在 上 述 物 理 模 型 中 ( 三 隻 猴 子 的 重 量 都 一 樣 ), 考 慮 底 下 四 個 問 題 : () 當 三 股 力 量 處 於 平 衡 狀 態, 而 且 F 點 處 於 ABC 的 內 部 時, 利 用 力 的 向 量 和 為 零 的 觀 念, 求 角 度 AFB, BFC,

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1 許 教 授 講 故 事 許 志 農 / 國 立 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 在 數 學 教 學 中, 有 這 樣 一 道 數 學 應 用 問 題 : 在 哪 裡 建 學 校, 可 使 附 近 的 三 個 村 子 A, 與 C 的 三 位 學 生 到 學 校 所 走 路 程 的 和 最 小? 此 問 題 實 質 為 : 給 平 面 上 A, B, C 三 點, 試 尋 求 一 點 F, 使 距 離 和 FA + FB + FC 達 到 最 小 這 在 歷 史 上 被 稱 作 的 費 馬 點 問 題, 所 求 的 點 F 稱 為 費 馬 點, 就 是 建 學 校 的 位 置 問 題 是 : 費 馬 點 該 如 何 構 造 或 作 圖 呢? 我 們 想 透 過 物 理 的 概 念 來 解 決 這 個 問 題 在 物 理 學 上, 力 是 一 種 向 量, 諸 力 作 用 在 一 個 點, 當 達 到 平 衡 時, 這 些 力 的 向 量 總 和 剛 好 是 零 向 量, 例 如 : 拔 河 比 賽 當 雙 方 勢 均 力 敵 ( 處 於 平 衡 狀 態 ) 時, 代 表 兩 邊 力 量 一 樣 大, 但 方 向 卻 相 反, 即 他 們 所 施 力 量 的 向 量 和 為 零 現 在 取 一 個 平 滑 的 木 板, 在 上 面 依 比 例 畫 出 A, B 與 C 三 個 點, 並 在 A, B, C 處 各 挖 一 個 小 洞, 取 三 條 繩 子 紮 結 於 一 點 F, 穿 過 洞 各 吊 掛 一 隻 猴 子, 如 下 圖 所 示 B 如 果 掛 在 C 點 下 方 的 小 猴 子 重 公 斤, 掛 在 B 點 下 方 的 中 猴 子 重 5 公 斤, 掛 在 A 點 下 方 的 大 猴 子 重 7 公 斤, 那 麼 當 三 股 力 量 達 到 平 衡 時, 求 小 猴 子 與 中 猴 子 拉 線 夾 角 BFC 的 值 解 把 猴 子 的 重 量 想 成 拉 力, 即 向 量 ; 得 到 這 三 個 向 量 的 絕 對 值 為 FA = 7, FB = 5, FC = 當 這 些 力 量 平 衡 時, 拉 力 的 向 量 總 和 剛 好 是 零 向 量, 即 FA+ FB+ FC = 0 FA = FB+ FC = FB + FB FC+ FC 將 兩 邊 取 絕 對 值, 再 平 方, 得 FA = FB+ FC = FB + FB FC cos BFC + FC 將 向 量 的 長 度 代 入, 得 7 = cos BFC + cos BFC = 解 得 BFC = 60 故 小 猴 子 與 中 猴 子 拉 線 的 夾 角 為 60 事 實 上, 物 理 學 上 還 有 一 個 最 小 位 能 原 理, 大 意 是 說, 系 統 會 處 在 總 位 能 最 小 的 狀 態, 例 如 : 河 流 裡 的 水 會 往 低 處 流, 原 因 是 越 低 的 位 置, 水 的 總 位 能 越 小 如 果 將 掛 猴 子 的 模 型 調 整 為 三 隻 猴 子 重 量 都 一 樣, 那 麼 這 樣 的 模 型 會 有 怎 樣 的 意 義 呢?

2 在 上 述 物 理 模 型 中 ( 三 隻 猴 子 的 重 量 都 一 樣 ), 考 慮 底 下 四 個 問 題 : () 當 三 股 力 量 處 於 平 衡 狀 態, 而 且 F 點 處 於 ABC 的 內 部 時, 利 用 力 的 向 量 和 為 零 的 觀 念, 求 角 度 AFB, BFC, CFA 的 大 小 () 當 三 股 力 量 處 於 平 衡 狀 態, 而 且 F 點 處 於 ABC 的 內 部 時, 利 用 最 小 位 能 原 理 解 釋 : 此 時 的 F 點 會 讓 FA + FB + FC 最 小 () 如 何 以 尺 規 作 圖 求 出 上 述 平 衡 點 F? 或 者 說, 作 出 讓 到 三 頂 點 A, B, C 之 和 FA + FB + FC 為 最 小 的 費 馬 點 F (4) 何 時 F 點 會 落 在 ABC 的 邊 上 解 () 根 據 前 一 個 例 題 的 計 算 可 以 得 到 : 當 三 股 力 量 的 大 小 相 等 時 AFB = BFC = CFA = 0 () 因 為 猴 子 的 位 置 越 低 時, 牠 的 位 能 就 越 小, 所 以 三 隻 猴 子 下 垂 的 繩 子 總 長 越 長, 代 表 這 系 統 的 位 能 越 小 根 據 最 小 位 能 原 理, 當 木 板 上 面 的 三 段 繩 子 和 FA + FB + FC 達 到 最 小 時 ( 此 時 三 隻 猴 子 下 垂 的 繩 子 總 長 最 長 ), 整 個 系 統 才 會 平 衡 現 在 證 明 : 所 構 成 的 F 點 會 讓 線 段 和 FA + FB + FC 為 最 小 因 為 BFC = 0, 又 BPC = 60, 所 以 B, P, C, F 四 點 共 圓 利 用 托 勒 密 定 理, 得 FB CP + FC BP = FP BC 又 由 CP = BP = BC, 得 FB + FC = FP, 即 FA + FB + FC = AP 當 F ' 是 ABC 內 的 任 一 點 時, 同 樣 利 用 托 勒 密 定 理, 得 即 F ' B CP + F ' C BP F ' P BC, F' B+ F' C F' P 利 用 三 角 不 等 式, 得 F ' A + F ' B + F ' C AP = FA + FB + FC 因 此, 所 做 的 點 F 滿 足 所 要 求 的 條 件 (4) 當 三 角 形 三 內 角 ABC, BCA, CAB 有 一 超 過 0 時, F 點 會 落 在 ABC 的 邊 上 () 如 圖 所 示, 以 BC 及 AC 為 邊, 分 別 向 外 作 正 BCP 與 正 CAQ, 連 接 線 段 AP 與 BQ, 令 其 交 點 為 F : 註 托 勒 密 定 理 是 兩 千 多 年 前 古 希 臘 時 期 就 知 道 的 一 個 漂 亮 定 理, 不 熟 悉 的 讀 者 不 妨 找 找 它 的 證 明, 拜 讀 一 番 4

3 的 解 題 經 驗 李 維 昌 / 國 立 宜 蘭 高 中 龍 騰 出 版 社 發 行 數 學 新 天 地 的 徵 答 題 目, 一 向 是 我 解 題 素 材 的 精 神 糧 食 所 以, 一 如 往 昔 一 拿 到 贈 閱 的 數 學 新 天 地 雜 誌, 便 飛 快 地 翻 閱 該 期 的 徵 答 題 目, 一 睹 許 志 農 教 授 所 精 心 挑 選 設 計 的 徵 答 題 目 往 往 拿 到 該 期 雜 誌 時 已 是 出 刊 後 的 幾 天, 由 於 要 爭 取 時 效 性, 若 非 有 突 發 奇 想 的 解 法, 很 難 獲 得 許 教 授 的 青 睞 而 推 薦 刊 登 在 下 一 期 的 解 答 篇 因 此 看 到 以 下 的 精 采 題 目 時, 如 下 圖 所 示 : ABCD 是 面 積 為 S 的 矩 形, a, a, a 分 別 代 表 所 在 三 角 區 域 的 面 積 : 試 證 : S as 4aa = 0 便 企 圖 想 找 出 一 針 見 血 的 解 法, 期 待 此 解 法 能 言 簡 意 賅, 猶 如 無 字 證 明 般 的 神 奇 功 效, 來 詮 釋 此 問 題 核 心 的 所 在 讓 看 到 此 解 法 的 人 能 會 心 一 笑, 心 中 默 想 竟 會 有 如 此 突 兀 的 想 法, 以 簡 短 的 三 行 內 容, 成 為 疑 似 此 題 的 最 佳 解 猶 如 孔 子 作 春 秋, 一 字 定 褒 貶, 能 恰 如 其 分 最 後 皇 天 不 負 苦 心 人, 眾 裡 尋 他 千 百 度, 那 人 卻 在 燈 火 闌 珊 處, 我 竟 然 得 到 此 題 的 妙 解, 這 個 結 果 是 可 遇 不 可 求 的 以 下 是 我 追 尋 此 法 的 心 路 歷 程, 提 供 讀 者 來 奇 想 共 賞 析, 不 吝 指 教 首 先 靈 光 乍 現, 追 溯 到 高 中 時 期, 物 理 課 本 所 提 到 的 概 念 因 次 分 析, 由 於 S, as, aa 皆 可 表 為 長 度 的 四 次 方 因 此, 我 大 膽 地 猜 測, 欲 證 明 的 方 程 式, 可 能 由 題 目 的 圖 形 上 某 特 定 的 四 個 線 段, 經 由 重 排 的 概 念 列 等 式, 使 左 式 與 右 式 四 線 段 的 乘 積 相 等 觀 察 圖 形, 由 於 BC CD = S 且 EC CF = S a a a, 因 此 便 選 取 心 目 中 ( ) 理 想 的 四 線 段 BC, CD, EC, CF 成 為 最 佳 的 主 角 此 四 線 段 的 乘 積 組 成 為 等 號 的 左 式, 另 一 方 面 此 四 線 段 的 乘 積 經 由 重 排, 兵 分 二 路, 分 配 成 ( CD EC) 與 ( BC CF ) 的 乘 積 成 為 等 號 的 右 式 是 不 是 上 天 的 刻 意 安 排? 恰 好 配 合 得 天 衣 無 縫, ( CD EC = S a ) 與 ( BC CF S a ) =, 達 到 我 滿 心 期 待 小 心 求 證 的 目 標 由 上 面 的 論 述, 整 理 成 三 行 內 容 的 解 法 : ( BC CD) ( EC CF ) = ( CD EC) ( BC CF ) S ( S a a a) = ( S a) ( S a) 整 理 得 S as aa 4 = 0 孔 子 曾 言 : 學 而 不 思 則 罔, 思 而 不 學 則 殆 我 期 待 每 次 解 題 時, 皆 能 直 搗 黃 龍, 一 眼 看 穿 堂 奧 之 妙, 事 後 大 膽 假 設, 小 心 求 證 檢 驗 過 程 和 結 果, 是 否 達 到 最 佳 化? 藉 由 在 夙 昔 的 典 範, 亦 步 亦 趨, 臻 於 真 善 美 的 解 題 境 界 5

