标题

Size: px

Start display at page:

Download "标题"

悌奴湛
5 years ago
Views:

1 第 35 卷第 6 期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 203 年 6 月 Vol.35 No.6 JournalofSouthwestUniversity (NaturalScienceEdition) Jun. 203 文章编号 : (203) 凸体的混合宽度积分刘春燕, 马统一,2. 西北师范大学数学与统计学院, 兰州 ;2. 河西学院数学与统计学院, 甘肃张掖摘要 : 引入了凸体的混合宽度积分的概念, 研究了其性质, 并建立了有关凸体的混合宽度积分的循环不等式和 Brunṉ Minkowski 不等式. 关键词 : 凸体 ; 支撑函数 ; 混合宽度积分中图分类号 :O86.5 文献标志码 :A 凸体的宽度积分首先由文献 [] 提出, 随后文献 [2-3] 又对其作了进一步研究. 设 u S n-,b(k,u) 表示凸体 K 在 u 方向的半宽度, 即 b(k,u) 2 ( h(k,u)+h(k,-u)) () 其中 h(k,u) 表示凸体 K 的支撑函数,S n- 表示中心在原点的 n- 维单位球面. 若对于 R n 中的两个凸体 K 和 L, 存在常数 λ >0, 使得对所有的 u S n-, 有 b(k,u)λb(l,u), 则称两个凸体 K 和 L 具有相似宽度. 文献 [3] 中定义了凸体的 i 次宽度积分 : 设 K 是 R n 中的凸体,i 为实数, 则 Bi(K) (u) ds(u) (2) n S n-bk 其中 ds(u) 表示 S n- 在 u 的面积微元. 文献 [3] 同时研究了其性质, 并建立了凸体宽度积分的 Brunṉ Minkowski 型不等式. 本文将凸体的 i 次宽度积分推广为涉及两个凸体的混合宽度积分, 并给出了一些相关性质和不等式. 预备知识设 K n 是由 n 维欧氏空间 R n 中的凸体 ( 有非空内点的紧凸集 ) 构成的集合,K n o 和 Kc n 分别表示 R n 中包含原点为内点的凸体构成的集合和关于原点对称的凸体构成的集合, 设 S n o 为 R n 中包含原点的所有星体构成的集合. 设 K K n n [4-5], 则它的支撑函数 hk h(k, ):R (0, ) 定义为 : h(k,x)max{x y:y K} x R n 这里 x y 表示 x 和 y 的标准内积. 在 n 维欧氏空间 R n 中, 一个紧的星形 ( 关于原点 )K 的径向函数 ρk ρ ( K, ):R n \{0 } [0,+ ) [4-5] 定义为 : ρ ( K,x)max{λ0:λx K} x R n \{0} 收稿日期 :20 02 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (609); 甘肃省教育厅研究生导师科研资助项目 (009B 09). 作者简介 : 刘春燕 (987 ), 女, 甘肃古浪人, 硕士研究生, 主要从事凸几何分析的研究.

2 2 西南大学学报 ( 自然科学版 ) htp://xbbjb.swu.cn 第 35 卷当 ρk 是正的连续函数时, 称 K 是一个星体 ( 关于原点 ). 如果 K,L S n o, 且 ρk ( u)/ ρl (u) 与 u S n- 无关, 则称 K 和 L 中的一个是另一个的膨胀. 设 K K n o,k 的极体 K * 定义为 [4] : K * {x R n :x y,y K} (3) 由 (3) 式我们知道 : 如果 K K n o, 则有 (K * ) * K, 且对任意的 u S n-, 有 hk * ( u) ( ρk ρk u) ( * u) hk (u) 假设 p 0, μ 是集合 X 上的有限 Borel 测度,f 是集合 X 上的几乎处处非负的 μ p 次平均 M pf 定义为可积函数, 则 f 的 M pf μ ( f (x) p dμ ( x X) X û ú [6] 关于 f 的 p 次平均 M pf, 有如下著名的 Jensen 不等式 : 如果 p q, 且 M pf 和 M qf 都存在, 则等号成立当且仅当 f 是一个常数或 p q. 对于 K S n o 和任意实数 i,k 的对偶均质积分 Wi ~ [4-5] (K) 定义为其中 S 是 u S n- 上的球面 Lebesgue 测度. 2 主要结果及明 p M pf M qf (4) ~ Wi(K) n S n- ρ K ( u)ds(u) (5) 对于 K,L K n, 和 λ, μ 0(λ, μ 不同时为 0), 定义 K 和 L 的 Minkowski 线性组合 λk +μl K n 的 [4-5,7] 支撑函数为这里 λ K 中的表示 Firey 内积. h(λk +μl, )λh(k, )+μh(l, ) (6) 根据 () 和 (6) 式, 对于 K,L K n, 和 λ, μ 0(λ, μ 不同时为 0), 易知结合 (3) 式, 我们给出凸体的混合宽度积分的定义如下 : 定义 b(λk +μl, )λb(k, )+μb(l, ) (7) 对 K,L K n,ε >0 和实数 i n,k 和 L 的混合宽度积分 Bi(K,L) 定义为 Bi(K +ε L)-Bi(K) ()Bi(K,L)lim ε 0 + ε 进一步, 我们可以建立凸体的混合宽度积分的积分表达式, 即命题对 K,L K n,ε >0 和实数 i n, 有其中 ds(u) 表示 S n- 在 u 的面积微元. 根据 (2) 式和 (7) 式, 有 (8) Bi(K,L) n S n-b (K,u) - b(l,u)ds(u) (9) Bi(K +ε L)-Bi(K) lim ε 0 + ε b(k lim +ε L,u) -b(k,u) ds(u) ε 0 + n S n- ε lim ε 0 + n S n- 又由 (8) 式便可得到 (9) 式. (b(k,u)+εb (L,u)) -b(k,u) ds(u) ε n S n-b (K,u) - b(l,u)ds(u)

