() 求值 : f ( ) 9 f () f () f () 8 Ma Min 例 4. 設 f ( ) 解 :() 求臨界點 :, 試求 ( ) f ( ) f ( ) f () 不存在故臨界點有,, 8 () 求值 : f ( ) f () 絕對極小值 f (8) 4 絕對極大值 f 在閉區間

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1 第三章導函數之應用第. 節極值個人或企業經常需面臨求極值的情況, 例如個人投資理財如何穫取最大利潤 ( 極大值 ), 企業如何降低成本 ( 極小值 )? 如何擴大營業額 ( 極大值 )? 其實這都是屬於最佳化的問題定義.. 絕對極值設函數 f 定義於區間 I 上, c I () 若 f ( c) f ( ), I, 則稱 c 為 f 在 I 上之絕對極大點, 而稱 f() c 為 f( ) 在 I 上之絕對極大值 (absolute maimum) [ 其實極大點為 ( c, f ( c )) ] () 若 f ( c) f ( ), I, 則稱 c 為 f 在 I 上之絕對極小點, 而稱 f() c 為 f( ) 在 I 上之絕對極小值 (absolute minimum) 絕對極大值與絕對極大值合稱絕對極值, 簡稱極值 (etreme value) 定理.. 極值存在定理 (The Etreme Value Theorem) 若函數 f 在閉區間 [ ab, ] 為連續函數, 則 f 在閉區間 [ ab, ] 上絕對極值存在, 4; 例. 設 f( ) 則 f( ) 在 [, ] 絕對極小值為 6, 絕對極大值 4,4. 不存在 ( 因為 f( ) 在 [, ] 不是連續函數 ) 例. 設 f ( ), 雖然則 f( ) 在 (, ) 為連續續函數, 但其值是不存在的 ( 因為 f( ) 定義在開區間 (, ) 上 ) 求函數 f 在閉區間 [ ab, ] 上之絕對極值的步驟 : () 先求臨界點 (critical point; cp): 包括 (a) 穩定點 (stationary point): 即在 [ ab, ] 上滿意足 f( ) 之各點 (b) 奇異點 (singular point): 即在 [ ab, ] 上 f ( ) 不存在 ( 不可微分 ) 之各點 (c) 邊界點 (boundary point): 即 ab, () 求各臨界點之函數值, 再逐一比較大小即可 4 例. 設 f ( ) 8, 試求 f( ) 在閉區間 [, ] 上之絕對極值解 :() 求臨界點 : f ( ) 8 4 f ( ) ( )( 5),, 5 (5 [, ]) 故臨界點有,,,

2 () 求值 : f ( ) 9 f () f () f () 8 Ma Min 例 4. 設 f ( ) 解 :() 求臨界點 :, 試求 ( ) f ( ) f ( ) f () 不存在故臨界點有,, 8 () 求值 : f ( ) f () 絕對極小值 f (8) 4 絕對極大值 f 在閉區間 [, 8] 上之絕對極值定義.. 相關極值設 f 為一函數, c D f () 若存在使得 f ( c) f ( ), ( c, c) ( c, c ), 則稱 c 為 f( ) 之相關極大點, 而稱 f() c 為 f( ) 之相關極大值 (relative maimum) [ 其實極大點為 ( c, f ( c )) ] () 若存在使得 f ( c) f ( ), ( c, c) ( c, c ), 則稱 c 為 f( ) 之相關極小點, 而稱 f() c 為 f( ) 之相關極小值 (relative minimum) 定理.. 相關極值之必要條件若函數 f( ) 在 c處有相關極值, 則 f( c) 或 f () c 不存在由定理 4.. 可知 : f( c) 或 f () c 不存在為函數 f( ) 在 c處有相關極值的必要條件, 故若要求 f( ) 之相關極值時, 可從此處著手定義.. 遞增與遞減設 f( ) 為一函數, c Df, 區間 I Df () 若存在使得 f ( c) f ( ), ( c, c), f ( c) f ( ), ( c, c ) 則稱 f 之在 c 處遞增 (increasing) () 若存在使得 f ( c) f ( ), ( c, c), f ( c) f ( ), ( c, c ) 則稱 f 之在 c 處遞減 (decreasing) 4

