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骧浸匡
5 years ago
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1 National Kaohsiung First University of Science and Technology 微積分 Chapter3 微分的應用 Infomechatronics and Power Electronics Lab. 國立高雄第一科技大學機械與自動化工程系

2 微分的應用 3.1 極大和極小值 3.2 均值定 3.3 導數和函數的圖形 3.4 函數圖形的描繪 3.5 最佳化問題 3.6 牛頓法 3.7 反導數

3 3.1 極大和極小值如圖 1 所示為極大直和極小值示意圖, 其中 f a 為極大值, f d 為極小值圖 1 極大和極小值示意圖

4 定義一 (I) 極大值 (maximum value) : 在任意定義域 D 中如果函數 f 的 x 滿足下列式 : f (c) f (x) 即函數 f 在 x=c 時會有絕對極大值 (absolute maximum) 或稱全域極大值 (global maximum), 換句話說 f (c) 就是函數 f 在定義域 D 中的極大值 (maximum value)

5 定義一 (II) 極小值 (minimum value) : 任意定義域 D 中如果函數 f 的 x 滿足下列式 : f (c) f (x) 即函數 f 在 x=c 時會有有絕對極小值 (absolute minimum) 或稱全域極小值 (global minimum), 換句話說 f (c) 就是函數 f 在定義域 D 中的極小值 (minimum value) 上述的最大和最小值稱為 f 的極值 (extreme values)

6 定義二極大值 (maximum value) : 函數 f 對 c 點附近之 x 都滿足下列式 : f (c) f (x) 即稱 f 在 c 點有區域極大值 (local maximum) 或稱相對極大值 (relative maximum) 極小值 (minimum value) : 函數 f 對 c 點附近之 x 都滿足下列式 : f (c) f (x) 就說 f 在 c 點有區域極小值 (local minimum)

7 極小值由圖 2 為極小值示意圖可知, 當 x=0 且 y=0 時, 則極小值為 0 且沒有極大值圖 2 極小值

8 無極大極小值如圖 3 所示為無極大極小值示意圖, 由圖 3 可知任意 x 點與任意 y 點無法得到極大值與極小值圖 3 無極大極小值

9 定義三極值定理 : 函數 f 在一封閉區間 [a, b] 中連續, 則在 [a, b] 中存在二個值 c d 使得 f (c) 為絕對極大值且 f (d) 為絕對極小值, 如圖 4 所示 (a) (b) 圖 4 極值定理

10 定義四費馬定理 : 函數 f 在 c 點有區域極值, 且存在 f c, 則 f 如圖 5 所示, 雖然 f c 0 但無極大極小值如圖 6 所示, 雖有極小值但 f c 不存在 c 0 圖 5 無極大極小值圖 6 極小值

11 定義六七定義六 : 函數 f 在 c 點使導數 f c 或 f c 0 不存在時, 稱 c 點是函數 f 的一個臨界點 (critical point) 定義七 : 若函數 f 在 c 點有區域極值, 則 c 點是函數 f 的一個臨界點

12 閉區間法依造下列 1 至 3 步驟, 可求出連續函數 f 在封閉區間 [a, b] 之絕對極值 : 步驟一 : 在 (a, b) 的臨界點上求得函數 f 的函數值步驟二 : 求函數 f 在端點的值步驟三 : 藉由步驟一和步驟二得到的值中, 其最大的值就是絕對極大值 ; 其最小的值就是絕對極小值

13 3.1 習題請找出下圖中函數的相對和絕對極值

14 3.2 均值定理 (I) 洛爾 ( Rolle) 定理 : 假設函數 f 滿足下列三個條件 : 條件一 : 函數 f 在封閉區間 [a, b] 連續條件二 : 函數 f 在封閉區間 [a, b] 可微條件三 : 函數 f (a) 等於函數 f (b) 0 則在 (a, b) 中存在一 c 點滿足函數 f c

15 均值定理 (II) 如圖 7 所示, 均符合洛爾 ( Rolle) 定理條件一至條件三 : (a) (b) (c) 圖 7 洛爾定理

16 均值定理 (III) 均值定理 (Mean Value Theorem): 當函數 f 滿足下列條件時 : 條件一 : 函數 f 在封閉區間 [a, b] 連續條件二 : 函數 f 在封閉區間 [a, b] 可微則在 (a, b) 區間中存在一 c 點滿足下列式子 : 1. f '( c) f ( b) b f a ( a) 2. f ( b) f ( a) f '( c)( b a)

17 定理與引理定理 : 若函數 f 在 (a, b) 區間中, 其任一 x 點都滿足下列式 : f ( c) 0 則函數 f 在 (a, b) 是一常數函數引理 : 如果二個函數 f 和 g 在區間 (a, b) 中的任一數 x 都滿足 0 f x g x 則函數 f - g 在 (a, b) 上是一常數函數 ; 換句話說存在一常數 c 形成下列式 : f (x)=g (x) + c

18 3.2 習題於函數 f 之圖形中求出 c 點, 其必須在 [0,8] 區間中且滿足均值定理 :

