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斑劝疑范
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攪勻後再從乙袋抽出一球放回甲袋稱做操作一次試問經過操作三次後, 甲袋有一黑一白之機率 : 每操作一次, 甲袋兩個球的顏色有三種狀態 : 狀態 S : 二個白球

1 第四十單元矩陣的應用 ( 甲 ) 轉移矩陣 () 引入轉移矩陣 : 什麼是轉移矩陣呢? 先看底下的例子 : 有四個大小相同質料相同的小球, 其中甲袋分配到兩個白球, 乙袋分配到兩個黑球今從甲袋任意抽出一球放入乙袋, 攪勻後再從乙袋抽出一球放回甲袋稱做操作一次試問經過操作三次後, 甲袋有一黑一白之機率 : 每操作一次, 甲袋兩個球的顏色有三種狀態 : 狀態 S : 二個白球狀態 S : 一個白球, 一個黑球狀態 S : 二個黑球 [ 利用樹狀圖 ]: 先考慮各種狀態間轉換的機率, 並且畫出樹狀圖上面樹狀圖 " 脈絡清晰, 一目了然是優點, 但當操作次數愈大時, 樹的分枝 " 就愈多, 計算相關的機率也愈趨繁複 ~ ~

2 [ 建立遞迴關係式 ]: 假設操作第次後, 狀態 S S S 發生之機率為 a b c, 顯然 a +b +c 回顧前面的樹狀圖由圖 A 可由 a b c 求出 a,b,c 由圖 B 可由 a b c 求出 a,b,c (A) a a + b + c b a + b + c a + b + c 用矩陣的乘法來表示上述的關係 : (A) a b c c (B) a b a a + b + c c (B) b a + b + c c a + b + c 從樹狀圖 (A)(B) 可以看出, 第 ( ) 次操作與第次操作間, 各狀況 (S S S ) 間的轉換模式都是一樣的, 因此可將樹狀圖 B" 中的 a,b,c 依序換成 a -,b -,c -, a b c a b c 同理可求得 a,b,c a a - + b - +c - b a - + b - + c - c a -+ b - + c - 令 () 式中的三階方陣為 a b c a - b - c - () ~ ~

3 ~ ~ P,P 是這樣形成的 : 參照下面樹狀圖矩陣 P 之第行是由狀態 S 分別轉到 S,S,S 之三項機率 " 第行是由狀態 S 分別轉到 S,S,S 之三項機率 " 第行是由狀態 S 分別轉到 S,S,S 之三項機率 " 即 P S ( 二白 ) S ( 一白一黑 ) S ( 二黑 ) 其次考慮三項機率 a,b,c 所形成的矩陣 X, 其中 X a b c S S S, 而 X a b c ( 一開始, 甲袋僅有二白球 ") 利用上面的 () 式, 可以遞推求得 a,b,c X PX a b c, X PX a b c 9 9 9, 同理 S S S S S S S S S S S S S S S 轉變

4 矩陣 P X PX a b c S ( 二白 ) S ( 一白一黑 ) S ( 二黑 ) 所以, 經第三次操作後, 甲袋有二個白球 " 之機率為 7, 有一白球一黑球 " 之機率為有二個黑球 " 之機率為有兩個特殊性質 (i) P 中的每一個元素都是非負的實數 " (P 中的元素 a ij, 代表由狀態 S j 轉變到 S i 之機率 ) (ii) P 中每一行 ( 直行 ) 之元素總和等於 " 像 P 這樣, 滿足 (i) (ii) 兩個條件的矩陣稱做轉移矩陣 7 8 7, 林信安老師編寫而上面的行矩陣, 像 X,X,X 9 9 9, 都滿足 () 行矩陣之每一元素都是非負的實數 " () 行矩陣之元素總和等於 " 這種行矩陣稱為機率矩陣 ( 或機率向量 ) () 轉移矩陣 : 一般而言, 在自然現象與社現象中, 許多現象都會隨時間的改變而呈現不同的狀態假設某現象所可能呈現的不同狀態只有有限多種 :S,S,S,,S 每隔一固定的時間來觀查察它所呈現的狀態如果此現象在各觀察期呈現某種狀態的過程滿足下面的性質 : 在任意觀察期中此現象呈現狀態 S j 時, 則它在下一觀察期呈現狀態 S i 的機率為 p ij 當一個現象的呈現具有這個性質時, 我們就說這個過程形成一個馬可夫鏈馬可夫鏈有下列的特性 : ~ ~

5 p (a)a p... p p p... p p p,p ij,... p k j,j,,, k p 此矩陣 A 稱為這個馬可夫鏈的轉移矩陣 (b) 若一個方陣的各元都大於或等於, 而且每一行中各元的和都等於, 此種方陣稱為馬可夫矩陣或轉移矩陣 (c) 如果一馬可夫鏈可達到穩定狀態, 而其 ( 階 ) 轉移矩陣為 A, 則其穩定狀態就是滿足 AXX 的矩陣 X [ 例題 ] 假設某區的數學教科書, 有甲乙丙三種不同的版本提供各校自由選購, 統計各校多年選購的市場資訊, 顯示出 : 每一年甲版的顧客群中, 隔年選購甲版佔 ; 乙版佔 ; 丙版佔乙版的顧客群中, 隔年選購甲版佔 ; 乙版佔 ; 丙版佔丙版的顧客群中, 隔年選購甲版佔 ; 乙版佔此區, 目前甲乙丙三種版本的市占率依序為 ; 丙版佔,, 若市場選購教科書的資訊不變的趨勢下, 試問 : () 甲乙丙三種版本三年後的市占率各為多少?( 教科書每年選購一次 ) () 試求長期之後, 甲乙丙三種版本三年後的市占率 ( 穩定狀態 ) 各為多少? [ 分析 ]: () 各校使用的數學教科書有三種狀態 : S ( 甲版 );S ( 乙版 );S ( 丙版 ) () 求轉移矩陣 S S S 轉購甲乙丙轉購 a a a S... 甲 P a a a S... 乙 a a a S... 丙 () 目前甲乙丙三種版本的市占率為. 甲 x k X. 乙, 設經 k 年後的市占率 X k y k. 丙 z k [ 解法 ]:..... ()X PX ,.. 甲乙丙 ~ ~

