34 系统工程学报第 31 卷 1 引言 金融市场在迅猛发展的同时, 其风险也在不断增大. 一些极端金融风险时有发生, 如 1997 年的亚洲金融风暴, 2007 年至 2009 年的全球金融危机等. 这些极端风险的发生, 给世界经济发展带来严重影响. 如何准确测度极端金融风险, 揭示其变动规律,

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1 第 31 卷第 1 期 2016 年 2 月 系统工程学报 JOURNAL OF SYSTEMS ENGINEERING Vol.31 No.1 Feb 极端 VaR 风险测度的新方法 :QRNN+POT 许启发 1,2, 陈士俊 1, 蒋翠侠 1,2, 刘曦 1 (1. 合肥工业大学管理学院, 安徽合肥 ; 2. 合肥工业大学过程优化与智能决策教育部重点实验室, 安徽合肥 ) 摘要 : 由于金融时间序列极端尾部数据的稀疏性, 一方面非线性分位数回归存在非线性函数形式选择困难 ; 另一方面非线性分位数回归的极端 VaR 风险测度精度一直不高. 为此, 提出了使用神经网络分位数回归 (QRNN) 模拟金融系统的非线性结构, 并使用极值理论的 POT 方法弥补非线性分位数回归对极端尾部数据信息处理能力的不足, 得到了一个新的金融风险测度方法 : QRNN+POT, 给出了其基本算法, 并将其应用于极端 VaR 风险测度. 选取了世界范围内代表性国家股票市场为研究对象, 从样本内与样本外两个方面实证比较了 QRNN+POT 方法与已有的非线性分位数回归模型在 VaR 风险测度中的表现, 结果表明 : 第一, 直接使用非线性分位数回归模型能够准确地得到正常 VaR 风险测度, 而极端 VaR 风险测度效果却差强人意 ; 第二, 使用 QRNN+POT 方法, 极大地改善了极端 VaR 风险测度效果, 能够有效地描述金融危机期间出现的极端风险. 关键词 : 极端 VaR; 非线性分位数回归 ; 神经网络分位数回归 ; POT 方法 ; QRNN+POT 方法中图分类号 : F224.0 文献标识码 : A 文章编号 : (2016) doi: /j.cnki.jse A new method for extreme value at risk measure: QRNN+POT Xu Qifa 1,2, Chen Shijun 1, Jiang Cuixia 1,2, Liu Xi 1 (1. School of Management, Hefei University of Technology, Hefei , China; 2. Key Laboratory of Process Optimization and Intelligent Decision-making, Ministry of Education, Hefei , China ) Abstract: It is difficult to choose an appropriate nonlinear functional form in nonlinear quantile regression and give an accurate measure of extreme VaR due to the data sparsity in the upper or lower tail of financial time series distribution. To this end, we proposed to describe the nonlinear structure in financial system through the quantile regression neural network (QRNN). Furthermore, we improved the ability to handle tail data information for nonlinear quantile regression using the POT method from extreme value theory, and advanced a new financial risk measure method: QRNN + POT. We studied in detail how to implement the new method and provided the procedure of the new method to estimate extreme VaR. For empirical illustration, we selected four worldwide stock markets to test the performance of the new method and classical nonlinear quantile regression models both in-sample and out-of-sample. The empirical results show that the classical nonlinear quantile regression models perform bad in extreme VaR measure while they have good performance in normal VaR measure. Our new method turns out to be superior to those classical models in terms of the accuracy of VaR measure and is able to describe the extreme risk effectively during the financial crisis. Key words: extreme value at risk; nonlinear quantile regression; quantile regression neural network; POT method; QRNN+POT method 收稿日期 : ; 修订日期 : 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( ; ); 教育部人文社科规划基金资助项目 (14YJA790015); 安徽省哲学社会科学规划基金资助项目 (AHSKY2014D103); 合肥工业大学产业转移研究中心资助项目 (SK2014A073).

2 34 系统工程学报第 31 卷 1 引言 金融市场在迅猛发展的同时, 其风险也在不断增大. 一些极端金融风险时有发生, 如 1997 年的亚洲金融风暴, 2007 年至 2009 年的全球金融危机等. 这些极端风险的发生, 给世界经济发展带来严重影响. 如何准确测度极端金融风险, 揭示其变动规律, 成为政府部门以及金融机构所关注的重点问题. 在金融风险管理领域, 应用最为成功的当属风险价值 (Value at Risk, VaR) 方法. VaR 风险测度方法最早由 Morgan 公司于 1994 年提出, 是指 : 在一定持有期内, 在一定的置信水平下, 金融资产可能遭受的最大损失, 与损失 ( 或负收益 ) 序列的分位数相对应. 迄今, 国内外大量文献从理论与应用两个层面对 VaR 开展研究工作, [1] Engle 等将其归纳为三类. 第一类为参数方法, 主要对金融资产收益行为进行参数设定, 然后使用波动模型开展波动率估计与预测, 进而给出 VaR 风险测度, 如 :Morgan [2] 开发的 RiskMetrics 系统主要使用 EWMA 法 [3] 和 GARCH 模型法进行 VaR 计算 ; 江涛基于 GARCH 模型计算了上海股票市场 VaR. 