2-2 函數圖形的描繪

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其锺
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1 2-2 函數圖形的描繪為了使畫出來的近似圖形較為接近正確的圖形, 我們須借助一些資料 (1) 圖形的局部最高點與局部最低點 (2) 圖形的上升與下降的變化情形 (3) 圖形彎曲方向的變化情形 ( 甲 ) 函數的遞增與遞減由 2 1 節的討論可知 : (1) 設 f() 在 (a,b) 內每一點都可微分 (a) 若 f / () 0, (a,b), 則 f() 在 (a,b) 上為遞增 (b) 若 f / () 0, (a,b), 則 f() 在 (a,b) 上為遞減 (2) 設 f() 在 (a,b) 內每一點都可微分 (a) 若 f / ()>0, (a,b), 則 f() 在 (a,b) 上為嚴格遞增 (b) 若 f / ()<0, (a,b), 則 f() 在 (a,b) 上為嚴格遞減 [ 例題 1] 試討論函數 f()= 2 +4 的增減情形 Ans: 在 < 2 或 >2 時 f() 嚴格遞增, 2<<2 時 f() 嚴格遞減 ( 練習 1) 試討論 f()= 的增減情形 ] Ans:< 2 3 或 >1 時, 嚴格遞增 ; 2 3 <<1 時, 嚴格遞減 ( 練習 2) 試討論 f()= 的遞增或遞減狀況 Ans:< 3 或 >1 嚴格遞減, 3<<1 嚴格遞增 ( 乙 ) 函數的凹向與反曲點 (1) 函數的凹向性 : 觀察 =f()= 2,=g()=, 0, 它們都是遞增的函數, 但是這兩個遞增圖形有一些差異假想這兩個圖形是兩條公路, 如果汽車從 (0,0) 出發, 分別沿公路前進, 為了保持在公路上前進, 沿 = 2 路線的汽車要左轉彎, 沿 = 路線的汽車要右轉彎這種左轉彎右轉彎的現象指出了這兩種曲線的一項重要差異 ~2-2-1~ = 2 =

2 以數學術語來說,= 2 的圖形凹口向上,= 的圖形凹口向下定義 : (1) 設 f() 是定義在 (a,b) 上的函數, 令 Γ 為函數 =f() 的圖形, 如果連接 Γ 上任意兩點的線段位於連接此兩點的上方, 我們稱 =f() 在 (a,b) 上凹口向上 (concave upward) (2) 設 f() 是定義在 (a,b) 上的函數, 令 Γ 為函數 =f() 的圖形, 如果連接 Γ 上任意兩點的線段位於連接此兩點的下方, 我們稱 =f() 在 (a,b) 上凹口向下 (concave downward) 對於可微分函數而言 : 我們利用 f // (f 的二階導數 ) 來解釋函數的凹向 : (a)f // ()= d d (f / ()),f / () 為斜率函數 (b) 觀察下面二個圖形 : f() 在 (a,f(a)) 點附近的切線斜率遞增 f() 在 (a,f(a)) 點附近的切線斜率遞減 (a,0) (a,0) (c) 由左上圖, 因為 f() 在 (a,f(a)) 點附近的切線斜率 f / () 遞增, 換句話說,f / () 在 =a 附近是遞增函數, 因此 f // (a) 0 由右上圖, 因為 f() 在 (a,f(a)) 點附近的切線斜率 f / () 遞減, 換句話說,f / () 在 =a 附近是遞減函數, 因此 f // (a) 0 ~2-2-2~

