試題空間中四點 A(,,), B(,0,), C(,0, ), D(, k, ), () 過 A, B, C 三點的平面方程式為. () 若 A, B, C, D 四點共平面,則 k. 編碼 40747 難易 中 出處 康熹自命題 解答 ()4x 5y z 5 0;() () 設平面 ABC 的方程式為 ax by cz d 0, 過 A(,,), a b c d 0,過 B(,0,), a c d 0,過 C(,0, ), a c d 0,解,, 得 a 4 5 d, b d, c 5 d, 平面 ABC 的方程式為 4x 5y z 5 0. ()A, B, C, D 共平面 D(, k, ) 在平面 ABC 上, 5k 5 0 k.通過點 (,0,) 且與 x 軸垂直的平面方程式為. 編碼 40748 難易 易 出處 康熹自命題 解答 x 垂直 x 軸的平面之法向量 n (,0,0), 平面方程式為 (x ) 0(y 0) 0(z ) 0 x 0 x =. 若平面 E:x y z 0 與平面 F:x y 7 0 之夾角為 θ,則 sinθ. 編碼 40749 難易 易 出處 康熹自命題 解答 平面 E:x y z 0 之法向量 n (,,), 平面 F:x y 7 0 之法向量 n (,,0), E 與 F 之夾角 θ 就是 n 與 n 之夾角
n. n 0 cosθ n. n 4 4. 0, sinθ. 設過點 A(,0,0), B(0,0, ) 的平面 E 與平面 F:x z 的銳夾角為 45,則 E 的方程式為. 編碼 40750 難易 易 出處 康熹自命題 解答 x y 4z 平面 E 過點 A(,0,0), B(0,0, ), E 的 x 截距為, z 截距為 x y z 設 E:, E 的法向量為 n ( b, b, ), 而 F:x z 的法向量為 n (,0,),, n. n cos45 n. n 5 7. 4 b b b, x E: y z E: x y 4z. 過點 A(,,), B(,0,) 的平面 E,若與平面 F:x y z 5 垂直,則 E 的方程式為. 編碼 4075 難易 易 出處 康熹自命題 解答 x 7y 5z 4 0 設平面 E, F 的法向量各為 n, n, E F n n, 又 A, B E n AB, n 為 n, AB 的公垂向量, 由 n (,,), AB (,,) n (, 7, 5), E: x 7y 5z 4 0. 平面 E 過點 A(,0, ) 且與平面 E :x y z 5 0, E :x y z 8 都垂直,則 E 的方程式為.
編碼 4075 難易 易 出處 康熹自命題 解答 x y z 4 設平面 E, E, E 的法向量各為 n, n, n, E E n n ;E E n n, n 為 n, n 的公垂向量, 由 n (,,), n (,, ) n (,, ), 又 A(,0, ) E, E:x y z 4. 平面 E :x y z 0, E :x y z 5 0 相交於直線 L,任取 L 上兩相異點 P, Q,若點 A(,,0), 則平面 APQ 的方程式為. 編碼 4075 難易 中 出處 康熹自命題 解答 x 0y z 7 0 點 P, Q 在平面 APQ 上 L 在平面 APQ 上, 而 L 為平面 E :x y z 0, E :x y z 5 0 的交線,而 A E, E, 可設平面 APQ 的方程式為.(x y z 5) t(x y z ) 0, 過點 A(,,0), t 4, 平面 APQ:(x y z 5) 4(x y z ) 0 平面 APQ: x 0y z 7 0. 平面 E:x y z 0 對於平面 F:x y z 的對稱平面方程式為. 編碼 40754 難易 易 出處 康熹自命題 解答 8x y 4z 7 0 所求平面 π 包含 E, F 兩平面之交線, 設 π:.(x y z ) t (x y z ) 0, t 0 為所求,取 A(,0,0) F,利用 A 到平面 E 與 π 等距離, 4 0 0 0 t ( t ) ( t ) ( t ) t t 9 9, t 0( 不合 ) 或 t, π:8x y 4z 7 0.,
點 P(,,4) 到平面 E:x y z 6 0 之距離為. 編碼 40755 難易 易 出處 嘉義高中段考題 解答 6... 4 6 8 d(p, E) 6. ( ) 設 ABC 三頂點坐標分別為 A(,,), B(,,), C(,,4),則 () BC 邊上中線長為. () ABC 面積為. () 包含 A, B, C 三點之平面方程式為. 編碼 40756 難易 中 出處 嘉義高中段考題 解答 () ;() ;() x y z 0 () BC 中點 M(,,), AM (,,0), AM ( ) 0. () AB (,, ), AC (0,,) AB. AC 4, ABC 面積 AB AC ( AB. AC ) 4. ( 4). () 設平面 ABC 的法向量為 n ( a, b, c), 則 AB a n 且 AC n a b c 0 b c 0 b, c b, n ( b, b, b), 取 n 為 (,, ) 設包含 A, B, C 三點之平面 π:x y z k, A 點在 π 上 k 0, π:x y z 0. 設 E:x y z, F:x y z 7,兩平面夾角為 θ,則 sinθ., 編碼 40757 難易 易 出處 嘉義高中段考題 解答
