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1 用 博 弈 论 来 解 读 孙 子 兵 法 Emerson M.S. Niou 杜 克 大 学 Peter C. Ordeshook 加 州 理 工 学 院 英 文 原 文 刊 登 于 Emerson M. S. Niou and Peter C. Ordeshook. "A Game-Theoretic Analysis of Sun Tzu's The Art of War," Journal of Peace Research, 31 (2): , MAY 摘 要 : 两 千 五 百 多 年 前 中 国 学 者 孙 武 在 其 所 著 的 孙 子 兵 法 中 试 图 对 战 争 与 冲 突 中 的 普 遍 性 策 略 特 点 进 行 系 统 解 释, 并 据 此 就 如 何 在 军 事 冲 突 中 获 胜 提 出 实 际 建 议 据 认 为 孙 子 的 智 谋 极 大 地 影 响 了 日 本 军 事 和 商 业 实 践, 也 影 响 了 毛 泽 东 对 冲 突 和 革 命 的 看 法 但 孙 子 到 底 是 否 ( 或 者 说 在 何 种 程 度 上 ) 预 见 到 了 当 代 冲 突 理 论 --- 博 弈 论 --- 所 包 含 的 含 义 呢? 本 文 的 观 点 是, 孙 子 可 以 被 认 为 想 到 了 优 势 策 略 (dominant strategy) 最 小 最 大 化 策 略 (minmax strategy, 也 称 保 留 策 略 ) 以 及 混 合 策 略 (mixed strategy) 这 些 概 念, 但 他 没 有 意 识 到 均 衡 策 略 这 个 概 念 的 全 部 意 义 因 此, 尽 管 孙 子 部 分 地 提 出 了 解 决 对 方 认 为 我 认 为 这 种 逆 推 (regress) 的 方 案, 他 的 理 论 在 更 完 整 的 策 略 分 析 面 前 显 得 脆 弱 但 在 判 断 孙 子 对 策 略 性 思 考 的 贡 献 之 前, 我 们 应 该 记 住 解 决 某 些 情 况 下 的 循 环 推 理 问 题 必 须 借 助 高 等 的 概 率 论 和 数 学 原 理, 所 以 我 们 对 孙 子 在 信 息 操 作 问 题 上 讨 论 得 不 够 完 整 不 应 感 到 惊 讶 实 际 上, 我 们 应 该 惊 叹 于 他 已 经 直 觉 地 想 到 了 这 么 多 1

2 一 导 言 很 早 以 来, 学 者 们 就 对 如 何 阐 明 一 般 性 的 策 略 原 则 有 着 极 大 的 兴 趣, 无 论 这 策 略 是 应 用 于 战 争 棋 类 游 戏 还 是 政 治 对 于 像 中 国 古 代 战 略 家 孙 子 这 样 的 人 来 说, 他 们 感 兴 趣 是 因 为 需 要 就 眼 前 的 事 务 出 谋 划 策, 而 对 其 他 人 来 说, 他 们 的 兴 趣 源 自 知 性 的 好 奇 心 不 管 兴 趣 来 源 为 何, 对 策 略 原 理 进 行 研 究 都 是 有 意 义 的, 因 为 它 抓 住 了 人 类 生 存 的 基 本 性 事 实 : 首 先, 人 们 的 命 运 是 相 互 决 定 的 ; 其 次, 这 种 互 赖 性 一 般 情 况 下 表 现 为 人 们 的 目 标 相 互 冲 突 ; 最 后, 前 面 两 点 说 明 战 争 不 是 偶 然 的, 而 是 国 家 政 策 的 有 目 的 性 的 延 续, 并 因 此 必 须 用 理 性 去 解 释 写 于 两 千 五 百 多 年 前 的 孙 子 兵 法 是 人 类 有 记 载 以 来 第 一 次 试 图 连 贯 地 一 般 性 地 理 解 冲 突 和 策 略 它 的 年 代 对 于 我 们 来 说 并 不 太 重 要, 重 要 的 是 它 写 于 一 个 形 成 中 的 中 国 内 部 长 年 交 战 时 期, 其 时 各 诸 侯 国 富 有 外 交 和 军 事 上 的 策 略 经 验 所 以 我 们 应 该 认 为 孙 子 兵 法 系 统 整 理 了 那 个 时 代 战 略 和 战 术 方 面 的 精 湛 洞 见 对 孙 子 兵 法 加 深 理 解 不 光 有 助 于 我 们 了 解 孙 子 写 作 的 那 个 年 代, 也 能 对 今 日 冲 突 的 本 质 加 深 认 识 但 尽 管 我 们 可 以 假 设 孙 子 的 洞 见 适 用 于 过 去 和 现 在, 我 们 不 能 以 为 我 们 对 策 略 的 理 解 在 过 去 两 千 五 百 年 里 没 有 进 步 新 的 分 析 模 式, 包 括 决 策 论 和 数 学 应 用, 已 经 进 入 了 策 略 分 析 的 领 域 并 使 我 们 的 思 考 得 到 了 精 炼 和 概 括 所 以 要 想 理 解 孙 子 对 策 略 理 论 的 贡 献, 我 们 必 须 搞 清 楚 怎 样 在 现 在 的 背 景 下 理 解 和 分 析 他 的 著 作, 因 为 只 有 这 样 我 们 才 能 最 大 化 孙 子 兵 法 的 当 代 意 义 这 也 是 本 文 所 要 分 析 的 问 题 但 我 们 的 讨 论 不 从 孙 子 本 人 开 始, 而 从 二 十 世 纪 下 半 叶 发 展 出 来 的 策 略 行 为 理 论 --- 博 弈 论 开 始 博 弈 论 既 可 以 被 看 成 是 数 学 的 一 个 分 支, 也 可 以 被 看 成 是 政 治 学 或 者 经 济 学 的 一 个 分 支 (Ordeshook, 1986) 简 单 地 说, 博 弈 论 试 图 就 如 下 情 况 下 的 决 策 得 出 一 般 性 的 抽 象 的 原 则 : 一 个 人 行 为 会 有 什 么 结 果 取 决 于 他 人 的 行 为, 而 每 个 人 又 都 知 道 他 们 的 行 为 是 互 赖 的 所 以 博 弈 论 不 仅 能 应 用 在 军 事 战 略 规 划 上, 也 能 用 于 分 析 商 业 公 司 在 争 夺 利 润 和 市 场 份 额 时, 政 客 们 为 了 赢 得 选 举 委 员 会 成 员 们 为 了 形 成 对 自 己 有 利 的 派 系, 以 及 各 个 国 家 为 了 在 合 纵 连 横 中 占 据 有 利 位 置 而 进 行 的 决 策 行 为 因 此, 博 弈 论 和 孙 子 兵 法 各 自 为 我 们 带 来 了 一 些 对 理 解 策 略 有 用 的 东 西 博 弈 论 给 了 我 们 一 般 性 原 则 和 数 学 上 的 精 确 性, 并 使 我 们 对 策 略 互 动 的 思 考 具 备 逻 辑 上 的 连 贯 性 孙 子 则 提 供 了 对 一 般 性 原 则 的 具 体 应 用, 并 说 明 了 抽 象 的 逻 辑 推 理 如 何 能 艺 术 般 地 应 用 在 实 践 之 中 本 文 的 计 划 是 回 顾 博 弈 论 的 基 本 要 素 并 据 此 来 分 析 孙 子 兵 法 在 何 种 程 度 上 与 博 弈 论 相 符 或 者 给 博 弈 论 作 了 生 动 说 明 当 然, 要 一 个 两 千 五 百 年 前 的 人 预 见 到 今 日 正 式 数 学 推 理 所 揭 示 的 策 略 互 动 的 所 有 微 妙 之 处 是 不 可 能 的, 所 以 我 们 也 要 考 察 孙 子 兵 法 在 哪 些 方 面 没 有 达 到 我 们 现 在 在 策 略 选 择 方 面 所 掌 握 的 知 识 程 度 本 文 在 第 2 节 首 先 讨 论 前 博 弈 决 策 行 为 --- 也 就 是 决 策 人 只 有 一 个 时 的 情 况 第 3 节 触 及 博 弈 论 的 核 心 内 容, 讨 论 互 赖 策 略 处 境 与 单 人 的 决 策 处 境 有 什 么 不 同 第 4 节 更 详 尽 地 讨 论 孙 子 兵 法 中 与 依 序 博 弈 (sequential game)--- 比 如 象 棋 或 围 棋 之 类 的 棋 类 游 戏 --- 有 关 的 内 容 第 5 节 讨 论 与 战 场 上 的 决 策 更 为 相 关 的 博 弈 : 同 步 博 弈 (simultaneous move game) 和 不 完 全 信 息 博 弈 (imperfect information game), 并 把 纳 什 均 衡 (Nash equilibrium) 这 个 2

