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慢炀任
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1 Min-Hwei College of Health Care Management 排列與組合 Mathematics 3, Autumn 2010, C. J. Chang

2 加法原理加法原理若完成某件事有 k 種做法可供選擇其中 1, 2,, k 種做法分別有 m 1, m 2,, m k 個方法, 則完成此件事共有 m 1 +m 2 + +m k 種方法 Ex. 假設今天我們至簡餐店用餐, 該餐廳餐點分為排餐義大利麵與火鍋三種, 其中排餐有三種選擇, 義大利麵有五種選擇, 火鍋有三餐點選擇種選擇, 則我們在該店用餐共用幾種選擇? 加法原理用於找出單一次決策時, 可供選擇的項目排餐義大利麵火鍋 2

3 Ex. 加法原理小明想去看電影, 有國片與洋片, 其中國片有 5 片, 洋片有 3 片, 試問他有多少種選擇看電影方法? 國片洋片小華想到餐廳吃飯, 其中西式的有 5 家, 港式的有 3 家, 中餐有 2 家, 則小華吃飯有餐廳選擇多少家餐廳可供選擇? 西式港式中餐 3

4 乘法原理乘法原理假設完成某件事必須經過 k 個步驟, 而步驟一至步驟 k 分別由有 m 1, m 2,, m k 種方法, 則完成這件事共有 m 1 m 2 m k 種方法乘法原理用於流程式的決策, 且不同步驟間的選項必須相互獨立假設我們今天至飲料店購買茶飲料, 我們必須決定茶的種類加冰的情況與甜度 ; 若共有四種茶三種加冰情況與五種甜度可供選擇, 則我們可以選擇的飲料搭配有幾種? 茶的種類冰的狀況甜度 4

5 Ex. 乘法原理從甲地到乙地有 2 條路可走, 乙到丙地有 3 條路可走, 試問某人從甲地到丙地, 共有多少種不同的走法? 6 從甲地到乙地, 乙地到丙地, 丙地到丁地分別有條路可走, 試問甲地到丁地, 共有多少種不同的走法? 60 5

6 Ex. 乘法原理某人上衣有 3 件, 領帶 4 條, 褲子 5 件, 鞋子 6 雙, 外出時要穿著整齊, 問有多少種配穿法? 護理科甲乙丙班分別有位同學, 若美班任選一位同學出來擔任交通隊服務人員, 問共有多少種選法?

7 Ex. 乘法原理現有 1000 元紙鈔 1 張,500 元紙鈔 4 張,100 元紙鈔 4 張, 可配出多少種不同款項的付款方式? 1張 1000元可換成 2張 500元紙鈔, 因此 1000元紙鈔 1 張, 500元紙鈔 3張, 相當於 500元紙鈔 5張因此 500元紙鈔有付一張二張三張四張五張與不付, 6種方法同理 100元紙鈔有 5種付法所以付款方法有種 ( 均不支付的方式要扣除 ) 因為 500 元鈔票有兩張以上, 因此我們必須把 1000 元鈔票視為 500 元鈔票 ; 同理若 100 元有五張以上, 我們也必須把 500 元鈔票視為 100 鈔票 7

8 排列 (1) 將一些人或事物有前後順序地排成一列, 稱為排列通常排列指的都是直線排列 Ex. 現在將甲乙丙三人排成一列, 有多少種排法? 甲乙丙甲丙乙乙甲丙乙丙甲丙甲乙丙乙甲很明顯的共有 6 種方法因為上述的問題並沒有太多變化, 所以我們可以將所有排法全部列出, 但如果要同時將 10 個人排列呢? 要將全部的情況列出很難, 因此我們需要一個規則去計算 8