E 法向量 n (,,), F 法向量 n (,,) n. n, sinθ n. n cos ( ) n. n n. n ( n. n ). n. n.. 過 A(,,), B(4,,) 兩點,且與平面 E:x y z 4 垂直之平面方程式為. 編碼 40758 難易 易 出處 嘉義高中段考題 解答 x y z 8 AB (,, ), E 的法向量 n (,,), n AB (,6,), 平面 F:x y z k,又平面 F 過 A 點, k 8,故平面 F 為 x y z 8.設 A(,,), B(,4,), C(4,0,), O 為原點, () 若 ABCD 為平行四邊形,則 D 點坐標為. () ABC 的面積為. () ABC 所在的平面方程式為. 編碼 40759 難易 中 出處 建國中學段考題 解答 ()(4,,4);() 7 ;()x y 6z 6 0 A(,,), B(,4,), C(4,0,), ()ABCD 為平行四邊形,設 D(x, y, z) AD BC (x, y, z ) (, 4,), (x, y, z) (4,,4). () AB (0,, ), AC (,,0), ABC 面積 AB. AC ( AB. AC ) 7 ( )( ) ( 4) 49. () 設平面法向量 n (a, b, c)
n AB, n AC, bc 0 a:: b c b:b:b ::6, ab0 平面方程式為 (x ) (y ) 6(z ) 0,即 x y 6z 6 0. 設 A(5,, 4), B(,4, ),平面 E:x y z, () AB 在平面 E 上的正射影長為. () 設動點 P 在平面 E 上,則 PA PB () 若直線 AB 與平面 E 交於 P 點,則 PA 的最小值為. : PB 的比值為. (4) 過 A, B 兩點且與平面 E 垂直的平面方程式為. 編碼 40760 難易 中 出處 建國中學段考題 解答 () 4 ;() 97 ;() 8 ;(4) x z A(5,, 4), B(,4, ),平面 E:x y z, () AB (,,),平面 E 的法向量 n (,, ), AB 與 n 銳角夾角 θ cosθ AB. n 4 4 7 AB. n 9. 9 9 sinθ 7 4 ( ) 9 9, 正射影長 AB sinθ 4 4 9. 9 ()A, B 二點代入平面 E,(0 8 )(6 4 4 ) 0,故 A, B 在平面 E 同一側.設 A 對平面 E 的對稱點 A(x, y, z) AA// n AA t n (x 5, y, z 4) t(,, ) (x, y, z) (5 t, t, 4 t), 5 5 t t 4 4 t A 與 A 中點 (,, ) (5 t, t, 4 t) 在平面 E 上 (5 t) ( t) ( 4 t) t 4, A(,, 4), PA PB 的最小值 AB 6 5 6 97.
() PA : PB d(a, E):d(B, E) 0 8 6 4 4 : 8: 8 ( ) ( ). (4) 設此平面法向量 N (a, b, c) N n, N AB, a b c 0 (a, b, c) (a, 0, a) (,0,), a b c 0 平面方程式為 (x 5) (z 4) 0,即 x z.空間中含 A(,0,0), B(0,,0), C(0,0,) 之平面方程式為. 編碼 4076 難易 易 出處 彰化高中段考題 解答 x y z 用截距式得 x y z,即 x y z. 求含 A(,,0), B(,0,), C(,,) 的平面 E 之方程式為. 編碼 4076 難易 易 出處 臺中一中段考題 解答 x 5y z 7 0 AB (,,), AC (,0,), 0 設 E 之法向量 n ( a, b, c),則 a b c a c 0 a: b: c :5:, 取 n (, 5, ),令(x ) 5(y ) z 0 x 5y z 7 0. A(,,) 在平面 E 上之投影點為 B(,,0),則 C(,5,) 到平面 E 的距離為. 編碼 4076 難易 易 出處 臺中一中段考題 解答 AB (,, ),令 AB n E:(x ) (y ) z 0 x y z 0, d(c, E) 0. 4 4 若平面 E 過點 P(,,) 且在卦限 (,, ) 與三坐標平面所成之四面體體積為最小,則平面 E 的方程式為.
編碼 40764 難易 中 出處 臺中一中段考題 x y z 解答 6 9 令平面 E 為 x y z, 過點 P(,,),, a b c a b c 又平面 E 與三坐標平面在 (,, ) 卦限所形成之四面體體積為 ab c abc, 6 a 0, b 0, c 0 a b c 6 abc abc 7, 6 當 a, b, c 時,等號成立,即體積最小為 7 a 6, b 9, c x y z. 6 9 設平面 E:x y z,求平面 E 與 xy 平面之銳角的夾角為. 編碼 40765 難易 易 出處 成功中學段考題 解答 4 平面 E:x y z,法向量 n (,, ), xy 平面之法向量 n (0,0,), n. n (,, ).(0, 0, ) 所夾銳角 cosθ n. n 6., θ. 6 4 垂直於 E :x y z 0, E :x y z 5 0,且過點 A(,,) 之平面方程式為. 編碼 40766 難易 易 出處 臺中一中段考題 解答 5x y z 0 設所求平面之法向量為 n ( a, b, c), a b c 0 n (,,), n (,,) a b c 0 a: b: c 5:( ) :( ),
故 E:5(x ) (y ) (z ) 0 5x y z 0. 兩平面 x y z 5 與 x y z 8 的夾角為. 編碼 40767 難易 易 出處 康熹自命題 解答 或 cosθ θ 或 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ). 7 4 cosθ, 兩平面 ax y 5z 與 ax y az 互相垂直,則 a. 編碼 40768 難易 易 出處 康熹自命題 解答 或 法向量 (a,,5), (a,, a) 互相垂直 a(a) ( ) 5.a 0 a 5a 0, (a )(a ) 0 a 或. 有一個直圓錐懸掛在建立了直角坐標系的空間中,已知圓錐頂在點 Q(7,,4) 上,底圓的圓心坐標是 (,, ),若底圓在平面 E 上,則平面 E 的方程式為. 編碼 40769 難易 易 出處 北一女中段考題 解答 8x 5y z 5 0 PQ (8, 5,) 平面 E,設 E:8x 5y z d 0, 又 P E,
