聚英人坚持“专业人做专业事”，为广大考研学子奉献“专业作品”!

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1 聚英人坚持 专业人做专业事, 为广大考研学子奉献 专业作品! 推荐指数 : 基本信息 教材名称 07 厦门大学 66 数学分析考研专业课复习全书 ( 含真题与答案 ) 编著 聚英教育组编 页数 44 页 字数 5 千字 开本 6 开 出版日期 06 年 月 购买网址 咨询电话 : 微信公众号 :xmukaoya88

2 07 厦门大学 66 数学分析考研专业课复习全书 编辑推荐 聚英教育秉持专注 责任 诚信原则, 倾情推出了 厦门大学考研专业课复习全书 系列丛书, 本书系统全面总结考研专业课知识, 重难点分明, 深度解析历年考研真题并进行命题预测, 为考生节省大量宝贵的复习时间, 帮助考生在扎实基础之上迅速提高专业课成绩, 是 07 年考生从基础到冲刺阶段必备的考研专业课资料 亮点介绍. 专业课深度解析部分从考研各知识点历年的考察频率和变化趋势, 明确重要考点和参考书目的重要章节, 从宏观试题分析 命题预测 全程规划建议 高分学长考研经验等角度直抵厦门大学专业课考研资讯最前沿, 准确把握专业课的考研规律. 核心考点解析部分根据最新官方指定的参考书目编写, 对教材内容进行精简整合, 所有知识点均根据其历年考察的频率进行重要程度评估, 以星号标识其重要性, 并对真题考过的知识点进行明晰, 免去考生自己查阅 分析的烦恼, 深入探讨重点考点, 精准洞察知识脉络 本部分内容对前几轮复习具有较大辅助作用, 在考研后期复习阶段可脱离教材结合核心考点解析进行理解和记忆, 提高考生的复习效率和复习效果 3. 章节考题精选部分各章节后面均配有精选考题, 题目选题多样, 来自厦大本科历年期末试卷或国内经典教材习题或其它名校历年考研真题, 或是本章曾考过的真题原题 本部分让考生在复习完相应章节知识点后进行自测练习, 不必再四处收集练习题, 为考生节省宝贵的复习时间 4. 历年真题及答案解析部分给出了厦大专业课考试 年共 年的考研真题, 内含详细而精准的参考答案和解题分析 答题技巧部分对专业课考试答题思路或解题技巧进行分析, 熟练运用考试的答题技巧, 将使读者在考场上如虎添翼 使用说明 一 复习全书 ( 主要含核心考点和历年真题 ) 的使用建议 ( 一 ) 复习第一招 : 按图索骥, 宏观洞悉 ( 知识思维导图 + 复习纲要 ). 复习基础阶段 : 初步浏览及标识复习中的疑惑点, 此阶段重在对整体知识内容留有印象, 知晓重点, 解决疑惑点 ;. 复习深化阶段 : 对应核心考点具体内容, 增加标识, 此阶段可对照具体内容的复习情况, 把未熟练掌握内容进行标识及补充复习中发现的重要内容 ; 3. 复习冲刺阶段 : 可脱离参考书及复习全书中的核心考点解析部分, 单独看框架和纲要回忆知识点并默写, 以此查漏补缺, 落实记忆 咨询电话 : 微信公众号 :xmukaoya88

