第八章轉動運力學 1. 繫一質量為 m 的小物體於通過空心管之線, 以一手持管另一手持線, 令物體以 v 1 的速率在半 徑為 r 1 的圓周上轉動 空心管與線之摩擦不計將線往下拉使物體旋轉之半徑減小為 r 2, 則該物 體的切線速率 v 2 為 (A) (C) (D) 難易度 : 解答 : 解析 : 因力矩 =0, 故角動量守恆 2. 一人站在無摩擦且正以 2 轉 / 秒之角速度轉動之轉臺上, 伸直兩臂, 雙手各持一重物, 此時人 2 和臺的總轉動慣量為 6 千克 - 公尺 將兩臂收回後轉動慣量減至 4 千克 - 公尺 2, 則轉臺之末角速 度大小為若干? (A) 2 3 (C) 4 (D) 6 (E) 8 轉 / 秒 難易度 : 解答 : 解析 : 角動量守恆 : 轉 秒 3. 質量為 1 kg的物體, 在半徑 2 m 的圓周上, 作等角加速度運動, 其初角速度為 2 rad/s, 角加速度為 1 rad/s 2, 則在第 2 秒末, 物體的動能為多少焦耳? (A) 20 24 (C) 30 (D) 32 (E) 48 難易度 : 解答 :(D) 4. 一質點作半徑固定的圓周運動, 其角位移與時間之關係為 θ=2t 2 +3, 則第三秒末與第五秒末 之角動量值之比為 (A) 2:3 3:4 (C) 4:5 (D) 3:5 難易度 : 解答 :(D) 解析 : 由 θ=2t 2 +3, 得角速度 由角動量公式故正確選項為 (D) 知, 角動量正比於角速度, 故 5. 三個質量均為 m 的質量, 置於邊長為 a 的正三角形的三個頂點, 則以三角形的重心為轉軸, 垂 直於三角形的平面轉動, 則轉動慣量為 (A) (C) (D) 解答 :(A) 解析 : 難易度 : 故正確選項為 (A) 6. 長 2 公尺, 質量可忽略的水平輕桿, 左右有兩個質量 1 kg 2 kg的質點, 桿中心有轉軸, 無摩擦, 桿由靜止起動, 繞軸鉛直面轉動, 當桿身呈鉛直的瞬間, 此系統對轉軸的角動量大小為 : 8-1
(A) (C) (D) (E) 難易度 : 解答 :(D) 7. 距離為 R 的兩質點, 繞系統質心轉動時, 如右圖所示, 則該系統的轉動慣量 為 (A) (C) (D) 難易度 : 解答 : (D) 2m m 8. 質量同為 m 的兩球, 以長度為 r 的輕桿連接, 並使之繞通過系統質心的軸轉動, 如圖所示, 則該系統相對於 O 點的角動量量值為 (A) (C) (D) 難易度 : 45 解答 :(D) 解析 : 角動量 L= r m V 小球作圓周運動之速率 其中一球對 O 點之角動量 L= r m V 故正確選項為 (D) 9. 質量 m 的質點在鉛直面上作圓周運動時, 通過最低點 C 處的速率為 今以圓心為參考點, 則下列敘述何者正確? (A) 質點通過 A B C 三點 時所受重力力矩皆為零 質點通過 A B C 三點時, 所受張力力矩皆 為零 (C) 質點通過 B 點時的角動量量值為 (D) 質點通過 A 點時 的角動量方向落於 A 處的切線方向 (E) 質點通過 A B C 三點處都有相 同的轉動慣量 難易度 : 解答 : (C) (E) 解析 :(A) B 點的重力沒通過轉軸, 故有力矩 而繩張力通過轉動中心, 故無力矩 (C) 由能量守恆可知, 角動量 l (D) 在進或出紙面之方向 (E) I=mR 2,A B C 三者均相同 故正確選項為 (C) (E) 8-2