3 () 對任意, I, 若均可推得 f ( ) f ( ), 則稱 f( ) 之在 I 上遞增 (4) 對任意, I, 若均可推得 f ( ) f ( ), 則稱 f( ) 之在 I 上遞減 (5) 若 f( ) 之在 I 上遞增或遞減, 則稱 f( ) 之在 I 上單調 (monotonic) (6) 於 ()~(4) 中, 若不等式 ( ) 中等式 (=) 恆不成立, 則稱為嚴格 (strictly), 即嚴格遞增 (strictly increasing) 或嚴格遞減 (strictly decreasing) 定理.. 單調性之判別若設函數 f( ) 在 [ ab, ] 上連續, 且在 ( ab, ) 上可微分 () 若 f ( ), ( a, b), 則 f( ) 在 [ ab, ] 上為遞增 () 若 f ( ), ( a, b), 則 f( ) 在 [ ab, ] 上為遞減定理..4 增減之判別設函數 f( ) 在 a處可微分 () 若 f( a), 則 f( ) 在 a處為遞增 () 若 f( a), 則 f( ) 在 a處為遞減若 f( a) 或 f ( a) 不存在, 則 f( ) 在 a處可能產生相關極值定理..5 相關極值之判別若設函數 f( ) 在 ( ab, ) 上可微分, c ( a, b) 為 f( ) 在 ( ab, ) 上之臨界點 () 若 f ( ), ( a, c), 且 f ( ), ( c, b), 則 f() c 為 f( ) 之相關極大值 ( 先遞增再遞減相關極大 ) () 若 f ( ), ( a, c), 且 f ( ), ( c, b), 則 f() c 為 f( ) 之相關極小值 ( 先遞減再遞增相關極小 ) () 若 f ( c ) f ( c ) 則 f() c 不為 f( ) 之相關極值 ( 前後增減未變並非相關極值 ) 求函數 f 相關極值的步驟 : () 先求臨界點 : 包括 (a) 穩定點 (b) 奇異點 () 以函數之增減性, 判別相關極值 4 例 5. 設 f ( ), 試討論 f( ) 之遞增與遞減, 並求其相關極值解 :() 先求臨界點 f ( ) 4 f ( ) ( )( ),, cp () 判斷 - f ( )

4 故 f( ) 在 (, ) (, ) 上為遞增, 在 (, ) (,) 上為遞減而 f ( ) 相關極小值 f () 相關極大值 f ( ) 相關極小值例 6. 設 f ( ) ( ), 試討論 f( ) 之遞增與遞減, 並求其相關極值解 :() 先求臨界點 f ( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) f () 不存在故臨界點計有, () 判斷 f ( ) - + 故 f( ) 在 (, ) (, ) 上為遞增, 在區間 (, ) 上為遞減而 f () 相關極大值 f () 相關極小值習題.. 在 ()~(4) 題中, 求函數 f 在指定區間內之絕對極值 : () f ( ),[,] () f( ),[,4] () 4 f ( ) 6,[,] (4) f ( ) ( ),[,]. 在 (5)~(8) 題中, 求函數 f 之相關極值 : () f ( ) 4 () f( ) () 6 f ( ) (4) f ( ) (5) f( ) (6) f 4 ( ) 4 6

