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谅房
4 years ago
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1 第三章矩陣矩陣的運算 ( 甲 ) 矩陣的基本認識 () 矩陣的引入 : 聯立方程組 : 矩陣直行橫列 z z z 列行 () 矩陣的基本名詞 : () 元 (elemet): 矩陣中列出來的每個數稱為矩陣的元 () 列 (row): 同一水平線各元合稱此矩陣的一列 () 行 (olum): 同一鉛直線各元合稱此矩陣的一行 (d) 位於第 i 列, 第 j 行的元稱為 (i,j) 元 (e) 當一個矩陣有列 m 行時, 我們稱為 m 階的矩陣 (f) 當一個矩陣有列行時, 我們稱為階方陣 () 矩陣的相等 : 設 [ ij ] m,b[ ij ] p q, 若 mp,q, 且對於任意 i 與 j 恆有 ij ij, 則稱和 B 相等, 以 B 表示 () 特殊矩陣 : () 設 [ ij ] m 是一個 m 階矩陣, 作一 m 階的矩陣 B[ ij ] m, 其中 ij ji, 則稱矩陣 B 為矩陣的轉置矩陣, 符號 :B T 例如 :, 9 T 9 () 設 [ ij ] m 是一個階方陣, 若 ij ji, 則稱是對稱方陣例如為一個對稱方陣 () 設 [ ij] m 是一個階方陣, 若 ij ji, 則稱是反對稱方陣注意主對角線 ii ~~

2 例如 : 是反對稱方陣 (d) 單位方陣 : 若一個階方陣, 由左上角到右下角的對角線上各位置的元 ( 即 (,),(,) (,) 元 ) 都是, 而其餘各元都是, 則稱為階單位方陣, 以 I 表之例 :I,I,..,I O ( 乙 ) 矩陣的加減法與係數積 () 矩陣的加法 : 加法的定義 : 設 [ ij ] m,b[ ij ] i j, 則 B[ ij ij ] m 例題 : 設求 ()B,B ()(BC),(B)C,, C B 由上面的例子, 可知 BB,(BC)(B)C () 減法的定義 : 設 [ ij ] m,b[ ij ] i j, 則 B[ ij ij ] m 例題 :: 設, 求 B,B, B 由上例可知 B B () 矩陣加法與減法的基本性質 : () 加法單位元素 : 若為 m 階矩陣, 若存在一個 m 階矩陣 O, 使得 OO, 則稱 O 為階矩陣之加法的單位元素 O 稱為階零矩陣 m m ~~

3 () 加法反元素 : 設 [ ij ] m 為一 m 階矩陣, 若存在一個矩陣, 使得 ()()O, 則稱為的 m 階矩陣之加法反元素即 [ ij ] m 根據加法反元素的定義, 可知 B(B) () 設 B C 為 m 階矩陣, 則下列性質成立 : 交換律 :BB 結合律 :(BC)(B)C ()()O () (B)(B) (d) 移項法則 : 設 B C 都是同階方陣, 且 BC, 則 CB 且 BC [ 證明 ]: 因為 BC, 等式兩邊同加 (B) 得 (B)(B)C(B) (B(B))C(B) OCB CB, 同理 BC [ 討論 ]: 若 BC, 則 BC 恆成立嗎? () 係數積的定義 : () 定義 : 若 [ ij ] m 為一 m 階矩陣, 而 r 是任意實數, 則 r[r ij ] m, 此時稱 r 是係數積例題 : 設,B, 試求,B,B 性質 : 設 B 為同階的矩陣,r,s 為實數, 則下列性質成立 : ()r(b)rrb ()(rs)rs ()(rs)r(s) 注意事項 : () 二矩陣若大小一樣 ( 都是 m 列行 ), 則可以相加減 9 例如 :,B,B ~~

4 但是, 9 不能相加 () 一矩陣可以乘上 r 倍 (r 為實數, 相當於每個位置都乘上 r 倍 ) 例如 :, 則, [ 例題 ] 設,B,C, 試解方程式 X B X C [ 解答 ]: X B X C X B C ( 練習 ) 設 B C, 求下列各題中的矩陣 X ()BXCX ()XBCBCX s:() () ( 練習 ) 設 { 為整數, }, 若階方陣之元素 ij, 試問 () 為對稱方陣有幾個? () 為反對稱方陣有幾個? s:() () ( 練習 ) 設,B, 求 (B) T 與 T B T s:(b) (B) T T B T 顯然 T B T (B) T ~~

