課程內容摘要 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 2
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- 弄鬼 周
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1 指數函數之微分及其 相關之積分 MCU 應用統計資訊系 14 講 1
2 課程內容摘要 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 2
3 課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 3
4 指數觀念複習 (1) 指數函數是超越函數的一種, 如前 所述, 超越函數 (Transcendental( Functions) 就是指數函數 對數函 數 三角函數及反三角函數的統稱 MCU 應用統計資訊系 14 講 4
5 指數觀念複習 (2) 對數符號 = log b a 是與 b = a 同義, 其中 b > 0,b 1, 0 且 為任意實數 MCU 應用統計資訊系 14 講 5
6 指數觀念複習 (3) = log b a b = a 注意到對數等於,, 且 為 指數 故對數就是指數, 亦 即 為 b 要乘方得 a 的指數 MCU 應用統計資訊系 14 講 6
7 指數觀念複習 (4) = log b a b = a 正底 b 的 乘方得 a, 故在 b =a 中 永遠為正 換句話說, 在 =log b a 中 a 必為正, 於是 log b a 只在 a > 0 時 有定義 MCU 應用統計資訊系 14 講 7
8 指數觀念複習 (5) 以下為某些寫成對數型式之方程式, 其右為相等的指數型式 log 3 9 = = 9 log 2 8 = = 8 log 4 1 = = 1 log = =. 01 log e 20 3 e 3 20 log e e = 1 1 e = e log e 1 = 0 0 = MCU 應用統計資訊系 14 講 8 e 1
9 指數觀念複習 (6) 同時, 由定義 a m = 1 / a m 因此, 很容易可看出 ( m n ) a m a n = a + a m / a n = a ( m n ) MCU 應用統計資訊系 14 講 9
10 指數觀念複習 (7) a 0 = a m / a m = 1 m 可為任意整數 ( m n a ) = a ( mn ) ( m ab ) = a m b m MCU 應用統計資訊系 14 講 10
11 指數觀念複習 (8) 您對指數是否已瞭解了呢? 若瞭解試作下列各題 : a 5 = [ 5 a 5 log a a log 5 以上皆非 ] a b + c = b c b + c b + ( ) log ] [ a * a a a ca b c a a f g f / [( ) log / g ( f g ) a = f g a a a 以上皆非 ] a 0 = [ 0 1 a 以上皆非 ] MCU 應用統計資訊系 14 講 11
![= b c b + c b + ( ) log ] [ a * a a a ca b c a a f g f](/docs-images/48/23819586/images/page_11.jpg "/ [( ) log / g ( f g ) a = f g a a a 以上皆非 ] a 0 = [ 0")
12 指數觀念複習 (9) 解答 a 5 = [ 以上皆非 ] b + c a = [ a b * a c ] a f g ( f g ) / a = [ a ] a 0 = [ 1 ] MCU 應用統計資訊系 14 講 12
![f g ( f g ) / a = [ a ] a 0](/docs-images/48/23819586/images/page_12.jpg "= [ 1 ] MCU 應用統計資訊系 14 講 12")
13 課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 13
14 指數函數定義 (1) 設 a > 0 且 為任一實數, 則 a = e lna MCU 應用統計資訊系 14 講 14
15 指數函數定義 (2) 定理 A 指數的性質 若 a > 0,b b > 0, 且 及 y 皆為實數, ( ) y + y i a a a a a = ( ) y ii a y = ( )( ) y ( )( ) iv ab = a b ( ) y a v = b iii a = a a b y MCU 應用統計資訊系 14 講 15
16 指數函數定義 (3) a a y ( ii ) = a y 證明 a a y = e ln a a y = e ln a ln a y = e ln a y ln a = e ( y ) ln a = a y MCU 應用統計資訊系 14 講 16
17 指數函數定義 (4) ( )( ) y y iii a = a 證明 ( a ) y = e y ln a = a y = a y MCU 應用統計資訊系 14 講 17
18 指數函數定義 (5) 以上證明 (ii) 及 (iii), 其餘可以同理證 得 MCU 應用統計資訊系 14 講 18
19 課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 19
20 指數函數公式 (1) 定理 B 指數函數公式 D a = a ln a a d = ln 1 a a + C, a 1 MCU 應用統計資訊系 14 講 20
21 指數函數公式 (2) D a = a ln a 證明 D a = D ( e ln a ) = e ln a D ( ln a ) = a ln a MCU 應用統計資訊系 14 講 21
22 指數函數公式 (3) 積分公式顯然由微分公式可導出 MCU 應用統計資訊系 14 講 22
23 指數函數公式 (4) 例 1. 求 解答 D 3 ( ) [ 令 u =, 利用連鎖法則 ] D ( ) 3 = 3 ln D 3 = 3 2 ln 3 MCU 應用統計資訊系 14 講 23
24 指數函數公式 (5) 例 dy + 2. 求, 若 y = d 解答 ( 4 ) dy + d = 5 ( ) * * ln 5 * 4 [ ( ) ] ln = 4 [( ) ] ln 5 = MCU 應用統計資訊系 14 講 24
25 指數函數公式 (6) 例 3. 求 d 解答 [ 令 u = 3, du = 3 2 d, 則 ] 1 3 ( ) 3 2 d = d u = 2 u du = 3 3 ln 2 + C = 3 2 ln C MCU 應用統計資訊系 14 講 25
26 指數函數公式 (7) 為什麼還有其他底數? 除 e 外真需要其他底數嗎? 否 公式 a ln a = e 及 log = a ln ln a 使我們討論任何以 a 為底之指數函數或對數函數問題, 類似以 e 為底 這就是所謂 自然指數函數及自然對數函數 此一說明許多近發現函數在高等研究上廣泛應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 26
27 指數函數公式 (8) 函數 a, a 及 首先比較右圖三條曲線 : MCU 應用統計資訊系 14 講 27
28 指數函數公式 (9) 函數 a, a 及 一般而言, 設 a 為一常數且 為一變數, 不要搞混 f () = a, 此為指數函數與 g () = a, 此為羃函數, 且不可混淆它們的導函數, 已知 : D ( ) a = a ln a D 法則 ( a ) 是什麼? 若 r 為有理數, 可證明為乘羃 D ( a ) a 1 = a MCU 應用統計資訊系 14 講 28
29 指數函數公式 (10) 函數 a, a 及 在此證明當 a 為無理數, 此亦可成立 欲知此事實, 可寫成 : D ( a ) ( a ln ) a ln a a 1 = D e = e = = a 若 a 為無理數, 則下式亦成立 : a a a d = a a C, a 1 MCU 應用統計資訊系 14 講 29
30 指數函數公式 (11) 函數 a, a 及 最後考慮 f () =, 一變數的變數乘羃 D ( ) 有公式, 但有學者建議不要記它, 可用下 列兩種方法來求 例 1. 若 y =, > 0, 用兩種不同方法, 求 D y. 方法 1: 寫成 y = = e ln MCU 應用統計資訊系 14 講 30
31 指數函數公式 (12) 函數 a, a 及 由連鎖法則 D y = e ln 1 D ln = + ln = 1 + ln ( ) ( ) MCU 應用統計資訊系 14 講 31