5 第. 節均值定理對曲線 C : y f ( ) 而言, 設 P( a, f ( a )), Q( b, f ( b )) 為曲線 C 上之二點有一個有趣的問題在怎樣的條件下可確保在 [ ab, ] 上曲線存在至少一條切線平行割線 PQ? 為解答這個問題, 我們要介紹這種現象的特例, 也就是法國數學家洛爾 (Rolle) 所提出的洛爾定理 (Rolle s Theorem) 定理.. 洛爾定理設函數 f( ) 滿足以下三個條件 : () f( ) 在閉區間 [ ab, ] 上連續, () f( ) 在開區間 ( ab, ) 上可微分, () f ( a) f ( b), 則存在 c ( a, b) 使得 f( c) 證 : 因為 f( ) 在閉區間 [ ab, ] 上連續, 故 f( ) 在閉區間 [ ab, ] 上之絕對極值存在令最大值為 M, 最小值為 m 其只有二種可能 : ()M = m f( ) 為常數函數 f ( ), ( a, b) () M m 因為 f ( a) f ( b), 故 M 與 m 最少有一者不等於 f( a ) 或 f() b WLOG, 令其為 M, 且 f () c 上可微分, 故 f( c) M, 其中 c ( a, b) 又因 f( ) 在開區間 ( ab, ) 4 例. 設 f ( ) 8, 試求在 (, ) 上所有 c 值使得 f( c) 解 : 因為 f( ) 在 [, ] 上連續, 在 (, ) 上可微分, 且 f( ) f(), 由洛爾定理推得 : 存在 c(, ) 使得 f( c) f 4 ( ) 8 f ( ) ( )( ) 令 f ( c) c,, 例. 設, 試問在 (, ) 上有無 c 值使得 f ( c) f ( ) ( ) 解 : 檢查洛爾定理的三個條件 : () f( ) 在閉區間 [, ] 上連續, () f() f() () f ( ) ( ) f ( ), (, ) 之所以不存在 c (, ) 使得 f( c), 乃由於 f( ) 在處不可微分 7

6 定理.. 均值定理設函數 f( ) 在閉區間 [ ab, ] 上連續, 且 f( ) 在開區間 ( ab, ) 上可微分, 則存在 c ( a, b) 使得 f ( b) f ( a) f() c b a 亦即 f ( b) f ( a) f ( c)( b a) f ( b) f ( a) 證 : 令 F( ) f ( ) f ( a) ( a) b a () F ( ) 在閉區間 [ ab, ] 上連續, 且 F ( ) 在開區間 ( ab, ) 上可微分 () F( a) F( b) 根據洛爾定理 c ( a, b) 使得 F( c) 而 F( ) f ( ) 故 f() c f ( b) f ( a) b a f ( b) f ( a) b a 例. 設 f ( ), [,] 固然 f( ) 在閉區間 [,] 上連續, 但 f( ) 在開區間 (,) 上不是可微分函數 ( 因為 f( ) 在不可微分 ), 故不存在 c(,) f() f( ) 上使得 f( c) ( ) 定理.. 若 f ( ), ( a, b), 則 f ( ) c, ( a, b), 其中 c 為常數例 4. 試證明 tan cot, R 證 : 令 f ( ) tan cot, R 習題. f( ) 由定理 4.. f ( ) c, R, 其中 c 為常數 4 4 R f() tan cot tan cot,. 試證明 sin cos, (, ). 說明 f ( ) 4 在 [, ] 中滿足洛爾定理之條件, 並求 c 使得 f( c) 8 c

