本講內容 3. 單變數函數積分之回顧 3. 二重積分的定義與性質 3.3 Fubini 定理 3. 變元代換 3.5 各種不同場合之應用

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八钟左
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1 d T : { u,v u,v Φ Ω Φ c o 第 3 講 d R 二重積分 k, k k k A k c a b 銘傳大學網路教學製作人應用統計與資訊學系 o

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3 3. 單變數函數積分之回顧

4 3 [ ] d A i f i

5 n i i n i A A A A A A 3 L L i A d ] [ 3 i f

6 i 3 n f d lim ma i i f i i 3 [ ] d A i f i f i A i

7 3 [ ] d

8 3. 二重積分的定義與性質

9 R R { }, ;

11 z

12 zf,

13 定義重積分的定義與性質設 f : R R, 其中 R [a, b][c, d], 則 f 在 R 上的重積分定義為 R f, A d lim ma s i j f, ΔA i j ij 其中 A, A K 為 R 的分割 ; A ij Δ Δ i j s i j

14 D s Di D j D j Di

15 定義設f : R R 其中R [a,b][c, d] 則f在R上的重積分定義為 òò f, d A lim å å f R Ds i i,j ΔA ij j 其中 A,A K 為 R 的分割; A ij Δ iδ j

16 重積分的重要性質重積分與面積若 R 為平面上的一個區域, 則 R 之面積為 R da [, 7 ] [, 6 ] da d d R 6 7

17 重積分的重要性質若 R 為平面上的一個區域, 則 R 之面積為 R da {, ; } R R da d d d d d d R 6 / 3 Repeat integral or iterative integral

18 3 / 6 d d d d d d da R d d f d d f da f R ], [ ], [,???? ψ ψ φ φ 是否有類似的處理方法? Fubini 定理及其推廣重積分與面積

19 重積分的重要性質 òò f, 重積分與體積 da 之幾何意義為: 以 R 為底由曲面 R z f, 所界出之柱體體積

20 重積分的重要性質 3 被積函數之積分線性可加性 α f, β g, da α f, da β g, R R R da 其中 α, β 為常數

21 ,,, 不重疊邊界重疊沒關係且其中, 積分區域之線性 R, R R R R da f da f da f R R R 重積分的重要性質

22 ,,,,, 時成立等號在則上, 若在積分之單調性 g f da g da f g, f, R R R da f da f R R,, 重積分的重要性質 5 重積分的重要性質 6

23 3.3 Fubini 定理

24 Fubini 定理 f 在矩形方塊區域 R 的二重積分 R da f, c d a b f, d d a b c d f, d d R [ a, b ] [ c, d ]

25 在一般區域 D 上的二重積分 f, da D R F, da D 其中 F, f, if, D o.w. φ D φ R [ a, b ] [ c, d ]

26 在一般區域 D 上的二重積分 f, da F, da D R b a c d F, d d b a φ φ f, d d φ φ D F D {, a b, φ φ }

27 在一般區域 D 上的二重積分 f, da F, da D R d c b a F, d d d c ψ ψ f, d d D {, c d, ψ ψ }

28 定理 3. 設 f 在 Ω 上連續, 其中 Ω {, a Φ, Φ 均是定義在 [ a, ] b 的連續函數, 且 Φ b, Φ Φ 則 Φ } f, da Ω a b Φ Φ f, dd

29 若 Ω {, c d, Ψ Ψ } 則 Ω f, da b a Ψ Ψ f, dd Ψ Ψ

30 例計算 R da, 其中 R {, ; } R

31 ln ln d tan d tan d d dd : Sol

32 注意事項在此例子中, 實際上我們是在計算單變函數的定積分, 此種積分作法常被稱為疊積分 repe ated integral 或是累次積分 itera tive integratio n d d

33 重積分之計算, 若由定義著手黎曼和的極限將非常不方便實際計算時, 都是化重積分為疊積分, 然後用例的方式來求值這裡依據的即為定理 3. 定義 R f, da lim s i j f, ΔA i j

34 3 以二變函數而言, 定理 3. 的概念是 : 若 R 為平面上可以化成疊積分來計算 " 很好的 " 區域, 則 R, 此處所指的 f, dd " 很好的區域 " 指的是以下兩種標準區域

35 .Ω {, a b, Φ Φ } 直式準區域

36 . D {, c d, Ψ Ψ } 橫式準區域 Ψ Ψ

37 例計算下列積分 s dd, 其中 S 是與, 在第一象限所圍成的區域

38 Sol : 令 s {,, } 則由定理 3. 知 s da d dd S o

39 3 d

40 注意事項根據定理 3., 惟我們須注意 : 我們可以疊積分來計算二重積分之值, 計算重積分 Ω f, dd 時可做下列兩種選擇, 即 a d c b Ψ Ψ Φ Φ f, dd 與 f, dd 有時兩種都可以算 ; 有時只有一種算得出來