9 排列 (2) 我們把三人的排列問題視為有三個固定位置, 我們要決定每個位置的人在位置一的時候, 我們有三個人可以選 ; 在位置二的時候, 則有兩個人可以選 ( 因為位置一已選定了一個人 ); 而位置三則僅剩一個人可選因此由乘法定理可知, 排成一列的方法有 3 2 1=6 種 6 甲乙丙乙丙甲丙甲乙丙乙丙甲乙甲 9

10 Ex. 排列甲乙丙等 10 人排成一列, 方法有幾種? 10! n (n 1) (n 2) 這個式子就是所謂的階乘, 我們一般用 n! 表示, 其中 n 必須為非負的整數 0! 1, 1! 1, 2! 1 2 2, 3! 3 2 1,, n! 1 2 ( n 1) n 10

11 Ex. 排列有 5 位實力相當的選手參加接力賽, 試問他們比賽時棒次的安排方式有幾種方法? 5!

12 Ex. 排列 12 甲乙丙丁戊 5 人中任選 3 位排成一列, 試問有多少種方法? 60

13 Ex. 排列 13 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 九個數字中, 任取三個數字排成一個 3 位數, 試問可以組成多少個 3 位數? 504

14 排列的公式 n 個相異物品, 排成一列的方法有 n ( n 1) ( n 2) n!( n階乘 ) n 個相異物品, 取 r 個排成一列的方法有 n ( n 1) ( n 2) ( n r 1) n ( n 1) ( n 2) ( n r 1) ( n r) n! ( n r) ( n r)! 我們一般將上式簡寫成 n P r n P n( n 1) ( n r 1) r n! ( n r)! 14

15 Ex. 排列 0, 2, 4, 6, 8 五個數字中, 任取三個數字排成一個三位數, 試問方法有幾種? 48 因為百位數若放 0, 將無法構成十位數, 因此僅有 4 種選法另用一種想法為我們先將 5個數字取 3個任意排列, 再減去 0排在百位數的情況 P P

16 Ex. 排列甲乙丙丁戊 5 人排成一列, 則甲必在首位有幾種排法 2. 甲乙丙三人必相鄰有幾種方法 24 6 所以方法為種 6 16

17 Ex. 排列甲乙丙丁戊 5 人排成一列, 則甲乙丙三人必須分離方法有幾種 3. 2 所以方法為種 6

18 相同物的排列在一個 n 件物件的排列當中, 若出現有相同物的情況, 稱為有相同物的排列 Ex. 二個紅球, 一個綠球, 一個白球排成一列的方法有幾種若我們將兩個紅球看作不一樣的球, 則有 4!=24 種排法但實際上紅球是一樣的東西, 因此我們必須將重覆計算的部份 ( 紅球的排列方式 ) 除回來 18

19 Ex. 相同物的排列將 banana 一字的各字母任意排成一列, 可有幾種排法? 我們先計算視為六個相異字母的排法, 再將重覆 (a與 n) 的部份除回來 6! !2! 古詞庭院深深深幾許將其中文字任意排成一列, 可有幾種不同排法? 我們先計算視為七個相異字的排法, 再將重覆 ( 深 ) 的部份除回來 7! !

20 相同物的排列在一個有 n 件事件的排列中, 若出現有相同物件的排列情形, 則其排列數為 m, 其中 m 1, m 2,, m 1! m2! mk! k 分別為第 1 種, 第 2 種,, 第 k 種相同物件的個數 n! 20

21 Ex. 相同物排列棋盤街道如圖, 某人由甲走截徑 ( 只能向右或向上 ) 到乙, 試問有幾種走法? 由甲走到乙, 我們必須經過 5條橫的與 4條直的路徑, 是一個相同物排列的問題 (9個物件的排列, 其中橫的有 5個相同物件, 直的有 4 個相同物件 ) 9! 因此總共的走法為 5!4! 21

