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1 章节 10.3 多元函数微分法 ( 一 二 ) 第 37 次课 2 学时 讲授内容重点难点要求掌握知识点和分析方法路, 采用的教学方法和辅助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点如何解 重点 : 全微分, 偏导数的概念 多元函数的偏导数, 全微分 难点 : 全微分, 的概念 偏导数的计算以及应用 偏导数和全微分的概念, 全微分存在的必要条件和充分条件, 一阶全 微分形式的不变性 思路 : 首先提问 : 问题 (1) 哪些内容与导数和全微分有关 ; 问题 (2) 一元函数的导数和微 分如何定义? 问题 (3) 能给二元函数可导与可微分的定义吗? ' f ( x + x) f ( x) ' 建构活动 : y = f (x) f ( x) = lim dy = Ax ; A = f ( x), 可 x 0 x f f ( x + x, y) f ( x, y) 导一定连续, 可微一定连续等. z = f ( x, y ) = lim x x 0 x 2 2 ' ' dz = Ax + By ; z dz = o(), = x + y ; A = f ( x, y), B = f ( x, y). 解决问题 : 解决偏导数和全微分的系统问题. 教学方法和辅助手段 : 建构教学法和类比教学法. 难点突破 : 本节的难点, 是对多元函数可微性的讨论, 判别可微性首先验证函数的偏 z f 导数是否存在, 如果偏导数存在, 还需验证 ' x x ' f y y x 当 0 时是否极限为 0 y 作业布置数学分析课后练习题 10.3(1-4)

2 第 38 次课 4 学时 章节 10.3 多元函数微分法 ( 三 四 五 ), 习题 10.3 讲授内容重点难点要求掌握知识点和分析方法 可微的几何意义, 复合函数微分法, 方向导数重点 : 可微性的概念, 复合函数微分法 难点 : 复合函数微分法, 方向导数的计算 可微性的概念, 掌握复合函数的微分法, 方向导数的概念, 会利用方向导数熟练解题 路, 采用 的教学方 法和辅助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点 思路 : 首先要知道多元函数的微分法, 了解它和一元函数微分法的区别与联系, 教学方法和辅助手段 : 建构教学法和类比教学法. 难点突破 : 本节的难点, 是对多元函数可微性的讨论, 判别可微性首先验证函数的偏 z f 导数是否存在, 如果偏导数存在, 还需验证 ' x x ' f y y 当 0 时是否极限为 0 如何解 作业布置数学分析课后练习题 10.3(1-4)

3 章节 10.4 二元函数的泰勒公式 ( 一 ) 第 39 次课 2 学时 讲授内容重点 难点 要求掌握知识点和分析方法 微分方程 高阶偏导数的定义 记法重点 : 高阶偏导数的定义 记法难点 : 关于混合偏导数, 求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数, 验证或化简偏 高阶偏导数的定义 记法 关于混合偏导数, 求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数, 验证或化简偏微分方程 路, 采用的教学方法和辅 助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点 思路 : 首先要知道高阶偏导数的定义 记法, 了解它和低阶的区别与联系, 教学方法和辅助手段 : 建构教学法和类比教学法. 难点突破 : 本节的难点, 是对关于混合偏导数, 求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数, 验证或化简偏微分方程 如何解 作业布置数学分析课后练习题 10.4(1-8)

4 章节 10.4 二元函数的泰勒公式 ( 二 ) 第 40 次课 2 学时 讲授内容重点难点要求掌握知识点和分析方法 二元函数的中值定理和泰勒公式重点 : 二元函数的泰勒公式难点 : 二元函数的泰勒公式, 中值定理深刻理解二元函数的泰勒公式, 以及泰勒公式的各种表示方法, 理解其证明思想, 掌握二元函数的中值定理 路, 采用 的教学方 法和辅助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点 思路 : 首先要知道二元函数的泰勒公式的方法, 从而熟记泰勒公式的基本表达式, 掌握泰勒公式的证明方法 理解二元函数的中值定理的其他几种表示方法 教学方法和辅助手段 : 建构教学法和类比教学法. 难点突破 : 本节的难点, 是熟记二元函数泰勒公式的表达式, 会用二元函数的泰勒公式和中值定理来解题 如何解 作业布置数学分析课后练习题 10.4(9-11)