7 第. 節凹向性與反曲點函數的遞增或遞減性質, 以及極值都是函數的重要特徵除此之外, 函數圖形的凹向性 (concavity) 與反曲點 (inflection point) 也是函數的重要特徵鐵軌的鋪設一定要仔細考量它們的曲度, 同時不應有密集的反曲點, 否則容易造成翻車事件再者, 考量股價變化趨勢時, 反曲點常被視為股價翻轉的先期指標故本節要介紹凹向性與反曲點定義.. 凹向性設函數 f( ) 在 ( ab, ) 上可微分 () 若 f ( ) 在 ( ab, ) 為遞增, 則稱 f( ) 之圖形在 ( ab, ) 上為凹向上 (concave up) () 若 f ( ) 在 ( ab, ) 為遞減, 則稱 f( ) 之圖形在 ( ab, ) 上為凹向下 (concave down) 定理.. 凹向性之判別設函數 f( ) 在 ( ab, ) 上二次可微分 () 若 f ( ), ( a, b), 則 f( ) 之圖形在 ( ab, ) 上為凹向上 () 若 f ( ), ( a, b), 則 f( ) 之圖形在 ( ab, ) 上為凹向下 4 例. 設 f ( ), 試討論 f( ) 之圖形的凹向性解 : f ( ) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) 故 f( ) 在 (, ) (, ) 上為凹向上, 在區間 (, ) 上為凹向下定義.. 反曲點設函數 f( ) 在 ( ab, ) 上連續, c ( a, b) 若 f( ) 在 ( ac, ) 上為凹向上且在 ( cb, ) 上為凹向下 ; 或者在 ( ac, ) 凹向下且在 ( ab, ) 上為凹向上, 則點 ( c, f ( c )) 為 f( ) 之圖形的反曲點定理.. 反曲點之必要條件設函數 f( ) 在 ( ab, ) 上二次可微分 c ( a, b) 且點 ( c, f ( c )) 為 f( ) 之圖形的反曲點, 則 f( c) 由定理 4.. 可知 : 點 ( c, f ( c )) 為 f( ) 之圖形的反曲點之必要條件為 f( c) 或 f () c 不存在故欲求 f( ) 之圖形的反曲點當從讓 (i) f( ) 或 (ii) f ( ) 不存在之所有點著手 9

8 4 例. 設 f ( ) 6, 試討論 f( ) 之圖形的凹向性, 並求其反曲點 4 解 : f ( ) 6 f ( ) 4 f ( ) ( )( ) 令 f ( ), ( 可能為反曲點之點 ) - f ( ) 故 f( ) 在 (, ) (, ) 上為凹向上, 在區間 (,) 而反曲點有 (, 5) 及 (, 5) 上為凹向下例. 設 f ( ), 試討論 f( ) 之圖形的凹向性, 並求其反曲點解 : f ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) f () 不存在可能為反曲點 f ( ) - + 故 f( ) 在區間 (,) 上為凹向下, 在區間 (, ) 上為凹向上而反曲點有 (, ) 定理.. 以凹向性判定相關極值設函數 f( ) 在 ( ab, ) 上二次可微分, c ( a, b) 且 f( c) ( 亦即 c 為臨界點 ) () 若 f( c) ( 凹向上 ), 則 f() c 為 f( ) 之相關極小值 () 若 f( c) ( 凹向下 ), 則 f() c 為 f( ) 之相關極大值 4 例 4. 設 f ( ), 試求 f( ) 之相關極值 4 解 :() f ( ) f ( ) ( )( ) 令 f ( ),, cp () 判斷 f ( ) 4 f( ) 8 f( ) 相關極大值 f() 4 f() 相關極小值 f() 8 f() 相關極大值 4

9 利用凹向性判定相關極值, 有一個缺點也就是當 f( c) 且 f( c) 時, 是無法判定 f() c 是否為相關極值此時可引用下述定理判定之定理.. 以高階導數判定相關極值設函數 f( ) 為一函數, ( n f ) ( c), 則 () 若 n 為偶數, 且 () 若 n 為偶數, 且 ( n) c D, 且 f ( c) f ( c) f ( c), 而 f ( n f ) ( c), 則 f() c 為 f( ) 之相關極小值 ( n f ) ( c), 則 f() c 為 f( ) 之相關極大值 () 若 n 為奇數, 則 f() c 並非 f( ) 之相關極值 4 例 5. 試函數 f ( ) 4 之相關極值 4 解 :() f ( ) 4 f ( ) ( ) 令 f ( ), cp () 判斷 f ( ) 4 6 f() f() 相關極大值 f () 相關極值的情況未明 f f f ( n) ( ) 4 7 () 4 () n 為奇數 f () 並非相關極值習題.. 在 ()~(4) 題中, 試討論函數 f 之凹向性, 並求出 f 之相關極值及反曲點 : () f ( ) () f( ) 4 () f ( ) 6 (4) f ( ) 設三次函數 f ( ) a b c d, 其在處有相關極大值, 在處有相關極小值, 求 a, b, c 與 d 之值 b. 求 a 與 b 之值使 f ( ) a 有反曲點 (4,) 4. 設函數 f ( ) e 之反曲點 4

