多項式的微積分 中正大學數學系 余文卿教授翰林出版公司高中數學總召 本來多項式的微分與積分就有公式可依循, 對任意非負整數, 或更一般的 與 x x =x -1 x,ú 0 t t= x+1 +1, x (ax +a -1x -1 + +a 1x+a 0)=a x -1 +(-1)a -1x -2 + +a 1 x Ú 0(at +a -1t -1 + +a 1t+a 0)t= a +1 x+1 + a-1 x + + a1 2 x2 +a 0x 是不是記得這兩個公式就能遊走於多項式的微積分? 事實上不然, 多項式的微積分其實是介紹微 分與積分的基本理論與應用, 只是用例以多項式為主, 不摻雜其他的超越函數, 如指數函數 對 數函數與三角函數, 故學完多項式的微積分後, 再熟習這些超越函數的微分公式, 如 x ex =e x, x lx= 1 x, x six=cosx, x cosx=-six, 就算完成了微積分的初步, 以下詳細敘述這個發展的過程 一 極限的概念 函數的微分是利用極限定義 : f 8(x)= f(x+h)-f(x) h 很自然地, 談微分就從極限談起, 於是考慮一些 0 0 形式的極限做計算的對象, 準備用於計算各 類函數的微分, 如較有名的式子, 如 sih h =1 用於計算三角函數的微分, 而對多項式而言, 單項式的微分只是 (x+h) -x h = x 0 =x -1 x -1 + ( 2 ) x-2 h+ + ( ) h-1 e ZX 數學天地
以下是一些直接從定義得到的微分公式 : 例 1: 無理式 Qx 的微分 : Q(WxW+WhW)-Qx h = (Q(WxW+WhW)-Qx)(Q(WxW+WhW)+Qx) h(q(xw+whw)+qx) = 1 Q(WxW+WhW)+Qx = 1 2Qx 例 2: 三角函數 six 的微分 : 0 si(x+)-six = 0 cosx si+six cos-six =cosx 0 si +six 0 cos-1 =cosx 1+six 0 =cosx 此處利用極限值 0 si =1, 0 cos-1 = 0 2-2 si 2 =0 例 3 : 指數函數 e x 的微分 : 此處利用極限值 e h -1 h =1 e x+h -e x e h -1 =e x h h =ex 微分源於求過函數圖形上一點切線的斜率, 是利用通過 (a4f(a)) 與 (x4f(x)) 兩點割線的斜率 f(x)-f(a) x-a 來逼近切線的斜率, 其實是把極限 x a f(x)-f(a) x-a =f 8(a) 定義為通過點 P(a4f(a)) 切線的斜率, 因而切線方程式是 y=f(a)+f 8(a)(x-a) 第 32 期 e
圖一當 x 趨近 a 時, 割線逼近切線的情形 最困擾的問題莫過於切線的定義 圓的切線非常明確, 同一平面上, 與圓相交於一點的直線是圓的切線, 對橢圓 拋物線與雙曲線, 也可明確定義出切線, 如橢圓的切線是與橢圓在同一平面上且只有一交點的直線, 但對眾多的函數圖形, 難有統一的切線定義, 就乾脆不定義切線是什麼, 而直接定出切線的斜率是 f 8(a), 再把方程式是 y=f(a)+f 8(a)(x-a) 定為切線的方程式, 有些人把切線定義為通過曲線上連續兩點的直線, 但又如何解釋什麼是兩連續點? 二 微分的法則 微分依據的不只是定義而已, 而是需透過種種微分的法則, 特別是加減乘除的微分法則都不 可或缺, 現列出如下 : 1 加法法則 x {f(x)+g(x)}= x f(x)+ x g(x), 2 減法法則 x {f(x)-g(x)}= x f(x)- x g(x), 3 乘法法則 x {f(x)g(x)}=g(x) x f(x)+f(x) x g(x), 4 除法法則 x f(x) g(x) = 1 g(x) 2 g(x) x f(x)-f(x) x g(x) 鏈鎖定則在計算微分時用得最廣, 專門用於合成函數的微分, 這也充分證明背多項式的微分公式 k=0 x akxk = k=1 ka kx k-1 不足以應付微分的問題, 如函數 (x 2 +x+1) 20 的微分, 是透過乘法法則或鏈鎖定則 e ZX 數學天地