5 第 41 次课 4 学时 章节讲授内容重点难点要求掌握知识点和分析方法 10.4 二元函数的泰勒公式 ( 三 ), 习题课二元函数的极值重点 : 二元函数的极值难点 : 会用二元函数的极值解决一些实际的问题 深刻理解二元函数的泰极值理论, 包括极大点, 极小点, 以及对应的极大值, 极小值 会用极值理论解决一些实际的问题 路, 采用 的教学方 法和辅助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点 思路 : 首先要理解二元函数的极值理论, 从而理解极值理论的一些相关定理, 运用极值理论解题的步骤, 从而解决现实生活中的一些问题 教学方法和辅助手段 : 建构教学法和类比教学法. 难点突破 : 本节的难点是, 用极值理论解决实际中的一些问题在一各种考试中都会出现, 甚至是考研题, 因此要熟练掌握用极值理论解决实际问题的步骤和方法 如何解 作业布置数学分析课后练习题 10.4(12-15)

6 章节 11.1 隐函数的存在性 ( 一, 二 ) 第 42 次课 2 学时 讲授内容重点难点要求掌握知识点和分析方法 隐函数的概念, 由一个方程确定的隐函数重点 : 隐函数的概念难点 : 会用二元函数的极值解决一些实际的问题 深刻理解隐函数及其几何意义, 隐函数的两个问题 隐函数存在条件的直观意义, 隐函数存在唯一性定理及隐函数可微性定理 路, 采用 的教学方 法和辅助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点如何解 思路 : 首先要理理解隐函数定理的有关概念及隐函数存在的条件, 进而会求隐函数的导数 ; 理解隐函数及其几何意义, 隐函数的两个问题, 隐函数存在条件的直观意义 ; 隐含数的存在唯一性定理和可微性定理, 会用其解题 教学方法和辅助手段 : 建构教学法和类比教学法. 难点突破 : 本节的难点是, 隐函数的存在唯一性定理和可微性定理的证明 作业布置数学分析课后练习题 11.1(1-4)

7 第 43 次课 4 学时 章节讲授内容重点难点要求掌握知识点和分析方法 11.1 隐函数的存在性 ( 三 ), 习题课隐函数组, 隐函数组定理, 反函数组和坐标变换重点 : 隐函数组的概念难点 : 隐函数组定理, 反函数组和坐标变换掌握隐含数组及其相关概念, 理解二元隐函数组存在的条件, 了解反函数组存在的条件 路, 采用 的教学方 法和辅助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点 思路 : 首先要理解隐含数组的有关概念, 二元隐函数组存在的条件及其相关定理的证明 会用隐函数组定理解决实际中的问题 教学方法和辅助手段 : 建构教学法和类比教学法. 难点突破 : 本节的难点是, 隐函数组存在的条件和隐含数组定理的证明 如何解 作业布置数学分析课后练习题 11.1(5-10)

8 第 44 次课 2 学时 章节讲授内容重点难点 11.1 函数行列式函数行列式的概念, 函数行列式的性质, 函数行列式的几何性质 重点 : 函数行列式的概念难点 : 函数行列式的性质及其几何性质 要求掌握 知识点和 分析方法 掌握函数行列式的概念, 掌握函数行列式的性质, 了解函数行列式的几何性质 路, 采用 的教学方 法和辅助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点 思路 : 首先要理解函数行列式的概念, 进而掌握函数行列式的性质及其相关定理的证明, 函数行列式的几何性质 从而会用其解决问题 教学方法和辅助手段 : 建构教学法和类比教学法. 难点突破 : 本节的难点是, 函数行列式的性质和几何性质, 会用其解题 如何解 作业布置数学分析课后练习题 11.2