3 第 6 期刘春燕, 等 : 凸体的混合宽度积分 3 命题 2 关于混合宽度积分, 有如下性质 : 췍如果 K,L K n, 常数 λ 0, 则 Bi(λK,L)λ - Bi(K,L); 췍 ( 体的单调性 ) 若 K,K,L K n,k K, 则 Bi(K,L) Bi(K,L)(i n-); 췍 ( 幂的单调性 ) 若 K,L K n,m m2, 且 m,m2 n-, 则 Bm (K,L) n-m - Bm 2 (K,L) n-m 2 - 等号成立当且仅当 K 和 L 在 u 方向的半宽度都为常数. 췍成立. 由 (7) 式可得性质췍成立 ; 由支撑函数的性质知性质췍成立 ; 根据 Jensen 不等式 (4) 可得性质关于凸体的混合宽度积分, 有如下的 Minkowski 型不等式 : 定理如果 K,L K n,i R, 则当 i<n- 时, 有 Bi(K,L) Bi(K) - Bi(L) (0) 当 i>n 或 n-<i<n 时, 逆向不等式成立. 两式中等号成立当且仅当 K 和 L 具有相似宽度. 根据 (2) 式 (9) 式和 Hlder 不等式, 当 i<n- 时, 有 Bi(K,L) n S n-b (K,u) - b(l,u)ds(u) n-( b(k,u) - ) - - b(l,u) ds(u) n S - n-b (K,u) ds(u n-b (L,u) ds(u n S Bi(K) - Bi(L) 即可得 (0) 式. 当 i>n 或 n-<i<n 时, 类似可逆向不等式成立. 由 Hlder 不等式等号成立的条件知,(0) 式等号成立当且仅当 K 和 L 具有相似宽度. 其次, 我们建立了凸体混合宽度积分的循环不等式 : 定理 2 设 K,L K n,i,j,k R 且 i<j<k, 则等号成立当且仅当 K 在 u 方向的半宽度 b(k,u) 为常数. 根据 (9) 式和 Hder 不等式, 我们有 Bi(K,L) k-j +Bk(K,L) j-i B j (K,L) Bi(K,L) k-j Bk(K,L) j-i () k-j n-b (K,u) - b(l,u)ds(u j-i n-b (K,u) n-k- b(l,u)ds(u b (K,u) (-)(k-j) k-j b(l,u) k-j k- i k-j ( ) ds(u n S n- û ú b (K,u) (n-k-)(j-i) b(l,u) j-i k- i j-i ( ) ds(u n S n- û ú n-b (K,u) (-)(k-j)+(n-k-)(j-i) n S n-b (K,u) n-j- b(l,u) B j (K,L) j-i b(l,u) 整理可得 () 式. 由 Hlder 不等式等号成立的条件知,() 式等号成立当且仅当对任意 u S n-, 有 b(k,u) - b(l,u) λb(k,u) n-k- b(l,u), 其中 λ 为常数, 即对任意 u S n-,k 在 u 方向的半宽度 b(k,u) 为常数. 定理 3 如果 K,K2,L K n, 则 4B2n(K +K2,L) n+ B2n(K,L) n+ +B2n(K2,L) n+ (2)

