第 章排列 組合 17-1 邏輯 集合與計數原理 1. 已知兩集合 { 1,} A = 與 B { x x ax b 0} 由題意知, 1與 為方程式 解得 a =, b =. 1 a+ b= 0 9 + a + b = 0 = + + = 相等,求實數 a, b 的值. x ax b + + = 0 的兩根.因此,可列得 a+ b= 1. a+ b= 9. 已知集合 A= {,a+ 1}, B= { 1,a 1, a+ },且 A B { 5} =,求 (1) 實數 a 的值. () A B. () A B. () B A. (1) 因為 A B { 5} =,所以 5 A.因此 此時 A = {,5}, B = { 1,,5} () A B { 1,,,5} =. () A B { } =. () B A { 1,} =. a + 1= 5 a =..
18 第 章排列 組合. 右圖是由三個邊長為 1 單位的正方形組成的道路分布 圖: (1) 利用樹狀圖描述從 A 點出發,經過 單位長,到達 F 點 的所有情形. () 從 A 點出發,經過 單位長,到達 F 點的走法共有幾 種. (1) 利用樹狀圖描述如下: A D H E F A D H G F A B C G F A B H E F A B H G F () 由 (1) 的樹狀圖得知,共有 5 種走法.. 試問 00 的正因數有多少個? 將 00 作質因數分解,得 00= 5. a b c 因為 00 的正因數必為 5 形式,其中 a { 0,1,,}, b { 0,1}, c { 0,1,} 所以 a 有 種選擇, b 有 種選擇, c 有 種選擇. 利用乘法原理,得 00 的正因數共有 = 個.,
第 章排列 組合 19 5. 同時擲兩粒大小不同的骰子,求兩粒骰子點數的積為偶數之情形共有多 少種? 兩點數的積為偶數之情形可分成以下三類: (1) 奇 偶:有 = 9種情形. () 偶 奇:有 = 9種情形. () 偶 偶:有 = 9種情形. 根據加法原理,得共有 9+ 9+ 9= 7 種情形.. 某座山有四條登山路線,甲乙兩人相約由不同的路線登山,待山頂會合 後,再分別選擇不同的路線下山.若規定每人不可由同一路線上山與下 山,求兩人上山與下山共有幾種不同的路線. (1) 上山:甲乙上山共有 = 1 種路線. () 下山: 若甲從乙上山的路下山,則乙可從其他 條路下山,因此有 1 = 種 路線. 若甲不從乙上山的路下山,則甲有 條路下山,乙也有 條路下山, 因此有 = 種路線. 利用加法原理,得共有 + = 7種路線. 由 (1)() 與乘法原理,得兩人上山與下山共有 1 7= 8 種路線.
0 第 章排列 組合 7. 試問滿足三邊長皆為正整數,且周長為 0 的三角形有幾個? 設三邊長為正整數 a, b, c,且 a b c. 因為三角形兩邊之和大於第三邊,所以最大邊長的長度最大值為 9,即 a 9. (1) 當 9 a = 時,邊長序對 ( a, b, c ) = ( 9,9,),( 9,8, ),( 9,7, ),( 9,,5) 有 種可能. () 當 8 a = 時,邊長序對 ( a, b, c ) = ( 8,8,),( 8,7,5 ), ( ) 能. () 當 7 a = 時,邊長序對 ( a, b, c ) = ( 7,7,) () 當 a 時,三角形不存在. 有 1 種可能. 由加法原理得知,共有 + + 1= 8個不同的三角形. 8,, 有 種可 8. 已知班上 0 位同學中,有 10 位同學會彈鋼琴, 8 位同學會彈吉他,而兩 種樂器均會的同學有 5 人,求班上有多少位同學既不會彈鋼琴也不會彈 吉他? 設 A, B 分別表示會彈鋼琴與會彈吉他的同學組成的集合. 由題意知 n( A ) = 10, n( B ) = 8, n( A B) 5 利用取捨原理,得 =. n( A B) = n( A) + n( B) n( A B) = 10+ 8 5= 1. 故共有 0 1= 7 位同學既不會彈鋼琴也不會彈吉他.