9 第 45 次课 4 学时 章节 讲授 内容 11.3 条件极值, 习题课 条件极值与拉格朗日乘数法 重点 难点 重点 : 条件极值 难点 : 拉格朗日乘数法及其解题步骤 要求掌握 知识点和 分析方法 掌握条件极值和联系方程组, 拉格朗日乘数法及其解题步骤 路, 采用 的教学方 法和辅助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点 思路 : 首先要理解条件极值问题, 条件极值点的必要条件, 拉格朗日乘数法及其解题步骤, 会用其解决一些实际中的应用问题 教学方法和辅助手段 : 建构教学法和类比教学法. 难点突破 : 本节的难点是, 拉格朗日乘数法及其解题步骤 如何解 作业布置数学分析课后练习题 11.3(1-5)

10 第 46 次课 4 学时 章节 11.4 隐函数存在定理在几何方面的应用 讲授 内容 空间曲线的切线与法平面, 曲面的切平面与法线 重点难点要求掌握知识点和分析方法 重点 : 空间曲线的切线与法平面难点 : 会求空间曲线的切线与法平面以及曲面的切平面与法线掌握空间曲线的切线与法平面, 曲面的切平面与法线的相关概念, 会在一些实际问中求解 路, 采用 的教学方 法和辅助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点 思路 : 首先要理解空间曲线的切线与法平面, 曲面的切平面与发现的概念, 会用隐函数的求导公式求解曲线的切线与法平面, 曲面的切平面与法线 教学方法和辅助手段 : 建构教学法和类比教学法. 难点突破 : 本节的难点是, 曲面的切平面与法线的求解问题 如何解 作业布置数学分析课后练习题 11.4(1-7)

11 第 47 次课 2 学时 章节 12.1 无穷积分 ( 一 ) 讲授 内容 无穷积分收敛与发散概念, 无穷积分与级数, 无穷积分的性质 重点难点要求掌握知识点和分析方法 重点 : 无穷积分收敛与发散概念难点 : 无穷积分与级数的关系, 无穷积分的性质掌握无穷积分收敛与发散的概念, 并会作出相应的判断 掌握无穷积分与级数之间的关系, 掌握无穷积分的性质, 并会在实际题型中运用 路, 采用 的教学方 法和辅助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点 思路 : 首先要理解无穷积分收敛与发散的概念, 区别无穷积分和一般的积分 会判断无穷积分的敛散性 掌握无穷积分与级数之间的区别和无穷积分的性质, 会在实际题型中运用 教学方法和辅助手段 : 建构教学法和类比教学法. 难点突破 : 会判断无穷积分的敛散性, 会利用无穷积分的性质解决实际中的问题 如何解 作业布置数学分析课后练习题 12.1(1-4)

12 第 48 次课 4 学时 章节讲授内容重点难点要求掌握知识点和分析方法 12.1 无穷积分 ( 二, 三 ), 习题课无穷积分的敛散性判别法重点 : 绝对收敛与条件收敛的概念 难点 : 掌握几种判别方法 : 比较判别法, 柯西判别法, 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法掌握无穷积分绝对收敛与条件收敛的概念, 会用比较判别法, 柯西判别法, 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判断无穷积分 路, 采用 的教学方 法和辅助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点 思路 : 首先要理解无穷积分绝对收敛与条件收敛的概念, 掌握几种判别法 : 比较判别法, 柯西判别法, 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法来解决实际问题 教学方法和辅助手段 : 建构教学法和类比教学法. 难点突破 : 会利用无穷积分的几种判别方法 : 比较判别法, 柯西判别法, 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法解决问题 如何解 作业布置数学分析课后练习题 12.1(5-8)