3 ( 二 ) 复习第二招 : 抽丝剥茧, 十拿九稳 ( 核心考点解析 ). 复习基础阶段 : 结合初试参考书及核心考点进行理解和背诵, 根据核心考点的分析进行初步的学习, 对教材的内容有所熟悉, 并根据真题回顾来了解各章节的历年真题考察情况 ;. 复习强化阶段 : 根据核心考点的分析及重点提示, 把知识点归纳为各种考试题型的题目进行记忆, 并辅以课后习题进行练习来巩固知识点 ; 3. 复习冲刺阶段 : 可直接脱离教材而仅使用核心考点解析进行理解和记忆, 提高复习效率和复习效果 ( 三 ) 复习第三招 : 真枪实战, 画龙点睛 ( 历年真题与答案解析 ). 复习基础阶段 : 通过专业课深度解析部分中的考试分析及命题预测, 对专业课笔试真题的出题风格和作答思路有深度把握和宏观了解, 从而提高复习效率和考试命中率 ;. 复习深化阶段 : 根据考试真实时限 时点进行模拟考试, 可以反复模拟考试, 然后对照参考答案, 不断完善充实答案, 摸索答题方法 对于重中之重的知识点结合习题进行总结和拓展 ; 3. 复习冲刺阶段 : 直接背诵前阶段总结的参考答案, 做好考试时间安排, 形成自己的答题思路和答题方法 二 全真模拟题的使用建议 ( 四 ) 复习第四招 : 查漏补缺, 面面俱到 ( 全真模拟题与答案解析 ) 考研冲刺阶段 : 考前一个月左右模拟考场进行实战演练, 提前适应考场氛围 提升应对考场突发状况的能力, 学会合理分配考试作答时间, 把握考试节奏, 提升答题技巧 考生评价 评价一 : 我认为选择一本好的专业课辅导资料十分重要 ; 幸运地是当时听了学姐的建议购买了这本复习全书, 很多人都觉得这本书贵, 但是我觉得物超所值, 全书内容本身不论是对参考书目的讲解, 还是真题答案的解析都十分的详细 ; 并且还有超值的售后服务 不论我是否可以考上厦大, 我都要感谢聚英陪我一起走过的漫长考研路 评价二 : 刚开始备考时, 独自啃着那几本参考书目 ( 厚得跟山似的 ), 不知道重难点在哪里, 等看完了一遍后, 已经是云里雾里 后面在同学的介绍下买了聚英的专业课复习全书, 全书的核心考点解析得非常透彻, 在每章的开头还有一个复习提示介绍重难点 最让我惊喜的是, 全书标出了那些曾经考过的知识点的年份, 还在其章节的后面附上了历年真题 非常感谢本书的编者, 因为他让我在专业课的复习道路上柳暗花明, 让我离我的梦想更近一步 评价三 : 买这本复习全书主要是为了复习方便, 不然要花费好大的精力来研究真题和考试大纲, 这无疑会耽误我复习公共课 聚英的复习全书着实给了我一个大大的 surprise 咨询电话 : 微信公众号 :xmukaoya88

4 全书的第一部分让我初步了解专业课, 第二部分让我步入了一个系统的复习阶段, 用总分总 的方法打牢了专业课的基础, 堪称完美! 后期用历年真题和解析, 让我有了一个质的提高 非常庆幸我选择了聚英, 同样也非常庆幸聚英没辜负我对它的信任! 咨询电话 : 微信公众号 :xmukaoya88

5 目录 前言 第一部分 专业课深度解析 第一节试卷结构及考点分析第二节试题分析及预测第三节复习方法第二部分核心考点解析导言第一章集合与映射第二章数列极限第三章函数极限与连续函数第四章微分第五章微分中值定理及其应用第六章不定积分第七章定积分第八章反常积分第九章数项级数第十章函数项级数第十一章 EUCLID 空间上的极限和连续第十二章多元函数的微分学第十三章重积分第十四章曲线积分 曲面积分与场论 第三部分 历年真题与答案解析 厦门大学 004 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题厦门大学 005 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题厦门大学 006 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题厦门大学 007 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题厦门大学 008 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题厦门大学 009 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 咨询电话 : 微信公众号 :xmukaoya88

6 厦门大学 00 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题厦门大学 0 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题厦门大学 0 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题厦门大学 03 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题厦门大学 04 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题厦门大学 004 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析厦门大学 005 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析厦门大学 006 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析厦门大学 007 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析厦门大学 008 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析厦门大学 009 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析厦门大学 00 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析厦门大学 0 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析厦门大学 0 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析厦门大学 03 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析厦门大学 04 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析答题技巧 咨询电话 : 微信公众号 :xmukaoya88

