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部乔连
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1 Science Innovation 2017; 5(6): doi: /j.si ISSN: (Print); ISSN: X (Online) Extensive Game of Horse Race: A Research on Tian Ji's Horse Race Based on Static Games of Complete Information Lun Weicheng College of Systems Engineering, National University of Defense Technology, Changsha, China address: @qq.com To cite this article: Lun Weicheng. Extensive Game of Horse Race: A Research on Tian Ji's Horse Race Based on Static Games of Complete Information. Science Innovation. Vol. 5, No. 6, 2017, pp doi: /j.si Received: October 31, 2017; Accepted: November 9, 2017; Published: December 6, 2017 Abstract: There are many ways to develop of the classical problem about Tian Ji s Horse Race so that this problem may be researched deeply using theory of games. Therefore, this paper designs n-order extensive game of horse race by changing a rule of traditional problem. After analysis, this paper holds a belief that this game is a kind of static games of complete information, which means theory of static games of complete information can be used to research Tian Ji s Horse Race. With showing all of the strategy profiles of third-order extensive game of horse race and calculating Nash equilibrium of this game, this paper finds some characteristics of the strategy profiles and Nash equilibrium of extensive game of horse race and give the expression of Nash equilibrium of mixed strategy of this game. A new concept of layout is introduced to reveal how strategy profiles influence the outcome of this game. Then the characteristic of the layouts of extensive game of horse race and the layout that can make Tian Ji s payoff biggest are found and proved, which is drawn from the result of some simulations about fourth-order and fifth-rank extensive games of horse race using a Java program. Keywords: Static Games of Complete Information, Strategy Profile, Nash