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1 第五十單元微分的應用 ( 二 ) 最佳化問題 ( 求最大值與最小值的應用問題 ) 是數學上很重要一個課題, 許多應用的領域, 最後可能都會歸結到求一個或多個數學式子的最大值與最小值, 最佳化問題是微分學發展出來的動機之一, 因此利用微分來解決最佳化的問題必然是它的主要應用之一本單元的主題是利用微分的技術來求函數的最大值與最小值 ( 甲 ) 極值的意義先觀察定義於閉區間 [a,b] 上的多項式函數 f() 的圖形上圖中,D 點是圖形中的最低點, 而 P 點和 A 點 ( 端點 ) 雖然不是最低點, 但是在 P 點 (A 點 ) 附近的每個點都比 P 點 (A 點 ) 高, 因此 P 點和 A 點是局部範圍內的最低點 ; 相對地,E 點是圖形中的最高點, 而 C 點和 B 點 ( 端點 ) 雖然不是最高點, 但是在 B 點 (C 點 ) 附近的每個點都比 B 點 (C 點 ) 低, 因此它們都是局部範圍內的最高點接下來我們來說明多項式函數 f() 的最大值 ( 最小值 ) 與極大值 ( 極小值 ) 之意義 : 1. 最大值與最小值 : 若 f () 定義域內的每一個數, 都有 f(m) f () 時, 則稱 f(m) 是函數 f() 的最大值若 f () 定義域內的每一個數, 都有 f(n) f () 時, 則稱 f(n) 是函數 f() 的最小值如上圖, 點 E 的 y 坐標 f(e) 為函數 f() 的最大值 ; 點 D 的 y 坐標 f(d) 就是函數 f() 的最小值 2. 極大值與極小值 : 若可找到一個實數 α, 使得在實數 α 附近的某一範圍內的每個數, 都有 f(α) f () 時, 則稱 f(α) 是 f() 的一個極大值 ( 局部極大值 ), 也可以說, 函數 f () 在 =α 處有一個極大值 f (α) 若可找到一個實數 β, 使得在實數 β 附近的某一範圍內的每個數, 都有 f(β) f () 時, 則稱 f(β) 是 f() 的一個極小值 ( 局部極小值 ), 也可以說, 函數 f() 在 =β 處有一個極小值 f (β) 如上圖, 點 C E B 的 y 坐標 f(c) f(e) 與 f(b) 都是函數 f () 極大值 ; 點 A,D,P 的 y 坐標 f (a),f (d) 及 f (p) 都是函數 f () 的極小值總結上述的說明, 當我們觀察函數 f() 如波浪起伏的圖形時, 圖形相對高點的波峰處 ~39 1~

2 就是發生極大值的位置 ; 而圖形相對低點的波谷處就是發生極小值的位置另一方面, 整個圖形最高點就是發生最大值的位置, 而最低點就是發生最小值的位置 ( 練習 1) (1) 設 f() 定義在閉區間 [a,b] 上, 其圖形如右圖所示, f() 的極大值為 : y f() 的極小值為 : f() 的最大值為 : f() 的最小值為 : (2) 請問函數 f() 的極大值一定 a b q 會大於極小值嗎? p n m Ans:(1) 極大值 :f(q) f(n) f(b); 極小值 :f(a) f(p) f(m) 最大值 :f(n); 最小值 :f(p) (2) 極大值不一定會大於極小值 ( 乙 ) 如何用一階導數判別極值導數與極值的關係 : 觀察一個實例 : f()=a 2 +b+c, 由配方可知 f() 在 = b 2a 有極值, 而 f / ()=2a+b, 所以 f / ( b 2a )=0 由圖形上來說, 表示 f() 的圖形拋物線在頂點處的切線為水平線這個結果可推廣到一般的函數, 我們寫成定理費馬定理 : 若函數 f() 在 =a 處有極值, 而且 f() 在 =a 處可微分, 則 f / (a)=0 證明 : 不妨假設 (a,f(a)) 為 f() 的極大點, 根據定義 f() 在 =a 附近有極大值 f(a) f() f(a) 如果 >a, 則 a 0 f ( ) f ( a) lim 0 + a a f() f(a) 如果 <a, 則 a 0 f ( ) f lim a a ( a) 0 因為 f / f ( ) f ( a) f ( ) f ( a) (a) 存在, 所以 lim = lim =0 + a a a a 因此 f / (a)=0 幾何解釋 : 定理一 : 若 A 點是 y=f() 圖形上的一個局部最高點或最低點, 而且 A 點為切點的切線存在, 則此切線必為水平線 ~39 2~

3 [ 討論 ]: (1) 定理一中 f / (a) 存在的條件, 可以去掉嗎? 不可以! 反例 :f()=,a=0 因此不可微分的點可能會發生極值 (2) 定理一的逆定理成立嗎? 逆定理不成立, 反例 f()= 3 在 =0 處 f / (0)=0, 但 f() 在 =0 不發生極值 y O(0,0) 結論 : 對於一個函數 f() 而言, 它的極值只可能出現在下面這些點 : (1) 滿足 f / (a)=0 的點 a (2)f() 的不可微分的點 ( 圖形上的尖點跳躍點轉折點 ) (3)f() 的定義域的端點如何用一階導函數判別極值 : 如何在區間 I 上找可微分函數 f() 的極大值與極小值 : 設 α 為區間 I 上的一個數, (a) 設 α 為端點, 因為端點一定會產生極值, 只要考慮 =α 附近,f() 的增減情形, 即可判斷出 f(α) 是極大值或極小值 (b) 設 α 不是端點, 根據費馬定理, 若 f / (α) 不為 0, 則 f(α) 一定不是極值 ; 若 f / (α)=0 時, 可以根據 =α 兩側 f() 的增減情形, 進一步判斷 f(α) 是極大值或極小值利用 (1) 的結果與均值定理, 可以得出一階導函數與極值的關係 : 極值的一階檢定法 ( 簡稱一階檢定法 ) 設函數 f() 在 =a 的附近可微分, 且 f / (a)=0 (1) 若在 a 點附近, 當 <a 時,f / ()>0; 當 >a 時,f / ()<0, 則 f() 在 =a 處有極大值 (2) 若在 a 點附近, 當 <a 時,f / ()<0; 當 >a 時,f / ()>0, 則 f() 在 =a 處有極小值 [ 證明 ]: (1) 在 a 點附近, 設 <a,f() f(a)=f / (t)( a)<0,t 介於 a 之間 f()<f(a) ~39 3~

