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1 國立新營高中 大學學測數學科重點公式 範圍 : 高中 99 課綱數學一 二 三 四 冊 高 三 : 班 號 學 生 : 演練 指導教師 : 老師 新營高中鄭國順編版本修訂 :013 年 9 月 15 日

2 目 次 1 數與式 1 多項式函數 3 指數對數函數 7 4 數列與級數 10 5 排列 組合 11 6 機率 16 7 數據分析 18 8 三角 3 9 直線與圓 7 10 平面向量 空間向量 36 1 空間中的平面與直線 矩陣 二次曲線 46 I 順伯的窩

3 1 數與式 第 1 單元 數與式 算幾不等式 : 若 a,b 為非負實數, 則 a+b ab 且當 a = b 時, 等式才成立 絕對值 : 數線上對應的點 A(a), 用符號 a 表示原點 O 與點 A(a) 的距離, a 為 a 的絕對值 絕對值的性質 : 1. 當 a 0 時, a = a a < 0 時, a = a. 數線上兩點 A(a),B(b) 的距離為 AB = a b = b a 3. 絕對值性質 : 兩實數 a,b (a) a 0 (b) a = a (c) a = a (d) a b = ab (e) a b = a b,b 0 (f) a b a b (g) 三角不等式 a+b a + b 分點公式 : 分點公式 : 設 A(a),B(b) 為數線上相異兩點, 若點 P(x) 是線段 AB 上的一點且 PA : PB = m : n, 則 P(x) = ( nb+ma n+m ) 絕對值不等式 : 1. x a 充要條件為 a x a. x a 充要條件為 x a 或 x a 1 順伯的窩

4 多項式函數 第 單元 多項式函數 一次函數 : f(x) = ax+b,a 0 又稱為線性函數 圖形為斜率為 a, b 為直線 L 的截距 直線的斜率 : 直線 L 與 x 軸正向的夾角稱為斜角 θ, 則直線斜率 m = L : = mx+b x x 1 x x = tanθ 1 點斜式 : b = m(x a), 表必過點 (a,b), 斜率為 m 的直線 二次函數 f(x) = ax +bx+c 圖形與係數關係 : x = 1. a 值 : a > 0 開口向上, a < 0 開口向下. b 值 : 由頂點坐標 ( b 4ac a, b 4a ) 在哪一象限判斷來決定 3. c 值 : 圖形與 Y 軸交點坐標 (0,c) 位置來判定 4. = b 4ac : 由圖形與 X 軸交點個數判定 ( 交點即方程式 ax +bx+c = 0 之解 ) (a) 若圖形與 X 軸交兩點 > 0 (b) 與 X 軸相切 ( 交一點 ) = 0 (c) 與 X 軸不相交 < 0 x D > 0: 與 x 軸交兩點 x D = 0: 與 x 軸相切, 恰交一點 x D < 0: 與 x 軸不相交 三次 四次單項式函數圖形特徵 : 1. 三次單項式 = f(x) = x 3 的圖形 : 遞增性 圖形對稱於原點 順伯的窩

5 多項式函數 三次函數 = x 3 圖形 10 = x 三次函數圖形的伸縮 10 = x 3 = x 3 = 1 x 三次函數圖形的平移 10 = x 3 5 = (x ) 四次單項函數圖形 : = f(x) = x 4 的圖形 : 稱於 軸 { 10 x 0 f(x) 為遞增 x 0 f(x) 為遞減 圖形對 函數 = x 4 圖形 10 5 = x 4 圖形的每一點平移 (3,) 單位 10 = (x 3) 4 + = x 函數的遞增與遞減 : 若函數 f(x) 在區間 [a,b] 內, 若 x 1 < x 時, 恆有 f(x 1 ) f(x ) 則稱函數 f(x) 為遞增函數 ( 恆有 f(x 1 ) < f(x ) 則稱嚴格遞增函數 ) 若函數 f(x) 在區間 [a,b] 內, 若 x 1 < x 時, 恆有 f(x 1 ) f(x ) 則稱函數 f(x) 為遞減函數 ( 恆有 f(x 1 ) > f(x ) 則稱嚴格遞減函數 ) 函數的奇偶性 : { 奇函數 : x D, 函數 f(x) 使得 f( x) = f(x) 恆成立 偶函數 : x D, 函數 f(x) 使得 f( x) = f(x) 恆成立 奇函數圖形對稱於原點 (0,0), 偶函數圖形對稱於 軸 奇函數圖形 : 對稱原點 6 = x 5 = x 3 4 = x 偶函數圖形 : 對稱 軸 6 = x 4 4 = x 順伯的窩

6 多項式函數 利用平移 伸縮 對稱性質描繪圖形 : 1. 若 (x,) 是函數 = f(x) 圖形上的點, 則新函數 Y = +k = f(x+h) 的圖形是 = f(x) 圖形平移 (h,k) 單位. 若 (x,) 是函數 = f(x) 圖形上的點, 而新函數 Y = b,x = ax 則 Y = f(x) 圖形是 = f(x) 圖形 x 軸方向左右伸展 a 倍 軸方向左右伸展 b 倍 3. 若 (x,) 是圖形上一點, 且 ( x,) 也是圖形上的點坐標, 則圖形對稱於 軸 4. 若 (x,) 是圖形上一點, 且 (x, ) 也是圖形上的點坐標, 則圖形對稱於 x 軸 5. 若 (x,) 是圖形上一點, 且 ( x, ) 也是圖形上的點坐標, 則圖形對稱於原點 (0,0) 6. 若 (x,) 是圖形上一點, 且 (,x) 也是圖形上的點坐標, 則圖形對稱於 x = 例 : x + = 1 圖形具有對稱 x 軸 對稱 軸 對稱原點 對稱直線 = x 特點 = f(x) = x 圖形只具有對稱 軸特點 = x 3 圖形具有對稱原點特點 餘式定理 : 設 a 0, 則多項式 f(x) 被一次式 ax b 所除的餘式是 f( b a ) f(x) = g(x) q(x)+r(x), deg r(x) < deg g(x) 當 g(α) = 0 時, 函數值 f(α) = r(α) 值 1. 長除法 : 被除式次數不大, 或除式非一次式時通常使用長除法. 綜合除法 : 被除式次數頗大, 且除式為一次式時通常使用綜合除法 3. 餘式定理 : 當長除法與綜合除法都不適用時, 或 g(α) = 0,α 好解時, 函數值 f(α) 好算時, 可利用餘式定理求餘式 因式定理 : 設 a 0, 則多項式 f(x) 被一次式 ax b 所整除的充要條件是 f( a b) = 0 α 是 f(x) 的一個零解 f(α) = 0 零解的定義 ( 方程式的根 ) R(α) = 0 餘式定理 f(x) = (x α)q(x) 除法算則 (x α) 是 f(x) 的因式因式的定義 4 順伯的窩

7 多項式函數 多項式的應用 : 多項式的值與插值多項式 1. 求數值 : 餘式定理應用 長除法 綜合除法求 3( ) 4 17( ) 3 +8( ) 11( )+3 = 求 = 59. 插值多項式 : 給定相異實數 x 1,x,x 3 分別對應到 1,, 3 ; 若多項式 f(x) 滿足 f(x 1 ) = 1,f(x ) =,f(x 3 ) = 3 且次數 則 (a) 簡易多項式 : 可假設 f(x) = ax +bx+c, 再分別將三點 (x 1, 1 ),(x, ),(x 3, 3 ) 代入, 解多項式係數 a,b,c 三元一次聯立方程組 (b) 牛頓插值多項式 : 可假設 f(x) = A(x x 1 )(x x )+B(x x 1 )+C, 再分別將三點 (x 1, 1 ),(x, ),(x 3, 3 ) 代入, 解 A,B,C 聯立方程組 (c) 拉格朗日插值多項式 : 有固定公式, 可處理大量數據運算 設 f(x) = A(x x )(x x 3 )+B(x x 1 )(x x 3 )+C(x x 1 )(x x ), 再分別將三點 (x 1, 1 ),(x, ),(x 3, 3 ) 代入, 解 A,B,C 聯立方程組 一般已知 n+1 個相異值求 n 次拉格朗日插值多項式 : P n (x) = = n k k=0 n k k=0 n i=0,i k (x x i ) (x k x i ) (x x 0 )(x x 1 ) (x x k 1 )(x x k+1 ) (x x n ) (x k x 0 )(x k x 1 ) (x k x k 1 )(x k x k+1 ) (x k x n ) (x x 1 )(x x ) (x x n ) = 0 (x 0 x 1 )(x 0 x ) (x 0 x n ) + (x x 0 )(x x )(x x 3 ) (x x n ) 1 (x 1 x 0 )(x 1 x )(x 1 x 3 ) (x 1 x n ) + (x x 0 )(x x 1 ) (x x k 1 )(x x k+1 ) (x x n ) + k (x k x 0 )(x k x 1 ) (x k x k 1 )(x k x k+1 ) (x k x n ) + + n (x x 0)(x x 1 ) (x x n 1 ) (x n x 0 )(x n x 1 ) (x n x n 1 ) 整係數多項式的一次因式檢驗法 ( 牛頓定理 ): ( 整係數多項式方程式有理根檢驗法 ) 整係數多項式的一次因式檢驗法 : 設 f(x) = a n x n +a n 1 x n 1 + +a x +a 1 x+a 0 是整係數 n 次多項式 5 順伯的窩

8 多項式函數 若 px q 是 f(x) 的因式, 且 p 和 q 為互質的整數, 則 p a n 且 q a 0 ( 即 p 必為 a n 的因數, q 必為 a 0 的因數 ) 一次因式檢查法 ( 牛頓定理 ): 設 a 0,a 1,a a n 1,a n Z 若 f(x) = a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 有一次因式 ax+b;a,b Z,(a,b) = 1 則 a a n,b a 0 勘根定理 : 設 f(x) = 0 為一實係數方程式, 若 f(a)f(b) < 0, 則 c (a,b) 使得 f(c) = 0 即在 a,b 之間, 至少有一實根 c 使得 f(c) = 0 1. 若 f(a)f(b) < 0, 則在 a,b 之間一定有奇數個根. 若 f(a)f(b) > 0, 則在 a,b 之間無根或有偶數個根 代數基本定理 : 每一複係數 n 次多項方程式 f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 = 0 恰有 n 個複數根 ( f(x) 可分解成 n 個複係數一次因式乘積 ) 共軛虛根成雙定理 : 實係數方程式 f(x) = 0, 若有複數根 z = a+bi, 則其共軛複數 z = a bi 亦為其根 即 f(z) = 0 則 f(z) = 0 二次有理係數方程式 f(x) = 0, 若有無理根 a+b c, 則 a b c 亦為其根 ( 其中 a,b,c Q) Note: 實係數多項式必可分解成實係數一次因式或二次因式的乘積 勘根定理 : 設 f(x) = 0 為一實係數方程式, 若 f(a)f(b) < 0, 則 c (a,b) 使得 f(c) = 0 即在 a,b 之間至少有一實根 c 使得 f(c) = 0 1. 若 f(a)f(b) < 0, 則在 a,b 之間一定有奇數個根. 若 f(a)f(b) > 0, 則在 a,b 之間無根或有偶數個根 正 n 次方根 n a 的意義 : 設 a > 0,n 是大於 1 的正整數, 滿足方程式 x n = a 的正實根 x, 記為 n a 正 n 次方根的運算 : n 1. a n b = n ab n a. n = ab n b 6 順伯的窩

