第三單元平面座標與直線的斜率

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贻古
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1 林信安老師編寫第五十二單元矩陣的應用 ( 甲 ) 轉移矩陣 () 引入轉移矩陣 : 例子 : 假設某地只有甲乙兩家工廠生產並販賣某一種產品每一年甲工廠的顧客中有 4 轉向乙工廠購買此產品, 只有 4 仍然向甲工廠購買 : 而乙工廠的顧客中有轉向甲工廠購買, 其餘的顧客仍然向乙工廠購買, 請問 () 一年二年三年後, 甲乙兩家工廠的市場佔有率為何? () 長久下去最後甲乙兩工廠的市場佔有率為何? [ 解法 ]: () 設甲乙兩工廠目前市場佔有率為,, 其中 +,n 年後甲乙兩工廠市場佔有率分別為 n, n 第一年甲乙工廠的市場佔有率 4 +, 4 + 第二年甲乙工廠的市場佔有率 4 +, 4 + 第三年甲乙工廠的市場佔有率 4 +, 第 n+ 年甲乙工廠的市場佔有率 n+ 4 n+ n, n+ 4 n+ n 令 A 4 4 n,x n, 那麼上述的關係, 可用 n AX 4 4 X,AX 4 4 X, ~ ~

2 林信安老師編寫 AX 4 4 X. AX n 4 4 n n+ X n n+ n+ 根據上述的關係式 :X n AX n- A(AX n )A X n A (AX n )A X n..a n X 所以 X , 77 X () 設 lim n α, lim n β 表示經過多年之後甲乙兩工廠的市場佔有率 n n 因為 AX n 4 4 n n+ X n n+ n+ 所以可得 n+ 4 n+ n 且 n 4 n+ n α α + β 取極限後之後可知 4 α, 這個關係可以寫成 AXX, 其中 X β α + β β 4 4 α 又因為 n+ n, 故 α+β, 所以可解得 9 β [ 另一種想法 ]: α 設經過多年之後的市場佔有率為 X, 令 X lim X n, 且 α+β 因為 AXnX n+, β n 所以 lim AX n lim X n + A( lim X n ) lim X n + AXX n n n 上面的例子中可以看出幾個特點 : n 4 α 9 β ~ ~

3 林信安老師編寫 ()A 的每一行都是非負的實數 (b)a 的每一行的元之和都等於 n (c)x n,n+ n n 數學上稱這樣的過程為隨機過程或馬可夫鏈,A 稱為轉移矩陣 () 轉移矩陣 : 一般而言, 在自然現象與社現象中, 許多現象都會隨時間的改變而呈現不同的狀態假設某現象所可能呈現的不同狀態只有有限多種 :S,S,S,,S n 每隔一固定的時間來觀查察它所呈現的狀態如果此現象在各觀察期呈現某種狀態的過程滿足下面的性質 : 在任意觀察期中此現象呈現狀態 S j 時, 則它在下一觀察期呈現狀態 S i 的機率為 p ij 當一個現象的呈現具有這個性質時, 我們就說這個過程形成一個馬可夫鏈馬可夫鏈有下列的特性 : p p... p n ()A p p... p n n,pij, p k j,j,,,n k pn pn... pnn 此矩陣 A 稱為這個馬可夫鏈的轉移矩陣 (b) 若一個方陣的各元都大於或等於, 而且每一行中各元的和都等於, 此種方陣稱為馬可夫矩陣或轉移矩陣 (c) 如果一馬可夫鏈可達到穩定狀態, 而其 (n 階 ) 轉移矩陣為 A, 則其穩定狀態就是滿足 AXX 的 n 矩陣 X 以前面的例子說, 設購買甲工廠的狀態為 S, 購買乙工廠的狀態為 S, 4 而 p 4,p 4,p,p, 所以轉移矩陣 A 為 4, 而為穩定狀態 9 4 一般的馬可夫鏈不一定會產生穩定的狀態例如 B ~ ~

4 林信安老師編寫 [ 例題 ] 設 A,B 兩箱中,A 箱內有黑球白球,B 箱內有白球甲乙兩人輪流取球, 每次先由甲自 A 箱內任取一球, 放入 B 箱內, 再由乙自 B 箱內任取一球, 放入 A 箱內, 這樣的動作完成後稱為一局 () 當一局結束時,A 箱內兩球為一黑一白的機率為 () 當第三局結束時,A 箱內兩球為一黑一白的機率為 Ans:() 4 ()4 64 [ 例題 ] 台北市捷運局曾做過調查, 消費者中原來搭捷運者有 8% 繼續搭乘捷運, 有 % 會改為自行開車, 有 % 改為騎機車 ; 原來自行開車的人有 % 改搭捷運, 有 % 會繼續開車, 有 % 改為騎機車 ; 原來騎機車者有 % 改為搭捷運, 有 % 會改為自行開車, 有 6% 會繼續騎機車 ; 假設台北市人口數不變, 且目前有 % 的消費者採用捷運系統, 有 % 的人自行開車, 有 % 的人騎機車為交通工具 () 試自行定義狀態, 並寫出推移矩陣 (b) 一年後將有多少比例的消費者採用捷運系統為交通工具? (c) 長期而言, 將有多少比例的人會搭乘捷運? 捷運開車機車捷運.8.. Ans:() (b)%(c) 6 開車 9... 機車...6 ~ 4~