3 概 念 作 为 这 种 博 弈 的 一 般 解 作 了 介 绍 第 6 节 对 没 有 简 单 纳 什 均 衡 的 博 弈 进 行 了 考 察, 并 进 而 介 绍 了 混 合 策 略 (mixed strategy) 我 们 认 为 包 含 随 机 成 分 的 混 合 策 略 并 不 仅 仅 能 满 足 数 学 上 的 好 奇 心, 实 际 上 也 是 孙 子 策 略 思 想 的 一 个 中 心 内 容 第 7 节 研 究 了 战 争 中 信 息 操 纵 的 重 要 性, 并 发 现 在 这 个 方 面 我 们 没 有 什 么 理 由 相 信 孙 子 预 见 到 了 当 代 博 弈 论 的 分 析 结 构 二 单 人 决 策 为 了 理 解 博 弈 论 的 看 法 和 能 教 我 们 的 东 西, 也 为 了 理 解 孙 子 的 洞 见, 我 们 首 先 应 该 考 察 决 策 人 只 有 一 个 时 的 情 况, 这 个 决 策 人 必 须 从 某 个 可 选 行 为 的 集 合 里 选 取 一 个 要 用 决 策 论 (decision theory) 讨 论 这 种 问 题, 通 常 我 们 需 要 详 细 说 明 下 列 要 素 : (1) 该 决 策 者 所 能 选 择 的 所 有 行 为 这 个 行 为 清 单 必 须 是 详 尽 的, 也 就 是 说 决 策 者 必 须 最 终 从 中 选 择 其 行 为 清 单 里 的 行 为 也 必 须 是 排 他 的, 换 句 话 说 决 策 者 只 能 选 择 其 中 一 项 行 为 (2) 所 有 可 能 的 行 为 结 果 这 个 结 果 清 单 也 必 须 是 详 尽 的 和 排 他 的 (3) 各 行 为 与 各 结 果 之 间 的 关 系, 也 就 是 说 某 项 具 体 行 为 被 采 取 后 会 发 生 什 么 结 果 与 上 述 内 容 相 对 应 的 是, 孙 子 兵 法 的 第 一 篇 一 开 始 就 细 述 了 连 接 行 为 与 结 果 的 策 略 环 境 要 素 : 道 ( 内 政 民 心 ) 天 ( 气 候 天 象 季 节 ) 地 ( 地 形 远 近 等 ) 将 ( 将 领 领 袖 的 品 质 ) 法 ( 国 家 和 军 队 的 组 织 管 理 效 率 ) 其 中 的 将 是 与 策 略 和 行 动 相 关 的 决 策 变 量 决 策 环 境 的 另 一 个 重 要 成 分 是 决 策 参 与 者 的 目 标 ( 对 各 种 不 同 结 果 的 偏 好 ) 当 然, 国 王 和 军 队 统 帅 的 目 标 是 显 而 易 见 的 --- 赢 得 胜 利 正 如 孙 子 所 言, 取 得 战 争 胜 利 实 际 上 是 一 个 国 家 生 存 所 必 需 的 : 兵 者, 国 之 大 事, 死 生 之 地, 存 亡 之 道, 不 可 不 察 也 ( 计 篇 ); 其 用 战 也 胜 ( 作 战 篇 ) 不 光 如 此, 孙 子 还 指 出, 对 胜 利 的 追 求 应 该 放 在 社 稷 安 危 的 框 架 下 考 虑, 不 能 太 短 视 : 兵 贵 胜, 不 贵 久 ( 作 战 篇 ) 更 具 体 地 来 说, 孙 子 兵 法 的 开 始 几 篇 有 好 几 段 与 持 久 性 冲 突 相 关 这 些 段 落 我 们 可 以 这 样 理 解 : 应 该 避 免 会 耗 尽 己 方 资 源 的 冲 突 百 战 百 胜, 非 善 之 善 者 也 ; 不 战 而 屈 人 之 兵, 善 之 善 者 也 ( 谋 攻 篇 ) 所 以, 正 确 的 目 标 不 应 仅 仅 是 取 得 某 场 战 斗 的 胜 利, 而 是 用 最 小 的 成 本 取 胜, 并 为 将 来 的 可 能 冲 突 保 持 实 力 此 外, 我 们 应 该 采 取 能 最 大 化 胜 利 果 实 的 战 术 : 凡 用 兵 之 法, 全 国 为 上, 破 国 次 之 ( 谋 攻 篇 ) 除 了 统 帅 之 外, 孙 子 也 没 有 忽 视 那 些 在 战 争 中 实 际 执 行 任 务 的 人 们 --- 士 兵 --- 的 目 标 : 故 杀 敌 者, 怒 也 ; 取 敌 之 利 者, 货 也 故 车 战, 得 车 十 乘 已 上, 赏 其 先 得 者 ( 作 战 篇 ) 3

4 在 最 简 单 的 --- 也 就 是 没 有 不 确 定 性 的 --- 决 策 环 境 中, 我 们 假 设 每 个 行 为 都 会 导 致 一 个 定 义 精 确 的 (well-defined) 具 体 结 果 在 这 种 情 况 下, 我 们 只 需 知 道 决 策 者 对 各 种 不 同 结 果 的 偏 好 顺 序, 然 后 就 能 推 测 出 决 策 者 会 选 择 的 行 为 但 是 在 一 种 更 普 遍 的 决 策 环 境 中, 也 就 是 带 有 风 险 的 决 策 环 境 中, 我 们 或 者 决 策 者 可 能 不 确 定 某 个 具 体 行 为 会 导 致 什 么 结 果 在 简 单 的 决 策 论 里 我 们 假 设 行 为 的 结 果 由 大 自 然 决 定, 这 个 自 然 是 指 一 个 自 身 不 具 目 的 不 追 求 任 何 目 标 的 实 体 因 为 自 然 没 有 目 标 --- 它 既 无 善 意 也 无 恶 意 --- 我 们 可 以 认 为 我 们 对 它 的 行 为 不 具 影 响 力 我 们 只 能 对 自 然 的 各 种 可 能 行 为 给 定 概 率 举 例 来 说, 农 夫 在 决 定 种 植 何 种 作 物 时 面 临 的 就 是 这 种 决 策 环 境 农 夫 可 以 选 择 播 撒 不 同 的 种 子, 土 地 的 出 产 是 结 果 ; 农 夫 的 偏 好 顺 序 由 各 种 结 果 的 相 对 收 益 率 决 定 ; 而 自 然 的 行 为 则 可 能 跟 该 年 的 气 候 相 关 在 这 个 例 子 里, 我 们 一 般 不 会 把 自 然 当 作 一 个 仁 慈 的 或 者 邪 恶 的 生 命 ; 相 反, 我 们 只 会 给 该 年 可 能 出 现 的 各 种 气 候 特 征 一 定 的 概 率 ( 而 这 可 能 由 历 史 纪 录 决 定 ) 某 个 具 体 行 为 会 导 致 的 后 果 可 以 看 成 是 在 各 种 可 能 的 结 果 中 进 行 抽 彩 (lottery) 决 策 理 论 家 们 关 注 的 一 个 问 题 是 人 们 如 何 看 待 这 些 抽 彩 --- 对 各 个 具 体 的 结 果 的 偏 好 决 定 了 对 这 些 结 果 组 成 的 抽 彩 的 偏 好 总 的 来 说, 博 弈 理 论 家 假 设 我 们 可 以 给 各 个 结 果 一 个 价 值 --- 即 用 数 字 表 达 的 偏 好, 这 样 我 们 就 可 以 计 算 每 个 行 为 的 预 期 值 并 且 推 测 决 策 者 会 选 择 那 个 带 来 最 大 预 期 收 益 的 行 为 为 了 在 下 文 进 行 更 复 杂 的 讨 论, 我 们 先 在 这 里 举 个 例 子, 请 看 图 1 图 1 假 设 决 策 者 ( 代 号 1) 必 须 在 两 个 行 为 A 和 B 中 选 择 一 个 自 然 也 有 两 个 行 为 可 以 选 择, 其 选 择 每 个 行 为 的 可 能 性 分 别 为 p 和 1-p 方 格 里 显 示 的 是 决 策 者 给 每 个 结 果 赋 予 的 值 在 这 个 例 子 里, 行 为 A 的 预 期 值 E(A) 等 于 4p+2(1-p) = 2+2p; 行 为 B 的 预 期 值 E(B) 等 于 p+3(1-p) = 3-2p 如 果 E(A) > E(B), 或 者 说 2+2p > 3-2p, 即 p > 1/4, 那 么 决 策 者 选 择 A 如 果 p = 1/4, 决 策 者 对 选 择 A 还 是 B 无 所 谓 如 果 p < 1/4, 那 么 决 策 者 喜 欢 B 超 过 A 图 1: 风 险 下 的 ( 单 人 ) 决 策 自 然 P 1-p A 4 2 B 1 3 孙 子 偶 尔 也 会 对 类 似 于 上 述 的 简 单 策 略 结 构 提 出 建 议 比 如 他 说 : 凡 火 攻 有 五 发 火 有 时, 起 火 有 日 时 者, 天 之 燥 也 ; 日 者, 月 在 箕 壁 翼 轸 也 凡 此 四 宿 者, 风 起 之 日 也 ( 火 攻 篇 ) 但 孙 子 兵 法 仅 有 少 数 几 处 地 方 集 中 讨 论 主 要 对 手 是 自 然 的 决 策 问 题 很 明 显, 孙 子 意 识 到 一 个 全 面 的 决 策 结 构 包 括 自 然 的 可 能 行 为 决 策 者 的 策 略 以 及 4

