第三章

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通鲍
5 years ago
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1 定积分的概念性质和微积分基本定理十六世纪初, 现代天文学创始人 Kepler 提出了著名的行星运动三大定律 Kepler 第一运动定律指出 : 行星运动的轨道是椭圆, 太阳位于其中一个焦点上这一定律是 Kepler 以长期观察和三角测量相结合的产物 Kepler 第二定律也建立在观察测量和数值计算的基础上这一定律指出 : 联结行星和太阳之间的焦半径在相等的时间内扫过相图 3.. 等的面积

2 对此我们稍加说明 Kepler 以火星为目标进行了长期观察, 作出了火星运动的椭圆轨道他把注意力集中于轨道中几个特殊点上如图 3.. 中的 A,B, C,D,E,F 这些点的取法使火星从 A 运动到 B 所需时间与它从 C 到 D 的时间及 E 到 F 的时间相同在作出从这些点到太阳所在焦点的焦半径之后,Kepler 又算出了椭圆扇形 ASB,CSD,ESF 的面积一个重要的发现是这些扇形面积相等, 这就是 Kepler 第二定律提出的结论这个发现的关键在于计算椭圆扇形的面积为此, 他把原扇形分割成许多小扇形, 并近似地把小扇形看作三角形, 以一列小三角形的面积之和作为椭圆扇形面积的近似值这蕴含了求不规则图形面积的思想方法

3 面积问题面积问题包含两个方面 : 一是给出面积的定义, 二是寻求计算面积的方法设 f 是定义在 [, b] 上的非负函数, 称由曲线 y = f(x), 直线 x =,x = b,y = 0 围成的图形为曲边梯形 ( 见图 3..) 何谓这个曲边梯形的面积, 又如何来计算这一面积? y 作区间 [, b] 的一个分划 D: x x x b 0 分划 D 把 [, b] 分为个小区间, 每个小区间, x ] [ x O x - ξ x b 图 3.. x 的长度为 x x x 在, x ] 围成的小矩形, 其面积为 [ x 上任取一点, 考察以 f ( ) x 把个小矩形面积相加, 得到 y f, x x ( ), y 0, x x

4 f ( ) x 记 mx x, 如果随着分划越来越细, 即 0, 上述和式的极限存在, 就定义曲边梯形的面积 A 为这个极限, 即 A lm 0 f ( ) x 以上我们既给出了曲边梯形面积的定义, 也给出了计算面积的途径 : 分割求和取极限

5 计算面积的详细过程演示

6 路程问题设质点 P 沿一直线运动, 它在时间段 [ 0, t ] 中通过的路程为 s(t), 在时刻 t 的速度为 v(t) 当 v(t) 是常数 v 0 时,s(t) 的计算十分简单 : s( t) v0t 但是, 当 v(t)( 0) 依赖于 t 作变化时,s(t) 的计算就不那么简单了为了计算时间段 [, b] 中质点 P 所通过的路程 S s( b) s( ), 我们作这个时段的一个分划并记 t t t, mx t, 于是 t0 t t b, S [ s ( t ) s ( t )]

7 从形式上看,S 的这种分解对求解并无实质性帮助但是, 如果速度是连续变化的, 当很小时, 每个小时段, t ] 中可以以匀速代变速, 即任取, t ] [ [ t t, 有 s( t ) s( t ) v( ) t, 因此 S v( ) 注意, 当最大小时段越短, 即越小, 这种以匀速代变速的精确度越高, 从而质点 P 在时段 [, b] 中经过的路程为 t S lm 0 v( ) x 以上两个不同的几何量和物理量的计算, 最后都归结为结构相同的和式的极限撇开各类问题的具体背景, 抽象出其数量关系的共同特征, 就引出了下述定积分的概念

8 定积分的定义定义 3.. 设 f 是 [, b] 上的有界函数对 [, b] 的任意分划任取 x, x ], 并记 [ x x D : x x x b, 0 x (,,, f ( ) x, ) 作和式称之为 Rem 和记 mx x, 如果 0时 Rem 和的极限存在, 就称 f 是 [, b] 上的 Rem 可积函数, 简称为可积函数 ; 称此极限为 f 在 [, b] 上的 Rem 积分, 简称为定积分, 记作 b f x) dx (, 即 b f ( x) dx = lm 0 f ( ) x