第 章排列 組合 1 9. 已知班上 5 位同學中,喜歡籃球 排球及棒球的人數分別有 0 8 及 5 人,喜歡籃球及排球者有 0 人,喜歡排球及棒球者有 1 人,喜歡籃球及 棒球者有 17 人,而三種球類都不喜歡者有 5 人,求班上同學對籃球 排 球及棒球都喜歡的人數? 設 A, B, C 分別表示喜歡籃球 排球與棒球的同學組成的集合. 由題意得 利用取捨原理,得 n( A B C) = 5 5= 0. n( A B C) = n( A) + n( B) + nc ( ) n( A B) n( B C) nc ( A) + n( A B C) 0= 0+ 8+ 5 0 1 17 + n( A B C) n( A B C) = 10. 故班上同學對籃球 排球及棒球都喜歡的人數為 10 人. 10. 試問:在 1 到 00 的正整數中,是 的倍數但不是 5 的倍數者有幾個? 設 A, B 分別表示在 1 到 00 的正整數中 與 5 的倍數組成的集合, 則 n( A ) = 50, n( B ) = 0, n( A B) 10 所求 = n( A B) = n( A) n( A B) = 50 10= 0 ( 個 ). =.
第 章排列 組合 - 排列 n n 1 1. 已知 P = 5P,求正整數 n 的值. P 5 n n 1 P = n( n 1)( n ) = 5( n 1)( n )( n ) n 5( n ) n = 15. = ( 因為 n 1,即 n ). 演講比賽共有 7 位同學報名參加,由抽籤決定出賽順序.試問共有多少 種可能的抽籤結果? 因為 7 人的抽籤結果,可視作參賽者排成一列的情形, 所以共有 7 P 7 = 7! = 500 種抽籤結果.. 老師想從 10 位幹部中指派 人分別擔任班會主席 司儀及紀錄.試問共有多少種指派的方法? 10 10! P = = 10 9 8= 70 種選法. 7!
第 章排列 組合. 晚會有 個歌唱節目及 個舞蹈節目要安排,依下列各條件,求節目安 排的方案各有多少種: (1) 歌唱節目及舞蹈節目相間排列. () 歌唱節目及舞蹈節目各自排在一起. (1) 可分成下列兩類: 歌舞歌舞歌舞歌舞. 舞歌舞歌舞歌舞歌. 因為在每類中,將 個歌唱節目排入有! = 種排法, 個舞蹈節目 排入有! = 種排法,所以方案共有 = 115 種. () 因為歌唱節目及舞蹈節目要各自排在一起,如下圖所示: 歌歌歌歌舞舞舞舞 所以將 個歌唱節目看成 1 個, 個舞蹈節目看成 1 個,變成 個的排列問題,有! = 種方法;又 個歌唱節目之間有! = 種排列 方法, 個舞蹈節目之間有! = 種排列方法.故方案共有 = 115 種. 5. 有 5 人排成一列,求其中甲不排首位且乙不排末位的排法共有多少種. 所求 = 任意排 ( 甲排首位 乙排末位 ) = 任意排 ( 甲排首位 + 乙排末位 甲排首位 乙排末位 ) = 5! (! +!! ) = 78 ( 種 ).
第 章排列 組合. 由六個數字 0, 0, 0, 1,1, 排成的六位數,共有多少個? 所求 = 任意排 0 排首位! 5! =!!1!!!1! = 0 0= 0 ( 個 ). 7. 在下圖的棋盤街道中,從 A 到 B 走捷徑,求下列情形各 有多少種走法? (1) 任意走捷徑. () 經 C 點且經 D 點. () 經 C 點或經 D 點. 9! (1) 任意走捷徑的方法共有 1 5!! = ( 種 ). () 經 C 點且經 D 點走捷徑的方法共有!!! = ( 種 ).!!!1! 1!1! () 經 C 點或經 D 點走捷徑的方法共有 nc ( D) = nc ( ) + n( D) nc ( D)! 5! 7!! = +!!!!!! 1!1! = 0+ 70 = 9 ( 種 ). 8. 小華每逢週日都是從羽球 桌球與籃球等 種球類運動選一種做運動, 求這個月的 個週日共有多少種不同的運動安排. 因為每個週日都有 種球類運動可以選擇,所以 個週日的運動安排共有 = = 81( 種 ).
第 章排列 組合 5 9. 由五個數字 0, 1,,, 組成的三位數中,請依下列情形計算共有 多少個偶數: (1) 數字不可重複. () 數字可以重複. (1) 可分成下列三類: 0 :有 = 1 個. :有 = 9個. :有 = 9個. 由加法原理,得偶數共有 1+ 9+ 9= 0 個. () 可分成下列三類: 0 :有 5= 0 個. :有 5= 0 個. :有 5= 0 個. 由加法原理,得偶數共有 0+ 0+ 0= 0 個. 10. 有一樓梯共有 8 階,今有一人上樓,若每步走一階或二階,則共有多少 種上樓的方法? 設走一階 x 次,走二階 y 次.依題意,得 x+ y = 8, 其中 x, y 為非負整數.從 x = 0 開始討論,得 x, y 的解有 x 0 8 y 1 0 共 5 組解.而上樓的方法共有! 5!! 7! 8! + + + + = 1+ 10+ 15+ 7+ 1= ( 種 ). 0!!!!!!!1! 8!0!