5 决 策 者 的 对 手 们 所 拥 有 的 策 略 知 彼 知 己, 胜 乃 不 殆 ; 知 天 知 地, 胜 乃 可 全 ( 地 形 篇 ) 因 此, 要 探 究 事 务 深 处, 我 们 必 须 求 助 于 博 弈 论 和 互 动 决 策 分 析 三 博 弈 我 们 上 面 对 简 单 决 策 的 讨 论 只 是 为 了 抛 砖 引 玉 实 际 上, 孙 子 很 早 就 警 告 说 我 们 不 能 停 留 于 这 种 初 级 决 策 模 型 对 行 为 和 目 标 的 讨 论 : 兵 者, 诡 道 也 ( 计 篇 ) 我 们 显 然 不 能 欺 诈 自 然, 因 为 自 然 是 没 有 思 维 的 匿 名 实 体 所 以 战 争 都 是 两 人 或 更 多 人 之 间 的 策 略 互 动, 我 们 接 下 去 要 讨 论 的 就 是 面 对 自 然 的 决 策 与 面 对 他 人 的 决 策 的 区 别 为 了 清 楚 说 明 这 种 区 别 的 重 要 性, 我 们 把 图 1 中 的 自 然 换 为 另 一 个 决 策 人 ( 代 号 2), 此 人 也 有 两 个 选 择 :C 和 D 所 以 1 号 采 取 某 项 行 为 会 有 什 么 结 果 取 决 于 2 号 的 行 为, 反 之 亦 然 另 外, 我 们 假 设 这 第 2 个 人 的 目 标 与 第 1 个 人 有 所 不 同 : 具 体 地 说, 他 们 两 人 的 偏 好 正 相 反, 就 象 军 事 冲 突 双 方 通 常 遇 到 的 情 况 图 2 描 述 了 这 种 新 局 面, 每 个 方 格 中 的 第 一 个 数 字 是 第 1 个 人 的 收 益, 而 第 二 个 数 字 是 第 2 个 人 的 收 益 图 2: 两 人 定 和 博 弈 (Constant-Sum Game) C D A 4, 1 2, 3 B 1, 4 3, 2 现 在 我 们 有 两 种 方 式 来 描 述 1 号 和 2 号 面 临 的 决 策 局 面 :(1) 完 全 信 息 : 在 博 弈 中 其 中 一 个 人 先 做 选 择, 第 二 个 人 在 知 道 第 一 个 人 的 选 择 后 再 做 选 择 ;(2) 不 完 全 信 息 : 两 人 同 步 做 选 择 在 完 全 信 息 情 况 下, 该 博 弈 很 直 截 了 当 比 如 1 号 先 行, 他 知 道 如 果 他 选 择 A 的 话 2 号 会 选 择 D, 而 如 果 他 选 择 B 的 话 2 号 会 选 择 C 所 以 1 号 应 该 选 择 A, 因 为 这 最 大 化 了 他 的 最 小 收 益 在 不 完 全 信 息 下, 事 情 就 复 杂 多 了 也 正 是 在 这 种 情 况 下 我 们 能 看 出 图 1 和 图 2 的 重 大 区 别 具 体 地 说, 我 们 可 以 想 象 1 号 进 行 决 策 时 的 如 下 思 考 过 程 : 我 想 我 应 该 选 A, 因 为 这 是 我 最 好 的 选 择, 它 给 我 的 保 留 收 益 比 B 要 高 (2 比 1) 但 是 如 果 2 号 也 象 我 这 样 想 的 话, 他 会 推 测 出 我 会 选 择 A, 这 样 他 就 会 选 择 D, 而 那 样 我 就 应 该 选 择 B ( 因 为 这 时 我 的 收 益 是 3 而 不 是 2) 但 是 如 果 2 号 也 想 到 了 这 些, 他 就 会 预 测 到 我 会 因 为 他 选 择 D 而 选 择 B, 那 样 他 就 会 认 为 C 才 是 他 的 上 策, 而 那 样 我 就 应 该 选 择 A 但 是, 如 果 他 又 想 到 我 刚 刚 想 到 的 这 些 的 话, 他 就 知 道 我 会 选 A, 然 后 他 就 会 回 应 以 D 等 等 当 然,2 号 决 策 人 也 会 同 样 地 进 行 上 述 循 环 推 理 假 设 1 号 在 愤 怒 和 困 惑 中 最 后 断 定 2 号 会 以 相 同 的 概 率 选 择 C 和 D 这 样 他 选 A 的 预 期 收 益 就 是 4/2 + 2/2 = 3, 而 选 B 的 预 期 收 益 是 3/2 + 1/2 = 2 我 们 的 1 号 决 策 人 因 此 会 选 择 A 但 是 话 说 回 来, 如 果 1 号 相 信 2 号 能 预 见 到 1 号 会 推 测 2 号 将 进 行 随 机 选 择,1 号 也 同 样 应 该 能 预 见 到 2 号 能 想 到 1 会 选 择 A, 而 此 时 2 号 就 不 再 会 随 机 性 地 进 行 选 择, 而 5

6 是 确 定 地 选 择 D, 因 为 这 是 针 对 A 的 最 好 回 应 但 是 话 再 说 回 来, 如 果 1 号 自 己 又 能 预 见 到 上 述 推 理 等 等 等 等 这 种 循 环 推 理 在 简 单 的 单 人 决 策 环 境 里 不 会 出 现, 因 为 自 然 不 会 思 考 因 此, 一 旦 我 们 改 变 假 设, 认 为 自 然 并 不 是 一 个 匿 名 实 体, 而 是 一 个 具 备 策 略 思 维 能 力 的 人, 情 况 就 急 剧 变 化 了 这 个 变 化 要 求 我 们 发 展 新 工 具 来 分 析 理 性 人 的 行 为 我 们 讨 论 循 环 推 理 的 一 个 隐 含 的 假 设 是 不 光 每 个 决 策 人 都 意 识 到 了 这 种 循 环 推 理, 同 时 他 们 也 都 意 识 到 对 方 也 意 识 到 了, 等 等 博 弈 理 论 家 把 这 种 情 况 称 为 公 共 知 识 (common knowledge) 以 孙 子 为 例, 如 果 冲 突 双 方 都 读 过 孙 子 兵 法 ( 或 者 类 似 的 书 籍 ), 而 且 双 方 都 知 道 双 方 都 读 过 这 本 书, 那 么 这 就 是 他 们 的 公 共 知 识 要 评 价 孙 子 兵 法 在 博 弈 论 方 面 的 造 诣, 我 们 必 须 问 的 一 个 问 题 是 孙 子 的 计 谋 是 否 ( 或 者 说 在 何 种 程 度 上 ) 包 含 了 对 公 共 知 识 所 接 纳 的 循 环 推 理 问 题 的 解 决 方 案 为 了 能 够 做 出 这 个 评 价, 我 们 必 须 首 先 讨 论 博 弈 赛 局 的 一 般 成 分 简 要 地 说, 这 些 成 分 大 多 与 我 们 前 面 讨 论 的 单 人 决 策 问 题 相 同, 不 同 的 是 我 们 现 在 要 考 虑 两 个 或 更 多 的 决 策 人 我 们 也 必 须 容 许 决 策 人 之 间 长 期 互 动 所 能 产 生 的 复 杂 策 略 效 应 为 了 有 助 说 明 问 题, 读 者 们 在 阅 读 下 文 时 可 以 以 象 棋 或 其 他 室 内 游 戏 为 例 要 描 述 一 个 博 弈 赛 局, 我 们 必 须 说 明 : (1) 所 有 相 关 的 决 策 人 或 者 选 手 在 ( 国 际 ) 象 棋 游 戏 里, 一 共 只 有 两 个 决 策 人, 一 方 执 白, 另 一 方 执 黑 ; 但 在 牌 类 游 戏 里, 参 与 者 可 以 有 好 几 个 (2) 哪 个 决 策 人 在 什 么 时 候 可 以 行 为, 以 及 这 些 决 策 人 行 为 的 顺 序 在 象 棋 游 戏 里, 白 方 先 行, 黑 方 后 行 同 时 象 棋 双 方 依 序 走 的 棋 可 以 有 很 多 步 但 在 其 他 一 些 赛 局 里, 选 手 可 能 必 须 同 步 行 动, 能 走 的 棋 也 没 有 几 步, 甚 至 可 能 每 个 决 策 者 只 能 走 一 步 (3) 每 个 赛 局 参 与 者 在 每 个 他 可 以 行 动 的 时 候 能 采 取 的 所 有 选 择 在 象 棋 里, 白 方 的 首 步 可 以 有 十 个 选 择 : 他 可 以 动 兵 ( 一 共 八 个 ), 或 者 走 马 ( 一 共 两 个 ) 随 着 赛 局 的 深 入, 这 些 选 项 可 能 会 随 着 自 由 棋 子 的 增 多 而 越 来 越 多, 也 可 能 随 着 棋 子 被 吃 而 越 来 越 少 (4) 各 选 手 在 每 一 步 对 其 他 选 手 之 前 的 行 为 的 知 晓 程 度 在 象 棋 里, 每 一 方 都 知 道 对 方 之 前 每 一 步 走 的 棋 在 其 他 赛 局 如 扑 克 游 戏 中, 参 与 者 不 一 定 知 道 其 他 人 之 前 出 的 牌 在 另 外 一 些 情 况 下, 选 手 们 可 能 需 要 同 时 行 动 (5) 每 个 选 手 的 目 标, 也 就 是 他 对 赛 局 所 有 可 能 结 果 的 偏 好 在 象 棋 和 战 争 中, 这 些 结 果 包 括 胜 利 和 失 败, 我 们 假 设 每 个 人 都 喜 欢 胜 利 而 不 是 失 败 我 们 最 后 需 要 介 绍 的 概 念 是 策 略, 也 就 是 关 于 如 何 在 博 弈 中 进 行 选 择 的 行 动 计 划 这 个 计 划 --- 每 个 选 手 都 有 一 个 --- 明 确 说 明 了 该 选 手 在 每 一 步 他 能 做 选 择 时 应 该 采 取 的 行 动 因 此 策 略 包 含 的 是 各 种 应 变 行 为, 形 式 如 下 : 如 果 我 的 对 手 这 么 走, 那 么 我 就 这 样 ; 如 果 我 的 对 手 那 样 走, 那 我 就 那 样 象 棋 里 白 方 的 6