Equilibrium, Layout 伦伟成扩展型赛马博弈 : 基于完全信息静态博弈对赛马的研究系统工程学院, 国防科技大学, 长沙, 中国邮箱 @qq.com 摘要 : 经典的赛马问题在许多方面都值得进一步优化, 从而使其适合于运用博弈论知识加以严格的分析研究因此, 本文在原问题的基础上通过修改规则设计出了 n 阶扩展型赛马博弈, 经分析后认为该博弈属于完全信息静态博弈, 于是可以运用完全信息静态博弈相关理论对赛马展开研究通过列举三阶扩展型赛马博弈的所有策略组合, 并用数学方法计算出该博弈的纳什均衡, 本文总结出扩展型赛马博弈在策略组合与纳什均衡上的规律, 给出了任意阶扩展型赛马博弈的混合策略纳什均衡的表达为了更好地揭示扩展型赛马博弈的策略组合如何决定了博弈结果, 本文引入了布局这一新概念通过利用 Java 程序对四阶和五阶扩展型赛马博弈的过程进行仿真, 本文根据仿真的结果归纳出了扩展型赛马博弈在布局上的规律, 指出使收益最大的布局的表达, 并予以证明关键词 : 完全信息静态博弈, 策略组合, 纳什均衡, 布局

2 Science Innovation 2017; 5(6): 引言赛马是一个经典的博弈问题, 以往对它的研究大致分为三类 : 一类致力于构建该博弈的模型, 研究如何用矩阵或树状图表示该博弈, 以王则柯博弈论教程为代表的各类博弈论教材就属于此类 [1]; 一类围绕着分析该博弈的性质展开, 例如田森经研究后认为赛马属于不完全信息动态博弈 [2]; 还有一类则侧重于如何运用赛马的博弈原理来分析解决实际问题, 如杨萍运用赛马的博弈模型为竞速机器人比赛设计战术 [3], 柯政分析了选考制度背后存在的类赛马博弈 [4] 上述研究大都没有触及赛马作为一个博弈的本质, 即研究赛马所具有的博弈基本要素近期的研究虽有刘祖华运用 Mathematica 软件求解赛马博弈的结果 [5], 但其求解过程并没有体现博弈论的思想和原理, 所使用的博弈矩阵也明显异于此前研究者们的共识基于此, 本文设计了 n 阶扩展型赛马博弈, 旨在运用博弈论理论研究赛马博弈的信息策略均衡等要素与都有 n( 3,, 下同 ) 个等级的马, 每个等级的马均不如同等级的马快, 但要比次等级的马快两人进行赛马, 每局快者胜出, 败者须向胜者支付一千两黄金 ( 为便于表示, 将每局比赛的奖金一千两黄金表示为 1), 共比赛 n 局, 谁赢的局数多则为这场赛马的最终赢家 ( 为避免混淆, 本文规定一场比赛包含了若干局比赛 ) 两人都可以随机安排不同等级的马出场, 但每种马只能出场一次, 且双方都不知道对方的出场顺序安排以上就是 n 阶扩展型赛马博弈的问题描述, 相比于经典的赛马 ( 以下简称经典赛马 ), 扩展型赛马博弈修改了比赛规则, 即的马不再按固定的上中下等顺表 1 扩展型赛马博弈的 36 种策略组合序出场, 也可以自由调整, 既然顺序不再固定, 则也无从知晓新增的这一规则反映了本文的一个基本假设 : 和一样, 都是理性的, 都深谙马的出场顺序有多种且不同的顺序会导致不同的结果扩展型赛马博弈属于完全信息静态博弈完全信息是指每一个参与人对所有其他参与人 ( 对手 ) 的特征策略空间和支付函数有确切的知识静态博弈是指博弈中, 参与人同时选择行动或虽非同时但后行动者并不知道前行动者采取了什么具体行动 [6] 如前文所述, 和都是理性的, 两个参与人都很清楚对方所有可能的行动所有可能的结果, 以及行动是如何影响结果的实现, 所以该博弈的信息是完全的此外, 虽然无法保证和是同时决定马的出场顺序, 但在 n-1 局比赛结束前他们都无法得知对方马匹的出场顺序, 且一旦双方确定各自马匹的出场顺序, 结果就随之确定 ( 不考虑马匹临场发挥情况 ), 完全符合静态博弈的条件 [7] 综上可得, 扩展型赛马博弈属于完全信息静态博弈 2. 三阶扩展型赛马博弈的策略组合用 A 1 A 2 A 3 分别表示的上中下三个等级的马, B 1 B 2 B 3 分别表示的上中下三个等级的马, 则从速度上来说, 有 A 1 >B 1 >A 2 >B 2 >A 3 >B 3 在三阶扩展型赛马博弈中, 有 =6 种安排不同等级的马的出场顺序的方法, 所以共有六种策略, 分别是 A 1 A 2 A 3 A 1 A 3 A 2 A 2 A 1 A 3 A 2 A 3 A 1 A 3 A 1 A 2 A 3 A 2 A 1 同理, 也有 B 1 B 2 B 3 B 1 B 3 B 2 B 2 B 1 B 3 B 2 B 3 B 1 B 3 B 1 B 2 B 3 B 2 B 1 六种策略 [8] 这样一来, 共存在 =36 种策略组合, 如表 1 所示序号策略组合赢家序号策略组合赢家 1 2 A 2 B 1 A 2 B A 2 B A 2 B A 2 B 1