4 餘 弦 定 律 可 以 怎 麼 教? 蘇 俊 鴻 / 市 立 北 一 女 中 一 前 言 本 文 之 作, 緣 起 於 筆 者 參 加 由 財 團 法 人 思 源 科 技 教 育 基 金 會 主 辦 之 思 源 E-Teaching: 金 獅 獎 006 高 中 優 良 科 學 教 案 徵 選 活 動 時, 所 提 出 的 一 個 有 關 餘 弦 定 律 的 教 案 設 計 幸 運 的, 它 得 到 評 審 們 的 青 睞, 而 榮 獲 此 次 數 學 科 的 金 牌 獎 事 實 上, 筆 者 是 將 參 與 洪 萬 生 教 授 國 科 會 計 畫 與 團 體 成 員 討 論 互 動 所 獲 致 之 相 關 的 材 料 與 心 得, 運 用 在 自 身 教 學 活 動 後 的 反 思, 再 加 以 設 計 編 排 完 成 因 此, 筆 者 能 夠 得 獎, 可 說 是 數 學 史 融 入 數 學 教 學 (HPM) 所 得 到 的 具 體 肯 定 以 下, 筆 者 便 針 對 此 一 教 案 設 計 之 理 念 內 容 及 特 色 作 進 一 步 說 明 二 教 案 之 內 容 特 色 及 教 學 時 的 注 意 事 項 這 一 餘 弦 定 律 的 簡 報 教 案, 其 設 計 之 理 念, 主 要 強 調 餘 弦 定 律 的 發 現 脈 絡, 並 且 在 連 結 畢 氏 定 理 時, 能 更 加 深 入 與 自 然 其 目 的 是 希 望 幫 助 學 生 對 餘 弦 定 律 的 了 解, 能 更 為 深 入 且 多 元, 不 至 於 讓 教 學 流 於 單 調 的 公 式 推 導 或 計 算 當 然, 對 於 同 為 教 學 工 作 者 的 教 師 們, 筆 者 也 期 望 能 提 供 另 一 個 教 學 活 動 的 參 考 整 個 教 案 共 有 9 張 投 影 片, 可 分 為 三 個 部 分 : ( 一 ) 餘 弦 定 律 的 發 現 ( 投 影 片 檔 案 第 ~0 張 投 影 片 不 過, 限 於 篇 幅, 筆 者 僅 列 出 主 要 的 投 影 片, 請 見 圖 () 至 圖 (6) 請 注 意 : 有 些 投 影 片 布 置 了 有 動 作 效 果, 以 致 看 來 有 圖 形 重 疊 的 現 象 ) 首 先, 呼 應 現 行 教 學 章 節 的 安 排, 由 複 習 正 弦 定 律 開 始, 並 用 來 解 決 三 角 形 之 邊 角 問 題, 進 而 讓 學 生 察 覺 其 侷 限 性 接 著, 利 用 條 件 的 改 變 ( 由 具 體 數 字 變 成 文 字 符 號 ), 引 導 學 生 發 現 餘 弦 定 律 的 形 式 此 一 部 分 適 合 讓 學 生 分 組 討 論 進 行, 合 作 將 餘 弦 定 律 的 形 式 導 出 不 妨 參 閱 下 列 投 影 片, 更 能 了 解 筆 者 所 使 用 的 例 題 () () 6

5 () (4) (5) (6) 由 上 面 的 投 影 片 中, 可 以 看 見 筆 者 並 非 直 接 告 知 學 生 有 關 餘 弦 定 律 的 形 式 而 是 利 用 一 個 常 見 的 銳 角 三 角 形 之 邊 角 問 題, 經 由 問 題 條 件 的 逐 漸 一 般 化 ( 見 圖 () 至 圖 (6)), 透 過 小 組 討 論 的 安 排, 讓 學 生 共 同 參 與 餘 弦 定 律 的 形 式 之 發 現 事 實 上, 這 樣 的 教 學 方 式, 在 筆 者 參 與 洪 教 授 國 科 會 中 學 教 師 HPM 素 養 指 標 研 究 的 問 卷 中 曾 見 老 師 提 及 它 的 好 處 是 利 用 相 同 的 程 序 ( 畢 氏 定 理 ), 由 特 例 到 一 般 化, 營 造 出 可 以 讓 學 生 參 與 的 發 現 脈 絡 但 是, 若 直 接 回 到 題 目 的 常 規 練 習 中, 就 不 免 讓 學 生 流 於 單 調 的 計 算 對 於 這 個 定 律 的 理 解, 就 失 去 深 入 的 可 能 性 因 此, 筆 者 利 用 下 面 三 個 問 題, 提 供 學 生 觀 察 餘 弦 定 律 的 性 質, 並 為 探 索 餘 弦 定 律 的 幾 何 面 向 而 鋪 陳 ( 二 ) 餘 弦 定 律 的 相 關 問 題 ( 投 影 片 檔 案 第 ~4 張 投 影 片, 請 見 圖 (7) 至 圖 (9) ) 問 題 : 若 ABC 是 鈍 角 三 角 形, 上 述 的 推 導 過 程 會 依 然 成 立 嗎? 這 個 問 題 的 提 問, 是 為 了 讓 學 生 了 解 性 質 討 論 的 完 整 性 ( cosθ 分 別 為 正 或 負 ) 此 外, 筆 者 更 希 望 藉 此 讓 學 生 看 見 : 無 論 是 銳 角 或 是 鈍 角 三 角 形, 其 邊 長 的 形 式 表 現 相 同 因 此, 餘 弦 定 律 依 然 成 立, 這 正 是 代 數 對 形 式 的 威 力 之 所 在 問 題 : 餘 弦 定 律 與 畢 氏 定 理 有 何 關 係? 餘 弦 定 律 有 什 麼 幾 何 意 義 呢? 問 題 : 餘 弦 定 律 中 的 修 正 項 的 意 義 為 何? 這 兩 個 問 題 其 實 是 一 貫 的, 強 調 的 是 數 ( 代 數 ) 形 ( 幾 何 ) 互 譯 的 重 要 性 利 用 畢 氏 定 理 與 餘 弦 定 律 之 間 特 例 與 通 例 的 關 係, 我 們 可 以 由 幾 何 面 向 再 一 次 安 排 餘 弦 定 律 形 式 的 再 發 現, 這 正 是 本 教 案 的 第 三 部 分 7