3 定理一 :( 函數凹性的二階函數判別法 ) 設 f:(a,b) R 為一個二階可微分的函數 (1) f // () 0, (a,b) f() 在 (a,b) 內凹口向下 (2) f // () 0, (a,b) f() 在 (a,b) 內凹口向上 (1) 的證明 : 先證必要性, 即證明 f / () 為遞增函數 1, 2 (a,b), 1 < 2, 設 M( 1,f( 1 )) 和 (( 2,f( 2 )) 的連線斜率為 m, 任取 ( 1, 2 ), 設 P(, ~ ()) 是線段 M 1 M 2 上相對應的點, 因為 f() 凹口向上, 所以 ~ () f() f() f( 1 ) ~ () f(1 ) =m, f / 1 +( 1 ) m 1 M 1 P M 2 f() f( ~ 2 ) () f(2 ) =m, f / 2 ( 2 ) m 2 因為 f / ( 1 ) 與 f / ( 2 ) 存在 f / ( 1 )= f / +( 1 ) m f / ( 2 )= f / ( 2 ) 因此 f / () 為遞增函數 f // () 0 再證充分性, 1, 2 (a,b), 1 < 2, 設 M( 1,f( 1 )) 和 (( 2,f( 2 )) 的連線斜率為 m, 任取 ( 1, 2 ), 設 P(, ~ ()) 是線段 M 1 M 2 上相對應的點, 欲證明 ~ () f() 根據 Lagrange 中間值定理, ξ (a,b), 使得 f / (ξ)=m 設 1 < ξ, 因為 f // () 0, 所以 f / () 為遞增函數 f / () f / (ξ)=m= ~ / (), 又因為 f( 1 )= ~ ( 1 ) (f() ~ ()) / 0, 且 f( 1 ) ~ ( 1 )=0 f() ~ () 0 f() ~ () 設 ξ<< 2, 同理可證 f() ~ () 因此 f() 在 (a,b) 內凹口向下 [ 例題 2] 根據美國當選總統的得票率, 預測該總統的政黨在眾議院獲得席次比率的一個數學模型 : 設當選總統的得票率為 p, 則該總統的政黨在眾議院獲得席次比率 p 3 為 H(p)= p 3 +(1 p) 3 0 p 1[ 稱為 House 函數 ], 請討論 H(p) 的凸性 Ans:(0, 1 2 ) 凹口向上,( 1 2,1) 凹口向下 ~2-2-3~

4 ( 練習 3) 試討論 f()= 2 +4 的凹向 Ans: 凹向上 :< 2 3 或 0<<2 3; 凹向下 : 2 3<<0 或 >2 3 ( 練習 4) 試討論函數 f()= 的凹向 Ans:< 3 或 0<< 3,f() 凹向下 ; 3<<0 或 > 3,f() 凹向上 ( 練習 5) 討論 f()= 凹向的情形 Ans:<0 圖形凹口向下,>0, 圖形凹口向上 ( 練習 6) 討論 f()= 的凹向情形 Ans: 凹向上 :< 1 或 > ; 凹向下 : 1 3 << 1 3 (2) 函數的反曲點 : 先給一個實例 : 練習 6 中 f()= , 觀察 = 1 與 = 1 附近凹向的變化情形 : 3 3 = 1 3 附近 :< 1 3,f() 凹口向上,> 1 3,f() 凹口向下 = 1 3 附近 :< 1 3,f() 凹口向下,> 1 3,f() 凹口向上像 = 1 3 及 1 這樣的點,f() 在這些點處發生凹向的變化, 3 我們把 ( 1 3,f( 1 3 )) 與 ( 1 3,f( 1 3 )) 稱為函數 f() 的反曲點或拐點反曲點的定義 : 若在 a 點附近,<a 的凹向與 >a 的凹向相反, 則稱 (a,f(a)) 為函數 f() 的一個反曲點幾何解釋 : 反曲點 B 反曲點 P 反曲點 A 以開車為例, 當汽車從 A 沿著 =f() 的圖形向 B 行駛, 由 A 至 P 這一段, 方向盤應該左轉 ; 由 P 至 B 這一段應該右轉換句話說, 反曲點就是方向盤應該改變轉向的點反曲點與二次導數的關係 : 設函數 f() 為一個至少可微分 2 次以上的函數, 若點 (a,f(a)) 為函數 f() 的反曲點, 則 f // (a)=0 [ 證明 ]: 自己證!( 請參考 2 1 節定理一 ) ~2-2-4~

5 反過來說, 若 f // (a)=0 時, 點 (a,f(a)) 不一定為反曲點反例 :f()= 4,f // (0)=0, 但 (0,0) 不是反曲點 (3) 由一階及二階導函數判別函數的極值 : 局部最高點附近凹口向下局部最低點附近凹口向上定理二 : 設 f() 在 (a,b) 上可微分, 設 0 (a,b) 且 f / ( 0 )=0,f // ( 0 ) 存在 (1) 若 f // ( 0 )<0, 則 f() 在 = 0 處有相對極大值 (2) 若 f // ( 0 )>0, 則 f() 在 = 0 處有相對極小值證明 : (1) 考慮 f // ( 0 )<0 的情形, 因為二階導數是通過一階導數定義的, 所以 f // ( 0 ) 存在, 隱含了 f / () 在 0 附近是存在的 f // ( 0 )= lim 0 / f ( ) f 0 / ( 0 ) = lim f 0 0 / ( ) <0 存在 r>0 使得當 ( 0 r, 0 +r) 時, f/ () 0 <0 > 0,f / ()<0 且 < 0,f / ()>0 f() 在 = 0 處有相對極大值 (2) 自證! ~2-2-5~