9 3 指數對數函數 3. ( n a) m = n a m m 4. n a = mn a 高次不等式的解法 : 代數觀點 : 先將其因式分解, 可直接去除恆正 ( 負 ) 的二次因式 f(x) = a(x x n ) (x x 3 )(x x )(x x 1 ) 0,a > 0 將 f(x) = 0 的實數解畫記在 x 軸上, 由右往左依序採一正, 一負的區間分別為不等式 f(x) > 0 及 f(x) < 0 的解 x4 x3 x x1 圖 -0: 高次多項式不等式 f(x) 正負的取值區間 + 幾何觀點 : 先作出函數圖形, 再由函數值正負判別出高次多項不等式的區間 第 3 單元 指數對數函數 對數值的首數及尾數與科學記號的對應關係 : x = a 10 n,1 a < 10 logx = n+loga,1 a < 10,n Z, n 稱為首數, 0 loga < 1 稱為尾數 x = a 10 n 為 (n+1) 位數對數運算的用處 : 將複雜運算簡易化, 化乘除為加減運算 化冪次方 ( 開根 ) 為乘法 ( 除法 ) 運算 首數性質 : 1. 對數 = 首數 + 尾數 ( 首數為整數, 0 尾數 < 1 ). 真數 x 1,logx 的首數為 n x 的整數部分為 n+1 位數 3. 真數 0 < x < 1,logx 的首數為 n ( n logx < n+1) x 在小數點後第 n 位始出現不為 0 的數字 (x 的小數點後有連續 n 1 位數字為 0) 7 順伯的窩

10 3 指數對數函數 整係數多項式 f(x) 有理係數多項式 f(x) 表 -1: 多項式函數與多項式方程式的一些性質 多項式 f(x) = a n x n + a n 1 x n a x +a 1 x+a 0 因式定理 : 若 (x α) 是 f(x) 的因式 f(α) = 0 稱 α 是函數 f(x) 的一個零解 f(x) 有整係數一次因式 px+q 則 p a n,q a 0 ( 整係數一次因式檢查法 ) 方程式 f(x) = 0 x = α 是方程式的一根 ( 解 ) f(α) = 0 有理根判別法 : f(x) = 0 有有理根 x = p q 則 p a n,q a 0 方程式 f(x) = 0, 若有無理根 a+b c, 則 a b c 亦為其根 ( 其中 a,b,c Q) 實係數多項式 1.f(z) = f(z) 虛根成雙定理 : f(x). 若 f(c+di) = 0,c,d R 則 f(c di) = 0, f(x) 有實係數二次因式 x cx+(c + d ) ( 此時 < 0) 方程式 f(x) = 0, 若有複數根 z = c + di,c,d R, 則其共軛複數 z = c di 亦為其根 3.f(x) 必可分解成實係數一次因式或二次因 勘根定理 : 式的連乘積 4. 連續函數中間值定理 : 若 f(a) f(b), 則存在 c (a,b) 使得 f(c) 的值介於 f(a),f(b) 之間 若 f(a)f(b) < 0, 則 c (a,b) 使得 f(c) = 0 即在 a,b 之間至少有一實根 c 使得 f(c) = 0 實係數多項式 二次函數 f(x) = ax +bx+c 二次方程式 f(x) = ax +bx+c = 0 1. f(x) 恆正 a > 0, < 0 > 0, 方程式有兩相異實數根. f(x) 恆負 a < 0, < 0 < 0, 方程式有兩共軛複數根 f(x) 3. > 0 f(x) 圖形部分在 X 軸上方, 部 = 0, 方程式有相等實根分在 X 軸下方 4. 在 x = b a 時,f(x) 有最大或最小值公式解 x = b± b 4ac a b 4ac 4a 複係數多項式代數基本定理 : 複係數 n 次多項式 f(x) 可分解成 n 個複係複係數 n 次多項方程式 f(x) = 0 最少有 f(x) 數一次因式連乘積一個複數根 實係數多項式 f(x) 的一些定理 唯一分解定理 : 複係數 n 次多項式 f(x) 可分解成 n 個複係數一次因式連乘積 ( 因式不一定完全相異 ) f(x) 必可分解成實係數一次因式或二次因式 ( 此時 < 0) 的連乘積 解複係數方程式 f(x) = ax +bx+c = 0, 令 α 為其實根, 代入 f(α) = 0 比較實部 虛部均必為 0 解出 α, 再利用根與係數關係 ( 韋達定理 ) 求另一複數根 若 α 無實數解則 f(x) = 0 無實根, 則其 兩複數根 ( 非共軛複數 ) 為 x = b±z a, 其中 z = = b 4ac 若 c+di,c,d R,d 0 是 f(x) 的一個零解, 則 c di 亦是 f(x) 的一個零解 奇數次多項式至少有一實數的零解 n 次多項式有 n 個零解 ( 可為實數或複數, 若為複數必為共軛複數出現 ) 8 順伯的窩

11 3 指數對數函數 表 3-: 指數函數與對數函數圖形的特點 函數 = a x,a > 1 = a x,0 < a < 1 = log a x,a > 1 = log a x,0 < a < 1 定義域 x R x R x > 0 x > 0 值域 > 0 > 0 R R 運算性質 a r a s = a r+s log a M +log a N = log a MN (a r ) s = a rs log a M log a N = log a M N a r b r = (ab) r log a M r = rlog a M log a b = log cb log c a 單調性遞增遞減遞增遞減 凹凸性凹向上凹向上凹向下凹向上 漸近線 x 軸 x 軸 軸 軸 與 x 軸交點無無 (1,0) (1,0) 與 軸交點 (0,1) (0,1) 無無 (0,1) 圖形 (x,a x ) (x,a x ) (0,1) (1,0) (1,0) 順伯的窩

12 4 數列與級數 尾數性質 : 若 logx,log 尾數相同 x = 10 n,n Z 等差 等比 : { 一般項 a n = a 1 +(n 1) d 1. 等差數列前 n 項和 S n = a 1 +a n n = a 1 +(n 1)d n { 一般項 a n = a 1 r n 1. 等比數列前 n 項和 s n = a+ar +ar + +ar n 1 = a(1 rn ) 1 r,r 1 ( 若 r = 1,S n = na 1 ) 第 4 單元 數列與級數 數列 : 將一些數依序排成一列, 稱為數列 例 : a 1,a,a 3,,a n 以 < a n > 表示數列的第 n 項 a n 用 n 來表示稱為數列 a n 的一般項 ( 通項 ) 由數列前幾項無法唯一決定此數列的一般項 例 :1,,4 可為 < n 1 > 的前三項, 也可能為 < n n+ > 的前三項 遞迴數列與遞迴關係式 : ( 高中主要討論一階遞迴關係式或簡單規律的遞推數列 ) 數列 < a n > 中, 一般項可用前相鄰項 a n 1,a n, 表示的一種表示關係 具有此種關係的數列稱為遞迴數列, 此關係式稱為遞迴關係式 例 : 公差為 d 的等差數列亦可表為 a n = a n 1 +d,n 公比為 r 的等比數列亦可表為 a n = ra n 1,n 一階線性遞迴關係式 : a n = α a n 1 +f(n),n 1. 若 a n = a n 1 +f(n),n 累加消去法 : a n = a 1 +f()+f(3)+ + f(n) = a 1 + n f(k) k=. 若 a n = αa n 1 +k,n 變數代換消去 k: 令 b n = a n +c, 代換並比較常數,k = (α 1)c 則 b n = αb n 1 為公比為 α 的等比數列 a n = b n c = b 1 (α) n 1 c = (a 1 +c)(α) n 1 k α 1,n 的運算性質 : a 1 +a + +a n = 級數末項 n k= 級數初始項 1 a k, 其中 a k 為級數一般項,k 為變數 10 順伯的窩

13 5 排列 組合 n 1. (a k ±b k ) = n a k ± n k=1 n k=1 n k=1 k=1 b k k=1 c = c+c+c+ +c }{{} = nc n 項 ca k = c n n k=m+1 a k k=1 a k = n a k m k=1 n (a k b k ) n n a k k=1 常用級數和公式 : k=1 a k k=1 b k k= n k=1 n k=1 n k=1 k = n = n(n+1) k = n = n(n+1)(n+1) 6 k 3 = n 3 = n (n+1) 4 第 5 單元 排列 組合 計數原理 : 1. 樹形圖分層計數法 : 利用樹枝狀圖形分析, 使複雜狀況明顯化 B child1 sub1 A child root sub sub3. 列舉法 : 將集合的元素一一列出, 記算其中的元素個數 3. 一一對應原理 : 設 A,B 是兩個元素個數有限個的集合, 若集合 A 與 B 之間的元素可以建立一一對應的關係, 則這兩個集合的元素個數必相等, n(a) = n(b) 11 順伯的窩

14 5 排列 組合 4. 加法原理 : 若 A 及 B 兩步驟完成的方法各為 m,n 種方法 且 A B 兩步驟不會同時完執行彼此為互斥, 則完成一事件可選擇 A 或 B 步驟來完成, 則事件的完成方法共有 m+n 種方法 ( 完成一事件採取互斥的步驟 A,B,C 其一就完成事件, 則完成事件方法有 n(a)+n(b)+n(c) 種 ) 5. 乘法原理 : 完成 E 及 F 步驟的方法各為 m,n 種方法 且 E F 兩事不互相影響, 則完成一事件需 E F 兩步驟才能完成, 則完成事件的方法有 m n 種方法 ( 完成一事件須採取獨立的步驟 A,B,C 全部步驟才算完成此事件, 則完成事件方法有 n(a) n(b) n(c) 種 ) 6. * 高等計數方法 : (a) 取捨原理 (b) 遞推關係 (c) 生成函數 (d) 鴿籠原理與 Ramse 定理 (e) 波利亞 (Pol) 計數定理 加法原理 : 若 A 及 B 兩事件完成的方法各為 m n 種方法 且 A B 兩事不能同時完成為互斥, 則完成 A 或 B 事的方法共有 m + n 種方法 ( 完成一事件採取互斥的步驟 A B C 只要其一就完成事件, 則完成事件方法有 n(a)+n(b)+n(c) 種 ) 乘法原理 : 完成 E 及 F 事件的方法各為 m,n 種方法 且 E F 兩事不互相影響, 則完成 E F 兩事件的方法有 m n 種方法 ( 完成一事件須採取獨立的步驟 A,B,C 全部步驟才算完成此事件, 則完成事件方法有 n(a) n(b) n(c) 種 ) P Q (+)+ 3 4 = 3 取捨原理 :( 排容原理 ) 設 A,B,C 是三個有限個元素的集合, 則 n(a B) = n(a)+n(b) n(a B) n(a B C) = n(a)+n(b)+n(c) n(a B) n(a C) n(b C)+ n(a B C) 1 順伯的窩