6 (7) (8) (9) ( 三 ) 由 畢 氏 定 理 出 發, 呈 現 餘 弦 定 律 的 幾 何 意 義 ( 投 影 片 檔 案 第 5~9 張, 請 見 圖 (0) 至 圖 (0) ) 此 部 分 設 計 的 重 點, 是 由 畢 氏 定 理 是 餘 弦 定 律 的 特 例 ; 餘 弦 定 律 是 畢 氏 定 理 的 推 廣 的 推 論 出 發, 探 索 餘 弦 定 律 c = a + b abcosc 的 幾 何 意 義, 以 及 修 正 項 abcosc 的 意 義 因 此, 筆 者 由 畢 氏 定 理 的 歐 幾 里 得 證 法 開 始 談 起 由 於 現 行 國 中 課 程 的 幾 何 證 明 的 分 量 減 少, 對 於 畢 氏 定 理 的 歐 氏 證 明 也 略 去 不 提 所 以, 老 師 教 學 中 要 多 加 停 留, 觀 察 學 生 們 是 否 可 以 接 受 說 明 上 也 需 花 費 精 神 鋪 陳 一 番, 對 於 畢 氏 定 理 的 幾 何 意 義 面 積 和, 以 及 證 明 中 主 要 的 想 法 面 積 變 換, 多 加 強 調 解 說 當 學 生 對 於 畢 氏 定 理 的 歐 氏 證 明 掌 握 後, 再 來 將 討 論 的 問 題 由 直 角 三 角 形 轉 向 非 直 角 三 角 形, 就 顯 得 是 自 然 而 然 了 先 由 銳 角 三 角 形 看 起, 三 邊 長 之 關 係 的 考 慮, 就 能 仿 照 畢 氏 定 理 的 證 明 架 構, 餘 弦 定 律 的 形 式 也 就 自 然 浮 現 最 後, 將 鈍 角 的 情 形 當 成 回 家 作 業, 讓 學 生 嘗 試 看 看 ( 參 照 圖 ()) 至 此, 完 成 餘 弦 定 律 的 教 學 三 隱 藏 在 教 案 背 後 的 想 法 縱 深 與 HPM 透 過 上 述 對 於 教 案 設 計 及 教 學 的 說 明, 細 心 的 讀 者 或 許 會 懷 疑 : 數 學 史 融 入 數 學 教 學 (HPM) 在 哪 裡 呢? 教 學 中 談 及 畢 氏 定 理 的 歐 氏 證 明 就 是 HPM 嗎? 仔 細 想 想, 不 提 及 歐 氏 證 明 這 個 名 字 並 不 影 響 我 們 對 此 一 證 明 的 教 學, 也 不 會 造 成 學 生 理 解 上 的 困 難 ( 譬 如 改 成 畢 氏 定 理 的 幾 何 證 法 也 是 可 行 ) 那 麼 HPM 在 哪 裡? 事 實 上, 安 排 使 用 在 餘 弦 定 律 幾 何 發 現 脈 絡 中 的 材 料, 讀 者 或 許 會 覺 得 似 曾 相 識 例 如, 一 開 始 是 個 國 中 常 見 的 證 明 ( 見 圖 ()); 由 銳 角 三 角 形 看 出 餘 弦 定 律 的 幾 何 解 釋, 也 曾 出 現 在 高 中 數 學 教 科 書 的 教 師 手 冊 中 ( 例 如 : 南 一 版 ) 筆 者 不 過 是 將 這 些 散 落 於 各 處 的 珍 珠 串 成 美 麗 動 人 的 項 鍊, 透 過 數 學 史 的 關 照, 讓 這 些 材 料 的 連 結 得 以 重 現 更 進 一 步, 也 讓 這 些 因 應 階 段 教 學 的 需 求 而 被 切 割 的 材 料, 重 新 融 為 一 體 然 而, 筆 者 這 樣 的 體 察, 得 自 於 參 與 洪 萬 生 教 授 國 科 會 縱 深 計 畫 的 討 論 在 與 國 小 國 中 教 師 的 交 流 中, 發 現 數 學 概 念 或 主 題 會 因 應 教 學 階 段 不 同 的 需 求 而 有 必 要 的 切 割, 可 惜, 長 此 將 導 致 原 有 風 貌 的 失 落, 或 是 教 學 上 的 不 察 以 致 數 學 的 教 學 與 學 習, 總 是 停 留 於 水 平 面 上 發 展, 而 失 去 了 垂 直 面 的 整 合, 這 正 是 洪 教 授 倡 導 縱 深 交 流 的 初 衷 事 實 上, 筆 者 從 中 獲 得 不 少 啟 發, 這 份 教 案 設 計 構 想 的 提 出, 正 是 最 好 的 例 證 在 這 餘 弦 定 律 的 教 學 中, 也 希 望 能 讓 學 生 感 受 到 數 學 知 識 的 發 展 是 積 累 的, 有 其 脈 絡 可 尋 的, 這 也 是 HPM 的 真 義 之 所 在 8

7 (0) () () () (4) (5) (6) (7) 9

8 (8) (9) (0) () 四 結 論 透 過 上 述 的 說 明, 希 望 能 引 起 您 使 用 此 份 教 案 的 興 趣 在 本 教 案 中, 筆 者 安 排 兩 種 發 現 餘 弦 定 律 的 不 同 脈 絡 在 歷 史 的 映 照 下, 我 們 了 解 餘 弦 定 律 的 提 出 與 ( 最 後 ) 形 式, 並 非 憑 空 冒 出 我 們 也 期 望 能 將 這 樣 的 感 受 蘊 含 在 教 學 之 中, 傳 遞 給 學 生 察 知 數 學 在 理 性 的 形 式 之 外, 也 是 有 血 有 肉 的 實 體 最 後, 容 筆 者 對 思 源 科 技 教 育 基 金 會 為 提 升 高 中 科 學 教 學 的 努 力 表 示 敬 意 教 案 徵 選 活 動 的 舉 辦, 不 僅 鼓 勵 高 中 教 師 將 其 教 學 想 法 提 出, 也 建 置 了 一 個 讓 教 師 可 以 分 享 交 流 的 資 訊 平 台 ( 活 動 網 址 : 關 於 本 文 所 使 用 的 教 案 投 影 片 可 於 此 處 下 載 ) 0

9 師 父 中 的 師 父 講 堂 第 五 講 指 數 與 對 數 人 體 六 根 的 影 武 者 許 志 農 / 國 立 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 人 人 都 有 的 六 根, 眼 耳 鼻 舌 身 意, 透 過 人 體 的 六 根, 我 們 得 以 和 外 界 溝 通 接 觸, 產 生 感 受 經 驗 等 造 物 者 必 須 創 造 出 在 任 何 惡 劣 環 境 之 下, 仍 然 靈 敏 可 用 不 會 嚴 重 受 損 的 六 根 然 而, 指 數 與 對 數 卻 是 讓 人 體 六 根 進 化 完 美 的 影 武 者, 也 是 不 二 人 選 唯 有 對 指 對 數 深 刻 的 了 解 及 抱 以 崇 高 的 敬 意, 才 能 掌 握 人 體 六 根 的 最 後 一 塊 拼 圖, 達 到 六 根 清 淨 的 境 界, 也 才 能 充 分 享 受 六 根 帶 給 人 類 的 便 利 與 幸 福 問 題 ( 芮 氏 地 震 規 模 與 釋 放 能 量 的 關 係 ) 地 震 規 模 的 觀 念 是 由 芮 氏 在 95 年 所 提 出 的, 稱 為 芮 式 地 震 規 模, 用 符 號 s 表 示 地 震 能 量 是 地 震 所 釋 放 的 能 量, 用 符 號 w 表 示 芮 氏 地 震 規 模 越 大, 所 釋 放 的 地 震 能 量 也 越 大 貝 氏 根 據 經 驗 法 則, 於 966 年 提 出 芮 氏 地 震 規 模 s 與 地 震 能 量 w 的 參 考 關 係 式 為 log w= s 0 如 果 芮 氏 地 震 規 模 增 加, 那 麼 釋 放 的 能 量 增 加 約 為 原 能 量 的 幾 倍 ( 取 整 數 部 分 )? 年 作 岀 一 個 數 學 定 律, 用 來 度 量 人 對 各 種 身 體 刺 激 的 反 應 後 來, 德 國 的 科 學 家 費 克 納 就 發 現 這 種 關 係, 他 宣 布 了 一 條 定 律 ( 稱 為 韋 伯 - 費 克 納 定 律 ) 說 : 人 類 對 任 何 刺 激 的 反 應 與 這 些 刺 激 的 對 數 成 比 例 韋 伯 - 費 克 納 定 律 可 以 用 數 學 式 子 表 示 為 s = alog 0 w+ b, 其 中 s 代 表 人 體 器 官 對 刺 激 的 感 受 強 度, w 代 表 刺 激 量 的 大 小, 而 常 數 a, 的 種 類 有 關 b 跟 環 境 與 刺 激 物 對 數 參 考 值 : log = 000, log = 0477, log 7 = 人 類 的 五 種 感 覺 視 聽 嗅 味 觸 覺 都 和 對 數 扯 上 關 係 德 國 生 理 學 家 韋 伯 在 85

