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定晶狄
5 years ago
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1 Chapter 13 Fourier Series (De) 週期函數設函數定義在區間, 內, 若存在常數 T, 使對任意的都有則稱 T 是一個週期函數 (periodic uctio),t 稱為一個週期 (period) 使上式成立的最小正數 T 稱為正週期 (least positive period), 簡稱為到週期函數的的最小的週期, 後面凡提的週期 T, 都是指它的最小正週期週期函數是各種周而復始循環往復的現象的數學描述, 它的圖像是週期性地重複出現的 ( 如下圖 ) 最常見的週期函數是我們熟知的三角函數 ;si,cos, sec,csc 的週期為,ta 和 cot 的週期為 1

2 三角級數與三角函數系的正交性從物理學的觀點看, 在所有週期運動中, 以用正弦函數 y Asit 來描述週期運動最簡單, 這類運動通常稱為簡諧運動 (simple harmoic motio) 或簡諧振動, A 稱為振幅 (amplitude), 稱為角頻率 (agular requecy), 稱為初相,(iitial phase) 此簡諧運動的週期為 T / 單擺的運動彈簧的振動交流電的電流或電壓強度等, 都是簡諧振動的例子前面已介紹過將函數展開成幂級數, 而下面討論的是將週期函數 t 展開成三角函數組成的級數 : si t A A t 1 其中 A, A, ( 1,,3,... ) 都是常數

3 注意到 si A si t A t A si cost A cos si t a A, Asi a, Acos b, t, 則令 a a b ( ) cos si 1 通常稱形如上式的級數為三角級數 (trigoometric series), 其中 a, a, b ( 1,,3,... ) 都稱為常數, 稱之為三角級數的係數 (coeiciet) 3

4 三角級數中, a /, a, b 分別是如下函數系的係數 : 1,cos,si,cos,si,,cos,si, 此函數系稱為一個三角函數系 (amily o trigoometric uctio) 三角函數系具有如下重要性質 : 三角函數系中任意兩個不同的函數相乘後, 在區間, 上的積分等於, 即有 1cos d, 1,,3,... 1si d, 1,,3,... si mcosd,m, 1,,3,... cosmcosd,m,m, 1,,3,... si msi d,m,m, 1,,3,... [Proo]: 前面兩式易直接積分得出 : si cosd, cos si d 後面三式可分別利用三角函數的積化和差公式證明 : 4

5 1 si mcos sim sim 1 cosmcos cosm cosm 1 si msi cosm cosm 轉化為計算如下形式的積分 k 1,,3,... cos kd, sild, l 1,,3,... 比如, 當整數 m 時, 有 1 cosmcosd cosm cosm d 其餘兩式可同樣驗證 si 1 si m m m m 上述性質稱為三角函數系在區間, 上的正交性 (orthogoality) 在三角函數系中, 兩個相同函數的乘積在區間, 上的積分不等於, 而有 1 d, si d, cos d, 1,,3,... 5

6 13. The Fourier Series o a Fuctio 設是週期的週期函數, 且能展開成三角級數 a acosbsi (1) 1 此時係數 a, a, b ( 1,,3,... ) 與函數有如下的重要關係 : (Euler-Fourier) 公式 : 如果 (1) 式左端的函數在, 上可積, 右端的三角級數可逐項積分, 則其中的係數可分別表達為 1 a d 1 a cos d, 1,,3,... 1 b si d, 1,,3,.. () [Proo]: 對 (1) 式從到逐項積分, 得 a d d a d b si d cos 1 由三角函數系的正交性, 等式右端除第一項外, 其餘各 a 項均為, 所以 1 a d d, 從而有 6

7 用 cosk 乘 (1) 式的兩端, 再從到逐項積分, 得 a coskd 1 coskd a cos coskd b si coskd 由三角函數系的正交性, 等式右端除 coscos kd, k, 的一項以外, 其餘各項均為, 所以 ak coskd ak cos kd 1 cos kd 從而 ak 1 si k ak k 1 a coskd, k 1,,3... k 這即是 () 中的第二個公式類似地, 用 si k 乘 (1) 式的兩端, 再從到逐項積分, 可得 1 b si kd, k 1,,3,... k 這即是 () 中的第三個公式若公式 () 中的積分都存在, 則由它們確定的係數 a, a, b ( 1,,3,... )( 這些稱為函數 7 的傅里葉係數 (Fourier