6 X PX X PX 故預估三年後甲乙丙三種版本之市占率依序為.8%,.%,.8% a 甲 () 設穩定狀態的機率矩陣 X b 乙, 轉移矩陣 P c 丙由 PXX 得... a a b b (a+b+c) c c.a+.b+.ca -.a+.b+.c.a+.b+.cb.a-.b+.c.a+.b+.cc.a+.b-.c (-) -a+b+c a-b+c () a+b-c -a+b+c -a+b+c a+b-c a+b- c a+b- c at,ct,b8t, 又 a+b+c, 所以 t,t a.,b 8. 甲即 X. 乙為穩定狀態 ".7 丙林信安老師編寫 ,.,c.7 a b [ 例題 ] 設 A 為二階實係數方陣 c d () 當 A 為轉移矩陣時, 試敘述實數 a b c d 需滿足的條件 () 試證 : 當 A 為轉移矩陣時,A 也是轉移矩陣 ( 式中 A 代表 A 與 A 的乘積 ) ( 指定乙 ) [ 解法 ]: ()a,b,c,d 均為正實數, 且第一行各項之和 a+c 第二行各項之和 b+d () A a b a b a + bc ab + bd c d c d ac + cd bc + d Qa b c d 均為正實數, A 中各項亦為正實數 Qa+c,b+d A 第一行各項之和 (a +bc)+(ac+cd)a(a+c)+c(b+d)a+c ~ ~

7 A 第二行各項之和 (ab+bd)+(bc+d )b(a+c)+d(b+d)b+d 故 A 為轉移矩陣 [ 例題 ] 設有 A,B 兩支大瓶子, 開始時,A 瓶裝有 a 公升的純果汁,B 瓶裝有 b 公升的淨水每一輪操作都是先將 A 瓶的溶液倒出一半到 B 瓶, 均勻混合後再將 B 瓶的溶液倒出一半回 A 瓶設輪操作後 A 瓶有 a 公升的溶液,B 瓶有 b 公升的溶液已知二階方陣 x x x a x 滿足 : b x x x a x b () 求二階方陣 x x x x () 當 a,b 時, 求 a 及 b () 在第二輪操作後,A 瓶的溶液中有百分之多少的果汁 " As:() x x x x () a,b () 8.7% ( 練習 ) 設 A,B 兩箱中,A 箱內有黑球白球,B 箱內有白球甲乙兩人輪流取球, 每次先由甲自 A 箱內任取一球, 放入 B 箱內, 再由乙自 B 箱內任取一球, 放入 A 箱內, 這樣的動作完成後稱為一局 () 當一局結束時,A 箱內兩球為一黑一白的機率為 () 當第三局結束時,A 箱內兩球為一黑一白的機率為 As:() () ( 練習 ) 台北市捷運局曾做過調查, 消費者中原來搭捷運者有 8% 繼續搭乘捷運, 有 % 會改為自行開車, 有 % 改為騎機車 ; 原來自行開車的人有 % 改搭捷運, 有 % 會繼續開車, 有 % 改為騎機車 ; 原來騎機車者有 % 改為搭捷運, 有 % 會改為自行開車, 有 % 會繼續騎機車 ; 假設台北市人口數不變, 且目前有 % 的消費者採用捷運系統, 有 % 的人自行開車, 有 % 的人騎機車為交通工具 (a) 試自行定義狀態, 並寫出推移矩陣 (b) 一年後將有多少比例的消費者採用捷運系統為交通工具? (c) 長期而言, 將有多少比例的人會搭乘捷運? ~ 7~

8 捷運開車捷運.8. As:(a) 開車.. 機車.. 機車. (b)%(c). 9. ( 練習 ) 設某地區有甲乙兩種報紙, 訂戶總人數不變, 且每一年訂戶變化皆如下述 : 今年訂閱甲報的人有明年會繼續訂閱甲報, 有會改定乙報 ; 今年訂閱乙報的人有明年會改訂閱甲報, 有會繼續定乙報, 根據這些資料, 請寫出這項資料的推移矩陣 A, 當市場趨於穩定狀態時, 甲乙兩種報紙市場佔有率之比為何? As:A,9: ( 練習 ) 有甲乙兩個袋子, 甲袋內裝有兩顆編號的球, 乙袋內裝有兩顆編號的球, 每一顆球被抽到的機會相等, 今從各袋中抽出一球後互相交換 () 試求交換五次後, 甲袋內兩顆球的球號和為偶數的機率 () 若經長久交換後成穩定狀態, 試求此時乙袋內兩顆球的球號和為奇數的機率 As:() () ( 乙 ) 二階方陣對應的線性變換 () 平面上的線性變換二階方陣與平面上的線性變換坐標平面上點經由特殊的運動到達另一點的情形很多, 例如 :P(x,y) 對稱於直線 L:x y 得到 P (x, y ), x 滿足 y y, 這個關係式可以表示成矩陣的乘積 : x x y y x + y x x + y x y x y 一般而言, 給定一個二階方陣 A a b c d, 則方陣 A 將平面上每一點 P ( x,y ) 變換到 P' ( x',y' ), 其坐標關係式為 ~ 8~

9 x y ax + by cx + dy (A) x a b (A) 式稱為平面上的線性變換, 亦可用矩陣的乘積表示成 y c d x y 根據上面的說明, 可以得知二階方陣可以用來表示線性平面上的線性變換平面上每一個線性變換 " 都對應唯一的一個二階方陣 " 即線性變換一對一 " 對應二階方陣 x y ax + by cx + dy - x y a b c d x y - a c b d 所以每一個二階方陣 A" 在變換的意義下可視為平面上的線性變換 " x 事實上, 行矩陣除了可以為點 P 的坐標外, 有時也可以視為位置向量 OP ( x,y ), y 因此平面上的線性變換不僅可以為平面上點與點間的變換, 也可以視為平面上向量與向量間的變換 x 為了方便起見,A 可以表為 A( OP ) y [ 例題 ] ( 單位點在線性變換下的像點 ) 設 A, 求坐標軸上的單位點 (,),(,) 在 A 變換下的像點 [ 解法 ]: A A 的第行 " 行矩陣, A A 的第行 " 行矩陣故 (, ),(, ) 的像點分別為 (, ),(, ) 例題四中, 若將點 (,),(,) 視為單位向量 e (,) e (,), 則單位向量 e e 經由二階方陣 A 的變換之後, 它們分別會對應到向量 (, ),(, ), 而分別是 A 的第一行與第二行的行矩陣 ( 練習 ) 設 B 9, 試求點 (, ),(, ),(, ) 在 B 變換下的像點 ~ 9~

10 As:(,) (,9) (,) a 對一般的線性變換 ( 二階方陣 ) A c 結論 : a b 二階方陣 A, 恆將 c d () 原點 O 映成原點 O, A a b c d b d 而言, 下面的結論是成立的 () x 軸上的單位點 e (, )[ 單位向量 e (,)] 映成 A 之第行行矩陣 " 所代表的點 [ 向量 ] A a b a c d c ()y 軸上的單位點 e (, ) [ 單位向量 e (,)] 映成 A 之第行行矩陣 " 所代表的點 [ 向量 ] A a b b c d d [ 例題 ] ( 給予兩點及其像點可決定一個線性變換 ) 求一個線性變換 A 使得 A -, A 7 並求點 P (,- ) 在 A 變換下的像點 P' a b 分析 : 設線性變換 A c d 已知 a b c d - a b c d 7 a b 與可以合併成式 c d 7 - 欲求式之未定係數 a,b,c,d [ 解法 ]: () 由題意知 :A 7 - () 因 B 之行列式 det ( B ), 故方陣 B 之逆方陣 B - - 存在, 用 B - 右乘 () 式兩邊得到 A ~ ~