4 設 >a,f() f(a)=f / (s)( a)<0,s 介於 a 之間 f()<f(a) 所以 f() 在 =a 處有 ( 相對 ) 極大值 (2) 在 a 點附近, 設 <a,f() f(a)=f / (t)( a)>0,t 介於 a 之間 f()>f(a) 設 >a,f() f(a)=f / (s)( a)>0,s 介於 a 之間 f()>f(a) 所以 f() 在 =a 處有 ( 相對 ) 極小值這個結果可以用以下的圖形為模型, 來加以理解 : f / >0 f / <0 f / <0 f / >0 a a [ 討論 ]: 若 f() 在 =a 附近,f / () 沒有變號, 那麼 f(a) 會是極值嗎? [ 例題 1] 已知函數 f()= 3 +a 2 +b 3 在 =1 3 有極值, 求 a,b 之值 [ 解法 ]: 因為函數 f() 在 =1 3 有極值且 f / (1) 且 f / ( 3) 存在, 根據費馬定理, 可以得知 f / (1)=f / ( 3)=0 f / ()=3 2 +2a+b 所以 f / (1)=3+2a+b=0,f / ( 3)=27 6a+b=0 故可解得 a=3,b= 9 [ 例題 2] 求函數 f()= 在區間 [ 2,2] 的極大值極小值 [ 解法 ]: 由 f / ()= =15 2 ( 1)(+1) f / ()=0 =0, 1,1 以 f / ()=0 的根為與端點 : 分段討論, 並列出下表 : 由函數極值的一階檢定法, 我們有 : (1 ) 在 = 1 處, 圖形左側遞增右側遞減,f() 在 = 1 有極大值 f( 1)=2; ~39 4~

5 (2 ) 在 =1 處, 圖形左側遞減右側遞增,f() 在 =1 有極小值 f(1)= 2 (3 ) 在定義域的端點 = 2 =2 f() 在 = 2 有極小值 f ( 2)= 56;f() 在 =2 有極大值 f(2)=56 (4 ) 在 =0 處, 圖形兩側都遞減, 因此 f() 在 =0 並不會產生極值 ( 練習 2) 已知函數 f()= a 2 +b+1 在 =1 2 有極值, 求 a,b 之值 Ans:a=3 b= 4 ( 練習 3) 試求函數 f ()= 在區間 [-2,2] 的極大值極小值 Ans: 極大值 f( 2)= 9 f(1)=0, 極小值 f(1)=0 f(2)= 9 連續函數的最大值與最小值 : 連續函數在開區間上不一定會有最大值最小值 ; 但是在閉區間上一定會有最大值與最小值我們用下面的例子來說明 : 下圖為多項式函數 f()= 的圖形, 考慮 f() 在下列區間的最大值與最小值 : (1) 閉區間 [ 2.1,2.1] (2) 開區間 ( 1.5,1.5) (3) 開區間 ( 2.1,2.1) 在閉區間 [ 2.1, 2.1] 中, 根據下圖, 可以得知最高點與最低點分別為端點 E F, 因此 f( 2.1) 為最小值,f(2.1) 為最大值在開區間 ( 1.5,1.5) 中, 根據下圖, 可以得知最高點與最低點分別為 B 點與 A 點, 因此 f( 1) 為最大值,f(1) 為最小值在開區間 ( 2.1,2.1) 中, 根據下圖, 當由 2.1 的左側接近 2.1 時,f() 的值會愈來愈大, 但是因為 f(2.1) 並不在考慮的範圍內, 因此 f() 並沒有最大值 ; 同樣的, 當由 2.1 的右側接近 2.1 時,f() 的值會愈來愈小, 但是因為 f( 2.1) 並不在考慮的範圍內, 因此 f() 並沒有最小值結果是 f() 在開區間 ( 2.1,2.1) 上有極值但是沒有最大值與最小值 ~39 5~

6 因為函數 f() 的圖形是一個連續不斷的曲線, 當我們從圖形上截取一段含有端點的圖形時, 這一段圖形一定會有最高點與最低點, 就像 f() 在閉區間 [ 2.1,2.1] 上有最大值與最小值 ; 但是當我截取的圖形不含端點時, 就可能在這段圖形上找不到最大值或最小值, 就像 f() 在開區間 ( 2.1,2.1) 上沒有最大值與最小值這個事實是連續函數的一個重要性質 : 連續函數的最大值與最小值定理 : 若 f() 為閉區間 [a,b] 上的連續函數, 則 f() 在 [a,b] 上一定可以找到最大值與最小值根據上面的定理, 連續 ( 多項式 ) 函數在閉區間上一定會有最大值與最小值, 因此可以先求出極值之後, 再取極大值中最大者為最大值, 極小值中最小者為最小值 [ 例題 3] 設函數 f ()= , [-1,4 ] 的 (1) 試求 f() 的極值 (2) 試求 f() 的最大值與最小值 [ 解法 ]: (1) 極值發生在 f / ()=0 的實根處或定義域的端點 : 導函數 f / ()= =3 ( -1 )( -3 ), 令 f / ()=0, 解得 =1 或 3, 因此 f () 的極值只可能出現在 =1,3 及端點 = 1,4 等處由下表再根據前面的結果, 可以得知 : f() 的極大值為 f(1)=8 f(4)=8; 極小值為 f( 1)= 12 f(3)=4 (2) 比較函數在各臨界點及定義域端點的值 : 因 f () 定義在閉區間, 故 f () 有最大值最小值, 且一定是極值之一, 由列表得函數 f () 在區間 [ 1,4] 上的最大值 ( 極大值中最大者 ) 為 8, 最小值 ( 極小值中最小者 ) 為 12 [ 例題 4] 請求出函數 f()= 之極大值與極小值 Ans:f( 1) 為極小值,f(3)= 1 6 為極大值 ~39 6~

7 ( 練習 4) 求 f()=(+3) 3 ( 2) 2 的極大值極小值 Ans: 極大值 f(0)=108, 極小值 f(2)=0 ( 練習 5) 設 f()= , 3 5, 試求 f ( ) 之極大值, 極小值, 最大值, 最小值 Ans: 極大值 :f( 2)=18,f(5)=67, 極小值 :f( 3)=11,f(2)= 14, 最大值 :f(5)=67, 最小值 :f(2)= 14 ( 練習 6) 試求 f()= 2 2 的極值 Ans: 極大值 f () 3 3 ( 練習 7) 試求 f()=+2sin,0 2π 的極值 1 =, 極小值 f () = 2 Ans:g(0)=0,g( 4π 3 )=4π 3 3 極小值 ;g( 2π 3 )=2π 3 + 3,g(2π)=2π 極大值 ( 丙 ) 如何用一階與二階導數判別極值由一階及二階導函數判別函數的極值 : 極值的一階檢定法重點是判斷導數等於 0 的點兩側函數的增減情形, 除了這樣的想法之外, 還可以根據導數等於 0 的點兩側函數圖形的凹向來找極大值或極小值我們觀察函數圖形極大點與極小點附近圖形的凹向 : 如下圖一, 在函數圖形的極大點 ( 切線斜率為 0 處 ) 附近, 圖形是凹口向下 ; 如下圖二在函數圖形的極小點 ( 切線斜率為 0 處 ) 附近, 圖形是凹口向上圖一圖二反之, 若函數 f () 在 =α 處的導數為 0, 且在該點附近的圖形是凹口向下, 則 f (α) 是極大值 ; 若函數 f () 在 =β 處的導數為 0, 且在該點附近的圖形是凹口向上, 則 f (β) 是 f () 的一個極小值一般情形下, 我們有下面的結果 : 定理 : 設 f() 在 (a,b) 上可微分, 設 0 (a,b) 且 f / ( 0 )=0,f // ( 0 ) 存在 (1) 若 f // ( 0 )<0, 則 f() 在 = 0 處有相對極大值 (2) 若 f // ( 0 )>0, 則 f() 在 = 0 處有相對極小值 ~39 7~