P(,,) 代入 E d 5, E:8x 5y z 5 0. 設 A(,,), B(,,) 兩點對於平面 π:ax by cz 4 成對稱,則數組 (a, b, c). 編碼 40770 難易 易 出處 建國中學段考題 解答 (,, ) 由題意可知平面 π 為 AB 之垂直平分面, AB (,, ) 為平面 π 之法向量, 又中點 M(,, )π,將 M(,, ) 代入 π:x y z d 0 d 4, π:x y z 4 (a, b, c) (,, ). A(,, ), B(0,0,), C(,,0), E:x y 0,則 () ABC 的面積為,又() 平面 E 與平面 ABC 的銳夾角為. 編碼 4077 難易 易 出處 建國中學段考題 解答 () ;()60 () AB (,,), AC (,,), AB, AC 6, AB. AC 6, ABC 之面積 AB AC ( AB. AC) 96 6 8. ()E ABC 之法向量 n (0,,), E 之法向量 n (,,0), n. n 設銳夾角為 θ,則 cosθ n. n 8. 6, 銳夾角為 60. 設 A (,,), B(,6,), C(,4,5) 為空間中的相異三點, π 為 ABC 所在的平面,則 () AB. AC. () AC 在 AB 上的正射影為. () ABC 之面積. (4) π 的平面方程式為. (5) 若 BAC 之內角平分線交 BC 於 D 點,設 E 在 AD 上,且 AE 4 AB AC,則. 編碼 4077 難易 易 出處 北一女中段考題
解答 ()5;()( 5, 4 0, 0);()5 ;(4)4x y 5z 5 0;(5) 5 () AB (,4,0), AC (,,) AB. AC 8 0 5. AB. AC 5 () AC 在 AB 上的正射影 ( ) AB ( AB 5 )(, 4, 0) ( 5, 4 5, 0). () ABC 之面積 AB AC ( AB. AC) 59 5 5. (4) 設 π 之 n ( a, b, c), AB (, 4, 0), AC (,, ), a4b0 則 a b c 0 a: b: c4:( ) :5, 令 π: 4x y 5z k,將 A(,, ) 代入得 k 5,故 π: 4x y 5z 5 0. (5) AD 為 BAC 之角平分線, BD : CD AB : AC 5: AD 8 AB 5 8 AC, AE k AD k 5k AB AC, 8 8 k 又 AE 4 AB β AC 8, 5k 8 4 k. 5 0 8 已知點 P(,7, ) 與平面 E:6x y 6z 7,則 P 點與平面 E 的距離. 編碼 4077 難易 易 出處 北一女中段考題 解答 0 9 d(p, E) 6 7 6 ( ) ( 6) 0 9. 設兩平面 E :x y z 0, E :x y 6 z 6 0,則兩平面 E, E 的夾角為. 編碼 40774 難易 易 出處 北一女中段考題 解答 60 或 0
E 及 E 之法向量分別為 n (,,), n (,, 6 ), n. n 則 cosθ 6 n. n. 8, 夾角為 60 或 0.點 P(,,) 對於平面 E 之對稱點為 Q(,5, ),則 E 之方程式為. 編碼 40775 難易 易 出處 成功中學段考題 解答 x 9y z 75 0 PQ 之中點 M(7,7, ) E, PQ (,6, 4) E, 取平面 E 之法向量 n (,9, ), E:(x 7) 9(y 7) (z ) 0 E:x 9y z 75 0. 平面 x y 6z,交 x, y, z 軸於點 A, B, C,則 ABC 在平面 x y z 上正射影的面積. 編碼 40776 難易 中 出處 康熹自命題 解答 8 平面 x y 6z 與 x, y, z 軸交點分別為 A(6,0,0), B(0,4,0), C(0,0,), AB ( 6,4,0), AC ( 6,0,) ABC 的面積 AB AC ( AB. AC) x y 6z 與 x y z 所夾銳角 θ (,, 6).(,, ) 4 4 cosθ, 4 9 6. 4 4 7 784 8 4,
4 8 ABC 在 x y z 上正射影的面積為 ( ABC 之面積 ).cosθ 4. 若點 P(x 0, y 0, z 0 ) 是平面 x y 4z 0 上一點,則 ( x ) ( y ) ( z ) 的最小值為. 0 0 0 編碼 40777 難易 易 出處 康熹自命題 解答 7 設 A(,,), P(x 0, y 0, z 0 ), AP ( x ) ( y ) ( z ), 0 0 0 P 為平面 E:x y 4z 0 上一點, AP 的最小值即為 A 點到平面 E 之距離 d d 4 6 9 9. 7 空間三點 A(,0,), B(0,,), C(,,),平面 E:x y z 4 0, () ABC 的面積為. () 設平面 ABC 與平面 E 的夾角為 θ,則 cosθ. () ABC 在平面 E 上的正射影的面積為. 編碼 40778 難易 中 出處 康熹自命題 解答 () ;() ;() 6 A(,0,), B(0,,), C(,,), AB (,,), AC (,,) AB. AC 0,設平面 ABC 之法向量 u ( a, b, c) 0 a b c a: b: c :: 0,取 u (,, 0), a b c 0 () ABC 的面積 AB AC ( AB. AC ) 6 0. ()E 的一個法向量 v (,, ), u. v 0 則 cosθ. u. v. 6 () ABC 在平面 E 上正射影的面積 ( ABC 之面積 ). cosθ. 6.