5 ( 丙 ) 矩陣的乘法 () 矩陣乘法的定義 : 若為一個 m 的矩陣, 而 B 為是一個 p 的矩陣, 則其乘積 B 是一個 m p 的矩陣, 而且 B 的 (i,j) 元是由的第 i 列中各元 ( 有個 ) 與 B 中的第 j 行中各對應元 ( 有個 ) 之乘積和 p... p 即...,... p B,... p C, m m... m... p... p BC 對於每組元,i,,,m j,,,p 都有 ( i, j) ij j j ij 第 i 列 [ i i i i ] 與第 j 行 j 的元素對應相乘 j i j i j ij k 根據前面的定義 : ikkj 第 i j 第列行 m p m p 第 i,j 位置等於第一個的第 i 列和第二個的第 j 行作內積可以看出兩矩陣的大小必須互相配合才能相乘, 由上述理論可得 (m 的矩陣 ) ( p 的矩陣 ) (m p 的矩陣 ) 例子 : (,) 和 (,) 的內積 (,) 和 (, ) 的內積 (,) 和 (,) 的內積 (,) (,) (,) (, ) (,) (,) 和的內積和的內積和的內積 () () () ()() () () 9 矩陣的乘法就像是向量內積的推廣! ~~

6 [ 例題 ] ().? ()? ()?()? s:() () 不能相乘 () [ ] 9 [ ] 9 () ( 練習 ) 設,B, 試求 B, 並觀察 B 是否存在? s:,b 不存在 9 ( 練習 ) 設二階方陣,B () 若, 求實數, 之值 () 求 B? s:(), () ~~

7 ( 練習 ) 若,B, 則 (B) T?B T T? () 矩陣乘法的性質 : () 若 B C 為矩陣, 且 (B)C 與 (BC) 都有意義, 則有 (B)C(BC) () 若 B C 為矩陣, 且以下各矩陣運算都有意義, 則 (BC)BC,(BC)BC () 若 B 為矩陣,r 為實數, 且以下各矩陣運算都有意義, 則 r(b)(r)b(rb) 矩陣沒有以下性質 : () 交換律不成立 :B B( 除了特殊情形外 ) 例如 : 設,B B,B,B B 9 例如 : 設,B B 9 9,B,B B 9 例如 :,B,B,B,BB () 消去律不成立 : B C 時 B C ( 除了特殊情形外 ) 例如 : 但 () 若 BO( 零矩陣 ), 則 O 或 BO 是錯誤的例如 :, 但前二者都不是零矩陣 (d) 二項式定理不能適用於矩陣 : ( B) B B B 不能寫成 B B ( B B才可以 ) ( 練習 ) 下列各敘述何者正確? () 若是階方陣,B 是 m 階方陣, 則 B 是 m 階方陣 (B) 兩矩陣相乘滿足交換律, 即 B B ~~

8 (C) 矩陣對乘法滿足消去律, 也就是說 : 若 B C, 則 B C (D) 若 B C 為矩陣, 且對運算有意義時, 則滿足分配律, 即 (B C) B C (E) 若 B 為矩陣,r 為實數, 且對運算有意義時, 則滿足乘法對係數積的結合律, 即 r(b) (r)b (rb) s:(d)(e) ( 練習 ) 設 B C 均為階方陣, 下列性質何者成立?()(B)CCBC (B) B (B)(B)(C) 若 O, 則 O (D) 若 BC, 且 O, 則 BC (E)(B)CCBC s:()(e) ( 丁 ) 乘法反矩陣 () 矩陣的乘法反元素 : 在實數 R 中, 設為一個實數,, 我們在數學上稱為乘法單位元素若,, 稱與互為乘法反元素在矩陣的乘法運算中, 是否有類似實數乘法的結構呢? 例題 : 設, 可否找到一個階方陣 I, 使得 II 呢? d 令 I, 因為 II 且,,, d d d 即 I () 單位方陣 : 若一個階方陣, 由左上角到右下角的對角線上各位置的元 ( 即 (,),(,) (,) 元 ) 都是, 而其餘各元都是, 則稱為階單位方陣, 以 I 表之例 :I,I,..,I O () 設為 m 階的矩陣, 則 II m 當 m 時, 為階方陣, 且.I I., 此時我們可以稱 I 為階方陣乘法的單位元素 () 矩陣的乘法反元素 : 設是一個階方陣, 若有階方陣 B 使下列成立 BBI, 則稱 B 為的乘法反元素 ( 反矩陣 ), 記為 B [ 問題與討論 ]: 若 B B I 且 B B I, 則 B B 會成立嗎? ~~

