B) (C) (D) (E) (A) 解析 : 由 知 140. 假設地球的半徑為 R, 某人造衛星的離地高度為 h 時, 其運行的週期為 T, 當其週期變為 8T 時, 其離地高度為 (A) R+2h (B) R+3h (C) 2R+3h (D) 3R+3h (E) 3R+4h (E) 解析 : 由 = 常數知, 得 141. 質量為 m 的人造衛星繞地心作半徑 R 的圓周運動時, 其角動量為 L, 則其向心力為 (A) (B) (C) (D) (E) (E) 142. 質量 m 的人造衛星繞地心做橢圓軌道的運動, 如右圖所示 已知地球質量為 M, 橢圓的長軸為 2a 短軸為 2b, 則人造衛星的面積速率為 9-29

30 (A) (B) (C) (D) (E) (B) 解析 : 橢圓面積, 則面積速率 143. 考慮四個繞地心運動的人造衛星 : 衛星 A 作半徑為 R 的圓周運動 衛星 B 作半徑為 2R 的圓周運動, 衛星 C 作橢圓軌道運動 ( 近地點距離 R 遠地點距離 2R) 衛星 D 作橢圓軌道運動 ( 近地點距離 R 遠地點距離 4R), 則那個衛星的週期最長 (A) A (B) B (C) C (D) D (E) 都相同 (D) 解析 : 衛星 A 平均軌道半徑 R 衛星 B 平均軌道半徑 2R 衛星 C 平均軌道半徑 衛星 D 平均軌道半徑, 因四個衛星的都相等, 因此衛星 D 的週期最長 144. 考慮四個繞地心運動的人造衛星 : 衛星 A 作半徑為 R 的圓周運動 衛星 B 作半徑為 2R 的圓周運動, 衛星 C 作橢圓軌道運動 ( 近地點距離 R 遠地點距離 2R) 衛星 D 作橢圓軌道運動 ( 近地點距離 R 遠地點距離 4R), 則衛星 A 與 D 的週期比值為 (A) (B) (C) (D) (E) (C) 解析 : 由, 得 145. 下列有關太陽系內之行星運動的敘述, 何者正確 (A) 行星的軌道為橢圓 (B) 行星作等速率運動 (C) 軌道愈大時, 週期也愈長 (D) 每個行星的角動量均相同 (E) 行星軌道半徑的立方與週期平方的比值, 與行星的質量有關 難易度 : (A) (C) 146. 所謂同步衛星是指衛星相對地面靜止不動, 猶如懸在空中一樣, 它和地球自轉的角速度相同 則下列何者正確 ( 應選兩項 ) (A) 同步衛星的高度和速率是固定的 (B) 同步衛星的高度和速率是可以選擇的, 只要維持角速度與地球自轉角速度相同即可 (C) 同步衛星在地球上空的緯度只可能是零度, 即只能在赤道上空 (D) 同步衛星在地球上空的緯度是可以選擇的, 只要維持角速度與地球自轉角速度相同即可 (E) 同步衛星上的物體處於失重狀態, 所以物體不受到地球引力的作用 難易度 : (A) (C) 9-30

31 147. 假設萬有引力係與兩物體間之距離三次方成反比, 甲 乙兩衛星分別環繞地球做等速率圓周 運動, 已知兩者的週期比值為, 則兩者的速率比值為 解析 : 148. 質量 m 的人造衛星繞質量為 M 的地球運行時, 已知其軌道半徑為 r 若在同一軌道上有另一個質量為 0.01m 的碎片逆向運行, 則 (A) 衛星與碎片在碰撞前的速率各為何 (B) 衛星與碎片碰撞後若合為一體時, 則碰撞後衛星的末速為何 (C) 衛星發生碰撞後, 衛星會向原來軌道的內側或外側偏離 (D) 若欲使衛星仍在相同的軌道運行時, 衛星必須立即向後噴出氣體, 若噴出氣體的質量為, 則噴射的速度為何 ( 該速度為相對於衛星的速度 ) (A),(B),(C) 向內偏離原來的軌道,(D) 解析 :(A) 令衛星的速度為 v, 則由向心力等於萬有引力知 上式表明軌道運行的速率與衛星的質量無關, 因此碎片在相同半徑的軌道上運行 時, 其速度亦為 (B) 衛星與碎片的碰撞滿足動量守恆, 令碰撞後的末速為, 則 3=eC5hg V4@@0Yhg (C) 由於碰撞後合體的速率小於, 這表示此時的萬有引力比衛星在原來軌道運 動所需的向心力大, 因此衛星會因引力的作用而向內偏離原來的 軌道 9-31

