8 厦门大学 85 高等代数考研专业课复习全书编辑推荐聚英教育秉持专注责任诚信原则, 倾情推出了厦门大学考研专业课复习全书系列丛书, 本书系统全面总结考研专业课知识, 重难点分明, 深度解析历年考研真题并进行命题预测, 为考生节省大量宝贵的复习时间, 帮助考生在扎实基础之上迅速提高专业课

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1 聚英人坚持专业人做专业事, 为广大考研学子奉献专业作品! 推荐指数 : 基本信息教材名称 8 厦门大学 85 高等代数考研专业课复习全书 ( 含真题与答案 ) 编著聚英教育组编页数 3 页字数 76 千字开本 6 开出版日期 7 年 3 月购买地址咨询电话 : 微信公众号 :sxzykkaoyan

2 8 厦门大学 85 高等代数考研专业课复习全书编辑推荐聚英教育秉持专注责任诚信原则, 倾情推出了厦门大学考研专业课复习全书系列丛书, 本书系统全面总结考研专业课知识, 重难点分明, 深度解析历年考研真题并进行命题预测, 为考生节省大量宝贵的复习时间, 帮助考生在扎实基础之上迅速提高专业课成绩, 是 8 年考生从基础到冲刺阶段必备的考研专业课资料亮点介绍. 专业课深度解析部分从考研各知识点历年的考察频率和变化趋势, 明确重要考点和参考书目的重要章节, 从宏观试题分析命题预测全程规划建议高分学长考研经验等角度直抵厦门大学专业课考研资讯最前沿, 准确把握专业课的考研规律. 核心考点解析部分根据最新官方指定的参考书目编写, 对教材内容进行精简整合, 所有知识点均根据其历年考察的频率进行重要程度评估, 以星号标识其重要性, 并对真题考过的知识点进行明晰, 免去考生自己查阅分析的烦恼, 深入探讨重点考点, 精准洞察知识脉络部分难点附有重点提示和易出考试题型说明本部分内容对前几轮复习具有较大辅助作用, 在考研后期复习阶段可脱离教材结合核心考点解析进行理解和记忆, 提高考生的复习效率和复习效果 3. 章节考题精选部分各章节后面均汇总本章曾考过的真题原题真题回顾之后还有精选的扩展练习题及参考答案本部分让考生在复习完相应章节知识点后进行自测练习, 不必再四处收集练习题, 为考生节省宝贵的复习时间 4. 历年真题及答案解析部分给出了厦大 85 高等代数专业课考试 4-4 年考研真题, 内含详细而精准的参考答案和解题分析答题技巧部分对专业课考试考察的每种题型的答题思路或答题技巧进行分析, 熟练运用各种题型的答题技巧, 将使读者在考场上如虎添翼使用说明一复习全书 ( 主要含核心考点和历年真题 ) 的使用建议 ( 一 ) 复习第一招 : 按图索骥, 宏观洞悉 ( 知识思维导图 + 复习纲要 ). 复习基础阶段 : 初步浏览及标识复习中的疑惑点, 此阶段重在对整体知识内容留有印象, 知晓重点, 解决疑惑点 ;. 复习深化阶段 : 对应核心考点具体内容, 增加标识, 此阶段可对照具体内容的复习情况, 把未熟练掌握内容进行标识及补充复习中发现的重要内容 ; 3. 复习冲刺阶段 : 可脱离参考书及复习全书中的核心考点解析部分, 单独看框架和纲要咨询电话 : 微信公众号 :sxzykkaoyan