11 所求的線性變換 A - -7 () P (,- ) 在 A 變換下之像點為 A , 故 P'(,- ) 例題中, A - A -, 簡記作 A - ( 練習 ) 求線性變換 A 滿足 : A, 使得 P 在 A 的變換下像點為 (,) As:A,(,) A -, 並求點 P ( x,y ) 平面上的線性變換的性質根據矩陣乘法的性質 :(i) A ( rb )r ( AB ) (ii) A ( B+C )AB+AC 當 A 是平面上的線性變換 ( 二階方陣 ),B,C 分別是 ( ) 階矩陣 B b b, C c c, 上式 (i)(ii) 的關係仍然成立, 故可以得到以下的性質 : a 設 A c b d p q 是平面上的線性變換, p 是相異兩個點 P Q 的坐標, q ( 相異兩向量 OP 與 OQ), ( ) A 恆將原點 O 變換到原點 O p q ( )A(r +s p p )r(a q q )+s(a p ) (r,s 為實數 ) q 根據矩陣的乘法運算性質, 很容易可以得知上式是正確的, 從向量的角度來看 p q 向量 OP OQ 的線性組合 r OP +soq, 經由 A 變換到向量 A 與 A p 的線性組合 q p q r(a )+s(a p ) q ( ) 若 deta, 則 A 將直線 L 變換到直線 L 設 P (x,y ) P (x,y ) 是直線 L 上的相異兩點, ~ ~

12 x x 故直線上的動點 P(x,y) 會滿足 ( t) y y x + t y 設 P P P 經由 A 的變換成 Q (x,y ) Q (x,y ) Q(x,y ), 其中 t 是任意實數 x a b 可以得出 y c d x a y c b x x d ( ( t ) + t ) y y ( t) a c b d x y a b +t c d x y ( t) x y x +t,t 是任意實數 y 因此 Q 點會形成直線 Q Q, 因此可知 A 將直線 L 變換成直線 L 線性變換的行為先舉一個實例來探討線性變換的行為 : 設 A,P(x,y) 點經由 A 的變換得到 P (x,y ), 令單位向量 e (,) e (,), 根據前面的討論, 可以得知 : e e A e A A 的第行行矩陣 ", A e A A 的第行行矩陣 ", ( ) 若 OP e + e, 因為 OP 經由 A 的變換得到 OP, 則 A( + )A( e + e )A( e )+A( e ) 故 OP e + e ( ) 若 OP x e +y e, 因為 OP 經由 A 的變換得到 OP, 則 A(x +y )A(x e +y e )x A( e )+y A( e ) 故 OP x e +y e P P e e e ~ ~ e

13 a 一般而言, 給定一個線性變換 A c b d, 其中 det(a) A 分別將單位向量 e (,) e (,) 變換到 e e, 其中 e a A e, b e A e c d 對於平面上任一點 P ( x,y ), OP x e +y e, 經 A 變換到 P', OP 與其像 OP 恆有下列關係 : OP x e +y e A x e +y e OP e 與 e 之係數相同 ( 同為 x ), e 與 e 之係數相同 ( 同為 y ), 根據上述的討論, 我們可以得知, OP 與 OP ( 線性變換 A 的像 ) 分別對於 { e e } 與 { e e } 的線性組合有相同的係數, 因此想要掌握線性變換的行為, 只要掌握 A e 與 A e 的行為即可線性變換與坐標另一方面, 如上圖 -7, 將原來的直角坐標系記作 S (O; e, e ), 其中 O 是原點, e, e 分別是 x 軸,y 軸上的單位向量 ( e e ), 那麼線性變換 A" 可以看成 : 把直角坐標系 S (O; e, e ) 變換到另一個新坐標系 S' (O; e, e ), 其中原點 O 不變, 而 e, e 依序是 e, e 之像設點 P 對坐標系 S 之坐標 " 記為 ( x,y )s, 則其像點 P' 對坐標系 S' 之坐標 " 仍是 ( x,y )s', 即直角坐標系 S OP xe +ye P( x,y )s A 一般坐標系 S' OP 'xe '+ye ' P'( x,y )s' 注意 : 因 e ' 與 e ' 不一定垂直, 並且長度 e ' 與 e ' 也不一定相等, 故新坐標系 S' (O; e ', e ') 不一定是直角坐標系 ~ ~

14 [ 例題 ] 試求直線 L:x+y 經過 A As:x y+ 林信安老師編寫的變換之後所得的直線方程式 [ 例題 7] 兩直線 L :x y L :x y+,l 上的點經由線性變換 A 變換至 L, L 上的點經由線性變換 A 變換至 L ; () 試求階方陣 A () 通過原點的直線 L 經由 A 變換到直線 L, 試求 L 的方程式 8 As:()A ()y x y x ( 練習 7) 坐標平面上有兩點 (, ) (,) 分別經由線性變換 A 變換至點 (,8) (, 8) () 試求階方陣 A () 若線性變換 A 將點 (a,b) 變換至點 (,7), 試求 a,b 的值 ()P(,) Q(,) 線性變換 A 變換至 P Q, 令 O(,), OP Q 面積試求? OPQ 面積 As:()A ()a b () ~ ~

15 ( 練習 8) 線性變換 A 將 (,) 變換到 (, ), 將圓 x +y y+ 變換到圓 x +y x y+, 求變換 A 所代表的矩陣 As: b ( 練習 9) 在 A 所定義的線性變換 T 將直線 yx+ 變換成它自己, 求出 b,c c 7 的值 As:b,c ( 丙 ) 特殊的線性變換我們熟知的幾何變換旋轉鏡射伸縮等, 我們都可以用特定的矩陣來表示如果平面上一個變換 ", 確定是線性變換 A, 那麼只須找出坐標軸上兩個單位點 e, e 經 A 變換 " 後的像點 e ',e ' 即可即設 A 為線性變換, 並且滿足 : e A a e ' c ;e A b e ' d, a b 則 A c d 伸縮變換 : () 中心伸縮 : 設 O 為平面上一個定點,k 為大於的定數, 若將平面上的動點 P 變換到 P, 使得 OP k OP, 則為以 O 為中心伸縮 k 倍的伸縮變換 () 伸縮變換是平面上的線性變換 : 設 P(x,y) 經過以原點 O 為伸縮中心, 伸縮 k(k>) 倍得到 P (x,y ), 因為 OP k OP (x,y )k(x,y) x kx,y ky P 與 P k 的關係用矩陣表示如下 : x x ky y 一般而言, 設 k>, 則線性變換 k S ( k S k ; S ) k 稱為以原點為中心的伸縮變換 S 將平面圖形相似伸縮 " 了 k 倍, 當 k> 時,S 是放大 ; 當 <k< 時,S 是縮小 ; 當 k 時,SI( 單位方陣 ), 此時 S 為恆等變換 ( S 將每一點變換到本身 ) 例如 : 線性變換 A 是以原點 O 為伸縮中心, 將平面上的圖形相似放大 " 倍 ~ ~