第 章排列 組合 - 組合 1. 已知 C 因為 C = C,求正整數 r 的值. 0 0 r+ 5 r 1 = C,所以 0 0 r+ 5 r 1 r+ 5= r 1或 ( r+ 5) + ( r 1) = 0 解得 r = 或.. 某次數學考試共有 10 道題目,規定從這 10 題中選做 8 題即可. (1) 共有多少種選法? () 若前 題一定要選做,則共有多少種選法? (1) 選法有 C 10 9 = C = = 5 種. 1 10 10 8 () 因為前 題一定要選做,所以只能從剩下的 7 題再任意選做 5 題,故選 法共有 C 7 7 5 C 1 = = 種.. 從一列有 10 節車廂的火車中,選出 節車廂提供餐飲服務. (1) 共有多少種選法? () 若要求第一節車廂或最後一節車廂至少有一節車廂提供餐飲服務,則 共有多少種選法? (1) 從 10 節車廂中選擇 節車廂,共有 C = 種選法. () 分成以下二類: 10 10 若頭尾 節車廂只選出 1 個,則其餘 8 個車廂須選出 個,有 8 C1 C = 8= 5 種選法. 若頭尾 節車廂皆選出,則其餘 8 個車廂僅能選出 1 個,有 8 C C1 = 1 8= 8種選法. 由加法原理,得共有 5+ 8= 種選法.
第 章排列 組合 7. 從 台不同的桌上型電腦和 5 台不同的筆記型電腦中選取 台電腦,問: 既有桌上型電腦又有筆記型電腦的選法共有多少種? 分成以下三類: 5 (1)1 台桌上型 台筆記型:選法有 CC 1 = 10= 0 種. 5 () 台桌上型 台筆記型:選法有 CC = 15 10= 150 種. 5 () 台桌上型 1 台筆記型:選法有 CC 1 = 0 5= 100 種. 由加法原理,得共有 0+ 150+ 100= 10 種選法. [ 另解 ]( 任意選取 ) ( 只選桌上型 ) ( 只選筆記型 ) 11 5 C C C = 0 15 5= 10 ( 種 ). 5. 如右圖,除 A, B, C, D 四點共線外,其餘任三點不共線,問:以這 個點中的任 個點所形成的三角形共有多少個?因為除 A, B, C, D 四點共線外,其餘任三點不共線,所以三角形共有 C C = 0 = 1 ( 個 ).. 已知方程式 x+ y+ z = 9,試問: (1) 此方程式共有多少組非負整數解? () 此方程式共有多少組正整數解? + 9 1 11 (1) 非負整數解共有 C = C = 組. 9 9 55 + 1 8 () 正整數解共有 C = C = 組. 8
8 第 章排列 組合 7. 一盒跳棋有紅 黃 藍三種顏色各 15 個相同的棋子,問:從中任取 10 個棋子共有多少種情形?設紅 黃 藍三種顏色的棋子各取 x, y, z 個,則 x+ y+ z = 10,其中 x, y, z 為非負整數.因為方程式的非負整數解共有 C C C + 10 1 1 1 10 = 10 = = 組,所以任取 10 個棋子的情形共有 種情形. 8. 將 8 本相同的書,全部分給 個人. (1) 共有多少種分法? () 若每人至少分到 1 本,則共有多少種分法? (1) 設 人分別分得 x, y, z 本書,依題意得 x+ y+ z = 8, 其中 x, y, z 為非負整數.因為方程式的非負整數解有 組,故分法共有 5 種. C C C + 8 1 10 10 8 = 8 = = 5 () 因為方程式 x+ y+ z = 8的正整數解有 C C C + 5 1 7 7 5 = 5 = = 1 組,故每人至少分到 1 本的分法共有 1 種.