3 回忆知识点并默写, 以此查漏补缺, 落实记忆 ( 二 ) 复习第二招 : 抽丝剥茧, 十拿九稳 ( 核心考点解析 ). 复习基础阶段 : 结合初试参考书及核心考点进行理解和背诵, 根据核心考点的分析进行初步的学习, 对教材的内容有所熟悉, 并根据真题回顾来了解各章节的历年真题考察情况 ;. 复习强化阶段 : 根据核心考点的分析及重点提示, 把知识点归纳为各种考试题型的题目进行记忆, 并辅以课后习题进行练习来巩固知识点 ; 3. 复习冲刺阶段 : 可直接脱离教材而仅使用核心考点解析进行理解和记忆, 提高复习效率和复习效果 ( 三 ) 复习第三招 : 真枪实战, 画龙点睛 ( 历年真题与答案解析 ). 复习基础阶段 : 通过专业课深度解析部分中的考试分析及命题预测, 对专业课笔试真题的出题风格和作答思路有深度把握和宏观了解, 从而提高复习效率和考试命中率 ;. 复习深化阶段 : 根据考试真实时限时点进行模拟考试, 可以反复模拟考试, 然后对照参考答案, 不断完善充实答案, 摸索答题方法对于重中之重的知识点结合习题进行总结和拓展 ; 3. 复习冲刺阶段 : 直接背诵前阶段总结的参考答案, 做好考试时间安排, 形成自己的答题思路和答题方法二全真模拟题的使用建议 ( 四 ) 复习第四招 : 查漏补缺, 面面俱到 ( 全真模拟题与答案解析 ) 考研冲刺阶段 : 考前一个月左右模拟考场进行实战演练, 提前适应考场氛围提升应对考场突发状况的能力, 学会合理分配考试作答时间, 把握考试节奏, 提升答题技巧考生评价评价一 : 刚开始备考时, 独自啃着那几本参考书目 ( 厚得跟山似的 ), 不知道重难点在哪里, 等看完了一遍后, 已经是云里雾里后面在同学的介绍下买了聚英的专业课复习全书, 全书的核心考点解析得非常透彻, 在每章的开头还有一个复习提示介绍重难点最让我惊喜的是, 全书标出了那些曾经考过的知识点的年份, 还在其章节的后面附上了历年真题非常感谢本书的编者, 因为他让我在专业课的复习道路上柳暗花明, 让我离我的梦想更近一步评价二 : 买这本复习全书主要是为了复习方便, 不然要花费好大的精力来研究真题和考试大纲, 这无疑会耽误我复习公共课聚英的复习全书着实给了我一个大大的 surprise 全书的第一部分让我初步了解专业课, 第二部分让我步入了一个系统的复习阶段, 用总分总的咨询电话 : 微信公众号 :sxzykkaoyan

4 方法打牢了专业课的基础, 堪称完美! 后期用历年真题和解析, 让我有了一个质的提高非常庆幸我选择了聚英, 同样也非常庆幸聚英没辜负我对它的信任! 评价三 : 聚英的这本复习全书在专业课的复习上帮了我很多忙, 让我终于不再盲人摸象, 而是了如指掌有些同学说买复习全书是浪费钱, 但我不这么认为, 因为那是人家花了精力花了时间充满智慧的结晶我们剽窃了人家的结晶难道不应该付给人家应有的报酬? 买书的时候是四五月份的时候, 今年的真题还没有出来, 后面聚英的工作人员还专门打电话过来询问地址, 给我寄了今年的真题与解析这让我非常感动, 太有责任心了! 手工点个赞!O( _ )O 咨询电话 : 微信公众号 :sxzykkaoyan

5 目录前言一走进数学科学学院二数学学院硕士研究生各专业名称主要方向和主要专业学位课程三专业课资料使用建议四生活在厦大五有一种幸福叫考研六全书寄语第一部分专业课深度解析一试卷结构及考点分析二试题分析及预测三专业课复习规划第二部分核心考点解析导言第一章行列式第二章矩阵第三章线性空间与线性方程组第四章线性变换第五章多项式第六章特征值第七章相似标准型第八章二次型第九章欧氏空间第三部分历年真题与答案解析厦门大学 4 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题厦门大学 3 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题厦门大学年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题厦门大学年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题厦门大学年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题厦门大学 9 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题厦门大学 8 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题咨询电话 : 微信公众号 :sxzykkaoyan