16 同理, 線性變換 B 圖所示以原點 O 為伸縮中心, 將圖形相似縮小 " 林信安老師編寫倍, 如下 ( 練習 ) 右圖 PQR 經 A 變換到 P'Q'R', 試畫出 P'Q'R' ( 練習 ) 設圓 C:(x ) +y, 經由 A 變換到圖形 C 試求 C 的方程式 As:(x ) +y ( 練習 ) 設 O(,) A(a,a ) B(b,b ) 形成 OAB, k x x 經過伸縮運動 (k>), 形成 OA B, ky y 試問這兩個三角形面積的關係?As: OA B k OAB () 水平與鉛直伸縮水平方向的伸縮變換 : 將點 P(x,y) 的 y 坐標保持不變, 而將 x 坐標乘以 r 倍, 得到 P (x,y ) y 其中 x rx,y r y, 用矩陣表示為 x x y y 當 r> 時, 此運動可視為水平方向伸張 r 倍, 鉛直方向不變當 <r< 時, 此運動可視為水平方向壓縮 r 倍, 鉛直方向不變當 r< 時, 此運動可視為伸張或壓縮與對 y 軸的鏡射 O x 例如 : 將每一點 P(x,y) 變成 Q(x,y), 所以可將圓 x +y 水平方向伸長倍, ~ ~

17 成為橢圓 x 9 + y 例如 : 將每一點 P(x,y) 變成 Q( x,y), 所以可將圓 x +y 水平方向壓縮倍, 成為橢圓 9x +y y O x 例如 :, 所以可視為先對 y 軸作鏡射, 在沿 x 軸伸長倍鉛直方向的伸縮變換 : 將點 P(x,y) 的 x 坐標保持不變, 而將 y 坐標乘以 r 倍, 得到 P (x,y ) 其中 x x,y ry, 用矩陣表示為 x x ry y 當 r> 時, 此運動可視為鉛直方向伸張 r 倍, 水平方向不變當 <r< 時, 此運動可視為鉛直方向壓縮 r 倍, 水平方向不變當 r< 時, 此運動可視為伸張或壓縮與對 x 軸的鏡射 [ 例題 8] 一個圓 x +y 上的點 P(x,y) 先沿水平方向伸長倍, 再沿 y 軸方向伸長倍得到另一個點 Q(x,y ), x x (a) 請找出一個階方陣 A 使得 A y y (b)q 點形成另一個圖形, 請問此圖形的方程式 As:, x 9 + y ~ 7~

18 ( 練習 ) 設 ABC 的頂點 A B C 經過沿水平方向壓縮倍之後, 再沿鉛直方向伸長倍, 得到 A B C, 形成另一個 A B C, 請問這兩個三角形面積的關係 As:S A B C S ABC 旋轉變換 : () 旋轉矩陣 : 旋轉中心為原點 (,) 設平面上有一點 P(x,y) 繞原點 O 旋轉 θ 角度得到 P (x,y ), 當 θ> 時, 逆時針轉 ;θ< 時, 順時針轉 P 令 OPr, 根據三角函數的定義, 可以得知 xrcosα,yrsiα;x rcos(θ+α),y rsi(θ+α) θ α x rcos(θ+α)r(cosθcosα siθsiα)x cosθ y siθ y rsi(θ+α)r(siθcosα+cosθsiα)x siθ+y cosθ P x 如果將 P(x,y) 寫成,P (x,y x ) 寫成, 則它們之間的關係可寫成 y y cosθ siθ siθ x x cosθ y y cosθ siθ, 稱矩陣 R θ 為旋轉矩陣 siθ cosθ 從向量的觀點來看 : 若 OP (x,y) 繞原點 O 旋轉 θ 成為 OP (x,y ), 則 OP 與 OP cosθ 滿足 siθ siθ x x cosθ y y 根據前面的討論可以得知 : 將單位向量 e (,) e (,) 旋轉變換到 e e, 其中 e cosθ (R θ ) e, e o cos( θ + 9 ) siθ (R θ ) e o siθ si( θ + 9 ) cosθ cosθ siθ 故 R θ siθ cosθ 旋轉中心為一般的點設平面上有一點 P(x,y) 繞一點 A(x,y ) 旋轉 θ 角度得到 P (x,y ), 上述的旋轉運動可以視為 AP (x x,y y ) 繞原點 O 旋轉 θ 成為 AP (x x,y y ) ~ 8~

19 cosθ 所以可以得到關係式 : siθ siθ x x cosθ y y x y x y y P 如右圖, 可以得知 : P R ( A, θ ) P 相當於 E R ( O, θ D ) A D P (x x,y y ) O (x x,y y ) E x () 旋轉矩陣的性質 : (a) 旋轉矩陣 R θ 的反矩陣 R cos( θ ) si( θ ) θ si( θ ) cos( θ ) [ 證明 ]: 因 det ( R θ )cos θ+si - θ, 故逆方陣 R θ 存在又 R θ det ( R θ ) cosθ siθ -siθ cosθ cos (-θ ) -si (-θ ) si (-θ ) cos (-θ ) R ( θ) 即旋轉 θ 角的線性變換 R θ, 其逆方陣 R θ 就是旋轉 -θ 角的線性變換 R ( θ) (b) R θ R θ R (θ + θ ) R θ R θ cosθ -siθ siθ cosθ cosθ -siθ siθ cosθ cos (θ +θ ) -si (θ +θ ) si (θ +θ ) cos (θ +θ ) R ( θ + θ ) 即先旋轉 θ 角, 再旋轉 θ 角, 等於旋轉 (θ +θ ) 角根據 (b) 可以得知 (R θ ) k R kθ, 即以原點為中心旋轉 θ 角轉了 k 次, 就相當於以原點 O 為中心旋轉了 (kθ) 角, 用矩陣來表示為 cosθ siθ siθ cosθ k cos kθ si kθ, 其中 k 為正整數 si kθ cos kθ ~ 9~