32 (D) 令氣體向後噴射的速度為 v r, 則由動量守恆知 149. 假定質量 M 的地球以角速度, 半徑 r 繞太陽公轉時, 突然有一質量 m 的彗星以 v 的速度和地球迎面相撞 若彗星與地球相碰後, 質量全部為地球吸收, 則碰撞後地球的角速度變為多少 解析 : 150. 假設萬有引力與距離三次方成反比, 質量為 m 2m 的雙子星, 在外太空藉彼此引力而互相繞轉, 若兩者相距 R, 則兩者互轉週期 T 為 ( 設萬有引力常數為 G, 如果萬有引力定律中兩質點間引力的大小與其距離的 n 次方 (n 2) 成反比, 而克卜勒行星第三定律的形式變為, 則 n 的值應為 解析 : 兩星球相距 R, 則質量 m 之星球與質心之距離為 與 比較 得 151. 兩個繞地球做等速圓周運動之人造衛星, 其軌道半徑比為 4:9, 則其在軌道上運轉之速率之比為何 難易度 : 9-32

33 152. 地球半徑為 R, 距地心 r 處有一同步衛星 密度和地球相同之 A 星球, 半徑 2R, 距其球心 2r 處有一同步衛星, 則 A 星球之自轉週期應為 (A) (B) 2 (C) 1 (D) 1/2 日 (C) 解析 : 由萬有引力等於向心力 得 故正確選項為 (C) 153. 一衛星環繞一行星做橢圓軌道之運動, 設此衛星至行星最遠距離與最近距離之比為 3:1, 則兩位置的速率之比為 (A) 1:1 (B) 1:3 (C) 3:1 (D) 1:9 (E) 9:1 (B) 解析 : 克卡勒第二定律 154. 一人造衛星在地球表面上高度為 R 的圓周軌道上運行 (R 為地球半徑 ) 如果在此高度上的重 力加速度為 g, 則此人造衛星的速率為 ( 以 R 和 g 表示 ) (A) (B) (C) (D) (E) (A) 155. 一行星的衛星在其表面附近繞此行星運動之週期為 T, 則此行星的平均密度可表示為 (A) (B) (C) (D) (G 代表萬有引力常數 :M 代表行星質量 ) (D) 解析 : 156. 人造衛星位於距地表 3R 處繞地球運行, 若地表的重力加速度為 g, 則衛星的繞轉速率為多 少 (R 為地球半徑 ) (A) (B) (C) (D) (C) 解析 : 9-33

34 157. 一人造衛星繞地球做等速率圓周運動, 下列敘述何者正確 (A) 衛星所受的合力為零, 所 以速率維持不變 (B) 衛星受來自地球的吸引力, 此力用於改變衛星的運動方向 (C) 衛星的 加速度為零 (D) 衛星所受的向心力做正功, 以維持衛星的動能不變 難易度 : (B) 158. 洲際通訊衛星繞地球赤道旋轉, 其週期與地球自轉相同, 稱為同步衛星, 選出正確的敘述 (A) 同步衛星做等速度運動 (B) 衛星所受重力恰等於它圓周運動的向心力 (C) 地心引力使衛星逐漸墜向地球 (D) 向心力產生向心加速度, 使衛星運動方向改變 難易度 : (B) (D) 159. 兩個繞地球的人造衛星質量比為 9:1, 軌道半徑比為 3:1, 則 (A) 受地球引力比為 1:1 (B) 向心加速度量值的比為 1:9 (C) 軌道速率比為 1:3 (D) 週期比為 9:1 (E) 角動量量值比為 27:1 (A) (B) (D) (E) 160. 下列有關地球同步衛星的敘述, 何者正確 (A) 同步衛星因不受到地球引力的作用, 所以可以停留在軌道上運動, 而不被地球引力吸引而墜地 (B) 同步衛星是指在地球表面上運行的衛星 (C) 同步衛星的週期為一天 (D) 同步衛星可以停留在北迴歸線正上方 (E) 同步衛星看起來恆留在赤道某處正上方 難易度 : (C) (E) 161. 兩個繞地球作圓周運動的人造衛星 A 與 B, 其軌道速率比為 1:2, 質量比為 2:1, 則 A 與 B (A) 軌道半徑比 4:1 (B) 週期比 8:1 (C) 向心加速度之量值比 1:16 (D) 向心力之量值比 1:8 (E) 角速率比 1:8 (A) (B) (C) (D) (E) 解析 :(A) (B) (C) 162. 人造衛星在越高空飛行, 其下列何者越小 (A) 速率 (B) 週期 (C) 向心加速度 (D) 所受引力 (E) 繞地頻率 9-34