13 第 49 次课 2 学时 章节讲授内容重点难点 12.2 瑕积分瑕积分收敛与发散概念, 瑕积分的敛散性判别法 重点 : 瑕积分收敛与发散概念 难点 : 瑕积分敛散性的判别 要求掌握 知识点和 熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别 分析方法路, 采用的教学方法和辅 助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点 思路 : 首先要理解瑕积分收敛与发散概念, 掌握柯西收敛准则, 绝对收敛与条件收敛的概念, 会判断瑕积分的敛散性 教学方法和辅助手段 : 建构教学法和类比教学法. 难点突破 : 会利用瑕积分的几种判别方法来判断瑕积分的敛散性, 并会解决实际问题 如何解 作业布置数学分析课后练习题 12.2(1-4)

14 第 50 次课 4 学时 章节讲授内容重点难点要求掌握知识点和分析方法 12.3 含参变量的积分 ( 一, 二 ), 习题课含参变量的有限积分重点 : 含参量正常积分的概念 性质 难点 : 含参量正常积分的计算方法 掌握含参积分的概念, 深刻理解含参积分的连续性, 掌握含参积分的可微性及其应用 路, 采用 的教学方法和辅助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点如何解 思路 : 以实例和引入. 定义含参积分和. 含参积分提供了表达函数的又一手段. 我们称由含参积分表达的函数为含参积分. 掌握含参积分的连续性, 含参积分的可微性及其应用 教学方法和辅助手段 : 建构教学法和类比教学法. 难点突破 : 掌握含参量正常积分的概念, 性质, 掌握含参量正常积分的计算方法 作业布置数学分析课后练习题 12.3(1-9)

15 章节 12.3 含参变量的无穷积分 ( 三 ) 第 51 次课 2 学时 讲授内容重点难点要求掌握知识点和分析方法 含参变量的有限积分重点 : 含参量正常积分的概念 性质 难点 : 含参量正常积分的计算方法 掌握含参变量的无穷积分的概念, 判断含参变量的无穷积分的一致收敛, 掌握柯西一致收敛准则 路, 采用 的教学方 思路 : 函数定义在上 ( 可以是无穷区 法和辅 助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点如何解 间 ). 以为例介绍含参无穷积分表示的函数. 掌握含参无穷积分的一致收敛性 含参无穷积分一致收敛判别法 教学方法和辅助手段 : 建构教学法和类比教学法. 难点突破 : 掌握含参量无穷积分的概念, 性质, 掌握含参量无穷积分一致收敛的判断方法 作业布置数学分析课后练习题 12.3(10-15)

16 第 52 次课 4 学时 章节讲授内容重点难点要求掌握知识点和分析方法 12.3 含参变量的无穷积分 ( 四, 五 ), 习题课 含参广义积分表达的两个特殊函数, 即 和. 重点 : 含参广义积分表达的两个特殊函数的概念 难点 : 含参广义积分表达的两个特殊函数的性质 掌握含参广义积分表达的两个特殊函数的概念, 熟练运用其性质解决一些实际中的 问题 路, 采用的教学方法和辅助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点如何解 思路 : 首先认识含参广义积分表达的两个特殊函数, 即 和 继而掌握 函数的连续性和可导性, 的递推公式 函数表, 函数的其他形式和一 个特殊值 Beta 函数及其连续性, 递推公式, 函数的其他形式, 函数和 函 数的关系 教学方法和辅助手段 : 建构教学法和类比教学法. 难点突破 : 函数的其他形式和一个特殊值 Beta 函数及其连续性, 递推公式, 函数的其他形式, 函数和 函数的关系 作业布置数学分析课后练习题 12.3(16-18)