第二类为半参数方法, 主 [1] 要依据分位数回归或极值理论, 直接估计收益序列的分位数, 如 :Engle 等在分位数回归模型基础上, 提出 [4] 了条件自回归 VaR 模型 (conditional autoregressive value at risk, CAViaR); 王新宇等建立了 AAVS-CAViaR 模 [5] 型, 并应用到沪 深 港股票市场风险测度 ; 闫昌荣提出了流动性调整的 CAViaR 模型, 较好地刻画了中国股 [6] 市流动性风险动态变化特征 ; 陈磊等还成功地将 CAViaR 模型应用于石油价格风险预测. 在极值理论方面, [7] [8] Diebold 等提出使用极值理论计算 VaR 的思想 ; 王艺馨等利用极值理论的 POT(peak over threshold) 方法对上证综指日收益率的尾部数据直接进行建模, 并计算出风险价值 VaR. 第三类为非参数方法, 主要使用历史模拟法或者 Monte Carlo 模拟的方法, 计算 VaR. 已有文献也将这三类方法进行组合使用, 提高 VaR 风险测度 [9] 的精度, 如 :McNeil 等使用 GARCH 模型与极值理论的 POT 方法相结合, 给出 VaR 计算方法 ; Taylor [10] 将历史模拟法与分位数回归相结合, 提出指数加权移动平均分位数回归来计算 VaR. [11] 根据统计学观点, VaR 与损失 ( 或负收益 ) 分布的特定分位数相对应. Koenker 等提出的分位数回归 [1] 模型, 直接对响应变量的条件分位数进行建模, 从而在 VaR 风险测度中扮演了重要角色. Engle 等提出的 CAViaR 模型就是其中一种, 能够有效地解决时间序列中条件分位数预测问题, 在实践中收到了较好的实证效果. 不过, CAViaR 模型属于参数非线性分位数回归, 存在四种常用形式 : 自适应型 对称绝对值型 非对称斜率型 间接 GARCH 型, 如何选择相应模型设定类型, 并无统一标准. 为避免分位数回归模型形式误设问题, 可以使用非参数非线性的方法, 神经网络模型为此提供了方便的工具. Taylor [12] 提出了神经网络分位数回归模型 (quantile regression neural network, QRNN), 并用于多期 VaR 风险测度. 实践中, QRNN 模型具有强大的功能, 一方面通过神经网络结构可以模拟现实系统中的非线性特征 ; 另一方面通过分位数回归可以揭 [13] 示响应变量整个条件分布, 其应用领域也逐渐扩展, 如 : Cannon 等应用 QRNN 模型对降水量进行了预测, [14] 何耀耀等应用 QRNN 模型对电力负荷概率密度进行了预测. 尽管非线性分位数回归模型能够很好地预测 VaR 风险, 然而由于收益数据在极端尾部的稀疏性影响到非线性分位数回归效果, 非线性分位数回归的极端 VaR( 如 : 99% 99.9%) 风险测度效果往往并不如意, 见 Schaumburg [15] 的研究工作. 为此, 本文一方面使用 QRNN 模型模拟金融系统的非线性结构, 解决参数非线性分位数回归中非线性函数形式选择的困难 ; 另一方面, 使用极值理论的 POT 方法弥补非线性分位数回归对收益序列极端尾部行为描述能力的不足, 结合两种方法的优势提出 QRNN+POT 方法, 给出其包含三个步骤的基本算法. 该方法主要通过 QRNN 模型给出正常分位点处 ( 如 : 5%) 的分位数估计, 再通过 POT 方法能够很好地处理极端尾部效应的能力, 将正常分位点处的分位数估计转化为极端分位点处 ( 如 : 1%) 的分位数估计, 最终可以实现极端 VaR 风险的准确测度. 最后, 选取上证综合指数 日经 225 指数 纽约标普 500 指数和伦敦富时 100 指数作为研究的对象, 实证考察了基于 QRNN+POT 方法的极端 VaR 风险测度的样本内与样本外表现, 发现 QRNN+POT 方法显著改善了极端 VaR 风险测度效果, 能够有效地描述金融危机期间出现的极端风

3 第 1 期许启发等 : 极端 VaR 风险测度的新方法 :QRNN+POT 35 险特征. 2 QRNN 模型与 QRNN+POT 方法 记随机变量 Y 为某一投资组合的收益, 其分布函数为 F Y (y) = Pr(Y y). 根据 VaR 的定义可知, 在置 信水平为 100(1 τ)% 的 VaR 与 Y 的 τ- 分位数相反数对应, 即 VaR Y (1 τ) = Q Y (τ). 为此, 可以使用分 位数回归方法, 实现 VaR 的计算. 一般地, 非线性分位数回归可以得到更为准确的测度结果, 如 Engle 等 [1] 给 出的 CAViaR 模型. 不过, CAViaR 模型属于参数形式非线性分位数回归模型, 包含三种常用形式 : 对称绝 对值型 (symmetric absolute value) 非对称斜率型 (asymmetric slope) 和间接 GARCH 型 (indirect garch), 分别记 为 SAV-CAViaR AS-CAViaR IGARCH-CAViaR, 存在非线性函数形式选择上的困难. 本节使用非参数形式的非线性分位数回归 : QRNN 模型, 解决参数形式非线性分位数回归中的模型误设 问题. 在 QRNN 模型基础上, 结合 POT 方法来改进其对收益序列极端尾部行为描述能力, 提出 QRNN+POT 方 法, 并给出其基本算法. 2.1 QRNN 模型 在 CAViaR 模型中, 对条件分位数演进方式进行直接的参数设定, 其优点在于有一定的经济含义, 其不 足在于可能存在模型误设的问题. 为解决模型误设问题, 可以使用非参数方法, 如 Taylor [12] 使用神经网络结 构, 建立了神经网络分位数回归 (QRNN) 模型. 现实中, 考虑到收益序列 {y t } 的滞后效应, 采用自回归形式, 以 y t 1, y t 2,..., y t p 作为解释变量, 对响应变量 y t 做出解释. 这里, 使用三层感知器神经网络, 以解释变量 作为输入层, 以响应变量的分位数作为输出层, 隐层包含 J 个节点, 则 QRNN 模型可以表示如下 ) Q t (τ) = f (o) ( J j=1 w (o) j (τ)g j (τ) + b (o) (τ), (1) 其中 w (o) j 为输出层权重 ; b (o) 为输出层偏移 ; f (o) ( ) 为输出层转换函数 ; g j (τ) 为隐层节点, 满足 ) g j (τ) = f (h) ( p i=1 w (h) ij (τ)y t i + b (h) (τ) 其中 w (h) ij 为隐层权重 ; b (h) j (τ) 为隐层偏移 ; f (h) ( ) 为隐层转换函数. 由式 (1) 和式 (2) 可知, 从输入层到输出层就表现出复杂的非线性关系 j, (2) Q t (τ) = f(y t 1, y t 2,..., y t p ; θ(τ)), (3) 其中 θ(τ) [w (h) 11 (τ), w (h) 12 (τ),...,w (h) pj (τ), b (h) 1 (τ), b (h) 2 (τ),...,b (h) J (τ), w (o) 1 (τ), w (o) 2 (τ),...,w (o) J (τ), b (o) (τ)] T 为由连接权重和偏移组成的参数向量. QRNN 模型的参数 θ(τ) 估计, 旨在最小化目标函数 1 T [τ I(y t < Q t (τ))][y t Q t (τ)], (4) T 其中 T 为样本量. t=1 Cannon [13] 指出, 为避免 QRNN 模型陷入过度拟合的窘境, 可以在目标函数中增加一个惩罚项. 为此, QRNN 模型的参数估计, 转化为下列优化问题 1 T ˆθ(τ; λ, J) = arg min [τ I(y t < Q t (τ))][y t Q t (τ)] + λ 1 θ T pj w(h) (τ) 2, (5) 其中 w (h) (τ) t=1 ( w (h) 11 (τ), w (h) 12 (τ),..., w (h) pj (τ) ) T 为隐层权重向量, 2 为范数 ; λ 为惩罚参数.