7 第二部分 核心考点解析 第一章集合与映射 本章复习提示 本章主要是一些基础知识, 只要掌握就可以了 知识框架图 集合 有界性 单调性 函数的简单特性 集合与映射 3 奇偶性 映射与函数 4 周期性 三角不等式 两个常用的不等式 平均值不等式 章节分析 本章内容比较简单, 且纵观历届考题, 本章没有考过的大题, 只在 04 和 06 年分别有一个 6 分和 4 分的判断题 故建议考生只对本章内容了解即可, 但一些重要的知识点一定要掌握, 今后做题可能会频繁用到 知识点掌握. 有理数 Q 的表示. 整数集 Z 是可列集 3. 可列个可列集之并也是可列集 4. 有理数集 Q 是可列集 5. 函数的简单特性 () 有界性 q Q { x x, 其中 p N 并且 qz} p. 咨询电话 : 微信公众号 :xmukaoya88

8 定义若存在两个常数 m 和 M, 使函数 f (x) y, x D 满足 m M, x D, 则称函数 f 在 D 有界 其中 m 是它的下界, M 是它的上界 () 单调性 定义对函数 y f (x), x D, 若对任意 x, x D, 当 x x 时成立 f ( x ) ( x 或 f ( x ) f ( )), 则称函数 f 在 D 单调增加 ( 或严格单调增加 ), 通常记作 f ( 或 f 严格 ); 若对任意 x, x D, 当 x x 时成立 f ( x ) ( 或 f ( x ) ), 则 称函数 f 在 D 单调减少 ( 或严格单调减少 ), 通常记作 (3) 奇偶性 f ( 或 f 严格 ) 定义设函数 f 的定义域 D 关于原点对称, 即 xd xd 若对一切 x D, 成立 f ( x), 则称函数 f 是偶函数 ; 若对一切 D 函数 f 是奇函数 (4) 周期性 x, 成立 f ( x) 定义若存在常数 T 0, 使得对一切 x D, 成立 f ( x T ), 则称, 则称函数 f 是 周期函数,T 称为它的周期 若存在满足上述的最小的 T, 则称它为 f 的最小周期 (5)Dirichlet 函数 6. 常用不等式 () 三角不等式 0, D(x), x为无理数, x为有理数 对于任意实数 a 和 b, 都有 a b a b a b. () 平均值不等式 对任意 个正数 a, a,, a, 有 a a a a a a ( ) a a a, 咨询电话 : 微信公众号 :xmukaoya88

9 等号当且仅当 a, a,, a, 全部相等时成立 (3) 对数不等式 x x l( x) x ( 当 x 时 ), 等号当且仅当 x 0 时成立 注 : 当令 x 时, 可得到重要的不等式 l( ) ( i,, ). (4)( 掌握 ) x si x x ( 当 0 x 时 ) 本章练习. 证明上述 6 个常用不等式. 证明由 个元素组成的集合 T a, a,, a } 有 个子集 3. 任意无限集必包含一个可列集 { 4. 设 f 为 R 上的奇函数, f ( ) a, f ( x ) f (), xr ) 试用 a 表达 f () 和 f (5) ; )a 为何值时, f (x) 是以 为周期的周期函数 参考答案. () 证 : 因为对于任意实数 a 和 b, 都有 a b ab a b, 所以 a a b b a ab b a a b b, 开方后就得到上述不等式 () 证 : 先证明左边的不等式 a a 当, 时, 不等式显然成立 a a a a. 咨询电话 : 微信公众号 :xmukaoya88