32 指數函數公式 (13) 函數 a, a 及 方法 2: 對數微分法 y = ln y = ln 1 y D y = 1 + ln D y = y ( ) 1 + ln = ( 1 + ln ) MCU 應用統計資訊系 14 講 32
33 指數函數公式 (14) 函數 a, a 及 ( 2 ) π π, 求. sin 例 2. 若 y = dy d 解答 dy = π cos d ( 2 ) π ( 2 ) + π sin ln MCU 應用統計資訊系 14 講 33
34 指數函數公式 (15) 函數 a, a 及 例 3. 若 y = + dy d ( 2 ) sin 1, 求. 解答 ln y = sin ln ( ) 1 dy 2 y d = ( sin ) + ( cos ) ln ( + 1 ) dy d 2 sin = ( 2 ) sin ( ) ( ) + cos ln + 2 MCU 應用統計資訊系 14 講 34
35 指數函數公式 (16) 由 a 至 [f()] g() 注意所考慮函數的遞增性, 類型如 a 至 a 至, 是一種連鎖連鎖 另一種較複雜連鎖是 a f() 至 [f()] a 至 [f()] g() 現在知道如何求出這些函數 的導函數, 可用對數微分對數微分完成 MCU 應用統計資訊系 14 講 35
36 指數函數公式 (16) 函數 a, a 及 例 計算 d 解答 [ 令 u = 1 /, du = ( 1( 1 / 2, 則 ] d = d dy d = u 5 d MCU 應用統計資訊系 14 講 36
37 指數函數公式 (17) 解答 函數 a, a 及 = 5 ln u 5 + C = 1 5 ln 5 + C d 2 = = ln 5 ln ln 5 ( 5 5 ) = MCU 應用統計資訊系 14 講 37
38 課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 38
39 自然指數函數 (1) 自然對數函數圖形 2 f () = ln 3 MCU 應用統計資訊系 14 講 39
40 自然指數函數 (2) 上面為自然對數函數 f () = ln 的圖形, 自然對數函數在定義域 D = (0, ) 上可微分 ( 當然連續 ) 且遞增, 其值域為 R = ( (, ), 它具有一反函數 ln 1, 含有定義域 (, ) 且值域為 (0, ), 這種函數特別重要, 我們必須給予特 別的名稱與符號 MCU 應用統計資訊系 14 講 40
41 自然指數函數 (2) 定義 ln 的反函數稱為自然指數函數且記作 ep, 則 = ep y y = ln MCU 應用統計資訊系 14 講 41
42 自然指數函數 (3) 從上面的定義, 可以得知下列結果 : (i) ep (ln( ) =, > 0 ; (ii) ln (ep y) = y, y MCU 應用統計資訊系 14 講 42
43 自然指數函數 (4) 因為 ep 及 ln 互為反函數, y = ep 的圖形, 就是 y = ln 的圖形對直線 y = 的鏡射之 圖形 ( 見下圖 ) MCU 應用統計資訊系 14 講 43
44 課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 44
45 指數函數性質 (1) Why 取名為指數函數呢? MCU 應用統計資訊系 14 講 45
46 指數函數性質 (2) 首先我們介紹一個新數, 如同一樣, 在數學上相當重要的一數, 特別給予一個記號 e, 用字母 e 是很合適的, 因為 Leonhard Euler 最早承認這個數有意義 π MCU 應用統計資訊系 14 講 46
47 指數函數性質 (3) 定義 字母 e 表示一個唯一正實數使得 ln e = 1 MCU 應用統計資訊系 14 講 47
48 指數函數性質 (4) y = 1 / 2 面積 = 1 1 R 1 2 e 3 MCU 應用統計資訊系 14 講 48
49 指數函數性質 (5) 上圖可以解釋指數函數的定義, 在 y = 1 / 之下方介於 = 1 及 = e 之間的面積為 1 因為 ln e = 1, 所以 ep 1 = e 數 e, 如同 π 一樣都為無理數, 小數點後有無限多個位數, 前面幾位數為 : e MCU 應用統計資訊系 14 講 49
50 指數函數性質 (6) 現在我們進一步由下列前述事實觀察 : e r = r ep(ln e ) = ep( r ln e ) = ep r 上面結果顯示, 對有理數 r 而言,ep, r 相當於 e r, 它如其自然對數的逆一樣都很抽象, 雖然由積分式定義出, 但已轉變成一個簡單的乘羃 MCU 應用統計資訊系 14 講 50
51 指數函數性質 (7) 若 r 為一無理數則如何? MCU 應用統計資訊系 14 講 51
52 指數函數性質 (8) 上面的問題使得其性質成為代數中一個問題, 沒有一個嚴謹的方法可以定義無理指數, e 究竟是什麼意義? 可能在尋找正確答案時會偏向代數方面, 但在此只要承認它是有意義的, 若想討論諸如 D e 的結果, 根據以上談論所知, 我們只要定義 e 為 ( ) 5 e = ep MCU 應用統計資訊系 14 講 52
53 指數函數性質 (9) 注意在前面所提到的自然指數函數定義所提到的 (i) ep (ln( ) =, > 0 及 (ii) ln (ep y) = y, y, 現在可表為 : ( i ) e ln =, ( ii ) ln ( e y ) = y, y > 0 MCU 應用統計資訊系 14 講 53
54 指數函數性質 (10) e 的定義 不同作者對於字母 e 有不同的方法加以定義 1. e = ln e e = = lim 1 h 0 lim h ( + h ) ! 1 h + 1 2! n! MCU 應用統計資訊系 14 講 54
55 指數函數性質 (11) 上述定義 2 及 3 已變成定理 MCU 應用統計資訊系 14 講 55
56 指數函數性質 (12) 定理 A 令 a 及 b 為任意實數, 則 為任意實數, 則 a b a b, 且 a b a b e / e = e e e = e + MCU 應用統計資訊系 14 講 56
57 指數函數性質 (13) 證明 e a e b = e a + b 寫成 e a e b = ep ( ln e a e b ) ( ln e a ln e b ) = ep + (i) 對數定理 = ep ( a + b ) (ii) ii)' = e a + b 由於 ep =e MCU 應用統計資訊系 14 講 57
58 指數函數性質 (14) 同理可證出 e a / e b = e a b MCU 應用統計資訊系 14 講 58
59 指數函數性質 (15) 故事 : A Phoeni MCU 應用統計資訊系 14 講 59
60 指數函數性質 (16) A Phoeni The number e appears throughout mathematics, but its importance rests most securely on its use as the base for the natural eponential function. And what makes this function so significant? Who has not been amazed to learn that the function y = e, like a phoeni rising again from its own ashes, is its own derivative? Francois Le Lionnais MCU 應用統計資訊系 14 講 60
61 課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 61
62 e 的導函數 (1) 因 ep 及 ln 互為反函數, 由定理 ep = e 為可微分 欲求 D 的公式, 可以用此定理, 令 y = e e, 所以 = ln y 兩邊對 微分, 得出 1 1 = D y 連鎖法則 y MCU 應用統計資訊系 14 講 62
63 e 的導函數 (2) 因此 D y = y = e 我們已證出 e 有名的事實,e, 為它自己的導函數, 即 D e = e MCU 應用統計資訊系 14 講 63
64 e 的導函數 (3) 於是 y = e 為微分方程式 y = y 的一個解 若 u = f () 為可微分, 則由連鎖法則知 D e u = e u D u MCU 應用統計資訊系 14 講 64
65 e 的導函數 (4) 例 1. 求 D e 解答 [ 利用 u =, 得 ] D e = e D e = 2 e = 2 e MCU 應用統計資訊系 14 講 65