20 B y A 林信安老師編寫 [ 例題 9] 試求下列各小題 : () 設 OAB 為一正三角形, 其中 A 的坐標為 (,),B 點在第二象限試求 B 的坐標 () 如圖, ABC 為正三角形, 且 A(,) B(,), 試求 C 點坐標 As:() (,+ ) ()(, ) O x [ 例題 ] 試求下列各問題 : () 將直線 L:x+y 上的點繞原點 O 旋轉, 得到新的圖形 L, 試求 L 的方程式 () 將直線 L:x+y 上的點由旋轉變換得到新的圖形 L, 試求 L 的方程式 As:()y ()7x y ~ ~

21 ( 練習 ) 如圖,ABCD 為正方形, 其中 A(,) B(,) 試求 C D 的坐標 As:D(,) C(,8) y C y B 林信安老師編寫 D B C A A O x O x D F E ( 練習 ) 一正六邊形 ABCDEF 其中心為原點, 而 A 的坐標為 (,), 求 C 點的坐標 As:C(, ) ( 練習 ) 設直線 L: x+y 上的每一個點繞原點 O 旋轉後成為立一條直線 L, 求 L 的方程式 As:x+ y ( 練習 7) 設 <θ< π, cosθ siθ 若 siθ cosθ, 則下列何者正確? (A)<θ< π (B)π <θ<π (C) π <θ<π (D) π <θ<π (E) π <θ<π As:(C) (8 台北區指考模擬考 ) 鏡射變換 : () 鏡射矩陣 : 設直線 L 通過原點 O, 且與 x 軸正向的夾角為 θ( θ 8 ),P ( x,y ) 對於直線 L 的鏡像點為 P' ( x',y' ), 接下來探討鏡像變換所代表的階方陣 M θ : ( ) 對稱軸為 x 軸之鏡射變換 M ( 圖 ) P ( x,y ) M P' ( x',y' ) 滿足 x'xx+y y'-yx-y x' y' - x y, 故 M - 是一個線性變換 ( ) 對稱軸為 y 軸之鏡射變換 M 9 ( 圖 ) 圖 P ( x,y ) M 9 P' ( x',y' ) 滿足 : 圖 ~ ~

22 x'-x-x+y y'yx+y x' y' - x y, 故 M 9 - 是一個線性變換 ( ) 對稱軸為直線 L:yx 之鏡射變換 M ( 圖 ) P ( x,y ) M P' ( x',y' ) 滿足 x'yx+y y'xx+y x' y' x y y x, 故 M 是一個線性變換 ( ) 對稱軸為過原點之一條直線 L:y( taθ ) x 之鏡射變換 M θ, [ 想法 ]: 圖如右圖, 設點 P ( x,y ) 關於 L 之鏡射點為 P' ( x',y' ) 欲求 M θ 使得 P (i) 先用旋轉變換 R ( -θ), 使 l 與 x 軸重合, 並求出 P ( x,y ) 之像點 P P R ( -θ) P (ii) 再用以 x 軸為對稱軸 " 之鏡射變換 M, 求出 P 之像點 P ' (iii) 最後用旋轉變換 R θ, 求出 P ' 之像點 P' 即 M θ P' P R ( -θ) 旋轉 P M 對稱 P ' R θ 旋轉 P' 即 P'R θ [M ( R ( -θ) P] P P P P ~ ~

23 x' y' cosθ -siθ siθ cosθ cosθ -siθ siθ cosθ ( - cos (-θ ) -si (-θ ) si (-θ ) cos (-θ ) ( - cosθ siθ -siθ cosθ ( cosθ -siθ siθ cosθ cosθ siθ siθ -cosθ ) x y ) ) x y x y 林信安老師編寫 cos θ-si θ cosθsiθ+siθcosθ siθcosθ+cosθsiθ si θ-cos θ x y x' cos θ si θ x y' si θ cos θ y, cos θ si θ 故 M θ M θ 也是線性變換 si θ cos θ cos θ si θ 故我們稱 M θ 為關於直線 L 的鏡射矩陣 si θ cos θ ( 練習 8) 如圖, 設平面上有一點 P(x,y) 過原點的直線 L 的斜角為 θ,p 點對於直線 L 鏡射的點為 P (x,y ), 令 OPr, 由 x 軸正向轉至射線 OP 的方向角為 α () 證明 :x 軸正向轉至射線 OP 的方向角為 θ α () 利用 xrcosα,yrsiα;x rcos(θ α),y rsi(θ α) 推導出 (x,y) 與 (x,y ) 的關係 : cos θ si θ x x si θ cos θ y y y O P α θ P x ( 練習 9) 試寫出關於直線 L:y x 的鏡射矩陣 cos As: si o o o si o cos ( 練習 ) 請寫出關於 x 軸 y 軸直線 x y 直線 x+y 的鏡射矩陣 As: - - () 鏡射矩陣的性質 : (a)(m θ ) M θ cos θ si θ [ 證明 ]:M θ,det(m θ ) si θ cos θ (M θ ) cosθ si θ cos θ si θ det(m θ ) si θ cosθ si θ cos θ ~ ~

24 (b)(m θ ) [ 證明 ]: (M θ ) M θ M θ M θ (M θ ) 幾何意涵 :P 點經過直線 L 兩次鏡射之後會再回到 P 點 (c) M R ( θ) R θ M [ 證明 ]: cosθ siθ cosθ siθ siθ cosθ siθ cosθ cosθ siθ cosθ siθ siθ cosθ siθ cosθ (d) M θ R θ M [ 證明 ]:M θ R θ M R ( θ) R θ R θ M R θ M 幾何意涵為點 P 對直線 L:y( taθ)x 之鏡射點 P' " 等於 P 先對 x 軸求鏡射點 P ", 然後 P 繞原點旋轉 θ 角之像點 " P P P ~ ~

25 ~ ~ [ 例題 ] 設平面上有一點 P(x,y) 過原點的直線 L:ymx,P 點對於直線 L 鏡射的點為 P (x,y ), 則 (x,y) 與 (x,y ) 關係式可寫成 y x y x m m m m m m m m [ 例題 ] 有關矩陣 A 與矩陣 B, 試問下列哪些選項是正確的? ()ABBA ()A BBA ()A B B A ()AB A 7 ()(ABA) AB A (7 指定甲 ) As:()()() [ 例題 ] 拋物線 Γ:yx 經過直線 yx 鏡射下變成 Γ, 請問 Γ 的方程式為何? As:9x xy+y x y ( 練習 ) 設 l:yx 其中 taθ () 試求以 l 為對稱軸之鏡射變換 M θ () 求點 P (-, ) 在 M θ 變換下的像點 P' As:() ()P (, )