10 第.4 節函數圖形的描繪描繪函數圖形, 基本上是引用描點法, 也就是先選取若干自變數的值, 再求對應之因變數 y 的值, 將該對應關係 (, y) 畫在座標平面上, 再用平滑的曲線依序將各點連起來不過在繪製函數 f( ) 之圖形時, 首先除了需確認函數的定義域 D 外, 還要繪出以下各項特徵 : f () 函數的遞增與遞減, 以及 ( 相關 ) 極值 () 圖形的凹向性, 以及反曲點 () 漸近線 (4) 截距 (intersection) 與 y 截距 (5) 對稱性 (symmetry) ()~() 項在前面各節已述及, 不再贅述此處僅就 (4) 及 (5) 項說明截距截距包括截距與 y 截距, 分述如下 : () 截距 : 即圖形與軸之交點的座標欲求截距, 只要解方程式 f( ) 即可 () y 截距欲求 y 截距, 即求 f () 之值例. 設 f ( ), 試求 f( ) 之圖形的截距與 y 截距解 :() 截距令 f ( ) ( )( )( ),, 截距 () y 截距 : 即 f () y 截距對稱性定義.4. 對稱性設 f( ) 為一函數, 其定義域為 D () 若 f ( ) f ( ), Df, 則 f( ) 之圖形對稱 (symmetric) 於 y 軸 () 若 f ( ) f ( ), Df, 則 f( ) 之圖形對稱於原點 f 4

11 6 例. 討論以下函數的對稱性 :() f( ) 6,() f( ) 解 :() f ( ) ( ) ( ) 6 6 f ( ) () f ( ) 之圖形對稱於 y 軸 ( ) f( ) f ( ) ( ) 4 4 f ( ) 之圖形對稱於原點例. 設 f ( ) 5 5, 試繪 ( ) f 之圖形解 :() 定義域 : f D R 5 ( ) 5 f () 遞增遞減與極點 f f 令 f ( ),, cp 5 4 ( ) 5 ( ) ( )( ) - f ( ) 故 f( ) 在 (, ) (, ) 上為遞增, 在 (,) 而 f ( ) 相關極大值 f() 相關極小值 f() 並非相關極值 () 凹向性與反曲點 f ( ) 6 6 ( )( ) f ( ),, 可能為反曲點令 f ( ) 上為遞減故 f( ) 在 (, ) (, ) 上為凹向下, 在 (, ) (, ) 上為凹向上 (, ), (, ), (, ) 為 f( ) 之三個反曲點 7 7 而 8 8 (4) 對稱性 5 5 f( ) ( ) 5( ) 5 f ( ), R f( ) (5) 漸近線 : 無 (6) 截距之圖形對稱於原點 4

12 (i) 令 f ( ) 5 ( )( ) 5 5 5,, 截距 5 5 (ii) f () y 截距 4 例 4. 設 f ( ) 6 5, 試繪出 f( ) 之圖形 4 解 :() 定義域 : f ( ) 6 5 Df R () 遞增遞減與極點 f f 4 ( ) 6 5 ( ) 4 4 ( )( ) 令 f ( ),, cp f ( ) 故 f( ) 在 (, ) (, ) 上為遞減, 在 (, ) (, ) 上為遞增而 f ( ) 4 相關極小值 f() 5 相關極大值 f( ) 4 相關極小值 () 凹向性與反曲點 f ( ) ( )( ) 令 f ( ), 可能為反曲點 f ( ) 故 f( ) 在 (, ) (, ) 上為凹向上, 在 (,) 而 (, ), (, ) 為 f( ) 之二個反曲點 44 上為凹向下