8 證明 : (1) 考慮 f // ( 0 )<0 的情形, 因為二階導數是通過一階導數定義的, 所以 f // ( 0 ) 存在, 隱含了 f / () 在 0 附近是存在的 f // f ( 0 )= lim ( ) f / 0 0 / ( 0 ) = lim f 0 0 / ( ) <0 存在 r>0 使得當 ( 0 r, 0 +r) 時, f/ () 0 <0 > 0,f / ()<0 且 < 0,f / ()>0 f() 在 = 0 處有相對極大值值得注意的是, 如下圖, 令 f()= 4 g()= 5, 滿足 f / (0)=f // (0)=0 且 g / (0)=g // (0)=0, (0,0) 為 f()= 4 的極值點, 而 (0,0) 為 g()= 5 的反曲點因此當 f / (α)=f // (α)=0 時,(α,f(α)) 可能為極值點或反曲點, 故必須再討論這些點左右 f() 的單調性, 才能得出 f(α) 是否為極值 y= 4 y= 5 結論 : 若 f() 為連續函數, 則 (1)f / (a) 0 f() 在 =a 不會產生極值 (2) 滿足 f / (a)=0 的點 (a,f(a)) 會有下列三種情形 : f // (a)<0 點 (a,f(a)) 是極大點 f() 在 =a 產生極大值 f(a) f // (a)>0 點 (a,f(a)) 是極小點 f() 在 =a 產生極小值 f(a) f // (a)=0 點 (a,f(a)) 可能是反曲點或極大 ( 小 ) 點 [ 例題 5] 試利用極值的二階檢定法求函數 f()= 在區間 [ 2,2] 的極大值極小值 [ 解法 ]: 先求 f / ()= =15 2 ( 1)(+1) f / ()=0 =0, 1,1 f // ()= =30(2 2 1) 因為 f / ( 1)=f / (0)=f / (1)=0, 且 f // ( 1)<0,f // (0)=0,f // (1)>0 ~39 8~

9 根據二階檢定法可以得知 f() 在 = 1 有極大值 f( 1)=2;f() 在 =1 有極小值 f(1)= 2 在 =0 處 f / (0)=f // (0)=0, 根據二階檢定法並無法得知 f(0) 是否為極值, 端點 = 2 =2 處, 也是一樣無法由二階導數得知是否為極值所以要判斷 f( 2) f(2) 與 f(0) 是否為極值, 必須根據例題 2 的作法, 討論這些點左右的 f() 的單調性, 才能得出 f( 2) 為極小值 f(2) 為極大值,f(0) 不為極值 [ 例題 6] 試求 f()= 2sin,0 2π 的極值與最大值與最小值 Ans: 極大值 f( 5π 3 ) f(0); 極小值 f( π 3 ) f(2π); 最大值 f( 5π 3 ), 最小值 f( π 3 ) [ 例題 7] 設 f()= ( 6 ), 試求 f() 的極值 1 Ans: 極小值 f(0)=0,f(4)= 極大值 ( 練習 8) 試求函數 f ()= 的極大值與極小值 Ans: 極小值 f (3)=-102, 極大值 f (- 1)=154 ( 練習 9) 求函數 f()= 的極大值極小值 Ans: 極大值 f( 1)=2, 極小值 f(1)= 2 3 ( 練習 10) 求 f ( ) = ( 7) 2 的極值 Ans: 極大值 f(1)=36, 極小值 f(7)=0 ( 練習 11) 試求函數 f()= 2 2 的最大值最小值 ~39 9~

Ans: 最大值 f( 3 2 )=3 3 4, 最小值 f(0)=f(2)=0 ( 練習 12) 試求 f()=+cos, 2π 2π 的極值 Ans:f(2π)=2π+1 極大值,f( 2π)= 2π+1 極小值 ( 丁 ) 極值的應用前面各小節中已經介紹了如何利用一階二階導函數來求函數的極值, 有了這些工具之後, 可以將其利用在許多最佳化的問題上 ( 求最大值與最小值的應用問題 ),

10 Ans: 最大值 f( 3 2 )=3 3 4, 最小值 f(0)=f(2)=0 ( 練習 12) 試求 f()=+cos, 2π 2π 的極值 Ans:f(2π)=2π+1 極大值,f( 2π)= 2π+1 極小值 ( 丁 ) 極值的應用前面各小節中已經介紹了如何利用一階二階導函數來求函數的極值, 有了這些工具之後, 可以將其利用在許多最佳化的問題上 ( 求最大值與最小值的應用問題 ), 在處理這些問題時, 首先要了解題意並釐清問題方向, 適當地選取變數 ( 使所求值發生變化的關鍵 ), 並依題意定出函數 f (), 此時要特別注意變數的範圍, 然後找出函數在該範圍內的臨界點 ( 一階導函數之根與定義域的端點 ), 再計算函數的最大值或最小值, 並且回顧問題的最大值與最小值是否合理選取適當變數利用一階實際問題 ( 注意的範圍 ) 形成函數 f() 二階導函數求出最大值與最小值回顧問題檢驗答案的合理性 [ 例題 8] 用一塊寬 3 公尺長 8 公尺的白鐵板, 先在四個角各截去相同大小的正方形, 然後摺起四邊焊接起來, 形成一個無蓋的長方體蓄水箱, 試問在各角截去的正方形邊長應為多少, 才能使水箱的容積 ( 鐵板厚度不計 ) 為最大? 又其最大容積為多少? [ 解法 ]: 先求出水箱各邊長, 然後計算容積 (1) 根據題意, 選取變數 : 設截去的正方形邊長為公尺, 此時水箱底邊的長寬分別為 ( 8-2 ) 公尺與 ( 3-2 ) 公尺, 高為公尺, 故水箱的容積為 ( 8-2 ) ( 3-2 ) 立方公尺 (2) 依題意定出函數 f (), 並標示變數的範圍 : 令 f ()= ( 2-8 ) ( 2-3 )= , 其中 0<< 3 2, 欲求 f () 的最大值 (3) 找出函數 f () 的最大值 : 計算 f () 的第一階導函數 f / ()= =4 ( -3 ) ( 3-2), 得 f / ()=0 的根為 = 2 3,3( 不合 ) ~39 10~