6 [ 例題 3] 決定曲線 = 的凹向, 並求其反曲點 Ans:(,0) (2, ) 凹口向上,(0,2) 凹口向下 ;(0,10) 及 (2, 6) 為反曲點 [ 例題 4] 若設函數 f() 在區間 [a,b] 上凹口向上,a 1,a 2, a n [a,b] f(a 1 )+f(a 2 )+ +f(a n ) 則 n f( a 1+a 2 + +a n n ) [ 例題 5] 試求內接於半徑 10 公分的球, 而有最大體積的直圓柱之底半徑與高 Ans: , ( 練習 7) 決定下列各曲線的彎曲方向, 並求其反曲點 : (1)= (2)= 2 +1 Ans:(1)(,3) 凹口向下 ;(3, ) 凹口向上 ; 反曲點 (3, 162) 注意 (0,0) 不是反曲點 (2)(, 3) (0, 3) 凹口向下 ;( 3,0) ( 3, ) 凹口向上 ; ~2-2-6~

7 反曲點 :( 3, 3 4 ),(0,0),( 3, 3 4 ) ( 練習 8) 設曲線 = 3 +a 2 +b+1 之反曲點為 (1,8), 試求 (a,b)=? Ans:( 3,9) ( 練習 9) 求曲線 = 上, 以反曲點為切點之切線方程式 Ans:2 3=0,=0 ( 練習 10) 如圖, 有線段 AB,AC 及直線 L, 設 AB=14, AC =3, AB AC, AB L, 點 P,Q 分別在 AB 與 L 上移動, C 且使 CPQ=90, 求 CPQ 之最大面積 Ans:75 ( 丙 ) 函數圖形的描繪 (1) 圖形描繪的要點 : (a) 首先考慮函數的局部最高最低點 (f / =0 的點 ), 函數的凹向 ( f // 的正負 ), (b) 在利用解析幾何的描圖原則討論截距對稱範圍漸近線等 A P Q B f / f // 圖形 [ 例題 6] 試描繪函數 f()= 的圖形 (2) 漸近線的求法 : 漸近線的意義 : 假設 Γ 為一曲線,L 為一直線, 若動點 P 沿著曲線 Γ 的任一方向趨向無窮遠處時,P 點至直線 L 的距離也隨之趨近於 0, 則稱直線 L 為曲線 Γ 的漸近線 (a) 若 lim f ( ) = l, 則 =l 為 =f() 的水平漸近線若 lim f ( ) = m, 則 =m 為 =f() 的水平漸近線說明 : ~2-2-7~

8 1 (b) 若 lim = 0, 則 =a 為 =f() 的鉛直漸近線 a f ( ) 說明 : f ( ) (c) 若 a= lim,b= lim ( f ( ) a) 或 a= lim 則直線 =a+b 為 =f() 的漸近線說明 : 設 =a+b 是 =f() 圖形的漸近線 P(,f()) 與直線 L 的距離 = f() a b a , 當或假設 lim f() a b =0 lim ( f ( ) a) =b, 又因為 lim f() a b = lim f() a b lim 1 =0 lim f() a b f() =0 lim b =a f ( ) lim =a k (d) 分式函數 f()=a+b+ 圖形的漸近線 : ( α 1 )( α 2 )...( α n ) =a+b,=α 1,=α 2,...=α n f ( ),b= lim ( f ( ) a) [ 例題 7] 試描繪 f()= 的圖形, 並求極值反曲點與漸近線方程式 ~2-2-8~

9 [ 例題 8] 試求 =f()= 3+2cos,0 π 的增減情形反曲點與圖形 Ans:f() 在 (0, π 3 ) (2π 3,π) 嚴格遞增 ; 在 ( π 3,2π 3 ) 嚴格遞減, 反曲點 ( π 2, 3 π 2 ) ( 練習 11) 試作 =f()= 的圖形 ( 練習 12) 試描繪 =f()= ( 練習 13) 試描繪出 = 1 2 之圖形的圖形 ( 練習 14) 試描繪出 = 的圖形 1 ( 練習 15) 求下列各函數圖形漸近線 : (1)f()= +1 (2)f()= 2 ( 3)2 (3)= a 4( 1) Ans:(1) +1=0, 1=0(2) =+a,=a (3)= 1 4 ( 5), 1=0 ( 丁 ) 三次函數的圖形設 f()=a 3 +b 2 +c+d ( a 0 ) f / ()=3a 2 +2b+c,f // ()=6a+2b 設 f / ( ) = 0 有兩根 α,β, 而 f // ( b 3a )=0, 當 > b 3a 與 < b 3a,f // () 異號, 所以 ( b 3a,f( b 3a ) 為反曲點 (a) 設 α<β / 2 f ( ) = 3a + 2b + c = 3a ( α)( β), f a>0 a<0 // ( ) = 3a(2 α β) ~2-2-9~