19 3.3 導數和函數的圖形圖 8 導數與函數圖形

20 遞增與遞減遞增與遞減之檢定 : (a) 函數 f 如果在區間上滿足下列式 : f x 0 則函數 f 在這區間是遞增函數 (b) 函數 f 如果在區間上滿足下列式 : f x 0 則函數 f 在這區間是遞減函數

21 一階導數之檢定 : 一階導數假設 c 是連續函數 f 的一臨界點 : (a) 如果 f c 0 f c 0 則函數 f 在 c 點上有區域極大值 (b) 如果 f c 0 f c 0 則函數 f 在 c 點上有區域極小值 (c) 如果 f c 正負號沒有變則函數 f 在 c 點就沒有區域極值

22 區域極大極小值如圖 9 所示為區域極大值, 如圖 10 所示為區域極小值圖 9 區域極大值圖 10 區域極小值

23 無區域極值如圖 11 所示為無區域值 (a) 圖 11 無區域極值 (b)

24 上凹上凹 (concave upward) : 函數 f 於 I 區間中之圖形如圖 12 所示, 如果都位於任一條切線於上方, 稱函數 f 在 I 是上凹 (concave upward) 的圖 12 上凹圖

25 下凹下凹 (concave downward): 函數 f 於 I 區間中之圖形如圖 13 所示, 如果都位於任一條切線於下方, 稱函數 f 在 I 是下凹 (concave downward) 的圖 12 下凹圖

26 反曲點 (inflection point) : 定義函數 y = f (x) 的圖形於 P 點改變其凹性 ( 由上凹變下凹或下凹變上凹 ) 稱為反曲點 (inflection point) 函數凹性的檢定 : (a) 函數 f 在 I 區間中之任一點滿足下列式 : f x 0 則函數 f 在 I 中是上凹的 (b) 函數 f 在 I 區間中之任一點滿足下列式 : f x 0 則函數 f 在 I 中是下凹的

27 二階導數二階導數之檢定 : f 如果函數在 c 點附近是連續的 f ( c) 0 f ( c) 0 (a) 若且則函數 f 在 c 點有區域極小值 f ( c) 0 (b) 若且 f ( c) 0 則函數 f 在 c 點有區域極小值

28 3.3 習題如右圖所示為函數 f 之圖形 (a) 函數 f 於何處是遞增的? 為什麼? (b) 函數 f 於何處有區域極值 (c) 函數 f 於何處是上凹的? 在於何處下凹的? (d) 當 x 於何處會有反曲點? 為什麼?

29 3.5 最佳化問題絕對極值的一階導數檢定 : 若 c 點是函數 f 於一區間中之一臨界點 : (a) 所有 x < c 如果都滿足下列式 : f x 0 而對所有 x > c 都滿足下列式 : f x 0 則函數 f (c) 就會是函數 f 的一個絕對極大值 (b) 如果對所有 x < c 如果都滿足下列式 : f x 0 而對所有 x > c 都滿足下列式 : f x 0 則函數 f (c) 就會是函數 f 的一個絕對極小值

30 商業上之應用 : 3.5 最佳化問題 (I) 如果生產 x 單位商品其它的成本函數 (cost function) 為 W(x), 則它的導函數 W x 就是邊際成本函數 (marginal cost function) 以市場角度來看, 假設該商品之定價為 Q(x) 時可以售出 x 單位, 該函數 Q 稱需求函數 (demand function)( 或可稱價格函數 (price function)) 如果商品以價格 Q(x) 賣出 x 單位, 則總收入為下列式 : P(x)=xQ(x) P 稱為收益函數 (revenue function), 它的邊際收益函數 (marginal revenue function) 為導數, P 換句話說是總收入相對於銷售量之變化率

31 最佳化問題 (II) 當商品賣出 x 單位時, 則實際利潤為 : C(x)= P(x) - W(x) 函數 C 稱為利潤函數 (profit function), 其導數 C 則稱為邊際利潤函數 (marginal profit function)

32 3.6 牛頓法如圖 13 所示是藉由牛頓法所繪製出, 其下列式子為牛頓法公式 : x x f n 1 n f x x n n (a) 圖 13 牛頓法 (b)

33 3.7 反導數反導數 (antiderivative): 如果函數 F 在 I 區間上, 其任一 x 點之導數可表示為 : F x f x 則函數 F 就稱為 f 之一反導數 (antiderivative) 如圖 14 所示圖 14 反導數函數

34 反微分公式函數特殊反導數函數特殊反導數 cf(x) cf(x) cosx sinx f(x)+g(x) F(x)+G(x) sinx -cosx n x ( n 1) n 1 x n 1 sec2x secx tanx tanx secx

１直線方程式

１直線方程式第章微分 55 微分 *- 極限的概念區間 : 若 a b 為實數, 且 a b: () 閉區間 :a, b a b () 開區間 :a, b a b () 半開區間 ( 或半閉區間 ): a, b a b a, b a b 0 老師講解學生練習 0 試以區間表示下列集合 : () 4 6 () 6 4 () 6 () 4,6 () 6, 4 () 6, 試以區間表示下列集合 : () 5 ()