5 林信安老師編寫 [ 例題 ] 所謂轉移矩陣必須滿足下列兩個條件 : ( 甲 ) 該矩陣的每一個位置都是一個非負的實數, ( 乙 ) 該矩陣的每一行的數字相加都等於 l 以矩陣為例, 和 , 滿足 ( 甲 )( 乙 ) 這兩個條件, 因此都是轉移矩陣今設 A B 是兩個 n n的轉移矩陣, 請問下列哪些敘述是正確的?()A 是轉移矩陣 ()AB 不滿足條件 ( 乙 ) () ( A+ B) 是轉移矩陣 (4) 4 (A +B ) 是轉移矩陣 ( 指定考科甲 ) Ans:()() () 證明 :A B 為轉移矩陣 AB 為轉移矩陣 b b 設 A,B 為轉移矩陣, 所以 ij,b ij b b 且各行的和,CAB[c ij ] c +c ( b + b )+( b + b )( + )b +( + )b b +b 同理 c +c AB 為轉移矩陣 () 證明 :A B 為轉移矩陣 (A+B) 為轉移矩陣 (A+B) ( + b b ) + b + b b b + b + b 檢查 (A+B) 中第一行元素的和 ( +b + +b ), 同理, 第二行元素的和 (A+B) 為轉移矩陣故本題中 A B 為轉移矩陣 (A +B ) 為轉移矩陣而 4 (A +B ) 是轉移矩陣不為轉移矩陣 ( 練習 ) 設某地區有甲乙兩種報紙, 訂戶總人數不變, 且每一年訂戶變化皆如下述 : 今年訂閱甲報的人有明年會繼續訂閱甲報, 有會改定乙報 ; 今年訂閱乙報的人有明年會改訂閱甲報, 有會繼續定乙報, 根據這些資料, 請寫出這項資料的推移矩陣 A, 當市場趨於穩定狀態時, 甲乙兩種報紙市場佔有率之比為何? Ans:A,9: ( 練習 ) 設甲箱內有個白球, 乙箱內有個紅球, 現在每次各自箱中隨機取一個球交換, 設 P i 代表有 i 個紅球在甲箱內的狀況 : ~ ~

6 () 請寫出轉移矩陣 A (b) 在交換二次後, 有個紅球在甲箱內之機率 (c) 在長期交換之後, 有個紅球在甲箱內的機率 6 Ans:() (b) (c). 林信安老師編寫 ( 練習 ) 設 A,B 兩盒子內各有兩個球, 其中 A 盒子內有二白球,B 盒子內有一白球一黑球甲乙兩人輪流取球, 每次先由甲自 A 盒子內任取一球放入 B 盒內, 再由乙自 B 盒內任取一球, 放入 A 盒內, 這樣的動作完成後稱為一局 () 求第一局結束時,A 盒內還是二白球的機率 () 求第二局結束時,A 盒內還是二白球的機率 () 求第三局結束時,A 盒內還是二白球的機率 Ans:() () 9 ()4 7 ~ 6~

7 林信安老師編寫 ( 乙 ) 平面上幾何變換矩陣我們熟知的幾何變換旋轉鏡射伸縮等, 我們都可以用特定的矩陣來表示 () 旋轉運動 : 旋轉中心為原點 (,) 設平面上有一點 P(,) 繞原點旋轉 θ 角度得到 P (, ), 令 Pr, 根據三角函數的定義, 可以得知 rcosα,rsinα; rcos(θ+α), rsin(θ+α) P' α P rcos(θ+α)r(cosθcosα sinθsinα) cosθ sinθ rsin(θ+α)r(sinθcosα+cosθsinα) sinθ+ cosθ 如果將 P(,) 寫成,P (, ) 寫成, 則它們之間的關係可寫成 cosθ sinθ cosθ sinθ, 我們稱矩陣 A 為旋轉矩陣 sinθ cosθ sinθ cosθ [ 討論 ]: () 旋轉矩陣 A 的反矩陣 A cos( θ ) sin( θ ) sin( θ ) cos( θ ) cos( θ ) sin( θ ) sin( θ ) cos( θ ) ()A k cos kθ sin kθ 幾何解釋 : sin kθ, 其中 k 為正整數 cos kθ 從向量的觀點來看 : 若 P (,) 繞原點旋轉 θ 成為 P (, ), 則 P 與 P cosθ sinθ 滿足 sinθ cosθ ~ 7~