4 36 系统工程学报第 31 卷 实证中, 惩罚参数 λ 和隐层节点数目 J 的最优取值可以通过 AIC 准则来实现. 定义 AIC 准则如下 ( ) 1 T p(j + 1) AIC(λ, J) = ln [τ I(y t < Q t (τ; θ(τ; λ, J)))][y t Q t (τ; θ(τ; λ, J))] +, (6) T T t=1 其中 p 为解释变量数目. 在获得 QRNN 模型参数 θ(τ; λ, J) 估计之后, 就可以得到条件分位数的估计, 从而实 现 VaR 风险测度. 2.2 QRNN+POT 方法 极值理论适合对金融时间序列数据的尾部进行建模和风险预测, 其中 POT 方法应用最为广泛. 杨超 等 [16] 认为 POT 方法能充分利用有限的极端观测值, 对超过给定阈值的所有观测值进行建模. 花拥军等 [17] 使 用 POT 方法对沪深股票市场极端风险进行了度量, 发现其能够有效地处理极端风险. 不妨假设具有分布函数 为 F (y) 的金融时间序列 {y t }, 给定阈值 u, 则超出量的分布函数为 F (x + u) F (u) F u (x) = Pr(y u x y > u) =, (7) 1 F (u) 其中 0 x < y F u, y F 是 F 右端点. Pickands [18] 指出, 对于一个充分大的阈值 u, F u (x) 可以由广义帕累托分布 (GPD) 近似表示 F u (x) G ξ,σ (x), u y F, (8) 广义帕累托分布为 G ξ,σ (x) = { 1 (1 + ξx/σ) 1/ξ, ξ 0 1 e x/σ, ξ = 0, (9) 其中 ξ 为形状参数, σ 为尺度参数. 当 ξ 0 时, 有 0 x < y F u; 当 ξ < 0 时, 有 0 x σ/ξ. 根据式 (8) 对式 (7) 进行转化, 可得 1 F (x + u) (1 F (u))(1 G ξ,σ (x)). (10) 记 N u 是超过阈值的观测值个数, n 是观测值的总个数. 对式 (10), 令 y = x + u, 将式 (9) 代入, 且用 N u /n 替 换 (1 F (u)), Allen 等 [19] 给出尾部概率计算 对式 (11) 求逆函数可以得到 τ 分位数 F (y) = 1 N u n Q(τ) = u + σ ξ [ 1 + ξ σ (y u) ] 1/ξ, (11) [ ( (1 τ) n N u ) ξ 1]. (12) 实际中, 往往需要估计极端 VaR 风险 ( 如 : 99% 99.9% 的 VaR), 这涉及极端分位数估计 ( 如 : 1% 0.1% 的分 位数 ). 然而, 由于在极端尾部可获得样本观测数据较少, 非线性分位数回归模型 ( 包括 QRNN 模型 ) 的效果有 时并不令人满意. 为此, 可以使用 POT 方法改进 QRNN 模型极端尾部数据处理能力, 得到 QRNN+POT 方法, 对极端分位数估计, 实现极端 VaR 风险测度. QRNN+POT 方法的核心思想在于 : 首先, 通过 QRNN 模型, 得到正常分位数点处 ( 如 : 5%) 准确的分位数 估计结果 ; 其次, 通过 POT 方法, 将正常分位数点处的分位数, 转化为极端分位点处 ( 如 : 1% 或 0.1%) 的分位数, 得到准确的极端分位数估计. QRNN+POT 方法的基本算法可以分解为三个步骤完成. 步骤 1 由 QRNN 模型, 计算正常分位数点 τ 2 处的分位数 Q t (τ 2 ). 步骤 2 计算标准化的分位数残差序列 z t ϵ t(τ 2 ) Q t (τ 2 ) = y t Q t (τ 2 ) = y t 1, (13) Q t (τ 2 ) Q t (τ 2 )

5 第 1 期许启发等 : 极端 VaR 风险测度的新方法 :QRNN+POT 37 步骤 3 由 POT 方法, 计算极端分位数点 τ 1 处的分位数 Q t (τ 1 ), 这里 τ 1 < τ 2. 根据分位数的定义, 有 ( yt Pr(y t < Q t (τ 1 )) = Pr(y t < Q t (τ 2 ) Q t (τ 2 ) + Q t (τ 1 )) = Pr Q t (τ 2 ) 1 > Q ) t(τ 1 ) Q t (τ 2 ) 1 = τ 1, (14) 其中由于 Q t (τ 2 ) < 0, 不等号的方向发生了改变. 根据式 (14), 有等价结果 ( Pr z t Q ) t(τ 1 ) Q t (τ 2 ) 1 = 1 τ 1, (15) 可得 Q zt (1 τ 1 ) = Q t(τ 1 ) Q t (τ 2 ) 1 Q t(τ 1 ) = Q t (τ 2 ) [Q zt (1 τ 1 ) + 1], (16) 其中 Q zt (1 τ 1 ) 为标准化分位数残差序列 {z t } 的 (1 τ 1 ) 分位数, 可以由 POT 方法中的式 (12) 进行求解. 上述式 (16) 的显著意义在于建立了极端分位数 Q t (τ 1 ) 与正常分位数 Q t (τ 2 ) 之间的对应关系, 其功能在于 将极端分位数的计算转化为正常分位数的计算. 这样, 极端分位数由两部分组成, 第一, 通过大量样本观测 数据训练 QRNN( 神经网络分位数回归 ) 模型, 准确计算出正常分位数 Q t (τ 2 ); 第二, 由 POT 方法计算出标准化 分位数残差序列的极端分位数 Q zt (1 τ 1 ), 成功地将短下尾估计转化为长上尾估计, 能够使用更多的样本信 息, 得到更为准确的极端风险估计, 解决了其中的样本量少的问题. 为此, 本文称其为 QRNN+ POT 方法. 本文提出的 QRNN+POT 方法, 结合了 QRNN( 神经网络分位数回归 ) 与极值理论的 POT 方法两个方面 的优势. QRNN 模型是一种非参数非线性分位数回归, 相对比参数非线性分位数回归 ( 如 : CAViaR 模型 ), QRNN 无需设定具体的非线性函数形式, 就能够通过神经网络结构充分逼近与拟合金融系统中的非线性特 征, 准确刻画金融风险变动规律. 极值理论的 POT 方法主要通过对样本中超过某一较大阈值的所有数据进行 建模, 能够有效地使用极端数据准确描述样本数据分布的极端尾部特征. 因此, QRNN+POT 方法一方面能 够充分模拟金融系统中的非线性特征, 另一方面能够有效描述金融收益或损失分布的极端尾部特征, 在实 践中显示出强大的功能, 实现极端 VaR 风险准确测度. 