9 在记号 b f x) dx ( 中, 称 f 为被积函数,x 为积分变量, 分别称,b 为积分的下限与上限显然, 积分值与积分变量符号的选取无关, 即 b f x) dx ( = b f ( t) dt 对定积分的定义, 要作两点补充说明首先, 定义中所谓 Rem 和的极限存在, 同时还包含着这一极限与区间分划方式 D 及的取法无关的要求, 即, 如果存在实数 I, 对于任意给定的 0, 存在 0, 当 0 mx x 时, 对任意的, x ], 总有 x [ x f ( ) - I, 那末,I 才是 f 在 [, b] 上的 Rem 积分

10 其次, 上面的定义中原先要求 b为了运算和应用的方便, 补充规定又规定 b 时 f ( x) dx 0 b f x) dx ( = - b f ( x) dx 自然要问 : 什么样的函数是可积的? 我们不拟对此深入讨论, 只是给出一个充分条件定理 3.. 设 f 是 [, b] 上的有界函数, 而且最多只有有限个间断点, 则 f 在 [, b] 上可积

11 例 3.. 计算 b dx, 其中是一个常数所以解对 [, b] 的任何分划 D : x x x b 和任何的, x ], 均有 f ( ) x = 0 x = x = ( b ) [ x b dx= lm 0 f ( ) = ( b ) x 例 3.. 计算积分 0 x dx 解因为 ( x) x f 在 0,] [ 上连续, 由定理 3.., 它是可积的既然积分值与区间分划方式及取法无关, 不妨把 [ 0,] 分为等分, 即取 x ( 0,,, ), 并取 = x 于是,Rem 和

12 f ( ) x = x = = 3 ( )( ) 当 0 时,, 所以 0 x dx= lm 0 f ( ) x = lm 6 = 3 例 3..3 利用定积分计算极限解记 x ( 0,,, Mclur 公式, 有 lm s ), x x x 利用带 Lgrge 余项的 s 其中 0, x x ) 于是 (, s( x ) (s )( ) x x x x x

13 s x x (s )( x x ) 由定理 3.. 和定积分的定义, 得 lm x x 0 xdx 又由于而 lm x x 0 x dx 0 0 因此 0 (s )( x x ) ( x x ) x x,, 所以由极限的夹逼性得 lm lm (s )( x x ) 0 s xdx 0 上面最后一个等式是利用 0 xdx 的几何意义, 它为直线围三角形的面积, 从而等于 y x, x 以及 x 轴所

14 定积分的性质由于定积分是一类和式的极限, 利用极限运算的性质, 容易导出定积分的相应性质设 f 和 g 的是 [, b] 上的可积函数, 则其积分具有下列性质 : 性质对任何常数,, f g 也是 [, b] 上的可积函数, 且 b [ f ( x) g( x)] dx = f ( x) dx b b g ( x) dx 加法和数乘统称为线性运算上面的性质说明定积分作为从可积函数类到实数集的对应, 保持着线性运算关系因而, 这一性质称为积分的线性性质

15 性质对任何一点 c, b f x) dx ( = c f x) dx ( + b c f ( x) dx, 其中 c 的位置应保证上述等式右端的两个积分有意义这个性质称为积分的可加性性质 3 如果在 [, b] 上 f (x) g (x), 则 b f ( x) dx b g ( x) dx 这个性质称为积分的单调性性质 4 b f ( x) dx b f ( x) dx 这是由于 f ( x) f ( x) f ( x), 利用性质,3 即得性质 4

16 性质 5( 积分中值定理 ) 设 f 是 [, b] 上的连续函数, 则在 [, b] 上至少存在一点, 使得 b f ( x) dx = f ( )( b ) 证因为 f 在 [, b] 上连续, 所以在 [, b] 上必能达到其最大值 M 和最小值 m, 有 m f ( x) M, x [, b] y 由性质 3 和例 3.., 即得从而 b m( b) f ( x) dx M( b ) o ξ b 图 3..3 x

17 m b f x dx M b ( ) 由此, 再根据连续函数的介值定理, 必有 [, b], 使得 f () b b f ( x) dx 这就是要证明的证毕图 3..3 给出了中值定理的几何解释 : 若 f 是 [, b] 上非负函数, 则必存在 [, b], 使得以 b 为底, f ( ) 为高的矩形面积恰好等于平面区域的面积 {( x, y) 0 y f ( x), x b} 注称性质 5 中的 f ( ) = b b ( 为 f 在 [, b] 上的积分平均 f x) dx