3 394 伦伟成 : 扩展型赛马博弈 : 基于完全信息静态博弈对赛马的研究序号策略组合赢家序号策略组合赢家 A 2 B A 2 B 1 25 A 2 B A 2 B A 2 B A 2 B 1 根据表 1 可以总结出如下结论 : 结论 1: 参与人无法根据第一局比赛的结果推断出另一参与人的策略认定扩展型赛马博弈是一种静态博弈的依据之一是和在比赛前都不知道对方的出场顺序, 那么有没有可能根据第一局比赛的结果而推断出剩下两局对方派出的马的顺序呢? 答案是否定的用一个最简单的例子来证明, 假设第一局派上等马出场, 结果输了, 则派出的一定是上等马, 此时双方都还有中等马和下等马未出场, 那么还有先中等马再下等马和先下等马再中等马这两种出场顺序可供选择所以根据第一局自己的上等马输了这一结果只能推测出的策略可能是 A 1 A 2 A 3 或 A 1 A 3 A 2, 并不能具体确定究竟是哪一个, 唯一可以确定的是, 这场比赛输定了 ( 参照第号组合的结果 ) 可以将结论 1 推广到任意阶扩展型赛马博弈, 即对于 n 阶扩展型赛马博弈, 参与人无法根据前 k( 2 1, ) 局比赛结果精确推断出另一参与人的策略上文分析了 n=3 k=1 的情况, 当 n 和 k 都增加时, 情况只会更复杂, 自然更不能推测结论 2: 获胜的概率是, 当且仅当策略组合产生的布局是,, 下面引入布局和对阵情况这两个概念来对结论 2 加以阐述对阵情况是指每局比赛中双方派出的马的组合, 布局是指一场比赛中呈现出的 n 种对阵情况的集合布局不考虑对阵情况的先后顺序, 如果两个布局包含相同的 n 种对阵情况, 则属于同一种布局不难发现一种布局可以由 =! 种策略组合所产生, 分别对应 n 种对阵情况的! 种全排列对阵情况决定了每局比赛的输赢, 布局则决定了一场比赛的结果布局对阵情况策略策略组合存在如图 1 所示的关系图 1 本文部分概念间的关系

4 Science Innovation 2017; 5(6): 表 1 的策略组合列中每一行的两个项就构成了一个对阵情况, 共计 9 种, 分别是, 它们互相组合形成了 =6 种布局, 分别是,,,,,,,,,,,, 表 1 中使获胜的策略组合有 6 种, 即第号组合, 所以获胜的概率是 = 纵向观察这六种组合就能发现, 它们所产生的布局其实都是,,, 这也正是经典赛马中孙膑为提供的计策 [9] 当然, 结论 2 也可以推广到任意阶扩展型赛马博弈, 本文将在第 4 节详细讨论之 3. 三阶扩展型赛马博弈的纳什均衡将每局比赛的奖金一千两黄金表示为 1, 可以得到如图 2 所示的三阶扩展型赛马博弈的矩阵表达 [10], 其中加粗斜体表示获胜的策略组合对应的支付 A 1 A 2 A 3 A 1 A 3 A 2 A 2 A 1 A 3 A 2 A 3 A 1 A 3 A 1 A 2 A 3 A 2 A 1 B 1 B 2 B 3-3,3-1,1-1,1 1,-1-1,1-1,1 B 1 B 3 B 2-1,1-3,3 1,-1-1,1-1,1-1,1 B 2 B 1 B 3-1,1-1,1-3,3-1,1-1,1 1,-1 B 2 B 3 B 1-1,1-1,1-1,1-3,3 1,-1-1,1 B 3 B 1 B 2 1,-1-1,1-1,1-1,1-3,3-1,1 B 3 B 2 B 1-1,1 1,-1-1,1-1,1-1,1-3,3 图 2 扩展型赛马博弈的矩阵表达通过对图 2 的分析, 可以得出关于扩展型赛马博弈的第三个结论 : 结论 3: 三阶扩展型赛马博弈并不存在纯策略纳什均衡如结论 2 所述, 对的每种纯策略的最优反应能够产生,, 这种布局, 其结果是的收益为 1, 的收益为 -1, 显然这对来说并不是最优的反观, 他对的每种纯策略的最优反应是能够产生,, 这种布局, 其结果是的收益为 3, 的收益为 -3, 毫无疑问, 这也是决不能接受的由此可见, 对于参与人 j 的任意一纯策略, 一旦参与人 i 选择了自己的最优反应, 参与人 i 就会放弃该策略, 因为在这种情况下该策略不是参与人 i 的最优反应 (, 1,2, 参与人 1 为, 参与人 2 为, 下同 ) 而纯策略纳什均衡必须是两个参与人都选择了最优反应的策略组合, 所以扩展型赛马博弈并不存在纯策略纳什均衡不存在纯策略纳什均衡并不等于就不存在纳什均衡纳什定理指出, 每个有限策略式博弈均具有混合策略均衡 [11], 而扩展型赛马博弈的策略集是有限的, 所以一定存在某种混合策略纳什均衡, 下面将对其进行推导为简化标记, 下文用,, 分别代指的 6 种策略 ( 按图 2 策略列从上至下右的顺序 ),,, 分别代指的 6 种策略 ( 按图 2 策略行从左至右的顺序 ) 所谓混合策略, 是指以一定的概率随机选择每一种纯策略设! ="!,!,,! # 和! ="!,!,,! # 分别表示和的混合策略, 其含义是将以! 