17 第 53 次课 2 学时 章节 13.1 二重积分 ( 一 二 三 ) 讲授 内容二重积分的概念及性质. 重点 难点 重点 : 二重积分的概念及性质. 难点 : 二重积分的性质. 要求掌握 知识点和分析方法路, 采用的教学方法和辅助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点如何解 二重积分的概念及性质. 思路 : 与一元函数的定积分类似, 二重积分是一种特殊和式的极限, 首先从曲顶柱体的体积这一具体问题出发, 把研究对象分割, 及把积分区域 D 进行分割, 从而可使 f ( x, y ) 在每一小块上近似于一个常数, 并以每一小块上任一点的值作为函数在该小块 上的值, 做特殊的和 n i= 1 f (, i i ) i, 并利用极限工具从而过度到对一般函数的二重 积分, 并给出其几何意义. 紧接着利用一元函数的性质来类推二元函数的相关性质. 教学方法和辅助手段 : 本节采用类比与讲授结合的教学方法, 并结合有关实物. 难点突破 : 从培养学生分析问题的能力出发, 以具体的实际问题为背景. 从特殊到一般, 抓住事物的本质. 本节的难点是二元函数的性质, 在讲解时应结合其几何意义进行解释和说明. 作业布置数学分析课后练习题 13.1( 一 )

18 第 54 次课 4 学时 章节讲授内容重点难点 13.1 二重积分 ( 四 ), 习题课二重积分的计算方法 ( 直角坐标 极坐标 ). 重点 : 二重积分的计算方法 ( 直角坐标 极坐标 ). 难点 : 二重积分次序的交换, 对称性简化二重积分. 要求掌握 知识点和分析方法路, 采用的教学方法和辅助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点如何解 二重积分的计算方法 ( 直角坐标 极坐标 ). 思路 : 首先借助平行截面面积为已知的立体的体积, 在直角坐标系中利用二重积分的 1 ( x ) y 2 ( x) 几何意义来讨论积分区域为 的特殊 ( X 型 ) 二重积分的计算问题. a x b 在由特殊到一般. 同理得出积分区域为 (Y 型 ) 的二重积分的计算公式. 紧接着对于积分 2 区域为圆形 扇形或圆环形等 ; 被积函数为 x + y 2 的函数时选用极坐标系, 得出极坐标 系下二重积分的计算. 教学方法和辅助手段 : 本节采用启发式教学方法, 并结合直观的几何图形. 难点突破 : 确定积分次序是计算二重积分的关键步骤, 总的原则还是兼顾积分区域和被积函数的特征全面考虑, 一般应避免分区积分和对某个变量不可先积分的情形出现. 还要使计算方便而简单. 为了达到简化积分运算的目的, 在计算时应考虑积分区域的对称性和被积函数的奇偶性, 从而体现对称性在积分学中的作用与地位. 作业布置数学分析课后练习题 13.1( 二 ;1-5)

19 第 55 次课 4 学时 章节讲授内容重点难点 13.1 二重积分 ( 五 六 ), 习题课二重积分换元, 曲面的面积重点 : 二重积分的换元 : 直角坐标 极坐标. 难点 : 曲面的面积. 要求掌握 知识点和 分析方法 二重积分的换元方法 ( 直角坐标 极坐标 ), 路, 采用 的教学方法和辅助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点如何解 思路 : 首先引出二重积分换元的必要性, 因为将而重积分化为累次积分不能达到简化计算的目的 但是, 常常经过一个适当的换元变换可将给定的积分区域变换为简单的区域, 然后接受坐标变换所要注意的问题 介绍求解曲面面积的方法 教学方法和辅助手段 : 本节采用启发式教学方法, 并结合直观的几何图形. 难点突破 : 二重积分的换元是计算二重积分的关键步骤, 总的原则还是兼顾积分区域和被积函数的特征全面考虑, 一般应该尽量将复杂区域化的更为简单. 作业布置数学分析课后练习题 13.1( 二 ;6-9)