8 林信安老師編寫從複數的觀點來看 : 若在複數平面上 P(+i) 繞原點旋轉 θ 得到 P ( + i), 則 + i(+i)(cosθ+i sinθ) I P ( + i) θ P(+i) R 旋轉中心為一般的點設平面上有一點 P(,) 繞一點 A(, ) 旋轉 θ 角度得到 P (, ), 那麼 (,) 與 (, ) 間的關係是什麼? P P' A P (, ) A D E (, ) P 從向量的觀點來看 : 上述的旋轉運動可以視為 AP (, ) 繞原點旋轉 θ 成為 AP (, ) cosθ 所以可以得到關係式 : sinθ sinθ cosθ [ 例題 4] 設 AB 為一正三角形, 其中 A 的坐標為 (,4) 試求 B 的坐標 Ans:(,+ ) B A ~ 8~

9 林信安老師編寫 [ 例題 ] 將拋物線 Γ : 4 上的點繞原點旋轉 4, 得到新的圖形 Γ, 試求 Γ 的方程式 Ans: Γ A A Γ ( 練習 4) 如圖,ABCD 為正方形, 其中 A(,) B(,) 試求 C D 的坐標 Ans:D(,4) C(,8) C B D B C A A D F E ( 練習 ) 一正六邊形 ABCDEF 其中心為原點, 而 A 的坐標為 (4,), 求 C 點的坐標 Ans:C(, ) ( 練習 6) 設直線 L: +4 上的每一個點繞原點旋轉後成為立一條直線 L, 求 L 的方程式 Ans:+ 4 ( 練習 7) 設 <θ< π, cosθ sinθ 若, 則下列何者正確? sinθ cosθ (A)<θ< π 6 (B) π 6 <θ<π 4 (C) π 4 <θ<π (D) π <θ<π (E) π <θ<π Ans:(C) (8 台北區指考模擬考 ) ~ 9~

10 () 鏡射運動 : 如圖, 設平面上有一點 P(,) 過原點的直線 L 的斜角為 θ, 林信安老師編寫 P P 點對於直線 L 鏡射的點為 P (, ), 令 Pr rcosα,rsinα, rcos(θ α), rsin(θ α) rcos(θ α)r[cosθcosα+sinθsinα]cosθ+sinθ rsin(θ α)r[sinθcosα cosθsinα]sinθ cosθ α θ P 所以可以將 (,) 與 (, cos θ sin θ ) 的關係寫成 :, sin θ cos θ cos θ 我們稱 sin θ sin θ 為關於 L 的鏡射矩陣 cos θ [ 討論一 ]: 請寫出關於軸軸直線的鏡射矩陣 [ 討論二 ]: cos θ sin θ ()L 的鏡射矩陣 A 的反矩陣 A cos θ sin θ cos θ sin θ sin θ cos θ cos θ sin θ sin θ cos θ ()A 幾何解釋 : ~ ~

11 林信安老師編寫 [ 例題 6] 設平面上有一點 P(,) 過原點的直線 L:m,P 點對於直線 L 鏡射的點為 m m P (, ), 則 (,) 與 (, ) 關係式可寫成 + m + m m m + m + m [ 例題 7] 若 A(4, ), 則 A 對下列直線之對稱點之坐標為何? () () () [ 解法 ]: 沿向量 ( ()A(4, ),) 平移對 (, ) 軸做鏡射沿向量 (, ) 平移沿向量 (, () A(4, ) ) 平移對 (4, 4) 軸做鏡射沿向量 (, ) 平移 ()tnθm, 鏡設矩陣為對 () 的分析 :A(4, ) 做鏡射 (, ) 沿向量 (,) 平移沿向量 (,) 平移 (, ) 對軸做鏡射 (, ) ~ ~

12 [ 例題 8] 有關矩陣 A 與矩陣 B ()ABBA ()A BBA ()A B B 6 A (4)AB A 7 ()(ABA) AB A (7 指定甲 ) Ans:()(4)() 林信安老師編寫, 試問下列哪些選項是正確的? [ 例題 9] 拋物線 Γ: 經過直線鏡射下變成 Γ, 請問 Γ 的方程式為何? Ans: ( 練習 8) ()A(,6) 關於 L: 的對稱點坐標 A : () 直線 L: 6 關於直線的鏡射圖形方程式為 Ans:() A ( +, ) () + ( 練習 9) 試求直線 L: 經過繞原點旋轉, 再對直線鏡射下變成 L, 求 L 的方程式 Ans: (+ ) () 中心伸縮運動 : () 設為平面上一個定點,k 為大於的定數, 若將平面上的動點 P 變換到 P, 使得 P k P, 則稱此變換為以為中心的中心伸縮 k 倍的運動設 P(,) 經過以原點為伸縮中心, 伸縮 k(k>) 倍得到 P (, ), 因為 P k P (, )k(,) k, k P P 與 P k 的關係用矩陣表示如下 : k P' (b) 中心伸縮與旋轉 : 例子 : 以為中心伸縮倍以為中心旋轉 6 點 P(,) 點 Q(m,n) 點 P (, ) ~ ~