的概率选择策略, 以! 的概率选择策略, 以此类推, 显然,! $ 满足! $ +! $ + +! $ =1, 1,2 令 & $ " $',! $' # 表示参与人 i 以! $' 的概率选择 $' 策略所获得的期望支付, 则有 & $ " $',! $' #= (! )* + $, $', )* -, *. 其中,+ $, $', )* - 表示参与人 i 通过策略组合, $', )* - 获得的支付 (, 1,2,, 1,2,3,4,5,6) 则从自己的六个纯策略上分别获得的支付如下所示 : & ",! #= 3!!! +! 1! 2! & ",! #=! 3! +!! 1! 2! & ",! #=!! 3!! 1! 2 +! & " 1,! 1 #=!!! 3! 1 +! 2! & " 2,! 2 #=!!!! 1 3! 2! & ",! #=! +!!! 1! 2 3! 假设存在一个最优混合策略 "!,! # 形成了扩展型赛马博弈的混合策略纳什均衡, 其中! ="!,!,,! #,! ="!,!,,! #, 那么采用混合策略! 的充要条件是他从构成最优混合策略的所有纯策略中都取得相同的期望支付 [12], 否则他就会选择带来期望支付较高的纯策略, 因此, 存在如下等价关系 : & ",! #=& ",! #= =& ",! # 这个六元一次方程看上去复杂, 其实只要通过简单的移项加减就可以进行简化因为这一过程简单却很繁琐,

5 396 伦伟成 : 扩展型赛马博弈 : 基于完全信息静态博弈对赛马的研究这里只列举其中一步 : 由 & ",! #=& " 2,! 2 #, 即 3!!! +! 1! 2! =!!!! 1 3! 2! 移项可得! 1 =2!! 2 ; 由 & " 1,! 1 #=& " 2,! 2 #, 即!!! 3! 1 +! 2! =!!!! 1 3! 2! 移项可得! 1 =2! 2! ; 将移项得到的两个式子联立, 化简可得! 2 =! 同理可以推导出其它等价关系, 最终得到一个简洁但十分重要的结论 :! =! =! =! 1 =! 2 =! 因为 σ +σ + +σ =1, 所以上式可推广得到平局, 即和各赢两局, 两人的总收益都是 0, 导致平局的策略组合有 264 种, 平局的概率为, 由此可见, 1 当 n 是偶数时, 获胜的概率并非压倒性的当 n=5 时, 用 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 分别表示的 4 个等级的马,B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 分别表示的 4 个等级的马, 则在速度上满足 A 1 >B 1 >A 2 >B 2 >A 3 >B 3 >A 4 >B 4 > A 5 >B 5 此时, 和的策略有 2 2 =120 种, 由此构成的策略组合也增至 =14400 种程序仿真的结果显示, 使获胜的策略组合有 3240 种, 为与 n=3 和 n=4 时的扩展型赛马博弈不同, 五阶扩展型 1A 赛马博弈中, 使获胜的策略组合不再只产生一种布局, 而是增加至 27 种, 如表 2 所示! =! =! =! 1 =! 2 =! = 1 6 这表明, 当且仅当采取混合策略! =5,,, 6 时, 才会采取包含其所有纯策略的混合策略采用同样的方法可以推出, 当且仅当采取混合策略! =5,,, 6 时, 才会采取包含其所有纯策略的混合策略综上, 可对结论 3 加以补充 : 扩展型赛马博弈有且仅有一个混合策略纳什均衡, 该均衡由混合策略组合 7! =5,,, 6,! =5,,, 68 形成, 在均衡时, 田忌和选择任意一种马出场的顺序的概率都是, 的期望收益是 -1, 的期望收益是 1 事实上, 这一结论同样适用于任意阶扩展型赛马博弈, 文献 13 证明了 n 阶扩展型赛马博弈的混合策略纳什均衡是! =! =5,,, 9:::;:::< 6, 即和都以!!!! 有马中任选一匹 [13] 4. 高阶扩展型赛马博弈的布局! 