第 章排列 組合 9 9. 將 本不同的書依下列情形分配,方法各有多少種? (1) 分給甲 乙 丙 人,每人各得 本. () 分裝入 個相同的袋子,每袋裝 本. (1) 從 本中取出 本給甲,取法有 C 種;再從其餘的 本取出 本給乙, 取法有 C 種;剩下的 本給丙,取法有 C 種. 因此,共有 C C C = 15 1= 90 種分法. () 先假設袋子上依序標示有甲,乙,丙的記號,則有 CCC 種分法,但 事實上袋子是相同的,所以每! 種只能算 1 種. 1 1 因此,共有 C C C = 90 = 15 種分法.! 10. 從 series 一字的 個字母中,任意選取 個排成一列,共有多少種排 法? 因為字母 s 及 e 各有 個,字母 r 及 i 各一個.所以分成以下三類: (1) 個字母皆異: 從 s, e, r, i 共 種字母中選取 種,並各出 1 個字母,再排成一列, 共有 C! = 種排法. () 個字母兩兩相同: 從 s, e 共 種字母選取 種,並各出 個字母,再排成一列,共有! C = 種排法.!! () 個字母兩同兩異: 從 s, e 共 種字母中選取 1 種,並出 個字母.再從剩下 種字母中選 出 種,並各出 1 個字母,再排成一列,共有 C 由加法原理,得共有 + + 7= 10種排法.! C = 7 種排法.!1!1! 1
0 第 章排列 組合 - 二項式定理 1. 寫出 ( ) 5 x y 的展開式. 利用二項式定理,得 5 5 5 5 5 5 1 5 ( x y) = Cx + Cx ( y) + Cx ( y) + Cx ( y) + Cx ( y) + C ( y) 5 1 5 0 1 5 5 5 = x 5xy+ 10xy 10xy + 5xy y.. 寫出 ( ) x y 可將 x 看成一項, 的展開式. ( ) ( x y) = x+ ( y) y 看成一項,利用二項式定理,得 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 0 1 = C x + C x y + C x y + C x y + C y = x 1xy+ 5xy 108xy + 81y.. 求 ( x + ) 展開式中 x 的係數. 由二項式定理,知 ( x + ) 展開式中的每一項皆形如 r 且其次數為 r. ( ) r ( ) C x, 當 r =,即 r = 時, x 項為 故 x 的係數為 0. ( )( ) r C x = 0 7x 8= 0x.
第 章排列 組合 1. 求 x 展開式中的常數項. x 由二項式定理,知 x C 且其次數為 ( ) ( x ) 展開式中的每一項皆形如 x r r x, r r = 1 r. 當 1 r = 0,即 r = 時,常數項為 C 故常數項為 80. ( x ) ( ) r = 15 = 80. x 5. 已知 ax 1 5 + 展開式中 x 由二項式定理,知 ax 且其次數為 ( ) x 的係數為 80,求實數 a 的值. 1 5 + 的展開式中每一項皆形如 x C ( ax ) 5 5 r 1 r r 5 r r = 10 r. 當 10 r =,即 r = 時, x 項為 ( ) x, 5 1 = 10 C ax ax. x 由題意,得 10a = 80.解得實數 a =.
第 章排列 組合 11. 求 11 的十位數字. 利用二項式定理,得 ( ) 11 11 11 = 1+ 10 = C + C 10 + C 10 + L + C 10 11 11 1 11 11 11 0 1 11 11 11 1 11 9 ( C C L C11 ) = 1+ 11 10+ 100 + 10 + + 10 = 111+ 100m 11 其中 m 為正整數.故 11 的十位數字為 1. 15 7. 求多項式 f ( x) = ( 1 x) + ( 1 x) + ( 1 x) + L + ( 1 x) 15 因為 ( 1 x) + ( 1 x) + ( 1 x) + + ( 1 x) 級數,所以 15 項的總和為 因此, f ( x ) 的 故 f ( x ) 的 f ( x) ( ) ( ) 1 ( 1 x) 的 x 項係數. L 為一首項 1 x,公比 1 x 的等比 15 ( ) ( ) ( ) 1 x 1 1 x 1 x 1 x = = x x 項就是 ( 1 x) 1 ( ( ) ) 的 x 項,即 1 1 C x = C x = x. x 項係數為 50. 50 1. 8. 求滿足不等式 000< C n 1 + C n n n + C + L + C n < 000的正整數 n. 因為 C n 0 + C n n n n 1 + C + C + L + C n n =,所以 因此,原式可改寫為 C + C + C + L + C = C = 1. n n n n n n n 1 n 0 n n 000< 1< 000 001< < 001.