66 e 的導函數 (5) 例 2. 求 D e 2 ln 2 ln 2 ln 解答 D e e D ( 2 = ln ) 1 = e 2 ln ln = e 2 ln + ( 1 ln 2 ) MCU 應用統計資訊系 14 講 66
67 e 的導函數 (6) 2 例 3. 設 f ( ) = e, 求 f 在何處遞增, 遞減, 且在何處向上凹, 向下凹, 指出所有極值及反區點, 然後畫出 f 的圖形 解答 f e ( ) = + e 2 = e 2 2 MCU 應用統計資訊系 14 講 67
68 MCU 應用統計資訊系 14 講 68 ( ) + = + + = e e e f e 的導函數的導函數 (7) (7) 且
69 e 的導函數 (8) 因為 e 2 > 0,, 當 < 2, f () < 0; 0 f ( 2) = 0 ; 且當 > 2, f () > 0, 因此 f 在 (, 2] 遞減, 在 [ 22, ) 上遞增, 在 = 2 有極小值 f ( 2)( = 2 2 / e 約等於 0.7 同時, 當 < 4, f () < 0; 0 f ( 4) = 0 ; 且當 > 4, f () > 0, 所以 f 的圖形在 (, 4) 向下凹, 在 ( 44, ) 向上凹且在點 ( 4, 4e 2 ) ~ ( 44, 0.5) 有一反區點 MCU 應用統計資訊系 14 講 69
70 e 的導函數 (9) lim 2 因 e = 0, 故直線 y = 0 為一條 水平漸進線 以上有關例 3 的探討, 歸納如下圖 : MCU 應用統計資訊系 14 講 70
71 e 的導函數 (8) 因為 e 2 > 0,, 當 < 2, f () < 0; 0 f ( 2) = 0 ; 且當 > 2, f () > 0, 因此 f 在 (, 2] 遞減, 在 [ 22, ) 上遞增, 在 = 2 有極小值 f ( 2)( = 2 2 / e 約等於 0.7 同時, 當 < 4, f () < 0; 0 f ( 4) = 0 ; 且當 > 4, f () > 0, 所以 f 的圖形在 (, 4) 向下凹, 在 ( 44, ) 向上凹且在點 ( 4, 4e 2 ) ~ ( 44, 0.5) 有一反區點 MCU 應用統計資訊系 14 講 71
72 課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 72
73 e 的積分 (1) 由導函數公式 D e = 顯然得出積分公式 e e d = e + C 或以 u 代替 e u u du = e + C MCU 應用統計資訊系 14 講 73
74 e 的積分 (2) 例 1. 計算 解答 e d 4 [ 令 u = 4, du = 4 d, 則 ] e = d e 4 4 u 1 u e du = e + C 4 ( d ) 1 4 = e + 4 C MCU 應用統計資訊系 14 講 74
75 e 的積分 (3) 例 2. 計算 2 e 3 d 解答 [ 令 u = 3, du = 3 2 d, 則 ] = 3 e d e 3 3 ( d ) 2 u 1 u e du = e = e C C MCU 應用統計資訊系 14 講 75
76 e 的積分 (4) 例 3. 計算 1 3 e 3 2 d 解答 [ 令 u = 3 2, du = 6 d, 則 ] e 1 2 = 3 d e u 1 u = e du = e + C = e + C 6 ( d ) MCU 應用統計資訊系 14 講 76
77 e 的積分 (5) 因此, 由微積分學基本定理, e = 3 d e 3 1 = e e 6 ( 27 3 e e ) = 最後一次計算可利用計算器獲得 MCU 應用統計資訊系 14 講 77
78 課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 78
79 指數函數應用 (1) 在現實的生活中有許多自然界的現象和社會的活動, 如放射性元素的衰變 人口的增加 複利息的計算等等, 都可以用指數函數來描述並得到解決 MCU 應用統計資訊系 14 講 79
80 指數函數應用 (2) 複利法 指數函數的應用範圍甚廣, 我們先討論在商學上的應用, 如連續複利, 最佳持有時機等 再介紹其他模式之應用 在銀行開立帳戶, 存入一筆款項, 此金額稱為本金或現值, 經過一段時間後, 銀行所給付之報酬款稱為利息利息 本金加利息稱為 本金加利息稱為本利和或本利和或終值, 而利息與本金的比例稱為利率利率, 一般而言, 利率指的是年利率, 即一年的利息與本金之比例 MCU 應用統計資訊系 14 講 80
81 指數函數應用 (3) 複利法 設 P = 現值或本金 A = 終值或本利和 I = 利息 r = 年利率 m = 一年之複利次數 t = t 年 ( 不一定是整數 ) 按照計算方式的不同, 可分為單利法 複利法及連續複利 單利法的利息等於本金 利率與期數之積 MCU 應用統計資訊系 14 講 81
82 指數函數應用 (4) 複利法 單利法 本金 P, 年利率 r,t 年後的利息與本金為 I = Prt A = P + I = P (1 + rt) MCU 應用統計資訊系 14 講 82
83 指數函數應用 (5) 複利法 若一年終複利 m 次, 每個計算期的利息為 r/m, 第一個計算期末, 利息 I 1 = 本金 * 利率 * 期數 = P*(r/m)*1, 則第一個計算期末的本利和 A 1 = P + I 1 = P (1 + r/m) 複利法是以前期的本利和作為下一個計算期的本金, 所以第二個計算期期末的利息 I 2 = 本金 * 利率 * 期數 = A 1 *(r/m)*1, 所以第二個計算期期末的本利和 A 2 = A 1 + I 2 = P (1 + r/m) 2 依此類推, 一年後的本利和為 P (1 + r/m) m MCU 應用統計資訊系 14 講 83
84 指數函數應用 (6) 複利法 複利法 本金 P 元, 年利率 r, 一年複利 m 次, t 年後的本利和及利息為 A = P [1 +(r/m ) mt ] I = A P MCU 應用統計資訊系 14 講 84
85 指數函數應用 (7) 複利法 實利率 ( 複利法 ) 年利率 ( 虛利率 ) 為 r 時, 若一年複利 m 次, 則實利率為 α = 1 +(r/m ) m 1 MCU 應用統計資訊系 14 講 85
86 指數函數應用 (8) 複利法 實利率 ( 複利法 ) 本金 P 元, 年利率為 r, 以連續複利方式計算 t 年後的本利和及利息為 A = Pe rt I = A P MCU 應用統計資訊系 14 講 86
87 指數函數應用 (9) 複利法 實利率 ( 連續複利 ) 年利率 ( 虛利率 ) 為 r 時, 若以連續複利計算時, 則實利率為 β = e r 1 MCU 應用統計資訊系 14 講 87
88 指數函數應用 (10) 複利法 現值 複利法的現值 連續複利的現值 P = Ae P = A(1 + r/m) mt Ae rt MCU 應用統計資訊系 14 講 88
89 指數函數應用 (11) 指數模式在自然界有很多的應用, 諸如 : 指數成長模式 指數衰退模式 傳播媒體訊息的擴散 後勤曲線模式 MCU 應用統計資訊系 14 講 89
90 指數函數應用 (12) 指數模式在自然界有很多的應用, 諸如 : 指數成長模式 指數衰退模式 傳播媒體訊息的擴散 後勤曲線模式 MCU 應用統計資訊系 14 講 90
91 指數函數應用 (13) 指數成長模式 MCU 應用統計資訊系 14 講 91
92 指數函數應用 (14) 指數模式在自然界有很多的應用, 諸如 : 指數成長模式 指數衰退模式 傳播媒體訊息的擴散 後勤曲線模式 MCU 應用統計資訊系 14 講 92
93 指數函數應用 (15) 指數衰退模式 MCU 應用統計資訊系 14 講 93
94 指數函數應用 (16) 指數模式在自然界有很多的應用, 諸如 : 指數成長模式 指數衰退模式 傳播媒體訊息的擴散 後勤曲線模式 MCU 應用統計資訊系 14 講 94
95 指數函數應用 (17) 學習曲線模式 MCU 應用統計資訊系 14 講 95
96 指數函數應用 (18) 指數模式在自然界有很多的應用, 諸如 : 指數成長模式 指數衰退模式 傳播媒體訊息的擴散 後勤曲線模式 MCU 應用統計資訊系 14 講 96
97 指數函數應用 (19) 後勤曲線模式 MCU 應用統計資訊系 14 講 97
98 課程回顧 MCU 應用統計資訊系 14 講 98
99 指數函數之微分及其 相關之積分 MCU 應用統計資訊系 14 講 99
100 課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 100
101 課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 101
102 課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 102