6 厦门大学 7 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题厦门大学 6 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题厦门大学 5 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题厦门大学 4 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题厦门大学 4 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析厦门大学 3 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析厦门大学年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析厦门大学年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析厦门大学年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析厦门大学 9 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析厦门大学 8 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析厦门大学 7 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析厦门大学 6 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析厦门大学 5 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析厦门大学 4 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析答题技巧咨询电话 : 微信公众号 :sxzykkaoyan

7 第二部分核心考点解析导言厦大高等代数考研用书是姚慕生的高等代数总体来说, 高等代数相对比数学分析简单一些在题目中, 几乎所有的知识点都同等重要但是还是要简单说一下每个章节第一章行列式主要掌握计算方法 ; 第二章矩阵主要是矩阵的运算和性质 ; 第三章线性空间每一小节都重要 ; 第四章线性映射同样所有知识点都重要 ; 第五章多项式掌握多项式的一些基本性质 ; 第六章特征值, 所有的知识点最好到题目中强化 ; 第七章相似标准型和第八章二次型同样 ; 第九章内积空间和第十章双线性型了解就行复习提示第一章行列式本章一般不会出大题, 也不会纯粹的出题, 一般都会结合其它的章节出题所以在复习时, 部基本的性质和知识搞懂就可以了知识框架二阶行列式 : 行列式计算的方法代数余子式三阶行列式余子式余子式行列式 3 n阶行列式代数余子式 3 计算 n阶的各种方法余子式展开 4 行列式的展开和转置代数余子式展开 3 转置行列式 5 行列式的计算咨询电话 : 微信公众号 :sxzykkaoyan

8 核心考点解析一行列式的定义的定义学习目的与要求熟练理解和掌握第一列展开得行列式定义, 掌握余子式, 代数余子式由 n 行 n 列共 n 个元素组成, 称为 n 阶行列式记为元素的余子式 M ij a ij 用归纳法定义的值定义当 n= 时,() 式的值定义为先假定对 n- 阶行列式已经定义了它们的 a 值则对于 n 阶行列式来说, M, i, j n 已经定义我们定义 n 阶行列式 ij 的值为注一阶行列式无余子式 () 式也陈为按第列展开式, 在行列式 a 中, ij 的代数余子式定义为其中为 aij 的余子式, 则 () 可改写为 M ij 例咨询电话 : 微信公众号 :sxzykkaoyan

9 (3) 计算设是 3 阶行列式计算 M M M 3, 其中 M ij 是的第 i 行第 j 列元素的余子式解二行列式的性质学习目的与要求熟练理解和掌握行列式的性质, 了解用归纳法证明的步骤与模式, 能够利用行列式的性质计算行列式的值 ; 熟练掌握重要公式 ( 性质 ); 掌握和应用 Cramer 法则性质若是一个 n 阶行列式, 且则 a a a nn ( 其中 a ii 称为的主对角线元 ) 证明 () 为上三角行列式 n 时 a 结论成立假设结论对于 n 阶上三角行列式成立, 考虑 n 阶行列式由定义知 a M 而 M 为 n 阶上三角行列式, 依归纳假设 M a a ann 故而 a a ann () n 为下三角行列式由定义, a M am ( ) an M n 对 n 阶行列式 M i, i, 仍为下三角行列式, 且 M i 的主对角元至少有一个为零, 故由归纳假咨询电话 : 微信公众号 :sxzykkaoyan