A(,5,), B(0,0,),平面 E:x 4y z 6 0, AB 在平面 E 上正射影的長. 編碼 40779 難易 中 出處 康熹自命題 解答 解法一 設 E 之法向量為 n 與 AB 之夾角為,則 AB 在平面 E 上的正射影長為 ABsin, n (, 4, ), n 8, AB (, 5, ), AB 7, 0 cos sin 8 7 解法二,故所求為 A(,5,), B(0,0,) AB 5,. 0 6 8 A 到平面 E:x 4y z 6 0 的距離為 8, 6 8 0 40 6 B 到平面 E 的距離 6 8 6 8 8, A, B 在平面 E 的同側,故 AB 在 E 上正射影的長 : 7 8 A B AC AB BC ( ) ( ). 設 x, y, z 為實數,若 x 4y 5z 5 0,則 ( x ) ( y ) ( z 4) 之最小值為. 編碼 40780 難易 中 出處 康熹自命題 解答 4 令 E:x 4y 5z 5 0, P(x, y, z) 為平面上任意點, A(,, 4), 則 PA ( x ) ( y ) ( z 4), PA 的最小值就是 A 點到平面 E 的距離 d,
而 d 8 0 5 4 4 為所求. 6 5 4 一平面 E 過點 A(,,),且與二平面 E :x y z 0, E :x y z 0 均垂直,則此平面 E 的方程式為. 編碼 4078 難易 中 出處 康熹自命題 解答 x y z 0 設平面 E 的法向量 n ( abc,, ), n (,, ), n (,,), E E, E E, n n, n n a b c 0 a b c 0 a: b: c:( ) :( ), 取 n (,, ), E 過 A(,,), 平面 E 的方程式為 (x ) (y ) (z ) 0,即 x y z 0. 設一平面 E 平行平面 x y z 0 且與三坐標平面所成四面體之體積為 9,則此平面 E 的方程式為. 編碼 4078 難易 中 出處 康熹自命題 解答 x y z 6 平面 E 與平面 x y z 0 平行, x y z 令平面 E 的方程式為 x y z k,則 k k k, E 與三坐標平面所圍成的四面體體積 V k k.k. k, 6 4 4 k 9 k 6, k 6 k 6, 故平面 E 的方程式為 x y z 6. 設三平面 E :x y 4 0, E :y z 0, E :x y z 6,若平面 E 過 E 與 E 之交線,且與平面 E 垂 直,則平面 E 的方程式為. 編碼 4078 難易 中 出處 康熹自命題 解答 x z 0
平面 E 過平面 E 與 E 的交線, 令平面 E 的方程式為 x y 4 k(y z) 0 x ( k)y kz 4 0, E 與 E :x y z 6 垂直, (, k, k).(,,) 0 6 ( k) 6k 0 k,故平面 E 的方程式為 x z 4 0,即 x z 0.設 A(,,), B(,0,), C(,,0) 為不共線三點,則 () 平面 ABC 的方程式為. () ABC 之垂心坐標為. 編碼 40784 難易 中 出處 康熹自命題 9 解答 () y z 0;()(,, ) 4 8 8 () A(,,), B(,0,), C(,,0), AB (,, ), AC (,, ), 設平面 ABC 之法向量 n ( a, b, c), n AB, n AC a b c 0 a b c 0 a: b: c0:( ) :,取 n (0,,), 由點向式知平面 ABC 方程式為 0(x ) (y ) + (z ) 0,即 y z 0. () 設 ABC 的垂心為 H(x, y, z),則 BH AC, CH AB, 由 BH. AC 0 (x +, y, z ).(,, ) = 0 (x + ) y (z ) = 0, x y z + 4 = 0, 由 CH. AB = 0 (x, y +, z).(,, ) = 0 (x ) (y + ) z = 0, x + y + z = 0,又 H(x, y, z) 在平面 ABC 上, y z + = 0, 得 4y + 4z 5 = 0, 4 + 得 y = 8,代入 得 z = 9 8,再代入 得 x = 4, 垂心 H( 4, 8, 9 8 ). 設 A(4,,), B(,,4),點 P 在平面 E:x y z 上移動,則 PA PB 的最小值為. 編碼 40785 難易 難 出處 康熹自命題 解答 4
點 A(4,,), B(,,4) 在平面 E:x y z + 0 的同側, 如下圖,取 AB 中點 M(,,), AM ( ), 由三角形中線定理 : PA PB ( AM MP ), AM, PA PB 最小 MP 最小 P 為 M 到平面 E 的投影, 4 6 6 MP d( M, E), ( ) ( ) PA PB 之最小值 ( AM MP ) 的最小值 ( 4) 4. 空間中,設 A(,, ), B(,7,0), C( 4,,), () ABC 之重心坐標為. () 內積 AB. AC. () ABC 的面積為. (4) AB 的垂直平分面方程式為. (5) 通過 A, B, C 三點的平面方程式為. 編碼 40786 難易 中 出處 新竹高中段考題 解答 () (, 7, ) ;();() ;(4)x y 4z 9 0;(5)x y 4z 0 () OG OA OB OC = 7 [(,, ) (, 7, 0) ( 4,, )] (,, ), 7 故 ABC 之重心坐標為 (,, ). () AB (,6,), AC ( 7,,), BC ( 6, 8,), AB. AC (, 6, ).( 7,, ) 7 6. () ABC AB. AC ( AB. AC ) = 4. 6.