41 注意事項根據定理 3., 我們可以疊積分來計算二重積分之值, 惟我們須注意 : 計算疊積分 d Ψ c Ψ f, dd 而無法算出時, 常可將其化為重積分再化成另一型的疊積分 Ω f, da, 方便計算例如 e dd

42 亦即, d Ψ d f, d c Ψ 例如 e dd

43 亦即, c d Ψ Ψ f, d d 例如 e dd Ω f, da { or, { ;, ; e da } }

44 亦即, c d Ω Ψ Ψ f, f, d da d { or 例如, { e dd ;, ; e da } } b a Φ Φ f, d d e dd

45 例 3 求 e dd o S Ω

46 sol : 令 Ω {,, } 則原積分 Ω e da * 其中 Ω 可以表成 Ω {,, } 則由定理 3. 知 e d d 原式 e dd o S Ω

47 e e d e d e d e o S Ω

48 例試求函數 z f, 與平面所界出的橢球體積如圖

49 d d dd da 3 / / / / 3 ] / 3 [ 體積 θ sin

50 體積 da / / 3 dd [ / 3 ] / / d 3 3 d sin θ 3 6 cos θ d θ

51 C d d d d d d d 3 sin sin 8 3 cos 3 cos 8 3 cos cos cos cos cos cos sin sin 8 3 cos d

52 體積 da / / 3 dd [ / 3 ] / / d 3 3 d sin θ 3 6 cos θ d θ

53 體積 da / / dd [ / 3 ] / / d 3 6 cos θ d θ 3 6 cos θ d θ

54 例 5 試計算 sin d 之值這裡我們無法直接用過去學過的方法, 求得此一積分式的值註關於此一積分式的重要性, 請參關 Willian, B. Geartart and Harris s.shultz, The Function sin /, The College Mathematic Journal,, Mar 99, p9 99

55 Step 先求出 e p sin d dp 之值 Step 證明 e p sin dp d Step 3 e p sin sin d dp d sin d e p sin d dp

56 因此, 如果我們能先計算出 e p sin d dp 之值, 則問題便可迎刃而解

57 Sol: Step 先求出 e p sin d dp 之值 N e p sin d e p cos N p N e p cos d

58 Step 先求出 e p sin d dp 之值 N e p sin d e p cos N p N e p cos d e p cos N p [ e p sin N p N e p sin d ] p N e p sin d e p p sin cos N N e p sin d e p p sin p cos N

59 cos sin lim sin lim sin p p p e d e d e N p N N p N p d d dp e dp d e dp p p p sin sin sin M

60 e p p dp sin d dp lim N N p dp

61 d tan dp p p p dp tan p C

62 e p p dp sin d dp lim N N p dp

63 tan lim tan lim lim sin N p dp p dp p dp d e N N N N N p 之值 dp d e p sin

64 d e d dp e d dp e N p p N N p N p sin ] [ lim sin ] [ lim ] sin [ step

65 [ N N [ lim N [ lim [ lim e p sin d dp sin e p N e e d sin e p N p N p ] dp dp ] sin ] ] sin step d sin d Step 3 d d sin d

66 利用上面的結果, 我們可以進一步求下列的積分值 sin t t dt

67 Sol: 令則由於 dt t t dt tp t t dpdt t tp dtdp t tp dp dt t tp d p cos cos sin sin sin sin t p

68 cos α β cos α cos β sin α sin β cos t sin t cos t cos t sin t sin t

69 dp dp sin tp dtdp t cos tp p dt t t cos t dt t sin tp t sin t sin t t dpdt t dt dt sin t dt dp t

70 3. 變元代換

71 變元代換一變元代換的一般原理此處以二重積分之變元代換做說明但可類似地堆廣至三重積分或多重積分定理設 T : { u, v u, v 是自 u - v 平面至 - 平面的一個變換 tr ansformati on, 且變換滿足下列條件 : T : { u,v u,v

72 , 均有連續的一階偏導數變換 T 把 uv 平面上的區域 S " 且 onto" 地映射到平面上的區域 Ω 3 變換的 Jaco bian,ju, v u u v v, 在 S 上為恆正或恆負則 Ω f, dd S fu, v, u, v Ju, v dudv *

73 二二重積分中之特別代換極座標代換對極座標代換 { rcosθ rsinθ 而言, r θ { rcosθ rsinθ - rsinθ cosθ Jacobian,J u, v r ; J rcosθ sinθ r 故 Ω f, dd S frcosθ, rsinθ r dr dθ

74 線型代換對線型代換 { au bv cu dv 而言, Ju, v ad bcad bc 故 f, dd ad bc fau bv, cu Ω S dv dudv

75 例 6 已知積分區域 Ω {, ; ; [,]} 計算 I Ω dd Ω

76 sol : 令 { I rdrdθ r S 其中 S rcosθ rsinθ 則 {r, θ f, dd Ω S drdθ r r S, frcosθ, rsinθ r drdθ * θ } Ω