22 Ex. 相同物排列棋盤街道如圖, 某人由甲走截徑 ( 只能向右或向上 ) 到乙, 但陰影部份不能經過, 試問有幾種走法因不能經過陰影, 我們可能的方式有三種類型, 其各別的走法為 5! 4! 甲 1 乙有 1 5! 4! 5! 4! 甲 2 乙有 20 4!1! 3!1! 5! 4! 甲 3 乙有 5 4!1! 4! 因此總共的走法為甲乙 22

23 重複排列的公式 23 從 n 個不同的事物中, 選取 r 個排成一列, 每個可重複選取時, 稱為重複排列 ( 可重複選取的直線排列 ) 其排列方法有 n r 種 n r

24 Ex. 重複排列從 1, 2, 3, 4, 5 五個數字中, 選取三個數字 ( 可重複 ) 排成一個三位數, 可有多少個不同的三位數?

25 Ex. 重複排列 25 數學期中考試有 10 題選擇題, 每題皆是 4 選 1 的單選題, 某生用猜的作答, 試問他有多少種不同的猜測答案

26 Ex. 重複排列 26 某人上班途中會經過 8 個僅設有紅燈與綠燈的十字路口, 試問他可能遇到多少種不同的紅綠燈情形?

27 組合從 n 個相異取 r 個排成一列 ( 有順序關係 ) 的方法有 P rn 那麼, 從 n 個相異取 r 個當成一組 ( 沒有順序關係 ), 其方法有多少種? 這種沒有順序關係的選取方式, 稱作組合問題組合與排列的最大差異在於沒有順序關係, 我們以三個人排成一列的例子來看, 可能的排列方式會有 6 種, 但它們實際上都是同一種選取方式甲乙丙甲丙乙乙甲丙乙丙甲丙甲乙丙乙甲甲乙丙因此組合的計算, 可先計算排列的數量, 再將因順序關係 ( 排列 ) 所產生的部份除回來 27

28 組合的公式從 n 個相異物, 取 r 個為一組的方法, 我們以 C r n 表示 C n r n Pr n! r! r!( n r)! C C n n n r n 0 1 n! n! r!( n r)! ( n r)! r! n n P C r! r C r C n n r 28

29 Ex. 排列與組合 P C C P C C C

30 Ex. 組合某班有 24 位男生,16 位女生, 若選出 2 男 3 女組成啦啦隊, 問有幾種不同的選法? C C 男生的選法女生的選法 30

31 Ex. 組合某次考試共有 10 個題目, 規定前 4 題中任選 2 題, 後 6 題中任選 3 題作答, 則有幾種選題方法? C C 前題後題前 4 題後 6 題 31

32 Ex. 組合樂透彩券, 由 1 到 42 個號碼中, 不可重覆地開出 6 個號碼為一組,6 個號碼全部簽中即得頭獎請問 1 到 42 個號碼, 可開出幾組號碼? C

33 Ex. 組合 12 本不同的書依照下列分法, 各有幾種分法 1. 平分給甲, 乙, 丙三人 2. 平分成三堆 12 C 4 8 C 4 4 C C4 C4 C ! 3!

34 Ex. 組合 12 本不同的書依照下列分法, 各有幾種分法 3. 6 本給甲,3 本給乙,3 本給丙 4. 按 6,3,3 分成三堆 5. 按 6,3,3 任意給 3 人 12 C 6 6 C 3 3 C C6 C3 C ! 2! C6 C3 C3 3! ! 34

35 重複組合 (1) 設有 n 類不同物品 ( 每類至少有 m 個 ), 若從其中每次選取 m 個為一組 ( 選取的物品可以重複 ), 此種組合方式稱為從 n 類中取 m 個的重複組合, 記為 H n m 假設將 3 個相同的球, 任意分給甲, 乙兩個人 ( 每人可兼得 ), 它的分法有幾種呢我們可以將這個問題想像成多插入一個間隔, 並用它來區分給甲或乙, 也就是這個問題變成四個物件的排列, 其求解方式也就是 4! 3!1! 35

