投稿類別 : 數學類篇名 : 二階方陣平方根問題的探究作者 : 姚皓勻臺北市立大同高中高二 15 班游竣瑜臺北市立大同高中高二 15 班徐煜翔臺北市立大同高中高二 15 班指導老師 : 吳淑萍老師張繼元老師

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综壶宦
4 years ago
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1 投稿類別 : 數學類篇名 : 作者 : 姚皓勻臺北市立大同高中高二 5 班游竣瑜臺北市立大同高中高二 5 班徐煜翔臺北市立大同高中高二 5 班指導老師 : 吳淑萍老師張繼元老師

2 壹前言一研究動機與目的矩陣是高等代數學中的常見工具, 也常見於統計分析等應用數學學科中在物理學中, 矩陣於電路學力學光學和量子物理中都有應用 ; 計算器科學中, 三維動畫製作也需要用到矩陣矩陣的運算是數值分析領域的重要問題, 將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算我們對於矩陣的多變性以及數學特性感到好奇有趣我們在國中數學課探討正數的平方根, 高中數學課探討複數的平方根, 因此, 引發我們想探究二階方陣平方根的問題非零複數的平方根個數皆為兩個, 然二階方陣平方根個數可能有 0 個個 4 個甚至無限多個! 我們研究幾種可以找到二階方陣平方根的方法, 並且連結二階方陣與平面上線性變換的關係, 如旋轉矩陣鏡射矩陣二符號說明對二階方陣 M = [ a a a a ],trace(m) = a a 為 M 之主對角線元素總和, det(m) = a a a a 為 M 之行列式值,I = [ 0 0 ],O = [ ] 貳正文一求二階方陣 A = [ a b c d ] 的平方根, 我們研究以下五種方法 : 方法 : 直接展開求解析解以未知數假設 A 平方根矩陣 B = [ x y z w ], 將 B = A 透過矩陣乘法運算展開, 找出各項元素間的關係式, 解聯立方程組, 求得二階方陣 A 之平方根 B 的解方法 : 平方根的公式解令矩陣 B 為 A 的平方根, 由 Cayley Hamilton 定理知道得 B trace(b) B det(b) I = O () [trace(b)] = trace(b ) det(b) = trace(a) ± det (A)

3 令 δ = trace(a),ε = ± det (A), 則 trace(b) = ± δ ε, 代回 () 式整理, 當 δ ε 0, 得到 A 的平方根 B 的公式解 B = trace(b) (A det(b) I) = (A ε I) () ± δε 方法 3: 矩陣對角化對於可對角化矩陣 A, 兩特徵值為 λ 和 λ, 可找到矩陣 P 及對角矩陣 D = [ λ 0 0 λ ] 滿足 A = PDP, 得 A 平方根矩陣 B = PD P = P [ ± λ 0 0 ± λ ] P 方法 4: 巴比倫演算法 (Babylonian method) 求一正數 A 之平方根的近似值, 令 f(x) = x A, 給一個猜測值為起始值 x 0, 透過牛頓法 (Newton method) 可得到巴比倫演算法的遞迴式 x k = x k f(x k) f (x k ) = x k x k A = x k (x k A ) x k 則 lim k x k = A 仿照實數的巴比倫演算法, 我們取 X 0 = I X 0 = I, 分別代入遞迴關係式 X k = (X k AX k ) (3) 求得 X k 和 X k, 並與方法得到的 A 平方根解析解做對照比較方法 5:Denman Beavers 迭代法 (Denman Beavers iteration) 根據巴比倫演算法, 有 X k = (X k AX k ), 令 Y k = X k A, 則 Y k = AX k,, 代回 (3) 式可得到 X k = (X k Y k ),Y k = (Y k X k ) (4) 我們取 (X 0, Y 0 ) = (A, I),(X 0, Y 0 ) = (A, I), 分別代入 (4) 式, 求得 X k 和 X k, 並與方法得到的 A 平方根解析解做對照比較