13 林信安老師編寫矩陣表示 :, 且上述中心伸縮與旋轉可以用複數來表示 : 複數表示 : n m cos6 sin 6 sin 6 cos6 n m cos6 sin 6 sin 6 cos6 + i(cos6 +isin6 )(+i) [ 例題 ] 設 R,D,k> () 請問 RDDR 會成立嗎? () 如何用幾何變換來解釋? θ θ θ θ cos sin sin cos k k [ 例題 ] 設 AB 中, 為原點,A(,-),B 在第一象限內, 且 ABθ, 若 tnθ 4, 且 A B, 則 B 的坐標為 Ans:(,9) (4) 推移運動 : () 設 k 是一個常數, 在坐標平面上, 若將動點 P(,) 的坐標保持不變, 而坐標變成 +k, 形成 P (, ), 其中 +k,, 我們稱這種運動為沿坐標推移坐標的 k 倍 ~ ~

14 林信安老師編寫用矩陣表示可為例如 : 沿坐標推移坐標的 k 倍時, + 這樣的運動將 (,) (,) (,) (,) (,) (,) 依序變成 (,) (,) (,),(4,),(,),(,), 如右圖所示 (b) 設 k 是一個常數, 在坐標平面上, 若將動點 P(,) 的坐標保持不變, 而坐標變成 k+, 形成 P (, ), 其中, k+, 我們稱這種運動為沿坐標推移坐標的 k 倍用矩陣表示可為 k () 水平與鉛直方向的伸縮 : 水平方向的伸縮 : 將點 P(,) 的坐標保持不變, 而將坐標乘以 r 倍, 得到 P (, ) 其中 r,, 用矩陣表示為 r 當 r> 時, 此運動可視為水平方向伸張 r 倍, 鉛直方向不變當 <r< 時, 此運動可視為水平方向壓縮 r 倍, 鉛直方向不變當 r< 時, 此運動可視為伸張或壓縮與對軸的鏡射例如 : 將每一點 P(,) 變成 Q(,), 所以可將圓 + 水平方向伸長倍, 成為橢圓 9 + 例如 : 將每一點 P(,) 變成 Q(,), 所以可將圓 + 水平方向壓縮倍, 成為橢圓 9 + ~ 4~

15 林信安老師編寫例如 :, 所以可視為先對軸作鏡射, 在沿軸伸長倍鉛直方向的伸縮 : 將點 P(,) 的坐標保持不變, 而將坐標乘以 r 倍, 得到 P (, ) 其中, r, 用矩陣表示為 r 當 r> 時, 此運動可視為鉛直方向伸張 r 倍, 水平方向不變當 <r< 時, 此運動可視為鉛直方向壓縮 r 倍, 水平方向不變當 r< 時, 此運動可視為伸張或壓縮與對軸的鏡射 [ 例題 ] 一個圓 + 上的點 P(,) 先沿水平方向伸長倍, 再沿軸方向伸長倍得到另一個點 Q(, ),() 請找出一個階方陣 A 使得 A (b)q 點形成另一個圖形, 請問此圖形的方程式 Ans:, ( 練習 ) 設點 P(,) 先沿軸方向伸縮倍, 再沿軸方向伸縮 b 倍, 其中,b 均為正數, 得到點 P (, ), 請找出一個二階方陣 A, 使得 A Ans: b ( 練習 ) 設圓 C: + 4 在 (,) (+,) 的推移下, 變成另一個圖形, 求 Γ Γ 的方程式 Ans: + 4 ( 橢圓 ) ( 練習 ) 矩形 ABC 中 C A, 且 (,) A(,), 試問 B C 的坐標 ~ ~