10 幾 何 圖 形 的 欣 賞 眼 睛 早 在 兩 千 年 前, 古 希 臘 的 天 文 學 家 數 學 家 托 勒 密 以 他 的 眼 睛 感 受 到 的 發 光 強 弱 程 度, 將 天 上 的 星 星 分 成,,, 4, 5, 6 等 ( 現 在 稱 為 目 視 星 等 ) 直 到 十 九 世 紀 發 明 了 光 學 儀 器, 才 確 認 托 勒 密 所 認 定 的 等 星 其 發 光 光 度 事 實 上 是 等 星 發 光 光 度 的 5 倍 ( 同 樣 的 等 星 的 發 光 光 度 事 實 上 是 等 星 發 光 光 度 的 5 倍,, 依 此 類 推 ) 有 了 光 學 儀 器 之 後, 就 能 測 岀 更 多 的 星 等, 下 表 是 幾 顆 常 見 星 球 的 目 視 星 等 表 : 例 題 星 空 中, 有 一 群 會 改 變 亮 度 的 星, 叫 做 變 星 天 文 學 家 發 現 一 顆 變 星, 最 亮 時 的 目 視 星 等 6; 最 暗 時 的 目 視 星 等 4 求 此 變 星 在 最 亮 時 的 發 光 強 度 是 最 暗 時 的 幾 倍? 解 令 光 學 儀 器 測 得 最 亮 與 最 暗 時 的 發 光 強 度 分 別 為 w 與 w 由 關 係 式 得 到 6 = 5log0 w, 4 = 5log0 w 將 兩 式 相 減 得 到 6 4 = 5( log0 w log0 w ) = 5log w 0 w 星 球 太 陽 天 狼 星 織 女 星 牛 郎 星 北 極 星 目 視 星 等 因 此 w w w = = w log0 0 顯 然 發 光 光 度 較 強 大 的 星 星 其 目 視 星 等 是 負 值 如 果 將 光 學 儀 器 調 整 成 0 等 星 的 發 光 強 度 為, 那 麼 依 視 覺 的 韋 伯 - 費 克 納 方 程 式, 可 以 將 目 視 星 等 s 與 儀 器 測 量 到 的 發 光 強 度 w 的 關 係 式 寫 成 其 中 log0 表 s = log5 w log0 w = log0 5 log0 w 04 = 5log w, 0 5 的 近 似 值 04 可 查 閱 常 用 對 數 故 此 變 星 在 最 亮 時 的 發 光 強 度 是 最 暗 時 的 0 倍 練 習 天 文 學 家 經 常 透 過 數 學 式 子 d m M = 5log0 6 來 估 計 恆 星 與 地 球 的 距 離, 這 裡 的 符 號 M 是 該 恆 星 的 絕 對 星 等,m 是 該 恆 星 的 目 視 星 等, d ( 光 年 ) 是 恆 星 與 地 球 的 距 離 北 極 星 被 稱 為 夜 歸 人 的 燈 塔, 因 為 它 始 終 在 天 空 的 北 方 已 知 北 極 星 的 絕 對 星 等 0, 目 視 星 等 0, 求 北 極 星 與 地 球 的 距 離 ( 以 光 年 表 示 ) 眼 睛 不 僅 將 光 的 強 度 弱 化, 也 會 將 所 看 到 的 面 積 變 小, 所 以 睜 眼 說 瞎 話 不 足 為 奇 統 計 學 家 克 利 夫 蘭 就 研 究 過 人 體 眼 睛 對 面 積 的 感 應 程 度

11 例 題 統 計 學 家 克 利 夫 蘭 對 人 體 的 眼 睛 詳 細 研 究 後 發 現, 我 們 的 眼 睛 看 到 圖 形 面 積 的 大 小 與 此 圖 形 實 際 面 積 的 07 次 方 成 正 比 例 如 大 圖 形 是 07 小 圖 形 的 4 倍, 眼 睛 感 覺 到 的 卻 只 有 4 6 倍 天 籟 之 音 的 聆 聽 耳 朵 聆 聽 天 籟 之 音 是 造 物 者 創 造 耳 朵 的 用 意, 可 惜 的 是, 我 們 聽 到 的 常 常 是 噪 音 而 不 是 什 麼 天 籟 之 音 就 讓 我 們 研 究 一 下 噪 音 與 耳 朵 的 關 係 : 書 本 上 並 列 兩 個 國 家 的 地 圖, 它 們 的 縮 小 比 例 都 一 樣 如 果 從 地 圖 上 看 起 來, 大 國 是 小 國 面 積 的 8 倍, 那 麼 實 際 上 大 國 面 積 是 小 國 面 積 的 幾 倍? 解 設 大 國 面 積 是 小 國 面 積 的 x 倍, 由 說 明 知 道 x = 8 = 07 7 x = = 0 04 故 大 國 面 積 是 小 國 面 積 的 04 倍 例 題 噪 音 監 測 器 量 度 的 噪 音 大 小 db ( 分 貝 ) 是 根 據 當 地 聲 音 總 能 量 w ( 瓦 特 ) 透 過 數 學 式 子 來 計 算 db = log w 0 臺 北 市 政 府 規 定 球 場 內 噪 音 不 得 超 過 65 分 貝, 而 氣 笛 製 造 商 製 造 一 款 低 噪 音 氣 笛, 一 支 氣 笛 只 會 產 生 45 分 貝 噪 音 欲 符 合 市 政 府 噪 音 規 定, 球 場 內 至 多 能 同 時 響 起 幾 支 氣 笛 呢? 解 令 至 多 能 同 時 響 起 x 支 氣 笛, 且 一 支 氣 笛 會 產 生 w 瓦 特 由 於 一 支 氣 笛 會 產 生 45 分 貝 噪 音, 得 到 下 列 等 式 log 0 75 = + 0 w w= 75 因 此 x 支 氣 笛 產 生 能 量 x 0 瓦 特 因 為 球 場 內 噪 音 不 能 超 過 65 分 貝, 所 以 得 到 下 列 不 等 式 ( x 0 ) 75 ( x ) log 0 65 log 0 55, log x 75 55, log x, x 00 故 球 場 內 至 多 能 同 時 響 起 00 支 氣 笛

12 耳 朵 除 了 聆 聽 天 籟 之 音 外, 聽 八 卦 消 息 是 它 的 另 一 最 愛 人 們 不 僅 喜 歡 用 耳 朵 聽 八 卦 消 息, 更 喜 歡 用 嘴 巴 傳 播 聽 來 的 八 卦 新 聞, 這 傳 播 速 度 有 多 快 呢? 讓 我 們 研 究 一 下 吧! 八 卦 新 聞 的 擴 散 模 型 : 有 一 八 卦 新 聞 在 一 由 ( ) I t = 解 得 8 t t 5 = = 故 在 投 票 日 前 5 天 散 播 此 謠 言 最 好 個 城 市 裡 散 播 著, 剛 開 始 時, 每 + a 人, 就 有 一 人 知 道 此 新 聞, 經 過 t 天 渲 染 後, 知 道 這 八 卦 新 聞 的 比 例 I( t ) 定 義 為 經 過 t天 渲 染 後, 知 道 這 八 卦 新 聞 的 人 數 I( t ) = 城 市 總 人 數 若 此 城 市 每 人 每 天 平 均 接 觸 的 人 數 為 b 人, 則 I( t ) 可 以 用 數 學 式 子 表 示 為 ( ) I t 根 據 經 驗 得 知, 當 ( ) = + a 7 I t = 聞 傳 播 最 嚴 重 的 時 刻 b t 0 的 時 間 t 是 該 八 卦 新 例 題 4 有 一 人 口 000 人 的 山 地 鄉, 根 據 調 查, 該 鄉 每 人 每 天 平 均 僅 接 觸 8 人 在 一 次 選 舉 裡, 某 候 選 人 想 藉 著 散 播 謠 言 來 中 傷 另 一 候 選 人 此 候 選 人 想 在 選 前 幾 天, 利 用 他 的 0 人 競 選 團 隊 出 去 造 謠, 並 希 望 在 投 票 當 天 達 到 傳 播 最 嚴 重 的 時 刻, 好 讓 另 一 候 選 人 落 選 你 知 道 此 候 選 人 應 該 在 投 票 日 前 幾 天 散 播 此 謠 言 嗎? 解 剛 開 始 有 0 人 在 散 播 謠 言, 由 0 = 知 道 : 每 50=+49 人, 就 有 一 人 知 道 此 謠 言 因 此 a = 49, b = 8, 即 ( ) = 8 I t t 0 4