4 3 0 二我們用實際一個例子來運用上述五種求平方根方法, 令二階方陣 A = [ 3 8 ]: 方法 : 直接展開求解析解設矩陣 B = [ x z y u ] 為 A 的平方根, 即 B = A, 則 x yz = 3 x y [ z u ] = [ x yz y(x u) 0 ] = [3 z(x u) yz u 3 8 ] y(x u) = 0 z(x u) = 3 { yz u = 8 我們求得方陣 A 平方根的四個解 : (5 3 6 ) 0( 3 ) B = [ ] [ ( 3 ) ] (5 3 6 ) 0( 3 ) B = [ ] [ ( 3 ) ] (5 3 6 ) 0( 3 ) B 3 = [ ] [ ( 3 ) ] (5 3 6 ) 0( 3 ) B 4 = [ ] [ ( 3 ) ] 方法 : 公式解令矩陣 B 為 A 的平方根, 本例 δ = trace(a) = 5 ε = ± det (A) = ± 6, 代回 () 式得 δ ε (A ε I) = ± 6 0 [3 3 ± 3 8 ± 6 ] = B,B 3 (A ε I) = ± 6 0 [3 δ ε 3 ± 3 8 ± 6 ] = B,B 4 方法 3: 矩陣對角化 A 的特徵方程式為 det(a λi) = λ 5λ 6 = 0, 解得特徵根 λ = λ = 3, 找到矩陣 P = [ 5 0 ],D = [ ], 滿足 A = PDP, 即 A = [ ] = [ 5 3 ] [ ] [ 3 5 ] 3

5 我們得 A 的平方根有 [ 5 3 ] [ 0 0 ± 3 ] [ 3 5 ] = B,B 4 [ 5 3 ] [ 0 0 ± 3 ] [ 3 5 ] = B 3,B 方法 4: 巴比倫演算法 X k 我們取 X 0 = [ 0 0 ], X 0 = I = [ 0 0 ] 分別代入 (3) 式, 得 X k = (X k A(X k ) ), = (X k A(X k ) ), 求得 X k 和 X 新近似值前一近似值 k, 令 e ij =, E r = [ e e e ], 計算新近似值所得 X k 中每個元素的百分比相對誤差 (percent relative error) 絕對值 : e 巴比倫演算法 X k E r 巴比倫演算法 X k E r X = [ ] X = [ ] X [ ] [ ] X [ ] [ ] X [ ] [ ] X [ ] [ ] X [ ] [ ] X [ ] [ ] 從上表看出每個元素的百分比相對誤差 e ij 收斂, 且 X 4 X 4 已十分接近方法得到的 A 平方根其中兩解 B 和 B 方法 5:Denman Beavers 迭代法我們取 (X 0, Y 0 ) = (A, I) 代入 (4) 式, 得 X k = (X k (Y k ) ),Y k = (Y k (X k ) ), 求得 X k, 另取 (X 0, Y 0 ) = (A, I) 代入 (4) 式, 得 X k = (X k (Y k ) ),Y k = (Y k (X k ) ), 求得 X k 同方法 4, 計算所得 X k 中每個元素的百分比相對誤差 (percent relative error) 絕對值 : 4

6 迭代法 X k E r 迭代法 X k E r X = [ ] X 5 = [ ] X [ ] [ ] X [ ] [ ] X [ ] [ ] X [ ] [ ] X [ ] [ ] X [ ] [ ] 從上表看出 X, X, X 3, X 4 每個元素的百分比相對誤差 e ij 收斂, 且 X 4 已十分接近方法得到的 A 平方根其中一解 B 然而代 (X 0, Y 0 ) 所得出的 X, X, X 3, X 4 之百分比相對誤差沒有收斂, 無法求得 A 平方根三我們針對幾種特殊的二階方陣, 討論其平方根的通式和幾何意義 : 型 : 單位方陣 I = [ 0 0 ] 我們先利用方法公式解,δ = trace(a) = ε = ± det (A) = ± δ ε = 或 0, 代回 () 式, 則 B = (I ε I) = ( ε ) I = ±I ± δ ε ± δ ε 得出單位方陣 I 平方根的兩解, 但實際上卻不然![ ] [0.6 ] [ ] 等亦為 I 的平方根, 為了找出其他的平方根矩陣, 我們使用方法直接展開 : 假設 B = [ x z y u ] 為 I 的平方根, 解知單位矩陣 I 的平方根有無限多個 x yz = y(x u) = 0, 得 B = [ z(x u) = 0 { yz u = t t s s t ], 其中 t s 為實數, 可特別是當 t = cosθ,s = sinθ,0 θ < π, 即 B = [ cosθ sinθ sinθ cosθ ], 均為 I 的平方根, 因矩陣 B 為平面線性變換中, 將物件對直線 y = tan θ 鏡射的鏡射矩陣, 連續鏡射兩次得 B = I, 符合其幾何意義 5