3 实证研究 3.1 数据选取与统计分析本文选取世界范围内代表性的国家或地区的股票市场作为研究对象, 考虑上证综合指数 (SSEC) 日经 225 指数 (Nikkei225) 纽约标普 500 指数 (S&P500) 和伦敦富时 100 指数 (FTSE100) 的日收盘价数据, 数据来源于雅虎财经网站 ( 日收益采用对数收益率 y t = 100 (ln p t ln p t 1 ), 其中 p t 是第 t 日的股票指数收盘价. 表 1 给出了各股票指数日对数收益率的描述性统计 J-B 检验和 LM 检验结果. 从表 1 可以看出, 上证综合指数的平均收益最高, 为 0.026; 其次为纽约标普 500 指数和伦敦富时 100 指数 ; 日经指数的平均收益最低, 为 不过, 上证综合指数的标准差也最大, 为 1.656; 其次为日经指数和纽约标普 500 指数 ; 伦敦富时 100 指数的标准差最小, 为 这一结果与金融市场的 高风险 高收益 经典规律基本吻合. 表 1 中的偏度与超额峰度的统计结果表明, 各股票指数均呈现左偏特征 ; 并且四个股票指数的峰度值都大于 3, 呈现尖峰厚尾特征. 这些特征表明, 收益序列都不符合正态分布假设, J-B 检验结果也证明了这一点. LM 检验的结果表明收益序列有很明显的 ARCH 效应, 呈现出异方差特征. 为此, 需要使用分位数回归揭示收益序列的动态规律, 一方面, 避免对分布特征的假定 ; 另一方面, 能够揭示收益序列的异质效应. 为比较各方法 VaR 风险测度的效果, 将整个样本区间 (3 000 天 ) 划分为样本内 (2 000 天 ) 与样本外 ( 样本外 1 有 700 天, 样本外 2 有 天 ) 两个部分, 样本内与样本外的样本量之比分别为 2.86 : 1 与 2 : 1. 使用样本内数据进行建模, 分别对样本内与样本外 VaR 风险进行预测, 评价各模型 VaR 风险测度效果. 表 2 给出了样本区间划分结果, 样本外 1 是正常的波动时期, 主要考虑其 95% 置信水平下的正常 VaR 风险测度 ; 样本外 2 的前期包含样本外 1, 且其后期包含金融危机爆发区间 (2008 年 9 月 14 日, 雷曼兄弟提出破产申请, 在同一天美林证券宣布被美国银行收购, 紧接着全球股市开始大崩盘, 2008 年 9 月 15 日和 9 月 17 日全球股市市值

6 38 系统工程学报第 31 卷 暴跌, 2008 年 9 月 30 日道琼斯指数跌幅达 6.98%, 创下有史以来的最大跌幅 ), 不仅需要考虑正常 VaR 风险测 度 (95% 置信水平 ), 还需要考虑极端 VaR 风险测度 (99% 99.9% 置信水平 ). Table 1 表 1 各股票指数日对数收益率的描述性统计 J-B 检验和 LM 检验 Descriptive statistics, J-B test and LM test of daily log returns of each stock index 统计量 SSEC Nikkei225 S&P500 FTSE100 最大值 最小值 均值 标准差 偏度 峰度 J-B 检验 (***) (***) (***) (***) LM 检验 (***) (***) (***) (***) 注 : (1)J-B 检验由 Jarque-Bera 提出, 用于检验随机变量是否服从正态分布 ; (2)LM 检验称为拉格朗日乘子检验, 用于检验序列中是否存在 ARCH 效应, 这里使用的滞后阶数为 12; (3) 括号中的 *** ** * 分别表示在 1% 5% 和 10% 水平下显著. Table 2 表 2 样本区间划分 Sample interval division 样本划分 SSEC Nikkei225 S&P500 FTSE100 整个样本 样本内 样本外 样本外 注 : (1) 各股票指数收益序列有 个样本观测数据, 样本内有 个数据, 样本外 1 有 700 个数据, 样本外 2 有 个数据 ; (2) 样本外 1 对应正常波动时期, 样本外 2 对应极端波动时期. 3.2 正常 VaR 风险测度 为计算在 95% 置信水平下正常 VaR, 可以使用 QRNN 模型估计 5% 分位数. 在 QRNN 模型建立过程中, 考虑到每周交易 5 天, 选取滞后 5 天收益率作为解释变量, 即以 y t 1 y t 2 y t 3 y t 4 y t 5 作为输入 ; 隐 层转换函数选取 Sigmoid 函数 ; 输出层转换函数选取线性函数. 依据 AIC 指标, 由网格搜索实现各股 票指数对应 QRNN 模型的隐含层节点个数 J 和惩罚参数 λ 的选取, 结果见表 3. 为比较, 本文也考虑使 用 CAViaR 模型来估计正常 VaR. 在 CAViaR 模型建立过程中, 涉及到非线性函数形式选择问题. 事实上, 还有 一种 CAViaR 模型 ( 自适应型 A-CAViaR), 由于没有取得较好的实证效果, 本文省略了其结果, 只报告前文提及 的三种 CAViaR 模型. 表 3 QRNN 模型参数选择结果 (τ = 5%) Table 3 Parameter selection results of QRNN model(τ = 5%) 股票指数隐含层节点数 : J 惩罚参数 : λ AIC SSEC Nikk S&P FTSE 为比较 VaR 风险测度效果, 采用 Kupiec [20] 似然比检验法和 Christofferson [21] 有条件覆盖检验法对 VaR 进行返回测试. 表 4 给出了基于 QRNN 模型和 CAViaR 模型的 95%VaR 风险测度的返回测试结果, 主要包括 : 失败率 ( 记为 F ) 似然比检验的 P 值 ( 记为 P 1) 和有条件覆盖检验的 P 值 ( 记为 P 2). 最后四列为本文汇总结果, 似然比检验失败次数 ( 记为 NS1) 和有条件覆盖检验失败次数 ( 记为 NS2) 分别为在四个股票指数 95%VaR 返回测试中, 似然比检验和有条件覆盖检验拒绝原假设次数合计, 取值越小表明模型越有效 ; 似然比检验 P 值平均 ( 记为 P 1 平均 ) 和有条件覆盖检验 P 值平均 ( 记为 P 2 平均 ) 分别为各方法在四个股票指数 Kupiec 似然比检验 P 值的平均值和 Christofferson 有条件覆盖检验 P 值的平均值, 取值越大表明模型越有效.