11 0<< 2 3 = << 3 2 f / () + 0 f () 由上表可以得知 f () 在 0<< 3 2 中只有一個極大值, 故 f( 2 3 )= 為最大值因此在各角截去邊長為 ( 約 0.67) 公尺的正方形時, 可摺成一個有最大容積的無蓋長 200 方體蓄水箱, 其容積為 27 ( 約 7.41) 立方公尺 [ 例題 9] 傳說中孫悟空的如意金箍棒是由定海神針變形得來的這定海神針在變形時永遠保持為圓柱體, 其底圓半徑原為 12 公分且以每秒 1 公分的等速率縮短, 而長度以每秒 20 公分的等速率增長已知神針之底圓半徑只能從 12 公分縮到 4 公分為止, 且知在這段變形過程中, 當底圓半徑為 10 公分時其體積最大 (1) 試問神針在變形開始幾秒時其體積最大? (2) 試求定海神針原來的長度 (3) 假設孫悟空將神針體積最小時定形成金箍棒, 試求金箍棒的長度 (2006 指定甲 ) Ans:(1)2 秒時體積最大 (2)60 公分 (3)220 公分 [ 例題 10] 一直圓柱內接於一已知定直圓錐內 ( 底重合 ), 當直圓柱有最大體積時求圓柱與圓錐高之比 Ans: 1 3 ~39 11~

12 [ 例題 11] 設函數 f ()= 3 +a 2 +b+c, 其中 a,b,c 為常數若 f () 在 =-1 處有極值 2, 且在 =3 處也有極值, 試求 a,b,c 之值 Ans:a= 3,b= 9,c= 3 5 [ 例題 12] 試證明 : 若 >0, 則 3 3 +>2 2 恆成立 ( 練習 13) 已知函數 f()= 3 +a 2 +b 3 在 =1 3 有相對極值, 求 a,b 之值 Ans:a=3,b= 9 ( 練習 14) 點 A(0,1) 到拋物線 y= 2 上點的最短距離為何? Ans: 5 4 ( 練習 15) a>0,f()=a 3 3a 2 9a+b 有相對極大值 10, 相對極小值 22, 則 (a,b)=?ans:(1,5) ( 練習 16) 證明在 0<<π 時, sin<(1 cos) ( 戊 ) 三次函數的圖形前面已經討論了函數的遞增遞減極大值極小值, 以及凹向等性質, 我們將利用這些性質來討論三次函數的圖形因為三次函數的導函數為二次函數, 所以函數圖形的局部最高點最低點各有一個或根本沒有, 因此三次函數圖形的大略形狀可分成兩類 : ~39 12~

13 (1 ) 圖形有一個局部高點與一個局部低點 : (2 ) 圖形沒有局部高點或局部低點 : 設三次函數 f ()=a 3 +b 2 +c+d ( a 0 ), 我們可以利用一階二階導函數來討論它的圖形 : 設三次函數 f()=a 3 +b 2 +c+d ( a 0 ) f / ()=3a 2 +2b+c,f // ()=6a+2b 設 f / ( ) = 0 有兩根 α,β, 而 f // ( b 3a )=0, 當 > b 3a 與 < b 3a,f // () 異號, 所以 ( b 3a,f( b 3a ) 為反曲點 (a) 設 α β 為兩相異實數 ( 令 α<β) / 2 // f ( ) = 3a + 2b + c = 3a ( α)( β), f ( ) = 3a(2 α β) a>0 a<0 有一個極大, 一個極小, 一個反曲點 (b) 設 α=β 為兩相等實根 : / 2 // f ( ) = 3a( α), f ( ) = 6a( α) a>0 a<0 遞增函數, 沒有極大極小點, 反曲點有一水平切線遞減函數, 沒有極大極小點, 反曲點有一水平切線 ~39 13~

14 (c) α,β 為兩虛數 / 2 // f ( ) = 3a + 2b + c, f ( ) = 6a + 2b a>0 a<0 遞增函數, 沒有極大極小點, 反曲點沒有水平切線遞減函數, 沒有極大極小點, 反曲點沒有水平切線結論 : 設 f()=a 3 +b 2 +c+d (a 0) f / 2 ( )= 3a + 2b + c, f // 2 ( ) = 6a+ 2 b, = 4( b 3ac ) (1) 0:y=f() 的圖形有一個極大點極小點反曲點 (2) =0:y=f() 無極大點極小點, 只有一個反曲點, 在反曲點有水平切線 (3) <0:y=f() 無極大點極小點, 只有一個反曲點, 在反曲點有斜的切線 [ 例題 13] (1) 證明 :f()=a 3 的圖形對稱於反曲點 (0,0) (2) 證明 :f()=a 3 +b+c 對稱於反曲點 (0,c) (3) 證明 : 三次函數 f()= a 3 +b 2 +c+d 的圖形都可以利用平移將圖形化成 g()= a 3 +b+c 的形式 (4) 證明 : 三次函數 f()= a 3 +b 2 +c+d 的圖形都是點對稱圖形, 且以反曲點 ( b 3a,f( b 3a )) 為圖形的對稱中心 ~39 14~

15 [ 例題 14] 設 f()=a 3 +b 2 +c+d, 如圖, 試判別 a,b,c,d 之正負 Ans:a>0,b>0,c<0,d<0 y O ( 練習 17) 如圖, 已知三次函數的圖形通過 (1,0) ( 1, 2) 且與軸相切於原點, 試求函數 f() Ans: 3 2 ( 練習 18) 已知三次函數 f()= 3 +k 有兩個極值, 試求 k 的範圍 Ans:k>3 或 k< 3 ( 練習 19) 設函數 f()=a 3 +b 2 +c+d 在 = 1 處有相對極大值 7, 而 ( 1, 9) 是它的一個反曲點, 求 f ( )=? Ans: ( 練習 20) 試問 y= 3 +5 的圖形與 y=2+5 有幾個交點? Ans:1 個 ~39 15~

16 ( 己 ) 三次方程式的根 (1) 重根的意義 : 給定 n 次多項式方程式 f ()=0, 如果 α 為定數,k 為正整數 (2 k n) 且 ( α) k f(), 但 ( α) k+1 \ f (), 那麼 α 便是方程式 f()=0 的 k 重根性質 : 若 α 為 n 次方程式 f()=0 的 k 重根 ( 其中 2 k n), 則 f(α)=f / (α)= =f (k 1) (α)=0, 但 f (k) (α) 0 [ 證明 ]: 設 α 為 f()=0 的 k 重根 ( 其中 2 k n), 令 f()=( α) k Q() 其中 Q(α) 0 我們可以使用綜合除法將 Q() 表成 : Q()=a n k ( α) n k +a n k 1 ( α) n k 1 + +a 1 ( α)+a 0, 其中 a 0 0 f()= a n k ( α) n +a n k 1 ( α) n 1 + +a 1 ( α) k+1 +a 0 ( α) k, 所以可以得知 f(α)=f / (α)= =f (k 1) (α)=0, 但 f (k) ()=( α)r()+a 0 k!,f (k) (α)=a 0 k! 0 (2) 三次方程式的重根 : 設實係數三次方程式 a 3 +b 2 +c+d=0, 令 f()=a 3 +b 2 +c+d, 我們用兩種方法來討論 f()=0 的重根對任意實數 α, 以 α 為除式我們可以反覆操作綜合除法, 將 f () 表示成 α 的多項式 : 得 f ()=f (α)+f / (α) ( α)+ 1 2 f // (α) ( α) 2 +a ( α) 3 結論 : 設 f ()=0 為實係數三次方程式, (1)f ()=0 有二重實根 α f (α)=f / (α)=0, 但 f // (α) 0, 此時由極值的二階檢定法可知 f () 有極值 f (α)=0 因此軸為三次函數圖形的水平切線, 切點為極大點或極小點 (2) f ()=0 有三重實根 α f (α)=f / (α)=f // (α)=0, 此時 f () 的圖形有反曲點 ~39 16~