13 (4) 對稱性 4 4 f ( ) ( ) 6( ) f ( ), R f( ) 之圖形對稱於 y 軸 (5) 漸近線 : 無 (6) 截距 4 (i) 令 f ( ) 6 5 ( )( )( 5)( 5) 5,,, 5 截距 (ii) f () 5 y 截距例 5. 設 f( ), 試繪 f( ) 之圖形解 :() 定義域 : f ( ) D {,} f R () 遞增遞減與極點 f ( ) f ( ) ( ) ( ) 無臨界點無相關極點 ()( ) ( ) ( ) f ( ), Df 故 f( ) 為遞減函數 () 凹向性與反曲點 f( ) ( )( ) ( )()( )( ) ( ) 4 6 ( ) ( ) ( ) 令 f ( ) 可能為反曲點 f ( )

14 故 f( ) 在 (, ) (,) 上為凹向下, 在 (, ) (, ) 上為凹向上而 (, f ()) (, ) 為 f( ) 之反曲點 (4) 對稱性 f ( ) f ( ), R {,} f( ) (5) 漸近線 ( ) 之圖形對稱於原點 lim f( ) lim f( ) 之圖形有水平漸近線 y 令分母為, f( ) 圖形之垂直漸近線 ( lim f ( ), lim f ( ), lim f ( ), lim f ( ) ) (6) 截距 (i) 令 f ( ) 截距 (ii) f () y 截距習題.4. 在 ()~() 題中, 試繪出函數 f 之圖形 : () f ( ) () f( ) 4 () f ( ) (4) f ( ) (5) f ( ) 4 4 (6) f( ) ( ) (7) f ( ) (8) f ( ) (9) f( ) () f( ) 46

15 第.5 節極值的應用問題於第. 節中已介紹極值的求解方法, 但在實際問題上, 我們可能面臨以語言或文字來敘述問題遇到這種情形, 如何依據一個具體可行的求解規則, 以有效解決問題是重要課題求解極值應用問題的步驟 : () 理解問題中之已知事實 ( 指自變數, 可能有若干個 ), 以及待求的未知量 ( 指因變數 ) () 若可能, 畫出相關圖形, 並標示出自變數 () 確立自變數與因變數的關係, 即確立目標函數 (4) 求出所有臨界點 (5) 判斷各臨界點的所發生的情況例. 我們想由邊長公分正方形紙板, 由四個角截去大小相同的正方形, 以做成一個無蓋的盒子試求盒子的最大容積? 解 :() 設所截去正在方形的邊長為公分盒子之底 ( 為正方形 ) 的邊長為, 高為 () 盒子的體積為 f ( ) ( ), 5 () 求臨界點 : f ( ) ( ) f ( ) ( ) ( )( ) 9 4 ( 5)( 5) 令 f ( ) 5, 5( 不合 ) (4) 判斷 f ( ) 4 4 f (5) f (5) Ma 例. 求點 P(, 4) 與拋物線 y 解 :() 設 Q(, y) 為拋物線 y y Q 之座標可表為 (, y ) 之最短距離的點上之任一點 y ()P 與 Q 之距離的平方為 f ( y) ( ) ( y 4) y () f ( y) ( )( y) ( y 4) y 8 令 f ( y) y cp 47