第 章排列 組合 10 又因為 = 10, 11 = 08, 1 = 09,所以正整數 n = 11. 總習作 1. 在 0 的正因數中,有多少個是 1 的倍數? 將 0 作質因數分解,得 0= 5. a b c 又因為 1=,所以既是 0 的正因數又是 1 的倍數必為 5 形 式,其中 a {,}, b { 1,}, c { 0,1} 選擇, c 有 種選擇..因此, a 有 種選擇, b 有 種 故既是 0 的正因數又是 1 的倍數者共有 = 8個.. 舞會中將 位男生與 位女生配成 對,每一對皆含一位男生與一位女 生,問:共有幾種配對法? 可看作第一位男生有 位女生可選擇,第二位男生有 位女生可選擇,以 此類推得舞會配對方法數共有 P = 1= 種.
第 章排列 組合. 選出答案為 C 的選項: (1) 從 人中選出 人參加辯論比賽的方法數. () 甲乙丙三人從 本不同的書中,每人各選一本的方法數. () 將 枝相同筆全部分給 個人的方法數. () 在 ( ) 7 a+ b 的展開式中, ab 的係數. (5) 方程式 x+ y+ z+ t = 的非負整數解之個數. (1) 從 人中選出 人的方法數有 C. () 甲乙丙三人從 本不同的書中,每人各選一本,甲有 種選擇,乙有 種選擇,丙有 種選擇,因此總共有 = P 種選擇. () 將 枝相同筆全部分給 個人的方法數為重複組合 C () 根據二項式定理,在 ( a b) 7 + = C. 1 + 的展開式中, ab 的係數為 C. (5) 方程式 x+ y+ z+ t = 的非負整數解之個數為 故選 (1)()(5). C + = C. 1 7. 由數字 0, 1,,,, 5 所組成沒有重複數字的四位數中,不能被 5 整除的數共有多少個? 能被 5 整除的數可分為以下兩類: (1) 0 :有 5 = 0 個. () 5 :有 = 8 個. 得能被 5 整除的數有 0+ 8= 108 個.因此 所求 = 任意排 ( 能被 5 整除的數 ) = 5 5 108 = 19 ( 個 ).
第 章排列 組合 5 5. 將 8 個人均分成前後兩排拍照,若其中一對夫妻必須在同一排且相鄰, 則共有多少種排法? 第一步驟:夫妻先選擇一排,有前後排 種選擇. 第二步驟:與夫妻同一排拍照的兩人有 C = 15 種選擇. 第三步驟:將夫妻視作 1 人,與同排的兩人共有! = 種排法,又因 為夫妻位置可互換,所以有 = 1 種排法. 第四步驟:另一排四人任意排列有! = 種排法. 由乘法原理,得共有 15 1 = 80種排法.. 將 coconut 一字中的 7 個字母排成一列,求 cc 不相鄰的排法共有多少 種? 先將 oonut 排一列,再從以下 1~ 個位置中選出 個位置放入 cc : 根據乘法原理,得排法共有 1o o n u 5t 5! C = 0 15= 900 ( 種 ).! 7. 因乾旱水源不足,自來水公司計畫在下週一至下週日七天內停止供應自來水三天,但考慮民生需求,決定停水的三天完全不相連.試問共有多少種停水方案?先將四天供水作排列,再從以下編號 1~ 5 的位置中,選擇三個不供水: 5 故停水方案共有 C = 10 種方法.
第 章排列 組合 8. 求 x + 9 1 展開式中的常數項. x 由二項式定理,知 x + 且其次數為 ( r) r 9 = 9 r. 9 1 展開式中的每一項皆形如 x Cx x, 9 9 r 1 r 當 9 0 r =,即 r = 時,常數項為 故常數項為 8. 9 1 9 C Cx = = 8. x r 9. 學校開設 9 門課程供學生選修,並規定每位同學須恰選修 門.若其中日 文 法文及德文三門課由於上課時間相同至多選一門,則共有多少種選 修方案? 依日文,法文及德文三門課選修的數目可分成以下二類: (1) 都不選:從剩下的 門課選修 門,有 C = 15 種. () 恰選修一門:有 C1 C = 0= 0 種. 得選修方案共有 15+ 0= 75種.
第 章排列 組合 7 10. 將 枝筆全部分給 5 人,依下列情形,求分法各有多少種? (1) 筆不同, 每人所得不限. () 筆不同,每人至多一枝. () 筆相同,每人至多一枝. (1) 因為 枝筆每枝都有 5 種分法,所以分法共有 5 5 5= 5 = 15( 種 ). () 因為每人至多一枝,所以恰有 人各分得一枝筆,另 人則沒有分到. 又因為筆不同,所以分法共有 5 C! = 0 ( 種 ). () 同 (),但因為筆相同,所以分法共有 5 C = 1 10 ( 種 ).