17 (α,f (α))=(α,0) 且過反曲點的切線為 y-0=0 ( -α), 即軸為反曲點的水平切線 (3) 多項式函數的圖形與 n 次方程式的重根 : (a) 當 k 偶數, 則 y=f() 在 (α,0) 附近的圖形, 如下圖所示 : (α,0) (α,0) 設 k=2m f()=( α) 2m Q(), 其中 Q(α) 0 在 =α 附近 :f() Q(α)( α) 2m, 因此 f() 的圖形特徵與 y=q(α)( α) 2m 類似 (b) 當 k 為大於 1 的奇數, 則 y=f() 在 (α,0) 附近的圖形, 如下圖所示 : (α,0) (α,0) 設 k=2m+1 f()=( α) 2m+1 Q(), 其中 Q(α) 0 在 =α 附近 :f() Q(α)( α) 2m+1, 因此 f() 的圖形特徵與 y=q(α)( α) 2m+1 類似結論 : (1) 實係數三次函數 f ()=a 3 +b 2 +c+d 的圖形 : ~39 17~

18 (2) 三次方程式 f()=a 3 +b 2 +c+d=0 的根有下列的情形 : f / ()=3a 2 +2b+c=0 兩根為 α,β, 令 =4(b 2 3ac) (A)f()=0 有三相異實根 ( 如右圖 ) (α,f(α)) α,β 為兩相異實數 ( >0) 且 f(α)f(β)<0 (B)f()=0 有兩相異實根 ( 有二重根 ) α,β 為兩相異實數 ( >0) 且 f(α)f(β)=0 (α,f(α)) (β,f(β)) (α,f(α)) (β,f(β)) (β,f(β)) (C)f()=0 有三重根 α,β 為兩相等實根 ( =0) 且 f(α)=0 (α,0) (D)f()=0 有一實根兩共軛虛根 (1 )α,β 為兩相異實數 ( >0) 且 f(α)f(β)>0 (α,f(α)) (α,f(α)) (β,f(β)) (β,f(β)) ~39 18~

19 (2 )α,β 為兩共軛虛根 ( <0) (3 )α,β 為兩相等實根 ( =0) 且 f(α) 0 [ 例題 15] 設 f ()= k, 試求滿足下列各條件之 k 值 : (1) f ()=0 有三相異實根 (2) f ()=0 有一實根與二虛根 (3) f ()=0 有二正根與一負根解 : < 方法一 > 利用根的性質 : 求出 f () 的導函數 f / ()= =3 ( +1 ) ( -3 ), 得 f () 的臨界點為 -1, 3, 由三次函數的圖形可知 f (-1)=k+5 為 f () 的極大值, f (3)=k-27 為極小值 (1) 當 f ()=0 有三相異實根時,f () 的極大值極小值異號, 故 f ( 1) f (3)=( k+5 )( k 27 )<0, 所以 5<k<27 (2) 當 f ()=0 有一實根與二虛根時,f () 的極大值極小值同號, 故 f ( 1) f (3)=( k+5 )( k 27 )>0, 所以 k< 5 或 k>27 (3) 當 f ()=0 有二正根與一負根時 ( 三相異實根, 或二正重根與一負根 ), f ( 1) f (3)=( k+5 )( k 27 ) 0, 所以 5 k 27 另一方面, 由根與係數的關係, 知三根乘積 -k<0, 即 k>0 故得 0<k 27 < 方法二 > 觀察圖形的交點 : 方程式 k=0 的實根就是函數 g ()= 的圖形 ( 有極大值為 5, 極小值為 -27) 與直線 y= k 的交點的橫坐標如圖因此觀察圖形相交情形, 可以判斷 f ()=0 根的狀況 : (1) 當 f ()=0 有三相異實根時,y=g () 的圖形與直線 y= k 有三個交點, 此時 5<k<27 (2) 當 f ()=0 有一實根與二虛根時,y=g () 的圖形與直線 y= k 只有一個交點, ~39 19~

20 此時 k>5 或 k< 27, 即 k< 5 或 k>27 (3) 當 f ()=0 有二正根與一負根時,y=g () 的圖形與直線 y= k 有三個交點, 其中有兩個交點之橫坐標須大於 0, 此時 0<k 27 [ 例題 16] 已知正數 α 為三次方程式 k=0( 其中 k 為定數 ) 的二重根, 試求 α,k 及另一根 Ans:α=2,k=12, 3 ( 練習 21) 設 f()= 3 3k 2 +k+3 求滿足下列條件之 k 值 (1)f()=0 有三實根 (2)f()=0 有二相異負根一正根 Ans:(1)k 3 或 k 1 (2)k< 3 ( 練習 22) 試求實數 a 的範圍, 使得方程式 a=0 恰有一實根與二共軛虛根 Ans:a< 18 或 a> ( 練習 23) 方程式 2 3 3(k+1) 2 +6k 2k=0 有三個相異實根, 求實數 k 的範圍 Ans:k>2 或 k<0 ( 庚 ) 牛頓法求根設我們要向銀行貸款元, 希望從下個月開始每個月還 3750 元, 分五年還清, 那麼月利率是多少呢? 解決這個問題, 相當於解 48(1+) 60 (1+) 60 +1=0, 其中代表月利率這個方程式並不像二次方程式那樣有公式解, 如何能夠用電腦找一個數值解呢? 電腦有很多方法可以找方程式 f()=0 數值解, 其中一種最常用的是牛頓法 (Newton s Method) (1) 牛頓法的幾何解釋 : 右圖是 y=f () 圖形的一部分,A 為函數圖形與軸的一個交點, 則 A 的坐標 a 就是方程式 f ()=0 的一個實根首先我們可以先找一個值 a 1 ( 初始值 ), 這個值可以用猜的或是畫 y=f() 的 ~39 20~