20 第 56 次课 2 学时 章节 13.2 三重积分 ( 一 二 ) 讲授内容重点难点 三重积分概念及性质三重积分的计算方法 ( 直角坐标 柱面坐标 球面坐标 ) 重点 : 三重积分的计算方法 ( 直角坐标 柱面坐标 球面坐标 ) 难点 : 化三重积分为三次积分. 要求掌握 知识点和分析方法路, 采用的教学方法和辅助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点如何解 三重积分的计算方法 ( 直角坐标 柱面坐标 球面坐标 ) 思路 : 首先定积分及二重积分作为和的极限的概念, 可以自然推广到三重积分. 并具有与二重积分类似的性质. 紧接着根据二重积分计算的主导思想是化为两个累次积分, 类推出三重积分计算的主导思想是化为三个定积分的计算. 注意在不同的坐标系下, 体积元形式的不同. 教学方法和辅助手段 : 本节采用类比的教学方法, 并结合几何的直观图形. 难点突破 : 计算三重积分的一个难点就是化三重积分为三次积分式, 关键是三次积分限的确定, 而这完全依赖积分区域的特点, 由此根据积分区域的特点, 可以建立三中不同的坐标系, 特别注意三种坐标系下的体积元的不同. 直角坐标系下有两中转化的方法 ( 先一后二法, 先二后一法 ). 而柱面坐标可以看做是平面上的极坐标加上 z 轴构成的. 因此只须把直角坐标系下的先一后二法用柱面坐标表示出来就可以了. 对于积分区域 是球域或被积函数有 x + y + z 的函数选用球面坐标计算是比较方便的. 作业布置数学分析课后练习题 13.2(1-3)

21 第 57 次课 4 学时 章节 13.2 三重积分 ( 三 四 ), 习题课 讲授 内容三重积分的换元以及三重重积分在几何及其物理等方面的应用. 重点 难点 重点 : 三重积分在几何方面的应用. 难点 : 三重积分中的元素法及其应用. 要求掌握 知识点和分析方法路, 采用的教学方法和辅助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点如何解 三重积分在几何及其物理等方面的应用. 思路 : 首先引导学生回忆定积分的元素法, 把此方法类推到重积分中, 利用重积分的 元素法来讨论重积分在几何 物理上的一些其他应用. 紧接着通过微元法得出空间曲面 的面积微元, 平面薄片的质心坐标 平面薄片的的转动惯量微元. 从而得出空间曲面的 面积公式 平面薄片的质心坐标公式 平面薄片的的转动惯量公式. 教学方法和辅助手段 : 本节采用发现教学法并结合类比教学法. 难点突破 : 在区域 D () 内任取一个直径很小的子区域 d (dv) 时, 可以求出相应的 部分量 Q 的近似值 ;. 其中点 ( x, y),( x, y, z ) 在 d (dv) 内这个表示式 f ( x, y) d, ( f ( x, y, z) dv) 就是所求量 Q 的积分元素 dq. 以 dq 为被积表达式, 在区域 () 所求量 Q 的积分表达式. D 上积分 Q = D f ( x, y) d, Q = f ( x, y, z) dv 就是 作业布置数学分析课后练习题 13.2(4-6)

22 第 58 次课 2 学时 章节 14.1 曲线积分 ( 一 二 ) 讲授 内容对弧长的曲线积分的概念 性质及其物理意义, 对弧长的曲线积分的计算. 重点 难点 重点 : 对弧长的曲线积分的概念 性质及计算. 难点 : 对弧长的曲线积分的计算. 要求掌握 知识点和分析方法路, 采用的教学方法和辅助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点如何解 对弧长的曲线积分的概念 性质及其计算. 思路 : 首先介绍本章的研究内容. 作为积分范围的进一步推广. 本章将把积分的概念推广到一段曲线或一片曲面的情形 ( 曲线积分和曲面的积分 ) 并阐明这两种积分的一些基本内容. 紧接着通过实际生活中非均匀曲线构件的质量这一具体问题的研究, 把研究对象采取分割 近似求和 取极限. 转化为一种特殊类型的和式的极限, 从而由这种和式极限抽象出对弧长的曲线积分的概念. 最后解决其计算问题. 教学方法和辅助手段 : 本节采用讲授并结合类比的教学方法. 难点突破 : 对弧长的曲线积分的计算最终转化为定积分的运算, 核心问题是曲线的参数方程的表示及其参量的取值范围, 根据所给曲线的特点, 建立起曲线的不同方程 ( 参数方程 直角坐标方程 极坐标方程 ). 由于小弧段的长度 s 总是正的, 从而对弧长的曲线积分化为定积分时, 下限一定小于上限. 若曲线关于坐标轴对称时, 可考虑利用被积函数的奇偶性和积分曲线的对称性来简化运算. 作业布置数学分析课后练习题 14.1(1-5)