103 課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 103
104 課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 104
105 課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 105
106 課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 106
107 課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 107
108 課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 108
109 觀念複習 (1) 問題 1 3 以 e 及 ln 表示, π = ( ) 一般而言 a = ( ) MCU 應用統計資訊系 14 講 109
110 觀念複習 (2) 解答 以 e 及 ln 表示, 3 ( 3 ln π = e ) 一般而言 a a = ( e ln ) MCU 應用統計資訊系 14 講 110
111 觀念複習 (3) 問題 2 ln = log a, 其中 a = ( ) MCU 應用統計資訊系 14 講 111
112 觀念複習 (4) 解答 ln = log a, 其中 a = (1n( / ln a) MCU 應用統計資訊系 14 講 112
113 觀念複習 (5) 問題 3 log a 可用 ln 表示為 log a = ( ) MCU 應用統計資訊系 14 講 113
114 觀念複習 (6) 解答 log a 可用 ln 表示為 log a = (ln( / ln a) MCU 應用統計資訊系 14 講 114
115 觀念複習 (7) 問題 4 羃函數 f () = a 之導函數為 f '() = ( 指數函數 g () 之導函數為 g '() = ( ) ); MCU 應用統計資訊系 14 講 115
116 觀念複習 (8) 解答 羃函數 f () = a 之導函數為 f '() = ( a a 1 ); 指數函數 g () 之導函數為 g '() = (a ln a ) MCU 應用統計資訊系 14 講 116
117 觀念複習 (9) 問題 5 函數 ln 在 (0, ) 上嚴格 ( ), 且因而由 反函數記為 ln 1 或為 ( ) MCU 應用統計資訊系 14 講 117
118 觀念複習 (10) 解答 函數 ln 在 (0, ) 上嚴格 ( 遞增 ), 且因而由 反函數記為 ln 1 或為 ( ep ) MCU 應用統計資訊系 14 講 118
119 觀念複習 (11) 問題 6 e 以 ln 定義為 ( ) ; 其值有效小數第二位為 ( ) MCU 應用統計資訊系 14 講 119
120 觀念複習 (12) 解答 e 以 ln 定義為 ( ln e = 1) ; 其值有效小數第二位 為 (2.72) MCU 應用統計資訊系 14 講 120
121 觀念複習 (13) 問題 7 由於 e = ep =ln 1, 得知 e ln = ( ) 且 ln(e ) = ( ) MCU 應用統計資訊系 14 講 121
122 觀念複習 (14) 解答 由於 e = ep =ln 1, 得知 e ln = ( ) 且 ln(e ) = ( ) MCU 應用統計資訊系 14 講 122
123 觀念複習 (15) 問題 8 有關 e, 兩有名事實是 D (e )= ( ) 及 e d = ( ) MCU 應用統計資訊系 14 講 123
124 觀念複習 (16) 解答 有關 e, 兩有名事實是 D (e )= (e ) 及 e d = (e + C ) MCU 應用統計資訊系 14 講 124
Microsoft PowerPoint - B9-2.pptx
單元名稱 : 9 三角函數的積分 教學目標 : 使學生了解三角函數的積分 三角函數積分的類型及一些積分技巧 學習時數 : 約一小時 教學內容 :. [ 第一類型 ] 六個三角函數本身的積分. [ 第二類型 ] sin n 及 os n 的積分 sin os m n. [ 第三類型 ] 的積分 4. [ 第四類型 ] n 及 ot n 的積分 5. [ 第五類型 ] n 及 s n 的積分 m 6.
標題
5 反三角函數的基本概念 ( 甲 ) 反函數的概念 (1) 反函數的定義 : 函數 f() g(), 設, 分別是 f() g() 定義域內任意元素, 如果 g(f())= 且 f(g())= 則稱 f() 與 g() 互為反函數,f() 的反函數記為 f 1 (), 即 g()=f 1 () 此時 f() g() 的定義域與值域互換, 即 f() 的定義域為 f 1 () 的值域,f() 的值域為
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物理資優營微積分教材 1 y = f ( ) (, f ( ) ) 點的切線斜率 : =lim f ( + ) f () 若 f () = n,n 為自然數 =lim ( + ) n n 微分的基本性質 : (i) 線性 : 若 a, b 是常數 (ii) 萊布尼茲律 : n n 1 + O ( ) = n n 1 {af ()+bg ()} = a + bg {f () g ()} = g + f
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練習 9A ( 9. 特殊角的三角比 T ( 在本練習中, 不得使用計算機 如有需要, 答案以根式或分數表示. 試完成下表 三角比 θ 0 4 60 sin θ cos θ tan θ 求下列各數式的值 (. cos 60. sin 4 4. tan 4. cos0 4 tan 0 7. sin 4 cos 4 8. cos 60 tan 4 9. tan 60sin 0 0. sin 60 cos
Microsoft Word - 1-1泰宇解答
學校 : 學年度第學期第次段考科目名稱命題教師 : 年 班座號 : 姓名 : 得分 : 一 單選題 : ( ). 設 (x x6) (D) x Ax Bx Cx6, 則 A B C (A)6 (B) (C) 解答 :D ( ). 求 (x x x)( x x ) 的展開式中, x 項的係數為何? (A) (B) (C)6 解答 :A (D)7 9 統測 ( ). 下列何者為多項式? (A) x (B)
經濟系微積分 (95 學年度 ) 單元 28: 對數函數的導函數 單元 28: 對數函數的導函數 ( 課本 x4.5) 一. 自然對數函數的導函數 因為 e x 與 ln x 互為反函數, 故對於 x > 0, 將兩邊對 x 微分, 得 d e ln x = x dx [eln x ] = d [x
![經濟系微積分 (95 學年度 ) 單元 28: 對數函數的導函數 單元 28: 對數函數的導函數 ( 課本 x4.5) 一. 自然對數函數的導函數 因為 e x 與 ln x 互為反函數, 故對於 x > 0, 將兩邊對 x 微分, 得 d e ln x = x dx [eln x ] = d [x](/thumbs/95/126244036.jpg "經濟系微積分 (95 學年度 ) 單元 28: 對數函數的導函數 單元 28: 對數函數的導函數 ( 課本 x4.5) 一. 自然對數函數的導函數 因為 e x 與 ln x 互為反函數, 故對於 x > 0, 將兩邊對 x 微分, 得 d e ln x = x dx [eln x ] = d [x")
單元 28: 對數函數的導函數 ( 課本 x4.5) 一. 自然對數函數的導函數 因為 e x 與 ln x 互為反函數, 故對於 x > 0, 將兩邊對 x 微分, 得 e ln x = x x [eln x ] = [x] () x 接著, 根據自然指數函數的導函數公式 由 () 式, 得 x [eu ] = e u u x 亦相當於 e ln x x [ln x] = x [ln x] = x
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( ) * 22 2 29 2......................................... 2.2........................................ 3 3..................................... 3.2.............................. 3 2 4 2........................................
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arctan lim ln +. 6 ( + ). arctan arctan + ln 6 lim lim lim y y ( ln ) lim 6 6 ( + ) y + y dy. d y yd + dy ln d + dy y ln d d dy, dy ln d, y + y y dy dy ln y+ + d d y y ln ( + ) + dy d dy ln d dy + d 7.
例15
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項 訴 求 在 考 慮 到 整 體 的 財 政 承 擔 以 及 資 源 分 配 的 公 平 性 下, 政 府 採 取 了 較 簡 單 直 接 的 一 次 性 減 稅 和 增 加 免 稅 額 方 式, 以 回 應 中 產 家 庭 的 不 同 訴 求 ( 三 ) 取 消 外 傭 徵 費 6. 行 政 長
2013 年 1 月 23 日 的 立 法 會 會 議 葛 珮 帆 議 員 就 幫 助 中 產 動 議 的 議 案 ( 經 單 仲 偕 議 員 及 莫 乃 光 議 員 修 正 ) 進 度 報 告 在 2013 年 1 月 23 日 的 立 法 會 會 議 上, 由 葛 珮 帆 議 員 就 幫 助 中 產 動 議 的 議 案, 經 單 仲 偕 議 員 及 莫 乃 光 議 員 修 正 後 獲 得 通 過
(f) (g) (h) (ii) (iii) (a) (b) (c) (d) 208
(a) (b) (c) (d) (e) 207 (f) (g) (h) (ii) (iii) (a) (b) (c) (d) 208 17.29 17.29 13.16A(1) 13.18 (a) (b) 13.16A (b) 12 (a) 209 13.19 (a) 13.16A 12 13.18(1) 13.18(4) 155 17.43(1) (4) (b) 13.19 17.43 17.29
南華大學數位論文
南 華 大 學 哲 學 與 生 命 教 育 學 系 碩 士 論 文 呂 氏 春 秋 音 樂 思 想 研 究 研 究 生 : 何 貞 宜 指 導 教 授 : 陳 章 錫 博 士 中 華 民 國 一 百 零 一 年 六 月 六 日 誌 謝 論 文 得 以 完 成, 最 重 要 的, 是 要 感 謝 我 的 指 導 教 授 陳 章 錫 博 士, 老 師 總 是 不 辭 辛 勞 仔 細 閱 讀 我 的 拙
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光 明 英 來 學 校 ( 中 國 文 學 之 旅 --- 散 文 小 說 教 學 ) 一 年 級 : 成 語 ( 主 題 : 勤 學 ) 節 數 : 六 教 節 ( 每 課 題 一 教 節 ) 課 題 : 守 株 待 兔 半 途 而 廢 愚 公 移 山 鐵 杵 磨 針 孟 母 三 遷 教 學 目 的 : 1. 透 過 活 動, 學 生 能 說 出 成 語 背 後 的 含 意 2. 學 生 能 指
第３２回独立行政法人評価委員会日本貿易保険部会 資料1-1 平成22年度財務諸表等
1 12,403 2,892 264,553 19,517 238,008 10,132 989 36 9,869 2,218 250 122 ( 126 108 1,563 278 159 260 478 35,563 1,073 74 190,283 104,352 140,658 20,349 16,733 21,607 (21,607) 58,689 303,699 339,262 339,262
Microsoft Word - 08 单元一儿童文学理论
单 元 ( 一 ) 儿 童 文 学 理 论 内 容 提 要 : 本 单 元 共 分 成 三 个 小 课 目, 即 儿 童 文 学 的 基 本 理 论 儿 童 文 学 创 作 和 儿 童 文 学 的 鉴 赏 与 阅 读 指 导 儿 童 文 学 的 基 本 理 论 内 容 包 括 儿 童 文 学 的 基 本 含 义 儿 童 文 学 读 者 儿 童 文 学 与 儿 童 年 龄 特 征 和 儿 童 文 学
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1993 79 2010 9 80 180,000 (a) (b) 81 20031,230 2009 10,610 43 2003 2009 1,200 1,000 924 1,061 800 717 600 530 440 400 333 200 123 0 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 500 2003 15,238 2009 31,4532003 2009
第三章
第 三 章 :2017 年 行 政 長 官 產 生 辦 法 - 可 考 慮 的 議 題 行 政 長 官 的 憲 制 及 法 律 地 位 3.01 基 本 法 第 四 十 三 條 規 定 : 香 港 特 別 行 政 區 行 政 長 官 是 香 港 特 別 行 政 區 的 首 長, 代 表 香 港 特 別 行 政 區 香 港 特 別 行 政 區 行 政 長 官 依 照 本 法 的 規 定 對 中 央 人
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ( ( 1 2 16 1608 100004 1 ( 2003 2002 6 30 12 31 7 2,768,544 3,140,926 8 29,054,561 40,313,774 9 11,815,996 10,566,353 11 10,007,641 9,052,657 12 4,344,697
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3 4 5 7 8 9..10..15..16..19..52 -3,402,247-699,783-1,611,620 1,790,627 : - - -7,493 - -1,687 2,863 1,176 2,863 - -148,617 - - 12,131 51,325 - -12,131-2,165 14-2,157 8-3,393,968-794,198-1,620,094 1,781,367
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建 築 物 無 障 礙 設 施 設 計 規 範 內 政 部 97 年 4 年 10 日 台 內 營 字 第 0970802190 號 令 訂 定, 自 97 年 7 月 1 日 生 效 內 政 部 97 年 12 年 19 日 台 內 營 字 第 0970809360 號 令 修 正 內 政 部 101 年 11 年 16 日 台 內 營 字 第 1010810415 號 令 修 正 目 錄 第 一
概 述 随 着 中 国 高 等 教 育 数 量 扩 张 目 标 的 逐 步 实 现, 提 高 教 育 质 量 的 重 要 性 日 益 凸 显 发 布 高 校 毕 业 生 就 业 质 量 年 度 报 告, 是 高 等 学 校 建 立 健 全 就 业 状 况 反 馈 机 制 引 导 高 校 优 化 招
I 概 述 随 着 中 国 高 等 教 育 数 量 扩 张 目 标 的 逐 步 实 现, 提 高 教 育 质 量 的 重 要 性 日 益 凸 显 发 布 高 校 毕 业 生 就 业 质 量 年 度 报 告, 是 高 等 学 校 建 立 健 全 就 业 状 况 反 馈 机 制 引 导 高 校 优 化 招 生 和 专 业 结 构 改 进 人 才 培 养 模 式 及 时 回 应 社 会 关 切 的 一 项
鱼类丰产养殖技术（二）.doc
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疾病诊治实务（一）
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名人养生.doc
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嘉 義 地 區 客 家 禮 俗 研 究 第 一 章 前 言 嘉 義 地 區 的 客 家 族 群 約 略 可 分 為 福 佬 客 詔 安 客 與 北 部 客 等 三 種 類 別, 其 分 佈 區 域 以 海 線 地 區 平 原 地 形 沿 山 地 區 為 主 有 相 當 多 的 北 部 客 家 人, 是 二 次 大 戰 末 期 和 戰 後 初 期 才 移 民 嘉 義, 是 什 麼 因 素 令 許 多
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國 立 中 正 大 學 法 學 系 碩 士 論 文 河 川 砂 石 法 規 範 之 探 討 - 以 採 取 土 石 及 挖 掘 河 川 認 定 基 準 為 主 指 導 教 授 : 盧 映 潔 博 士 研 究 生 : 王 瑞 德 中 華 民 國 一 百 零 一 年 五 月 目 錄 第 一 章 緒 論... 1 第 一 節 研 究 動 機... 1 第 二 節 研 究 目 的... 3 第 三 節 研
中老年保健必读（十）.doc
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海淀区、房山区（四）
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北京理工大学.doc
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东城区（下）
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I...1...3...6...8 --... 11 --...12 --...13 --...15 --...16 --...18 --...19 --...20 --...22 --...24 --...25 --...26 --...28 --...30 --...32 --...34 --...35 --...37 --...38...40 II...41...44...46...47...48...49...51...52...55...58
第一節 研究動機與目的
中 國 文 化 大 學 中 國 文 學 研 究 所 碩 士 論 文 華 嚴 一 真 法 界 思 想 研 究 指 導 教 授 : 王 俊 彥 研 究 生 : 許 瑞 菁 中 華 民 國 98 年 12 月 自 序 在 佛 教 經 典 中 最 初 接 觸 的 是 佛 說 無 量 壽 經, 此 經 乃 大 方 廣 佛 華 嚴 經 的 精 華 版 綱 要 版 為 了 瞭 解 經 義, 深 知 宇 宙 運
水力发电（九）
...1...17...20...26...27...30...33...34...36...37...44...47...49...58...77...79...90...96...107 I ...114...115...132...134...137...138...139...140...142...142...144...146...146...146...148...148...149...149...150...151...151...152
中国古代文学家（八）.doc
...1...5...26...27...43...44...48...50...52...54...55...57...60...61...62...63...65...67...68 I ...69...70...71...75...77...78...82...84...95...98...99... 101... 103... 107... 108... 109... 110...111...
景观植物（一）
...1...5...6...8... 11...13...15...18...21...23...26...29...43...51 5...53...58...62...63...65 I ...67...70...72...74...76...77...78...80...81...84...85...87...88...90...92...94...97... 109... 113... 115...
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教 学 管 理 文 件 汇 编 目 录 教 育 法 规 和 指 导 性 文 件 1. 中 华 人 民 共 和 国 高 等 教 育 法 1 2. 中 华 人 民 共 和 国 教 师 法 8 3. 普 通 高 等 学 校 学 生 管 理 规 定 12 4. 高 等 学 校 学 生 行 为 准 则 18 5. 中 华 人 民 共 和 国 学 位 条 例 19 6. 高 等 学 校 教 学 管 理 要 点
园林植物卷（三）.doc
I II III IV 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 84k 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65
厨房小知识_一_
... 1... 1... 2... 3... 3... 5... 6... 7... 7... 8... 10...11... 12... 13... 15... 17... 18... 19... 19... 20... 23... 24... 24 ... 26... 26... 29... 30... 31... 32... 33... 34... 37... 38... 40... 41...
中南财经大学（七）.doc
...1...16...20...22...31...32...34...37...38...40...44...46...54...58...59...60...61 I ...62...63...70...77...79...81...84...90...93...95...95...97... 100... 102... 104... 105... 106... 107... 109... 113
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赵飞燕外传、四美艳史演义
\ I... 1...1...8... 9... 9...9...11...13...16...19...22...25...28...33...36...39...42 II...46...48...51...55...58...62... 67...67...70...73...76...79...83...86...89...92...96...99... 102... 105... 108...
厨房小知识（五）
I...1...2...3...4...5...6 ()...7 ()...9...10...10... 11...12...13...14...15...15...16...18...19...20...20...21...21 II...24...27...28...29...29...31...32...33...34...35...36...38...38...39...40...40...41...42...42...43...44...44...47...48...50...50
最新监察执法全书（十八）.doc
.............. I ..................................................... II .......................................... III ... 2003......... IV ,
园林植物卷（十二）.doc
... 1... 4... 8... 8... 9... 9...11... 13... 15... 20... 23... 30... 31... 36... 39... 40... 43 I ... 47... 52... 57... 60 1... 65 2... 71 (3)... 78... 81... 87... 89... 91... 94... 95... 97 ( )... 100...
华东师范大学.doc
...1...3...4...5...6...7 ( )...9 ( )...10...16...19...21...22...23...27...27...31...31 I II...33...34 ( )...36 () ( )...44 () ( ) ( )...49 ( )...54...56...60 ( )...64...70...81...89 2004...95...97...99...
國立中山大學學位論文典藏
I...1...1...4...4...6...6...13...24...29...44...44...45...46...47...48...50...50...56...60...64...68...73...73...85...92...99...105...113...121...127 ...127...131...135...142...145...148 II III IV 1 2
乳业竞争_一_
...1...7...10... 11...14...17...18...19...21...23...25...26...28 50...30...31 48...31 3000...34...35...37 I ...40...44...45...48...50...51...55...56...58...58...60 ()...62 ()...66...71...72...72...73...76...77
最新执法工作手册（十）.doc
......................................... I ......... 2003....................................... II III............................................................ IV..............................................................
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...1 1...1...3...5...6...8...8...15...16...19 21...21...24...25...26...29...30...33...36...38...41...41 ( )...41...42...48...48...57...57...63...67...67...67...67...71...74 I ...76...76...79...81...82...82...83...83...83...84...84...85...85...85
最新执法工作手册（十六）
............................................. I ................................... II ........................... 2001......... III IV......................................... ........................
中国政法大学（六）.doc
...1...6...8 2004... 11...15 2003...16...20...29...32...34...38...39...42...43...44...48 I ...53...58...61...63...71...75...77...79...83...91...94...95...98... 100... 102... 102... 105... 106... 107...
胎儿健康成长.doc
...1...2...5...6...7...8...9... 11...13...15...16...17...19...22...22...23...24...25 I II...26...27...30...31...32...33...36...38...38...39...40...43...44...46...46...47...48...50...52...54...55...59 ...62
1. 本文首段的主要作用是 A. 指出 異蛇 的藥用功效 說明 永之人爭奔走焉 的原因 B. 突出 異蛇 的毒性 為下文 幾死者數矣 作鋪墊 C. 交代以蛇賦稅的背景 引起下文蔣氏有關捕蛇的敘述 2. 本文首段從三方面突出蛇的 異 下列哪一項不屬其中之一 A. 顏色之異 B. 動作之異 C. 毒性之
1. 本文首段的主要作用是 A. 指出 異蛇 的藥用功效 說明 永之人爭奔走焉 的原因 B. 突出 異蛇 的毒性 為下文 幾死者數矣 作鋪墊 C. 交代以蛇賦稅的背景 引起下文蔣氏有關捕蛇的敘述 2. 本文首段從三方面突出蛇的 異 下列哪一項不屬其中之一 A. 顏色之異 B. 動作之異 C. 毒性之異 3. 太醫以王命聚之 中的 以 字與下列哪一項的 以 意思相同 A. 以齧人 B. 而吾以捕蛇獨存
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前 言 學 習, 可 以 為 個 創 造 未 來 ; 教 育, 能 夠 為 社 會 開 拓 明 對 個 而 言, 教 育 可 以 幫 助 每 個 發 展 潛 能 建 構 知 識 及 提 升 個 素 質 ; 它 賦 予 每 個 掌 握 前 途 和 開 拓 未 來 的 能 力 對 社 會 而 言, 教 育 不 單 可 以 培 育 才, 而 且 具 有 ㆒ 個 更 深 層 的 意 義, 它 給 予 社 會
數學教育學習領域
高 中 数 学 课 程 补 充 资 料 013/14 学 年 就 读 中 四 学 生 适 用 013 ( 空 白 页 ) 目 录 页 数 1. 概 论 1 1.1 背 景 1 1. 关 注 事 项 及 考 虑 因 素 1 1.3 短 期 方 案 摘 要 1 1.4 评 核 设 计 概 要. 修 订 后 的 高 中 数 学 课 程 学 习 内 容 3.1 修 订 后 的 必 修 部 分 学 习 内 容
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4. 資料表示法 4.1 十進位與數字系統 (1). 基本觀念 數字系統的觀念 人們習慣以十進位的計量方式來計算 不同的數字系統有二進位 (Binary) 八進位 (Octal) 十進位 (Decimal) 十六進位(Hexadecimal) 二進位 電腦內部用來表達訊號的資料只有兩種符號 : 0 表示沒電,1 表示有電透過多個電路的組合表示出無數符號, 電腦便利用這些符號來表示不同的數字 利用兩條電線可以表示出
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f ( ) tan e, > = arcsin a = ae, a = tan e tan lim f ( ) = lim = lim =, arcsin + + + lim f = lim ae = a, y e ( ) =
(1) 64 15 2062 50 8 818 60 41606 63 8305 53 3 11201 38 10 216C 2012815 2012815 2012815 2012815 2012815 201464 200211 20128 20128 20128 20128 20146 4 2
(1) 51 41 49 6 6 7 161 4 27 338 2012815 2012815 2012815 200712 20093 20086 211 (1) 64 15 2062 50 8 818 60 41606 63 8305 53 3 11201 38 10 216C 2012815 2012815 2012815 2012815 2012815 201464 200211 20128
lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x),
2016 11 14 1 15 lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x), 0 0. 2 15 1 f(x) g(x) (1). lim x a f(x) = lim x a g(x) = 0; (2). a g (x) f (x) (3). lim ( ). x a g (x) f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x). 3 15
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995 + t lim( ) = te dt =. α α = lim[( + ) ] = e, α α α α = t t t t te dt = tde = te α α e dt = αe e, =, e α = αe α e α, α =. y z = yf, f( u) z + yz y =. z y y y y y y z = yf + y f = yf f, y y y y z y =
马太亨利完整圣经注释—雅歌
第 1 页 目 录 雅 歌 简 介... 2 雅 歌 第 一 章... 2 雅 歌 第 二 章... 10 雅 歌 第 三 章... 16 雅 歌 第 四 章... 20 雅 歌 第 五 章... 25 雅 歌 第 六 章... 32 雅 歌 第 七 章... 36 雅 歌 第 八 章... 39 第 2 页 雅 歌 简 介 我 们 坚 信 圣 经 都 是 神 所 默 示 的 ( 提 摩 太 后 书
二零零六年一月二十三日會議
附 件 B 有 关 政 策 局 推 行 或 正 在 策 划 的 纾 缓 及 预 防 贫 穷 措 施 下 文 载 述 有 关 政 策 局 / 部 门 为 加 强 纾 缓 及 预 防 贫 穷 的 工 作, 以 及 为 配 合 委 员 会 工 作, 在 过 去 十 一 个 月 公 布 及 正 在 策 划 的 新 政 策 和 措 施 生 福 利 及 食 物 局 (i) 综 合 儿 童 发 展 服 务 2.
(1) (2) (3) 1. (1) 2
0386 71.32% 14A 1 (1) (2) (3) 1. (1) 2 (a) (b) (i) (ii) (iii) 3 (iv) (a) (b) (c) (d) 6% 4 2013 3 26 [2013]624 10 5 2013 6 28 [2013]1246 2015 3 [2015]351 0.2 6 [2015]748 180C 7 * * 8 14A (2) 417,800,000
(Microsoft Word - 1012-2\256\325\260\310\267|\304\263\254\366\277\375.doc)
國 立 屏 北 高 級 中 學 101 學 年 度 第 2 學 期 第 2 次 校 務 會 議 紀 錄 壹 會 議 名 稱 :101 學 年 度 第 2 學 期 第 2 次 校 務 會 議 貳 時 間 :102 年 6 月 28 日 ( 星 期 五 ) 下 午 13 時 10 分 參 地 點 : 本 校 圖 書 館 四 樓 視 聽 會 議 室 肆 出 列 席 人 員 : 詳 如 簽 到 簿 伍 主
(i) (ii) (iii) (iv) 380,000 [ ] , , % % % 5.5% 6.5%
![(i) (ii) (iii) (iv) 380,000 [ ] , , % % % 5.5% 6.5%](/thumbs/50/27159399.jpg "(i) (ii) (iii) (iv) 380,000 [ ] , , % % % 5.5% 6.5%")
[] [] [] [] [] [] [] 1961 40 2,000 1990 [] (i) (ii) 38 (i) (ii) (iii) (iv) 380,000 [ ] 201017,763 201422,457 20152020 7.1% 2010 2020 2010 2015 6.2% 20152020 2010 2015 20152020 7.1% 5.5% 6.5% 2010 2011
厨房小知识（四）
I...1...2...3...4...4...5...6...6...7...9...10... 11...12...12...13...14...15...16...17...18...18...19...22...22 II...23...24...25...26...27...27...28...29...29...30...31...31?...32...32...33?...33...34...34...35...36...36...37...37...38...38...40
妇女更年期保健.doc
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小儿传染病防治（上）
...1...2...3...5...7...7...9... 11...13...14...15...16...32...34...34...36...37...39 I ...39...40...41...42...43...48...50...54...56...57...59...59...60...61...63...65...66...66...68...68...70...70 II
<4D6963726F736F667420576F7264202D2031303430333234B875B9B5A448ADFBBADEB27AA740B77EA4E2A5555FA95EAED6A641ADD75F2E646F63>
聘 僱 人 員 管 理 作 業 參 考 手 冊 行 政 院 人 事 行 政 總 處 編 印 中 華 民 國 104 年 3 月 序 人 事 是 政 通 人 和 的 關 鍵 是 百 事 俱 興 的 基 礎, 也 是 追 求 卓 越 的 張 本 唯 有 人 事 健 全, 業 務 才 能 順 利 推 動, 政 府 施 政 自 然 績 效 斐 然 本 總 處 做 為 行 政 院 人 事 政 策 幕 僚 機
女性青春期保健（下）.doc
...1...4...10... 11...13...14...15...17...18...19...20...21...22...23...24...26...27...30...31 I ...32...33...36...37...38...40...41...43...44...45...46...47...50...51...51...53...54...55...56...58...59
避孕知识（下）.doc
...1...3...6...13...13...14...15...16...17...17...18...19...19...20...20...23...24...24...25 I ...25...26...26...27...28...28...29...30...30...31...32...34...35 11...36...37...38...40...42...43...44...44...46
孕妇饮食调养（下）.doc
...1...2...5...9 7...9...14...15...16...18...22...23...24...25...27...29...31...32...34 I ...35...36...37...39...40...40...42...44...46...48...51...52...53...53...54...55...56...56...58...61...64 II ...65...66...67...68...69...70...71...72...73...74...75...76...77...80...83...85...87...88
禽畜饲料配制技术（一）.doc
( ) ...1...1...4...5...6...7...8...9...10... 11...13...14...17...18...21...23...24...26 I ...28 70...30...33...35...36...37...39...40...41...49...50...52...53...54...56...58...59...60...67...68...70...71
中老年保健必读（十一）.doc
...1...2...4...6...8...9...10...12...14...15...17...18...20...22...23...25...27...29 I ...30...32...35...38...40...42...43...45...46...48...52...55...56...59...62...63...66...67...69...71...74 II ...76...78...79...81...84...86...87...88...89...90...91...93...96...99...
i
i ii iii iv v vi 1 2 3 4 5 (b) (a) (b) (c) = 100% (a) 6 7 (b) (a) (b) (c) = 100% (a) 2 456 329 13% 12 120 7.1 0.06% 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (a) (b) (c) 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 =
怎样使孩子更加聪明健康（七）.doc
...1...2...2...4...5 7 8...6...7...9 1 3... 11...12...14...15...16...17...18...19...20...21...22 I II...23...24...26 1 3...27...29...31...31...33...33...35...35...37...39...41...43...44...45 3 4...47...48...49...51...52
i
i ii iii iv v vi 1 g j 2 3 4 ==== ==== ==== 5 ==== ======= 6 ==== ======= 7 ==== ==== ==== 8 [(d) = (a) (b)] [(e) = (c) (b)] 9 ===== ===== ===== ===== ===== ===== 10 11 12 13 14 15 16 17 ===== [ ] 18 19
女性美容保健（四）.doc
...1...4...6...8...9...10... 11...12...13...15...18...20...21...22...26...33...39...43 I II...47...52...53...59...60...63...65...68...69...71...73 1.5 ml...78...79...85...88...90...94...95...97...98...
學 習 內 容 元 素 一 直 透 過 中 小 學 校 課 程 相 關 課 題 培 養, 如 : 小 學 常 識 科 人 文 學 科 和 科 學 科 等 這 些 從 沒 有 因 為 德 育 及 國 民 教 育 科 課 程 指 引 在 2012 年 擱 置 而 有 任 何 改 變 4. 教 育 局 持
立 法 會 CB(4)1287/14-15(01) 2015 年 7 月 15 日 會 議 討 論 文 件 立 法 會 教 育 事 務 委 員 會 在 學 校 推 行 德 育 及 公 民 教 育 前 言 本 文 件 旨 在 就 學 校 教 育 中 推 行 德 育 及 公 民 教 育 的 進 展 ( 包 括 基 本 法 教 育 及 推 廣 對 一 國 兩 制 的 認 識 ), 匯 報 德 育 及 公
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45 43 71 48 50 177 45 19 43 19 CEO 178 50 16 8 8011 1159 1191 2358 509 8276 907 3708601() 179 1181 10698305 756 71 1246 1315 48 180 509 28 39 41 41 28 39 181 41 41 182 36 8315 3708 1499 5.28 15 C3 5.34
新婚夫妇必读（九）.doc
...1...3...4...5...9...9...10...12...14 3...19...20...22...27...28...30...31...35...37 I 13...39...44...48...49...50...51...54...55...58...60...62...63...66...67...68...70...71 TOP10...73...77...79...80
FEELING COMFORTABLE ABOUT SEX
轻 松 性 谈 只 要 你 轻 松 自 然 的 面 对 自 己 的 性 生 活, 就 能 轻 松 自 然 的 与 人 谈 性 " 1. 自 幼 开 始 用 直 接 而 尊 重 的 态 度 来 解 释 男 孩 子 割 包 皮 和 女 孩 子 的 生 殖 器 官 是 什 么 回 事 让 儿 女 明 白 上 帝 所 创 造 的 身 体 是 可 爱 的. 当 幼 儿 开 始 对 自 己 的 身 体 产 生
390 1975 23 664 25 117 1986 Km % % % I 3.61 23.1 387.8 15.4 35.8 A 2.21 14.1 300.1 11.9 33.44 B 1.40 9.0 87.7 3.5 2.36 II 6.11
婴幼儿护理（四）.doc
I...1 &...6...10 5...15...18...21...25...27...29...33...37...38...39 9...40...48...53...57...57 3...58 II...60...61...62...67...70...71...71...72...75...79...80...81...85...86...87...88 20...89...93...94...96...98...99
說 明 會 內 容 全 民 健 保 暨 施 行 細 則 修 正 之 承 保 重 點 與 案 例 說 明 二 代 健 保 實 施 後 就 醫 權 益 更 有 保 障 補 充 保 險 費 知 識 自 我 檢 測 及 討 論 附 錄 全 民 健 康 保 險 保 險 費 負 擔 金 額 表 ( 四 )- 職
第 二 三 類 投 保 單 位 二 代 健 保 實 務 說 明 會 行 政 院 衛 生 署 全 民 健 康 保 險 局 南 區 業 務 組 說 明 會 內 容 全 民 健 保 暨 施 行 細 則 修 正 之 承 保 重 點 與 案 例 說 明 二 代 健 保 實 施 後 就 醫 權 益 更 有 保 障 補 充 保 險 費 知 識 自 我 檢 測 及 討 論 附 錄 全 民 健 康 保 險 保 險 費
小儿疾病防治（四）.doc
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Microsoft Word - 孙洪祥论文.doc
大 学 数 学 教 学 中 的 若 干 问 题 的 思 考 北 京 邮 电 大 学 孙 洪 祥 在 多 年 的 教 学 听 课 教 学 评 估 和 教 学 成 果 鉴 定 过 程 中, 或 多 或 少 发 现 了 大 学 数 学 教 学 中 的 一 些 问 题, 不 成 体 系, 没 有 论 证, 在 此 零 零 散 散 提 出, 供 大 家 思 索 讨 论 之 用, 以 利 寻 求 解 决 问 题
怎样使孩子更加聪明健康（五）.doc
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名人养生.doc
( 20 010010) 787 1092 1/32 498.50 4 980 2004 9 1 2004 9 1 1 1 000 ISBN 7-204-05940-9/R 019 1880.00 ( 20.00 ) I...1...3...4...6... 11...14...18...22...26...29...31...38...45...49...56...57...59...61...67