10 有一個極大, 一個極小, 一個反曲點 (b) 設 α=β 為兩相等實根 / 2 // f ( ) = 3a( α), f ( ) = 6a( α) a>0 a<0 遞增函數, 沒有極大極小點, 反曲點有一水平切線遞減函數, 沒有極大極小點, 反曲點有一水平切線 (c)α,β 為兩虛數 f / 2 ( )= 3a + 2b + c, f // ( ) = 6a+ 2b a>0 a<0 遞增函數, 沒有極大極小點, 反曲點沒有水平切線遞減函數, 沒有極大極小點, 反曲點沒有水平切線結論 : 設 f()=a 3 +b 2 +c+d (a 0) f / 2 ( )= 3a + 2b + c, f // 2 ( ) = 6a+ 2b, = 4( b 3ac) (1) 0:=f() 的圖形有一個極大點極小點反曲點 (2) =0:=f() 無極大點極小點, 只有一個反曲點, 在反曲點有水平切線 (3) <0:=f() 無極大點極小點, 只有一個反曲點, 在反曲點有斜的切線 [ 例題 9] 設 f()=a 3 +b 2 +c+d, 如圖, 試判別 a,b,c,d 之正負 Ans:a>0,b>0,c<0,d<0 ~2-2-10~

11 [ 例題 10] 設 f()= k 試求滿足下列各條件之 k 值 (1)f()=0 有相異三實根 (2)f()=0 有一實根二虛根 (3) f()=0 有二正根一負根 Ans:(1) 5<k<27 (2)k>27 或 k< 5 (3)0<k 27 [ 例題 11] 設 3 次函數 f()=a 3 +b 2 +c+d (1) 求證 f()=a(+ b 3a )3 +f / ( b 3a )(+ b 3a )+f( b 3a ) (2) 證明 3 次函數的圖形關於其反曲點 ( b 3a,f( b 3a )) 成對稱 (3) 若 f() 在 =α 及 =β 其中 (α β) 發生極值, 則 f(α)+f(β)=2 f( b 3a ), 試證之 ( 練習 16) 設函數 f()=a 3 +b 2 +c+d 在 = 1 處有相對極大值 7, 而 ( 1, 9) 是它的一個反曲點, 求 f ( ) =? Ans: ( 練習 17) 若 =3 3 與 =+k 圖形交相異三點, 求 k 之範圍 Ans: < k < 9 9 (Hint: 考慮 = 3 +2 與 =k 的交點 ) ~2-2-11~

12 ( 練習 18) 設 f()= 3 3k 2 +k+3 求滿足下列條件之 k 值 (1)f()=0 有三實根 (2)f()=0 有二相異負根一正根 Ans:(1)k 3 或 k 1 (2)k< 3 ( 練習 19) 設 f()=a 4 +b 3 +c 2 +d+e 之圖形如右, 試判斷 a,b,c,d,e 的符號 Ans:,,+,+, ( 練習 20) 設 =f() 為的四次多項函數, 圖形有二個反曲點 (2,16),(0,0), 並且過 (2,16) 的切線與軸平行, 試求 f() Ans: ( 練習 21) f ( ) = a有二個實根與二虛根, 則求 a 的範圍 Ans: 8< a < 19或 a < 13 綜合練習 1. f ( ) 是一個首項係數為 1 的實係數三次多項式,k 是一個常數已知當 k < 0 或 k > 4 時, f( ) k = 0只有一個實根 ; 當 0< k < 4時, f( ) k = 0有三個相異實根請選出正確的選項 (1) f( ) 4 = 0 和 f ( ) = 0有共同實根 (2) f( ) = 0和 f ( ) = 0有共同實根 (3) f( ) + 3 = 0 的任一實根大於 f( ) 6= 0的任一實根 (4) f( ) + 5= 0的任一實根小於 f( ) 2= 0的任一實根 Ans:(1)(2)(4) (92 指定甲 ) 2. 試繪下列各函數的圖形 : (1)f()= (2)f()=2 2 4 (3)f()= 2 1 (4)f()= 2 +4 (5)f()= 利用函數的凹凸性, 證明 : 若 A B C 為三角形的三內角, 則 3 (sina+sinb+sinc) 設 f()=+cos, (a) 試討論 f ( ) 的增減情形 π (b) 試求 = f ( ) 的反曲點的坐標 Ans:(1) 增函數 (2) ( nπ +,0), n Z 2 5. 試求 f ( ) 1 1 = + sin 的極值 Ans: 極小值 2 2 ; 極大值 2 2 cos 6. 三次函數 f()=a 3 +b 2 +c+d, 在 = 2 有極小值 14, 在 = 2 處有極大值 18, 則圖形中的反曲點坐標為 Ans:(0,2) 7. 利用三次函數的圖形, 求方程式 3 +a+b=0 有三個相異實根的充要條件 Ans:4a 3 +27b 2 <0 8. 試證明 : (1) 三次曲線必有反曲點, 但未必有極點 (2) 四次曲線必有極點, 但未必有反曲點 9. 內接於半徑 9 的球之直圓柱體積最大時, 圓柱高為何? Ans:6 3 ~2-2-12~