隱函數的微分雖不見於課程大綱, 但課文多少會提到, 特別是用於計算 x p 的微分, 令 y=x p, 則 y p =x, 兩邊對 x 微分得出 py p-1 y8=x -1, 因此 y8= p x -1 y p-1 = p x -1 x p (p-1) = p x p -1 以下是一些利用微分法則求函數微分的例子 例 1: 隱函數微分 : 給定 x 2 +y 2 =1, 求 y x 等式兩邊對微分 : 解出 2x+2y y x =0, y x =- y x 例 2: 反函數微分 : 1 由 x ex =e x, 求 x lx 解 e lx =x, 對 x 微分得 e l x x lx=1, 但 故 e lx =x, x lx= 1 x 2 由 x six=cosx, 求 x si-1 x 解 si(si -1 x)=x,-12x21, 對 x 微分得 cos(si -1 x) x si-1 x=1, 設 si -1 x=, 則 - p 2 22 p 2 且 si=x, 因此 cos=a1-x 2, 即 cos(si -1 x)=a1-x 2, 得出 x si-1 x= 1 A1-x 2 第 32 期 e
3 計算 x tax 與 x ta-1 x 解 x tax= x six cosx = cosx cosx + six six cos 2 x = cos2 x+si 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x =sec 2 x ta(ta -1 x)=x, 對 x 微分得 sec 2 (ta -1 x) x ta-1 x=1, 但 sec 2 (ta -1 x)=ta 2 (ta -1 x)+1=x 2 +1, 得出 x ta-1 x= 1 1+x 2 三 導函數的應用 一函數的導函數有時也稱為斜率函數, 擺明是用於求切線的斜率, 這同時也反應出函數值的 變化率, 切線斜率為正, 表示函數值向上攀升 ; 斜率為負, 表示函數值向下降, 這用物理上描述 直線運動的距離函數 s(t) 與速度函數 (t) 來說明會貼切 由於 (t)= s(t) t 當 (t)>0, 表示運動質點向前進, 自然距離遞增加, 而在 (t)<0 時, 表示運動質點向後 退, 自然距離遞減 以下是一實例, 實例 :f(x)=3x 4-4x 3-12x 2 +5 f 8(x)=12x 3-12x 2-24x=12x(x-2)(x-1) 1 f 在 (- 4-1) 遞減, 2 f 在 (-140) 遞增, e ZX 數學天地
3 f 在 (042) 遞減, 4 f 在 (24 ) 遞增 雖然直觀上很容易解釋一函數 f(x) 的增減與其導函數 f 8(x) 正負之間的關聯性, 但真正解開這謎題的是均值定理, 這定理把函數 f 在一區間 a4b 的變化率 f(b)- f(a) b-a 表示為這函數的微分 f 8(c), 其中 a2c2b 求函數的極值是導函數的另一應用, 先解方程式 f 8(x)=0, 找出函數的臨界值, 再透過函數在臨界值左右的變化, 找出函數的極值, 導函數應用的最高境界是用於處理日常生活中的最佳化問題, 最早把導函數應用於最佳化問題的是法國業餘數學家費馬 (Pierre e Fermat, 1601 1665) 而使拉普拉斯 (Pierre imo Laplace, 1749 1827) 推崇他為微積分的真正發明人, 當然這頭銜不得不跟牛頓與萊布尼茲共同分享, 他們兩人才是公認的微積分發明人 以下是一典型的例子 光的折射現象 ell 定理 : si1 = si2 1 2 證明 光線從 A 到 B 所需時間是 Aa 2 +x 2 1 + Ab2 +(c-x) 2 2 第 32 期 e