10 k a 当 ( k N ) 时, 不等式是 当 k b l l 时, 取 l N, 使 记 ab 的直接推论 a a a a, l l l 在 a, a,, a 后面加上 ( ) 个 a, 将其扩充成 个正数 对这 个正数应用不等式, 得到 l l l [ a a a a a a aa l ( ) ] ( ) a, 整理后即有 对, a a,, a a a a a a a. 使用上面的结论, 便得到右边的不等式 (3) 证 :( 利用 Lagrage 公式 f ( b) f ( a) f ( )( b a), ( a, b) ) 记 x l( x), 现证 0 ( 当 x 且 x 0时 ), 事实上 其中 : 0 x ( 当 x 0 时 ) x f (0) f ( ) x 0, x 0 ( 当 x 0 时 ) 待证不等式右端或证 x 类似可证, g ( x) l( x) 0, 且当 x 0 时等号显然成立 x si x (4) 证 : 不妨设, 对其求导得 x x cos x si x, x 再令 g( x) x cos x si x, 对其求导得 g ( x) cos x x si x cos x x si x 0. 故 g ( x) 0, 即有 咨询电话 : 微信公众号 :xmukaoya88

11 0. 所以有 即 f ( ) f ( 0) si x x ( 当 0 x 时 ) x si x x.. 证 : 由 k 个元素组成的子集的个数为 C, k k C ( ) k 0 3. 证 : 设 T 是一个无限集, 先取 a T 由于 T 是无限集, 必存在 a T 再由 T 是无限集, 必存在 a T 3, a3 于是得到可列集 S a, a,, a, }, T { a, a a, a3 a 这样的过程可以无限的进行下去, S 4. 解 :) 令 x, 则得到 又因为 f (x) 是奇函数, 故 再令 x, 则有 再令 x 3, 故得 ) 若 f (x) 是以 为周期的周期函数, 则 f ( ) f ( ) f (), f ( ) f () a. f ( 3) f () f () 3a. f ( 5) f (3) f () 5a. 0 f ( x ) f () a, 即 a 0. 具体的内容, 详见 07 厦门大学 66 数学分析考研专业课复习全书 祥戳链接 : 咨询电话 : 微信公众号 :xmukaoya88

12 第三部分历年真题与答案解析 厦门大学 004 招收攻读硕士学位研究生 入学考试试题 科目代码 :33 科目名称 : 数学分析招生专业 : 数学系各专业考生须知 : 全部答案一律写在答题纸上, 答在试题纸上的不得分! 请用蓝 黑色墨水笔或圆珠笔作答 一 判断题 (5 个小题共 30 分, 每小题 6 分 ) 判断下列命题是否正确, 若正确就答 是, 不正确就答 否 ( 不必写出理由 ). 设 { x } 为实数列 若 x 不趋于无穷大, 则 { x } 必存在收敛子列. 设函数 f (x) 在非空开区间 ( a, b) 内有连续的导数 则 ( a, b), x x x 使得 f, x ( a, b), ( x) f ( x ) f ( ) x x lim 3. 设函数 f (x) 在区间 [ 0, ] 上有定义, 且极限 k k f ( ) 存在 则此时 f (x) 在区 k 间 [ 0, ] 上可积, 且 dx lim f ( ) 0 k 4. 设函数项级数 f ( x) 在有限区间 I (, ) 上一致收敛, 且 收敛 则 f ( x ) 在 I 上必一致收敛 5. 设 ( X, d) 为一个度量空间, A X 为一个非空集合 A 为闭集的充要条件为 x X, 若 d ( x, A) if{ d( x, a) : a A} 0, 则 x A 咨询电话 : 微信公众号 :xmukaoya88