26 ( 練習 )()A(,) 關於 L: x y 的對稱點坐標 A : () 直線 L:x y 關於直線 yx 的鏡射圖形方程式為 As:() A ( +, ) ()x y+ ( 練習 ) 試求直線 L:y x 經過繞原點旋轉, 再對直線 yx 鏡射下變成 L, 求 L 的方程式 As:y (+ )x 推移變換 : () 設 k 是一個大於的常數, 在坐標平面上, 若將動點 P(x,y) 的 y 坐標保持不變, 而 x 坐標變成 x+ky, 形成 P (x,y ), 其中 x x+ky,y y, 用矩陣表示可為稱此運動為沿 x 坐標推移 y 坐標的 k 倍的推移變換例如 : 沿 x 坐標推移 y 坐標的倍時, x x + y y y x x, y y 這樣的運動將 (,) (,) (,) (,) (,) (,) 依序變成 (,) (,) (,),(,),(,),(,), 如右圖所示 kx x y y y O x (b) 設 k 是一個大於常數, 在坐標平面上, 若將動點 P(x,y) 的 x 坐標保持不變, 而 y 坐標變成 kx+y, 形成 P (x,y ), 其中 xx,y kx+y, 用矩陣表示可為 k x x y y 稱此運動為沿 y 坐標推移 x 坐標的 k 倍的推移變換結論 : 設 k>, () S y 沿 y 軸方向的推移變換 : k S y 將平面上的每一點 P 之 x 坐標 " 不變, 再沿著 y 軸方向推移 kx" k y 軸之右半平面 ( x> ) 朝上推移 kx";y 軸左半平面 ( x< ), 朝下推移 kx "; y 軸 ( x ) 的每一點都保持不動 ~ ~

27 k ()S x 沿 x 軸方向的推移變換 : k S x 是將平面上的每一點 P 之 y 坐標 " 不變, 再沿著 x 軸方向推移 ky" x 軸之上半平面 ( y> ) 向右推移 ky"; 下半平面 ( y< ) 向左推移 ky ";x 軸上 ( y ) 每一點都保持不動 x'x+y P 點的 x 坐標 [ 例題 ] 線性變換 S: y'x+y P 點的 y 坐標 + ( x 坐標 ) 的幾何意涵為何? 試說明之 [ 解法 ]: x'x+y 解 : y'x+y x' y' x y,s, S 的幾何意涵是將平面上每一點 P ( x,y ) ( x 坐標 " 不變 ), 沿著 y 軸方向推移 x" y 軸右半平面 ( x> ) 向上推移,y 軸左半平面 ( x< ) 向下推移 y 軸上的點保持不動如右圖所示, 因 x S x x x, 故 x 軸 :y S l':yx 原點不動同理, 因 x S x x+ 故 l :y S l ' :yx+ 點 (, ) 不動故因 x - l :y- S S 點 (,- ) 不動 x x-, l ' :yx- 水平直線 yk 變換成斜率為之平行直線 yx+k, 其中 y 軸上的點 (,k ) 不動 ( 練習 ) 設 A(, ) B(, ) C(,) D(,), () 正方形 ABCD 沿 x 軸推移 y 坐標的倍, 成為四邊形 A B C D 請問 A B C D 各頂點的坐標 () 正方形 ABCD 沿 y 軸推移 x 坐標的倍, 成為四邊形 A B C D 請問 A B C D 各頂點的坐標 As:()A (, ) B(, ) C (,) D (,) ()A (, ) B(,) C(,) D(, ) ( 練習 ) 設圓 C:x +y 在 (x,y) (x+y,y) 的推移下, 變成另一個圖形 Γ, 求 Γ 的方程式 As:x xy+y ( 橢圓 ) ~ 7~

28 ( 丁 ) 線性變換的面積比給了一個線性變換 A,A 將平行四邊形 R 變換到另一個平行四邊形 R', 那麼它們的面積比 ( R' 的面積 ):( R 的面積 ) 是不是恆為一個定值呢? ( 與平行四邊形 R 的選擇無關 ) 答案是肯定的, 我們先利用例子來說明設 A -, 首先考慮坐標軸上兩個互相垂直的單位向量 e (, ), e (, ) 及經 A 變換後向量, e e A A - e e 單位向量 e, e 所張成的平行四邊形區域記作 R; e, e 所張成的平行四邊形區域記作 R' (i) 線性變換 A 將 R 變換到 R' R 上任一向量 OP xe +ye ( x,y ) 之像為 OP A ( xe +ye )xe '+ye ' ( x,y ), 故 P' 顯然仍在 R' 區上 (ii) ( R' 的面積 ) det (A) - -(- ), R 的面積, 故 ( R' 的面積 ):( R 的面積 ): det (A) : 事實上,( R' 的面積 ):( R 的面積 ) det (A) : 對一般的線性變換都成立線性變換的面積比 : a b a b 設 A 且 det (A) ad-bc, c d c d 若 A 將平行四邊形區域 R 變換 " 到另一平行四邊形區域 R' 則 ( R' 的面積 ):( R 的面積 ) det (A) : [ 證明 ]: A a b c d,det (A)ad-bc, 設 P p p,q q q, 其像點為 P'AP ap +bp cp, +dp Q'AQ aq +bq cq +dq, 如右圖之示意圖 ~ 8~

29 兩向量 OP 與 OQ 所展成的平行四邊形區 R 的面積設為 S, 其中兩向量 OP' 與 OQ' 所展成的平行四邊形區 R' 的面積設為 S' ', 其中行列互換 ' ap +bp aq +bq cp +dp cq +dq ap +bp cp +dp aq +bq cq +dq ap cp +dp aq cq +dq + bp cp +dp bq cq +dq ( 行列式的加法性質 ) a ( p cp q cq + p dp q dq )+b ( p cp q cq + p dp q dq ) 林信安老師編寫 p q p q ( ad ) p p q q +( bc ) p p q q ( ad ) p q p q +( bc ) p q p q ( 行列互換 ) ( ad ) p q p q -( bc ) p q p q ( ad-bc ) p q p q det (A) ' det (A) S' S ' ' det (A) det (A) ( R' 的面積 S' )( R 的面積 S ) det (A) 其中, 線性變換 A 之行列式的絕對值 det (A), 亦稱為線性變換 A 之面積漲縮率旋轉變換 R θ 及鏡射變換 M θ, R θ cosθ -siθ siθ cosθ,m θ cosθ siθ siθ -cosθ 之面積漲縮率都是 ( det ( R θ ),det ( M θ )- ) 事實上, 平面上任意兩點 P 與 P 的距離在旋轉 R θ 或鏡射 M θ 變換下, 其像點 P ' 與 P ' 的距離是保持不變的, 故區域 R 的面積在旋轉變換或鏡射變換下都保持不變 [ 例題 ] 如圖, 給了一個矩形 ABCD, 其中 A(, ),B(, ),C(-, ), D(-, ), 推移變換 M 將矩形 ABCD 變換到 A'B'C'D', 試描出 A'B'C'D' 之圖形, 並求它的面積 [ 解法 ]: () 利用線性變換之面積漲縮率 "( det ( M ) ) 就可求出 A'B'C'D' 的面積 A'B'C'D' 的面積 ( 矩形 ABCD 的面積 ) det ( M ) () A'B'C'D' 之圖形如右圖所示 ( 由圖形亦知 : A'B'C'D' 面積底高 ) ~ 9~