16 Ans:B(,) C(,4) 或 B(4, ) C(, 4) 林信安老師編寫 ( 練習 ) 設 (,) A(, ) B(b,b ) 形成 AB, k 經過伸縮運動 (k>), 形成 A B, k 試問這兩個三角形面積的關係?Ans: A B k AB ( 練習 4) 設 (,) A(, ) B(b,b ) 形成 AB, k 經過推移運動,(k>) 形成 A B, 試問這兩個三角形面積的關係?Ans: 相等 ( 練習 ) 設 A(, ) B(, ) C(,) D(,), () 正方形 ABCD 沿軸推移坐標的倍, 成為四邊形 A B C D 請問 A B C D 各頂點的坐標 () 正方形 ABCD 沿軸推移坐標的倍, 成為四邊形 A B C D 請問 A B C D 各頂點的坐標 Ans:()A (, ) B(, ) C (,) D (,) ()A (, ) B(,) C(,) D(, ) ( 練習 6) 設 ABC 的頂點 A B C 經過沿水平方向壓縮倍之後, 再沿鉛直方向伸長倍, 得到 A B C, 形成另一個 A B C, 請問這兩個三角形面積的關係 Ans:S A B C S ABC 綜合練習 n () 設 A 為某一個馬可夫鏈的推移矩陣,X n,n,,,, 其中 +,, n, 而 X n AX n, 試證明 n + n,n,, 且 n, n () 某籃球選手經常作罰球投籃練習, 依據過去的經驗, 當他前一球投進時, 下一球的命中率為 8%; 當他前一球不進時, 下一球的命中率為 6% () 請寫出此選手投籃的轉移矩陣 A (b) 在暖身球投進之後, 分別求接下來投進第球第球第球的機率 (c) 長期而言, 此選手的投籃命中率為何? () 某保險公司經由多年的經驗與研究, 發現汽車駕駛人若曾經肇禍者較易再失事, 面臨不斷增加的修護損失及賠償請求, 公司決定依據駕駛人的肇禍紀錄增加投保者的保險費, 即投保人一年的保險費隨著它的肇禍次數增加而增加假設永安保險公司將投保人分成下列三類 : 第一類 : 未曾肇禍的人 ; 第二類 : 肇 ~ 6~

17 林信安老師編寫禍一次的人 ; 第三類 : 肇禍多於一次的人該公司的研究發現, 獲得下列資料 : 第一類第二類第三類發生第一類發生第二類.8..7 假設現有未曾肇禍的投保人人, 發生第三類... 根據這份研究, 從第二年開始, 人中, 這三類保險人的分布情形為何? 第三年開始, 人中, 這三類保險人的分布情形為何? (4) 某國政府長期追蹤全國國民的經濟狀況, 依訂定的標準將國民分為高收入和低收入兩類統計發現高收入的人口一直是低收入人口的兩倍, 且知在高收入的人口中, 每年有四成會轉變為低收入請問在低收入的人口中, 每年有幾成會轉變為高收入? 請選出正確的選項 (A) 6 成 (B)7 成 (C)8 成 (D)9 成 ( 指定考科甲 ) () 有一股票經紀商, 長期分析某一股票行情, 分成上漲持平下跌三種, 若某日股票行情上漲, 則次日股票行情有機會上漲機會持平 6 機會下跌, 若某日股票行情持平, 則次日股票行情有機會上漲機會持平機會下跌, 若某日股票行情下跌, 則次日股票行情有 6 機會上漲機會持平機會下跌, 假設今日股票上漲, 則後天此股票上漲的機會為多少? (6) 甲乙兩個袋子, 甲袋內裝有兩顆編號的球, 乙袋內裝有兩顆編號 4 的球, 每一顆球被抽到的機會相等, 今從各袋中抽出一球後互相交換 () 試求交換五次後, 甲袋內兩顆球號和為偶數的機率 (b) 若經長久交換後成穩定狀態, 試求此時乙袋內兩顆球號和為奇數的機率 (9 台北區指考模擬考 ) (7) 已知甲袋中裝有紅球白球, 乙袋中裝有紅球白球, 現依下列規則取球 : 每次取一球後放回原袋, 若某次取出白球, 則下一次由乙袋取球 ; 若某次取出紅球則下一次由甲袋取球, 且第一次由甲袋取球設第 n 次取中白球之機率為 P n, 則 ()P? (b) 已知此過程會達成穩定狀態, 則 lim P n? (8) 設甲袋中有個白球, 乙袋中有個紅球 ( 設各個球大小及觸感相同 ), 現在每次自袋中各取一球交換, 回答下列小題 : () 試求在交換兩次後, 甲袋中有紅球的機率 (b) 試求甲袋的兩球之轉移矩陣 A (c) 試求在長期交換下, 成穩定狀態, 甲袋中有紅球的機率 (9 南一中指考模擬考 4) (9) 一實驗室培養兩種菌, 令 n 和 b n 分別代表兩種培養菌在時間點 n 的數量, 彼此有如下的關係 : ( + b ), b b ( n,,, ). n+ n n n+ n n ~ 7~