7 策 略 包 括 开 局 走 什 么, 以 及 对 黑 方 对 自 己 开 局 走 法 的 每 一 种 可 能 回 应 方 式 的 回 应, 等 等 孙 子 兵 法 里 的 下 面 一 句 清 楚 地 说 明 了 孙 子 在 试 图 制 订 一 个 完 整 的 策 略 --- 也 就 是 针 对 对 手 行 为 的 依 序 回 应 : 隘 形 者, 我 先 居 之, 必 盈 之 以 待 敌 ; 若 敌 先 居 之, 盈 而 勿 从, 不 盈 而 从 之 ( 在 两 山 间 有 狭 窄 通 谷 的 隘 形 地 区 作 战, 如 果 我 方 先 占 领, 一 定 要 在 隘 口 而 布 兵 以 待 敌 ; 若 敌 方 先 占 据 隘 口, 陈 兵 据 守, 就 不 要 去 攻 打 ; 如 果 敌 方 并 未 布 阵 全 部 封 锁 隘 口, 则 可 以 进 攻 ) ( 地 形 篇 ) 理 解 策 略 这 一 概 念 在 博 弈 论 里 的 中 心 地 位 是 很 重 要 的 在 一 个 好 的 博 弈 模 型 里, 我 们 可 以 知 道 一 个 选 手 所 有 可 能 遇 到 的 情 况, 包 括 由 自 然 带 来 的 各 种 不 确 定 性 因 此, 一 个 策 略 应 该 允 许 选 手 随 着 博 弈 的 进 行 不 断 获 得 信 息 并 进 而 调 整 自 己 的 行 动 选 择 因 为 策 略 允 许 在 各 种 不 同 情 况 下 转 变 行 动, 在 所 有 选 手 都 已 确 定 其 策 略 之 后, 在 这 些 策 略 被 实 施 之 前, 我 们 就 可 以 确 定 博 弈 的 结 局 ( 在 自 然 所 带 来 的 不 确 定 性 之 内 ) 策 略 确 定 之 后 一 切 都 是 根 据 计 划 进 行, 而 每 个 选 手 的 策 略 的 详 情 也 都 随 着 时 间 推 移 逐 步 显 现 不 出 意 料, 孙 子 似 乎 完 全 意 识 到 了 这 一 点 除 了 指 出 要 正 确 评 估 形 势, 孙 子 说 : 上 兵 伐 谋 ( 谋 攻 篇 ) 策 之 而 知 得 失 之 计 ( 虚 实 篇 ) 夫 兵 形 象 水, 水 之 行, 避 高 而 趋 下 ; 兵 之 行, 避 实 而 击 虚 水 因 地 而 制 流, 兵 因 敌 而 制 胜 故 兵 无 常 势, 水 无 常 形 ; 能 因 敌 变 化 而 取 胜 者, 谓 之 神 ( 虚 实 篇 ) 至 于 结 局, 孙 子 指 出 : 知 彼 知 己 者, 百 战 不 殆 ; 不 知 彼 而 知 己, 一 胜 一 负 ; 不 知 彼, 不 知 己, 每 战 必 殆 ( 谋 攻 篇 ) 是 故 胜 兵 先 胜 而 后 求 战, 败 兵 先 战 而 后 求 胜 ( 形 篇 ) 从 这 些 论 述 中 我 们 可 以 看 出 孙 子 的 总 体 思 想 是 很 清 楚 的 : 分 析 战 争 中 互 赖 选 择 的 多 样 性 并 推 断 出 有 效 的 能 够 引 向 广 义 胜 利 的 策 略 四 依 序 博 弈 由 此 看 来, 我 们 的 问 题 是 怎 样 找 到 好 的 策 略 并 解 决 类 似 图 2 所 示 的 博 弈 中 的 循 环 推 理 问 题 让 我 们 回 到 前 面 提 到 过 的 如 下 两 种 不 同 的 博 弈 :(1) 选 手 们 依 次 行 动 的 博 弈, 比 如 象 棋 围 棋 井 字 过 三 关 游 戏 (tic-tac-toe);(2) 选 手 们 同 步 做 选 择 的 博 弈, 或 者 选 手 们 做 决 策 时 不 知 道 他 人 做 过 什 么 选 择 的 博 弈 这 一 节 我 们 先 考 虑 第 一 种 博 弈, 也 就 是 完 全 信 息 博 弈 让 我 们 看 一 下 类 似 于 象 棋 的 一 个 博 弈, 第 一 个 人 先 行, 然 后 第 二 个 人 行 动, 接 着 又 是 第 一 个 人 行 动, 然 后 第 二 个 人 行 动, 等 等 假 设 我 们 可 以 画 出 所 有 可 能 序 7

8 列 里 的 所 有 选 择 有 些 序 列 很 快 就 结 束 了, 比 如 某 方 采 取 了 一 系 列 精 湛 行 动, 而 对 方 实 力 却 不 堪 一 击 但 是 博 弈 论 有 一 个 广 为 人 知 的 结 论, 即 无 论 某 赛 局 多 么 复 杂, 原 则 上 该 赛 局 的 结 果 是 确 定 的, 每 个 选 手 都 有 一 个 明 确 的 最 佳 策 略 这 个 结 论 具 普 遍 性 举 例 来 说, 如 果 图 2 所 述 的 博 弈 是 依 序 进 行 的,1 号 先 行, 那 么 正 象 我 们 先 前 所 述, 博 弈 结 果 是 (2,3) 用 策 略 的 语 言 来 说,1 号 只 面 临 一 个 可 能 性 --- 他 必 须 先 行 所 以 他 只 有 两 个 选 择,A 和 B 但 2 号 却 面 临 两 个 可 能 性, 即 1 号 的 两 个 可 能 选 择, 所 以 2 号 有 四 个 策 略 : 策 略 1 (s1): 不 管 1 号 选 择 什 么, 选 C; 策 略 2 (s2): 如 果 1 号 选 择 A, 那 么 选 C, 如 果 1 号 选 择 B, 那 么 选 D; 策 略 3 (s3): 如 果 1 号 选 择 A, 那 么 选 D, 如 果 1 号 选 择 B, 那 么 选 C; 策 略 4 (s4): 不 管 1 号 选 择 什 么, 选 D 从 图 2 直 接 看, 我 们 可 以 看 出 如 果 1 号 选 择 A, 那 么 2 号 会 选 D, 如 果 1 号 选 择 B, 那 么 2 号 会 选 C 所 以 1 号 很 清 楚 应 该 选 择 A, 而 2 号 以 D 回 应 因 此 在 序 列 博 弈 中 结 果 会 是 (2,3) 换 句 话 说, 我 们 可 以 直 截 了 当 地 推 定 1 号 会 选 择 A 这 个 策 略, 而 2 号 会 选 择 如 果 1 号 选 择 A, 那 么 选 D, 如 果 1 号 选 择 B, 那 么 选 C 这 个 策 略 所 以 说 博 弈 论 告 诉 我 们 原 则 上 象 棋 这 类 游 戏 是 有 解 的 当 然 实 际 上 在 这 类 博 弈 中 我 们 很 难 制 订 所 有 的 可 能 行 动, 所 以 我 们 到 现 在 还 在 用 智 力 和 经 验 比 拼 这 类 游 戏 但 另 一 方 面, 简 单 一 些 的 游 戏 比 如 井 字 过 三 关 因 为 可 以 被 轻 易 地 解 出, 所 以 只 有 那 些 还 没 有 完 全 理 解 该 游 戏 的 策 略 结 构 的 小 孩 才 会 对 它 感 兴 趣 但 是 要 想 下 好 象 棋 这 类 游 戏 所 必 需 的 技 巧 和 经 验 和 玩 任 何 复 杂 博 弈 的 技 巧 是 差 不 多 的 --- 我 们 都 得 学 会 把 复 杂 的 策 略 结 构 简 化 以 知 道 哪 些 走 法 是 应 该 避 免 的, 并 因 此 可 以 得 知 我 们 的 对 手 是 在 下 好 棋 还 是 坏 棋 技 巧 和 经 验 也 可 以 帮 助 我 们 减 少 博 弈 的 复 杂 度, 即 使 之 后 该 博 弈 还 是 比 井 字 过 三 关 游 戏 复 杂, 我 们 还 是 有 可 能 理 解 该 博 弈 的 总 体 原 理 并 因 此 制 订 最 佳 的 应 变 计 划 制 订 最 优 应 变 计 划 也 很 明 显 是 孙 子 想 要 做 的 比 如 他 说 : 践 墨 随 敌, 以 决 战 事 ( 避 免 墨 守 成 规, 随 敌 情 变 化 来 决 定 作 战 方 案 )( 九 地 篇 ) 依 序 博 弈 还 有 一 个 问 题 需 要 考 虑 : 是 先 行 占 优 还 是 后 行 占 优? 当 然, 依 序 博 弈 里 先 行 者 是 否 有 利 或 者 在 哪 方 面 有 利 取 决 于 赛 局 的 具 体 结 构 让 我 们 以 比 孙 子 晚 一 百 年 的 孙 膑 讨 论 过 的 现 在 非 常 有 名 的 赛 马 博 弈 为 例 齐 国 将 军 田 忌 常 与 诸 公 子 赛 马, 但 问 题 是 对 手 的 三 匹 马 总 体 上 胜 过 田 忌 的 三 匹 马 孙 膑 的 计 策 非 常 简 单 : 用 己 方 下 等 马 与 对 方 上 等 马 比 赛, 用 己 方 上 等 马 与 对 方 中 等 马 比 赛, 然 后 用 己 方 中 等 马 与 对 方 下 等 马 比 赛 这 样 田 忌 就 赢 了 三 场 比 赛 中 的 两 场 很 明 显, 后 行 对 田 忌 有 利 --- 他 可 以 先 知 道 对 方 出 什 么 马, 再 决 定 自 己 相 应 地 出 什 么 马 但 为 了 能 够 正 确 理 解 上 面 这 个 例 子, 我 们 必 须 紧 记 策 略 与 行 为 之 间 的 区 别 策 略 是 指 行 动 计 划, 也 就 是 出 现 各 种 不 同 情 况 时 选 择 应 变 行 为 的 规 则, 而 行 为 只 是 计 划 中 的 具 体 行 动 孙 膑 赛 马 的 例 子 很 简 单, 因 为 这 里 的 行 为 ( 选 择 什 么 马 出 赛 ) 和 策 略 是 一 致 的 但 在 象 棋 游 戏 或 者 复 杂 的 战 争 运 作 中, 这 种 一 致 性 就 不 存 在 了 至 于 谁 占 优 势 的 问 题, 对 于 本 文 要 考 虑 的 博 弈 类 型 --- 也 就 是 纯 粹 冲 突 博 弈 --- 来 说, 最 晚 暴 露 自 己 策 略 的 一 方 占 优, 但 这 不 一 定 是 后 行 一 方 在 象 棋 或 者 井 字 过 三 关 游 戏 里, 先 行 一 方 总 是 有 利 的, 但 先 行 一 方 并 不 见 得 就 是 先 暴 露 自 己 策 略 的 一 8

9 方 我 们 来 看 看 孙 子 对 占 优 问 题 的 看 法 他 在 有 个 地 方 认 为 与 其 首 先 进 攻 敌 方, 在 某 些 地 形 条 件 下 应 该 迫 使 对 方 县 采 取 行 动 比 较 有 利 : 我 出 而 不 利, 彼 出 而 不 利, 曰 支 ; 支 形 者, 敌 虽 利 我, 我 无 出 也 ; 引 而 去 之 ⑾, 令 敌 半 出 而 击 之 利 ( 地 形 篇 ) 但 在 另 外 的 地 方 孙 子 又 似 乎 认 为 先 行 是 占 有 的 : 凡 先 处 战 地 而 待 敌 者 佚, 后 处 战 地 而 趋 战 者 劳 故 善 战 者, 致 人 而 不 致 于 人 ( 虚 实 篇 ) 我 可 以 往, 彼 可 以 来, 曰 通 ; 通 形 者, 先 居 高 阳 7, 利 粮 道 8, 以 战 则 利 ( 地 形 篇 ) 看 上 去 孙 子 写 得 有 点 混 乱, 但 实 际 上, 如 果 我 们 紧 记 行 为 和 策 略 的 区 别, 我 们 就 知 道 这 并 不 混 乱 在 上 面 引 述 的 第 一 句 里, 各 方 所 处 的 位 置 已 经 决 定, 也 就 是 说 博 弈 的 环 境 已 被 确 定, 这 时 候 最 好 的 办 法 是 晚 暴 露 己 方 的 策 略 但 在 后 面 两 句 里, 战 场 还 没 确 定, 孙 子 实 际 上 在 说 最 占 优 的 是 能 够 决 定 双 方 玩 什 么 博 弈 的 一 方, 或 者 说 占 优 的 是 能 够 决 定 谁 在 博 弈 中 处 于 什 么 位 置 的 一 方 所 以 在 这 两 句 里 孙 子 在 说 要 先 行 所 以 孙 子 并 不 矛 盾, 我 们 可 以 认 为 他 确 实 理 解 了 后 选 择 策 略 的 好 处 五 不 完 全 信 息 博 弈 战 争 前 的 准 备, 包 括 评 估 自 己 的 国 内 实 力 招 募 精 干 的 军 队 指 挥 官 训 练 部 队 以 及 选 择 要 不 要 开 战, 都 是 依 序 进 行 的 这 样 随 着 事 情 的 进 展, 双 方 的 特 点 都 一 一 显 现 战 术 的 选 择 则 遵 循 不 同 的 规 则 战 斗 方 案 是 否 成 功 要 看 战 场 上 的 具 体 情 况, 包 括 对 手 的 准 备 情 况 和 战 术, 而 当 我 们 知 道 后 者 这 些 情 况 时, 往 往 以 来 不 及 改 变 自 己 的 行 动, 所 以 说 决 策 经 常 是 在 不 完 全 信 息 状 态 下 作 出 的 在 有 些 情 况 下, 信 息 不 完 全 是 因 为 博 弈 各 方 的 行 动 是 同 时 进 行 的 ; 其 他 时 候, 各 方 行 动 并 不 同 步, 但 是 对 手 的 行 动 我 们 看 不 见 不 管 信 息 不 完 全 是 因 为 什 么 缘 故, 博 弈 理 论 家 处 理 不 完 全 信 息 的 一 个 方 法 是 找 出 信 息 是 否 完 全 无 关 紧 要 的 那 些 赛 局 图 3 的 例 子 中 每 个 选 手 都 有 优 势 策 略 (dominant strategy), 也 就 是 不 管 对 方 如 何 选 择 对 自 己 都 是 最 有 利 的 行 动 不 管 2 怎 么 做, 选 A 对 1 号 都 比 选 B 好, 所 以 A 是 1 号 的 优 势 策 略 对 2 号 来 说, 不 管 1 号 怎 么 做 选 D 都 比 选 C 好, 所 以 D 是 2 号 的 优 势 策 略 当 决 策 者 有 优 势 策 略 时, 对 策 略 和 结 果 进 行 的 分 析 就 能 避 免 图 2 所 示 的 循 环 推 理 问 题 图 3: 存 在 优 势 策 略 的 两 人 零 和 博 弈 (Zero-Sum Game) C D A 4, 1 3, 2 B 2, 3 1, 4 9

10 需 要 强 调 的 是, 优 势 选 择 是 否 存 在 与 博 弈 是 同 步 的 还 是 依 序 的 并 非 完 全 无 关 实 际 上, 依 序 进 行 的 博 弈, 比 如 象 棋, 总 有 优 势 策 略, 所 以 我 们 可 以 把 占 优 这 个 概 念 看 作 对 上 述 分 析 的 一 般 化 让 我 们 回 顾 一 下 图 2 所 示 的 博 弈, 该 博 弈 是 顺 序 进 行 的,1 号 先 行,2 号 后 行 1 号 有 两 个 策 略 :A 和 B; 而 2 号 有 四 个 策 略, 我 们 上 面 用 s1, s2, s3, s4 表 示 我 们 再 来 看 图 4, 该 图 所 描 述 的 是 1 号 和 2 号 选 择 各 个 策 略 后 的 博 弈 结 果 请 注 意 1 号 虽 然 没 有 优 势 策 略, 对 2 号 来 说 s3 无 论 何 时 都 不 会 比 s1 和 s4 差, 而 有 时 比 它 们 要 好, 同 时 s3 无 论 何 时 都 比 s2 要 好 所 以 s3 是 2 号 的 优 势 策 略,2 号 应 该 选 它 由 于 1 号 选 手 清 楚 上 述 情 况, 他 应 该 能 够 推 测 出 2 号 会 选 s3, 这 样 1 号 就 应 该 选 A 这 种 推 理 的 结 果 与 我 们 前 面 已 经 推 导 出 的 结 果 完 全 一 致 :1 号 选 A, 2 号 会 应 以 D, 最 后 结 果 是 (2,3) 图 4: 正 规 形 式 (normal form) 的 序 列 博 弈 s1 s2 s3 s4 A 4, 1 4, 1 2, 3 2, 3 B 1, 4 3, 2 1, 4 3, 2 因 此, 选 择 的 依 序 性 是 优 势 策 略 存 在 的 充 分 条 件 ( 但 不 是 必 要 条 件 ) 正 象 我 们 将 要 阐 述 的 那 样, 孙 子 虽 然 似 乎 理 解 了 博 弈 从 同 步 变 为 依 序 的 意 义, 他 的 策 略 分 析 的 很 大 一 部 分 在 于 寻 找 优 势 策 略 和 劣 势 策 略 (dominated strategy) 首 先, 对 于 劣 势 策 略, 也 就 是 在 任 何 情 况 下 都 应 避 免 的 那 些 策 略, 他 说 : 合 军 聚 众, 汜 地 无 舍 绝 地 无 留 途 有 所 不 由, 军 有 所 不 击, 城 有 所 不 攻, 地 有 所 不 争 ( 九 变 篇 ) 战 隆 无 登 客 绝 水 而 来, 勿 迎 之 于 水 内 视 生 处 高, 无 迎 水 流 ( 行 军 篇 ) 对 于 优 势 策 略, 他 认 为 : 围 地 则 谋, 死 地 则 战 ( 九 变 篇 ) 绝 山 依 谷, 视 生 处 高 绝 水 必 远 水 ; 客 绝 水 而 来, 勿 迎 之 于 水 内, 令 半 济 而 击 之 绝 斥 泽, 惟 亟 去 无 留 ( 行 军 篇 ) 我 们 在 这 里 介 绍 优 势 策 略 的 概 念 不 仅 是 为 了 更 好 地 理 解 孙 子 兵 法 的 部 分 内 容, 也 是 因 为 这 种 策 略 的 存 在 可 以 帮 助 我 们 避 免 循 环 推 理 具 体 地 说, 我 们 来 看 看 图 3 中 由 (A, D) 两 个 选 择 构 成 的 方 格 的 特 点 --- 两 个 选 手 一 旦 处 于 这 个 方 格 里 面, 他 们 中 的 任 何 一 个 人 都 没 有 动 机 去 单 方 面 改 变 行 动 实 际 上, 就 是 (A, D) 的 这 个 特 点 终 止 了 循 环 推 理 但 优 势 策 略 的 存 在 性 并 不 是 博 弈 有 解 的 关 键 请 看 图 5 里 与 (B, E) 这 两 个 选 择 对 应 的 方 格 首 先 请 注 意 这 两 个 选 手 都 没 有 优 势 策 略 比 如 说, 如 果 2 选 D, 那 么 1 最 好 选 A, 但 如 果 2 选 择 E, 那 么 1 最 好 选 B, 如 果 2 选 择 F, 那 么 1 最 好 选 C 尽 管 如 此, 一 旦 两 人 进 入 (B, E) 这 个 状 态, 他 们 谁 都 不 想 单 方 面 地 选 择 其 他 行 动 因 此 有 了 (B, E), 循 环 推 理 就 结 束 了 换 句 话 说, 优 势 策 略 的 存 在 是 终 止 循 环 推 理 的 充 分 条 件, 但 它 并 不 是 必 要 条 件 10

11 图 5: 存 在 纳 什 均 衡 (Nash Equilibrium) 的 定 和 博 弈 D E F A 8, 1 3, 6 1, 8 B 7, 2 5, 4 6, 3 C 2, 7 4, 5 9, 0 象 (B, E) 这 样 的 能 够 终 止 循 环 推 理 的 策 略 组 合, 叫 做 纳 什 均 衡 (Nash Equilibrium) 博 弈 理 论 家 纳 什 对 不 同 类 型 博 弈 里 的 这 种 均 衡 给 出 了 一 系 列 重 要 证 明, 所 以 此 概 念 以 他 命 名 纳 什 均 衡 对 于 寻 找 博 弈 的 最 终 结 果 是 个 非 常 深 刻 的 概 念, 因 此 博 弈 理 论 家 们 投 入 了 巨 大 精 力 分 析 该 均 衡 的 特 点, 提 炼 纳 什 的 最 初 公 式, 把 这 些 提 炼 后 的 概 念 应 用 于 比 本 文 所 提 到 的 例 子 远 为 复 杂 的 博 弈, 并 实 证 检 验 这 些 思 想 如 果 我 们 对 孙 子 兵 法 有 什 么 批 评 的 话, 那 就 是 他 似 乎 对 解 决 循 环 推 理 这 个 两 难 问 题 注 意 地 太 少 了, 并 因 此 没 有 把 均 衡 作 为 互 赖 决 策 的 解 提 出 来 换 句 话 说, 他 没 有 考 虑 到 除 了 他 自 己 所 辅 佐 的 君 王, 敌 人 的 君 王 可 能 也 了 解 孙 子 兵 法, 而 且 各 方 对 这 个 公 共 知 识 的 认 识 本 是 就 是 公 共 知 识 在 这 种 情 况 下, 只 有 均 衡 这 个 概 念 可 以 用 来 制 订 策 略 规 划 并 解 决 循 环 推 理 问 题 尽 管 如 此, 我 们 在 博 弈 论 本 身 中 可 以 找 到 一 个 理 由 说 明 为 什 么 孙 子 的 上 述 不 足 并 没 有 减 少 他 的 计 谋 和 分 析 的 价 值 具 体 来 说, 纳 什 均 衡 的 一 个 能 够 适 用 于 孙 子 所 关 心 的 博 弈 类 型 ---- 你 死 我 活 型 的 纯 粹 冲 突 博 弈 ( 即 零 和 博 弈, 也 称 定 和 博 弈 )-- - 的 事 实 是 : 决 策 者 们 在 选 择 行 动 时 如 果 能 遵 循 一 些 简 单 的 经 验 方 法 就 能 确 保 取 得 均 衡 结 果 假 设 某 人 假 设 其 对 手 和 他 一 样 聪 明, 而 且 能 预 见 到 他 所 想 到 的 东 西 在 这 种 情 况 下, 我 们 所 研 究 的 这 个 决 策 者 应 该 作 好 最 坏 打 算, 即 假 设 不 管 他 采 取 什 么 行 动, 对 手 总 会 尽 其 所 能 占 其 便 宜 假 设 对 手 能 力 不 如 自 己 是 很 危 险 的, 这 会 导 致 令 人 不 快 的 结 果 所 以 排 除 这 种 假 设 后, 决 策 者 应 该 最 大 化 自 己 的 最 小 收 益, 或 者 说 最 小 化 自 己 的 最 大 损 失 这 就 是 最 小 最 大 化 策 略 (minmax strategy, 也 称 保 留 策 略 ) 把 上 述 方 法 应 用 到 图 5 所 示 的 博 弈, 我 们 注 意 到 1 号 选 择 A 的 最 小 收 益 是 1, 选 择 B 的 最 小 收 益 是 5, 选 择 C 的 最 小 收 益 是 2 所 以 1 号 应 该 选 择 B 同 样 地,2 号 选 择 D 的 最 小 收 益 是 1, 选 择 E 是 4, 选 择 F 是 0 所 以 2 号 应 该 选 择 E 有 意 思 的 是, 上 述 推 理 的 结 果 是 策 略 组 合 (B, E), 而 这 也 是 该 博 弈 的 纳 什 均 衡 结 果 可 见 在 纯 粹 冲 突 博 弈 里 谨 慎 的 保 留 策 略 与 博 弈 论 所 要 求 的 策 略 决 定 是 一 致 的 虽 然 孙 子 兵 法 里 没 有 任 何 地 方 直 接 用 均 衡 这 个 概 念 来 解 决 循 环 推 理 问 题, 我 们 仍 然 可 以 合 理 地 假 设 孙 子 已 经 掌 握 了 能 最 小 化 己 方 损 失 同 时 让 智 谋 不 足 的 对 手 吃 亏 的 策 略 的 本 质 昔 之 善 战 者, 先 为 不 可 胜, 以 待 敌 之 可 胜 ( 形 篇 ) 故 善 战 者, 立 于 不 败 之 地, 而 不 失 敌 之 败 也 ( 形 篇 ) 11