16 (4) f ( y) y f () f () 5 Min 又拋物線 y 上與點 P(, 4) 距離最短之點的座標為 (, ) 例. 在第一象限中, 內接於拋物線 y 4 之矩形的最大面積解 :() 設內接點的座標為 (, y), 其亦可表為 (, 4 ) () 內接矩形之面積為 f ( ) (4 ), () f ( ) (4 ) f ( ) (4 ) ( ) 4 令 f ( ) ( 負不合 ) (4) f ( ) 6 f ( ) 6 6 f ( ) 9 Ma 習題.5. 求拋物線 y 上與點 (, 4) 最接近之點, 又其距離為何?. 設二正數之差為 4, 求其積最小為何? 又此二數之值為何?. 設二正數之和為 4, 求其積最大為何? 又此二數之值為何? 4. 若我們欲由半徑為 r 之圓形紙張截去一個扇形, 餘者做成圓錐, 則圓錐之最大體積為何? 5. 蘋果園主人依經過得知, 若每公畝種 4 棵蘋果樹, 成熟之果樹每年可收成 6 個蘋果又若每公畝多種棵果樹, 則成熟之果樹每年少收成個蘋果若欲使產量最大, 則每公畝應種多少棵果樹? 6. 證明 : 點 P(, y ) 至直線 L : a by c 之最短距離為 a by c d( P, L) a b 7. 一窗戶之形狀為一矩形加一半圓若窗戶的周長為 l, 則窗戶最大面積為何? 8. 求點 (,) 與圓 y 之最短距離 y 9. 求內接於橢圓之矩形的最大面積為何? a b. 已知標的物位於點 (4, ) 的位置, 競爭者沿直線 4y 逼進標的物, 試問手槍之射程至少為何方可擊中標的物, 又應在何處射擊 48

17 第.6 節羅比達律在求函數之極限時, 當收斂或發散的情況已明確, 則稱此型式之極限為定型 ; 又當極限收斂與否並不明確時, 則稱該極限為不定型注意 : 不定型是求極限的過程中所面臨的一種情境, 透過不斷試算, 極限存在與否終將明確而不定型計有 7 種型態, 其求極限的方法概述如表.6. 表.6. 不定型的種類及其求解方法序號型態處理方法 () 透過因式分解, 直接約去共同因子 ; 或乘上有理化因式, 再約去共同因子 () 此型合稱為基本型, 當分子與分母均可微分時, 可引用羅比達律透過通分, 或乘上有理化因式, 轉換成基本型再做 4 移動項到分母, 轉換成基本型再做 5 () 此型合稱冪次型 6 7 () 可利用 ep( ) 與 ln 互為反函數, 且連續的性質, 來求解冪次型極限的問題由上表可知 : 羅比達律是求解極限的重要方法, 將介紹於後如果要證明羅比達律, 則需先了解柯西均值定理 ( 法國數學家柯西所提出 ) 定理.6. 柯西均值定理設二函數 f( ) 與 g ( ) 在 [ ab, ] 上均連續, 在 ( ab, ) 上均可微分若 g( ), ( a, b), 則存在 c ( a, b) 使得 f ( b) f ( a) f ( c) g( b) g( a) g ( c) f ( ) f ( a) g( ) g( a) 證 : 令 F( ) f ( ) f ( a) g( ) g( a) F ( ) 在 [ ab, ] 上均連續, 在 ( ab, ) 上均可微分, F( a) F( b) 根據洛爾定理 c ( a, b) s. t. F( c) f ( b) f ( a) 而 F( c) f ( c) g( c) g( b) g( a) f ( b) f ( a) f ( c) 故 g( b) g( a) g ( c) 49

18 定理.6. 羅比達律第一型 ( 型 ) 設二函數 f( ) 與 g ( ) 在 ( a, c) ( c, b) 上均可微分, lim f ( ) lim g( ), f( ) g( ), ( a, c) ( c, b), 且 lim c g ( ) c c 收斂或發散至 ( ), 則 f ( ) f ( ) lim lim ( 表 = 左右二極限有相同的斂散性 ) c g( ) c g( ) 例. 求 lim 解 : lim( ), lim( ) 屬型, 又分子與分母均可微分 lim lim cos 例. 求 lim 解 : lim( cos ), lim 屬型, 又分子與分母均可微分 cos ( sin ) sin lim lim lim,( ) cos lim 定理.6. 羅比達律第二型 ( 型 ) 設二函數 f( ) 與 g ( ) 在 ( a, c) ( c, b) 上均可微分, lim f( ) ( ), f( ) lim g ( ) ( ), g( ), ( a, c) ( c, b), 且 lim 收斂或發散至 c c g ( ) ( ), 則 c f ( ) f ( ) lim lim ( 表 = 左右二極限有相同的斂散性 ) c g( ) c g( ) 前述羅比達律在 ( ) 時, 仍然適用例. 求 lim e 5