13 美 食 美 味 的 感 測 器 舌 頭 老 張 牛 肉 麵 的 招 牌 是 它 的 小 辣 椒, 味 道 好 吃 又 夠 辣, 舌 頭 對 這 款 小 辣 椒 的 韋 伯 - 費 克 納 定 律 是 : 當 一 碗 牛 肉 麵 放 w 個 小 辣 椒 時, 舌 頭 感 覺 到 的 辣 度 s 會 滿 足 s = log 0 w 正 常 一 碗 牛 肉 麵 放 5 個 小 辣 椒 如 果 你 是 一 個 超 愛 嚐 辣 的 人, 要 求 老 闆 將 牛 肉 麵 的 辣 度 提 高 倍, 那 麼 應 該 放 幾 個 小 辣 椒 呢? 讓 我 們 來 算 算 吧! 設 放 5 個 小 辣 椒 的 辣 度 為 s, 所 以 s = log 5 s = log 5 = log 5 = log 除 非 老 闆 腦 筋 秀 逗, 否 則 老 闆 不 會 在 一 碗 牛 肉 麵 放 5 個 小 辣 椒 ( 可 能 也 放 不 下 ), 可 以 解 決 的 方 法 是 : 去 種 植 更 辣 的 超 辣 小 辣 椒 這 就 像 果 農 不 斷 地 接 枝 改 良 水 果 的 甜 度, 來 滿 足 大 眾 舌 頭 對 甜 度 的 要 求 同 樣 的 情 況 也 發 生 在 老 師 的 上 課 裡, 女 老 師 用 盡 力 氣 地 認 真 上 課, 坐 在 後 頭 的 同 學 要 求 老 師 提 高 音 量 倍 如 果 你 懂 韋 伯 - 費 克 納 定 律 的 話, 你 就 不 會 做 這 種 不 合 乎 數 學 原 理 的 要 求 因 為 音 量 提 高 倍, 老 師 所 費 的 能 量 可 能 是 剛 剛 的 百 餘 倍, 老 師 大 概 上 個 三 分 鐘 就 能 量 耗 盡, 身 體 虛 脫 了 但 是, 該 如 何 解 決 呢? 天 搖 地 動 的 感 受 身 體 如 果 將 芮 氏 地 震 規 模 s 當 成 身 體 所 感 受 的 程 度, 地 震 所 釋 放 的 能 量 w 當 刺 激 量 的 大 小, 那 麼 地 震 對 身 體 的 韋 伯 - 費 克 納 定 律 為 54 s = log w 現 在 讓 我 們 來 解 決 本 章 一 開 始 的 題 目 : 設 芮 氏 地 震 規 模 為 s 與 s + 時, 地 震 所 釋 放 的 能 量 分 別 為 w 與 w 代 入 公 式 得 到 0 0 ( ) log w = s, log w = s+ 將 兩 式 相 減 得 到 w = = log0 w log0 w 44 log0 44 w 由 對 數 參 考 值 知 道 : 所 以 log0 7 = 4, log0 8 = 447 w w = 7 的 整 數 部 分 為 7 答 案 為 7 倍 牛 頓 冷 卻 規 律 描 述 一 個 物 體 在 常 溫 a C 環 境 下 的 溫 度 變 化 如 果 物 體 的 初 始 溫 度 是 b C, 那 麼 經 過 t 小 時 後 的 溫 度 f ( t) a = ( b a), 這 裡 的 常 數 k 與 物 體 的 性 質 有 關 f ( t ) C 將 滿 足 kt 這 就 要 感 謝 麥 克 風 的 功 能 了, 老 師 只 要 對 著 麥 克 風 講 話, 透 過 電 流 驅 動 擴 大 機 將 音 量 提 高, 就 搞 定 了 家 裡 如 果 有 音 響 的 話, 你 可 以 摸 摸 看 擴 大 機 熱 不 熱, 一 定 很 熱, 就 是 這 個 能 量 將 音 響 的 聲 音 擴 大 的 5

14 例 題 5 某 冬 晨, 警 局 接 到 報 案, 在 街 頭 發 現 一 流 浪 漢 的 屍 體, 早 上 六 點 半 時 測 量 其 體 溫 為 C, 到 早 上 七 點 半 時, 其 體 溫 已 降 到 C, 若 假 設 室 外 溫 度 約 維 持 在 0 C, 且 人 體 正 常 體 溫 為 7 C 問 : 流 浪 漢 死 亡 的 時 間 解 設 早 上 六 點 半 時, 流 浪 漢 已 死 亡 t 小 時 由 題 意 知 道 : f ( t) f ( t ) =, + = 代 入 牛 頓 冷 卻 練 習 牛 奶 保 鮮 時 間 因 儲 藏 時 的 溫 度 不 同 而 不 同 若 牛 奶 放 在 0 C的 冰 箱 中, 保 鮮 時 間 是 00 小 時, 而 在 4 C 的 廚 房 中 是 5 小 時 假 設 保 鮮 時 間 y ( 小 時 ) 與 儲 藏 溫 度 x( C ) 的 x 函 數 關 係 是 y= ab ( a, b 是 常 數 ) () 寫 岀 保 鮮 時 間 y 關 於 儲 藏 溫 度 x 的 關 係 式 () 利 用 () 的 結 果, 指 出 溫 度 在 C 與 6 C 時 的 保 鮮 時 間 公 式 得 到 及 將 = f ( t) 0 = ( 7 0) = 9 kt = f ( t+ ) 0 = ( 7 0) = k = k 代 入 第 一 式 得 到 = f ( t) 0 = ( 7 0) = 7 t = 流 浪 漢 死 亡 的 時 間 是 早 上 四 點 半 t kt kt kt k 6

15 頭 腦 的 學 習 成 效 意 識 為 了 區 分 棋 力 的 好 壞, 業 餘 圍 棋 採 用 0 級 數 的 等 級 區 分, 最 低 0 級, 等 於 你 是 一 點 概 念 都 沒 有, 或 是 稍 微 懂 一 點 點 ; 8 級 大 概 可 以 和 別 人 下 完 一 整 盤 棋 了 對 圍 棋 有 興 趣 的 人 來 說, 不 可 能 只 練 習 或 下 過 幾 十 盤 棋 而 已, 起 碼 有 上 百 盤 或 上 千 盤 如 果 要 用 數 學 式 子 描 述 一 個 人 的 圍 棋 級 數, 將 他 下 過 的 圍 棋 盤 數 取 對 數 可 能 是 不 錯 的 選 擇 這 樣 的 情 況 也 反 映 在 運 動 員 身 上, 體 操 選 手 的 分 數 滿 分 是 0 分, 但 是 為 了 達 到 九 點 多 分, 他 必 須 日 以 繼 夜 地 苦 練, 除 了 天 賦 外, 將 練 習 的 時 數 取 對 數 多 少 也 可 以 反 映 他 的 得 分 因 此 舉 一 反 三 用 在 頭 腦 的 學 習 成 效 上 是 解 由 題 意 知 道 b ( ) a( ) b ( ) = 5 = a( 0 ) L = 75 = = L 5 0 將 0 b b b b b ( ) ( ) = 0 b 4 0 = 或 ( 不 合 ) 5 4 = 代 回 原 方 程 組 得 到 = a a = 75 5 這 學 生 三 天 能 背 熟 個 生 字 b ( ) a( ) 4 L = 0 = 75 = 8 5 不 確 實 的, 想 要 得 到 好 成 績, 必 須 不 斷 的 練 習, 舉 十 反 一 可 能 比 較 實 際, 至 少 韋 伯 - 費 克 納 方 程 式 是 這 樣 說 的 除 了 取 對 數 外, 指 數 也 可 以 用 來 描 述 頭 腦 的 學 習 成 效 : 例 題 6 心 理 學 家 常 用 對 數 模 式 Lt ( ) = a( 0 bt ) 來 描 述 學 生 經 過 t 時 間 的 學 習 之 後 所 得 到 的 學 習 量 ( 或 成 果 ), 這 裡 的 常 數 a 與 b 跟 學 生 及 學 習 的 科 目 相 關 有 一 學 生 一 天 可 以 背 熟 75 個 單 字, 兩 天 可 以 背 熟 5 個 單 字 試 問 : 這 學 生 三 天 可 以 背 熟 幾 個 生 字 7