12 不 可 胜 在 己, 可 胜 在 敌 故 善 战 者, 能 为 不 可 胜, 不 能 使 敌 之 可 胜 故 曰 : 胜 可 知, 而 不 可 为 ( 形 篇 ) 可 见 孙 子 至 少 部 分 地 把 我 们 引 向 了 均 衡 这 个 概 念, 因 为 如 果 冲 突 双 方 都 根 据 他 的 建 议 采 取 措 施 最 小 化 己 方 面 对 善 战 的 对 手 的 潜 在 损 失, 同 时 在 面 对 不 善 战 的 对 手 时 能 获 胜, 那 么 博 弈 结 果 就 是 均 衡 所 以 只 要 我 们 所 考 虑 的 博 弈 是 定 和 或 者 说 零 和 类 型 的, 只 要 简 单 的 均 衡 策 略 存 在, 孙 子 已 经 为 我 们 提 供 了 取 得 均 衡 并 在 面 对 不 按 均 衡 概 念 行 为 的 对 手 时 获 胜 的 必 要 手 段 六 混 合 策 略 (mixed strategy) 我 们 上 面 的 讨 论 的 一 个 结 论 是 博 弈 是 否 属 于 完 全 信 息 在 优 势 策 略 或 者 定 义 精 确 的 均 衡 存 在 的 情 况 下 是 无 所 谓 的 博 弈 选 手 们 可 以 解 出 该 赛 局, 得 出 确 定 的 结 果 但 是 军 事 冲 突 一 般 来 说 有 与 上 述 不 同 的 特 点 具 体 地 说, 军 事 冲 突 一 般 情 况 下 没 有 简 单 的 策 略 均 衡 所 以 我 们 在 讨 论 均 衡 概 念 的 适 用 性 时 必 须 谨 慎, 因 为 如 果 博 弈 并 不 总 是 有 均 衡 解, 那 么 我 们 就 不 能 得 出 科 学 意 义 上 的 一 般 结 论 有 了 上 面 这 些, 让 我 们 回 到 图 2 所 示 的 博 弈 我 们 上 面 用 图 2 来 说 明 循 环 推 理 问 题, 所 以 这 个 博 弈 猛 然 一 看 似 乎 没 有 均 衡 解 我 们 上 面 提 到 1 号 可 能 会 在 经 历 循 环 推 理 之 后 恼 怒 中 断 定 2 号 会 进 行 随 机 选 择, 但 我 们 当 时 暂 时 地 否 决 了 该 想 法, 因 为 它 并 没 有 终 止 我 们 一 开 始 就 想 避 免 的 循 环 推 理 但 是 请 注 意 我 们 当 时 假 设 2 号 采 用 的 是 一 种 50 对 50 的 抽 彩, 而 我 们 没 有 确 认 是 否 所 有 抽 彩 都 会 把 我 们 引 向 循 环 推 理 更 一 般 地, 假 设 2 号 选 择 C 的 可 能 性 为 p, 选 择 D 的 可 能 性 为 1-p, 并 且 1 号 选 择 A 的 可 能 性 为 q, 选 择 B 的 可 能 性 为 1-q 如 果 在 给 定 2 号 的 概 率 p 和 1-p 之 后, A 和 B 两 个 选 项 所 代 表 的 抽 彩 对 于 1 号 选 手 来 说 并 非 等 优, 那 么 1 号 就 应 该 确 定 地 选 择 A 和 B 中 的 一 个 选 项 也 就 是 说, 当 且 仅 当 选 A 的 预 期 价 值 与 选 B 的 预 期 值 相 等 时 ( 这 些 预 期 值 由 2 号 选 定 的 策 略 决 定 ),1 号 才 会 在 A 和 B 之 间 保 持 q 和 1-q 的 概 率 对 于 图 2 所 示 的 博 弈,2 号 选 手 的 方 程 是 4p + 1(1-p)= p + 3 (1-p), 所 以 p =1/4 我 们 的 1 号 选 手 也 是 一 样 --- 他 只 有 在 2 号 在 选 C 和 选 D 之 间 没 有 偏 向 时 才 会 愿 意 给 A 和 B 一 定 的 权 重, 所 以 q + 4(1-q)= 3q + 2(1-q), 即 q = 1/2 我 们 得 出 的 结 论 是 : 如 果 1 号 以 相 同 的 概 率 选 择 A 或 者 B, 而 且 2 号 以 1/4 的 可 能 性 选 C,3/4 的 可 能 性 选 D, 那 么 双 方 没 有 一 人 愿 意 单 方 面 地 选 择 其 他 抽 彩 ( 包 括 在 A 和 B 以 及 C 和 D 中 确 定 地 选 择 其 中 一 项 ) 因 此 图 2 所 示 的 博 弈 有 混 合 策 略 纳 什 均 衡 解 给 与 混 合 策 略 均 衡 特 殊 意 义 的 是 Von Neumann 和 Morgenstern (1944) 证 明 的 一 个 重 要 定 理, 该 定 理 指 出 在 任 何 一 个 n 人 博 弈 中, 如 果 每 个 决 策 人 的 选 择 都 是 有 限 的, 那 么 该 博 弈 至 少 有 一 个 混 合 或 者 纯 粹 策 略 均 衡 1 这 样, 纳 什 均 衡 的 潜 在 科 学 一 般 性 就 被 建 立 了 1 纯 粹 策 略 是 指 经 过 对 博 弈 结 构 的 直 接 分 析 而 得 出 的 策 略, 而 混 合 策 略 是 指 由 纯 粹 策 略 组 成 的 抽 彩 12

13 请 注 意 混 合 策 略 (1) 最 小 化 了 己 方 面 对 同 样 策 略 性 地 思 考 的 对 手 时 的 易 受 攻 击 程 度,(2) 可 以 在 对 手 犯 错 误 时 占 其 便 宜 此 外, 随 机 概 率 的 运 用 确 保 了 己 方 的 战 术 不 能 为 对 手 所 识 别 有 了 混 合 策 略, 我 们 就 可 以 把 有 限 的 纯 粹 策 略 变 成 无 限 多 的 选 择 还 有, 即 使 己 方 的 纯 粹 策 略 已 经 暴 露, 对 手 还 是 不 能 确 定 某 项 在 短 期 看 来 次 等 的 选 择 会 不 会 是 某 个 更 宏 大 的 更 长 远 的 策 略 规 划 的 一 部 分 也 就 是 说, 混 合 策 略 的 存 在 使 得 对 手 不 能 从 我 们 以 往 的 行 为 中 确 定 地 推 测 出 我 们 将 来 的 选 择 我 们 不 知 道 孙 子 是 否 曾 经 明 确 地 推 荐 过 用 随 机 概 率 来 掩 饰 自 己 的 策 略 意 图, 孙 子 兵 法 的 众 多 评 论 者 对 此 也 没 有 澄 清 尽 管 如 此, 我 们 还 是 可 以 对 他 为 正 和 奇 作 的 区 分 给 于 解 释, 从 中 可 以 看 出 混 合 策 略 在 孙 子 的 分 析 中 还 是 占 有 中 心 地 位 的 他 说 : 战 势 不 过 奇 正, 奇 正 之 变, 不 可 胜 穷 也 ; 奇 正 相 生, 如 环 之 无 端, 孰 能 穷 之? ( 势 篇 ) 奇 表 示 不 寻 常 不 普 通 不 典 型 一 个 策 略 如 果 不 能 为 对 手 所 预 见, 那 就 是 奇 所 以 没 有 什 么 策 略 会 永 远 是 正 或 者 奇 正 可 以 是 奇, 奇 也 可 以 是 正 策 略 到 底 是 正 还 是 奇 要 看 对 手 怎 么 看 你 的 策 略 所 以 奇 和 正 这 两 个 概 念 已 经 反 映 出 博 弈 双 方 之 间 的 策 略 思 考 2 如 果 我 们 把 奇 理 解 为 对 手 认 为 你 不 大 可 能 采 用 的 策 略, 而 正 是 对 手 认 为 你 有 可 能 采 用 的 策 略, 那 么 你 必 须 随 机 选 择 你 的 策 略 以 防 止 对 手 推 测 出 你 下 一 步 的 行 动 这 样 理 解 奇 和 正, 我 们 就 能 完 全 明 白 为 什 么 孙 子 说 : 形 而 错 胜 于 众, 众 不 能 知 ; 人 皆 知 我 所 胜 之 形, 而 莫 知 吾 所 以 制 胜 之 形 ; 故 其 战 胜 不 复, 而 应 形 于 无 穷 ( 虚 实 篇 ) 当 然, 对 于 奇 和 正 还 有 一 种 别 的 解 释 : 奇 是 指 对 手 不 知 道 是 否 可 能 或 者 可 行 的 策 略 如 果 我 们 对 奇 这 么 理 解, 那 么 我 们 就 不 能 ( 轻 易 地 ) 用 博 弈 论 去 分 析 孙 子 的 这 部 分 论 述, 因 为 博 弈 论 假 设 所 有 选 手 都 清 楚 各 个 对 手 所 能 采 用 的 策 略 不 过 即 使 我 们 用 奇 和 正 作 为 证 据 来 证 明 孙 子 理 解 了 混 合 策 略 的 作 用, 我 们 还 是 可 以 对 他 的 分 析 提 出 批 评 我 们 在 前 面 一 节 已 举 出 证 据 证 明 孙 子 理 解 最 小 最 大 化 纯 粹 策 略 的 作 用 但 问 题 是 如 果 某 博 弈 只 有 混 合 策 略 均 衡 解, 最 小 最 大 化 策 略 是 不 能 导 致 均 衡 的, 而 且 循 环 推 理 也 因 此 无 法 终 止 另 外, 不 幸 的 是, 我 们 在 孙 子 兵 法 里 找 不 到 任 何 清 晰 的 指 导 方 针 告 诉 我 们 什 么 时 候 采 用 最 小 最 大 化 策 略, 什 么 时 候 采 用 混 合 策 略 在 这 个 意 义 上 说, 孙 子 的 分 析 是 不 完 备 的 七 间 谍 计 孙 子 兵 法 的 最 后 一 篇 写 的 是 间 谍 问 题, 其 最 后 一 句 是 : 故 惟 明 君 贤 将, 能 以 上 智 为 间 者, 必 成 大 功, 此 兵 之 要, 三 军 之 所 恃 而 动 也 ( 用 间 篇 ) 2 请 注 意 奇 和 正 这 两 概 念 是 一 百 年 后 的 孙 膑 所 详 细 阐 述 的 我 们 对 奇 和 正 的 解 释 来 源 于 孙 膑 13