18 若二階方陣 A b 滿足 c d n+ n A,( 其中 n,,, ), 則 bn+ bn,b,c,d ( 指定乙 ) 林信安老師編寫 () 某地區有 C F T 三家加油站, 根據資料顯示, C 家每年保留 4% 的顧客, 轉向 F T 兩家的各 4% %; F 家每年保留 6% 的顧客, 轉向 C T 兩家的各 % %; T 家每年保留 % 的顧客, 轉向 C F 兩家的各 6% %; 且目前 C F T 三家加油站的佔有率各為 % % 6% 假設 C T 各代表 n 年後的佔有率,C F T 各代表達到穩定狀態的 n Fn n 佔有率, 則下列敘述哪些是正確的? (A)C. (B)F.44 (C)C + F + T (D)T. n n n () 下列各方陣所定義的平面變換, 何者為旋轉? (A) (B) (D) (E) 4 4 (C) () 下列各方陣所定義的平面變換, 何者為對過原點直線的鏡射? (A) (B) (C) 4 (D) 4 (E) () 在平面上有一定點 P(-4,) 作下列各變換, 試分別求變換後的 P 點坐標 () 平移向量 (,) (b) 以原點為中心, 順時針旋轉 (c) 對直線 - 鏡射 (d) 以原點為中心, 伸長為倍 (e) 沿軸方向推移坐標的 - 倍 (4) 用矩陣分別表示下列合成變換 () 先旋轉 6, 再對軸鏡射 (b) 先對軸鏡射, 再伸縮倍, 再旋轉 (c) 先對軸伸縮倍, 再對軸伸縮倍, 再沿軸推移坐標 4 倍, 再對軸鏡射 () 如圖所示在坐標平面上, AB 為一正三角形, B 其中點 A 的坐標為 (,), 點 B 為 (b,b) 試問下列何者為真? (A)b+ i b (cos 6 + isin 6 )( + i) (B)b+ i b (cos 6 isin 6 )( + i) (C) ( b, b ) (,) ~ 8~ A(,)

19 b cos 6 sin 6 (D) b sin 6 cos 6 b cos 6 sin 6 (E) ( 指定考科乙 ) b sin 6 cos 6 林信安老師編寫 (6) A 是方陣, 設 A A. A, A A. A. A, 以此類推 4 已知 A, A, 若有使得,, b A b 下列敘述何者正確 : () ()b () A (4)A 是一旋轉方陣 ( 指定甲 ) (7) 在複數平面上, 點 A 表示複數 +i, 為原點, 若以為中心, 將 A 線段順 π 時針方向旋轉 4 後得 B, 設 B 表示複數 zr(cosθ +i sinθ ) (r>), 則 tnθ? cosθ sinθ (8) 設矩陣 R,<θ<π,M 若 R sinθ cosθ 6 I, 則 ()θ 的最小值? (b) 承 () (RMR )?(9 台中區指定考科模擬考 ) 進階問題 (9) 有一人流浪於 A,B,C,D 四鎮間, 此四鎮間相鄰關係如下圖假設每日清晨, 此人決定當日夜晚繼續留宿該鎮, 或改而前往相鄰任一鎮之機率皆為若此人第一夜宿 A 鎮, () 第三夜亦宿於 A 鎮之機率為多少? (b) 第五夜此人宿於 A 鎮之機率為多少? 宿於 C 鎮之機率為多少? () 設甲袋有元鈔票兩張, 乙袋有元鈔票張今自甲乙兩袋隨機各取一張交換, 稱為一局, 則長期交換過程中, 下列何者為真? (A) 當甲袋持有元的狀態中, 經一局交換後使其持有元的機率為 (B) 當甲袋持有元的狀態中, 經一局交換後使其持有元的機率為 (C) 第三局結束時, 甲袋分別持有元, 元, 元的機率分別為 6, 6, 6 77 (D) 第三局結束時, 乙袋持有錢幣的期望值為元 8 (E) 依此長期交換後, 甲袋持有錢幣的期望值為 4 元 ~ 9~

20 n n bn n n () 設表為 A, 則 : bn n + 4b n b n bn () 令 P 時, 求 P AP (b) 利用 P A n P(P AP) n,n 為自然數, 求 A n? (c) 數列 <n> <b n >, b, 求 lim? n n b n 林信安老師編寫 L P P P L () [ 兩次對稱等於一次旋轉 ] 如圖, 設 L 與 L 的交角為 θ, 點 P(,) 對於 L 的對稱點 P,P 對於 L 的對稱點 P (, ), 是找出 P(,) 與 P (, ) 的關係 cos θ Ans: sin θ sin θ cos θ () A 和 B 是兩個二階方陣, 方陣中每一位置的元素都是實數就二階方陣所對應的平面變換來說,A 在平面上的作用是對直線 L:+ 的鏡射, 且已知 AB 請選出正確的選項 ()ABBA ()A+B( 零矩陣 ) ()B 所對應的平面變換是旋轉 (4) A 是 B 的乘法反元素 ( 指定甲 ) (4) 設 P(, ) Q(, ) 對轉軸 θ 角後的新坐標依次為 P (, ) Q (, ), 試證明 : PQ P Q () 在平面上取點 P Q,P 與 Q 關於直線 + 對稱將 Q 繞原點旋轉 4 X b α 得到 R 點設用矩陣 + 表示的變換把 P(,) 變換成 Y c d β b α R(X,Y),() 請問矩陣 A?(b) 請問矩陣? c d β (6) ()A(, ) B(, ) C(, ), 設 ABC 經過伸縮 (,) (r,s) 變換後成為 DEF, 試證 : 若 ABC 之面積為, 且 r,s 為正數, 則 DEF 的面積為 rs (b) 已知 A B C 為橢圓上使 ABC 有最大面積之三個點, 若 A(9, 7) B 在第一象限內 C 在第三象限內, 求 B C 點之坐標 ~ ~