的概率从所当 n>3 时, 策略组合与布局的数量会显著增加, 此时的博弈已属于高阶扩展型赛马博弈下面以 n=4 和 n=5 这两种情况为例对高阶扩展型赛马博弈进行实证分析当 n=4 时, 用 A 1 A 2 A 3 A 4 分别表示的 4 个等级的马,B 1 B 2 B 3 B 4 分别表示的 4 个等级的马, 则在速度上满足 A 1 >B 1 >A 2 >B 2 >A 3 >B 3 >A 4 >B 4 此时, 和的策略便增加至 1 1 =24 种, 由此构成的策略组合也增至 =576 种, 从而形成一个的博弈矩阵显然, 进行 576 次计算以求得每种策略组合的收益结果非人力所能坚持, 因此, 笔者编写了一个 Java 程序来对高阶扩展型赛马博弈进行仿真仿真结果显示, 在 576 种策略组合中, 可以使获胜的策略组合有 24 种, 即获胜的概率是, 当且仅当 1 策略组合产生的布局是 1,,, 1, 那 24 种策略组合即是这 4 种对阵情况的 24 个全排列, 换言之获胜的布局也只有这一种此时的收益为 2, 的收益为 -2 此外, 由于一场赛马包含了四局比赛, 故存在表 2 五阶扩展型赛马博弈中使获胜的布局序号对阵情况序号对阵情况序号对阵情况 A 2B 1 A 2B 1 A 2B 1 A 3B 2 A 3B 2 A 3B 2 1 A 4B 3 2 A 1B 3 3 A 5B 3 A 1B 4 A 5B 4 A 1B 4 A 5B 5 A 4B 5 A 4B 5 A 2B 1 A 2B 1 A 2B 1 A 1B 2 A 4B 2 A 4B 2 4 A 4B 3 5 A 1B 3 6 A 5B 3 A 5B 4 A 5B 4 A 1B 4 A 3B 5 A 3B 5 A 3B 5 A 2B 1 A 1B 1 A 3B 1 A 5B 2 A 3B 2 A 1B 2 7 A 4B 3 8 A 4B 3 9 A 4B 3 A 1B 4 A 5B 4 A 5B 4 A 3B 5 A 2B 5 A 2B 5 A 3B 1 A 4B 1 A 3B 1 A 4B 2 A 3B 2 A 4B 2 10 A 1B 3 11 A 1B 3 12 A 5B 3 A 5B 4 A 5B 4 A 1B 4 A 2B 5 A 2B 5 A 2B 5 A 4B 1 A 3B 1 A 5B 1 A 3B 2 A 5B 2 A 3B 2 13 A 5B 3 14 A 4B 3 15 A 4B 3 A 1B 4 A 1B 4 A 1B 4 A 2B 5 A 2B 5 A 2B 5 A 2B 1 A 3B 1 A 2B 1 A 3B 2 A 2B 2 A 4B 2 16 A 4B 3 17 A 4B 3 18 A 3B 3 A 5B 4 A 5B 4 A 5B 4 A 3B 1 A 4B 1 A 2B 1 A 4B 2 A 3B 2 A 3B 2 19 A 2B 3 20 A 2B 3 21 A 5B 3 A 5B 4 A 5B 4 A 4B 4 A 2B 1 A 2B 1 A 3B 1 A 4B 2 A 5B 2 A 4B 2 22 A 5B 3 23 A 4B 3 24 A 5B 3 A 3B 4 A 3B 4 A 2B 4 A 3B 1 A 3B 1 A 5B 1 A 4B 2 A 5B 2 A 3B 2 25 A 5B 3 26 A 4B 3 27 A 4B 3 A 2B 4 A 2B 4 A 2B 4 表 3 所示的 27 种布局都分别对应 2 2 =120 种策略组合, 它们共同构成了那 3240 种可以使获胜的策略, 其中除

6 Science Innovation 2017; 5(6): 了第 16 号布局可以使的收益为 3, 其它 26 种布局都使的收益为 1 表 3 三种扩展型赛马博弈的布局规律阶数使收益最大的布局 3,, 4 1,,, 1 5 2,,, 1, 2 1 表 3 列出了 n=3 n=4 和 n=5 这三种扩展型赛马博弈使收益最大的布局, 不难发现, 这三种布局都有一个共同的规律 : 最低等级的马对阵最高等级的马, 其它任一等级的马都对阵比自身低一等级的的马, 即,,,, B 下面证明这个规律对任意阶扩展型赛马博弈都恒成立证明 : 由于布局 C=,,,, B 给带来的收益是 n-2, 故而首先证明 n-2 是的最大收益设布局 G 的收益最大, 则其收益必然大于 n-2, 要么是 n-1 要么是 n 不存在使收益为 n-1 的布局, 因为收益为 n-1 说明赢了 n 局比赛, 输了 1 局比赛, 这种情况显然是不可能的如果收益为 n, 说明 n 局比赛都赢了, 但是在两个参与人的 2n 种参赛马匹中, 速度最快的马是的 A 1, 没有比 A 1 更快的马, 则至少与 A 1 对阵的那局比赛是输的, 这与推论 n 局比赛都赢了相矛盾, 所以收益也不可能是 n 综上, 在 n 