8 coeiciet)), 將這些係數帶入 (1) 式的右端, 所得的三角級數稱為函數的傅里葉級數 (Fourier series), 簡稱的傅氏級數值得注意的是, 上述並沒有討論函數下, 它的傅里葉級數才收歛於數 (1) 就一定等於可暫記為 a a b ~ cos si 1 在怎樣的條件? 因此不能認為傅里葉級若在公式 () 中, 取, 則 a 的表達式恰好給出 a, 和 a 的結果合併, 將公式 () 寫成 1 a cos d,,1,,... 1 b si d, 1,,3,... ( ) 正是為了 a 表達公式的這種統一, 在上面 (1) 式中才將傅里葉級數的常數項記為 a / 8

9 13.3 Covergece o Fourier Series 下面討論一個基本問題 : 函數滿足什麼條件才能使它的傅里葉級數 (1) 收斂, 而且級數的和恰好就是? 我們僅討論分段連續 (piecewise cotiuity) 的週期函數, 即在一個週期的區間, 上連續或有有限個不連續點, 同時在每個不連續點的左極限 (let limit) 和右極限 (right limit): lim lim 均為有限值分段連續的週期函數如下圖所示此外還假設續, 即在導數 ' 的導函數 ' 在, 上也分段連不存在的點處, 其左導數 (derivative o the let) 和右導數 (derivative o the right) 均為有限值對這類週期函數有如下的收斂定理 : 9

10 (Thm 13.1) Dirichlet 收斂定理 : 若函數續, 則以及它的導函數 ' 在一個週期內分段連的傅里葉級數 (1) 在每一點都收斂, 並且 (1) 當是的連續點時, 級數收斂於 () 當是的間斷點時, 級數收斂於右極限與左極限的算數平均值在點的 1

11 E7: 設是週期為的函數, 它在, 上的表達式為 1 1, 試將展開成傅里葉級數 [ 解 ]: 11

12 1

13 E71: 已知週期為的函數 [ 解 ]: 1 在一個週期內的表達式為 e,, 試求的傅里葉級數上面用到不定積分公式 : e cos si e cos d C e si cos e si d C 13

14 14

15 設週期為 l 的週期函數的傅里葉級數展開式為滿足收斂定理的條件, 則它 a acos bsi 1 l l (3) 其中傅里葉係數 a, b 為 1 l a cos d, =,1,,... l l l 1 l b si d, =1,,3,... l l l (4) 做變數代換 z / l, 於是區間 l l 就變換成 z, 設從而 lz z, z z 是週期的週期函數, 並且它滿足收斂定理的條件, 因此可得 z 展開成傅里葉級數 a z a z b z cos si 1 其中係數依照 ( ) 式為 1 1 a zcos zdz, b zsi zdz 在以上式子中令 z / l, 並注意到 z, 於是 15

16 a acos bsi 1 l l 1 l a cos d, =,1,,... l l l 1 l b si d, =1,,3,... l l l 16

17 E7: 設是週期為 l 的週期函數, 它在 ll, 上的表達式為 l l, 試將展開成傅里 [ 解 ]: 葉級數 17

18 若將不是週期函數, 僅在 ll, 上有定義, 則同樣可進行週期延拓, 再求其傅里葉級數的展開式 Eve ad Odd Fuctios 則稱都有則稱若函數對於定義域中的任一都有是偶函數 (eve uctio); 若對於定義域中的任一是奇函數 (odd uctio) 由定義知, 一切偶函數 y 的圖形於 y 軸對稱 ( 如下左圖 ) 若把定積分理解為面積, 即知對於使偶函數定義的任意區間 ll,, 都有 l l l d d 有 18

19 而一切奇函數對於使奇函數 y 的圖形於原點對稱 ( 如上右圖 ) 有定義的任意區間 ll, l l d, 都有奇函數與偶函數有如下明顯的性質 : 1. 兩個奇函數或兩個偶函數的乘積是偶函數 [Proo]: 若和, 有都是奇函數, 則對於若和都是偶函數, 則有上面兩式都表明是偶函數. 奇函數與偶函數的乘積是奇函數 [Proo]: 設是奇函數,, 有是偶函數, 則對於這表明是奇函數 19