21 綜合練習解答林信安老師編寫 () 略 () 4 ()A (b) (c).7 () 第二年, 第一類有 8 人, 第二類有人, 第三類有人 ; 第三年, 第一類有 64 人, 第二類有人, 第三類有人 (4) (C) () 6 (6) () 6 (7) () 4 7 (b) (b) (8) () 4 (b) (c) 6 (9) 8,b4,c,d8 () (B)(C)(D) () (A)(B)(D)(E) () (B)(D) () () P'(,)(b) P'(, (d) P'(,9) (e) P'(,) 4 7 )(c) P'(, ) (4) 4 () (b) (c) () (A)(D) (6) ()()(4) (7) (8) 9 () π (b) (9) () (b) 7 7 () (A)(B)(C)(D)(E) () n n+ n n+ + + () (b) n n n n (c) () 略 ~ ~

22 林信安老師編寫 () ()()(4) (4) 利用直接去驗證 θ θ θ θ cos sin sin cos i i i i () ()A 7 7 (b) 6 [ 提示 :() 設 Q(m,n), 依題意可知 4 4, 令 L n m cos 4 sin 4 sin 4 cos 4 n m Y X 4 4,R L( + ) +,R R R(L +L )RL +RL R 故 A RL cos 4 sin 4 sin 4 cos 4 n m n m Y X Y X n m 7 7, RL R β α 6 ] (6) () 略 (b)b(6,8) C(, ) [ 提示 : 橢圓上有最大面積之內接三角形 ABC, 經過 (,) (, ) 變換成 DEF, 而 DEF 是圓 + 8 之內接三角形而 A(9, 7) D(9, 7 ),D 在圓上, 故 B E:(9 7 i)(cos +isin )6+8 i C F:(9 7 i)(cos4 +isin4 ) i 再變換成 B(6,8) C(, )] ~ ~

23 補充教材林信安老師編寫 ( 甲 ) 平面上的線性變換 () 二階方陣所對應的平面變換 : u 對於平面上每一點 P(u,v), 就有一個階的行矩陣與之對應 ; 反之, 每一個 v u u 階的行矩陣, 在坐標平面上都有一點 P(u,v) 與之對應因此我們可以將視為點 v v P 的行坐標從另一個觀點來說, 以原點為起點, 指向 P(u,v) 的位置向量 P (u,v), 它與點 P(u,v) u 一對一的對應, 因此我們也可以將行矩陣與 P (u,v) 最一對一的對應 v 我們知道平面向量可以定義加法與係數積, 並且滿足一些運算性質, 我們用 R 來表示所有平面向量所成的集合有時候並不嚴格區分坐標平面與 R, 不過當我們進行運算 :(,)+(m,n)(+m,+n) 指得是向量而不是點接下來要介紹一種對應 T 是將平面上的點( 向量 ) 對應到平面上的點 ( 向量 ),T 可視為一個函數, 定義域為坐標平面 (R ), 對應域亦為坐標平面 (R ) 設 T:R R, 若 T 滿足下列兩個條件, 則稱 T 為 R 上的線性變換 (Liner Trnsformtion) 設, 為 R 上任意兩向量,α 為任意實數 ()T(α )αt( ) ()T( + )T( )+T( ) b u b u u [ 例題 ] 設 A 為一個二階方陣, 定義 T, 試證明 : c d v c d v v T 為一個線性變換 (u,v) T (u,v ) ~ ~

24 林信安老師編寫為了方便起見, 設 (u,v), 我們用 A 來代表 d c b v u [ 例題 ] 設 T 為平面上一線性變換, 試證明 : () 變換 T 會將直線對應到直線! () 變換 T 會將線段對應到線段! [ 解法 ]: 設直線 P v u d c b v u v u P, 其中 P (, ) P (, ) 是相異兩點, 直線上的動點 P(,) 滿足, 其中 t 是參數設 T(P + ) ( t t )Q,T(P )Q,T(P)Q 我們可以計算出 (-t) +t, 因此 Q 點落在直線 Q d c b d c b d c b Q ( 線段 Q Q ) 上, 因此可知 T 將直線 P P 變換成直線 Q Q ( 線段 Q Q ) 根據例題, 可以得知型如 T( )A 的變換為線性變換, 反過來說, 線性變換 T 都可以表示成 T( )A 的形式嗎? 設 (, ), 取 e (,) e (,), e + e T 為線性變換, T( )T( e + e ) T( e )+ T( e ) T( ) 的可以化成 T( e ) T( e ) 的線性組合, 因此我們只要知道 T( e ) T( e ), 就可以表示出 T( ) 令 T( e ),T( e ), T( ) T( e )+ T( e ) + 根據上式, 可以得知 T( )A, 其中 A ) ( ) ( e T e T, 這樣的結果也在告訴我們, 要找階方陣 A, 就可以先找 T( e ) T( e ) 結論 : 若 T 為 R 上的線性變換, 則可以找到一個階方陣 A, 使得 R,T( )A, 其中 A ) ( ) ( e T e T e (,) e (,) ~ 4~