9 () 如何找乘法反元素 ( 反矩陣 ): 例子 : 設, 求一階方陣 B 使得 BI, 令 B, 則可得兩個聯立方程組 : 與, 因為 det() u u u, 這兩個聯立方程組的係數矩陣都是原來的矩陣, 而解這個聯立方程組可以利用的增廣矩陣的列運算, 即,, 此時 B, 但我們可以觀察上面兩個增廣矩陣的列運算, 我們可以使用相同的基本列運算, 使得它們的前兩行的係數都相同, 因此此處可以將它們合併來計算列運算列運算 ) ( R R ) ( R R () 一般找反矩陣的方法 : 階方陣仿照上述的方法, 做一個矩陣, O O O O [ I ], 對作基本列算, 若經過一連串的列運算, 可得 / [I B], 則 B 即為的反矩陣 () 二階反矩陣 : 若設, 若 d det( ) d d, 則反矩陣 det( ) d 記法 :,d 對調 ;, 變號主對調, 副變號, 再除以 det() [ 證明 ]: 設, d, d ~9~

10 即,, 利用克拉瑪公式 d d det( ) det( ) det( ) det( ) d d det( ) det( ) det( ) det( ) d, 得 det( ) d () 三階反矩陣 : 設, 且 det, 如何找呢? 令 B, 且滿足 B, 且 r r r q q q p p p (,, ), (,, ), (,, ), p (p,p,p ), q (q,q,q ), r (r,r,r ) 因為 B r r r q q q p p p p, p, 所以 p 與均垂直, 同理 q 與均垂直 ; r 與均垂直因為 p 與均垂直, 且 det 所以 p t( ), 又 p. t( ). t det() 故 p det() ( ) 同理 q det() ( ), r det() ( ) 所以 det() () 反矩陣的性質 : () 有反矩陣的充要條件是 det() 例子 : 解聯立方程組的解 z z z ~~

11 將聯立方程組用矩陣的乘法表示為令,X X det() 聯立方程組恰有一解 X z z 有反矩陣因此有反矩陣的充要條件是 det() 從上一個例題中, 若為一個階或階方陣, 我們可以將聯立方程組寫成 XC, 此處的 X 或,C 或, 聯立方程組有唯一解的充要條件是 det() z` 結論 : 設 B C 為階方陣 () 有反矩陣的充要條件是 det() ()BC, 若 det() ( 即存在 ), 則 BC ()XB, 且存在 X B ()XB, 且存在 XB ()XBC, 且 B 存在 X CB () 若 B 都是階方陣, 且和 B 都有反矩陣, 則 B 有反矩陣, 且 (B) B [ 證明 ]: B(B )(BB ) I I ()(B ) B [ 證明 ]: (B ) (B )(B )(B ).. (B ) (B )B 再用數學歸納法即可得證 ~~

12 [ 例題 ] () 若矩陣, 則反矩陣 () 若方陣 X 滿足 X, 則 X s:() () [ 例題 ] 請利用列運算求矩陣的反矩陣 s: 9 9 ~~

13 [ 例題 ] 請求出的反矩陣 s: ( 練習 9) 若二階方陣 X 滿足 X,則 X s: ( 練習 ) 求的乘法反元素 s: 9 ( 練習 ) 若沒有乘法反元素, 則? s: 或 ( 練習 ) 設, B () 試求, () 若 XB,求 X, () 若 XB,求 X. s:(), (), () ~~

14 ( 練習 ) 設為二階方陣, I, O ;若 I O,則下列何者是 I 的乘法反矩陣? () (B) (C)I (D) (E). s:(d) ( 丁 ) 一些特殊矩陣的乘冪 [ 例題 ] ( 對角矩陣的乘法 ) 若, 求 s: 一般而言, 若, 則 [ 例題 ] ( 上三角矩陣的乘法二項式定理 ) 設, 對於任意正整數, () 若 I B, 請問 B?() 請求 B? B?B?() 請求出? s:()b ()B,B B () ) ( ~~

15 d f de 嚴格上三角矩陣 e,, O( ) [ 例題 ] ( 矩陣的對角化 ),P,DPP, 求矩陣 D? 又? s:d,.. ~~

16 [ 例題 9], 若二實數與滿足 (I 與 I ) I, 求, 之值?s:, 矩陣 : 二階矩陣 :, 三階矩陣 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( 練習 ) 設, 若 I,I 則數對 (,,)? s:(,,)(,,) ~~

17 ( 練習 ) 設,kI B, 其中 k 為大於的自然數,B 中的元素均不為負, 則 B? 又令 [ ij ], 則 ij 中的最大值? s:, ( 練習 ) 設方陣,P, 試求 : () P.... () P P () s:() () (). (.) (.) (.) (.) ~~