7 第 1 期许启发等 : 极端 VaR 风险测度的新方法 :QRNN+POT 39 从显示 95% 置信水平下正常 VaR 返回测试结果的表 4 可以看出 : 就样本内表现而言, 所有模型都取得了较好的效果, 失败率与理论水平相同或接近, 似然比检验 P 值也都接近于 1, AS-CAViaR 模型和 QRNN 模型在有条件覆盖检验下的 P 值也接近于 1, 失败次数都为 0, 表明模型是有效的. 就样本外的表现而言, 第一, 各模型样本外表现不如样本内, 表现为失败率与理论水平的偏差增加和 P 值下降, 同时各模型在样本外都有 1 次的失败记录 ; 第二, 除对上证综指样本外 VaR 风险测度失败以外, QRNN 模型在其余三个股票指数样本外 VaR 风险测度上依然有良好表现, 其似然比检验的 P 值平均和有条件覆盖检验的 P 值平均要高于 CAViaR 模型, 表明 QRNN 模型优于 CAViaR 模型. 表 4 基于 QRNN 模型和 CAViaR 模型 95%VaR 返回测试结果 (τ = 5%) Table 4 Backtest results of 95% VaR based on QRNN model and CAViaR model (τ = 5%) 模型 SSEC Nikkei225 S&P500 FTSE100 失败次数 P 值平均 F P 1 P 2 F P 1 P 2 F P 1 P 2 F P 1 P 2 NS1 NS2 P 1 平均 P 2 平均 样本内 (2 000 天 ) SAV-CAViaR AS-CAViaR IGARCH-CAViaR QRNN 样本外 1(700 天 ) SAV-CAViaR AS-CAViaR IGARCH-CAViaR QRNN 注 : (1) 失败率记为 F ; (2) 失败次数为在 VaR 风险测度中, 在 5% 显著性水平下, 拒绝似然比检验和有条件覆盖检验原假设次数合计, 分别记为 NS1 和 NS2; (3)P 值平均为各方法在 Kupiec 似然比检验的 P 值的平均值和在 Christofferson 有条件覆盖检验的 P 值的平均值, 分别记为 P 1 平均和 P 2 平均. 3.3 极端 VaR 风险测度 基于 QRNN 模型的测度 这里考虑 99% 置信水平下的极端 VaR 风险测度效果, 使用 QRNN 模型估计 1% 分位数. 仍然使用样本内数 据, 在 1% 分位点处, 重新估计 QRNN 模型, 模型的变量设置与参数选择方法同前, 参数选择结果见表 5. 再分 别进行样本内预测与样本外 2 的预测, 结果见表 6. 为比较, 本文也使用 CAViaR 模型进行极端 VaR 风险测度, 给出了 99%VaR 风险测度结果见表 6. 表 5 QRNN 模型参数选择结果 (τ = 1%) Table 5 Parameter selection results of QRNN model(τ = 1%) 股票指数隐含层节点数 : J 惩罚参数 : λ AIC SSEC Nikk S&P FTSE 表 6 给出了 QRNN 模型和 CAViaR 模型预测的 99%VaR 返回测试结果, Kupiec 似然比检验和 Christofferson 有条件覆盖检验得到较为一致的结论 : 第一, 就样本内表现而言, 各模型依然取得了较好的效果, 失败率非常接近 1% 的理论水平, 失败次数都为 0; 第二, 各模型的样本外表现急剧下降, 各模型所得失败率都大于理论失败率, 低估了风险, 失败次数集中在 2 次 ~3 次, 表明模型几乎失效. 这意味着, 在极端事件多发时期, 由于收益序列极端尾部数据的稀疏性, 仅仅使用非线性分位数回归模型, 很难给出准确的极端 VaR 风险测度结果 基于 QRNN+POT 方法的测度表 6 的结果表明, 在金融危机期间, 单独使用 QRNN 模型不能给出准确的极端 VaR 风险测度结果. 本节使用前文提出的 QRNN+POT 方法, 开展极端 VaR 风险测度. 首先, 使用 QRNN 模型求出收益率序

8 40 系统工程学报第 31 卷 列的 5% 分位数 Q t (0.05)( 过程详见正常 VaR 风险测度 ), 根据式 (13) 求出标准分位数残差序列 {z t }; 其次, 由 POT 方法式 (12) 求出 {z t } 的 99% 分位数 Q zt (0.99) 和 99.9% 分位数 Q zt (0.999); 最后, 根据式 (16) 求出收益率序列的 1% 分位数和 0.1% 分位数, 得到 99%VaR 和 99.9%VaR, 即 VaR t (0.99) = Q t (0.01),VaR t (0.999) = Q t (0.001). VaR 与分位数之间关系的讨论, 参见叶五一 [22] 等的研究. 类似于本文提出的 QRNN+POT 方法, 也可以将 CAViaR 模型与 POT 方法结合得到 CAViaR+POT 方法. 为比较, 也使用了 CAViaR+POT 方法来估计 极端 VaR 风险. 模型 表 6 基于 QRNN 模型和 CAViaR 模型的 99%VaR 返回测试结果 (τ = 1%) Table 6 Backtest results of 99%VaR based on QRNN model and CAViaR model (τ = 1%) SSEC Nikkei225 S&P500 FTSE100 失败次数 P 值平均 F P 1 P 2 F P 1 P 2 F P 1 P 2 F P 1 P 2 NS1 NS2 P 1 平均 P 2 平均 样本内 (2 000 天 ) SAV-CAViaR AS-CAViaR IGARCH-CAViaR QRNN 样本外 2(1 000 天 ) SAV-CAViaR AS-CAViaR IGARCH-CAViaR QRNN 注 : (1) 失败率记为 F ; (2) 失败次数为在 VaR 风险测度中, 在 5% 显著性水平下, 拒绝似然比检验和有条件覆盖检验原假设次数合计, 分别记为 NS1 和 NS2; (3)P 值平均为各方法在 Kupiec 似然比检验的 P 值的平均值和在 Christofferson 有条件覆盖检验的 P 值的平均值, 分别记为 P 1 平均和 P 2 平均. 在正式报告极端 VaR 风险测度效果之前, 通过常用的交叉验证 (cross validation) 来检验 QRNN+POT 方法 与 CAViaR+POT 方法的预测精度. 鉴于本文使用的样本数据为时间序列数据, 具有先后顺序关系, 其交叉验 证操作过程与截面数据存在较大区别. 本文的交叉验证过程分三个步骤完成. 第一步, 将指数收益序列 y 1, y 2,..., y T 依时间先后次序进行分组. 