10. 一支輕桿繞其一端轉動時, 其角動量 L 與時間 t 的關係為 L=2t 2 +2t+1( 單位 :SI) 假定輕 桿的轉動慣量為 2 kg m 2, 則 (A) 輕桿於第 1 秒時所受的力矩為 5 N-m 輕桿於第 1 秒時 的角速度為 5 rad/s (C) 輕桿於第 1 秒時的角加速度為 3 rad/s 2 (D) 輕桿於 0 1 秒內轉動的平 均角加速度為 2 rad/s 2 (E) 初角速度為 12 rad/s 難易度 : 解答 :(C) (D) (E) 解析 : 由方程式,, 可知, 則 (A) 力矩為 6N-m (C) (D) (E) 故正確選項為 (C) (D) (E) 11. 兩小球質量分別為 m 1 及 m 2, 由一長度為 L 之細桿 ( 質量可忽見解析 ) 相連, 並以通過兩球質 量中心且垂直於細桿的軸, 做等角速度 的轉動, 則下列敘述何者正確? (A) 旋轉軸與 m 1 的距離為 兩球均作速率為 的等速圓周運動 (C) 兩球的動量量值相等 (D) 兩球的動量和為零 (E) 兩球的角動量量值相等 難易度 : 解答 :(A) (C) (D) 解析 : v= 兩者之 相同, 但 R 不同 v 不同 (E) L= r P 兩者之 P 相同,r 不同 L 不同 故正確選項為 (A) (C) (D) 12. 下列何者為角動量守恆之應用? (A) 花式溜冰的演員, 當表演旋轉動作時, 常由雙手或某一腳的平伸或收回來改變轉動的角速率 馬戲團的空中飛人利用手腳及身體屈曲伸直以改變其轉動慣量, 俾控制滾翻的轉動速率 (C) 直升機利用主 副螺旋槳來保持機身穩定 (D) 行星繞日公轉時行星與太陽之連線在相等時間內掃過相同之面積 (E) 火箭在太空飛行 解答 :(A) (C) (D) 難易度 : 13. 質量 m 的泥球以速度 v 與靜止的圓盤發生碰撞, 已知碰撞後, 泥球黏在圓 盤的邊緣上, 且使圓盤繞 O 點轉動起來, 泥球在碰撞前, 相對於 O 點的角動量為 ; 泥球黏在圓盤邊緣後, 圓盤轉動的角速度為 ( 圓盤之轉動慣量為 I) 難易度 : 解答 : 2R o 解析 :(1) 8-3
(2) [ 角動量守恆 ] 14. 一長度為 d, 質量可以略去的細桿, 其中心點 O 固定, 兩端各置有質量為 m 及 2m 的質點 ; 細桿與鉛垂方向之夾角為 θ( 如圖 ), 設重力加速度為 g, 則重力對 O 點所產生之力矩之量值為 難易度 : 解答 : mgdsin 15. 花式溜冰演員雙手平伸時總轉動慣量 10 kg m 2, 轉速 2 r.p.s., 若雙手縮回, 轉動慣量 4 kg, m 2, 則轉速為 r.p.s. 難易度 : 解答 :5 16. 在外太空中有質量比為 3:1 的雙星 A 和 B, 繞其共同質心作等速率圓周運動, 試分別求出 A 和 B 的 (A) 角動量大小比 轉動慣量比 難易度 : 解答 :(A) 1:3, 1:3 解析 :(A) A B 雙星距質心的距離與質量成反比繞共同質心作等速率圓周運動, 則 A B 雙星的動量必大小相等方向相反, 故角動量與距質心之距離成正比 (a) (b) 17. 一質量 2 kg 之質點在水平面上 A 點以速度 5 m/s 向東偏北 53 方向運動, 則此時質點對距 A 點 東方 10 m 之點的角動量大小為 kg-m 2 /s 難易度 : 解答 :80 解析 : 如右圖 : 18. 電動砂輪, 轉速為每秒 10 轉, 當截斷電流後, 開始作等減速度運動而在 10 秒末終於靜止, 則 : (A) 在此段時間內轉過幾轉 rev 若砂輪的轉動慣量為 5.0 kg m 2, 則砂輪 所受之摩擦力矩之大小為 kg m 2 /s 2 難易度 : 解答 :(A) 50, 10 19. 右圖為一質量 m 之行星繞太陽作橢圓軌道運行, 在圖中 A B 兩點上行星與太陽之距離分別為 5r 3r, 運動方向與位置向量之夾角分別為 143 53 已知行星在 A 點時繞太陽之角動量大 8-4