23 第 59 次课 4 学时 章节 14.1 曲线积分 ( 二 三 ), 习题课 讲授内容重点难点要求掌握知识点和分析方法路, 采用的教学方法和辅助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点如何解 对坐标的曲线积分的概念 性质 计算方法及其两类曲线积分相互间的关系. 重点 : 对坐标的曲线积分的计算方法. 难点 : 利用对称性简化对坐标的曲线积分的计算. 对坐标的曲线积分的概念 性质 计算方法及其两类曲线积分相互间关系. 思路 : 首先通过实际生活中变力沿着曲线作的功这一具体问题的研究, 把研究对象采取分割 近似求和 取极限. 转化为一种特殊类型的和式的极限, 从而由这种和式极限抽象出对坐标的曲线积分的概念. 紧接着讲授其计算. 作为简化积分的一种方法, 引出对称性的应用. 特别强调对称性在对坐标的曲线积分中与以前所将的规律恰恰相反. 最后引导学生建立这两类曲线积分之间的联系与区别. 教学方法和辅助手段 : 本节采用类比的教学方法 ( 第一二型曲线积分做以比较 ). 难点突破 : 采用与第一型曲线积分对比, 从而把坐标的曲线积分的计算最终转化为定积分的运算, 核心问题是曲线的参数方程的表示及其参量的取值范围, 由于对坐标的曲线积分与方向有关, 所以对弧坐标的曲线积分化为定积分时, 下限不一定小于上限. 若曲线关于坐标轴对称时, 可考虑利用被积函数的奇偶性和积分曲线的对称性来简化运算. 此时对称性的有关结论和公式与以前的恰恰相反. 作业布置数学分析课后练习题 14.1(6)

24 第 60 次课 4 学时 章节 14.1 曲线积分 ( 四 五 ), 习题课 讲授 内容格林 (Green) 公式及平面曲线积分与路径无关的条件. 重点难点要求掌握知识点和分析方法路, 采用的教学方法和辅助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点如何解 重点 : 格林 (Green) 公式 难点 : 格林 (Green) 公式及平面曲线积分与路径无关的条件. 格林 (Green) 公式及平面曲线积分与路径无关的条件. 思路 : 首先提出问题, 在一元函数积分学中, 牛顿 莱布尼茨公式把 (x) f 在 [ b] a, 上的积 分转化为它的一个原函数在区间端点处的增量. 则可否把平面有向闭曲线上的曲线积分 转化为此闭曲线所围成区域上的二重积分? 从而引出讲授的主题. 教学方法和辅助手段 : 本节采用发现教学法. 难点突破 : 从 (1) 引子 : 牛顿 莱布尼茨公式 f ( x) dx = F( b) F ( a ) b a (2) 探索发现 : 从以上公式的推广开始 : 函数 : 一元函数 二元函数 ; 积分范围 : 区间 ' 区域 ; 形式类比 : [ a, b ] D ; F ( x) F F, b ; F ' x dx x y ( ) a D F dxdy y ; (a) F, (b) D F dxdy, x F L Fdx, L Fdy, 在师生共同探讨下完成定理的证明. 作业布置数学分析课后练习题 14.1(7-9)