21 圖形, 來找一個接近根的值如右圖, 設 A 1 ( a 1,f (a 1 ) ) 為 y=f () 圖形上接近 A 的一個點, 今考慮以 A 1 ( a 1,f (a 1 ) ) 為切點的切線方程式 L:y=f / (a 1 ) ( -a 1 )+f (a 1 ), 則當 L 不是水平線時 ( 即 f / (a 1 ) 0),L 與軸的交點為 A 2 (a 1 - f (a 1) f / (a 1 ),0 ) 令 a 2 =a 1 - f (a 1) f / (a 1 ), 如果 A 2 點比 A 1 更接近 A( 例如 a 1 >a 2 >a), 那麼對方程式 f ()=0 的根來說,a 2 就是比 a 1 更好的一個近似值, 在這種情形下, 由方程式 f ()=0 的根的一個近似值 a 1 出發, 可求得方程式 f ()=0 根更好的近似值 a 2 在求近似值的過程中, 有時我們可以反覆操作上面由 a 1 求 a 2 的過程, 當 f / (a 2 ) 0 時, 令 a 3 =a 2 - f (a 2) f / (a 2 ), 重複前述步驟, 當 f / (a k ) 0 時, 令 a k +1=a k - f (a k) f (a k ), 進而得到一數列 a 1,a 2,a 3,,a k,a k +1,, 在適當條件下此數列會收斂, 其極限值即為 f ()=0 的一個實根值得注意的是, 如右圖所示, 雖然 lim a n 會是 f()=0 的實根, 但是也可能選取到 a 1 不 n 甚理想, 使得 lim a n 可能不會收斂因此初始值的選取很重要 n 例如 : 當 f ()= 2-2 時,f / ()=2,A ( 2,0 ) 為函數圖形 y=f () 與軸的交點 (1) 由 a 1 =2 出發, 令 a 2 =a 1 - f (a 1) f (a 1 ) =2-2 4 = 3 2 =1.5, 則作為方程式 2-2=0 的根的近似值,a 2 =1.5 確實是比 a 1 =2 更好的一個近似值 1 (2) 由 a 1 = 3 2 出發, 令 a 2 =a 1 - f (a 1) f (a 1 ) = = 17 12, 則作為方程式 2-2=0 的根的近似值,a 2 = 確實是比 a 1 =1.5 更好的一個近似值 ~39 21~

22 [ 例題 17] 給定方程式 2 -k=0( 其中 k>0 ) 的根的一個近似值 a 1, 若 a 1 > k, 利用牛頓法找出 a 2 a 3, 形成一個數列 {a n } (1) 證明 :a n+1 = 1 2 (a n+ k a n ) (2) 證明 :a n >a n+1 > k 例題 17 中由方程式 f ()= 2 k=0 的根的一個近似值 a 1 出發, 求得更好的近似值 a 2 的過程, 就是所謂牛頓法求平方根我們將這個過程整理如下 : 牛頓法求平方根的近似值 : 求方程式 2 -k=0( 其中 k>0) 的正根的近似值, 先任選一個大於 k 的一個近似值 a 1, 然後以 a 1 與 k a 1 的算術平均數 a 2 = 1 2 ( a 1 + k a 1 ) 作為 k 的一個較好的近似值 ; 依此反覆進行, 亦即 a 2 = 1 2 ( a 1 + k a 1 ),a 3 = 1 2 ( a 2 + k a 2 ),a 4= 1 2 ( a 3 + k a 3 ),, 這些數的大小關係如下 :a 1 >a 2 >a 3 >a 4 > > k 如此反覆操作, 可得到更好的近似值 [ 例題 18] 利用牛頓法 ( 取初始值 a 1 =1) 與 Ecel 來找 cos= 的近似根到小數點後第 6 位 Ans: ~39 22~

23 ( 練習 24) 利用牛頓法與 Ecel 來找 3 2 5=0 的近似根到小數點後第 6 位 (1) 取初始值 a 1 =2 (2) 取初始值 a 1 = 5 (3) 請利用圖形來檢討這兩個初始值哪一個較適當 Ans:(1) (2) ( 練習 25) 試利用牛頓法與 Ecel 來求 7 的近似值到小數點後第 8 位 Ans: ~39 23~

24 綜合練習 (1) 求下列各函數的極大值與極小值 : (a)f()= (b)f()=8 2 4 (c)f()=(+3)(2 7) 3 (d)f()=cos sin 3 (2) 求下列各函數的最大值與最小值 : (a)f()=3 3 (0 2) (b)f()=cos 3 cos 2 +2 ( 提示 : 可令 t=cos) (c)f()=(+2)(4 1) 3 (0 1) 3 (d)f()= ( 3 3) (3) 設 f()= 2 1, 試求 f() 的極大值與極小值 (4) 求函數 f()= 16 2 的極值 (5) 設 f()= 2 +a(1 2 ) 為一實係數多項式函數,a 為常數下列敘述何者正確 : (A) 不論 a 是何值, f () 的函數圖形都不可能是直線 (B) 不論 a 是何值, 若 f () 有極值, 則極值都等於 a (C) 0 有可能是 f () 的極大值 (D) 若 a 0 方, 則 f ( ) = 0 無重根 (2005 指定甲 ) (6) f() 是一個首項係數為 1 的實係數三次多項式,k 是一個常數已知當 k<0 或 k>4 時,f() k=0 只有一個實根 ; 當 0<k<4 時,f() k=0 有三個相異實根請選出正確的選項 (1) f() 4=0 和 f / ()=0 有共同實根 (2)f()=0 和 f / ()=0 有共同實根 (3)f()+3=0 任一實根大於 f() 6=0 的任一實根 (4)f()+5=0 的任一實根小於 f() 2=0 的任一實根 (2003 指定甲 ) (7) 已知整係數多項式 f () 滿足 f ( 2) = f (4) = f (6) = 0, 而且除了 = 2,4, 6 之外, f () 的值恆正下列選項有哪些必定是正確的? (A) f () 的次數至少為 6 (B) f () 的次數為奇數 (C) f (1) 為奇數 (D) f '(4) = 0 (2004 指定甲 ) (8) 考慮坐標平面上函數 y= 的圖形 ( 為任意實數 ), 試問下列哪些選項是正確的?(2007 指定甲 ) (1) 圖形有最高點, 也有最低點 (2) 圖形有水平切線 (3) 圖形與任一水平直線恰有一交點 (4) 若 (a,b) 在圖形上, 則 ( a, b+6) 也在圖形上 (5) 圖形與三直線 =0 =1;y=0 所圍成的區域之面積大於 4 (9) 考慮多項式函數 f()= , 試問下列那些選項是正確的? (A) lim f(k) k f(k+100) =0 (B) f() f(1) lim =0 (C) 函數 f 在區間 [ ,1] 遞增 ~39 24~