(4) AB 的垂直平分面 π 之法向量為 AB (,6,), 設 π: x 6y z k, AB 之中點 M( 5, 4, ) 在平面 π 上 k 5 6.4 ( ) 9, π:x y 4z 9 0. (5) 通過 A, B, C 三點的平面 之法向量為 n ( a, b, c) 6 0 a b c 7a b c 0 設 :x y 4z k, a: b: c:( ) : 4,取 n (,, 4), B 點在平面 上 k. 7 4.0, :x y 4z 0. 空間中,設 A(,,), B (,,4), D (0,,0), () 若四邊形 ABCD 是平行四邊形,則點 C 的坐標為. () 承 (),在 ABCD 所在的平面上,欲將平行四邊形 ABCD 扶正 ( 如圖所示 ),使得四邊形 ABCD 為矩形且 AB = AB, DC = DC, BC = BC, 扶正 之後的 B 點坐標為 (p, q, r),則 p + q + r 之值為. 編碼 40787 難易 中 出處 新竹高中段考題 解答 ()(,0,);() () 如下圖,設 C (x, y, z), 則 C (x, y, z) + A (,,) = B (,,4) + D (0,,0), C (,0,). () AB = (,,), AD = (,, ), 設 ABCD 所在的平面為 E, E 之法向量 n ( a, b, c), a b c 0 則 a b c 0 a: b: c : :, 取 n (,, ),又過 A(,, ) x y z 4, A, B, D 同在平面 E:x + y + z = 4 上,
AB AD, B 在 E 上 ( p, q, r).(,, ) 0, p q r 4 得 q =, p + r =, p + q + r =. 求過 A(,0,0), B(0,0,) 且與平面 x z 0 夾之平面方程式為. 4 編碼 40788 難易 中 出處 彰化高中段考題 解答 x y z 平面 E:x z 0 之法向量 n (,0,), AB (,0,), 設過 A, B 兩點且與 E 夾角之平面為 F,其法向量 n (a, b, c) 4 n. AB 0 n. n n. n. cos 4 a c 0 ( a c) a b c 代入 得 b a (a, b, c) (a, a, a),取 F 之法向量為 (,, ), F:x y z., P(x, y, z) 為平面 E:x 6y z 0 上一點,則 () ( x ) ( y ) ( z ) 的最小值為, () 此時的 P 點坐標為. 編碼 40789 難易 中 出處 康熹自命題 解答 ()4;()( 5 7, 7, 7 ) 8 6 () 所求即 A(,,) 到平面 E 之最短距離 d(a, E) 4. 9 6 4 () AP // N AP t. N, t (x, y, z ) t(,6,) xt y 6t, t z t, PE, ( t) 6( 6t) ( t) 0 t 4 7, x 7 5 7, y 6( 4 7 ) 7, z ( 4 7 ) 7,
P( 5 7, 7, 7 ). 有一長方體 ABCD - EFGH( 如圖 ),已知 AB 4, AE, AD 4, () 若此長方體的兩條對角線 EC 與 AG 的銳夾角為 θ,則 cosθ. () 平面 ACH 與平面 ABC 的銳夾角為,則 cos. 編碼 40790 難易 中 出處 北一女中段考題 解答 () 7 9 ;() 6 如圖,建立直角坐標系, () EC ( 4,4, ), EC 6, AG ( 4,4,), AG 6, EC. AG 6 6 4 cosθ 7 EC. AG 6 6 9. AC ( 4, 4, 0) ()E ACH : 4 0 0 : 0 4 4 AH ( 4, 0, ) : 4 4 4 0 ::, AB (0, 4, 0) E ABC : 4 0 4 0 : 0 0 0 4 AC ( 4, 4, 0) : 0 4 4 4 0:0:, 取法向量分別為 n (,,), n (0,0,)
n. n cos 0 0 n. n 6. 6 6. 若 R(x, y, z) 是平面 x y 4z 8 0 上任一點,則 ()(x ) (y ) (z ) 的最小值是, () 此時 R 點的坐標是. 編碼 4079 難易 中 出處 北一女中段考題 解答 ()9;()(,0, ) 利用柯西不等式知 [(x ) (y ) (z ) ][ ( ) 4 ] (x y 4z ) [(x ) (y ) (z ) ] 9 ( 8 ) (x ) (y ) (z ) 9, x y z 故最小值為 9,此時令 4 t, 則 x t, y t, z 4t 代入 x y 4z 8 0, 得 t, R(,0, ). A(,, 4), B(,6,4), C(,,), D(,5,), () ABC 的面積. () 平面 ABC 的方程式為. () 四面體 ABCD 的體積. 編碼 4079 難易 中 出處 北一女中段考題 解答 () 9 ;()0x y 5z 0;() () AB (5,5,8), AC (,0,6), AB 5 5 64 4, AC 9 0 6 45, ABC AB AC ( AB. AC) () 令平面 ABC 之法向量 n ( a, b, c) 5 a 5 b 8 c 0 a6c0 a: b: c0:( ) :( 5), 取法向量 n (0,, 5), 4 45 (5 0 48) 9 設 E:0x y 5z d 0,將 C(,,) 代入 E d, E ABC :0x y 5z 0. 0.( ). 5 5. () 點 D 到平面 E ABC 的距離為 0 ( ) ( 5) 9,.
四面體 ABCD 的體積. 9. 9. 設 A(,,0), B(,,),若 P 為空間中一點, AP BP, O(0,0,0),則 OP 的最小值為. 編碼 4079 難易 中 出處 建國中學段考題 解答 P 為空間中一點,且 AP BP,故 P AB 之中垂平面 E, AB (,,),取平面 E 之法向量 n (,,),將 AB 中點 M(,0,) 代入 E:x y z d 0 d,所求 d(o, E).阿草上工藝課時,用鐵條焊接了一個三隻腳都互相垂直的三腳架,若將此腳架放在水平地面上,使每一隻腳的底端都在地面上,如圖所示.已知三隻腳的長分別為 0 公分, 40 公分, 0 公分,則頂端 O 點到地面的距離為 公分. 編碼 40794 難易 中 出處 師大附中段考題 0 4 解答 4 三隻腳兩兩互相垂直, 令 OA, OB, OC 分別為 x 軸, y 軸, z 軸之正向, 則平面 E ABC : 40 x 0 y 0 z EABC :x 4y 4z 0 0, 所求 d(o, E ABC ) 0 0 0 0 9 6 6 0 4. 4 空間中 A(,0,0), B(,,4), C 在 z 軸正向上,如果過 A, B, C 三點的平面與 yz 平面所夾的銳角為 45, 則 C 點坐標為.