15 5 排列 組合 直線排列數 : n 件相異物的直線排列方法有 n! = n (n 1) (n ) 1 種 從 n 件相異物品中取 k 件排成一列的方法數 : P n k = n! (n k)! n n 1 n (n k +1) 重複排列數 : n k 只取出 K 物排列, 剩下 (n k) 物的排列均視為同一排列 n 類物品 ( 每類至少有 k 件 ), 中取出 k 件排成一列, 可重複選取, 則其排列數為 } n n n n {{} = n k k 個 相異組合數 : 從 n 件相異物品中選取 k 件的方法數 C n k = Cn n k = n! k!(n k)! 5 相異物 A B C D E 取出 3 物排列數 5 物取出 3 物組合數 ABC ACB BAC BCA CAB CBA {A, B, C} ABD ADB BAD BDA DAB DBA {A, B, D} ABE AEB BAE BEA EAB EBA {A, B, E} ACD ADC CAD CDA DAC DCA {A, C, D} ACE AEC CAE CEA EAC ECA {A, C, E} ADE AED DAE DEA EAD EDA {A, D, E} BCD BDC CBD CDB DBC DCB {B, C, D} BCE BEC CBE CEB EBC ECB {B, C, E} BDE BED DBE DEB EBD EDB {B, D, E} CDE CED DCE DEC ECD EDC {C, D, E} 共有 P3 5 = 5!! = 60 排法共有 C3 5 = 5! 3!! = 10 取法從 n 件相異物品中取 k 件排列數 Pk n = Cn k k! 重複組合 : 從 n 類相異物品中 ( 每類物品至少有 k 件, 可重複選取 ) 則選出 k 件的方法數有 H n 類 = C n+k 1 k 選取數 k 將相同物 k 件, 切割成 n 份, 只要切 (n 1) 刀分割 重複組合數就是相當於此 k (k +n 1)! 件相同物及 (n 1) 個分割點的排列數 = = C k!(n 1)! n+k 1 k 13 順伯的窩

16 5 排列 組合 非負整數解個數 : x 1 +x + +x n = k 的非負整數解個數為 H n k = Cn+k 1 k 解應用問題時, 假設未知數, 列式後再化成非負整數解的題型 1. 從 n 類物品 ( 每類個數很多 ) 中選取 k 個的組合數. n 元一次方程式 x 1 +x + +x n = k 的非負整數解個數 3. 將 k 個相同的事物全分給 n 個人的分法 也就是在乎每類物品被取出幾個, 即第 i 類物品被取出 x i 個, 總共取出 k 個的不同取法 x 1 +x + +x n = k 的非負整數解個數相當於有 k 個 1 要分給 n 個未知數 k 個 1 要分成 n 份, 只要 (n 1) 個分割記 號 表示 3,, 1, 0, 1 的整數解 表 5-3: 計數方法的種類一覽表 物品給法對象方法數 k 類相異物任意 ( 可重複 ) 分給 n 相異對象 n k n 相異物每人一件 m 相異對象 P n m = C n m m! n 相異物任意 ( 可重複 ) 分給 m 相同對象討論 (a 1,b 1, ) 有 C n a 1 C n a 1 b 1 (a,b, ) 有 C n a C n a b 有任何 k 個相同數目 a i = b i, 要 1 k! n 相異物平均分給 m 相同 C n k Cn k k 1 m! n 相異物 (n > m) 每個一件 m 相同對象 C n m m 相同物全部任意分給 n 相異對象 H n 種類數 = C m 可重複選取數 m n+m 1 n 相同物 (n < m) 每人至多一件 m 相異對象 C m n n 相同物 (n > m) 每人至多一件 m 相異對象 m m 相同物任意分給 n 相同對象討論 (a 1,a,,a n ) 為一種情形 (b 1,b, ) 為一種情形. 先固定 a 1 再討論其後 14 順伯的窩

17 5 排列 組合 計數方法種類 : 如表 計數方法適用情景排列或組合 n k n 類相異物任取出 k 個的排列數相異 相異的重複排列 n! n 件相異物的直線排列相異物的排列數 * n! n n 件相異物的環狀排列 * 環狀排列 P n m 從 n 件相異物中選取 m 件相異物排列的方法數選取相異物的排列數 n! m! n 件物品中有 m 件相同物的排列數 不盡相異物的排列數 C n m n 類相異物任意取出 k 個相異的選取方法數選取相異物的組合數 H n m m 件相同物任意分給 n 類相異對象的方法數重複組合數 特殊規定 : 1. n 人中, 甲不可排首位, 乙不可排末位, 丙不可排第三位, 有 n! 3(n 1)!+ 3(n )! (n 3)! 種排法. k 件相異物任分給 n 人, 其中甲 乙 丙三人均至少一物, 有 n k 3(n 1) k + 3(n ) k (n 3) k 種分法 3. k 件相同物任分給 n 人, 其中甲 乙 丙三人均至少一物, 有 Hk n 3Hn 1 種分法 3H n k H n 3 k 二項式展開式的一般項 : ( 前項 + 後項 ) n = n Cn k n ( 前項 ) k ( 後項 ) n k k=0 降冪排列的 k 次項為 C n n k ( 前項 ) k ( 後項 ) n k 降冪排列的 k 次項係數為 a k+1 = C n k = n! (n k)!k! 求餘式 ( 數 ): 1. 同除式 : f 1 = g q 1 +r 1,f = g q +r (f 1 +f ) g (r 1 +r ) (f 1 f ) g (r 1 r ),(f 1 ) n g (r 1 ) n. 長除法 :( 被除式次數不甚高, 除式次數二次以上 ) k + 3. 綜合除法 :( 被除式次數不甚高, 除式次數一次 ) 15 順伯的窩

18 6 機率 4. 餘式定理 : f(x) = g(x)q(x)+r(x), 當 g(x) = 0 ( 好解, 無重根時 ) x = α 為其解時, 則 f(α) = r(α) 5. 二項式定理求餘式 : [f(x)] n = [g(x)q(x)+r(x)] n, 當 r(x) 愈簡易越好 6. 微分應用重根定理及餘式定理 : f(x) = g(x)q(x)+r(x), 當 g(x) = 0 有重根時 第 6 單元 機率 等機率樣本空間 S: 此試驗可能發生的所有樣本點所成的集合稱為樣本空間 S ( 若樣本空間內的所有樣本點發生機率均等, 此時稱為等機率樣本空間 ) 例 : 投擲兩公正相同骰子, 則其點數有 H 6 種不同的情形 ( 事件 ) 其等機率樣本空間有 6 個樣本點 ( 事件 ) 骰子點數一個 6 一個 3 點的事件有 (3,6),(6,3), 而骰子點數兩個 6 點的事件只有 (6,6), 前者有 個樣本點, 後者只有 1 個樣本點 ; 且 (1,1),(1,),,(3,6),,(6,3),,(6,6) 這些樣本點發生的機會均相等 等機率樣本空間的個數 n(s) 就是數出所有可能會發生且機會均相等的樣本點個數 ; 故投擲兩公正骰子點數的等機率樣本空間的個數 n(s) = 6 機率的定義 ( 古典機率 ): 利用排列組合數出樣本空間的個數或數出試驗有幾種不同的結果 事件 A 的機率就是數出在等機率樣本空間 S 內符合 A 事件的樣本個數 n(a) 與等機率樣本空間個數 n(s) 的比值 即 P(A) = n(a) n(s) ( 拉普拉斯的古典機率 ), 特別是 P( ) = 0,P(S) = 1 注意 : 某一試驗可能發生的情形共有 n 種不同的事件 ( 樣本點 ), 並不意謂每一事件 ( 樣本點 ) 發生機會均等 只有在等機率樣本空間內每一事件 ( 樣本點 ) 發生的機會才相等 例如 : 投擲兩公正硬幣 ( 正反面個數有 3 種不同的情形 ): 樣本空間 S = { 兩正面 一正一反 兩反面 } 或 S = { 正正 正反 反正 反反 } S,S 均為投擲兩硬幣正反面結果的樣本空間, 其中 S 才是等機率樣本空間 而一正一反的機率為 P(A) = n(a) n(s) = 4 機率的基本性質 : 1. 空事件的機率 : P( ) = 0 16 順伯的窩

19 6 機率. 全部事件的機率 : P(S) = 1 3. 若 A S, 則 0 P(A) 1 4. 餘事件 A 的機率 : P(A ) = 1 P(A) 5. 機率的取捨原理 ( 排容原理 ): P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) P(A B C) = P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(A C) P(B C)+P(A B C) 6. 互斥事件的機率 : 若 A B =, 則 P(A B) = P(A)+P(B) 7. P(B) = P(A B)+P(A B) 條件機率 : 設 A,B 為樣本空間 S 的兩事件, 已知在事件 B 發生的情況下 P(B) > 0, 事件 A 發生之機率, 以 P(A B) = P(A B) 表之 P(B) 1. P( B) = 0. P(B B) = P(A B) 1 4. P(A B) = P(A B) P(B) = P(B A) P(A) 5. P(A B C) = P(A B)P(C A B) = P(A)P(B A)P(C A B) 條件機率乘法法則 : P(A B) = P(A)P(B A) P(A 1 A A 3 ) = P(A 1 )P(A A 1 )P(A 3 A 1 A ) 取捨原理 :P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) 獨立事件 : 設 A,B 為同一樣本空間的兩事件, 若 P(A B) = P(A)P(B) 則稱 A 與 B 為獨立事件 若兩事件不是獨立稱為相依事件 若 A,B 為獨立事件, A,B 亦為獨立事件 1. P(A B) = P(A) P(B). P(B A) = P(B) 3. P(A B) = P(A) 17 順伯的窩