30 一般而言, 推移變換 A r 或 r 行四邊形經 A 變換後, 其面積不改變之行列式值 det (A), 所以任一個平 ( 練習 ) 下列線性變換, 何者面積漲縮率 " 小於? (A) M (B) M (D) M As:(B) - (E) M (C) M r - ~ ~

31 綜合練習 x () 設 A 為某一個馬可夫鏈的推移矩陣,X,,,,, 其中 x +y,x, y y, 而 X AX, 試證明 x +y,,, 且 x,y () 所謂轉移矩陣必須滿足下列兩個條件 : ( 甲 ) 該矩陣的每一個位置都是一個非負的實數, ( 乙 ) 該矩陣的每一行的數字相加都等於 l...9. 以矩陣為例,.8.7 和.., 滿足 ( 甲 )( 乙 ) 這兩個條件, 因此都是轉移矩陣今設 A B 是兩個的轉移矩陣, 請問下列哪些敘述是正確的? ()A 是轉移矩陣 ()AB 不滿足條件 ( 乙 ) () (A+B) 是轉移矩陣 () (A +B ) 是轉移矩陣 ( 指定考科甲 ) () 某籃球選手經常作罰球投籃練習, 依據過去的經驗, 當他前一球投進時, 下一球的命中率為 8%; 當他前一球不進時, 下一球的命中率為 % (a) 請寫出此選手投籃的轉移矩陣 A (b) 在暖身球投進之後, 分別求接下來投進第球第球第球的機率 (c) 長期而言, 此選手的投籃命中率為何? () 某保險公司經由多年的經驗與研究, 發現汽車駕駛人若曾經肇禍者較易再失事, 面臨不斷增加的修護損失及賠償請求, 公司決定依據駕駛人的肇禍紀錄增加投保者的保險費, 即投保人一年的保險費隨著它的肇禍次數增加而增加假設永安保險公司將投保人分成下列三類 : 第一類 : 未曾肇禍的人 ; 第二類 : 肇禍一次的人 ; 第三類 : 肇禍多於一次的人該公司的研究發現, 獲得下列資料 : 第一類第二類第三類發生第一類發生第二類.8..7 假設現有未曾肇禍的投保人人, 發生第三類... 根據這份研究, 從第二年開始, 人中, 這三類保險人的分布情形為何? 第三年開始, 人中, 這三類保險人的分布情形為何? () 某國政府長期追蹤全國國民的經濟狀況, 依訂定的標準將國民分為高收入和低收入兩類統計發現高收入的人口一直是低收入人口的兩倍, 且知在高收入的人口中, 每年有四成會轉變為低收入請問在低收入的人口中, 每年有幾成會轉變為高收入? 請選出正確的選項 (A) 成 (B)7 成 (C)8 成 (D)9 成 ( 指定考科甲 ) () 有一股票經紀商, 長期分析某一股票行情, 分成上漲持平下跌三種, 若某日股票行情上漲, 則次日股票行情有機會上漲機會持平機會下跌, 若 ~ ~

32 某日股票行情持平, 則次日股票行情有機會上漲機會持平機會下跌, 若某日股票行情下跌, 則次日股票行情有機會上漲機會持平機會下跌, 假設今日股票上漲, 則後天此股票上漲的機會為多少? (7) 甲乙兩個袋子, 甲袋內裝有兩顆編號的球, 乙袋內裝有兩顆編號的球, 每一顆球被抽到的機會相等, 今從各袋中抽出一球後互相交換 (a) 試求交換五次後, 甲袋內兩顆球號和為偶數的機率 (b) 若經長久交換後成穩定狀態, 試求此時乙袋內兩顆球號和為奇數的機率 (9 台北區指考模擬考 ) (8) 已知甲袋中裝有紅球白球, 乙袋中裝有紅球白球, 現依下列規則取球 : 每次取一球後放回原袋, 若某次取出白球, 則下一次由乙袋取球 ; 若某次取出紅球則下一次由甲袋取球, 且第一次由甲袋取球設第次取中白球之機率為 P, 則 (a)p? (b) 試求穩定狀態 X? (9) 設有 A B 兩支大瓶子, 開始時, A 瓶裝有 a 公升的純酒精, B 瓶裝有 b 公升的礦泉水每一輪操作都是先將 A 瓶的溶液倒出一半到 B 瓶, 然後再將 B 瓶的溶液倒出一半回 A 瓶 ( 不考慮酒精與水混合後體積的縮小 ) 設輪操作後,A 瓶有 a 公升的溶液,B 瓶有 b 公升的溶液已知二階方陣 a a a a a a 滿足 a a b a a (9 指定乙 ) b a a (a) 求二階方陣 a a (b) 當 a,b 時, 求 a 及 b (c) 當 a,b 時, 在第二輪操作後,A 瓶的溶液中有百分之多少的酒精? () 設甲袋中有個白球, 乙袋中有個紅球 ( 設各個球大小及觸感相同 ), 現在每次自袋中各取一球交換, 回答下列小題 : (a) 試求在交換兩次後, 甲袋中有紅球的機率 (b) 試求甲袋的兩球之轉移矩陣 A (c) 試求在長期交換下, 成穩定狀態, 甲袋中有紅球的機率 () 一實驗室培養兩種菌, 令 a 和 b 分別代表兩種培養菌在時間點的數量, 彼此有如下的關係 : a+ ( a+ b), b+ b (,,, L). 若二階方陣 A a b a+ a 滿足 A c d,( 其中,,, ), 則 b+ b a,b,c,d ( 指定乙 ) () 某地區有 C F T 三家加油站, 根據資料顯示, C 家每年保留 % 的顧客, 轉向 F T 兩家的各 % %; F 家每年保留 % 的顧客, 轉向 C T 兩家的各 % %; T 家每年保留 % 的顧客, 轉向 C F 兩家的各 % %; ~ ~