16 A 對 A 當 A 以 A A 對 數 函 數 圖 形 的 奧 秘 人 體 六 根 的 最 後 一 塊 拼 圖 下 圖 是 對 數 函 數 y = log0 x的 概 略 圖 形 : 這 裡 的 x 代 表 光 線 的 強 度 ; y 代 表 眼 睛 對 光 的 感 受 強 度 的 圖 形 剛 好 符 合 這 個 原 則, 曲 線 I 部 分 代 表 晚 上 的 情 形, 光 微 弱, 但 眼 睛 還 是 有 一 定 的 辨 識 程 度 ( 因 為 曲 線 I 部 分 與 0 有 一 段 距 離 ); 曲 線 II 部 分 代 表 白 天 的 情 形, 光 線 雖 強, 但 眼 睛 受 到 一 定 程 度 的 保 護 ( 因 為 曲 線 II 部 分 以 很 平 緩 的 速 度 上 升 ) A 4E 無 論 是 直 線 二 次 函 數 高 次 多 項 式 函 數 或 像 y = x 之 類 的 函 數 圖 形, 它 們 都 沒 有 像 對 數 函 數 般, 既 可 在 晚 上 有 一 定 的 能 見 對 數 函 數 被 雀 屏 中 選 主 宰 人 體 各 種 器 官 的 奧 秘 是 什 麼 呢? 為 何 被 選 中 的 不 是 直 線 二 次 函 數 高 次 多 項 式 函 數 或 像 y = x 之 類 的 函 數 圖 形 呢? 讓 我 們 列 舉 對 數 函 數 圖 形 的 一 些 特 性 : 度, 白 天 又 可 以 保 護 眼 睛 的 雙 重 好 處 例 如 根 號 函 數 y = x 的 圖 形 在 x 很 小 時, 其 圖 形 跟 對 數 函 數 的 圖 形 很 像, 但 當 x 很 大 時, 其 圖 形 爬 升 過 快, 容 易 造 成 眼 睛 的 傷 害 E 數 函 數 是 遞 增 函 數, 也 就 是 說, x 的 值 越 大, 其 函 數 值 log0 x 也 越 大 當 0< x < 時, 函 數 值 為 負, 且 越 靠 近 0 時, 下 降 的 5E 人 體 六 根 的 其 他 器 官 的 作 用 跟 眼 睛 是 相 似 的, 所 以 對 數 函 數 是 保 護 六 根 的 不 二 人 選, 也 是 完 美 的 人 選 E E 速 度 越 快 ; 當 x > 時, 函 數 值 為 正, 但 上 升 的 速 度 趨 緩 x > 且 x 不 是 很 大 的 時 候, 由 圖 中 曲 線 I 部 分 得 知 : 其 函 數 值 不 會 過 於 貼 近 0; 當 x 很 大 的 時 候, 由 圖 中 的 曲 線 II 部 分 得 知 : 其 函 數 值 增 加 的 速 度 很 平 緩 眼 睛 為 例, 晚 上 時, 眼 睛 接 收 微 弱 的 光, 但 白 天 時, 眼 睛 必 須 適 應 強 光 的 照 射 因 此, 在 晚 上 讓 眼 睛 可 以 依 然 看 清 楚 周 遭 環 境, 而 白 天 讓 眼 睛 不 要 受 強 光 的 傷 害, 是 造 物 者 創 造 眼 睛 的 優 先 法 則 而 對 數 函 數 床 前 明 月 光, 疑 是 地 上 霜, 意 味 著, 在 暗 夜 裡, 只 要 有 些 許 的 月 光, 眼 睛 就 能 感 受 到 像 霜 一 樣 亮 ; 月 明 星 稀 訴 說 著, 月 圓 時 的 亮 光 足 以 蓋 過 多 數 星 星 的 餘 光 ; 白 天 裡, 光 線 那 樣 強, 眼 睛 依 然 可 以 適 應, 不 會 受 損, 這 都 要 感 謝 對 數 函 數 的 傑 作 不 僅 在 黑 暗 裡, 眼 睛 給 人 們 帶 來 安 全 感 ; 甚 至 在 白 天 時, 眼 睛 也 能 舒 服 的 運 作, 不 造 成 器 官 的 痛 苦 在 享 受 六 根 帶 來 的 便 利 與 幸 福 之 餘, 更 應 對 指 對 數 抱 以 崇 高 的 敬 意 及 深 刻 的 了 解 8

17 常 用 對 數 表 昏 睡 的 傳 統 在 第 節 中, 用 到 近 似 值 log0 5 04, 這 個 近 似 值 可 由 常 用 對 數 表 及 其 表 尾 差 ( 如 下 表 ) 得 到 log = 04 最 後 引 用 一 則 奧 修 在 解 金 剛 經 中 講 的 古 代 印 度 故 事, 供 各 位 體 悟 : 有 一 個 人 在 做 傳 統 的 斯 拉 達 儀 式 來 榮 耀 他 剛 過 世 的 父 親 斯 拉 達 是 當 一 個 人 的 父 親 過 世, 為 他 的 旅 程 祈 禱 的 一 種 儀 式 在 儀 式 進 行 當 中, 他 家 養 的 狗 跑 進 了 祈 禱 房, 因 為 害 怕 牠 玷 汙 了 那 個 情 況, 所 以 那 個 人 就 趕 快 起 來 將 那 隻 狗 綁 在 走 廊 的 柱 子 上 要 注 意 的 是, 我 們 的 常 用 對 數 表 及 表 尾 差 僅 正 確 到 前 四 位 數, 所 以 利 用 對 數 表 得 到 的 數 據 僅 準 確 到 前 四 位 數 相 較 於 電 腦 可 以 準 確 到 十 來 位 數, 顯 得 遜 色 許 多 在 沒 有 電 腦 的 時 代, 常 用 對 數 表 是 計 算 的 利 器, 甚 至 可 以 利 用 內 差 法 求 得 更 精 準 的 近 似 值 ( 表 尾 差 是 內 差 法 的 一 個 特 例 ) 但 是, 電 腦 出 現 之 後, 再 怎 麼 精 確 的 對 數 表 表 尾 差 或 內 差 法 的 使 用 都 無 法 超 越 電 腦 計 算 得 到 的 近 似 值 所 以 常 用 對 數 表 的 教 學 應 將 重 點 放 在 內 差 法 的 數 學 層 面, 也 就 是, 對 數 函 數 圖 形 在 很 近 的 兩 個 點 間 之 曲 線 可 以 想 成 直 線 的 概 念 ; 而 不 是 看 中 查 表 的 過 程, 這 些 過 程 都 可 以 由 電 腦 代 勞 因 此, 常 用 對 數 表 的 表 尾 差 可 以 不 用 放 在 附 錄 上, 一 則 它 是 內 差 法 得 到 的 結 果, 另 一 則 是 不 需 要 查 到 這 樣 精 細 ( 勞 神, 浪 費 時 間 ), 再 怎 樣 精 細 也 不 如 電 腦 計 算 的 快 速 與 準 確 或 許 是 擺 脫 不 了 傳 統 的 束 縛, 直 到 今 天, 教 科 書 幾 年 之 後, 當 他 過 世, 他 的 兒 子 為 他 執 行 斯 拉 達 儀 式 他 很 小 心 地 去 遵 循 每 一 個 細 節, 所 以 他 就 從 鄰 居 抓 來 一 隻 狗, 因 為 就 他 的 記 憶, 他 認 為 那 一 定 非 常 重 要 我 父 親 在 祈 禱 當 中 特 別 爬 起 來 去 做 它, 當 他 把 那 隻 狗 拴 在 柱 子 上 之 後, 他 覺 得 很 高 興, 然 後 就 繼 續 祈 禱 他 不 想 錯 過 任 何 事 情, 那 個 儀 式 必 須 很 完 美 在 這 個 時 候, 他 家 裡 沒 有 養 狗, 他 必 須 跑 到 鄰 近 地 區 去 找 一 隻 迷 路 的 狗, 結 果 他 抓 到 了 一 隻, 然 後 就 很 小 心 地 將 牠 拴 在 走 廊 的 柱 子 上, 問 心 無 愧 地 完 成 了 整 個 儀 式 在 那 戶 人 家, 多 少 世 紀 以 來, 那 個 儀 式 仍 然 被 遵 循 著 事 實 上, 神 聖 的 狗 的 儀 式 已 經 變 成 了 那 個 典 禮 最 重 要 的 項 目 事 情 就 是 這 樣 在 進 行, 有 時 人 們 生 活 在 無 意 識 之 中 遵 循 父 親 做 了 些 什 麼, 將 那 些 父 親 或 祖 先 曾 經 為 之 的 行 為 視 為 神 聖 的 部 份 沿 承 下 來, 而 忘 了 去 關 心 它 真 正 的 意 義 是 什 麼 所 附 的 常 用 對 數 表 都 還 是 包 含 表 尾 差, 也 要 求 學 生 同 時 會 表 尾 差 與 內 差 法 兩 種 方 法 不 知 道 何 時, 這 種 昏 睡 的 傳 統 才 會 甦 醒 過 來 9

18 國 立 台 灣 大 學 數 學 系 95 學 年 度 學 士 班 甄 選 入 學 第 二 階 段 筆 試 試 題 006/4/ 下 午 :00~4:00 ⒈ 設 f( x) = x + x x, 4 g( x) = x + x x 5x+, 且 α, β, γ 為 f( x ) = 0之 三 根 () 試 求 g( α) g( β) g( g) 之 值 () 試 求 + + 之 值 g( α) g( β) g( g) ⒉ 設 E, E, E 為 空 間 中 三 個 平 面, 且 都 通 過 原 點 O 已 知 E 和 E 互 相 垂 直, E 和 E 夾 角 60, E 和 E 夾 角 也 是 60 設 L 為 過 原 點 之 直 線 ; 若 L 和 E 之 夾 角 為 0, 而 L 和 E 之 夾 角 也 是 0, 試 求 L 與 E 之 夾 角 為 何? ⒊ 用 7 種 顏 色 塗 在 正 六 面 體 的 6 個 面 上, 不 同 面 用 不 同 顏 色 () 試 問 可 塗 成 幾 種 正 六 面 體? () 若 每 個 面 用 此 7 種 顏 色 再 畫 上 字 母 O, 字 母 O 所 用 顏 色 與 底 色 不 同, 且 不 同 面 的 O 用 不 同 顏 色, 試 問 有 幾 種 正 六 面 體? ⒋ 設 N 表 示 所 有 非 負 整 數 的 集 合 假 設 對 所 有 m, n N, 函 數 f : N N 滿 足 f( m+ n) f( m) f( n) = 0或, 且 f (8888) = () 試 證 () 求 f (4) () 求 f (006) k k k f n f( n ) 0 i i i= i= 0