77 * r dr dθ ln r r dθ ln dθ ln Ω

78 例 7 試求右圖之極座標方程式, r3 cos 3 θ, 所圍成的面積

79 r cos θ ; r sin θ θ ; 6 6 r 3 cos 3 θ

80 r cos θ ; r sin θ θ ; 6 6 r 3 cos 3 θ 斜線區域面積 6 6 3cos 3 θ r dr d θ

81 3 6 cos cos 9 3 cos cos cos θ θ θ θ θ θ θ θ θ d dr d r r dr d r

82 全部面積 cos 3 θ r dr d θ

83 例 8 求 dd sol : 原積分 Ω dd * 其中 Ω {,, }

84 令 { * rcosθ rsinθ S 則 drdθ ** 其中則 S {r, θ secθ r cosθ, θ } ** cosθ secθ drdθ cosθ secθ dθ sinθ ln secθ tanθ ln

85 例 9 在 z 座標系中描出曲面 S : z - - 算出曲面 S 與平面 z 所圍空間之區域體積 sol : 曲面 S 之略圖如下則曲面 S 與平面 z 所圍成之體積為 - - da Ω * z

86 8 dθ dθ r r drdθ r r rdrdθ r ** 則 r r z { } θ, r θ {r, 其中 S ** rdrdθ r * 則令 } {, 其中 Ω S rcosθ rsinθ

87 例求積分 D e - da, 其中 D 其中軸, 軸與直線所圍成的區域 sol : 曲面 D 之略圖如下, D 可以表為 D {,, o - } D, f, dd ad bc fau bv, cu Ω S dv dudv

88 { S 之略圖如下 u} r u -, u v {u, 其中 S * dudv e 則原積分 v 且 Ju, 則令 u v S v u v u u v v u uv u v u S o dudv dv cu bv, fau bc ad dd f, S Ω

89 u u v u v u u u v e e u e e du u e e du u e eu du ue e dvdu * 3. 知道則由定理

90 3.5 各種不同場合之應用

91 例統計學上的應用如果隨機變數 X 服從常態分佈且期望值 EXμ; 異數數 VarXσ, 則 X 的機率度可以寫表示為 µ f ep[ ], < σ σ <

92 σ < σ, µ µ σ < < σ, µ µ σ < σ, µ µ

93 如欲直接證明此一機率的總和為, 亦即 f µ d ep[ σ σ ] d 並不容易

94 但如果透過雙重積分及變數變換, 證明 ep ep ] ep[ d d d 則問題可以迎刃而解 ; σ µ

95 d d d d d ep ep ep ] ep[ Proof

96 { rcosθ 令則 r sinθ Jacobian,J u, v - rsinθ rcosθ cosθ sinθ r Ju, v r

97 dθ r r dr dθ r r dr dθ θ r θ r d d r ep ep sin cos ep ep 原式

98 ep θ θ d d r r 續上頁 M M d d ep 原式

99 ep ep ] ep[ d d d σ ep d

100 ep d 利用這個結果, 我們令 Y σ X µ 則 Y ~ N µ, σ 且 ep d σ ep[ µ σ ] d

101 表面積的計算原理

102 v i i i j f, k u i j f, k i i

103 v i i i j f, k θ 面積 ΔS i u v sinθ u v u i j f, k i i i Δ j Δ f f k, i i i, i S i f, i f i i, j i i kδδ f, i f i i, j i i k A ij [f, ] i i [f, ] i i A ij

104 表面積 R da R R [f, ] i i [f, ] i i da

105 上方的表面積域三點所圍成的三角形區之平面上在試求函數例,,,,,,,,, : f da f f sol R,, ;, : 表面積因此由於

106 68. 3 ln 6 6 ln 6 ] 6 ln [ d d d d d da R

107 例 3 試求半圓球體 zf, 在單位圓上所形成之球面表面積

108 da da f f f f Sol }, { }, { ] [ ] [ ], [ ], [ ;, ;, : 表面積 θ θ θ sin ; cos r r r 令

109 θ θ θ d rdr r r da da f f }, { }, { sin cos ] [ ] [ ], [ ], [ 表面積

110 sin cos ] [ ] [ ], [ ], [ 3 }, { }, { θ θ θ θ θ d d r d rdr r r da da f f r 表面積

111 本講內容 3. 單變數函數積分之回顧 3. 二重積分的定義與性質 3.3 Fubini 定理 3. 變元代換 3.5 各種不同場合之應用

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untitled 4 6 4 4 ( n ) f( ) = lim n n +, f ( ) = = f( ) = ( ) ( n ) f( ) = lim = lim n = = n n + n + n f ( ), = =,, lim f ( ) = lim = f() = f ( ) y ( ) = t + t+ y = t t +, y = y( ) dy dy dt t t = = = = d d t +