35 (A) (C) (D) (E) 163. 在外太空中有雙星 A 和 B, 繞其共同質心做等速率圓周運動 若質量比為 2:1, 則 A 和 B 的 (A) 週期之比為 2:1 (B) 向心力大小之比為 1:1 (C) 動量大小之比為 1:2 (D) 角動量大小之比為 1:2 (E) 轉動慣量之比為 1:2 (B) (D) (E) 164. 地球上空兩個人造衛星 A B, 質量比為 1:2, 軌道半徑比為 2:1, 下列有關 A B 兩衛星各物理量之比, 正確者為 (A) 角速度之比為 (B) 向心加速度量值之比為 4:1 (C) 軌道速率之比為 1:4 (D) 角動量量值之比為 (E) 面積速率之比為 (A) (D) (E) 解析 :(A) (B) (C) (D) (E) 165. 某行星繞日旋轉的橢圓軌道, 近日距與遠日距之比為 1:2, 則衛星在近日點與遠日點處之 (A) 速率比為 2:1 (B) 角動量大小比為 1:1 (C) 向心加速度大小之比為 8:1 (D) 加速度 大小之比為 4:1 (E) 角速度比為 2:1 (A) (B) (D) 解析 :(A) 由等面積定律 (B) 角動量, 由 (C) (D) (E) 166. 外太空有相距 d, 質量分別為 m 及 2m 的 A B 雙星, 靠彼此間的萬有引力在同一平面上互繞 其共同質心做等速圓周運動, 則下列各物理量的量值,A 星與 B 星之比何者為 2:1 (A) 軌道半徑 (B) 動能 (C) 動量 (D) 角速度 (E) 向心力 (A) (B) 9-35

36 167. 質量為 m 與 M 的 A B 雙星繞系統的質心運轉, 則 A B 兩星的加速度比為 ;A B 兩星的速率比為 難易度 : M:m M:m 168. 質量為 M 1 及 M 2 之兩行星, 各有一小衛星 m 1 及 m 2, 其軌道半徑均為 R, 但 m 1 週期為 m 2 之 兩倍, 則此兩行星質量比為 M 1 :M 2 = 1: 質量為 m 及 3m 之雙子星, 在外太空藉彼此引力繞共同質心運轉, 且相距 R, 則此雙子星對質心之總角動量 = 解析 : 如圖 170. 火星有一衛星 m, 其軌道半徑為 r, 公轉週期為 T, 萬有引力常數為 G, 則火星的質量為 ( 以 m r T G 表示 ) 解析 : 171. 一衛星繞一行星轉動, 其週期為 T, 軌道半徑為該行星半徑之兩倍, 則該行星之平均質量密 度為 172. 地球的兩個人造衛星 A B, 質量比 1:2, 軌道半徑比 9:1 (A) 角速度比為 (B) 向心加速度比 (C) 角動量量值比 (A) 1:27,(B) 1:81,(C) 3:2 9-36

37 173. 地球半徑 R, 距地表 2R 的高度有一衛星繞地球作等速率圓周運動, 若地球表面之重力場強度 為 g, 則此衛星的軌道速率為 ( 以 g R 表示答案 ) 解析 : 174. 已知地表的重力加速度為 g, 地球半徑為 R E, 欲使人造衛星能在半徑 r 的圓形軌道上環繞地球穩定地運轉, 則它在軌道上的速率應為, 又其在軌道上的運轉週期應為 解析 : 維持衛星做圓周運動的向心力, 由地球對衛星的萬有引力所提供又 175. 繞地球運行之兩人造衛星 A 與 B, 質量之比為 2:1, 離地球中心距離之比為 4:1, 求兩衛星 (A) 週期比 (B) 受地球引力大小比 (C) 向心加速度量值比 (D) 速率比各若干 (A)8:1,(B)1:8,(C)1:16,(D)1: 外太空中有相距 d, 質量分別為 m 1 及 m 2 的雙星, 在同一平面上互繞其共同質心作等速圓周運動, 試求二者之 (A) 軌道半徑 (B) 受力 (C) 速度 (D) 角速度 (E) 加速度 (F) 週期量值各為何 難易度 : (A),(B),(C), (D),(E),(F) 177. 若萬有引力常數為 G, 地球半徑為 R, 其質量為 M, 自轉週期為 T, 則一永遠停留在地球赤道某處上空之人造衛星 (A) 距地面之高度 (B) 軌道速率 (C) 向心加速度之量值各若干 (A) (B) (C) 解析 :(A) 欲永遠停留在地球赤道某處上空之人造衛星, 必須與地球之自轉同步, 且公轉方向亦須與地球自轉同方向, 而運轉週期 = 地球自轉週期 T, 此衛星稱為地球的同步衛星 設人造衛星之質量為 m, 距地面高度為 h, 軌道半徑為 r(r=r+h) 則因 M 與 m 之萬有引力提供 m 作圓周運動所需之向心力 9-37