10 设 M i, i, 对 M 由归纳假设 M a a ann 所以 a a a nn 性质若行列式的某一行或某一列元素全为零, 则为零证明归纳法当 n 时, 结论显然成立假设结论对 n 阶行列式成立先设中第 i 行元素全为零, 则 a n M am ( ) an M n 其中 M j ( j i) 中都有一行元素全为零, 故由归纳假设 M j, 而 a i, 故 a i M i, 从而再设中第 i 列元素全为零, 则若 i, 显然若 i, 在展开式中每个 M 都有一列元素全为零有归纳假设 M j, 所以 j 性质 3 将行列式的某一行或某一列乘以常数 c 得到行列式 B, 则 B c 证明归纳法当 n 时, 结论显然成立 () 设 B 中第 i 行的每个元素为中第 i 行每个元素乘以 c, 而其它行元素与相同, 由定义其中 N r 为 B 的第 r 行第一列的余子式由题意及归纳假设知其中 M r, M i为相应的余子式由定义知 B c () 列的情形若 B 的第一列元素都是的第列元素的 c 倍, 则将 B 按定义展开即得 ; 若 B 的第 i 列 ( i ) 元素是的第 i 列元素的 c 倍, 利用展开式及归纳法即得性质 4 对换行列式的任意不同的两行, 则行列式的值改变符号 ( 绝对值不变 ) 证明对 n 用归纳法当 n 时, 咨询电话 : 微信公众号 :sxzykkaoyan

11 命题成立设结论对 n 阶行列式成立对 n 阶情形先证特殊情形对换行列式相邻两行, 其值改变符号设 B 由对换第 r 行和第 r 行得到, 记 N ij 为 B 的第 i 行第 j 列元素的余子式, 按定义展开若 i r, r 由归纳假设 Nr M i 而 Ni M r,, Nr, M r,, 因此 B 先考虑一般情形, 不妨设的第 i 行与第 j 行对换, 且 j i 先将第 i 行与第 i 行对换, 再与第 i 行对换, 一直到与第 j 行对换, 然后再将第 j 行经过不断与相邻对换到原来的第 i 行位置, 这样共对换了 ( j i) 次故仍有 B 证明法一 : 若交换的两列不是第一列, 由归纳法即得若第列与第 s 列交换后的行列式为 B, 则法二 : 设 B 由交换第 r 列及第 s 列后得到, 即咨询电话 : 微信公众号 :sxzykkaoyan

12 令除, B 外的两行列式均有两列相同, 行列式为, C 的第 r 列与第 s 列相同, 故 C 为, 这样有 C B, 即 B 具体完整的内容, 详见 8 厦门大学 85 高等代数考研专业课复习全书咨询电话 : 微信公众号 :sxzykkaoyan

13 第三部分历年真题与答案解析厦门大学 4 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题科目代码 :464 科目名称 : 高等代数招生专业 : 数学各专业考生须知 : 全部答案一律写在答题纸上, 答在试题纸上的不得分! 请用蓝黑色墨水笔或圆珠笔作答一填空题 (4 分, 其中第, 每题分, 其余每空 5 分 ) C. 设是 n 阶矩阵, B 是 m 阶可逆矩阵, B 则 C C = ; ; C *. 设 3 阶方阵的特征值是,,-, 则 ; 在相似关系下的标准型是 tr( ) ; ; - 的特征值是设 PQ 3-3 的 Jordan 标准型是则存在可逆矩阵 P, Q, 使得 (,,, ), (,,, ) 5. 由 4 维列向量构成 4 阶方阵 3 4 B 3 4 且, B, 则 B. 6. 存在齐次线性方程组, 以 (,,, ),(,,, ) 为其基础解系咨询电话 : 微信公众号 :sxzykkaoyan

14 二 (6 分 ) 设 f (x), g(x) 是有理数域上的多项式, 且 f (x) 在有理数域上不可约若存在复数使得 f ( ) g( ), 则 f ( x) g( x) 三 ( 分 ) 写出 n 阶实对称矩阵为正定阵的 5 个充要条件 ( 可以包括定义 ) 四 ( 分 ) () 设是 n 阶实矩阵, 则 tr( ) 的充要条件是 ; () 设是 n 阶实反对称矩阵, 若存在 n 阶矩阵 B 使得 B B, 则 B 4-3 五 ( 分 ) 设 V 是数域 F 所有 3 维列向量构成的线性空间, -3 义 V 的映射 : X X 定 () 证明是线性变换 ; () 求的核 K er和值域 Im的维数 ; (3) 求的特征值和对应的特征向量六 (7 分 ) 设, B 都是 n 阶方阵 R( E B) R( E B) n V, V 七 (6 分 ) 设, V 是数域 F 3, E 是 n阶单位阵求证上的有限维线性空间 :V V B B 的充要条件是 :V, V3 C: V 是线性映射求证 : 存在 V3 使得 C 的充要条件是 Ker Ker 咨询电话 : 微信公众号 :sxzykkaoyan