4 4 西南大学学报 ( 自然科学版 ) htp://xbbjb.swu.cn 第 35 卷等号成立当且仅当 K K2. 因为 K,K2 K n, 所以 K +K2 K n. 根据 (9) 式和 Minkowski 积分不等式, 得 B2n(K,L) n+ +B2n(K2,L) n+ n-b (K,u) -n- b(l,u)ds(u n S n- n+ b(l,u) b(k,u) +b (L,u) b(k2,u ) n+ n+ n+ + n-b (K2,u) -n- b(l,u)ds(u n S ù û ú 4 n-b (L,u) n S b(k,u)+b(k2,u ) 4 b(l,u) ds(u n S n- b(k +K2,u) n+ û ú 4B2n(K +K2,L) n+ n+ n+ n+ ù û ú n+ 即可得 (2) 式. 根据 Minkowski 积分不等式等号成立的条件和明过程可知,(2) 式等号成立当且仅当 K K2. 定理 4 如果 K,L K n o,i R. 则当 i<n- 时, 有 Bi(K,L) ~ W2(K * ) -~ W2(L * ) (3) 当 n-<i<n 时, 逆向不等式成立. 等号成立当且仅当 K 和 L 都是中心对称凸体且互相膨胀. 根据 (0) 式 (5) 式和 Minkowski 积分不等式, 当 i<n- 时, 有 Bi(K,L) Bi(K) - Bi(L) - n-b (K,u) ds(u n-b (L,u) ds(u n S n S n- n S n- 2 ( h(k,u)+h(k,-u )) ù û ú 2 ( h(l,u)+h(l,-u )) ù û ú - - n-h (K,u) ds(u n-h (L,u) ds(u n S - ρ ( K *,u) i-n ds(u n S n- ρ ( L *,u) i-n ds(u n S n- W2(K ~ * ) - W2 ~ (L * ) n+ 即可得 (3) 式. 当 n-<i<n 时, 类似可逆向不等式成立. 由 (0) 式和 Minkowski 积分不等式等号成立的条件知,(3) 式等号成立当且仅当 h(k,u)h(k,-u),h(l,u)h(l,-u), 且存在一个常数 λ >0, 使得 b(k,u)λb(l,u), 也就是 h(k,u)λh(l,u), 即 K 和 L 都是中心对称凸体且互相膨胀. 最后, 我们建立凸体的混合宽度积分的 Brunṉ Minkowski 不等式 : 定理 5 如果 K,K2,L K n,i R,i n-. 则当 i n-2 时, 有 Bi(K +K2,L) - Bi(K,L) - +Bi(K2,L) - (4) 当 n-2<i<n- 时, 逆向不等式成立. 两式中等号成立当且仅当 K 和 L 具有相似宽度. 因 K,K2 K n, 所以 K +K2 K n, 当 i n-2 时, 根据 (9) 式和 Minkowski 积分不等式得 Bi(K,L) - +Bi(K2,L) - n-b (K,u) - b(l,u)ds(u - + n-b (K2,u) - b(l,u)ds(u n S -

5 第 6 期刘春燕, 等 : 凸体的混合宽度积分 5 b (K,u)b(L,u) - +b(k2,u)b(l,u) - ( ) n S n- n-b (K +K2,u) - b(l,u)ds(u n S û ú Bi(K +K2,L) ds(u û ú - 即可得 (4) 式. 当 n-2<i<n- 时, 类似可逆向不等式成立. 由 Minkowski 积分不等式等号成立的条件知,(4) 式等号成立当且仅当 K 和 L 具有相似宽度. 参考文献 : [] BLASCHKE W.VorlesungenüberIntegralgeometrie[M].Teubner:Leipzig,936. [2] HADWIGER H.VorlesungenüberInhalt,ObeflächeundIsoperimetris[M].Berlin:Springer,957: [3] LUTWAK E.WidtẖIntegralsofConvexBodies[J].ProcAmerMathSoc,975,53(3): [4] GARDNERRJ.GeometricTomography[M].London:CambridgeUnivPress,995. [5] SCHNEIDERR.ConvoxBodies:TheBrunṉ MinkowskiTheory[M].London:CambridgeUnivPress,993. [6] HARDY G H,LITTLEWOODJE,P 췍LYA G.Inequalities[M].London:CambridgeUnivPress,959. [7] LEICHTWIEβK.AfineGeometryofConvexBodies[M].Heidelberg:JABarth,998. [8] 马统一, 刘春燕. 对偶混合质心体的广义 BusemanṉPety 问题 [J]. 西南大学学报 : 自然科学版,202,34(4): Mixed Width-IntegralofConvexBodies LIU Chuṉyan, MA Tong-yi,2.SchoolofMathematicsandStatistics,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,China; 2. ColegeofMathematicsandStatistics,HexiUniversity,ZhangyeGansu734000,China Abstract:Inthispaper,theconceptof mixedwidtẖintegralofconvexbodies isintroducedandsomeof itspropertiesaregiven.inaddition,acircularinequalityandabrunṉ Minkowskiinequalityrelevanttothe mixedwidtẖintegralsofconvexbodiesareestablished. Keywords:convexbody;supportfunction;mixedwidtẖintegral 责任编辑廖坤

6 6 西南大学学报 ( 自然科学版 ) htp://xbbjb.swu.cn 第 35 卷

标题

第 35 卷第期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近赵晓娣, 孙渭滨宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik