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卯詹
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1 Chaper 3 The Laplace Tranform Preliminary Concep 積分轉換 (Inegral ranform) 積分轉換係將某函數 f k, x, 並於指定變數區間 x ab, x, 乘上核函數 (kernel funcion) F 者我們以下列通式來表達此一概念 : b, F f x k x dx a 積分, 而得一之函數原始問題 ( x 空間 ) 較難解決之途徑轉換後之空間問題取積分轉換較易解決之途徑轉換後空間之解答逆轉換原始問題之解 ( x 空間 ) Noe () 在轉換後之空間中的問題是否較原始問題簡單 () 逆轉換之求解是否容易

2 著名轉換 Laplace 轉換 <-> Laplace 逆轉換 Fourier 指數轉換 <-> Fourier 指數逆轉換 (Def 3.) 分段連續函數 :(piecewie coninuou funcion) 設函數 f 於其定義區間 a b, 滿足 : 不連續點為有限個於不連續點處左右極限均存在則稱 f x 為在區間 a b之分段連續函數

3 Ex4: f in 在含之區間並非分段連續, 因為函數在之左右極限均不存在指數階層函數 (exponenial order funcion) 若存在一正實數 M, 及實數, 使得對所有 T, 恆有 f Me f e 或 M, 則稱當時, f 為指數階層函數, 或簡稱為指數階層函數 Ex4: 故 f, 則對所有 f 為指數階層函數 Ex43: f () e, 因對所有, 恆有 f, 恆有 f e e 3.5 Ex44: 故 f 為指數階層函數 f e, 因對所有 R lime e, 故 f 不為指數階層函數由定義及上述例子可知, 指數階層函數之特性為當時, f 之發散速率 ( 可能會收斂 ) 比 Me 之發散速率小 3

4 3. Definiion and Baic Properie (Def 3.) Laplace 轉換之定義 : 設 f 為定義於之函數, 則其 Laplace 轉換由下式所定義 : L f F f e d (Thm 3.) Laplace 轉換存在 ( 積分值收斂 ) 之充分條件 : 設函數 f 滿足. 對所有 T, f 於, T 上為分段連續. 存在常數 M, R, T, 使得當 T時, 恆有 f Me, 則 S,L f 恆存在 4

5 幾種基本函數之 Laplace 轉換 a a e d. L a,,,3,... a e d ( a) a! ( a) e d a a a 其中, d d 且 ( a) e d ( a) ( ( n) i he Gamma funcion, n x n x e dx ( ) ( n) n ( n),for poiive ineger, ( n) n! ) a a a e e e d e d ( ). L ( a) e a a a ( a, a) 5

6 3. Lco? a Lin a? a Lcoa a,lin a a 我們僅對時之 f 作轉換一般為了方便, 均定義時之 f 基本函數之逆轉換. L a a a a a! ( a,,, ). L a e a 3. L coa a 4. L in a a a 6

7 Laplace 轉換之基本定理 (Thm 3.) 線性運算 : 設 L f F且 L g 則 L G cf cg cf cg [Proof]: 由定義知 L c f c g c f c g e d c f e dc g e d cf cg 3.3 Shifing Theorem and Heaviide Funcion (Thm 3.7) 第一平移定理 : 設 L f F, 則 L [Proof]: 由定義知 L a f e F( a) a a f e f e e d ( ) Ex45:L co e a b a ( a) b 推理 : 設 L F f e d Fa () f () 則 L a F ( a) e f ( ) ( a) () ( ) 7

8 (Def 3.4) Heaviide Funcion: The Heaviide funcion H,( 有時用 u ) i defined by H if if H a if if a a H ag g if if a a H gh co co if if 8

9 H aga g a if if a a co H co if if L e e d u ue d L (Def 3.5) Pule: A pule i a funcion of he form H a H b, in which a b H H e if e if if 9

10 (Thm 3.8) 第二平移定理 : 設 L F, 則 L f () () a f ( a) u( a) e F( ) 其中 f( a) u( a) f ( a) a a [Proof]: 由定義知 : L f ( au ) ( a) f( au ) ( ae ) d 其中 a,d d f ( a) e d a ( a) f ( ) e d a a e f( ) e d e F( ) 且 Ex46: 求 L a u( )? [ 解 ]:.( 誤解 ) L u( ) e L( ) e 3

11 .( 正解 ) 推理 : L f() u( a) L u Lg ( au ) ( a) e a Lg () a e L( ) e a L e a L f ( a) e e e 3 Ex47: Find he Laplace ranform of x x f x e x 4 4 x [ 解 ]:

12 Ex48: Find he Laplace ranform of 8 Where f 4 8 [ 解 ]: f e 3

13 Exercie Q: 5 3. L4e 6 3in4 co { 4 a n. L n! e { n a } } 3. Lu ( a) 4. L { e a } 7 f where f co 7 e e e { co7 in } 5. L e in { 6. L ( 5) 3 e 7. L ( ) e 4 4 { { e H } } } 3

14 尺度變換 : 設 L f F 且 [Proof]: 由定義知 : L a, 則 L f a f a f a e d F a a a d a f e f e d F a a a a d 其中 a, d a 且 Ex49: Lin3? [ 解 ]: 4

15 積分的 Laplace 轉換 : 設 L f F, 則 L [Proof]: 由定義知 : L f d F f d f d e d e f d f e d F 其中, 令 u () f d, dv e d du f d (by 第二微積分基本定理 ) Ex5: L du f d, v in xdx? e [ 解 ]: 5

16 Laplace 轉換的積分 : 設 L f, 則 L () Fudu ( ) f F [Proof]: 由定義知 : ( ) ( ( ) Fudu f e u ddu ) u f ()( e du) d u e f () u u d e f ()( ) d f () e d L f () Ex5: L in? [ 解 ]: 6

17 Exercie R:. L e 3 in x dx x } { an. Given L in an ( ), find L in a? { an a } 7

18 3.5 Uni Impule and he Dirac Dela Funcion 單位脈衝函數 (uni impule funcion) 之 Laplace 轉換單位脈衝函數又叫做 Dirac dela 函數, 其為一應用很廣之奇異函數 (ingular funcion), 在討論其定義以前, 先考慮方塊波函數 P 由定義可知 P 之高度為, 寬度為, 故其面積等於, 而且其可用單位階梯函數表示為 : P u u, P 當之高度增至無窮大, 寬度減至無窮小, 但面積仍維持等於此一極限函數叫做單位脈衝函數亦即 : lim P lim u Pε() u 8

19 性質 : 由單位脈衝函數之定義, 可得具下列性質 :. d. 設 g 為連續函數, 則 : a. (Thm 3.) g d g b. g g 3. u' 之 Laplace 轉換 : [Proof]: 由 L 則 L Ex5:L a u lim 且 L ua e e e e lim lim? L P a a u a u a [lim ] L[lim ] e lim e a ( a ) a a e e e lim a a e ( e ) e ( e ) lim lim e a 9

20 3.4 Convoluion (Def 3.6) 褶合積分 (Convoluion Inegral): 定義 : 設 f, g 均有定義於, 則積分 f g d 稱為 f 與 g g, 即 f f g f g d 之褶合積分記為

21 (Thm 3.9) 褶合定理 (Convoluion Theorem): 若 Lf F,L g G, 且 f 與則, f g f g d g f d g 之褶合 Lf g FG [Proof]: 已知 Lf F L g G g f d L =τ e ( g f d) d g ( e f d) d x g e f x dxd ( 令 x) x e g ( e f x dx) d e g F d F e g d F G 同理可證 L f gd FG

22 Ex53: 已知 x 與 h 如下圖, 試求 x h? x() h() [ 解 ]: 即 x h 之圖形如下 : 3

23 Ex54:By uing he convoluion heorem, find L? [ 解 ]: 3

24 Laplace 逆轉換 Laplace 逆轉換之求法 : 部分分式展開 : P() 設 F () 為之有理分式函數, 即 F (), 且 P(), Q () Q () 均為之多項式函數, 則可根據 Q () 時, 根值情況將其化成較簡單之分式的和其中, 我們均假定 : P(), Q () 中之係數為實數 P() 與 Q () 無共同因式 3 Q () 之次數比 P() 之次數為高 () 情況 : 若 Q () 具有 n 個不同的一次根 a k, k,,..., n P () A A Ak An Q() -a -a -a -a 則故 A k P( ak ) Qa ( k ) ( a ) k k n 4

25 () 情況 : 若 Q () 具有 a k 之 m 重根 P () A A Cm Q() -a - a ( - a ) 則 C C A ( - a ) -a -a C C C m m- m- n m k k n P () m lim ( - ak) a k Q () d P() m lim ( - ak) ak d Q() d P m lim ( - ak)! k d Q( ) ( ) m- a (3) 情況 3: 若 Q () 具有共軛複數根 P () a b A abi B Q () lim ( - ) ( ) abi k m 5

26 Ex55: 試求下列各函數之 Laplace 逆轉換 (I) L - (II) L ( ) e ( ) [ 解 ]: Ex56:Find he invere Laplace ranform of [ 解 ]: ( ) e ( 4)( ) 6

27 Exercie S: ( ). L ( )( 43) co in e co3 in 3 5 } { 4 8. L ( 6) { 4 4 3e e } 3. L ( ) { in } e 4. L ( ) { coco u } 7

28 3. Soluion of Iniial Value Problem Uing he Laplace Tranform 用 Laplace 轉換求解常微分方程式之初值問題 : (Thm 3.5) 導函數之 Laplace 轉換 : 設 f 於任意之 T 分段連續, L f 與 f ' F f [Proof]:L 均為連續, 且 ' f 於 T為 f ' 於 T為指數階層函數, 則 f ' f ' e d= ' 故 L f e d + ' f ' e d + + f e f e d n n n f e d + + f e f e d f e + + n f e n 因為 f 為連續函數, 所以 f e d f e + f + F f ' F f f e d f e d 8

29 (Thm 3.6) 設函數, 而 f, L f, ( n) f 於 ( f ',, n ) f ( f ',, n ) f 於均為連續為分段連續函數, 且當 T時, (, n ) n n n n f 皆為指數階層函數則 : f F f f f n ' [Proof]:( 為了方便我們取 n 時作一說明 ). 令 g f ' 則 L f '' L g' 由導函數之 Laplace 轉換可得 L f '' L ' g. 又 L g L 代入上式可得 : L g L g f ' F f f '' ( F f ) g ' F f f 同理, n 3時, 可仿照上述的導證方式求證 9

30 Ex57:Pleae olve he iniial value problem d y dy 7 6y 6in, d d dy y(), d [ 解 ]: 3

31 3.7 Differenial Equaion wih Polynomial Coefficien (Thm 3.3) Laplace 轉換之微分 : 設 L L f F, 且 f F d d F 為可微分, 則 [Proof]: 由定義知 : d d (Cor 3.) 設 L L F f e d d d F f e d f e d L f L f F, 且 f d d n n f F 由 L n n F 至少可微分 n 次, 則 f F, f L d F f L d d d F d d 3

32 Ex58: (I) Lin a? (II) L a ln? a [ 解 ]: 3

33 Ex59: 試解 O.D.E. y'' y' y, y(), y'() 3 [ 解 ]: 33

34 Exercie T :. y'' y' y ( 3), y(), y'() { y e 3 in 3 u 3 } 3 3. L ln( ) { e e } 3. y'' 4 y' 3y, y() 3, y'() { 3 5 } y e e 4. y'' y' 5y 8in 4co, y(), y'() 3 { y in e co} 5. y'' y' y 4, y(), y'() 4 { y 3e e } 34

35 3.6 Laplace Tranform Soluion of Syem Ex6: x'' x' 3 y' y 4, y' x' 3y [ 解 ]: x x' y X Y X Y x 3 e e 6 3 y e e

36 Ex6: Find he curren in each loop [ 解 ]: i q q 4 6i q q q dq d 4 q q dq d 6 q q q 6 3 q e e q e e 6 3 i e e 6 6 i e e 36

37 Exercie U:. 求下圖所示電路中電流 I, R.5ohm, C.4farad, L henry, V in, I I 5 5 { I e e 5 5 co in } x' y, x' y' y ; x y 3 3 } 3 3 { x e, y e 3. x' y' y, x' y ; x y } { x e, y e 37

4. Solve for he curren in he circui of following figure auming ha he curren and charge are iniially zero and ha E H4H 5 { 4 5 i e H e H 5 5 4 5 4 5 i e

38 4. Solve for he curren in he circui of following figure auming ha he curren and charge are iniially zero and ha E H4H 5 { 4 5 i e H e H i e H 4 e H 5 } 5 5. Solve for he curren in he circui of following figure if 5H 5 E and he iniial curren are zero, 9 i e e H { } i e e H, 38

39 f F L f n n,,3, n! n a e a e n a e in a co a ina a a n! n a a a a a a coa a a e inb a b a b 39

40 a e cob a a b in a an a a e a af f F bg af bg a e f F a a f ah a e F f a F a a f f () d F Fudu ( ) f ' F f n n n f f F f f n f F' n n n F 4

1 2 / 3 1 A (2-1) (2-2) A4 6 A4 7 A4 8 A4 9 A ( () 4 A4, A4 7 ) 1 (2-1) (2-2) ()

1 2 / 3 1 A (2-1) (2-2) A4 6 A4 7 A4 8 A4 9 A ( () 4 A4, A4 7 ) 1 (2-1) (2-2) () (39mm E-Mail ( )( ), : : 1 1 ( ) 2 2 ( ) 29mm) WSK ( 1 2 / 3 1 A4 2 1 3 (2-1) 2-1 4 (2-2) 2-2 5 A4 6 A4 7 A4 8 A4 9 A4 10 11 ( () 4 A4, 5 6 7 8 A4 7 ) 1 (2-1) (2-2) () 1 2 (2-1) 3 (2-2) 4 5 6 7 (8 ) 9