19 國 立 台 灣 大 學 數 學 系 95 學 年 度 學 士 班 甄 選 入 學 第 二 階 段 筆 試 試 題 將 gx ( ) 除 以 f( x ) 得 將 x 以 α, β, γ 代 入, 得 又 由 根 與 係 數 的 關 係, 得 gx ( ) = ( x+ ) f( x) + ( x+ ) g( α) = α, g( β) = β, g( g) = g α + β + γ = ; αβ + βγ + αγ = ; αβγ = () 利 用 上 述 公 式, 得 g( α) g( β) g( γ) = ( α)( β)( γ) = 7 9( α + β + γ ) + ( αβ + βγ + αγ ) αβγ = 7 9( ) + ( ) = 5 () 利 用 上 述 公 式, 得 g( β)g( γ)+g( α)g( γ)+g( α)g( β) 原 式 = g( α)g( β)g( γ) ( β)( γ) + ( α)( γ) + ( α)( β) = 5 7 6( α + β + γ ) + ( αβ + βγ + αγ ) = 5 7 6( ) + ( ) = 5 6 = 5 設 n 是 平 面 i 由 E 的 單 位 法 向 量, l 是 直 線 L 的 單 位 方 向 向 量, 即 i n = ( i =,, ), l = i E 和 E 互 相 垂 直 E 和 E 夾 角 60 E 和 E 夾 角 60 直 線 L和 E 夾 角 0 直 線 L和 E 夾 角 0

20 得 利 用 上 述 等 式, 可 令 n n n n = 0 = cos 60 = n n = cos 60 = l n = cos( 90 0 ) = l n = cos( 90 0 ) = n = = 由 n n = n n = 及 n = 可 令 n =,, ± 同 理 可 得 l =,, ±, 代 表 L 與 (, 0, 0 ), n ( 0,, 0) E A 當 n 與 l 同 號 時, n = l E 的 夾 角 為 90 E A 當 n 與 l 異 號 時, n l = 0, 代 表 L 與 () 從 7 種 不 同 的 顏 色 中 挑 選 岀 6 種 顏 色 的 方 法 有 7 C = 7 6 種, 再 將 這 6 種 不 同 顏 色 塗 在 正 六 面 體 上 的 方 法 數 有 E 平 行, 其 夾 角 為 0 種, 因 此 總 共 有 種 不 同 的 塗 法 6! 4 6 = = 0 () 先 將 六 個 面 著 色, 讓 六 個 面 皆 不 同 顏 色, 塗 法 有 0 種 此 時 六 面 體 的 六 個 面 皆 不 同, 因 此 可 依 某 一 順 序 編 號, 並 假 設 集 合 A, B, C, D, E, F 分 別 為 在 該 面 的 文 字 O 著 上 與 該 面 底 色 相 同 的 顏 色 的 情 形, 因 此 六 個 O 顏 色 皆 與 底 色 不 同 的 集 合 為 利 用 排 容 原 理 可 得 A' B' C' D' E' F' na ( ' B' C' D' E' F') = P CP + CP CP + CP CP + CP = 7! 6 6! + 5 5! 0 4! + 5! 6! + = = 因 此 總 共 有 0 9 種 塗 法

21 4 () 利 用 f( m+ n) f( m) f( n) 0將 下 列 k 個 式 子 累 加 f( n + n) f( n ) f( n ) 0 f( n + n + n ) f( n + n ) f( n ) 0 f( n + n + n + n ) f( n + n + n ) f( n ) f( n + n + + n ) f( n + n + + n ) f( n k ) 0 得 k k k k k f n f( n ) 0 i i i= i= () 利 用 = f(8888) = f( 4) 及 (), 得 即 移 項 整 理, 得 又 f (4) 是 整 數, 故 f (4) = ()(a) 利 用 = f(4) = f( ) 及 (), 得 即 又 f () 是 整 數, 故 f () = 0 f( 4) f(4) 0, f (4) 0 f (4), f( ) f() 0, f () 0 (b) 利 用 = f(8888) = f( ) 及 (), 得 (4 + 6) f( ) 4 f(006) 6 f(4) 0 代 入 f (8888) = 及 f (4) = 得 即 (c) 利 用 f(006) = f( ) 及 (), 得 代 入 f () = 0 及 f (4) = 得 即 9 4 f (006) 6 0, 47 f (006) 50 4 (50+ ) f(006) 50 f(4) f() 0 50 f (006) 50 0, 50 f (006) 00 綜 合 (b) 及 (c) 的 不 等 式 及 f (006) 為 整 數, 得 f (006) = 50

22 動 手 玩 數 學 許 志 農 / 國 立 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 遊 戲 微 軟 電 腦 軟 體 的 遊 樂 場 有 一 種 叫 踩 地 雷 的 遊 戲, 相 信 大 部 分 的 人 都 玩 過 如 下 圖 所 示, 白 色 區 域 是 已 探 勘 沒 有 地 雷 的 區 域, 數 字 代 表 該 區 域 的 四 周 灰 色 地 帶 所 佈 的 地 雷 數, 而 且 每 塊 灰 色 區 域 至 多 佈 一 顆 地 雷 網 際 網 路 梅 森 質 數 搜 索 組 織 集 合 了 相 當 多 電 腦 的 計 算 能 力, 主 要 任 務 就 是 不 斷 的 篩 選 與 尋 找 更 大 的 質 數 每 位 擁 有 遊 戲 電 腦 的 個 人 都 可 以 下 載 計 算 軟 體 並 認 養 疑 似 質 數 的 數 字 進 行 計 算 的 工 作 例 如 00 年 月 7 日 出 爐 的 最 大 質 數 46697, 它 是 由 一 位 0 歲 的 加 拿 大 學 生 發 現 的 BBC 還 特 別 做 成 底 下 的 紀 念 看 板 : () 總 共 佈 幾 顆 地 雷? () 可 以 精 確 地 確 認 每 顆 地 雷 所 佈 的 位 置 嗎? 玩 鎖 玩 索 每 個 年 齡 層 有 不 同 的 數 學 觀 念 要 學 習, 甚 至 有 些 人 會 額 外 的 補 強 一 些 學 校 不 教 的 課 程 例 如 有 些 國 小 的 學 生 會 學 習 心 算, 增 強 計 算 的 速 度 與 能 力 ; 上 了 年 紀 的 人, 為 了 怕 頭 腦 退 化, 會 做 一 種 叫 數 獨 的 填 數 字 遊 戲 這 些 額 外 的 學 習 經 常 印 證 金 剛 經 所 說 的 一 切 有 為 法, 如 夢 幻 泡 影, 大 都 船 過 水 無 痕, 沒 辦 法 在 數 學 的 學 習 之 旅 上 起 大 作 用 所 以 慎 選 有 為 法 ( 可 以 起 作 用 的 學 習 方 法 ) 是 相 當 重 要 的 這 道 踩 地 雷 遊 戲 就 是 為 國 高 中 數 學 能 力 的 銜 接 而 設 計 的 國 中 升 高 中 的 學 生 需 要 加 強 哪 些 數 學 能 力 呢? 邏 輯 推 理 可 能 是 首 選, 踩 地 雷 遊 戲 就 屬 於 這 種 訓 練 的 一 環 Electronic Frontier 基 金 會 提 供 十 萬 元 的 獎 金 給 發 現 超 過 000 萬 位 數 字 質 數 的 人 或 團 體 西 元 005 年 月 5 日 美 國 密 蘇 里 州 立 大 學 的 兩 位 教 授 所 帶 領 的 一 個 團 隊 利 用 700 多 臺 電 腦 通 過 分 散 式 運 算 發 現 了 迄 今 為 止 (006 年 月 之 前 ) 最 大 的 質 數 這 兩 位 教 授 獲 得 電 子 前 鋒 基 金 會 提 供 的 十 萬 美 元 獎 金 了 嗎? 4