20 一般說來, 一個週期函數的傅里葉級數既含有正弦項, a 也含有餘弦項 ( 常數項看成是特殊的餘弦項 a cos) 但是, 也有一些函數的傅里葉級數只含正弦項, 或只含常數項和餘弦項, 出現這種情況的原因在於所給函數論 : 為奇函數或偶函數對此, 我們有如下結 1. 當週期為的奇函數展開成傅里葉級數時, 它的傅里葉係數為 a,,1,,... b si d, 1,,3,.... 當週期為的偶函數展開成傅里葉級數時, 它的傅里葉係數為 a cos d,,1,,... b, 1,,3,...

21 若為奇函數, 則它的傅里葉級數形如 1 b si 這種只含正弦項的傅里葉級數稱為正弦級數 (sie series); 若為偶函數, 則它的傅里葉級數形如 a a 1 cos 這種只含常數項和餘弦項的傅里葉級數稱為餘弦級數 (cosie series) E73: 已知週期為的函數 [ 解 ]: 3,, 試求在一個週期內的表達式為的傅里葉級數 1

23 Eercise Y: 1. 試求以為週期的函數展開為傅里葉級數, 已知它在, 上的表達式為 e 1, 內連續從而 [ 解 ]: 由於滿足收斂定理, 且在的傅里葉級數在區間, 內收斂於間斷點 k 1, k, 1,, 處收斂於 e 1 按 () 式可算出其傅里葉係數為 e a d e d d , 而在 a cosd e cosd cosd si cos 1 e si e 1, 1,,3, b si d e si d si d si cos 1 e cos 1

24 e , 1,,3,... 故 e e e cos 1 1, 且 (k 1), k, 1,,... 所得傅里葉級數的和函數如下圖所示 si 4

25 . 設是週期為的函數, 在區間, [ 解 ]: 按公式 () 求的傅里葉級數, 得內, 有, 試將展開成傅里葉級數 a d d d a cosd cosd cosd cos 1 1 1, 1,,3, b si d si d si d 因 1 cos 1 1, 1,,3,... 滿足收斂定理的條件, 故在的連續點處, 其傅里葉級數收斂於, 即 cos si 4 1, 且 m, m, 1,,... 5

26 在間斷點 k, k, 1,, 時, 級數收斂於在間斷點 k 1, k, 1,, 時, 級數收斂於所得傅里葉級數的和函數如下圖所示 6

27 3. 試將函數, 展開成傅里葉級數 [ 解 ]: 由於在,上滿足收斂定理的條件, 在, 連續, 將內延拓成以 4 為週期的週期函數 ( 如下圖 ), 則相應的傅里葉級數在的端點處收斂於, 內收斂於, 在間斷按公式 () 得傅里葉係數為 a d 7

28 1 a cos d 1 si 1si 1cos cos d 16 1, 1,,3,... 1 b si d 故 d 1 cos 1cos si si d 3 3 d cos 1, 1,,3, cos si, 8

29 4. 試將函數 [ 解 ]: 所給函數在區間, 展開成傅里葉級數上滿足收斂定理的條件, 並且拓展為週期函數時, 它在每一點處都連續 ( 如下圖 ), 故相應的傅里葉級數在, 上滿足收斂於又因為偶函數, 知 b, 而 a d d a cosd cos d 故 si cos cos 1 4 1,3,5,...,4,6, cos k 1 k1 k 1 9

Microsoft PowerPoint - B9-2.pptx

Microsoft PowerPoint - B9-2.pptx 單元名稱 : 9 三角函數的積分教學目標 : 使學生了解三角函數的積分三角函數積分的類型及一些積分技巧學習時數 : 約一小時教學內容 :. [ 第一類型 ] 六個三角函數本身的積分. [ 第二類型 ] sin n 及 os n 的積分 sin os m n. [ 第三類型 ] 的積分 4. [ 第四類型 ] n 及 ot n 的積分 5. [ 第五類型 ] n 及 s n 的積分 m 6.