14 孙 子 对 间 谍 的 作 用 的 强 调 是 可 以 理 解 的, 因 为 如 果 能 事 先 刺 探 到 对 手 的 策 略 计 划, 那 么 己 方 就 拥 有 非 常 好 的 策 略 优 势 间 谍 的 实 际 作 用 是 使 决 策 者 的 决 策 信 息 基 础 更 丰 富, 并 使 同 步 博 弈 变 为 依 序 博 弈 我 们 看 看 图 2 所 示 的 博 弈 就 明 白 这 种 变 化 的 好 处 如 果 双 方 的 选 择 是 同 步 进 行 的, 或 者 说 如 果 没 有 哪 一 方 在 博 弈 中 具 备 完 全 信 息, 而 且 每 一 方 都 采 用 混 合 策 略, 那 么 图 2 中 每 一 方 的 预 期 支 付 是 2.5 但 如 果 博 弈 中 1 号 先 行,2 号 在 知 道 1 号 的 选 择 后 再 行, 那 么 1 号 最 终 得 到 的 支 付 是 2, 而 2 号 得 到 的 支 付 是 3 此 外, 如 果 1 号 不 知 道 2 号 拥 有 良 好 信 息 而 仍 然 采 用 混 合 策 略, 那 么 2 号 的 预 期 支 付 就 增 到 3.5, 而 1 号 的 预 期 支 付 降 为 1.5 正 如 孙 子 所 指 出 的 : 吾 所 与 战 之 地 不 可 知, 不 可 知, 则 敌 所 备 者 多 ( 虚 实 篇 ) 间 谍 的 作 用 于 是 就 很 明 显 了 : 让 决 策 者 能 够 根 据 对 手 的 选 择 而 进 行 选 择, 使 得 博 弈 序 列 式 地 进 行 孙 子 曰 : 故 明 君 贤 将, 所 以 动 而 胜 人, 成 功 出 于 众 者, 先 知 也 先 知 者 不 可 取 于 鬼 神, 不 可 象 于 事, 不 可 验 于 度, 必 取 于 人, 知 敌 之 情 者 也 ( 用 间 篇 ) 对 于 孙 子 所 关 心 的 这 种 博 弈 类 型, 先 知 对 方 的 选 择 再 选 择 自 己 的 策 略 总 是 有 好 处 的, 不 管 对 方 知 不 知 道 我 们 知 道 这 件 事 但 孙 子 的 最 大 问 题 似 乎 是 双 方 都 会 有 可 能 让 特 工 给 对 方 喂 假 情 报 他 说 : 必 索 敌 人 之 间 来 间 我 者, 因 而 利 之, 导 而 舍 之, 故 反 间 可 得 而 用 也 ( 用 间 篇 ) 问 题 是, 如 果 这 反 间 其 实 不 是 双 面 间 谍, 而 是 三 面 或 者 更 多 面 间 谍 呢? 这 个 问 题 使 得 我 们 又 回 到 了 博 弈 论 试 图 避 免 的 循 环 推 理 不 同 的 是, 博 弈 现 在 不 仅 是 不 完 全 信 息, 同 时 也 是 不 完 全 信 息, 每 一 方 都 想 知 道 对 方 对 己 方 的 看 法 --- 自 己 的 能 力 自 己 的 意 图 --- 而 对 方 的 看 法 将 取 决 于 己 方 的 行 为 因 此, 选 择 行 为 时 不 光 要 考 虑 其 直 接 所 影 响 的 结 果, 还 要 考 虑 其 间 接 影 响 的 各 方 的 信 念 (belief) 当 各 方 都 意 识 到 大 家 可 能 进 行 这 种 信 息 操 作 时, 策 略 分 析 就 变 得 加 倍 复 杂 了 前 面 我 们 在 解 释 孙 子 说 的 兵 者, 诡 道 也 时, 认 为 这 表 明 我 们 需 要 用 博 弈 论 而 不 仅 仅 是 单 人 决 策 理 论 理 解 他 的 分 析 显 然, 混 合 策 略 是 一 种 诡 道 但 同 时 我 们 很 清 楚 孙 子 说 的 诡 道 远 非 仅 仅 是 随 机 选 择 行 为 : 故 能 而 示 之 不 能, 用 而 示 之 不 用, 近 而 示 之 远, 远 而 示 之 近 利 而 诱 之, 乱 而 取 之 ( 计 篇 ) 卑 而 骄 之 ( 计 篇 ) 但 一 旦 我 们 接 受 这 种 诡 道 观 点, 许 多 新 问 题 应 运 而 生, 比 如 : 如 果 对 手 清 楚 我 们 的 意 图 和 机 会, 我 们 还 能 欺 骗 他 们 吗? 各 方 能 否 同 时 相 互 欺 诈 而 又 都 知 道 对 方 在 欺 诈, 并 且 都 知 道 对 方 也 知 道? 但 要 判 断 孙 子 对 我 们 对 策 略 的 理 解 的 贡 献, 我 们 应 该 紧 记 一 点 : 虽 然 博 弈 论 已 经 经 历 了 半 个 世 纪 的 发 展, 成 百 上 千 的 研 究 者 为 此 作 出 贡 献, 我 们 也 只 是 在 最 近 才 知 道 怎 样 把 信 息 操 纵 当 作 博 弈 者 策 略 的 一 部 分 来 分 析 ( 如 Kreps, 1990; Myerson, 1991) 理 解 信 息 操 纵 是 很 困 难 的, 因 为 它 是 在 一 场 博 弈 进 行 过 程 中 试 图 改 变 对 手 对 这 场 博 弈 的 认 识, 而 对 手 又 知 道 我 们 有 这 种 企 图 我 们 必 须 用 高 等 数 学 和 概 率 论 14

15 才 能 解 决 这 种 循 环 推 理 问 题, 所 以 我 们 对 孙 子 在 信 息 操 纵 问 题 上 讨 论 得 不 够 完 整 不 应 感 到 惊 讶 实 际 上, 我 们 应 该 惊 叹 于 他 已 经 直 觉 地 想 到 了 这 么 多 15

16 引 用 文 献 : Kreps, David M A Course in Microeconomic Theory. Princeton, NJ: Princeton University Press. Myerson, Roger C Game Theory: Analysis of Conflict. Cambridge, MA: Harvard University Press. Ordeshook, Peter C Game Theory and Political Theory. Cambridge, MA: Cambridge University Press. von Neumann, John & Oskar Morgenstern Theory of Games and Economic Behavior. Princeton, NJ: Princeton University Press. 16