20 7 數據分析 貝士定理 : 若 A 1,A,,A n 是樣本空間 S 的一個分割, B 為 S 的一任意事件 ; 則在事件 B 發生狀況下, 事件 A k 發生的機率為 P(A k B) = P(A k B) = P(A k) P(B A k ) ; i = 1,,,n P(B) n P(A i ) P(B A i ) i=1 一般簡易題目可藉由樹形圖分別求出各分割事件的機率 貝士定理是合計機率法則的逆問題 也就是已知各種 原因 機率, 而在進行隨機試驗中 A 事件已發生下, 問在這種條件下, 各 原因 事件發生的機率是多少? 事前機率 新資訊 ( 抽樣 研究報告 品管 ) 貝氏定理 事後機率檢查有病症無生病檢查無病症族群檢查有病症有生病檢查無病症 第 7 單元 數據分析 集中趨勢量數 : 用一數值來表示這一群數集中趨勢 一般常見的集中趨勢量數有算術平均數 中位數 眾數 幾何平均數等 算術平均數 (Mean) µ : ( 簡單, 易算, 靈敏 )( 易受極端值影響 ) µ = n 1(x 1+x + +x n ) = n 1 n x i i=1 離散趨勢的統計量 : 全距 四分位差 標準差等 離差 : 一群數值, 除了考慮集中趨勢外, 另一重點是分散的程度, 就是離差 一般常用測量離散程度的量數有全距 四分位差 變異數與標準差等 標準差 : 變異數的平方根 1. 母群體 : 母群體的標準差為 σ = 1 N N (x i µ) = 1 N N (x i ) µ i=1 i=1 = 1 N N (x i A) (A µ), A 為 µ 的近似估計值 i=1 18 順伯的窩

21 7 數據分析 表 6-4: 不同規則抽獎的中獎問題 ( 取球顏色問題 ) 取球方式 ( 抽獎 ) 一次取一球, 取出不放回, 共取 n 球 (n 人依序抽獎 ) 一次取一球, 取出放回, 共取 n 球 (n 人依序抽獎 ) 第 i 位抽中獎品機率第 i 位抽中機率 p 1 = p = = p n 第 i 位抽中機率 p 1 = p = = p n 中獎機率與次序無關 n( 球 ) 人無序結果發生的機率 每回為條件機率受到前人抽中及沒抽中的影響 ( 每人是否中獎為相依事件 ) 若已知第 k 位中獎與否 改變後人中獎機率 如同一次取出 n 球所發生事件的機率 每回均為獨立事件 ( 二項式機率 ) 若已知第 k 位中獎與否 不改變後人中獎機率 取出 n 球無序結果發生機率為二項式機率 C n k (p)k (1 p) n k 例題說明 : 樣本空間為 3RW(3 紅球 白球 ) 樣本空間為 3RW(3 紅球 白球 ) 取出兩球均為紅球的機率 第一球為 R, 第二球為 W 的機率 無序結果 : 球為 1R1W 的機率 條件機率 : 已知第一球為 R 則第二球為 R 的機率 已知第一球為 W 則第二球為 R 的機率 已知取出 3 球為 R1W, 則第 3 球為 R 機率 期望值 (n 人中獎個數 ) 取出 n 球 R 球期望值 P(R 1 R ) = P(R 1 )P(R R 1 ) = = 3 10 P(R 1 W ) = P(R 1 )P(W R 1 ) = = 3 10 P(1R1W) = P(R 1 W ) + P(W 1 R ) = P(R 1 )p(w R 1 ) + P(W 1 )P(R W 1 ) = = 3 5 與一次取出兩球為 1R1W 的機率 C1 3C 1 = 3 相同 C 5 5 P(R R 1 ) = P(R 1 R ) P(R 1 ) P(R W 1 ) = P(W 1 R ) P(W 1 ) = 4 = 3 4 P( R 3 R1B) = = 1R1W 排列 =! (R1W 排列 ) 3!/! = 3 P(R 1 R ) = P(R 1 )P(R ) = C (3 5 ) = 9 5 ( 獨立事件 ) P(R 1 W ) = P(R 1 )P(W ) = = 6 5 P(1R1W) = P(R 1 W ) + P(W 1 R ) = P(R 1 )P(W ) + P(W 1 )P(R ) = C1 (3 5 )( 5 ) = 1 5 P(R R 1 ) = 獨立 P(R = ) = 3 5 P(R W 1 ) = 獨立 = P(R ) = 3 5 P(R 1 R ) P(R 1 ) P(W 1 R ) P(W 1 ) P( R 3 R1B) 獨立 = P( R 3) S:R1B = P(R 3) = 3 E 一次取 n 球 (X) = E 一次一球, 球不放回 (X) = E 一次一球, 球放回 (X) = np 19 順伯的窩

22 7 數據分析 n (x i x) = N (x i ) nx. 樣本 : 樣本資料的標準差為 S = 1 i=1 n 1 n 1 i=1 N (x i A) n(a X) i=1 = n 1, A 為 X 的近似估計值 ( 母群體的資料取得有其限制或困難, 故採取抽樣樣本的平均值, 標準差資訊來推估原母群體的平均值及標準差 ; 為了使樣本資料值推估原母體保持不偏, 必須有所修正調整, 因此分母為 n 1 而非取 n ) 標準差的意義 : 計算資料與算術平均數的平均距離, 用以表明整個資料的離散情形 值愈小, 表示各資料數值較接近, 變動範圍小, 集中趨勢量數也較具代表性 資料的線性平移 : 兩群資料 X i,y i ; 若 Y i = ax i +b 則 1. 算術平均數 : Y = ax +b = ax +b. 中位數 :M e(y) = M e (ax +b) = am e(x) +b 3. 全距 : R Y = a R X 4. 四分位差 : Q.D. Y = a Q.D. X 5. 標準差 : S Y = S ax+b = a S X 數據標準化 : 將數據線性變換成平均數為 0, 標準差為 1 的新數據 z i = x i µ σ 準分數或 z 分數 可用來比較不同變數間資料的排序高低 稱為標 散佈圖 : X,Y 兩變量, 將兩數據看成序對 (x i, i ), 在坐標系上繪出點 (x 1, 1 ),,(x n, n ) 所得的圖, 以利觀察其相關情形 歐姆定律描述了電壓和電流在導體的關係, 某一段電線電流與電壓的關係如下 : 相關係數 : 未標準化兩變量 X,Y 之間的相關程度 ( 高中只討論線性相關 ) 相關係數就是用標準化新資料計算出的, 可減少不同測量單位的數據對散佈圖的影響, 使資料分布情形更易觀察其相關程度 n x i i 資料標準化 (x, i=1 ) 的相關係數 : r = n 與未標準化資料相關係數相等 0 順伯的窩

23 7 數據分析 電流 電壓 電流 電壓 電流 電壓 Ŷ 電壓 1 電壓 電流 電流 r = = n i=1 x i i n = 圖 7-4: 電流 電壓關係的散佈圖與迴歸直線 n (x i X)( i Y) i=1 n (x i X)( i Y) n S X S Y = i=1 (xi (i = X) Y) n x i i nx Y i=1 ( x i nx)( i ny ) S x Sxx S 其中 S xx = (x i x),s x = (x i x)( i );S x,s, 分別為 x, 的標準差 S xx = n S x,s = n S 1. r = 1 完全正相關. 0.7 r 1 表高度相關 r 0.7 表中度相關 4. 0 < r < 0.3 表低度相關 5. r = 0 表零相關 6. r = 1 表完全負相關 相關係數的意義與性質 : 1 順伯的窩

24 7 數據分析 1. 當兩變數的線性相關程度很高時, 兩變數之間未必可解釋存在 因果關係 相關係數只顯現兩變數之間關連性的強弱程度. 若兩變量 X,Y 的相關係數為 r, X = ax +b,y = cy +d, 則 X,Y 的相關係數 r 為 (a) ac > 0,r = r (b) ac < 0,r = r 3. 相關係數與單位無關 變量 X,Y 線性平移後的相關係數與原相關係數一樣 ( 頂多改變正負相關 ) 4. X 和 Y 相關係數與 Y 和 X 的相關係數不變 5. 相關係數與平均數及標準差一樣, 即易受少數極端數據 ( 離群數據 ) 影響 迴歸直線 ŷ = a+bx i :( 最適合直線 ) 兩變數之散佈圖上呈現類似直線關係, 可用一適當直線方程式來描述兩變量關係 ( 殘差最小平方法 ) : 若用最小平方法, 使上述直線與實際資料的誤差值平方和為最小時, 則此直線為 ŷ i = a+bx i 稱為 x i, i 的迴歸線 必過資料中心點 (X,Y) 稱 ŷ i 為第 i 筆資料的擬合值 ; e i = i ŷ i = i a bx i 為第 i 筆資料的殘差 迴歸直線斜率 b 的意義 : 若變量 X 每增減 1 單位, 則變量 Y 平均增減 b 單位 迴歸線的截距 a : 一般無特殊涵義 ( 只是配合一次函數關係式 ) a = bx b = S x S xx = r S Sxx = r S S x 圖 7-4: MinTab 軟體所呈現之體重 ( 磅 ) 與身高 ( 吋 ) 的散佈圖與迴歸直線 順伯的窩

25 8 三角 第 8 單元 三角 三角函數定義 : 直角三角形中 ; 對應角的對邊, 鄰邊, 斜邊的比值關係 A 的對應邊 a = BC, B 的對應邊 b = AC, C 的對應邊 c = AB B 正弦函數 : sinθ = a c = 對邊斜邊餘弦函數 : cosθ = b c = 鄰邊斜邊正切函數 : tanθ = a b = 對邊鄰邊 A ± Ãä ¾FÃä C ¹ïÃä 同界角 ( 共同的始邊與終邊 ): 兩個標準位置角 θ 1 與 θ 具有相同的終邊 θ 1 與 θ 同界角 θ 1 = θ ±k 360,k Z θ 1 θ = θ x θ x 1 = θ θ 1 同界角關係 : θ θ 1 = 360 k 510 廣義角三角函數定義 : θ 終邊上, 任一點 P(x,),r = OP = x + 定義 : sinθ = r,cosθ = x r,tanθ = x,x 0 1 S (sin) A (all) θ 1 O P(x,) x 三角函數與坐標關係 三角函數化簡公式 旋轉木馬記憶法 : T (tan) C (cos) 1 廣義三角函數值四個象限角的正負 : C-A-S-T 正值 x 10 x 1. 由該函數位於哪一輪輻為起始點. 以 90 為單位旋轉一輪輻, 正向角為逆時針旋轉, 負向角為順時針旋轉 3 順伯的窩