38 又因 (B) 軌道速率 (C) 向心加速度大小 178. 三個星球, 質量都是 m, 相距 R, 成一獨立系統, 各星球均環繞共同質心運轉, 求 :(A) 軌道半徑 (B) 向心力 (C) 向心加速度 (D) 軌道速率 (E) 環繞週期 難易度 : (A),(B),(C),(D),(E) 179. 一衛星在半徑為 R 之圓軌道, 以週期 T 繞一直徑 D 之行星運轉, 則此行星表面質量 m 之物體其重量為何 180. 兩個繞地球作等速圓周運動之人造衛星, 其軌道半徑比為 4:9, 則在軌道上運轉之 (A) 速率比 (B) 向心加速度量值比各若干 (A) 3:2,(B) 81: 某行星之半徑為地球之兩倍, 密度為地球之 3 倍, 求其表面運行的衛星與地球表面人造衛星的 (A) 週期比 (B) 速率比 (C) 向心加速度量值比 難易度 : (A),(B),(C) 6: 兩個繞地球作圓周運動的人造衛星 A 與 B, 其軌道速率比為 1:2, 質量比為 2:1, 試求兩者 (A) 軌道半徑比 (B) 週期比 (C) 向心加速度之量值比 (D) 向心力之量值比 (E) 角速率比 難易度 : (A) 4:1,(B) 8:1,(C) 1:16,(D) 1:18,(E) 1: (A) 某行星有一衛星以週期為 T, 半徑為 R 的軌道環繞此行星, 求此行星的質量 M( 設行星不動 ) (B) 若此行星即地球, 衛星即月球, 月球繞地球半徑 R= 公尺, 週期 T= 9-38

39 27.3 天, 求地球質量 (A),(B) 公斤解析 :(A) 設行星質量為 M, 衛星質量為 m M 與 m 間的萬有引力提供 m 作圓周運動 (B) 184. 質量為 m 之衛星繞一行星運轉, 軌道半徑為 R, 週期為 T, 此行星之半徑為, 則該行星之表面重力加速度為多少 解析 : 設行星質量為 M 則 M 與 m 間之萬有引力提供 m 作圓周運動所需之向心力 故行星表面之重力加速度 185. 在地表附近的均勻重力場中, 鉛直上拋一球最高可達 h, 地表附近假設位能 U=mgh 但若需 考慮重力場實際上並不均勻, 若以相同初速上拋, 則實際上可達到 (A) (B) (C) (D) (E) (D) 解析 : 設地表附近的位能皆為 U=mgh, 則以無窮遠處為零位面, 離地面 h 之位能為 設地表附近的位能並非如上式所假設的為定值, 同樣條件下, 鉛直上拋的球可達離地面 H 處, 其位能為 二式的位能, 其實是相同的, 則, 因為 9-39

40 故正確選項為 (D) 186. 設地球半徑 R, 地表重力加速度 g, 則有人造衛星繞地球做橢圓運動, 最遠離地心 4R, 最近 2R, 則衛星離地球最近處時, 衛星速度量值為 (A) (B) (C) (D) (E) (B) 解析 : 能量守恆 且 則 故正確選項為 (B) 187. 設地球半徑為 R, 自地面發射質量 m 的人造衛星, 使之到達離地面 2R 之軌道上繞地球做圓 周運動, 設地球質量 M, 萬有引力常數 G, 則自地面發射衛星的初速為 (A) (B) (C) (D) (E) (C) 解析 : 原來總能 + 外加動能 = 後來總能 故正確選項為 (C) 9-40