考虑到进行 10 重交叉验证, 本文划 分 12 组, 每组样本量为 n = [T/12] + 1, 得到 y (g) (y (g 1)n+1, y (g 1)n+2,..., y gn ), g = 1, 2,..., 12, (17) 其中 T 为时间序列长度或样本量 ; [ ] 为取整运算 ; +1 是为了不浪费样本观测数据 ; 当 T 不能被 12 整除时, 最后 一组数据的样本量可能不足 n, 但最多不会比其他组少 12 个. 第二步, 将 (y (j), y (j+1) ) 作为样本内观测 y (j+2) 作为样本外观测, 分别使用 QRNN+POT 方法与 CAViaR +POT 方法进行建模, 实现样本内与样本外极端 VaR 风险测度, 并计算其平均绝对误差与均方根误差分别记 为 MAE j RMSE j, 吴武清等 [23] 指出 MAE 与 RMSE 往往可以得到一致的评价结果. 第三步, 对 j = 1, 2,..., 10, 重复第二步 10 次, 得到 10 重交叉验证结果, 并计算平均绝对误差与均方根误差的平均值分别为 MAE = 1 10 MAE (j) RMSE = 1 10 RMSE (j). 则对应 MAE 与 RMSE 越小的方 j=1 法, 其样本内与样本外具有更高预测精度. 本文中, 四支股指收益的样本量都为 T = 3 000, 划分 12 组后, 每组拥有样本量 250 个. 使用前两组样本数 据 500 个进行建模, 对下一组数据 250 个进行预测, 依次滚动进行, 完成 10 重交叉验证过程. 表 7 报告了交叉验 证结果, 结果表明 : 无论在 99% 还是在 99.9% 置信水平, 与其他方法相比, 本文提出的 QRNN+POT 方法具有 最小的 MAE 与 RMSE, 具有更高的预测精度. 现在, 报告分位数预测与极端 VaR 风险测度结果. 限于篇幅, 本文只报告基于 QRNN+POT 方法预测的样 本外 天 1% 分位数和 0.1% 分位数结果 ( 与实践中最常用的两个置信水平为 99.0% 与 99.9% 的极端 VaR 风 险对应 ), 如图 1 和图 2 所示 ; 省略了基于 CAViaR+POT 方法所得的结果以及其他置信水平下极端 VaR 风险 j=1

9 第 1 期许启发等 : 极端 VaR 风险测度的新方法 :QRNN+POT 41 测度结果, 感兴趣的读者可以来函索取相应结果. 图 1 和图 2 中实线表示各股票指数的收益率, 虚线表示由 QRNN+POT 方法预测的 1% 分位数和 0.1% 分位数. 由图 1 和图 2 可以看出 : 第一, 各股票指数的收益序列存在明显的波动聚集效应, QRNN+POT 模型预测的 1% 分位数和 0.1% 分位数与收益序列具有相似的趋势, 能够真实地刻画极端 VaR 风险变动规律. 第二, 在样本外 2 的 701 天至 天 ( 时间区间为 2008 年 7 月至 2009 年 8 月 ), 收益序列的波动性加剧, 这也与现实的金融危机情况相符, 而本文提出的 QRNN+POT 方法准确地预测了这一金融危机期间出现的极端风险, 表现为 1% 分位数和 0.1% 分位数的绝对值明显增大. 表 7 各方法的 10 重交叉验证 Table 7 Ten folds cross validation for methods 方法 SSEC Nikkei225 S&P500 FTSE100 MAE RMSE MAE RMSE MAE RMSE MAE RMSE 99%VaR SAV CAViaR+POT AS CAViaR+POT IGARCH CAViaR+POT QRNN +POT %VaR SAV CAViaR+POT AS CAViaR+POT IGARCH CAViaR+POT QRNN+POT 继续使用 Kupiec 似然比检验和 Christofferson 有条件覆盖检验, 对基于 QRNN+POT 方法和 CAViaR+POT 方法所得的两个极端 (99% 与 99.9%)VaR 风险测度进行返回测试, 结果分别见表 8 和表 9. 无论在表 8 的还是在表 9 中, 两个检验结果都一致表明 : 第一, 与仅仅使用非线性分位数回归模型相比, 使用 QRNN+POT 方法和 CAViaR+POT 方法无论在样本内还是在样本外都取得了较好的实证效果, 失败率非常接近 1% 和 0.1% 的理论水平, 失败次数都为 0, 表明各方法都是有效的. 第二, 就 P 值平均而言, QRNN+POT 方法在样本内与样本外的 P 值平均几乎都大于相应的 CAViaR+POT 方法所得结果, 表明 QRNN+POT 方法的极端 VaR 风险测度的精度要高于 CAViaR+POT 方法. 这些实证结果表明 : 在极端事件多发时期, 使用 QRNN+POT 方法能够显著改善极端 VaR 风险测度效果. 第三, 似然比检验结果表明 : 整体而言, QRNN+POT 方法样本外预测精度略低于样本内 ; 而有条件覆盖检验尚不足以判断其样本内与样本外表现的优劣, 主要由于在极端 VaR 返回测试中理论失败次数与连续失败次数都较小, 偶发因素可能影响到该检验结果. Table 8 表 8 基于 QRNN+POT 方法和 CAViaR+POT 方法的 99%VaR 返回测试结果 Backtest results of 99%VaR based on QRNN+POT method and CAViaR+POT method 方法 SSEC Nikkei225 S&P500 FTSE100 失败次数 P 值平均 F P 1 P 2 F P 1 P 2 F P 1 P 2 F P 1 P 2 NS1 NS2 P 1 平均 P 2 平均 样本内 (2 000 天 ) SAV CAViaR+POT AS CAViaR+POT IGARCH CAViaR+POT QRNN+POT 样本外 2(1 000 天 ) SAV CAViaR+POT AS CAViaR+POT IGARCH CAViaR+POT QRNN+POT 注 : 同表 6 的注.

10 42 系统工程学报第 31 卷 图 1 QRNN+POT 方法预测样本外 天的 1% 分位数与实际收益率比较 Fig. 1 Comparison of real return and 1% quantile of days out of sample predicted by QRNN+POT method Table 9 表 9 基于 QRNN+POT 方法和 CAViaR+POT 方法的 99.9%VaR 返回测试结果 Backtest results of 99.9%VaR based on QRNN+POT method and CAViaR+POT method 方法 SSEC Nikkei225 S&P500 FTSE100 失败次数 P 值平均 F P 1 P 2 F P 1 P 2 F P 1 P 2 F P 1 P 2 F 1 F 2 P 1 平均 P 2 平均 样本内 (2 000 天 ) SAV CAViaR+POT AS CAViaR+POT IGARCH CAViaR+POT QRNN+POT 样本外 2(1 000 天 ) SAV CAViaR+POT AS CAViaR+POT IGARCH CAViaR+POT QRNN+POT 注 : 同表 6 的注. 4 结束语 本文将 QRNN 模型与极值理论的 POT 方法相结合, 给出了一个新的极端 VaR 风险测度方法 : QRNN+POT. 选取上证综合指数 日经 225 指数 纽约标普 500 指数和伦敦富时 100 指数为研究对象, 实证比较了 QRNN 模 型 CAViaR 模型 QRNN+POT 方法和 CAViaR+POT 方法在 VaR 风险测度中样本内与样本外的表现. 结果表

11 第 1 期许启发等 : 极端 VaR 风险测度的新方法 :QRNN+POT 43 明 : 第一, 对于正常 VaR 风险测度, 非线性分位数回归 : QRNN 模型与 CAViaR 模型都能得到较为准确的 VaR 风险测度结果, 不过前者在样本内与样本外的表现都优于后者 ; 第二, 对于极端 VaR 风险测度, 两个非线性分位数回归模型的表现明显下降, 特别是在样本外各模型几乎都失效 ; 第三, 使用本文提出的 QRNN+POT 方法, 显著改善了极端 VaR 风险测度效果, 无论样本内还是样本外, 各模型无一失效, 并且 QRNN+POT 方法优于 CAViaR+POT 方法. 图 2 QRNN+POT 方法预测样本外 天的 0.1% 分位数与实际收益率比较 Fig. 2 Comparison of real return and 0.1% quantile of days out of sample predicted by QRNN+POT method 本文提出的 QRNN+POT 方法, 结合了 QRNN 模型与极值理论两个方面的优势. 未来, 有两个方向值得进一步研究 : 第一, 在建模方法上, 可以考虑使用其他极值理论 (EVT) 的方法改进 QRNN 模型对极端尾部数据处理能力, 给出 QRNN+EVT 方法 ; 第二, 在应用领域上, 可以将 QRNN+POT(QRNN+EVT) 方法应用于其他领域, 如 : 极端气候环境变化研究等. 参考文献 : [1] Engle R F, Manganelli S. CAViaR: Conditional autoregressive value at risk by regression quantiles. Journal of Business and Economic Statistics, 2004, 22(4): [2] Morgan J. Riskmetrics: Technical Document. New York: Morgan Guaranty Trust Company, [3] 江涛. 基于 GARCH 与半参数法 VaR 模型的证券市场风险的度量和分析 : 来自中国上海股票市场的经验证据. 金融研究, 2010, 35(6): Jiang T. Measurement and analysis of stock market risk based on GARCH and semi-parametric VaR model with evidence from Shanghai stock market of China. Journal of Financial Research, 2010, 35(6): (in Chinese) [4] 王新宇, 宋学锋, 吴瑞明. 基于 AAVS-CAViaR 模型的股市风险测量研究. 系统工程学报, 2010, 25(3): Wang X Y, Song X F, Wu R M. Measuring stock market risk based on AAVS-CAViaR Model. Journal of Systems Engineering, 2010, 25(3): (in Chinese)

12 44 系统工程学报第 31 卷 [5] 闫昌荣. 基于流动性调整 CAViaR 模型的风险度量方法. 数量经济技术经济研究, 2012, 29(3): Yan C R. A new method of risk measurement based on liquidity adjusted CAViaR models. Journal of Quantitative & Technical Economics, 2012, 29(3): (in Chinese) [6] 陈磊, 杜化宇, 曾勇. 基于贝叶斯 CAViaR 模型的油价风险研究. 系统工程理论与实践, 2013, 33(11): Chen L, Tu H Y, Zeng Y. Analysis of oil price value at risk using Bayesian CAViaR model. Systems Engineering: Theory & Practice, 2013, 33(11): (in Chinese) [7] Diebold F X, Schuermann T, Stroughair J D. Pitfalls and opportunities in the use of extreme value theory in risk management. Journal of Risk Finance, 2000, 1(2): [8] 王艺馨, 周勇. 极端情况下对我国股市风险的实证研究. 