18 綜合練習 () 設,B,C 試求一矩陣 X 滿足 (XB)(BX) 成立 () 設 si os os si os si θ θ θ θ θ θ, 但,, 則下列何者為真? () > > (B) (C) (D) (E) () 設 B C 皆為矩陣, 則下列敘述哪些是正確的? () BB 恆成立 (B)(B)C(BC) 恆成立 (C) 若 B 則或 B (D) 若 det() 且 BC, 則 BC (E) ( ) B B B 恆成立 () 設 B 皆為二階方陣且 I O 分別為二階單位方陣與零矩陣, 則下列何者錯誤? () 若 BO, 則 BO (B) 若 BI, 則 BI (C) I(I)(I) (D) 若 I, 則 I 或 I (E) 若 BO, 則 O 或 BO () 已知 B C 為階方陣,O 為階零矩陣, 則下列何者為真? ()det(b)det()det(b) (B) 若 k 為實數,det(k)kdet() (C) 若 BC 且 det(), 則 BC (D) 若 B 均為可逆方陣, 則 (B) B (E) 若 BB, 則 (B) BB B () 直角坐標系動點 P 的坐標為 (,), 且滿足 [,] [,], 則一切 P 點所成的圖形其正焦弦長? () 設實係數二階方陣滿足,, 若, 則 9 d,,,d ( 指考數學甲 ) () 已知兩個階方陣 X 及 Y 滿足 XY,XY, 求 X Y? (9) 若矩陣滿足方程式 X XIO (I O 分別代表單位方陣與零矩陣 ), 則的乘法反元素? ~~

19 () 若,X, 且 X, () 請求出? ()X? ()det()? () 設 P 且 DPP, 則 () 矩陣 D? () 利用 DPP, 計算? () 設方陣, 其中, 證明 : () 設為階方陣, 試證 : I 的充要條件是 (I )(I )O () 若, 則進階問題 () 設為階方陣, 試證明 () t 為對稱矩陣 () t 為反對稱矩陣 () 設 B 有意義, 求證 :(B) t B t t () 設為階方陣, 其元素皆為自然數排列情形如下? 9, 求? ij? () () 設為實數, 試證明 : 對於所有的自然數, () 設,P, 求 P 9 P? () 試求? (9) CleHmilto 定理設二階方陣, 試證 d ( d ) ( d ) I O( 零矩陣 ) () () (B)(C)(E) () (B)(D) 綜合練習解答 ~9~

20 解法 () : 矩陣乘法沒有交換性 (B) (C) : 例如 :, 但前二者都不是零矩陣 (D) : 行列式值不為是有反方陣的充要條件, 故 det( ) 表存在, 又 B C B C B C (E) : ( B) ( B)( B) B B B 這是矩陣基本性質, 矩陣在某些性質上和數字很不相同, 容易混淆, 因此學習上要特別澄清這些觀念 () ()(D)(E) [ 提示 :() 反例 B 滿足 BO 但 B O,(D) 反例 (E) 反例同 ()] () (C)(D)(E) () (),,9,d () (9) I [ 提示 : IO (I)I ( I)I] 9 () () () () () () () () [ 提示 : 對用數學歸納法 ] () 證明略 () [ 解法 ] IB, 其中 B, 且 B, B 利用二項式定理展開 ~~

21 ( I B) C( I) C( I) B C( I) B C( I) B C( I) B CB 為 O, 因為 B I B B () 直接檢查定義 () [ 證明 ]: () 可令 [ ij ] m,b[ ij ] r s, Q B 有意義, r, 則 BC 其階數為 m s, (B) t 之階數為 s m 而 t 之階數為 m,b t 之階數為 s r,qr B t t 有意義, 且階數為 s m ()(B) t 之 (i,j) 元為取 (B) 之 (j,i) 元之第 j 列與 B 之第 i 行的對應元素之積的和 j i j i.. B t t 之 (i,j) 元為 B t 之第 i 列配乘上 t 的第 j 行 B 之第 i 行配乘上之第 j 列 i j i j 所以可知 (B) t 之 (i,j) 元 B t t 之 (i,j) 元 (), (ij)(ij) j () () 利用數學歸納法 () () 9 (9) 詳解 d d d d d d d ( d) ( d) d d d d d ( d ) I ( d ) d 可得 ( d) ( d ) I O ~~

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行列式與其應用甲二階行列式引入二階行列式 : 解二元一次方程組 :, 其中, 是未知數, 我們使用代入消去法解之當時, 解得唯一解 : 為了簡化過程與符號, 定義二階行列式定義 : 當,,,d 為個數, d d 它是左上與右下的乘積減去右上與左下的乘積引入二階行列式的符號之後, 重新考慮解的過程, 可得, 其中,, 當時, 方程組,, [ 此稱為克拉瑪公式 ] 當, 方程組有無限多解