18 原函数定积分还有一个十分特殊而重要的性质, 它对进一步考察微分和积分的关系起关键的作用定理 3.. 设函数 f 在 [, b] 上连续, 则函数在 (, b) F (x) 上可导, 且导数 ( 导函数 ) 为 = x f ( t) dt F ( x) f ( x), x (, b) 注在定理中出现的 x f t) dt ( 是变上限的定积分, 它自然是上限的函数

19 证因为 F( x x) = x x 再利用积分中值定理, 在 x 和所以 f ( t) dt, 由性质可得 F( x x) F(x) x x = x x 间存在, 使得 x f ( t) dt F( x x) - F (x) = f ( ) x, F (x) = lm x0 F( x x) F( x) x = lm 0 ( ) x f 因为当 x 0时, x x 性, 即得 x, 从而介于 x 和 x x 间的也趋向 x, 利用 f 的连续 F (x) lm f ( ) = f (x) x 证毕

20 例 3..4 设 F (x) = cos( 0 x 3 t ) dt, 求 (x) 3 解视积分上限 x 为中间变量, 记 F u f (u) = t 3 cos( ) dt, u g( x) x, 0 则 df ( u) F f g 由定理 3.., du = cos( u ), 又 g ( x) 3x, 所以 F (x) = f (u) cos( u ) g ( x) 3x 6 = 3x cos( x ) 定理 3..3 给出了求导与求积分之间的一个互逆关系, 即 d x dx f ( t) dt= f (x) 相应于这个互逆关系, 下面给出一个与导数相对偶的概念定义 3.. 设函数 F 和 f 均定义于某区间上, 如果在该区间上成立 F (x) = f (x), 则称 F 为 f 的一个原函数

21 一个函数的原函数如果存在, 则显然不是唯一的例如 3 3 的导数都是 x, 它们都是 x 的原函数 x, 3 x, x 定理 3..4 如果定义于某区间的函数 f 存在原函数, 则其任意两个原函数只差一个常数证设 F 和 G 都是 f 的原函数, 则对该区间中一切 x, 均有由微分学中值定理的推论, 可知 ( F G) ( x) f ( x) f ( x) 0 F G 必定为常数, 即存在常数 c, 使得 F( x) G( x) c, [, b] x 证毕由于 [, b] 上的任何连续函数都是可积的定理 3.. 告诉我们, 连续函数一定有原函数当 f 在 [, b] 上连续时, x f t) dt ( 就是 f 的一个原函数

22 微积分基本定理前面给出的定积分计算, 最后都归结为结构相同的和式的极限这种和式的极限一般情况下, 难于计算, 缺乏实用价值微积分的成功也正在于提供了一套完整的简捷可行的计算方法定理 3..5(Newto-Lebz 公式 ) 设 f 是 [, b] 上的连续函数,F 是 f 的一个原函数, 则 b f ( t) dt F( b) F( ) 证记 G(x) x f t) dt (, 由定理 3.. 可知,G 是 f 的一个原函数又已知 F 也是 f 的一个原函数, 由推论.4., 这两个函数只能相差一个常数设此常数为 c, 即 G( x) F( x) c

23 于是, 当 x [, b] 时, 恒有 x f ( t) dt= F( x) c 取 x, 得 0 F( ) c, 即 c F() 再取 x b, 即得 b f ( t) dt F( b) F( ) 证毕注在上述 Newto-Lebz 公式中, 常简记 ( b) F( ) F 为 F x) b (, 即 b b f ( t) dt= F ( x)

24 例 3..5 求 3 解因为 (s x) cos xdx 0, 即 s x 是 cos x的一个原函数, 所以 cos x 3 cos 3 xdx s x 0 0 s 3 s 0 3 例 3..6 求 dx x 0 x 解由于 (rctx), 即 x rct 是 x 的一个原函数, 所以 dx rctx x 0 0 4

定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn / 23

定积分的基本概念内容提要 1 定积分的基本概念 2 定积分的几何意义 3 定积分的基本性质 4 定积分中值定理 5 变限积分及其性质 6 微积分基本公式 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 1 / 23 定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 2 /