26 8 三角 cos sec cos -sin sin -cot tan -csc csc -sin cos sin sin -cos -sec 圖 8-4: 三角函數化簡公式 : 旋轉木馬記憶法 -cos 3. 最後旋轉終點位置即為該函數化簡值 三角函數的奇偶性質 : sin( θ) = sinθ,cos( θ) = cosθ 奇函數 : 類似 x 3 的性質, 若變數相反數, 則函數值為相反數 sinθ 具有奇函數性質 ( 函數圖形對稱於原點 ) 偶函數 : 類似 x 的性質, 若變數相反數, 則函數值不變 cosθ 具有偶函數性質 ( 函數圖形對稱於 軸 ) 三角函數的同值不同角度關係 : sinθ = sin(180 θ); cosθ = cos( θ) tanθ = tan(180 +θ); cotθ = cot(180 +θ) P θ+90 (,x) P θ+180 ( x, ) θ O P(x,) x P θ+70 (, x) θ 角與 θ+90,θ+180,θ+70 坐標關係 三角函數的負角關係 餘角關係 補角關系 : 1. 餘角關係 A+ B = 90 : sina = cosb,sinb = cosa. 補角關係 A+ B = 180 : sina = sinb,cosa+cosb = 0 3. 周角關係 A+ B = 360 : sina+sinb = 0,cosA = cosb 4. 反向角關係 A = B : sina+sinb = 0,cosA+cosB = 0 ( 相反數關係 ) 5. 奇偶性 : sin( θ) = sinθ,cos( θ) = cosθ;tan( θ) = tanθ 4 順伯的窩

27 8 三角 6. 三角函數值相反數 :sin( θ) = sinθ; cos(180 θ) = cosθ tan(180 θ) = tanθ; cot(180 θ) = cotθ sec(180 +θ) = secθ; csc(180 +θ) = cscθ 已知一三角函數求其餘三角函數值方法 : 1. 銳角參考角法 : 每一標準角 θ 終邊與 x 軸所夾之銳角參考角 α,θ 角的三角函數值絕對值與 α 的三角函數值相同, 再由 θ 象限角位置決定其三角函數值的正負. 坐標法 : 利用 cosθ = x r,sinθ = r 角函數定義求其餘三角函數值 找出 θ 終邊上的點 P(x,) 坐標, 再依三 3. 基本關係法 : 利用平方關係 商數關係 倒數關係求其餘三角函數值 正弦定理 : ABC 與 A BC 中, A = A,sinA = R a 三邊長比等於其三內角的正弦比, 且比值為其外接圓的直徑 a sina = sinb b = sinc c = R 餘弦定理 : a = BC = (b ccosa) +(0 csina) 第三邊平方 = 兩鄰邊平方和 鄰邊乘積 餘弦值 1. a = b +c bccosa, 或 cosa = b +c a bc. b = a +c accosb, 或 cosb = a +c b ac 3. c = a +b abcosc, 或 cosc = a +b c ab 三角形面積公式 : a ABC = 1 底 高 = 1 absinc = 1 acsinb = 1 bcsina ( 海龍公式 ) = s(s a)(s b)(s c),s = 1 (a+b+c) a ABC = r 內 s = abc 4R 外 = 1 AB AC ( AB AC) 5 順伯的窩

28 8 三角 正餘弦的和角 差角公式 : 1. cos(a B) = cosacosb +sinasinb. cos(a+b) = cosacosb sinasinb 3. sin(a B) = sinacosb cosasinb 4. sin(a+b) = sinacosb +cosasinb 倍角 三倍角公式 : 1. cosθ = cos(θ+θ) = cos θ sin θ = cos θ 1 = 1 sin θ. sinθ = sin(θ+θ) = sinθcosθ 3. cos3θ = 4cos 3 θ 3cosθ 4. sin3θ = 4sin 3 θ+3sinθ 5. tanθ = tanθ 1 tan θ 半角公式 : cos θ = ± 1+cosθ, sin θ = ± 1 cosθ (± 號可由 θ 之象限角其三角函數值來判定 ) tan θ = sinθ 1+cosθ = 1 cosθ 1 cosθ = ± sinθ 1+cosθ 同界角的 n 倍與 1 n 倍 : θ θ +kπ,k Z 與 θ 同界角之整數倍後仍為同界角 nθ nθ+kπ,k Z, 均為同界角 但其 1 n 倍角, 有 n 個不同角度 n θ = θ+kπ n,k = 0,1,,(n 1), 有 n 個非同界角的不同角度 三角函數求值問題 : 銳角 θ: 任一銳角 θ 三角函數, 可做一包含 θ 角的三角形, 利用畢氏定理, 再找出其三邊邊長比例關係 鈍角 θ: 一般角三角函數值可先找出該函數對應的參考角 θ ref 三角函數變化關係 ( 依象限角決定正負變化關係 ) 6 順伯的窩

29 9 直線與圓 1. 同一 θ 角, 求其餘三角函數值 ( 在銳角下畢氏定理求出斜邊 鄰邊 對邊比 ; 再由 θ 象限角決定三角函數值正負 ) ( 坐標法 : (x,) = (rcosθ,rsinθ),r = x +,tanθ = x ). 同一三角函數下, 求其倍角 半角 和角 差角的三角函數值 ( 利用倍角 半角 和角 差角公式代入 ) 3. 不同三角函數 不同角度下, 求三角函數值 ( 先化成同一函數或化成同角度 ; 再依上述 1, 項方法求值 ) 三角測量幾何問題的一些步驟要領 : 1. 將測量的對象轉化為特定三角形的邊長 角度或相關量. 直角三角形的邊角關係 : 可利用畢氏定理 三角函數的基本關係運用 3. 幾何測量, 作圖利用正弦, 餘弦定理, 畢氏定理, 三角形面積公式, 配合三角函數及其性質解決問題 將包含已知邊長 ( 角度 ) 的三角形列出, 包含欲求邊長的三角形列出 ; 再仔細觀察這些三角形有何上列公式 ( 定理 ) 可運用 第 9 單元 直線與圓 直線方程式 : 1. 一般式 :ax+b = c, 其斜率 m = a,(b 0) b. 點斜式 : b = m(x a) 表直線經過點 (a,b), 及直線斜率為 m 3. 兩點式 : 1 x x = 1 1 x x 表直線經過兩點 (x 1, 1 ),(x, ) 1 4. 斜截式 : = mx+k 表直線斜率為 m, 與 軸截距為 k 5. 截距式 : x a + b = 1 表直線與 x 軸, 軸的截距分別為 a,b { x = x 0 +bt 6. 向量參數式 : = 0 at,t R 表直線方向 (b, a), 過點 (x 0, 0 ) 7. 共交點的直線簇 : L 過 L 1,L 的交點, 則直線 L 方程式為 L : L 1 +kl = 0,k R 7 順伯的窩

30 9 直線與圓 直線的平行與垂直 : 兩斜截式直線 L 1 : 1 = m 1 x+k 1,L : = m x+k 互相平行 : 則 m 1 = m,k 1 k 互相垂直 : m 1 m = 1 { ax+b +c 1 = 0 或直線一般式, 互相平行 : ax+b +c = 0 { ax+b +c 1 = 0 互相垂直 : bx a +c = 0 二元一次方程組的幾何意義 : 兩直線方程式 { L 1 : a 1 x+b 1 +c 1 = 0,L : a x+b +c = 0, a 1 x+b 1 +c 1 = 0 聯立方程組 a x+b +c = 0,b 1b 0 1. a 1 b a b 1 時, 方程組恰一解, 此時 L 1 與 L 相交一點 ( 相容方程組 ). a 1 b = a b 1,b 1 c b c 1 時, 方程組無解, 此時 L 1 與 L 互相平行 ( 矛盾方程組 ) 3. a 1 b = a b 1,b 1 c = b c 1 時, 方程組無窮多解, 此時 L 1 與 L 重合 ( 相依方程組 ) 二元一次不等式的解區域 : 1. 若 > ax+b 則不等式包含直線 L : = ax+b 的上方區域. 若 < ax+b 則不等式包含直線 L : = ax+b 的下方區域 3. 若 x > a +b 則不等式包含直線 L : x = a +b 的右方區域 4. 若 x < a +b 則不等式包含直線 L : x = a +b 的左方區域 線性規劃問題 : x+1 x L : x+ = 1 < x+1 x L : x+ = 1 L : x = 4 < x+4 x L : x = 4 x+4 x 1. 決策變數 : 影響問題的變數稱為決策變數 x i. 目標函數 : 求問題的方程關係式稱為目標函數 Z = k 數值 i c i x i 其值稱為目標函 8 順伯的窩

31 9 直線與圓 3. 限制條件 : 決策變數受限的不等式組稱為限制條件 型如 : 求 Max(Min) Z = c 1 x 1 +c x + +c n x n 之最大值 ( 或最小值 ) a 11 x 1 +a 1 x + +a 1n x n b 1 a 1 x 1 +a x + +a n x n b s.t.( 受制於 ). a m1 x 1 +a m x + +a mn x n b m 二元線性規劃問題的圖解平行線法 : 欲求 max(min) Z = c 1 x+c, 利用一組平行線 L k : c 1 x+c = k 在解區域內平行移動, 找出 (x,) 使 k 直為最大或最小值的方法 1. 畫出可行解區域 F ( 不等式組的圖形 ), 並標示出所有的頂點 若 F =, 則此問題無解. 若 (c 1,c ) = (0,0), 則 F 中任一點都是最佳解, 且最佳解值 Z = 0 3. 若 (c 1,c ) (0,0), 則將目標函數 max(min) c 1 x+c = k 按其法向量方向 (c 1,c ) 或 ( c 1, c ) 平移 4. 將上述平移過程中與可行解區域相交的點均為可行解 ; 取最後 ( 最先 ) 的相交點, 即為最佳解 代入目標函數即為最佳解值 ( 最佳解可能是無解 單一解 或無限多組解 ) x+ 4 x+ 30 s.t.,max Z = 3x+4 x 0 0 O F (18,6) 最佳解 x L : x+ = 30 L : x+ = 4 L obj : 3x+4 = k (0, 15) (0,0) O F (18,6) 最佳解 x (4, 0) L : x+ = 30 L : x+ = 4 二元線性規劃問題的頂點法 : max(min) Z = c 1 x+c 一次聯立不等式所決定的可行解區域為一凸多邊形區域 而目標函數的極值必發 9 順伯的窩