阶扩展型赛马博弈中, 的最大收益只能是 n-2 再证明只有布局 H 能带来 n-2 的收益收益为 n-2, 说明只输了一局, 其它 n-1 局都赢了在两个参与人的 2n 种参赛马匹中, 的 B n 是速度最慢的, 由 B n 参加的那局比赛一定是输的, 前文已经证明与 A 1 对阵的那局比赛肯定是输的, 所以, 如果只能输一局比赛, 那么 B n 参加的那局比赛和对阵的那局比赛必然是同一场比赛, 即必然有 A 1 对阵 B n 此时还剩下 B 2 B 3 B n-1 这 n-1 种马, 还剩下 A 2 A 3 A n 这 n-1 种马, 因为存在 B 1 >A 2 >B 2 >A 3 > >A n-1 >B n 的关系, 所以要想保证剩下 n-1 局比赛都赢, 必须要让 A 2 对阵 B 1 A 3 对阵 B 2 A n 对阵 B n-1, 任何一局比赛的对阵情况都不能变考虑幅度最小的一种改动, 其中一局比赛的对阵情况由 A i B i-1 和 A j+1 B j 改为 A i B j 和 A j+1 B i-1 (i>j), 则原先都是赢的两局比赛变成了一胜一败, 其结果是最终只赢了 n-2 局比赛, 获得 n-4 的收益也就是说, 在布局 H 的基础上, 改变一个对阵情况必将引起另一个对阵情况的改变, 使输掉一局本该获胜的比赛, 从而导致收益减 2 综上, 只有布局 H 能带来 n-2 的收益基于上文的证明可得 : 对于任意阶扩展型赛马博弈, 布局 H 都是使获得最大收益的唯一布局 5. 结论本文以三阶扩展型赛马博弈为例, 分析总结出任意阶扩展型赛马博弈在策略组合上都存在的一个规律, 即参与人无法根据前 k( 2 1, ) 局比赛结果精确推断出另一参与人的策略, 这从另一个方面证明了扩展型赛马博弈属于静态博弈通过对三阶扩展型赛马博弈的纳什均衡的推导求解可以发现,n 阶扩展型赛马博弈的混合策略纳什均衡是! =! =5,,, 9:::;:::< 6, 这表明在博弈均衡时, 所有策略!!!! 都是无差别的, 和都将以相同的概率从所有马中任选一匹文章提出并重点介绍了布局的概念, 并对三四五阶扩展型赛马博弈的布局分别进行了研究, 从而认定使获得最大收益的布局有且只有一种, 就是,,,, B, 其收益为 n-2 这条结论对团体竞技项目也具有指导意义, 当双方实力都不对等时, 弱势一方要想取胜, 则须制造局部优势, 即用己方较强的对阵对方较弱的, 用己方最弱的对阵对方最强的参考文献 [1] 王则柯, 李杰. 博弈论教程 [M]. 北京 : 中国人民大学出版社, 2010:27 [2] 田森. 赛马的博弈理论探讨 [J]. 商,2008,7: [3] 杨萍, 史小星, 李尧. 竞速机器人比赛的博弈策略研究 [J]. 机械设计,2011,28(3):1-5 [4] 柯政. 选考制度下的赛马 : 原因与对策 [J]. 教育发展研究,2011,18:32-38 [5] 刘祖华, 冯爱芳. 用 Mathematicia 软件求解矩阵博弈 [J]. 高度数学研究,2017,20(4):71-74 [6] 张维迎. 博弈论和信息经济学 [M]. 上海 : 上海人民出版社, 2004:12-15 [7] 史蒂文泰迪里斯. 博弈论导论 [M]. 李井奎, 北京 : 中国人民大学出版社,2015:60-61 [8] 蒋志芳. 对赛马问题的求解. 南京经济学院学报, 2002,1:34-36 [9] 周瀚光. 论孙膑的对策论和辩证法 [J]. 齐鲁学刊, 1984,3:36-39 [10] 范如国. 博弈论 [M]. 武汉 : 武汉大学出版社,2011:10-11 [11] 朱弗登博格, 让梯若尔. 博弈论 [M]. 黄涛等, 北京 : 中国人民大学出版社,2016:24 [12] 蒲勇健. 应用博弈论 [M]. 重庆 : 重庆大学出版社, 2014:34-35 [13] 尹向飞, 陈柳钦. 对赛马类博弈的探讨 [J]. 工业技术经济,2006,25(10):

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10.11648.j.si.20160402.18 Science Innovation 2016; 4(2): 65-71 http://www.sciencepublishinggroup.com/j/si doi: 10.11648/j.si.20160402.18 ISSN: 2328-7861 (Print); ISSN: 2328-787X (Online) Case Study on Career Plan of College's Students