中国管理科学, 2012, 20(3): Wang Y X, Zhou Y. The empirical study of China s stock market risk in extreme situations. Chinese Journal of Management Science, 2012, 20(3): (in Chinese) [9] McNeil A J, Frey R. Estimation of tail-related risk measures for heteroscedastic financial time series: An extreme value approach. Journal of Empirical Finance, 2000, 7(3): [10] Taylor J W. Using exponentially weighted quantile regression to estimate value at risk and expected shortfall. Journal of Financial Econometrics, 2008, 6(3): [11] Koenker R, Bassett G W. Regression quantiles. Econometrica, 1978, 46(1): [12] Taylor J W. A quantile regression neural network approach to estimating the conditional density of multiperiod returns. Journal of Forecasting, 2000, 19(4): [13] Cannon A J. Quantile regression neural networks: Implementation in R and application to precipitation downscaling. Computers & Geosciences, 2011, 37(9): [14] 何耀耀, 许启发, 杨善林, 等. 基于 RBF 神经网络分位数回归的电力负荷概率密度预测方法. 中国电机工程学报, 2013, 33(1): He Y Y, Xu Q F, Yang S L, et al. A power load probability density forecasting method based on RBF neural network quantile regression. Proceedings of the CSEE, 2013, 33(1): (in Chinese) [15] Schaumburg J. Predicting extreme value at risk: Nonparametric quantile regression with refinements from extreme value theory. Computational Statistics & Data Analysis, 2012, 56(12): [16] 杨超, 李国良, 门明. 国际碳交易市场的风险度量及对我国的启示 : 基于状态转移与极值理论的 VaR 比较研究. 数量经济技术经济研究, 2011, 28(4): Yang C, Li G L, Men M. Risk measurement of the international Carbon trading market and enlightenment to China. Journal of Quantitative & Technical Economics, 2011, 28(4): (in Chinese) [17] 花拥军, 张宗益. 基于峰度法的 POT 模型对沪深股市极端风险的度量. 系统工程理论与实践, 2010, 30(5): Hua Y J, Zhang Z Y. POT model based on kurtosis and its empirical study on extreme risk of Chinese stock markets. Systems Engineering: Theory & Practice, 2010, 30(5): (in Chinese) [18] Pickands III J. Statistical inference using extreme order statistics. Annals of Statistics, 1975, 3(1): [19] Allen D E, Singh A K, Powell R J. EVT and tail-risk modelling: Evidence from market indices and volatility series. North American Journal of Economics and Finance, 2013, 26(12): [20] Kupiec P. Techniques for verifying the accuracy of risk measurement models. Journal of Derivatives, 1995, 3(2): [21] Christoffersen P F. Evaluating interval forecasts. International Economic Review, 1998, 39(4): [22] 叶五一, 缪柏其. 基于动态分位点回归模型的金融传染分析. 系统工程学报, 2012, 27(2): Ye W Y, Miao B Q. Analysis of financial contation based on dynamic quantile regression model. Journal of Systems Engineering, 2012, 27(2): (in Chinese) [23] 吴武清, 蒋勇, 缪柏其, 等. 波动率度量模型的评价方法 : 拟合优度和平滑性. 系统工程学报, 2013, 28(2): Wu W Q, Jiang Y, Miao B Q, et al. Evaluating method of volatility models: Goodness-of-fit and smoothness. Journal of Systems Engineering, 2013, 28(2): (in Chinese) 作者简介 : 许启发 (1975 ), 男, 安徽和县人, 博士, 教授, 博士生导师, 研究方向 : 金融计量, 数量经济, xuqifa1975@163.com; 陈士俊 (1990 ), 男, 安徽滁州人, 硕士生, 研究方向 : 金融计量, 505csjcsj@163.com; 蒋翠侠 (1973 ), 女, 安徽砀山人, 博士, 副教授, 硕士生导师, 研究方向 : 金融计量, 时间序列分析, jiangcx1973@163.com; 刘 曦 (1992 ), 女, 安徽合肥人, 博士生, 研究方向 : 金融计量, lisal1992@163.com.