32 10 平面向量 生在此凸多邊形區域的頂點上, 故可先把凸多邊形區域的頂點坐標值全部找出來, 再分別代入目標函數, 求出 max(min) Z = c 1 x+c 之值 第 10 單元 平面向量 向量 : 包含方向與大小兩種意義 ( 有方向的量 ) 由 A 點到 B 點的有向線段, 記為 AB, 其中 A 為起始點,B 為終點, 線段 AB 的 長度稱為有向線段 AB 的長度, 以 AB 表示 零向量 : 始點與終點重合的向量, 記為 0, 其大小為 0, 方向可視為任意方向 始點 A 向量坐標上表示法 : 坐標平面上任意一個向量 v, 將始點平移至原點, 終點坐標為 (a,b) 時, 則 v = (a,b) 若平面上 A,B 兩點坐標為 (a 1,a ),(b 1,b ) 則由起點 A 到終點 B 的方向與大小, 記為 AB = (b 1 a 1,b a ) AB 長度 = AB = (b 1 a 1 ) +(b a ) 終點 B 向量 向量的加減法 : 可利用平行四邊形法或坐標法 向量坐標的加減法 : a ± b = (x 1 ±x, 1 ± ) 1. AB + AD= AB + BC= AC. AB AD= AB + DA= DA+ AB = DB = AB + AD = AB + BC = AC A C D B AD = BC AB = DC A D C D B C AB + AD = AC AB AD = AC = DB 向量的線性組合 : 若 OA, OB 為平面上兩不平行的非零向量, 則平面上任一向量 OP 必能唯一表示 成 OP = x OA+ OB 其中 x, 為實數, 稱為 OA, OB 的線性組合 平面直角坐標點 P(a,b) = a(1,0)+b(0,1) 是由 (1,0),(0,1) 兩向量組成 30 順伯的窩

33 10 平面向量 ( 平面上任一向量 OP = a e x +b e 可表示成兩不平行向量的線性組合, 其係數和 P 未必為 1 若係數和為 1, 表示 P,A,B 共線 ) O 1. OA = OP + PA. OA = PA PO B A OP = x OA+ OB P P A O A O 向量解題應用 : 1. 平行向量 ( 與係數積有關 ): 若 a // b, 則 a = t b. 若 OP = OA+t OB,t R 則 P 點必位於過 A 點平行 OB 的直線上 3. 單位向量 : e a = a a = (cosθ,sinθ) = ( x x +, x + ) 4. A,B,C 三點共線 (a) A,B,C 三點共線 AB = k AC,k R (b) A,B,C 三點共線 α,β R,α+β = 1, 使得 (c) AB AC = AB AC 或 AB AC (d) A,B,C 坐標在同一直線方程式 = ax+b 上 (e) 斜率 m AB = m AC OC = α OA+β OB (f) ABC 面積為 0 5. 內分點公式 : 若 P 是 AB 的內分點, 且 AP : BP = m : n, 則 n OA+mOB m+n 6. 外分點公式 : 若 P 是 AB 的外分點, 且 AP : BP = m : n, 則 n OA m OB n m OP = OP = 31 順伯的窩

34 10 平面向量 7. 正 N 邊形的外接圓圓心 O, 則 O 到所有頂點向量和為 0, (z n = 1 的根之和為 0) 向量內積定義 : a b = a b cosθ = (x1, 1 ) (x, ) = x 1 x + 1 其中 θ 為兩向量的夾角 內積在物理上的意義為作功 U V = ( U V ) ( U V ) = U U V + V b 即 U V = 1 ( U + V U V ) 和餘弦定理有關 注意 : θ a 1. 向量內積未具有消去律 : a b = a c 未必 b = c ( 表示 b, c 在 a 上有相同的投影長 ). 向量零因子 : a b = 0 未必 a = 0 或 b = 0 ( 表示 a b ) 3. a b a b = 0 兩向量垂直則內積值為 0 4. a // b a = t b 兩向量平行則與係數積有關 柯西不等式 : a b a b (x 1 1 +x + +x n n ) (x 1+x + +x n)( n) 當 a = k b 時, 即 x 1 1 = x = = x n n = k 時為等式 向量的正射影 ( 投影 ): a 在 b 上的投影 = ( a 在 a 在 b 的正射影 = ( a b b b 的投影長 ) ( b 的單位向量 ) ) b b = ( a b b ) b, 為一向量 a θ c b a 在 b 的投影長 = a b b, 為一正實數 a 在 b 的正射影 = ( a b b ) b b 若 a b = c b 表示 a 在 b 的正射影長與 c 在 b 的正射影長相等 向量的正射影與 高的關係 : ABC 中, 底邊 BC 上的高 AH 為 BA BC BA ( ) BC BC 3 順伯的窩

35 10 平面向量 直線向量參數式 : 由 b +k = 0 PA = (x x 0, 0 )//(b, a) 化簡可得 x, 的關係式為 ax+ L : ax+b +c = 0 v = (b, a) P(x,) O t > 0 A(x, 0 ) t = 0 t < 0 因此若點 (x 0, 0 ) 在直線 L : ax + b + { c = 0 上, 則直線上任一點可以表示成 OP= OA + t x = x 0 +bt v =(x 0, 0 ) + t(b, a) 即 = 0 at,t R, 稱為直線 L 的參數式 其中直線方向 L//(b, a) 直線方程式的方向向量與法向量 : 若直線方程式 L : ax+b +c = 0 則直線方向 L//(b, a), 法向量方向 n 為垂直 L 的向量, n //(a,b) 點 P(x 0, 0 ) 到線 L : ax+b +c = 0 的距離公式 : d(p,l) = ax 0 +b 0 +c a +b P(x 0, 0 ) H L : ax+b +c = 0 Q n d(p,l) = QP 在 QP n 上的正射影長 = n n 二階行列式定義 : a 1 b 1 a b = a 1b a b 1 = ax 0 +b 0 +c a +b 平面上三角形面積公式 : = 1 AB AC sinθ = 1 AB AC 1 cos θ 故 ABC = 1 AB AC ( AB AC) 若 AB = (a,b), AC = (c,d) 則 ABC 面積 = 1 ad bc = 1 a b c d AC θ AB b θ a 33 順伯的窩

36 10 平面向量 直線向量參數式 : 若 L : ax+b +c = 0 上, 則直線上任一點可以表示成 { x = x 0 +bt = 0 at,t R 點 P(x 0, 0 ) 到線 ax+b +c = 0 的距離公式 : d(p,l) = 三角形面積向量公式 : = 1 若 a b ( a b ) AB = (a,b), AC = (c,d) 則 ABC 面積 = 1 ad bc ax 0 +b 0 +c a +b 行列式的性質 : 橫為列, 直為行 行列式裡面的數稱為元素 a ij 表第 i 列第 j 行的元素 第 1 行第 行 第一列 a b 第二列 c d 1. 將行的元素與列的元素互換, 其值不變 a b c d = a c b d. 將某兩行 ( 列 ) 對調位置, 其值變號 a b c d = c d a b 3. 任一行 ( 列 ) 之數可提出公因數 a b kc kd = k a b c d 4. 若某行 ( 列 ) 之數均為 0, 則其行列式值為 0 a b 0 0 = 0 5. 任兩行 ( 列 ) 之數成比例, 其行列式值為 0 a b ak bk = 0 6. 將某行 ( 列 ) 的各數乘上一非 0 的數加至另一行 ( 列 ), 則其行列式值不變 a b c d = a+ck b+dk c d = a+bt b c+dt d 7. 行列式的加法性質 : 可依任一行 ( 列 ) 拆成兩個行列式 a±x b c± d = a b c d ± x b d, a±x b± c d = a b c d ± x c d 34 順伯的窩

37 10 平面向量 二元一次方程組的克拉瑪 { (Cramer s rule) 公式解 : a 1 x+b 1 = c 1 a 1 b 1, 其中 = a x+b = c a b, x = c 1 b 1 c b, = a 1 c 1 a c 1. 若 0, 則方程組恰有一解, 其解為克拉瑪 (Cramer s rule) 公式解 x = x =. 若 = 0 時, (1) x = = 0, 則方程組無限多組解 () x, 中有一不為 0, 則方程組無解 { a 1 x+b 1 = c 1 二元一次方程組的代數解與幾何意義 : a x+b = c 1. 0 時, 則方程組恰有一解 即線必相交一點 a 1 a b 1 b 表兩直線法向量不平行, 此時兩直. = x = = 0, 則方程組無限多組解 即 a = b 1 = b c 1 c 兩直線 L 1 : a 1 x+b 1 = c 1, L : a x+b = c 關係為 L 1 = kl, 此時兩直線重合 3. = 0 但 x, 中有一不為 0, 則方程組無解 即 a = b 1 b c 1 c 表兩直線 c 1 b 1 法向量平行, 但 x = c b 0, a 1 c 1 或 = a c 0,L 1 與 L 不重合, 此時兩直線平行不相交 a 1 a 1 表 10-5: 二元一次方程組的代數解與幾何意義 行列式, x, 之值方程組的代數解幾何意義直線斜率 0 恰有一解 ( x, 兩直線相交一點斜率不相等 a 1 ) b 1 a b 無解兩直線平行斜率相等, 截距不相等 = 0, 但 x, 有不為 0 a 1 b a, 1 b c 1 b c 1 b = x = = 0 無限多組解 兩直線重合 斜率相等, 截距相等 a 1 b 1 = a b, c 1 b 1 = c b 35 順伯的窩

38 11 空間向量 第 11 單元 空間向量 三垂線定理 : 設直線 AB 垂直於平面 E 於 B, 若 B,C,D 都在平面 E 上, 且 BC CD 於 C, 則 AC CD 利用 ABC = ABD = BCD = 90, 直角三角形畢氏定理 : AD = AB + BD = (AC BC { )+(BC +CD ) = AC +CD ACD = 90 AB BC = 0 向量觀點 : 已知 BC CD = AC CD = ( AB + BC) CD = 0 0 意義 : 若 L 1 在 E 上, L 不在 E 上, 它們相交於一點, 則要判別 L 1,L 是否互相垂直時, 可將 L 在 E 上的正射影 L 3, 則只要判別 L 1,L 3 是否垂直即可 空間中兩向量垂直的判定 : 若 a = (a1,a,a 3 ), b = (b 1,b,b 3 ) 若 a b a b = a1 b 1 +a b +a 3 b 3 = 0 空間向量的正射影 ( 投影 ): a 在 b 上的投影 = ( a 在 a 在 b 的正射影 = ( a b b b 的投影長 ) ( b 的單位向量 ) ) b b = ( a b b ) b, 為一向量 空間向量的外積 : 空間中若 c a, c b 則 c 為 a, b 的公垂向量 稱 c 為 a, b 的外積, 記作 c = a b 兩向量 a = (a1,a,a 3 ), b = (b 1,b,b 3 ) 則其外積 c = (x,,z), c { a = 0, c a 1 x+a +a 3 z = 0 b = 0 為的解, 即 c = a b = b 1 x+b +b 3 z = 0 a a 3 ( b b 3, a 3 a 1 b 3 b 1, a 1 a b 1 b ) = (a b 3 a 3 b,a 3 b 1 a 1 b 3,a 1 b a b 1 ) 向量外積大小的幾何意義 : a b 的大小表示 a, b 所展開的平行四邊形面積 a b = a b sinθ= a a 3 a 3 a 1 a 1 a + + b b 3 b 3 b 1 b 1 b 36 順伯的窩