根據費馬原理, 光是走最省時間的路線 因此 即 2x 1Aa 2 +x + -2(c-x) 2 2 Ab 2 +(c-x) =0 2 si 1 1 - si2 2 =0 四 黎曼和 雖然積分比微分發明得早, 公認是發明於約西元前 300 年的阿基米德時代, 但積分的理論卻 很晚才成形, 是由德國數學家黎曼 (Georg Frierich Berhar Riema, 1826 1866) 所提出, 後世的人把它用於逼近定積分 的和 稱為黎曼和, 針對黎曼和解釋如下 Ú a b f(x)x k=1 f(xk* )Dx k (1) 先把積分的範圍 a4b 做一分割, 分割點由左而右是 若採取等距分割, 這時 x 0=a<x 1<x 2< <x -1<x =b x j=a+jdx,dx= b-a 分割的原則是使每一分割出來的區間長度 Dx j=x j-x j-1 會隨著 變大而趨近於 0, 如令 則 9 Dx=0 (2) 分割出來有 個區間, Dx=max{Dx 14Dx 24 4Dx } x 04x 1, x 14x 2,, x k-14x k,, x -14x, 在每一區間中取一參考點, 由區間 x k-14x k 取出的參考點是 x k *, 而黎曼和就是 k=1 f(xk* )Dx k 當然, 這樣的黎曼和依切割方式與參考點選擇而有成千上萬個, 而我們關心的是這些和會不 會有共同的極限 值得一提的是這些和的極限並不是單純數列或級數的極限, 尚有深奧的學問在後頭 求定積分的值, 一般是透過微積分的基本定理, 而非透過黎曼和求極限, 只有少數的場 合是充做說明的例題, 如計算拋物線 y=x 2 在 02x21 範圍內函數圖形下的面積, 把 041 等分為長度為 1 的區間, 並以 k 為區間 k-1 4 k 的參考點, 這時的黎曼和為 k=1( k ) 2 1 = 1 3 k=1 k 2, e ZX 數學天地
計算上面數值在 趨近於無窮大的極限時, 需動用到級數和 k=1 k2 = (+1)(2+1) 6 這樣土法煉鋼的方法也適用於函數 y=x m, 其中 m 是正整數, 這時的黎曼和為 引發的問題是求級數 的和, 其實只要知領導係數是 則有 m = k=1 k m - -1 k=1 km 1 m+1 k=1( k ) m 1 = 1 m+1 k=1 k m k=1 km 即可, 這不難辦到 設 k=1 km =b 0 m+1 +b 1 m + +b m+b m+1, =b 0{ m+1 -(-1) m+1 }+b 1{ m -(-1) m }+ 比較兩邊 m 的係數, 得 故 b 0= 1 m+1, 因此 1 1 Ú 0 x m x= 9 m+1 k=1 k m 1=b 0(m+1) 1 1 = 9 m+1 m+1 m+1 + 低次項 = 1 m+1 五 微積分基本定理 微分發明於十七世紀, 用於求切線的斜率與極值問題, 積分發明於西元前三世紀左右, 用於 計算面積與體積, 特別是阿基米德早已算出半徑是 r 的球體體積是 4pr3 3 且表面積是 4pr 2, 微分 與積分似是兩個毫不相關的數學領域, 但牛頓的啟蒙老師巴洛 (Isaac Barrow, 1630 1677) 卻發現了微積分基本定理, 微分與積分只是彼此的逆運算, 巴洛是英國劍橋大學的講座教授, 引導牛頓去翻閱當代數學的主要經典書籍, 藉著不斷的研讀與思考, 牛頓才從一個普通人飛躍成當代的大師 第 32 期 e
微積分基本定理第一種形式 : 若 f(x) 是定義在 a4b 上的連續函數且 x F(x)=Ú a f(t)t,a2x2b, 則 F(x) 是定義在 a4b 上的連續函數,F(x) 在 (a4b) 可微分且 F8(x)= f(x),a<x<b 第二種形式 : 若 f(x) 是定義在 a4b 上的連續函數而 F(x) 是 f(x) 反導函數, 則 b Ú a f(x)t=f(b)-f(a) 示例 : 知道半徑是 r 的圓周長 =2pr, 半徑是 r 的圓面積 =pr 2 解 將半徑是 r 的圓分成環狀區域, 圓半徑分別為 1 2 r 4 4 4 由內而外, 第 j 個環狀區域面積約為 2p ( jr ) * r =2pr2 j 2, 因而 1 圓面積 = 2pr 2 9 2 j=1 j = 9 2pr 2 1 2 * (+1) 2 =pr 2 反過來說, 知半徑是 r 的圓面積, 則周長為 Dr 9 p(r+dr) 2 -pr 2 = Dr r pr2 =2pr 同樣定理運用於球表面積與球體積 : 半徑是 r 的球表面積 =4pr 2 積分 微分 半徑是 r 的球體體積 = 4pr3 3 參考資料 1. 高中數學, 選修 II, 余文卿主編, 翰林出版公司,2008 10 e ZX 數學天地