23 玩 鎖 玩 索 西 元 前 50 年, 希 臘 數 學 家 歐 基 里 德 證 明 質 數 是 無 限 的 此 後, 許 多 數 學 家 曾 對 這 種 質 數 進 行 研 究 而 後 在 十 七 世 紀, 法 國 神 父 馬 丁 梅 森 提 出 一 個 可 能 含 有 無 限 質 數 的 數 列 p 因 此 後 人 將 p 形 式 的 質 數 稱 為 梅 森 質 數 想 要 找 到 最 大 的 質 數, 從 指 數 函 數 p 下 手 是 比 較 快 速 的, 網 際 網 路 梅 森 質 數 搜 索 組 織 就 是 專 找 這 類 質 數 下 圖 是 網 際 網 路 梅 森 質 數 搜 索 組 織 網 頁 的 首 圖 給 定 三 角 形 ABC, 邊 長 AB, BC 與 CA 習 慣 以 符 號 c, a 與 b 表 示, 而 角 度 ACB 以 符 號 C 表 示 在 下 圖 中, 以 B 遊 戲 為 圓 心, BC = a 為 半 徑 畫 一 個 圓, 並 將 三 角 形 ABC 的 三 邊 延 長 與 此 圓 相 交 : () 請 將 圖 中 所 有 的 線 段 以 符 號 a, b, c 及 C 表 示 () 利 用 () 的 結 果 證 明 三 角 形 ABC 的 餘 弦 定 理 c a b abcosc = + 在 沒 有 計 算 器 以 前, 對 數 表 是 用 來 估 計 比 較 大 的 數 字 的 一 種 有 效 的 計 算 武 器, 特 別 是 天 文 與 物 理 或 數 學 上 所 產 生 的 複 雜 數 字, 銀 行 的 複 利 也 需 要 藉 助 對 數 表 就 利 用 對 數 表 來 估 計 這 個 數 字 吧! 玩 鎖 玩 索 這 是 餘 弦 定 理 的 眾 多 無 字 證 明 模 型 之 一, 需 用 到 圓 內 冪 性 質 當 C 是 鈍 角 時, 可 以 用 下 圓 的 模 型 證 明 餘 弦 定 理, 不 妨 試 試 看 : 5

24 遊 戲 4 段 考 後, 為 了 統 計 班 上 及 格 與 不 及 格 的 人 數, 最 簡 單 的 方 法 就 是 在 黑 板 上 畫 如 下 圖 的 圓 圈 如 果 是 統 計 英 文 與 數 學 兩 科, 那 麼 只 需 畫 兩 個 圓, 並 標 上 英 數 兩 個 字, 圓 圈 內 代 表 及 格 的 人, 圈 外 代 表 不 及 格 的 人 兩 個 圓 圈 剛 好 將 黑 板 分 成 四 個 區 域, 它 們 分 別 代 表 英 數 都 不 及 格 ( 兩 個 圓 圈 的 外 部 ), 英 數 都 及 格 ( 兩 個 圓 圈 的 重 疊 部 分 ), 英 文 及 格 但 數 學 不 及 格, 數 學 及 格 但 英 文 不 及 格 等 四 種 情 形 : 玩 鎖 玩 索 像 這 樣, 利 用 圓 或 者 其 他 圖 形, 在 黑 板 或 紙 張 上 畫 分 區 域 的 解 題 方 式 是 文 氏 發 明 的, 這 類 圖 也 稱 為 文 氏 圖 美 國 數 學 家 菱 克 沙 恩 給 文 氏 圖 的 定 義, 稱 其 為 一 個 集 合 的 符 號 表 示 法, 用 平 面 的 某 個 部 分 來 表 示 所 考 慮 的 現 象, 用 某 條 封 閉 曲 線 內 部 的 點 來 表 示 一 個 集 合 我 們 的 問 題 是 : 四 個 圓 可 以 將 平 面 分 割 成 最 多 幾 個 區 域 呢? 如 果 答 案 小 於 6, 那 麼 就 沒 辦 法 利 用 四 個 圓 來 描 述 四 個 科 目 所 產 生 的 文 氏 圖 了 如 果 令 a 代 表 n 個 圓 將 平 面 分 割 的 最 多 區 域 數, 那 麼 容 n 易 知 道 a =, a = 4, a = 8 當 你 在 紙 張 上 畫 四 個 圓 時, 會 發 現 最 多 只 能 將 紙 張 分 割 成 4 個 區 域, 當 統 計 的 是 國 英 數 三 科 的 8 種 情 形 時, 也 可 以 畫 三 個 圓 圈 來 區 別, 上 圖 的 右 圖 就 是 三 個 圓 圈 將 黑 板 分 成 八 塊 區 域 的 方 式 當 統 計 的 是 國 英 數 物 理 四 個 科 目 時, 這 時 比 較 複 雜, 原 因 是 四 個 科 目 會 產 生 6 種 可 能 的 情 形 是 否 有 可 以 在 黑 板 上 畫 四 個 圓 圈 來 區 分 這 6 種 可 能 的 情 形 呢? 其 實 圓 只 是 比 較 美 觀 而 已, 我 們 也 可 以 選 擇 其 他 的 圖 形 來 畫 若 將 圓 改 為 橢 圓, 則 可 以 在 黑 板 上 畫 四 個 橢 圓, 讓 它 們 產 生 6 塊 不 同 的 區 域 嗎? 就 是 沒 辦 法 分 割 成 6 個 區 域 這 是 因 為 a 與 n an 滿 足 a = a + n n ( n ), n 的 遞 迴 關 係 式, 而 這 遞 迴 關 係 式 告 訴 我 們 a4 = a + (4 ) = = 4 但 是, 將 圓 改 成 橢 圓 時, 可 能 可 以 辦 到, 嘗 試 看 看 吧! 6

25 玩 數 學 ~ 破 解 秘 笈 遊 戲 () 將 右 圖 中 對 邊 的 兩 個 白 色 三 角 形 拼 在 一 起, 就 得 到 左 圖 的 兩 個 白 色 四 邊 形 因 此, 左 圖 中 的 白 色 區 域 面 積 等 於 右 圖 中 的 白 色 區 域 面 積 () ac + bd () 因 為 灰 色 區 域 是 個 平 行 四 邊 形, 所 以 面 積 為 a b c d θ + + = sin a + b c + d sin θ (4) 利 用 ()() 及 (), 得 ac + bd = a + b c + d a + b c + d 將 兩 邊 平 方, 得 遊 戲 sinθ ( ) ( )( ) ac + bd a + b c + d 繞 一 大 圈 所 走 的 距 離 就 相 當 於 四 段 經 緯 線 段 的 長 度 和 因 為 兩 段 經 線 的 弧 線 夾 角 都 是 π = 0 =, 又 經 線 所 在 的 大 圓 半 徑 都 是 600 公 里, 所 以 兩 段 經 線 的 弧 長 和 為 因 此, 東 經 0, 北 緯 4 到 東 經 0, 北 緯 4 的 弧 長 為 π 600cos4 (0-0) = 700π cos 4 ; 80 而 東 經 0, 南 緯 86 到 東 經 0, 南 緯 86 的 弧 長 為 π 600cos86 (0-0) = 700π cos 兩 條 緯 線 線 段 和 為 700π cos π cos86 = 700 π (cos86 + cos 4 ) = 700π cos cos = 700π cos60 cos6 = 700π 09 = 60 π 故 繞 一 大 圈 所 走 的 距 離 為 8400π + 60π = 900π 公 里 π rθ = 600 = 8400π ( 公 里 ) 現 在 只 需 計 算 兩 段 緯 線 的 弧 長 即 可, 但 是 緯 線 的 半 徑 都 不 一 樣, 所 以 先 求 取 ( 南 北 ) 緯 θ 的 半 徑, 再 求 相 應 的 弧 長 如 下 圖 所 示,( 南 北 ) 緯 θ 的 半 徑 為 600cosθ 7

26 遊 戲 () 將 第 二 塊 長 方 體 放 在 第 一 塊 長 方 體 上, 不 發 生 倒 塌 的 條 件 為 0 x, 即 第 二 塊 長 方 體 的 中 心 水 平 位 置 落 在 第 一 塊 長 方 體 上, 同 理 第 三 塊 長 方 體 放 在 第 二 塊 長 方 體 上, 第 三 塊 長 方 體 不 發 生 0 x 倒 塌 的 條 件 為 現 在 只 需 讓 第 二 塊 與 第 三 塊 長 方 體 綁 在 一 起 的 中 心 水 平 位 置 落 在 第 一 塊 長 方 體 上 即 可, 為 了 這 情 況, 令 坐 標 如 下 : 將 長 方 體 中 心 的 水 平 坐 標 畫 在 同 一 條 數 線 上, 並 令 最 下 層 木 板 中 心 水 平 坐 標 為 原 點 0, 中 間 的 長 方 體 中 心 水 平 坐 標 為 x, 最 上 層 木 板 中 心 水 平 坐 標 為 x+ x, 如 下 圖 所 示 : 遊 戲 4 設 三 根 為 a daa,, + dd ( 0), 利 用 根 與 係 數 的 關 係, 得 ( a d) + a+ ( a+ d) = 4 a = 8 再 用 根 與 係 數 的 關 係 與 d 0, 得 (8 d)(8 + d) + 8(8 d) + 8(8 + d) = 8 d = 故 該 三 次 方 程 式 的 三 根 為 5, 8, 從 圖 中 可 以 算 出, 第 二 塊 與 第 三 塊 長 方 體 綁 在 一 起 的 中 心 水 平 坐 標 為 x + ( x + x ) x + x = 因 為 這 中 心 水 平 位 置 必 須 落 在 第 一 塊 長 方 體 上, 所 以 x+ x x+ x 綜 合 得 知, 讓 三 塊 木 板 維 持 不 倒 塌, x 與 x 滿 足 的 不 等 式 組 為 0 x 0 x x+ x () 在 坐 標 平 面 上, 畫 出 上 述 不 等 式 組 區 域 如 下 : 8