39 11 空間向量 是以 a, b 為兩邊所張開的平行四邊形面積 內積值 a b 在物理上的意義為作功 b θ b sinθ a b+d d c a+c (c,d) a a+c (a,b) (a+c,b+d) 如圖示 : 由兩向量所張開的平行四邊形面積 A = 大長方形面積 兩個小長方形面積 4 個三角形面積 即 A = (a+c)(b+d) 1 ab 1 cd bc = ad bc 三角形面積 : a ABC = 1absinC = 1acsinB = 1 bcsina=1 AB AC x 三向量所張出的平行六面體體積 : 坐標空間三向量 a, b, c 張開出的平行六面體體積 V = Ah = b c a cosφ = a b c cosφ = a ( b c ) 或 V = b ( a c ) = c ( a b ) b b 3 = a 1 c c 3 +a b 3 b 1 c 3 c 1 +a b 1 b 3 c 1 c = a 1 b c 3 +a b 3 c 1 +a 3 b 1 c a 1 b 3 c a b 1 c 3 a 3 b c 1 b c a h φ c b 三角形 ABC 面積公式 : 37 順伯的窩

40 1 空間中的平面與直線 a ABC = 1 absinθ = s(s a)(s b)(s c), s = 1 (a+b+c) = r 內 s = abc 4R 外 = 1 AB AC sinθ = 1 AB AC ( AB AC), 平面或空間三角形均適用 = 1 a 1 a 1 b 1 b 1, 平面上點 A(a 1,a ),B(b 1,b ),C(c 1,c ) c 1 c 1 = 1 b 1 a 1 b a c 1 a 1 c a = 1 AB AC, 空間三角形適用, 平面上點 A(a 1,a ),B(b 1,b ),C(c 1,c ) 第 1 單元 空間中的平面與直線 平面方程式 : 平面上任兩點的向量有共同的法向量, 且平面的法向量均 // n, 若確定平面的法向量 n 及平面上任一點 P(x 0, 0,z 0 ) 可決定其方程式 ( 點法式 ) 若法向量 n = (a,b,c) 垂直平面 E 上的所有直線,P(x 0, 0,z 0 ) 在平面 E 上, 則點法式 : (a,b,c) (x x 0, 0,z z 0 ) = 0 化簡可得平面方程式 E : ax+b +cz = d 其中 d = ax 0 +b 0 +cz 0, 一般式 : 故在坐標空間中平面方程式可表成三元一次方程式的形式 E : ax+b +cz +d = 0, 其中 (a,b,c) 為平面的一個法向量 點 P(x 0, 0,z 0 ) 到平面 E : ax+b +cz +d = 0 的距離 : d(p,e) = ax 0 +b 0 +cz 0 +d a +b +c P(x 0, 0,z 0 ) 到平面 E : ax+b +cz +d = 0 距離 利用解析法 :P 在 E 上的垂足點 H, 假設 PH 直線的參數式, 且 H 點在平面 E 上 則 d = PH 或 d(p,e) = PH = QP cosθ = QP QP n QP n = (x 0 x, 0,z 0 z) (a,b,c) (a,b,c) 38 順伯的窩

41 1 空間中的平面與直線 = ax 0 +b 0 +cz 0 +d a +b +c H P P(x 0, 0,z 0 ) θ n Q(x,,z) E 直線參數式 : 直線過 A(x 0, 0,z 0 ) 點, 且直線方向 L//(l1,l,l 3 ) 的直線方程式 : L : x = x 0 +l 1 t = 0 +l t,t R, 稱為直線的參數式 z = z 0 +l 3 t 空間中, 直線 L 通過 A 點的直線, 且 L 與向量 v 平行, 則直線上任意異於 A 點 P(x,,z), 必有 AP// v, 因此 AP = (x x 0, 0,z z 0 ) = t(l 1,l,l 3 ),t R x = x 0 +l 1 t 可得直線 L 上的點坐標為 L : = 0 +l t,t R; z = z 0 +l 3 t v = (l1,l,l 3 ) L P(x,,z) A(x 0, 0,z 0 ) 點就可決定其直線方程式 直線對稱比例式 : 若將直線上的關係 AP// v 表達成為直線對稱比例式 其中 l 1,l,l 3 均不為 0 空間中兩平面夾角 兩相交線夾角及直線與平面的夾角 : 所以只要找出直線的一個方向 L, 及任何直線上的一 x x 0 l 1 = 0 l = z z 0 l 3 稱 1. 空間中, 若 v 平面 E, 則平面法向量 n // v. 空間中, 若 v 與直線平行, 則直線方向向量 L 必 // v 3. 兩平面上的相異兩線夾角不一定是兩平面夾角 ( 兩平面法向量夾角 ) 除非此兩直線所在的平面恰垂直這兩平面 兩平面夾角 θ,180 θ 其中之一恰為兩平面法向量 n1, n 的夾角 4. 兩相交直線的夾角 θ,π θ 其中之一為兩直線方向向量 L1, L 的夾角 39 順伯的窩

42 13 矩陣 5. 直線 L 與平面 E 的銳夾角為 θ, 若 L 直線方向向量 L 與平面 E 法向量 n 夾角為 λ, 則 θ+λ 銳角 = 90 或 θ+90 = λ 鈍角 L n θ E L 第 13 單元 矩陣 一次方程組的一般解法 : 1. 代入消去法 : 將某一變數表示成其他變數的式子代入所有的方程式, 使變數未知元減少, 再繼續求解新聯立方程組. 加減消去法 : 將某兩列方程式分別除上某常數後, 相加減, 以去除某變數的方法 x = x 3. 克拉瑪法則 : 一次方程組若為恰一解時的公式解 = z = z 4. 高斯消去法 ( 高斯 - 喬登消去法 ): a 1 x+b 1 +c 1 z = d 1 增廣矩陣 : 將線性方程組 a x+b +c z = d 的係數分離出來, 寫成 a 3 x+b 3 +c 3 z = d 3 矩形的陣列 矩陣 a 1 b 1 c 1 d 1 a b c d a 3 b 3 c 3 d 3 稱為增廣矩陣 其中 a 1 b 1 c 1 a b c a 3 b 3 c 3 高斯 - 喬登消去法就是使用矩陣的基本列運算法則, 將增廣矩陣化成形如 的型態 則對應方程組的解為 x = α, = β,z = γ 矩陣的基本列運算 : 稱為係數 α β γ 40 順伯的窩

43 13 矩陣 1. 可將某兩列對調仍表示同一個方程組. 將矩陣某一列的各數都乘以非零的數仍表示同一個方程組 3. 將矩陣某一列的各數都乘以非零的數後加至另一列仍表示同一個方程組 高斯消去法解線性方程組的步驟 : 1. 在第一行的數中選取一數當主軸元素 (pivot) 將其列上移當第一列, 並將其乘上某數加至其餘各列, 使其餘各列同行元素均為 在第二行的數中 ( 去除上一主軸元素列 ) 選取一數再當主軸元素 (pivot) 將其列上移當第二列, 並將其乘上某數加至剩餘列, 使其剩餘列同行元素均為 按上述步驟, 依此選取主軸元素 ( 並將其化為 1), 進行列運算, 直到主對角元 素均為各行主軸元素後, 使其下三角矩陣元素均為 ( 高斯消去法 ) 再依序將矩陣上三角元素進行列運算至 此增廣矩陣的最右行即為方程組之相對應未知數之解, 表對應方程組的解為 x = α, = β,z = γ α β ( 高斯 - 喬登消去法 ) γ n 元一次方程組係數矩陣與增廣矩陣的高斯列運算非零列數意義 : 1. 係數矩陣的零列數 增廣矩陣的零列數時, 此方程組為無解 41 順伯的窩

44 13 矩陣 列運算後形如 k,k 0 表此方程祖為無解. 係數矩陣的非零列數 = 增廣矩陣的非零列數 k < n 時, 此方程組為無限多組解 ( 且有 n k 個變數可當任意數 ) 3. 係數矩陣的非零列數 = 增廣矩陣的非零列數 = n 時, 此方程組為恰有一組解 矩陣的表示法 : a 11 a 1 a 1n 當矩陣 A 共有 m 列 n 行時, 稱 A 為 m n 階矩陣, 形如 a 1 a a n a m1 a m a mn 簡記為 A = [a ij ] m n 為 m 列 n 行的矩陣, 其中 a ij 表第 i 列第 j 行的元素, 稱為矩陣的第 (i,j) 元 當 m = n 時, 稱矩陣 A 是一個 n 階方陣 1 n 階的矩陣也稱為列矩陣, m 1 階的矩陣稱為行矩陣 矩陣乘法的定義 : 若矩陣 A m n B n p = C[c ij ] m p, 元素 c ij 就是 A 矩陣的第 i 列元素與 B 矩陣的第 j 行元素兩兩乘積和 矩陣 A = [a ij ] m n,b = [b ij ] n p,c = [c ij ] m p 則 C m p = A m n B n p = [c ij ] m p, 其中 c ij = a i1 b 1j +a i b j ++a i3 b 3j +a in b nj = n a ik b kj a 11 a 1 a 1n c 11 c 1j c 1p b 11 b 1j b 1p a i1 a i a in b 1 b j b p = c i1 c ij c ip b n1 b nj b np a m1 a m a mn c m1 c mj c mp k=1 矩陣的一些特殊性質 : 1. 矩陣乘法不滿足交換律 [ ] : AB[ BA 而且就算 ] AB 有意義, BA 未必有意義 例 : A =,B =, AB BA (a) (A + B) = A + AB + BA + B 但未必等於 A + AB + B ; 當 AB = BA 時, 才相等 4 順伯的窩