41 188. 設地球半徑為 R, 自地面發射質量 m 的人造衛星, 使之到達離地面 2R 之軌道上繞地球做圓周運動, 設地球質量 M, 萬有引力常數 G, 若欲將衛星送至無窮遠處, 則至少需要提供衛星多少能量 (A) (B) (C) (D) (E) (C) 解析 : 距地面 2R, 即距地心 3R 故正確選項為 (C) 189. 地球半徑為 R, 萬有引力常數 G, 一物體離地表 R 處自由落下, 不計阻力, 則物體著地速度 為 (A) (B) (C) (D) (E) 難易度 : (C) 190. 地球質量為 M, 人造衛星的質量為 m, 若以無窮遠處為零位面, 則衛星由半徑 2R 的軌道要 升高為半徑 3R 的軌道, 至少要補充多少能量 (A) (B) (C) (D) (E) 難易度 : (E) 191. 設有二星球其質量均為 m, 在相互吸引之重力作用下同時以半徑 r 對此二星球之質量中心做圓周運動, 如圖所示, 則至少需多少能量, 才能將此二星球拆散成相距無限遠 (G 為重力常數 ) (A) (B) (C) (D) (E) (D) 解析 :(1) 設二星球質量各為 m 1 及 m 2, 二者相距 d, 距質心之距離 ( 即軌道半徑 ) 分別為 r 1 及 r 2, 且 (2) m 1 繞質心做圓周運動, 以兩者間之萬有引力做向心力 9-41

42 同理 (3) (A) 系統總動能 (B) 系統總位能 (C) 系統總力學能 (D) 將二星球拆散成相距, 至少做功 W( 即束縛能 ) 依題意 : 故正確選項為 (D) 192. 甲 乙 丙 戊為地球的衛星, 軌道半徑各為 2R 3R 5R 6R(R 為地球半徑 ), 質量各為 m 3m m 4m 2m, 各衛星軌道皆為圓形 力學能最大的是 (A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D) 丁 (E) 戊 (C) 解析 : 丙的力學能最大故正確選項為 (C) 193. 甲 乙 丙 丁 戊為地球的衛星, 軌道半徑各為 2R 3R 5R 6R(R 為地球半徑 ), 質量各為 m 3m m 4m 2m, 各衛星軌道皆為圓形 以下敘述正確的是 (A) 甲的引力最大 (B) 乙的動能最大 (C) 丙和丁的速率不同 (D) 戊的引力最小 (E) 戊的速率為甲速率的 (B) 解析 : 動能 : 引力 : 速率 : 動能乙最大, 引力乙最大, 丙最小 故正確選項為 (B) 9-42

43 194. 質量為 m 的行星在近日點速度為 v 0, 且近日點與遠日點距離比為 3:5 問: 行星由近日點到 遠日點, 太陽對行星做功若干 (A) (B) (C) (D) (E) (B) 解析 : 由克卜勒第 2 定律 : 遠日點速率為, 故正確選項為 (B) 195. 設人造衛星繞地球做半徑為 R 的等速率圓周運動時之動能為 K, 若在運行中加入的能量 後仍能維持等速率圓周運動, 則其軌道半徑將變為 R 的多少倍 (A) (B) 1 (C) (D) 2 (E) (C) 解析 : 人造衛星運行之動能 總能 因此動能為 K, 則總能為 故正確選項為 (C) 196. 人造衛星質量為 m, 在距地表 r 處做等速率圓周運動 若地球質量為 M, 萬有引力常數為 G, 將此衛星改送到距地表 2r 處做等速圓周運動, 需再供給多少能量 ( 設地球半徑為 R) (A) (B) (C) (D) (E) 零 (C) 解析 : 距地表 r 處之總能為 距地表 2r 處之總能為 所需能量為 故正確選項為 (C) 9-43