小為 L, 則下列敘述何者正確? (A) 行星在 A B 兩點速率比值為 行星在 A B 兩點速率比值為 (C) 行星繞太陽之面 積速率值為 (D) 行星在 A 點之速率值為 (E) 行星由 A 點至 B 之過程中, 太陽引力對行星做功 解答 :(D)(E) 解析 :(A) 難易度 : (C) 代入 (D) 承 (C), (E) 20. 兩小球質量分別為 m 及 2m, 由一長度為的細桿 ( 質量可忽略 ) 相連, 並以通過兩球質量中 心且垂直於細桿的軸, 做等角速度 的轉動, 則下敘述何者正確?(A) 旋轉軸與 m 的距離為 兩球之動量量值相等 (C) 兩球之角動量量值相等 (D) 兩球之動能和為 (E) 兩球均做速率 之等速圓周運動 難易度 : 解答 :(A)(D) 解析 :(A) 旋轉軸與 m 距 (C) 角動量 (D) (E) 8-5
21. 兩條長度分別為 R 1 及 R 2 的細繩, 各有一端固定在一光滑水平面上的 O 1 點及 O 2 點, 細繩之另一端則分別繫有質量同為 m 的小物體, 並使小物體在水平面上作等速率圓周運動, 如右圖所示 : 已知 R 1 =2R 2, 下列有關兩細繩的張力 F 1 及 F 2 之比值的敘述, 何者正確? (A) 如兩物體之角速度比為, 則 如兩物體之速率比為, 則 (C) 如兩物體之圓周運動之週期比為, 則 (D) 如兩物體之動能比為, 則 (E) 如兩物體之角動量比為, 則 解答 :(A)(D)(E) 難易度 : 解析 : (A) (C) (D) (E) 22. 有一直徑 1m 之飛輪, 支於水平軸上, 原為靜止一繩圈繞於輪之外緣, 繩端旋一定力 50 Nt,4 sec 後繩經解脫 10m, 則 (A) 此飛輪之角加速度為 1.25 rad/s 2 切線加速度為 2.5 m/s 2 (C) 其 4 sec 末之動能為 500 J (D) 4 sec 末的角速度為 10 rad/s (E) 飛輪的轉動慣量為 10kg m 2 解答 :(C)(D)(E) 解析 : 難易度 : E k = = 10 100=500 (J) 23. 在光滑平面上的 A B 兩圓盤, 半徑均為 R, 質量分別為 m 及 3m,A 盤以角速度沿逆時針 8-6
方向轉動,B 盤以角速度 3 沿順時針方向轉動, A B 兩盤心的連線方向為由西向東, 且兩盤的邊緣均極光滑 今 A 盤 以初速 v 0 由西向東碰撞盤心靜止的 B 盤, 碰撞後 A 以 v 0 的 速度向西運動, 則下列敘述哪些正確? (A) 兩盤碰撞前 B 盤最南之端點 ( 圖中之 b 點 ) 的速度為 3 R, 方向向西 碰撞後,B 盤之盤心速度的量值為 v 0 (C) 碰撞後,B 盤最南方之端點的速度為 3 R, 方向向西 (D) 碰撞後,B 盤之盤心相對於 A 盤之盤心的速度量值為 v 0 (E) 此兩盤碰撞前後的線動量不守恆 難易度 : 解答 :(A)(D) 解析 :(A) (C) 角動量守恆 : 碰撞之作用力, 對 B 盤不提供力矩 角速度仍為 3 但因為撞後 B 以 v 0 向東故 (D) (E) 線動量守恆 24. 一車輪半徑為 0.20 公尺, 以 20 轉 秒旋轉, 今如右圖從輪緣施以 2.0 10 2 牛頓之外力加以煞車, 經 4.0 秒後停止轉動, 則車輪之轉動慣量為 2 公斤 公尺 難易度 : 解答 : 解析 : 25. 質量為 m 的衛星繞地球作橢圓軌道運行, 此衛星與地球的最近距離為 r, 最遠距離為 2r, 當衛星與地球相距最近時, 衛星的角動量大小為, 則 (A) 此衛星的最小動能為 欲使此衛星脫離地球引力的束縛, 所需供給的最小能量為 難易度 : 解答 :(A) 8-7
解析 :(A) 力學能守恆 : 26. 如右圖, 長 1m, 質量 4kg 的均勻木棍, 兩端分別附著 5kg 和 3kg 的物體, 棍之中央以無摩擦軸承連接在直立壁旁, 且較重之物在棍的上端, 若棍失去平衡而旋轉, 則當較重物轉到下端時,5kg 物體速率為 m/s ( 棒之轉動慣量 I = M 2,g = 10 m/s 2 ) 難易度 : 解答 :2.07 解析 : 力學能守恆 : 1 m 4 kg 5 kg 3 kg 代入 8-8