13 二 求下列极限 (0 分 );. lim a, 其中 a ;. lim ( x y x, y x y ) 三 (0 分 ) 设 f (x) 在 [ a, ) 上二阶可微, 且 f ( a) 0, f ( a) 0, 当 x a 时, 0 证明方程 0 在 [ a, ) 内有唯一的一个实根 四 (0 分 ) 设有界函数 f (x) 在 [ a, b] 上可积, 且 dx 0 续点处有 0 x l 五 (0 分 ) 讨论级数 ( ) ( p 0) 的收敛性 p b a 证明在 f (x) 的连 z z 六 (0 分 ) 设 z z( x, y) 满足 z 0 u v 作满足 的变换 x y v u x ( u, v) y ( u, v) z z, 证明 : 此时也有 0 u v 七 (0 分 ) 若函数 u u( x, y, z) 在某一区域内具有直到二阶的连续导数, 且满足 u u u u 0, 则称 u u( x, y, z) x y z 为该区域内的调和函数 证明 : 若 3 u u( x, y, z) 为区域 {( x, y, z) R : ( x x ) ( y y ) ( z z ) a } 内的调和 函数, 则 u ( x0, y0, z0 ) u( x, y, z) ds 4a S 其中 a 0 为常数, S 为球的面 咨询电话 : 微信公众号 :xmukaoya88

14 厦门大学 004 年招收攻读硕士学位研究生 入学考试试题答案解析 一 判断题 (5 个小题共 30 分, 每小题 6 分 ) 判断下列命题是否正确, 若正确就答 是, 不正确就答 否 ( 不必写出理由 ). 设 { x } 为实数列 若 x 不趋于无穷大, 则 { x } 必存在收敛子列 解 : 是 根据无穷大的反向定义. 设函数 f (x) 在非空开区间 ( a, b), x, x ( a, b), x x 使得 ( a, b) 内有连续的导数 则 解 : 是 由 的连续性, 得到 f ( x) f ( ) x x 3. 设函数 f (x) 在区间 [0,] k lim f ( ) 上有定义, 且极限 k 存在 则此时 f (x) 在区 间 [0,] 上可积, 且 0 k dx lim f ( ) k 解 : 否 由积分的定义, 是在区间任意取分点 而本结论 [ 0, ] 平均 等分, 不能保证可 积性 4. 设函数项级数 f ( x) 在有限区间 I (, ) 上一致收敛, 且 f ( x) 收敛 则 f ( x ) 在 I 上必一致收敛 解 : 否 不妨考虑 si x f( x) ( ). 5 设 ( X, d ) 为一个度量空间, A X 为一个非空集合 A 为闭集的充要条件为 x X, 若 d ( x, A) if{ d( x, a) : a A} 0, 则 x A 解 : 否 应是 x A 咨询电话 : 微信公众号 :xmukaoya88

15 二 求下列极限 (0 分 );. lim a, 其中 a ;. lim ( x y x, y x y ) 解 :() 我们知道 a a, 由数学归纳法知 a a a a a 单调下降有下界, 必收敛 令 lim a 5 A, 计算得 A () 令 x r cos, y r si 则 lim ( x x, y0 y x y ) lim( r r0 4 r cos si ) 取对数 lim si cos r0 故 l r 4 r si cos lim( ) r r x y lim ( x y ) x, y0 应用 LHospital 法则 三 (0 分 ) 设 f (x) 在 [ a, ) 上二阶可微, 且 f ( a) 0, f ( a) 0, 当 x a 时, 0 证明方程 0 在 [ a, ) 内有唯一的一个实根 证 : 任取 x [ a, ), 应用 Lagrage 中值定理, 存在 ( a, x) f ( a) f ( )( x a) 0 故 即 f (x) 严格的单调减少 得证 f ( a) 0 四 (0 分 ) 设有界函数 f (x) 在 [ a, b] 上可积, 且 dx 0 续点处有 0 b a 证明在 f (x) 的连 咨询电话 : 微信公众号 :xmukaoya88

16 解 : 用反证法 若在 [ a, b] 中某点的邻域 D 0, 则 b a dx [ a, b] D dx 0, 矛盾 完整答案解析, 请购买 07 厦门大学 66 数学分析考研专业课复习全书 祥戳链接 : 咨询购买. 聚英厦大考研商城 : 现场购买 : 厦门市思明区民族路 47 号海峡电子商务创业园 咨询电话 : 微信公众号 :xmukaoya88 5. 购买网址 : 咨询电话 : 微信公众号 :xmukaoya88

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