25 林信安老師編寫 [ 例題 ] ( 旋轉變換 ) 設線性變換 f:r R, R,T( ) 為將繞原點旋轉 θ 的向量, 試求代表此變換的矩陣 R, 即找一個階方陣 R, 使得 f( )R e e u u cos θ sinθ ( 練習 ) 設 T A, 其中 A, 設 T(P)P v v,t(q)q sinθ cosθ 試證明 : P.Q P.Q ( 練習 ) 設直線 L 通過原點, 且 L 的斜角為 θ, 設線性變換 f:r R, R,T( ) 為將對稱 L 所成的向量, 試求代表此變換的矩陣 R, 即找一個階方陣 R, 使得 f( )R [ 例題 4] () 設 A, 求 P(,6) 經過 A 的變換之後的點 Q 坐標 4 () 設 L:+, 請求出 L 經過 A 的變換之後圖形的方程式 ~ ~

26 b [ 例題 ] 對於二階方陣 A, 設線性變換 T( )A, c d ()det(a): 證明線性變換 T 可將 R 對應到一點 (,) 或是一條直線 ()det(a) : 證明線性變換 T 為一個映成函數林信安老師編寫 [ 例題 6] MNL 經過由二階方陣 A(det(A) ) 所定義的變換 T 得到 M N L, 試證明 M N L 的面積 MNL 的面積 det(a) [ 例題 7] 證明 : 橢圓 + 所包圍的面積為 bπ b ~ 6~

27 林信安老師編寫 b [ 例題 8] 設,b,c 為正數, 線性變換 T 由矩陣所定義, 當橢圓 4 +8 經 T c 映射之後的圖形是以原點為圓心, 為半徑的圓, 求,b,c Ans:,b 6,c (9 台北區指定考科模擬考 ) ( 練習 ) () 曲線 C: , 將曲線繞原點旋轉, 求旋轉後所得曲線方程式? b (b) 設矩陣 A (,b,d 為實數,d d b ), 所表示的線性變換把曲線 C 變成圓 : +, 並把 (,) 變換成點 (, ), 則矩陣 A? ( 練習 4) 線性變換 T 把 (,) 變成 (, ), 並且把圓 + 4+ 變成圓 + +, 求變換 T 所代表的矩陣 Ans: ( 練習 ) 橢圓 Γ: 4 +, 過其外一點 P(,) 作橢圓 Γ 的切線, 若二切點分別為 D 與 E, 則 PD PE 與橢圓劣弧 DE 所圍區域面積為 E Ans: 考量圓 C: + 與橢圓 Γ: + 4 二圖形間之關係, 若 PA PB 為圓 C 之切線, B P (, ) A D 則 PA PB 與圓弧 AB 所圍區域的面積為 ( - π ), 故所求區域之面樍為 ( - π ) b ( 練習 6) 在 A 所定義的線性變換 T 將直線 + 變換成它自己, 求出 b,c 的 c 7 值 Ans:b,c4 ~ 7~

28 林信安老師編寫 ( 練習 7) 設二次曲線 Γ:4 + 6+, 以矩陣 A 表示的線性變換對 Γ 作變換得 Γ, 即 A, 其中 (,) Γ,(, ) Γ, 則 () 當 Γ 與軸相切時, 求? (b) 根據 (), 求切點座標 (9 台中區複習考 ) Ans:()± (b)(±,) [ 提示 :() 根據 A A ( ), + ( + ) 代入 Γ 的方程式, 再令 4+ (+ ) 6 + +, 判別式 ± (b) 將 ± 代入 4+ (+ ) 6 + +, 解得切點 (±,) ~ 8~

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<4D F736F F D20B2C43430B3E6A4B8AF78B07DAABAC0B3A5CE2E646F63> 第四十單元矩陣的應用 ( 甲 ) 轉移矩陣 () 引入轉移矩陣 : 什麼是轉移矩陣呢? 先看底下的例子 : 有四個大小相同質料相同的小球, 其中甲袋分配到兩個白球, 乙袋分配到兩個黑球今從甲袋任意抽出一球放入乙袋, 攪勻後再從乙袋抽出一球放回甲袋稱做操作一次試問經過操作三次後, 甲袋有一黑一白之機率 : 每操作一次, 甲袋兩個球的顏色有三種狀態 : 狀態 S : 二個白球狀態 S : 一個白球,

第三單元 平面座標與直線的斜率

第三單元平面座標與直線的斜率