44 197. 質量 m 的行星繞質量 M 的太陽做橢圓軌道運動, 近日距 r, 遠日距 3r, 重力常數 G, 則此行 星的最大動能為若干 (A) (B) (C) (D) (E) (D) 198. 右圖為衛星繞地球的橢圓軌道, 若 r 1 :r 2 =3:1,r 1,r 2 表衛星和地球間最遠及最近距離, 則 (A) 衛星在 AB 兩點的速率比 v 1 :v 2 =1:3 (B) 衛星於 AB 兩點的動能比 E k1 :E k2 =1:9 (C) 衛星於 AB 兩點的重力位能比 U 1 :U 2 =1:3 (D) 衛星於 AB 兩點的力學能比 E 1 :E 2 =1:1 (E) 衛星於 AB 兩點的重力比 F 1 :F 2 =1: 9 (A) (B) (D) (E) 解析 :(A) (B) (C) 未訂何處位能 =0, 故無法比較 (D) 保守力場, 力學能守恆 (E) 重力故正確選項為 (A) (B) (D) (E) 199. 甲乙二衛星質量各為 m 3m, 半徑各為 2R 和 5R, 所繞行星的質量為 M, 星球半徑為 R 自轉週期為 T, 若衛星軌道皆為圓形, 問 : 下列敘述正確者為何 (A) 乙衛星處的引力場強度 為 (B) 甲乙衛星的公轉週期比為 (C) 甲乙的力學能相差 (D) 二 衛星的面積速度比為 2:5 (E) 甲若要升到無窮遠處, 至少要補充能量 (A) (B) (E) 解析 :(A) (B) 甲乙 (C) (D) (E) 故正確選項為 (A) (B) (E) 9-44

45 200. 人造衛星環繞地球做圓形軌道運行, 如持續受到微小摩擦力的作用, 則下述何量將變小 (A) 重力位能 (B) 動能 (C) 力學能 (D) 軌道半徑 (E) 向心加速度 (A) (C) (D) 解析 : 受摩擦作用, 力學能減少 減少, 故 r 減小 減小, 動 = 增大 r 減小,v 增大, 故 a c 增大故正確選項為 (A) (C) (D) 201. 與其他星球距離極遠的雙星, 甲的質量為 3M 乙的質量為 2M, 甲到質心的距離為 L 且雙方 正繞質心運轉, 下列敘述正確者為何 (A) 此系統的位能為 (B) 甲的向心加速 度為 (C) 乙繞一圈的時間較短 (D) 乙的速率為 (E) 質心位置的引力場強 度為零 (A) (B) (D) 解析 : (A) (B) 甲 甲 (C) 兩者時間相同 (D) (E) 故正確選項為 (A) (B) (D) 9-45

46 202. 一人造衛星質量 m 以橢圓軌道繞地球運轉, 距離地球中心最近的距離為 R, 最遠的距離為 2R, 設地球質量為 M, 重力常數為 G, 則衛星在最近和最遠處動能差為 解析 : 由力學能守恆 203. 如右圖, 一人造衛星質量為 m, 以橢圓軌道繞地球運行 ; 衛星離地球中心最近距離為 R, 離地心最遠距離為 4R, 設地球的質量為 M, 重力常數為 G, 試求 : (A) 衛星在離地心最近和最遠處之動能差為 (B) 系統的力學能為 ( 設相距無限遠的位能為零 ) (A),(B) 解析 :(A) (B) 設遠地點速率 v, 則近地點速率 4v 力學能 204. 設地面上的重力場大小為 g, 地球半徑為 r 時, 自地面發射質量為 m 的人造衛星至距地面高為 r 處, 使之做圓周運動所需的功為何 解析 : 205. 一人造衛星質量為 m, 以橢圓形軌道繞地球運行 ; 衛星離地球中心最近的距離為 R, 離地心最遠的距離為 3R, 如圖 設地球之質 9-46

47 量為 M, 重力常數為 G, 試求衛星在離地心最近和最遠處之動能差 解析 : 206. 質量 m 的衛星繞質量 M 的地球做橢圓軌道運動, 設衛星與地球之最近距離為 r, 最遠距離為 2r, 重力常數 G 則 (A) 衛星自遠地點至近地點時, 地球引力對衛星做功 (B) 衛星的最大動能為 (A) (B) 解析 :(A) (B) 由等面積定律 代入下式 由力學能守恆 207. 地球半徑 R, 質量 M, 若質量 m 之人造衛星, 在離地心 2R 處運行, 欲改變其軌道半徑為 3R 運行, 則需供給能量為, 在軌道半徑 3R 運行時衛星之脫離能是束縛能之倍, 難易度 : 208. 已知某行星質量為 m, 繞太陽運行, 軌道為圓形, 半徑為 r, 在單位時間內半徑掃過的面積為 A, 如圖示 則此行星 (A) 繞太陽公轉之動能為若干 (B) 設 r= 時, 重力位能為 0, 則此時太陽與此行星系統的力學能為若干 (A) (B) 解析 :(A) 9-47

48 (B) 由萬有引力作向心力 9-48