編碼 40795 難易 中 出處 師大附中段考題 解答 (0,0, 5 ) 設 C(0,0, t), t 0, AB (0,,4), AC (,0, t), a ct b4c0 令 n ( a, b, c) 為 E ABC 之法向量,則 4 a ct 0 b c 4 a : b : c ct :( c) : c t :( 4) :,取 n ( t, 4,), 而 E yz 之法向量為 n (,0,0), n. n cos45 n. n t 9t 5 8t 9t 5 得 t 5 5 或 ( 不合, t 0), C (0,0, 5 ). 在空間中,已知平面 E 通過 (,0,0), (0,,0) 及正 z 軸上一點 (0,0, a),如果平面 E 與 xy 平面的夾角成 45, 則 a. 編碼 40796 難易 中 出處 成功中學段考題 解答 x y z E: n a 之法向量分別為 Exy: z 0 n n. n cos45 n. n a a (,, ) a, (0, 0, ). a a, 兩邊平方, a a a,得 a, ( 不合, a 0). 平面 E 包含兩平面 x y 4 0 及 y z 0 之交線,且垂直平面 x y z 6 0,則 E 之方程式為. 編碼 40797 難易 中 出處 成功中學段考題
解答 x y 4z 4 0 設 E:(x y 4) k(y z) 0 E:x (k )y kz 4 0,法向量 n (, k,k), 而 E:x y z 6 0 之法向量 n (,, ), E E, n. n 6 k 6k 0 k 代入 E:x y 4z 4 0.若空間中有四點, A(0,,0), B(4,6,), C(,,), D(,, ),若包含 AB 且平分四面體 ABCD 體積之平面方程式為 x by cz d 0,則 b c d. 編碼 40798 難易 難 出處 臺南女中段考題 解答 9 設 M 為 CD 之中點,則 M(,0, ),則所求平面即由 A, B, M 三點決定之平面 E, AB (4,5,), AM (,, ), 設平面 E 之法向量 n ( a, b, c), 4a 5b c 0 則 a b c 0 a: b: c:( 7) :9, n (, 7,9),且平面 E 過點 A(0,,0), E:(x 0) 7(y ) 9(z 0) 0 E:x 7y 9z 7 0 b 7, c 9, d 7,得 b c d 9. 在 O- xyz 空間中,有一平面 E 過一點 (,,),若其在第一卦限與三個坐標平面圍成的四面體的最小體積為 V 0, 則 ()E 之方程式為. ()V 0. 編碼 40799 難易 難 出處 高雄中學段考題
x y z 解答 () ;()7 6 9 設平面 E: x a y b z c ( 其中 a, b, c 分別為平面之 x, y, z 軸截距且 a 0, b 0, c 0),則 E 在第一卦限 與三個坐標平面所圍成的四面體體積為 V ab c abc, 6 平面 E 過點 P (,,), a b c, 由算幾不等式 a b c.. ( a b c ) 6 abc 6 7, abc V 6 abc 7,得最小體積 V 0 7,此時 得平面 E: x 6 y 9 z. a b c,即 a, b 6, c 9, 設 O- xyz 空間中,兩點 A(,, ), B(,,0),一平面 E:x y z 0,則 () AB 在 E 之正射影的長度為. () 若 E 上一點 P 使 AP BP 為最小,則 P 點之坐標為. 編碼 40800 難易 難 出處 高雄中學段考題 解答 () 4 ;() 4 (,, ) 6 6 () AB (,,),平面 E 之法向量 n (,, ), cosθ AB. n AB. n 4., sinθ cos 9, 所求 BC AB.sinθ 4. 9 4. () AB 之中點 M(,, ),
PA PB AM PM ( 中線定理 ) AM MH, 而 H 為 M 在 E:x y z 0 之投影點,設 H( t, t, t) 代入 E ( t) ( t) ( t) 0 t, 故所求之 P 點即為 H( 4, 6, 6 ). 設 O- xyz 空間中, A(,,), B(,,), C(,, ),則 () ABC 之面積為. () ABC 之垂心的坐標為. 編碼 4080 難易 中 出處 高雄中學段考題 解答 () 6 ;()(,,4) () AB (,,0), AC (0,, ), ABC 之面積 AB AC ( AB. AC) 58 6 6. ab0 () 設平面 E ABC 之法向量 n ( a, b, c),則 bc0 a: b: c ::, 取 n (,,),且過 A(,,),得 E ABC :x y z 4 0, 設 ABC 之垂心坐標為 H(a', b', c'),則 : CH AB ( a', b', c' ).(,, 0) 0 a' BH AC ( a', b', c' ).(0,, ) 0 b', a' b' c' 4 0 H E c' 4 ABC 垂心 H(,,4). 空間坐標系中,有一平面鏡 E,有一雷射光線經過點 A(,,) 射向鏡面 E 上的點 B(0,,0),反射又經過點 C( 4,5,),則平面 E 方程式為. 編碼 4080 難易 難 出處 臺中女中段考題 解答 x 4y z + 4 = 0
由光學原理, BC 之延長線會經過 A 對於平面 E 的對稱點 A, 且 AB AB, BC ( 4,4,), BC 則單位向量 u BC ( 4, 4, ) ( 6,, ) AB u.( BC ).( BC,, ) (,, ), 即 ( x, y, z) (,,),得 A(x, y, z) (,, ), 平面 E 之法向量為 AA (, 4, ),又過 B 點 (0,,0), E:(x 0) 4(y ) (z 0) 0,即 E:x 4y z 4 0. 空間中兩平面 E : x y z, E :x y z 0,則此兩平面的銳角平分面方程式為. 編碼 4080 難易 難 出處 臺南女中段考題 解答 4x y 5z 0 x y z x y z 4 9 9 4 x y z (x y z ) x y z 0 或 4x y 5z 0,取 A(, 0, 0) E, 令 F :x y z 0, F :4x y 5z 0 0 0 5 d( A, F ) 4 6 d A F d A F 4 0 0 5 (, ), 6 9 5 5, d A F (, ) (, ), 銳角平分面方程式為 4x y 5z 0. 設 ABC 的三頂點坐標分別為 A(, 7,5), B (,6, ), C (0, 7, ),則: () 通過 A, B, C 三點的平面方程式. () ABC 的外心坐標. 編碼 40804 難易 難 出處 臺南一中段考題 解答 () x y z 0;()(,9,8)