36 重複組合 (2) 我們再進一步思考, 剛才間隔物是為了區分兩個人而產生那如果我們要區隔三個人呢? 同樣可以利用間隔物, 但此時我們需要兩個間隔物間隔物的數量為待區隔類別減 1 由上述討論可知,m 個相同物品分給 n 個人 ( 亦可說成 n 類不同物品選出 m 個 ), 其計算的通式為類別 H n m ( m ( n 1))! ( m n 1)! C m!( n 1)! m!( n 1)! m n 1 m 數量 36

37 Ex. 重複組合袋中有編號 1~6 的號碼球各 20 個, 小明從袋中取 4 球, 問所取出球的號碼有多少種可能組合 1到 6個號碼就是 6個類別由 6類物品取出 4個是重複組合的問題 H4 C4 C

38 Ex. 重複組合 6 本相同的書, 全部分給甲乙丙三人, 則 : 每人可兼得 ( 全部拿 ) 方法有幾種? 每人至少一本, 方法有幾種? 6本相同的書分給 3個人是重複組合的問題 (1) H6 C6 C6 C (2) 先發給每人 1本書, 再將剩下的書任意分給 3個人 H3 C3 C3 C

39 排列與組合的類型 39 不能重複可以重複排列 ( 順序有意義 ) 組合 ( 順序無意義 ) P C n n r r r n n m n H C m m 1

40 二項式乘法運算的展開式 ( ) 1 x y x y ( x y) x 2xy y ( x y) x 3x y 3xy y ( x y) x 4x y 6x y 4xy y ( x y) x 5xy 10xy 10xy 5xy y ( x y) n 上面已列出二項展開後部份項的係數, 各項係數的確認是很重要的問題, 如何才能透過有系統的方式找出係數? 40

41 二項式定理 5 ( x y) ( x y)( x y)( x y)( x y)( x y) x 5個 x相乘 C C 1(5 個乘項都選 x) x y 4 x 1 y C C 5(4 個乘項選 x) x y 3 x 2 y C C 10(3 個乘項選 x) x y 2 x 3 y C C 10(2 個乘項選 x) xy 1 x 4 y C C 5(1 個乘項選 x) y 5 y C C 1( 沒有乘項選 x) 個與個相乘個與個相乘個與個相乘個與個相乘個相乘 0 5 只要 x 的位置決定了,y 的位置就決定, 反之亦然二項式定理 ( x y) n C n x n C n x n y C n x n y C n y n n 41

42 Ex. 二項式定理利用二項式定理展開 (x y) 5 ( x y) ( x ( y)) 5 5 Cx Cx( y) Cx( y) Cx( y) Cx( y) C( y) x x ( y) x ( y) x ( y) x( y) 1 ( y) x 5 x ( y) 10 x ( y) 10 x ( y) 5 x( y) ( y) x x y x y x y 5xy y 42

43 Ex. 二項式定理利用二項式展開式, 求 (1.01) 10 的小數點後第三位數字? (1.01) (1 0.01) C0 1 C1 1 (0.01) C2 1 (0.01) C3 1 (0.01) 因此小數點後第三位數字為 4 43

44 Ex. 二項式定理試求 C C C C C 之值 ( x y) C x C x y C x y C x y C y 令 x 1, y 1代入 (1 1) C C C C C C C C C C

45 Min-Hwei College of Health Care Management The end of this chapter. Thank You!

Microsoft Word - 1-1泰宇解答

Microsoft Word - 1-1泰宇解答學校 : 學年度第學期第次段考科目名稱命題教師 : 年班座號 : 姓名 : 得分 : 一單選題 : ( ). 設 (x x6) (D) x Ax Bx Cx6, 則 A B C (A)6 (B) (C) 解答 :D ( ). 求 (x x x)( x x ) 的展開式中, x 項的係數為何? (A) (B) (C)6 解答 :A (D)7 9 統測 ( ). 下列何者為多項式? (A) x (B)