19 解 : lim lim e lim lim,( ) e e 屬型, 又分子與分母均可微分 lim e sin 例 4. 求 lim 解 : 如果引用羅比達律會是這樣子的 : sin cos lim lim 極限不存在其實這是不對的 ( 再仔細看看定理.6. 及定理.6. 羅比達律 )正確做法如下 : sin lim, lim ( 用挾擠定理求之 ) sin sin lim lim lim 例 5. 求 lim sin 解 : lim, lim sin 屬型 ( 通常移項至分母, 轉換為 ( ) sin lim sin lim,( ) cos lim lim cos ) 例 6. 求 lim sin 解 : lim, lim sin 屬型 ( 通分後, 轉換為 ( ) ) 5

20 sin lim lim,( ) sin sin cos lim,( ) sin cos sin lim cos cos ( sin ) 求極限 lim f( ), 遇到,, 等型時, 可採以下步驟 : a () 對原極限式, 先取對數函數 ln, 再取指數函數 ep, 即 lim f ( ) limep(ln f ( )) a a () 因為指數函數 ep 為連續函數, 故可先將 lim 移入 ep 內, 即 limep(ln f ( )) ep(limln f ( )) a a () 此時, 已將,, 等型轉換為,,, 等 4 型如果為基本型 (, ), 則引用羅比達律 ; 又如果為, 等型, 則還需轉換成基本型再做 a 例 7. 求 lim 解 : 明顯的, 此極限屬型 lim lim ep(ln ) ep( lim ln ),( ) ln ep(lim ),( ) ep( lim ) ep( lim ) ep() 例 8. 求 lim( ) 解 : 明顯的, 此極限屬型 ln( ) lim( ) lim ep(ln( ) ) ep(lim ),( ) ep(lim ) ep() e 例 9. 求 lim( a), 其中 a 5

21 解 : 明顯的, 此極限屬型 ln( a) lim( a) lim ep(ln( a) ) ep(lim ),( ) a ep(lim a ) ep() 習題.6. 試求以下諸極限 : () lim 5 5 cos () lim (5) lim ln (7) lim sin () lim ln ln (4) lim ln (6) lim ln sin (8) lim sin ln (9) lim( ) b () lim( a),( ab ) 5 () lim( e ) () lim () lim( ) sin (4) lim 9 sin, ;. 設 f( ) 5 a,., 試求 a 值使 f( ) 為連續函數 a 4. 已知 lim e a, 求 a 值 5

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PowerPoint Presentation National Kaohsiung First University of Science and Technology 微積分 Chapter3 微分的應用 Infomechatronics and Power Electronics Lab. 國立高雄第一科技大學機械與自動化工程系微分的應用 3.1 極大和極小值 3.2 均值定 3.3 導數和函數的圖形 3.4 函數圖形的描繪 3.5 最佳化問題

() 求值 : f ( ) 9 f () f () f () 8 Ma Min 例 4. 設 f ( ) 解 :() 求臨界點 :, 試求 ( ) f ( ) f ( ) f () 不存在 故臨界點有,, 8 () 求值 : f ( ) f () 絕對極小值 f (8) 4 絕對極大值 f 在閉區間

() 求值 : f ( ) 9 f () f () f () 8 Ma Min 例 4. 設 f ( ) 解 :() 求臨界點 :, 試求 ( ) f ( ) f ( ) f () 不存在故臨界點有,, 8 () 求值 : f ( ) f () 絕對極小值 f (8) 4 絕對極大值 f 在閉區間