33 且目前 C F T 三家加油站的佔有率各為 % % % 假設 C F T 各代表年後的佔有率, C x F x T x 各代表達到穩定狀態的佔有率, 則下列敘述哪些是正確的? (A) C. (B) F. (C) C + F + T (D) T. () A 和 B 是兩個二階方陣, 方陣中每一位置的元素都是實數就二階方陣所對應的平面變換來說,A 在平面上的作用是對直線 L:y+ x 的鏡射, 且已知 AB 請選出正確的選項 ()ABBA ()A+BO( 零矩陣 ) ()B 所對應的平面變換是旋轉 () A 是 B 的乘法反元素 ( 指定甲 ) () 下列各方陣所定義的平面變換, 何者為旋轉? (A) (B) (C) (D) (E) x () 下列各方陣所定義的平面變換, 何者為對過原點直線的鏡射? (A) (B) (C) (D) (E) () 在平面上有一定點 P(-,) 作下列各變換, 試分別求變換後的 P 點坐標 (a) 平移向量 a (,) (b) 以原點為中心, 順時針旋轉 (c) 對直線 x-y 鏡射 (d) 以原點為中心, 伸長為倍 (e) 沿 x 軸方向推移 y 坐標的 - 倍 (7) 用矩陣分別表示下列合成變換 (a) 先旋轉, 再對 x 軸鏡射 (b) 先對 x 軸鏡射, 再伸縮倍, 再旋轉 (c) 先對 x 軸伸縮倍, 再對 y 軸伸縮倍, 再沿 x 軸推移 y 坐標倍, 再對 y 軸鏡射 (8) A 是方陣, 設 A A. A, A A. A. A, 以此類推 a 已知 A, A, 若有 a, b 使得 A, b 下列敘述何者正確 : ~ ~

34 ()a ()b () ( 指定甲 ) A ()A 是一旋轉方陣 cosθ siθ (9) 設矩陣 R,<θ<π,M siθ cosθ 若 R I, 則 (a)θ 的最小值? (b) 承 (a) (RMR )?(9 台中區指定考科模擬考 ) 林信安老師編寫 () 設 A,B 試求 :()A? ()B? () 設 A, 對於任意自然數, 點 P (a, b ), 設 OP P + 的面積為 S a a 已知 b, a S A b, 試求 b S 的值 + () 線性變換 A 將點 P(x,y) 變換到 Q(x,y ), 試求下列各問題 : (a) 若 OP OQ, 則求出 x,y 的關係式 (b) 若 OQ s OP, 試求 s 的值 (c) 若 OP OQ, 則求出 x,y 的關係式進階問題 a b () 設線性變換 A 將點 (,) (,) (,) 分別對應到 P Q R 三點, 而且 c d PQ QR PR 分別為, 試回答下列各問題 : (a) 證明 :ab+cd (b) 若 ad bc<, 試用 a,c 表示 b,d a b (c) 若 ad bc< 且 c d, 試求 A () 有一人流浪於 A,B,C,D 四鎮間, 此四鎮間相鄰關係如下圖假設每日清晨, 此人決定當日夜晚繼續留宿該鎮, 或改而前往相鄰任一鎮之機率皆為若此人第一夜宿 A 鎮, (a) 第三夜亦宿於 A 鎮之機率為多少? (b) 第五夜此人宿於 A 鎮之機率為多少? 宿於 C 鎮之機率為多少? ~ ~

35 () [ 兩次對稱相當於一次旋轉 ] 如圖, 設 L 與 L 的交角為 θ, 點 P(x,y) 對於 L 的對稱點 P, P 對於 L 的對稱點 P (x,y ), 試找出 P(x,y) 與 P (x,y ) 的關係 y O P L 林信安老師編寫 L P P x () 設 P(x,y ) Q(x,y ) 對轉軸 θ 角後的新坐標依次為 P (x,y ) Q (x,y ), 試證明 :() PQ P Q () OP OQOP OQ (7) 在平面上取點 P Q,P 與 Q 關於直線 x y+ 對稱將 Q 繞原點旋轉 X a b x α 得到 R 點設用矩陣 Y c d + y 表示的變換把 P(x,y) 變換成 β a b α R(X,Y),(a) 請問矩陣 A?(b) 請問矩陣 c d? β ~ ~

36 ~ ~ 綜合練習解答 () 略 () ()() () (a)a (b) (c).7 () 第二年, 第一類有 8 人, 第二類有人, 第三類有人 ; 第三年, 第一類有人, 第二類有人, 第三類有人 () (C) () (7) (a) (b) (8) (a) 7 (b) (9) (a) (b)a,b (c)8.7% (a) 設 a a,b b, 依題意 : 可得 b a b b a a + + b a b a, 因此 b a b a 因此 a a a a (b)a a,b b 代入 + + b a b a, 可得 (a,b )(, ), 同理 (a,b ) (, ),.,(a,b ) (, ) (c) 因為 8 8, 故 b a + + b a b a 8 8, 第二輪後 A 瓶內的酒精量 a, 因此酒精濃度為 ( ) % %8.7%

37 () (a) (b) (c) () a8,b,c,d8 () (B)(C)(D) () ()()() () (A)(B)(D)(E) () (B)(D) () + + (a) P'(,)(b) P'(, (d) P'(,9) (e) P'(,) (7) (a) (b) (c) (8) ()()() (9) 9 (a) π (b) 9 () As:() () [ 提示 : A ~ 7~ 7 )(c) P'(, ) o o cos si o o si cos A ;B,A () [ 提示 :A o o cos si o o 代表繞原點旋轉再以 O 為中心伸 si cos 縮倍 ] () (a)x+y 或 7x+y (b)s7 或 (c)x( ± )y () (a) 利用 OP OQ, 即可得證 (b)b c,d a (c)a [ 提示 :(b)ab+cd,a +c,b +d,(ad bc) (a +c )(b +d ) (ab+cd) ad bc, 又可以得到 (a +c )b c,(a +c )d a],

38 () (a) (b) 7 7 cos θ si θ x x () si θ cos θ y y cosθ siθ xi x i () 利用 siθ cosθ 直接去驗證 yi yi 7 (7) (a)a (b) 7 [ 提示 :(a) 設 Q(m,), 依題意可知 x m y o o o o cos si m X o o si cos, 令 L cos si,r Y o o si cos x m m X L( + y ) +,R Y X m x x R Y R(L +L y )RL +RL y R 7 故 A RL α, 7 RL β R ] ~ 8~

第三單元平面座標與直線的斜率

第三單元平面座標與直線的斜率林信安老師編寫第五十二單元矩陣的應用 ( 甲 ) 轉移矩陣 () 引入轉移矩陣 : 例子 : 假設某地只有甲乙兩家工廠生產並販賣某一種產品每一年甲工廠的顧客中有 4 轉向乙工廠購買此產品, 只有 4 仍然向甲工廠購買 : 而乙工廠的顧客中有轉向甲工廠購買, 其餘的顧客仍然向乙工廠購買, 請問 () 一年二年三年後, 甲乙兩家工廠的市場佔有率為何? () 長久下去最後甲乙兩工廠的市場佔有率為何?