15 厦门大学 4 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析一填空题 (4 分, 其中第, 每题分, 其余每空 5 分 ). 设是 n 阶矩阵, B 是 m 阶可逆矩阵, C 则 C = ; C ; B C ; C * B mn 解 : C ; C () B ; C B C * mn ( ) B B 都是矩阵的基本性质. 设 3 阶方阵的特征值是,,-, 则 ; tr ( ) ; - 的特征值是 ; 在相似关系下的标准型是解 : 4 ;;,, ; I 3 都是特征值的基本性质 3. 解 : 的 Jordan 标准型是看它的行列式因子二 (6 分 ) 设 f (x), g (x) 是有理数域上的多项式, 且 f (x) 若存在复数使得 f ( ) g( ), 则 ( x) g( x) f 在有理数域上不可约证 : 用反证法设 f (x) 不整除 g (x), 因为 f (x) 在有理数不可约, 则 f (x) 和 g (x) 素, 于是存在 u ( x), v( x) 满足 u( x) f ( x) v( x) g( x) 互咨询电话 : 微信公众号 :sxzykkaoyan

16 显然 f (x) 和 g (x) 无公共根矛盾三 ( 分 ) 写出 n 阶实对称矩阵为正定阵的 5 个充要条件 ( 可以包括定义 ) 解 : 与 I 合同 ; 正惯性指数为 n ; 符号差为 n ; 特征值大于零 ; 顺序主子式都大于零四 ( 分 ) () 设是 n 阶实矩阵, 则 tr ( ) 的充要条件是 ; () 设是 n 阶实反对称矩阵, 若存在 n 阶矩阵 B 使得 B B, 则 B 证 :() 因为 a a a n a a a n a n a n a nn 所以 tr( ) a a n n n nn 那么 ( i, j n), 故 a ij a a a a, () 由 B B 知 ( I ) B, 要证 B, 即证 ( I ) X 只有零解, 即证 I, 而是反对称矩阵, 故在复数域下, 存在可逆 P, 使得 PP diag( i, i, i, i,, i, t, t,, t) ( t i或者 ), 显然 P P P IP, 即 I ( 实数域同样成立 ) 六 (7 分 ) 设, B 都是 n阶方阵, E 是 n阶单位阵证 : 作初等变换求证 R( E B) R( E B) n B B 的充要条件是 E B E B E B E B E B E B E B E B E 咨询电话 : 微信公众号 :sxzykkaoyan

17 ( E BB) E 显然 R( E B) R( E B) n 的充要条件是 E BB, 即 B B 七 (6 分 ) 设 V, V, V3是数域 F 上的有限维线性空间 : V V, :V V3 是线性映射求证 : 存在 C: V V3 使得 C 的充要条件是 Ker Ker 证 : 必要性若 C, 显然 Ker Ker ; 充分性由 Ker Ker 知, X 的解即是 BX, 设,,, ) ( t 是 X 解空间的列向量基故, B, 即, B 列向量的极大无关组即是 X 解空间的基, 那么 B 的列向量可以有的列向量线性表示, 设系数矩阵为 C, 满足 C 即有 C 完整答案解析, 请购买 8 厦门大学 85 高等代数考研专业课复习全书咨询购买. 聚英考研网商城 : 现场购买 : 福建省厦门市集美区石鼓路 47 号 ( 聚英教育二楼 ) 3. 咨询 QQ: ( 余老师 ) 4. 咨询电话 : 购买地址 : 咨询电话 : 微信公众号 :sxzykkaoyan

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