() 作 AB (,9, ), AC (,0, ) 9 9 n AB AC (,, ) 0 0 = (08, 08, 08) = 08(,,),取法向量為 (,,), 取 A(,7,5),則所求平面方程式為 : E ABC : (x + ) + (y 7) + (z 5) = 0, 即為 x + y + z 0 = 0. () 作 BC 的中垂面 F, BC 之中點 N (,, ), BC (9, 9, 0), F : 9( x ) 9( y ) 0,即 x y + 6 = 0. 作 AC 的中垂面 F, AC 之中點 M(4,7,9), AC (, 0, ), F :( x 4) ( z 9) 0,即 x z + 5 = 0. 則 ABC 的外心坐標為 E, F, F 的聯立解 x y z 0 0 x y 6 0, x =, y = 9, z = 8,故外心坐標為(,9,8). x z 5 0 如圖,長方體 ABCD-EFGH 中, AB 4, BC 6, AE 4,則: () D 點到平面 BEG 的距離. () 若 是平面 BEG 與平面 ABC 的一個夾角,則 cos. 編碼 40805 難易 中 出處 臺南一中段考題 解答 () ;()
() 建立坐標系如圖,則 GB (6, 0, 4), GE (6, 4, 0), 由 GB GE ( 6, 4, 4),取 n (, ), 平面 BEG: x y z 4 0 0 0 4 d( D, 平面 BEG). 499 () 平面 ABC 的法向量可取 n (0, 0, ),平面 BEG 的法向量 n (,, ), n n cos. n n 則 如圖, ABCD - EFGH 為稜 ( 邊 ) 長 6 的正立方體,將 A 點置於空間坐標系的原點, AB 邊置於 x 軸正向上, AD 邊置於 y 軸正向上, AE 邊置於 z 軸正向上,已知 P 點, Q 點分別在 BF 邊及 FG 邊上且 PB 若有一平面 T 截過 P 點與 Q 點,且將正立方體體積平分,則平面 T 方程式為. PF, QG QF, 編碼 40806 難易 中 出處 臺中女中段考題 解答 x + y 4z 6 = 0 建立坐標系如圖,則所求平面 T 過正方體之中心 O (,, ), T 過 P (6, 0, ), Q (6, 4, 6), O (,, ), OP (,, 0), OQ (,, ) n OP OQ ( 9, 9, ) (,, 4),取法向量為(,, 4), 令 T :x y 4z d 0, 過 (,, ) 9 9 d 0, d 6, T :x y 4z 6 0. 一塊平置在桌面的長方體雪白巧克力 ( 如圖 ),長寬高分別是 0,8,6,若沿著通過 A, B, C 三點的平面垂直
平面 DAB 切下,恰巧將體積平分成兩塊,則截面的面積大小為. 編碼 40807 難易 中 出處 臺中一中段考題 解答 60 平面 ABC 平分長方體體積且垂直於平面 DAB, AB 平分矩形 DPQR, BQ DA, BR 0 8,作 AH 垂直 BR 於 H, RH, HB BR RH 6, AH DR 8, AB HB AH 0, 截面積 AB 長方體高 60. 下圖為長方體, AB 6, AC AD 4, AP : PB :, Q 為 AC 的中點, M 為 EF 的中點,求 : () 點 A 到平面 DPQ 的距離為. () AM 交平面 DPQ 於 K 點,設 AK a AB b AC c AD,則 abc. 編碼 40808 難易 中 出處 中山女高段考題 解答 () 4 ;() 5 9 () 令 A (0, 0, 0), B (6, 0, 0), C (0, 4, 0), D (0, 0, 4)
P(, 0, 0), Q (0,, 0), M (, 4, 4), x y z 平面 DPQ : x y z 4 0, 4 0 0 0 4 4 d. () AM (, 4, 4) 令 K( t, 4 t, 4 t ), 代入平面 DPQ 6t 8t 4t 4 0 t, K (, 8, 8 ), 9 9 9 (, 8, 8 ) a(6, 0, 0) b(0, 4, 0) c(0, 0, 4), 9 9 8 8 5 6a a, 4b b, 4c c, abc. 9 9 9 9 9 9 平面 E 過 (,,4) 在第一卦限與三坐標軸正向交於 A, B, C 三點,則 () OA OB OC 的最小值為, () 此時平面 E 的方程式為. 編碼 40809 難易 難 出處 鳳山高中段考題 解答 ()5;() x y z 0 設 A(a, 0,0), B(0, b, 0), C(0,0, c), a, b, c > 0 x y z E:,又過 (,,4), 4, a b c a b c OA OB OC a b c,由柯西不等式: [( a) ( b) ( c) ][( ) ( ) ( ) ] ( ) a b c ( a b c) 5, a b c 5, 即 OA OB OC 之最小值為 5,此時 a b c t, a b c c a b t,代入 abc 5, t t t 5, t = 5 x y z a = 5, b = 5, c = 0, E:,即 x y z 0. 5 5 0 設兩平行平面 E :5x y 4z 與 E : ax by cz 6 的距離為 5 5,則數對 (a, b, c) =. 編碼 4080 難易 中 出處 鳳山高中段考題 解答 (0,, 4) 或 (0, 4,8)
E //E, 可設 E :5x y + 4z = k, k d k 5 5 ( ) 4 5, k, k = 或 E : 5x y 4z 或 5x y 4z, 即 0x 4y 8z 6 或 0x y 4z 6, (a, b, c) = (0, 4,8) 或 (0,, 4). 四面體 O-ABC 中, OA, OB, OC 兩兩垂直.若 OAB, OBC, OCA 的面積分別為,4,5, () 求 ABC 的面積 =. () 求四面體之體積 =. ()O 到平面 ABC 之距離 =. 編碼 408 難易 中 出處 高雄中學段考題 解答 ()5 ;() 0 ;() 5 5 建立坐標系,令 O(0,0,0), A(a, 0,0), B(0, b, 0), C(0,0, c) ab, 4 bc, ca 5, 4 0 abc () ABC 的面積 4 5 5. () 四面體的體積 abc 4 0 0. 6 6 0 體積 () h = = 5.面積 5 5. 在空間坐標中,設 xy 平面為一鏡面.一光線通過點 P(,,),射向鏡面上的點 O(0,0,0),經鏡面反射後 通過點 Q.若 OQ OP,則點 Q 坐標為. 編碼 408 難易 中 出處 高雄中學段考題 解答 (, 9,6) 點 P(,,) 對 xy 平面之對稱點為 P'(,, ), OP OP' OQ OP',即 OQ OP', 令 Q(x, y, z)(x, y, z) = (,, ) = (, 9,6), 故 Q(, 9,6).