25 (D) 若 0, 則 f() 0 (E) 在坐標平面上 y=f() 的圖形與直線 y=3 恰有兩個交點 (2006 指定甲 ) (10) 以 O 表示坐標平面上的原點給定一點 A(4,3), 而點 B(,0) 在正軸上變動若 l() 表示 AB 長, 則 OAB 中兩邊長比值 l() 的最大值為 ( 化成最簡分數 ) (2006 指定甲 ) (11) 設 f / () 表示實係數多項式函數 f() 的導函數, 已知 y=f / () 的圖形是一個通過點 (1,0) 和點 (2,0) 且開口向上的拋物線試問下列哪些選項是正確的? (1)f() 一定是三次多項式 (2)f() 在 1<<2 的範圍必為遞增 (3)f() 一定恰有兩個極值 (4)f()=0 一定有三個實根 (5)f()=0 在 1 2 的範圍內一定有實根 (2008 指定甲 ) (12) 設 p() 為三次實係數多項式函數, 其圖形通過 (1,3),( 1,5) 兩點若 p() 的圖形在點 (1,3) 的切線斜率為 7, 而在點 ( 1,5) 的切線斜率為 5, 試求 p() (2008 指定甲 ) (13) 已知多項式 f() 滿足 f // ()=8+11, 且 y=f() 在 =1 有局部極值, 則 f / (0)= (2010 指定甲 ) (14) 設 f() 是實係數三次多項式函數, 滿足 f(0)=1,f / ( 1)=4 且導函數 f / () 的圖形如下圖所示, 試描繪函數 f() 的圖形 (15) 發現者號太空梭於 1990 年 4 月 24 日裝載著哈柏太空望遠鏡 (Hubble Space Telescope), 太空梭於一開始發射到固態燃料裝置拋棄為止約 126 秒, 期間它的速度可以用 v(t)= t t t (feet/sec) 來近似的表示試利用這個模型來估計太空梭在這段期間加速度的最大值與最小值 ( 必要時使用計算機 ) (16) 函數 f()= 3 +a 2 +b+c (a) 若 f() 在 = 1 時有極大值, 在 =2 時有極小值, 求 a,b (b) 承 (a) 若極大值為 3, 求極小值 (c) 承 (a)(b) 之結果求 y=f() 斜率最小的切線方程式 (17) 設四次函數 f()= a 2 (a) 若 f() 沒有相對極大值, 則求 a 的範圍 (b) 若 f() 有相對極大值, 則求 a 的範圍 ~39 25~

26 (18) 試證明對於任意實數, (19) 已知三次函數 f() 的圖形通過點 (0,0),( 1,2), 且與軸相切於點 (1,0), 圖形如下圖所示, 求函數 f() (20) 設 m 為實數, 已知四次方程式 3 4 4m 3 +1=0 無實數根, 求 m 的範圍 (21) 若 y=3 3 與 y=+k 圖形交相異三點, 求 k 之範圍 (22) 設 f()= a+b 2 +1 在 = 2 時有極值 2, 求數對 (a,b)=? (23) 設一直圓錐的高為 27 底半徑為 12, 若有一直圓柱內接於此圓錐 ( 底重合 ), 試求此直圓柱的最大體積 (24) 有一地方 A, 一日之間降雨之機率為 p, 不降雨之機率為 1 p, 今連續三日只有一日降雨之機率設為 Q, 則 (a) 求 Q 表為 p 之函數 (b) 試問當 p=? 時,Q 有最大值 =? A (25) 如右圖, 河寬 5 公里, BC=8 公里, 今老李欲從 A 到 B, 已知老李划船時速 3 公里 / 小時, 路上步行的時速 5 公里, 問老李應於何處上岸, 到達 B 點用時最少? (26) 已知三次函數 f()= 3 +a 2 +b,a,b 為實數 (a) 若 f() 之圖形通過 (1,4), 且過此切點的切線斜率為 3, 則求 a,b 之值 (b) 由 (a) 求 y=f() 之相對極大值相對極小值 C y B (27) 設 ABCD 為矩形,B C 兩點在拋物線 y=16 2 上 ( 如圖 ), 求此矩形之最大面積 (28) 設 n 為正整數, 試利用 (1+) n 的導函數為 n(1+) n 1 證明 : 對於任意 1, 不等式 (1+) n 1+n 恆成立 y C B D O A (29) 設拋物線 y= 2 1 的右半圖形上一點 P(t,t 2 1), 其中 t>0, 點 P 的切線與,y 軸分別切於 A B 兩點, (a) 將 OAB 的面積用 t 表示 (b) 求 AOB 面積的最小值, 並問此時的 P 點 ~39 26~ O B P A

27 進階問題 (30) 三次曲線 y= 3 +a 2 ++1, 若由通過原點的切線有 3 條, 則 a 的範圍為何? (31) 一個放在水平面上的重 W 的物體, 被一條綁在物體上與水平夾 θ(0 θ 2π) 的繩 µw 子拉動, 繩子至少要施力 F= 才能使得物體開始移動, 其中 µ 為此平 µsinθ+cosθ 面的靜摩擦係數, 若讓 θ 改變而 F=F(θ), 試證明當 tanθ=µ 時,F 有最小值 (32) (1) 若 0, 則 sin, 試證之 (2) 不論任何實數, 不等式 cos(sin) (33) 平面上有一個以原點 O 為圓心,1 為半徑的圓,A 是圓周上的定點 (1,0),P 是圓周上的動點設點 P / 是點 P 對於直線 OA 的對稱點, 從 P / 向直線 OP 做垂線 P / M, 令 AOP=θ,θ 在 0 θ π 4 範圍內變化, 試回答下列各小題 : (a) 設 =sinθ, 用將 OAM 的面積表示出來 (b) 求 OAM 面積的最大值 y M P (34) P 為曲線 y= 2 +2 上的動點,A 為直線 y= 上的動點, 且 B(2,3) O A 試求 AB+ AP 之最小值 =? 此時 P 點的坐標為何?A 點的坐標為何? P / (35) 設 >0, 令 + 1 = t (a) 請將 y= 表為 t 的有理式 (b) 請求出 y 的最小值 (36) 設 a>0,o(0,0) 為原點, 在拋物線 ay=a 2 2 上取一點 P(s,t),(s>0) 過 P 作拋物線之切線, 交,y 軸於 Q,R 兩點, 當 P 點變動時, QOR 面積的最小值 (37) 如圖, 有一個半徑為 2 公里圓湖, 其中 AC 為直徑的兩端點, 小安從 A 點要透過划船或沿著湖邊步行到 C, 划船每小時 2 公里, 步行每小時 4 公里, 請問小安應如何安排步行與划船的方式, 才可以在最短時間到達 C 點 A C ~39 27~

28 綜合練習解答 (1) (a) 極大值 f( 3)=37, 極小值 f(1)=5 (b) 極大值 f(2)=16,f( 2)=16, 極小值 f(0)=0 f / >0 (c) 極小值 f( 11 8 )= (d) 極大值 3 3 極小值 [ 詳解 ]: (a)f / ()= =3( 1)(+3) (b)f / ()= =4(4 2 )= 4( 2)(+2) (c)f / ()=(2 7) 2 (8+11) (2) (a) 最大值 f(1)=2, 最小值 f(2)= 2 (b) 最大值 =2, 最小值 =0 (c) 最大值 f(1)=81, 最小值 f(0)= 2 f / >0 -f / < f / <0 3 1 f / <0 -f / >0 7 2 f / >0 f / >0 -f / >0 f / <0 (d) 最大值 f(2)= 3 7, 最小值 f( 2)= 3 [ 詳解 ]:(a)f / ()=3 3 2 = 3(+1)( 1), 由下表可知 0<<1 1<<2 f / () + f() 極小值為 f(0)=0,f(2)= 2, 極大值 f(1)=2 因為最大值與最小值存在, 所以極大值中最大者為最大值, 極小值中最小者為最小值故最大值 f(1)=2, 最小值 f(2)= 2 (b) 設 t=cos, 則 f()=g(t)=t 3 t 2 +1, 其中 1 t 1 g / (t)=3t 2 2t=t(3t 2) g / 2 (t)=0 t=0 或 3 列表如下 : t 1 t<0 0<t< <t 1 g / (t) + + g(t) 因為最大值與最小值存在, 所以極大值中最大者為最大值, 極小值中最小者為最小 ~39 28~