25 第 61 次课 2 学时 章节 14.2 曲面积分 ( 一 二 ) 讲授内容重点难点 两类曲面积分的概念 性质及其计算. 重点 : 对两类曲面积分的计算. 难点 : 对两类曲面积分的计算. 要求掌握 知识点和 分析方法 对两类曲面积分的概念 性质及其计算. 路, 采用的教学方法和辅助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点如何解 思路 : 首先给出均匀平面的质量的计算公式, 紧接着提出问题, 若平面是非均匀的, 它的质量又如何合计算呢? 启发学生利用以前处理此类形问题的方法来解决. 最后把研究对象转化为某一中特殊类型的极限, 从而抽象出对面积的曲面积分的概念. 同时通过探讨不可压缩流体单位时间内流向 指定侧的流体的质量这一实际问题出发, 引进对坐标的曲面积分的概念. 采用类比的方法得到相关的性质. 然后按照对坐标的曲面积分的定义, 把对坐标的曲面积分化为二重积分, 强调学生注意曲面的侧. 注意曲面积分与曲线积分一样, 积分区域是由积分变量的等式给出的, 因此可以代入到被积函数中简化积分. 教学方法和辅助手段 : 本节采用启发式教学的方法. 难点突破 : 本节的难点是对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分的计算. 作业布置数学分析课后练习题 14.2(1-4)

26 第 62 次课 4 学时 章节讲授内容重点难点 14.2 曲面积分 ( 三 四 ), 习题课 高斯公式和斯托克斯公式 重点 : 高斯公式, 理解并记住 Stokes 公式, 会求环流量与旋度. 难点 : 不是封闭曲面时如何应用高斯公式, 斯托克斯 (Stokes) 公式的应用 要求掌握 知识点和分析方法路, 采用的教学方法和辅助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点如何解 高斯公式和斯托克斯公式思路 : 首先引导学生回忆格林公式, 格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系. 紧接着提出问题, 是否可以把空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间建立一种关系? 由此引出本节所要讲解内容 : 高斯公式. 通过回顾牛 --- 莱公式, 格林公式和高斯公式, 启发同学们把曲面 上的曲面积分与沿着 的边界曲线的曲线积分联系起来, 从而产生证明 Stokes 公式的兴趣和冲动. 教学方法和辅助手段 : 本节采用讲授的教学方法, 并结合师生间的互动. 难点突破 : 本节的难点是高斯公式和 (Stokes) 公式的应用, 注意 P ( x, y, z ), Q ( x, y, z ), R ( x, y, z ) 在区域 内要有连续的一阶偏导数, 否则高斯公式不能用. 利用 (Stokes) 公式可以把对坐标的空间曲线积分化为以此曲线为边界的空间曲面的曲面积分, 然后再利用高斯公式可化为三重积分或 直接化二重积分计算 作业布置数学分析课后练习题 14.2(5-10)

27 第 63 次课 2 学时 章节 14.3 场论初步 ( 一 二 ) 讲授 内容 梯度与散度 重点 难点 重点 : 梯度与散度的概念. 难点 : 梯度与散度的计算 要求掌握 知识点和 分析方法 梯度与散度的概念与计算 路, 采用的教学方法和辅 助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点 思路 : 首先引出梯度的概念, 熟悉梯度在实际运算中所处的地位, 梯度的物理意义 之后给出散度的概念, 结合高斯公式计算散度 教学方法和辅助手段 : 本节采用讲授的教学方法, 并结合师生间的互动. 难点突破 : 本节的难点是梯度与散度的计算方法 如何解 作业布置数学分析课后练习题 14.3(1-6)

28 第 64 次课 4 学时 章节讲授内容重点难点 重点 : 旋度与微分算子的概念. 难点 : 旋度与微分算子的计算 14.3 场论初步 ( 三 四 ), 习题课 旋度与微分算子 要求掌握 知识点和 分析方法 旋度与微分算子的概念与计算 路, 采用的教学方法和辅 助手段, 板书设计, 重点如何突出, 难点 思路 : 首先引出旋度的概念, 熟悉旋度在实际运算中所处的地位, 旋度的物理意义 之后给出微分算子的概念, 介绍其一些性质 教学方法和辅助手段 : 本节采用讲授的教学方法, 并结合师生间的互动. 难点突破 : 本节的难点是旋度度的计算方法和微分算子的性质 如何解 作业布置数学分析课后练习题 14.2(7-12)