平面 E 過點 P(,,),且在第一卦限分別與三坐標軸交於 A, B, C 三點, O 表原點,求 : 的最小值. OA OB OC () () 此時 E 的方程式. 編碼 408 難易 難 出處 臺南一中段考題 解答 () 4 ;() x y z 4 x y z 設 E:,過 P(,,), a b c a b c OA OB OC a b c,由柯西不等式, [( ) ( ) ( ) ][ ] ( ), a b c a b c ( ) 4 a b c, a b c 4, 之最小值為 OA OB OC 4. 即 此時 a b c t, a, b, c, t t t 代入 t 4t 9t, t, a b c 4 a 4, b 7, c 4 x y z 4. x y z E:, 4 7 4 在空間坐標中, O 為原點,點 A, B, C 分別位於 x 軸, y 軸, z 軸之正向上, OA OB OC 且 D 為 OC 之中點, 則 O 到平面 ABC 與 O 到平面 ABD 的距離之比為. 編碼 4084 難易 中 出處 康熹自命題 解答 :
令 A(a, 0,0), B(0, a, 0), C(0,0, a), a > 0, D(0,0, a ) x y z 平面 ABC:, x y z a. a a a x y z 平面 ABD: a a a, x y z a. 距離比 a : a : 4 6 :. 設 θ 為兩平面 x y z 6 與 x4z 的銳夾角,則 θ 最接近的整數度數為 度. ( 其中 sin6 0.045, sin70' 0.05, sin740' 0.4, sin750' 0.6, sin8 0.9) 編碼 4085 難易 中 出處 康熹自命題 解答 8 n (,,), n (,0, 4), θ 為銳角 cosθ n. n 6 0 8 n n 4 4 9 0 6 5 0. sin740' = cos80', θ 80' 最接近 8. 設 O(0,0,0) 為坐標空間中某長方體的一個頂點,且知 (,,), (,, ), (, 6,6) 為此長方體中與 O 相鄰的三頂點.若平面 E: x by cz d 將此長方體截成兩部分,其中包含頂點 O 的那一部分是個正立方體,則 (b, c, d) =. 編碼 4086 難易 中 出處 97 學測 解答 (,,9) O(0,0,0) 到 (,,) 及 (,, ) 的距離相等, 則需將 O 到 (, 6,6) 的距離縮小成相等的距離 (, 6, 6) (,, ). 則 (,,) 為 E 上的點,且 n (,, ) 為 E 之法向量, 得 E: x y z 9,故 ( b, c, d) (,, 9).
坐標空間中 xy 平面上有一正方形,其頂點為 O(0,0,0), A(8,0,0), B(8,8,0), C(0,8,0).另一點 P 在 xy 平面的上方,且與 O, A, B, C 四點的距離皆等於 6.若 x by cz d 為通過 A, B, P 三點的平面,則 (b, c, d) =. 編碼 4087 難易 中 出處 98 學測 解答 (0,,8) 點 P 在 xy 平面上方,且與 O, A, B, C 的距離皆為 6, POABC 為直四角錐,如圖, CH AC 4, PC 6 PH 6 (4 ), P(4,4,) PA (4, 4, ), PB (4, 4, ), 法向量 4 4 4 4 n PA PB (,, ) (6, 0, ) 6(, 0, ), 4 4 4 4 取 A(8,0,0),則平面 E: ( x 8) z 0 xz 8, ( b, c, d) (0,, 8). 坐標空間中,若平面 E: ax by cz 滿足以下三條件 : () 平面 E 與平面 F: x y z 有一夾角為 0, () 點 A(,,) 到平面 E 的距離等於, () abc 0, 則 ab c的值為.( 化成最簡分數 ) 編碼 4088 難易 中 出處 00 指考甲 解答
由 () 知,兩平面的法向量 (a, b, c) 與 (,,) 的夾角為 0 abc cos0 a b c a b c a b c ( abc 0 ). a b c 由 () 知, d( A, E) a b c a b c. a b c 由上兩式得 a b c ( a b c), a b c 或, abc 0, abc. 在下圖的坐標空間中, O 為原點,點 A, B, C 分別位於 x 軸 y 軸 z 軸上.若 OA OB OC 且 D 為 OC 的中點, 則 O 到平面 ABC 與 O 到平面 ABD 的距離之比值為. 編碼 4089 難易 中 出處 課本題 解答 a OA OB OC a 0,且 Aa (, 0, 0), B(0, a, 0), C(0, 0, a ), D (0, 0, ), x y z ABC 平面方程式 :,即 x y z a, a a a x y z ABD 平面方程式 : a a a,即 x y z a, a a (O 到平面 ABC 的距離 ) 與 (O 到平面 ABD 的距離 ) 的比值 a a 6.