29 值故最大值 g(0)=g(1)=2, 最小值 g( 1)=0 (c)f / ()=(4 1) 2 (16+23) f / ()=0 = 23 16, 但 0 1 因為 0 1 f / ()>0 所以極大值 f(1)=81, 極小值 f(0)= 2 因為最大值與最小值存在, 所以極大值中林信安老師編寫最大者為最大值, 極小值中最小者為最小值所以最大值 f(1)=81 最小值 f(0)= 2 (d)f / ()= 3( 2)(+2) ( ) 2 f / ()=0 =2 或 2 3 < 2 2<<2 2< 3 f / () + f() 極大值為 f( 3)= 9 4,f(2)=3 7 最大值 f(2)= 3 7 極小值 f( 2)= 3,f(3)= 9 22 最小值 f( 2)= 3 (3) 極大值不存在, 極小值 =f(1)=f( 1)=0 (4) 極大值 f( 4)=0,f(2 2)=8, 極小值 f( 2 2)= 8,f(4)=0 (5) (B)(D) (6) (1)(2)(4) (7) (A)(D) (8) (3)(4)(5) (9) (B)(D)(E) (10) 5 3 (11) (1)(3) (12) p()= [ 提示 : 設 p()=a 3 +b 2 +c+d, 利用 p / (1)=7,p / ( 1)= 5,p(1)=3,p( 1)=5 解出 a,b,c,d ] (13) 15 [ 解法 ]: Q f // ()=8+11, f / ()= k 又 Qy=f() 在 =1 有局部極值, f / (1)=0 k= 15 f / (0)=k= 15 (14) 圖形如右圖 : (15) 最大值約 a(126) 62.87(ft/s 2 ) 最小值 a(t 1 ) 21.52(ft/s 2 ), 其中 t (16) (a)a= 3 2,b= 6 (b) 21 2 (c)54+8y+3=0 ~39 29~

30 (17) (a)a=0 或 a 9 4 (b)a<9 4 且 a 0 (18) 設 f()= , 證明 f() 的最小值是 16 (19) (20) 1<m<1[ 提示 : 令 f()= 3 4 4m 3 +1,f()=0 無實數解 y=f() 的圖形在軸上方 f() 的最小值 >0] (21) (22) (8,6) (23) 576π < k < y (24) (a)3(p 3 2p 2 +p) (b) 4 9 (25) 離 C 點 15 公里 4 (26) (a)a= 3,b=6 (b) 極大值 f(0)=6, 極大值 f(2)=2 C B(t,16 t 2 ) (27) 9 [ 詳解 ]: 設 B(t,16 t 2 ), 面積 f(t)=2t(16 t 2 )=32t 2t 3 f / (t)=32 6t 2 =0 t= t> 4 3 f / (t)<0 f(t)< f( 4 3 )= (0<t<4) 4 因為 t< f / (t)>0 f(t)<f( 4 3 )= 最大值為 f( 4 3 )= D O A (28) 令 f()=(1+) n (1+n), 利用 f / ()=n(1+) n 1 n, 去求 f() 在 1 的最小值 ( t (29) (a) 1) 4t (b) 4 3,P( 9 1 2, ) 3 3 (30) a>3 [ 提示 : 令 f()= 3 +a 2 ++1,f / ()=3 2 +2a+1, 令 (t,t 3 +at 2 +t+1) 為切點, 以此點為切點的切線方程式為 y ( t 3 +at 2 +t+1)=(3t 2 +2at+1)( t), 因為切線過原點 (0,0) 2t 3 +at 2 1=0, 因為通過原點的切線有 3 條, 所以 2t 3 +at 2 1=0 有三相異實根令 g(t)=2t 3 +at 2 1=0 有三相異實根,g / (t)=6t 2 +2at=2t(3t+a) g / (t)=0 t=0 a 或 3,g(t)=0 有三相異實根 g(0)g( a 3 )<0 a>3 ] (31) 略 (32) 略 ~39 30~

31 (33) (a) 1 2 (1 22 ) (b) 6 18 (a)p(cosθ,sinθ),p / (cosθ, sinθ) 可得直線 MP / 1 的方程式 :y= tanθ ( cosθ) sinθ, 因此可得 M(,y), 其中 cos 2 θ sin 2 θ = (1+tan 2 θ)cosθ, y=sinθ. (1 2sin2 θ) 因此可得 OAM 面積 = 1 2. y. 1=1 2 sinθ(1 2sin 2 θ)= 1 2 (1 22 ) (b) 令 f()= 1 2 (1 22 ),f / ()= 1 2 (1 62 ),0 1 2 再根據導數求函數 f() 的極值可得最大值 f( 1 6 )= 6 18 (34) 5,P(1,3) A( 7 3,7 3 )[ 提示 : 假設 B 點對 y= 的對稱點為 B / (3,2), AB+ AP= AB / + AP, 因此當 B / A P 三點共線時, 會有最小值 B / P 令 f(t)= B / P 2 =(t 3) 2 +(t ) 2 =t 4 +t 2 6t+9, 再求最小值 ] (35) (a)y= t2 1 t (36) 3 (b) 當 =1 時有最小值 2 4 3a 2 9 [ 提示 : QOR 面積 =f(s)= (a2 +s 2 ) 2 4as ] B (37) 最短時間是 3+ π 6 [ 提示 : 如圖, 先划船到 B, 再步行到 C, 設 BAC=θ AB=4cosθ, BC=2 (2θ)=4θ 所花費的時間為 f(θ)= 4cosθ 2 + 4θ 4 =2cosθ+θ] A C ~39 31~

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Microsoft Word - 2-3å⁄½æŁ¸æ•§è³ªçı—å‹¤æŒ·äº„(2018ä¿®è¨‡).docx 2 3 函數性質的判斷 ( 二 ) 最佳化問題 ( 求最大值與最小值的應用問題 ) 是數學上很重要一個課題, 許多應用的領域, 最後可能都會歸結到求一個或多個數學式子的最大值與最小值, 最佳化問題是微分學發展出來的動機之一, 因此利用微分來解決最佳化的問題必然是它的主要應用之一本單元的主題是利用微分來求函數的最大值與最小值 ( 甲 ) 極值的意義先觀察定義於閉區間 [a,b] 上的多項式函數 f()