45 13 矩陣 (b) (A B [) = (A B)(A+B) ] [ 不恆真 ] 例 : A =,B = [ ] [ ] A B 4 0 = = (A+B)(A B) 4 0 (c) (A+I) = A +A+I (d) A I = (A+I)(A I). 矩陣具有零因子 : 若 AB = O 未必矩陣 A 或 B 為零矩陣 且若 AB = O 不一定 BA [ = O ] [ ] [ ] 例 : A =,B =, AB = 一個零矩陣可以分解為兩個非零矩陣的乘積, 且這種分解並非唯一的 3. 矩陣並不滿足消去律 :AB = AC 時, 未必 B = C 且當 A 1 存在時, 則 B = C [ ] [ ] [ ] 例 : A =,B =,C = [ ] 0 0 顯然 AB = = AC, 但 B C 0 0 (a) A = A A [ = O 不一定 ] A = O 1 1 例 : A = 1 1 (b) A = A 則 A = I 或 A = 0 不恆成立 (c) A = A 且 A I 則 det (A) = 0 4. 二項式定理不適用於矩陣 : (A+B) A +AB +B 5. (AB) k 未必等於 [ A] k B k [ ] 例 : A =,B = [ ] [ ] (AB) 0 0 = = A B A m k O k n = O m n 7. A n I n = I n A n = A n ;A m n I n = A = I m A 馬可夫轉移矩陣 : 將原始狀態矩陣 X 0 乘上 P 矩陣後為 X 1 狀態, X 1 = PX 0 稱 P 為 43 順伯的窩

46 13 矩陣 轉移矩陣 矩陣 P[a ij = p ji ] 恆有 n a ij = n p ij = 1,p ij 0 即矩陣 P 每個 i=1 元均介於 0 與 1 之間, 且每一行和為 1 的矩陣 a 11 a 1 a 1n p 11 p 1 p n1 稱 P = a 1 a a n.... = p 1 p p n...., 為馬可夫轉移矩 a n1 a n a nn p 1n p n p nn 陣 ( 馬可夫機率矩陣 ) 如何列出馬可夫轉移矩陣 : 矩陣 P 的 a ji 元素記為 p ij 表由原先第 i 個狀態轉變成第 j 個狀態的機率 from: 目前狀態 i j k p 11 p 1 p 31 p 1 p p 3 p 13 p 3 p 33 即可找出型如 : 馬可夫推移矩陣 to : i j k n 步轉移矩陣 : 將原始狀態矩陣 X 0 乘上轉移矩陣 P 後為 X 1 狀態, X 1 = PX 0 稱 P 為一步轉移矩陣 若在時刻 n 觀察點狀態, 記為 X n, 且下一時刻 n+1 的觀察點狀態, 記為 X n+1, 則 X = PX 1 = P X 0,,X n = PX n 1 = P n X 0, 稱 P n 為 n 步轉移矩陣 馬可夫定理 : 對於任意一機率轉移矩陣 P, 當 n 逐漸增大時, X n = P n X 0 會逐漸趨近於唯一的矩陣 X, 此時稱 X 為穩定狀態的矩陣 機率轉移矩陣 P[a ij = p ji ] 具有以下特點 : n 1. a ij = n p ij = 1,a ij 0 轉移矩陣的行矩陣各元的和為 1 ( 機率矩陣 ) i=1 j=1. 若初始系統為 X 0, 經過一次移轉為 X 1 = PX 0, 則 k 次移轉為 X k = P k X 0 3. 若馬可夫過程 ( 初始狀態的機率矩陣 X 0 經過 n 次的上述轉移變換過程 ) 可達穩定狀態, 即必可滿足 PX = X 馬可夫機率推移矩陣 P[a ij > 0] 一定會產生穩定狀態 4. 若 A,B 均為機率矩陣, 則 A B,A k,b k, 1 (A +B ),A k X 包括穩定矩陣 X 均為機率矩陣 乘法反方陣 ( 反矩陣 ): 若 n 階方陣 A,B 滿足 AB = BA = I n, 稱 B 是 A 的乘法反方陣, 記為 B = A 1 當 A 具有反方陣時, det(a) 0 ; 稱 A 為可逆方陣 j=1 44 順伯的窩

47 13 矩陣 1. 並非任何方陣均有反方陣, det(a) 0 才存在. 若 A 有乘法反方陣, 則此反方陣具有唯一性 ( 若 AB = BA = I,AC = CA = I 則 B = BI = BAC = (BA)C = IC = C) 3. n 階方陣 A,B 若 AB = I n 則 BA = I n 可逆方陣的充要條件 : A 為可逆方陣 det(a) 0 ; 若 AB = I = B A 則 B = B 反方陣的求法 : ( 並不是所有非零的 n 階方陣皆為可逆 ) 1. 矩陣列運算法 : 列運算過程中若發現方程組無解, 即表示反方陣不存在 將聯合矩陣 [A I n ] 經基本列運算化成 [I n B] 的型式, 則 B = A 1 將聯合矩陣 [A B] 列運算化簡為 [I X] 則 X = A 1 B. 公式法 : A 1 = 1 adj(a), det(a) 0 det(a) 其中 adj(a) = [C ij ] 為矩陣 A T 的餘因子 (A 伴隨矩陣 ) 即元素 C ij = 為 A 的轉置矩陣 A T 後, 第 i 列第 j 行餘因子 (ij 元素餘因子為 ( 1) i+j 去除第 i 列第 j 行的行列式值 ) [ ] [ a b 二階乘法反方陣的公式 : 若 A =, 且 ad bc 0 則 A 1 = 1 d b c d ad bc c a ] 解線性方程組的方法 : 1. 代入消去法 : 將某一未知元用其他未知元的式子表示代入消去, 使其方程式中無此未知元. 加減消去法 : 分別將方程式乘上適當常數倍後, 兩式相加減, 使其消去某一未知元 3. 高斯消去法 ( 高斯 - 喬登消去法 ):( 恰一解或無限多組解或無解亦適用 ) 利用矩陣的基本列運算法, 化簡求解方程組 [A B] 列運算化簡為 [I X] 則 X = A 1 B 4. 行列式克拉瑪法則 : 方程組有恰一組解時, 可利用克拉瑪公式法, 解方程組 5. 反方陣乘積法 : 方程組有恰一組解時, 若 AX = B 可利用 X = A 1 B 解方程組 45 順伯的窩

48 14 二次曲線 第 14 單元 二次曲線 拋物線的定義 : 動點 P 到一直線 L 及線外一定點 F 等距之點所成的圖形為拋物線 即 d(p,l) = PF, 其中直線 L : ax+b +c = 0 稱準線, 點 F(x 0, 0 ) 為拋物線的焦點 拋物線的數學式 : (x x 0 ) +( 0 ) = ax+b +c, ( 一般式的求法 ) a +b P(x,) 對稱軸拋物線 x = 4c F(0,c) 焦點 V 頂點準線 L : = c 準線 L : x = c 拋物線 = 4cx P(x,) 焦點 F(c,0) V 頂點對稱軸 拋物線的標準式 : 上下開口型 : 以 = c 為準線,(0,p) 為焦點的拋物線方程式 x +( c) 兩邊取平方 = +c x = 4c ;c > 0 開口向上,c < 0 開口向下 展開, 整理左右開口型 : 以 x = c 為準線,(p,0) 為焦點的拋物線方程式 (x c) + 兩邊取平方 = x+c = 4cx ;c > 0 開口向右,c < 0 開口向左 展開, 整理 (0, p) 0 x =_p 0 (0, p) =_p x x=_p ( p,0) 0 x ( p,0) 0 x x=_p (a) =4p, p>0 (b) =4p, p<0 (c) =4px, p>0 (d) =4px, p<0 橢圓的定義 : 平面上動點 P 到二定點 F 1,F 的距離和為定值 a, (a > F 1 F = c) 則 P 點的軌跡所形成的曲線為橢圓 定點 F 1,F 為橢圓焦點 46 順伯的窩

49 14 二次曲線 拋物線方程式 表 14-6: 拋物線的幾何性質 左右型 : ( k) = 4c(x h) 上下型 : (x h) = 4c( k) 開口方向 c > 0 開口向右 c > 0 開口向上 c < 0 開口向左 c < 0 開口向下 頂點 (h,k) (h,k) 焦點 (h+c,k) (h,k +c) 準線 x h = c k = c 對稱軸 k = 0 x h = 0 正焦弦長 ( 最短焦弦 ) 4 c 4 c x h = 參數式 t x h = t 4c k = t k = t 4c 左右型 :Γ : (x h) ( k) 橢圓的標準式 : 平移 (h,k) 單位後, 可得 a + b = 1 上下型 :Γ : (x h) ( k) b + a = 1 將橢圓 x a + b = 1 的圖形以原點為中心伸縮 r 倍, 可得橢圓 x (ar) + (br) = 1 的圖形 雙曲線的定義 : 平面上動點 P 到兩定點 F 1,F 之距離差的絕對值為定值 a, 即 PF PF = a; (a < FF = c) 則 P 點所形成的軌跡稱為雙曲線 兩定點 F 1,F 稱 為雙曲線的焦點, 線段 F 1 F 的中點稱為此雙曲線的中心 雙曲線的數學式 : (x x 1 ) +( 1 ) (x x ) +( ) = a 47 順伯的窩

50 14 二次曲線 表 14-7: 橢圓的幾何性質 橢圓方程式中心焦點坐標頂點坐標長軸方程式短軸方程式正焦弦長 左右型 : 上下型 : (x h) a (x h) b + + ( k) b = 1 (h,k) (h±c,k) (h±a,k),(h,k ±b) k = 0 x h = 0 b a ( k) a = 1 (h,k) (h,k ±c) (h,k ±a),(h±b,k) x h = 0 k = 0 b a 若 a < FF = c,p 點軌跡為 : 雙曲線 a = FF = c,p 點軌跡為 : 兩射線 a > FF = c,p 點軌跡為 : 雙曲線的標準式 : 曲線平移 (h,k) 單位後, 可得 { 左右型 : (x h) 上下型 : a ( k) a ( k) b = 1 (x h) b = 1 c = a +b ;a,b 無絕對大小關係, 正焦弦長為 b a, 最短焦弦長就是正焦弦長 表 14-8: 雙曲線的幾何性質 雙曲線方程式中心焦點坐標頂點坐標貫軸方程式共軛軸方程式漸近線 左右型 : 上下型 : (x h) a ( k) a ( k) b = 1 (h,k) (h±c,k) (h±a,k) k = 0 x h = 0 b(x h)±a( k) = 0 (x h) b = 1 (h,k) (h,k ±c) (h,k ±a) x h = 0 k = 0 b( k)±a(x h) = 0 共軛雙曲線 : Γ : (x h) Γ : a ( k) b ( k) b = 1 (x h) a = 1 互為共軛雙曲線 48 順伯的窩

51 14 二次曲線 Γ 漸近線 Γ (h,k) Γ 與 Γ 為共軛雙曲線 1. 雙曲線 Γ 之貫軸是 Γ 的共軛軸 Γ 之共軛軸是 Γ 的貫軸. 有共同的中心點 (h,k) 及漸近線 b(x h)±a( k) = 0 3. Γ,Γ 之四個焦點共圓 ( 圓心為對稱中心 ) 49 順伯的窩