13 已知函數 f ( ) = 之圖形如右, A,B 為極點, 則 (1)(m,s) =? (2) 若 f ( ) = k 有三相異實根, 則 k 的範圍為? (3) 若 f ( ) = k 有二相異負根, 一正根, 則 k 的範圍為? Ans:(1)(1, 2) (2) 20<k<7 (3) 20<k<0 B(s,t) 11. 設 f ( ) = 3 + k 2 + 2k+ 1+ k無極值, 則 k 的範圍為?Ans: 0 k 6 A(m,n) 12. 設 (a,b),( a,b) 為拋物線 =1 2 上兩點, 其中 a,b>0, 考慮由此兩點與 (,)( 10 10,) 圍成的梯形若欲使此梯形的面積最大, 則 (1)a=?(2) 此最大面積為何? Ans:(1) 設四次函數 f ( ) = a (1) 若 f ( ) 沒有相對極大值, 則求 a 的範圍 9 9 (2) 若 f ( ) 有相對極大值, 則求 a 的範圍 Ans:(1) a = 0或 a (2) a < 或 a 設 f ( ) = 3 + a+ b的極大值為 5, 極小值為 1, 則 ( ab, ) =?Ans:(3,1) 或 (-3,5) 15. 如右圖, 河寬 5 公里, BC = 8 公里, 今老李欲從 A 到 B, 已知老李划船時速 3 公里 / 小時, 路上步行的時速 5 公里, 問老李應於何處上岸, 到達 B 點用時最少? 15 Ans: 離 C 點公里一矩形之二頂點在軸上, 另二點在軸上方, 且在拋物線 = + 15上, 則此矩形的最大可能面積為何? 此時四頂點的坐標為何?Ans: 20 A C B 5,( ± 5, 0),( ± 5, 10) 17. 曲線 =1 cos 上點 (t,1 cost) 處的切線與軸的交點記為 (f(t),0), 其中 π<t<π,t 0 f(t) f(t) (a) 求 f(t) (b) 求 lim t 0 t =? (c) 考慮函數 t 的增減情形 Ans:(a)f(t)=t 1 cost sint (b) 1 2 (c) π<t<0 時, f(t) t 遞增 ;0<t<π 時, f(t) t 遞減 18. 設函數 f()=2a 3 3(3a+1) 2 +18, 其中 a 是正的常數 (a) 試用 a 的值討論 f() 的極大值 (b) 設在 0 3 範圍內 f() 的最大值為 14, 求 a 的值 Ans:(a)0<a< 1 3 時, 極大值 =f(3)= 27a+27;a= 1 3 時, 極大值不存在 ; a> 1 3 時, 極大值 =f( 1 a )=9a 1 a 2 (b)a= 對於平面上曲線 =a( 3 ), 若存在以原點為中心的某個圓與該曲線相交於 6 個交點, 求 a 值的範圍 Ans:a< 3 或 a> 3 (2) ~2-2-13~

函數的極大極小應用

函數的極大極小應用極大值與極小值第二章導數的應用 1. 最大值 : 最小值 : 極大值 : 極小值 : 說明 :(1) 最大值又稱為絕對極大值, 最小值又稱為絕對極小值極大值也稱為相對極大值或局部極大值 () 最大值一定是極大值 ; 但極大值不一定是最大值 (3) 最大值與最小值最多只能各有一個 ; 但極大值與極小值可能有很多個 (4) 最大值一定比最小值大 ; 但極大值卻不一定比極小值大. 定理一 : 若函數