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- 镕 娄
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1 Frechet Pearson GPD han.gf@shfe.com.cn
2 Abstract We examine the tail characteristics of and tail dependence between return series of copper futures traded at the Shanghai Futures Exchange (SHFE) and the London Metal Exchange (LME). We find that both return series have fat tails comparing to normal distribution, and the tail fatness of LME s is more significant. While the right tails of the two series have strong finite dependence, they are asymptotically independent. However, the left tails are not only finitely dependent, but also asymptotically dependent in general. Therefore dependence of the two series is more significant during market downturn than market upswings. Further more, the degree of finite dependence of either side of tails is significantly higher than traditional Pearson correlations of the two series, implying the importance of tail dependence in risk analysis upon the portfolio investment. Key words: extreme value theory, futures market, GPD, tail dependence.
3 1 JP Morgan RiskMetrics Preto GPD Frechet Frechet Pearson Pearson Pearson Gencay & Selcuk Longin & Solnik2000Fernandez2003 Poon et. al. 2003
4 SHFE LME 2, Fisher-Tippett GPD R1= lim R1(s) = s lim P(T1>s T2>s) (1) s R1 T1 T2 T2 s T1 s s T1 T2 R1=1 T1 T2 R1 = 0 T1 T2 U V u 1 s u 1 P(U>u V>u) = P(U>u,V>u)/P(V>u) 2- lnc(u,u)/lnu Copula C(u,u) U V R1(u) = 2- lnc(u,u)/lnu, R1 lim R1(u) 1 u 1 Coles et.al. (1999)
5 R2 = lim s 2ln P( T1 > s) -1 (2) ln P( T1 > s, T 2 > s) T1 T2 U V P(U>u)= 1-u, u 1 s, R2(u) = 2ln(1-u)/lnC (u,u)-1 C (u,u) U V Survivor R2 lim R2(u) 2 u 1 R2>0 T1 T2 R2 = 0 T1 T2 R2<0 T1 T2 T1 T2 R2 Pearson R1R2 R1>0, R2=1 R1= 0-1<R2<1 R2 1 R1 Frechet R1 R2 Survivor Ledford and Tawn (1996), P(T1>s,T2>s) L(s)s -1/η, L(s) Y= min(t1,t2), P(Y>s) = P(T1>s,T2>s) L(s)s -1/η T1 T2 Y s L(s)η Y Hill (1975), η = (lny i i ln s) n s, L(s) = n s /ns 1/η n n s Coles et. al2002 R2 = 2η-1. (3)
6 R2 1 R1= sn s. (4) n s 3 s QQ-Plot, Mean Excess Function (MEF) Hill-PlotQQ-plot QQ QQ QQ s 2 Mean Excess FunctionMEFMEF s MEF GPD s MEF 3 Hill-Plot s s Hill MSE 3 SHFE SHFE SHFE LME 03/31/ /14/2003
7 1 2 LME SHFELME SHFE SHFE LME LME (E-6) LME SHFE LME SHFE skewnessshfe
8 LME kurtosis 3 LME SHFE 1 2 R1R2 3 4 SHFE LME SHFE LME 0 1 sr1r2 R1(s)R2(s) s 1 R1(s) R2(s) 95% 3 R1(s) s 1 4 R2(s) s , 0.3, , 0.8 R1(s)
9 Frechet Frechet MinS L S L SHFE LME QQ-Plot, MEFHill-Plot MSE 3% 5% 3% 5%1% 3% 5% LME SHFE SHFE LME 1998 LME SHFE LME Pearson SHFE SHFE LME %
10 5% SHFE SHFE LME SHFE LME SHFE R1 R2 3% 5% T H 0 R2 = 1 3% 5% H 0 2: LME SHFE % 5% 3% 5% u R (0.187) (0.148) (0.160) (0.128) R (0.032) (0.026) (0.1) (0.028) % 3%
11 3: LME SHFE % 5% 3% 5% u R (0.27) (0.182) (0.181) (0.162) R (0.033) (0.03) 4: LME SHFE % 5% 3% 5% u R (0.281) (0.247) (0.277) (0.208) R (0.066) (0.047) (0.058) (0.052) 3% 5%
12 % 3% 5% % 5% Pearson 5: Pearson Correlations LME SHFE SHFE LME SHFE LME Pearson LME SHFE Pearson SHFE LME 2 4 3% 5% Pearson Pearson LME SHFE Pearson VAR 4 LME SHFE 3 LME SHFE LME SHFE LME
13 Pearson
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