7 型 : A = [ a 0 ] (ab 0) 0 b 因為 A 為對角矩陣, 所以可以很快地得知其平方根為 : B = [ ± a 0 0 b ],[± a 0 0 b ] 型 3: A = [ a c ] (a b,a, b > 0) 0 b 我們利用方法來直接展開, 假設其平方根 B = [ x y z u ], 則有 x yz = a a c y [ ] = [x 0 b z u ] = [ x yz y(x u) z(x u) yz u ] y(x u) = c z(x u) = 0 { yz u = b 解得 B = [ ± a c ± a b 0 b ],[ ± a c ± a b 0 b ] 型 4: A = [ a b ] (ab 0) b a 令 cosθ = a a b,sinθ = b a b,0 θ < π, 則 A = a b [ cosθ sinθ sinθ cosθ ] 其中矩陣 [ cosθ sinθ sinθ cosθ ] 為平面線性變換中, 將物件旋轉 θ 角的旋轉矩陣, 因此根據其幾何意義可知, 4 B = a b cos θ [ sin θ ] sin θ cos θ 為 A 的平方根矩陣, 即 B = a b [ cos θ sin θ sin θ cos θ ] = a b [ cosθ sinθ sinθ cosθ ] = A 6

8 四二階方陣平方根矩陣可能個數二階方陣平方根矩陣個數的理論探究, 本文不討論我們分別對可逆方陣不可逆方陣, 利用方法, 看其平方根的可能個數 : ( 一 ) A 為可逆方陣, 即 det(a) [ 3 8 ] 有四個平方根如下 (5 3 6 ) 0( 3 ) 6 ) 0( 3 ) ± [ ] ± [(5 3 3( 3 ) ( 3 ) ]. [ 0 ] 有兩個平方根為 ± [ ] 3. [ 0 0 ] 有無限多平方根, 如 B = [ t t s s t ], 其中 t s 為實數 ( 二 ) A 為不可逆方陣, 即 det(a) = 0. [ ] 有兩個平方根為 [ ± ]. [ ] 沒有平方根 3. [ ] 有無限多個平方根, 如 [ 0 t 0 0 ],[0 0 t 0 ] 等, 其中 t 為實數 7

9 參結論對於求方陣 A = [ a b c d ] 平方根的五種方法, 我們的心得 : 方法優點缺點通式 / 規則能求得所有平方根的直接展開求解過程冗長複雜 B 解析解 x y = [ z u ] = A 在 δ ε = 0 時無法公式解節省計算的時間使用, 且未必能求得 B = (I ε I) ± δ ε 所有平方根的解析解矩陣對角化計算較簡單快速無法運用在不可對角化矩陣 B = PD P 巴比倫演算法 Denman Beavers 迭代法可利用電腦節省計算平方根的數值解時間, 求得平方根的數值解好的初始值 X 0 Y 0 不易猜測, 難求得所有好的初始值 X 0 Y 0 不易猜測, 難求得所有平方根的數值解 X k = (X k AX k ) X k = (X k Y k ) Y k = (Y k X k ) 肆引註資料. 黃子嘉 (0) 線性代數及其應用 ( 上 )( 下 ) 臺北市 : 鼎茂. 趙英宏趙元和 (008) 數值分析臺北市 : 五南 3. 謝朝和 (06) 線性代數 ( 二版 ) 新北市 : 高立圖書 4. 線代啟示錄二階方陣的平方根,06 年月 0 日, 取自二階方陣的平方根 / 5. WOW.com Square root of a matrix 07 年月 7 日, 取自 8

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untitled 5 年台灣大學解題老師 : 周易系所 : 醫工所 ( 甲組 ) 化工系高分子所食科所( 丁組 ) 科目 : 工程數學 (E). 是非題 ( 請標明題號 ()~(5), 依順序作答, 正確請寫, 不正確請寫 ): R S T 均為階方陣, I 為階單位方陣, 下列敘述是否正確? () 假設 R 為正交可對角化 (orthogoall diagoalizable) 矩陣, 則 R 必為對稱矩陣

投稿類別 : 數學類 篇名 : 二階方陣平方根問題的探究 作者 : 姚皓勻 臺北市立大同高中 高二 15 班游竣瑜 臺北市立大同高中 高二 15 班徐煜翔 臺北市立大同高中 高二 15 班 指導老師 : 吳淑萍老師 張繼元老師

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