经典例题 一 分式的定义 题型一 : 简单分式判断. 易 ( 南山荔林中学初二下期中 ) 在式子,, 3, π, 4 a 中, m 分式的个数是 ( ) A.5 B.4 C.3 D. 题型二 : 含有二次根式和繁分式. 难 在下列代数式中:, a 分式的有 个., a a, a,, a, a a 是

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1 各章节核心题系列 分式 43 道核心题 知识框架 分式的基本概念和性质一 分式的定义题型一 : 简单分式判断题型二 : 含有二次根式和繁分式二 分式有意义的条件题型一 : 简单分式题型二 : 分母恒大于 0 题型三 : 含未知数题型四 : 繁分式题型五 : 构造分式三 分式的值为零的条件四 讨论分式值的情况五 分式的基本性质题型一 : 基本性质题型二 : 约分题型三 : 最简分式题型四 : 最简公分母题型五 : 通分六 列代数式 ( 分式 ) 分式的运算一 分式的加减法题型一 : 同分母分式的加减法题型二 : 异分母分式的加减法二 分式的乘除法三 分式的混合运算分式的化简求值一 直接代入求值题型一 : 简单运算求值题型二 : 混合运算求值题型三 : 已知条件复杂题型四 : 选数代入求值题型五 : 找规律二 整体代入求值三 利用完全平方公式变形四 消元思想求值五 恒等变形 分式方程的解法 分式方程的定义 3 分式方程的解 4 分式方程的解 5 分式方程的增根 6 分式方程无解 7 解分式方程一般解法 换元法 特殊方法 带字母系数的分式方程分式方程应用题 行程类问题 3 营销类问题 工程类问题 4 其他问题

2 经典例题 一 分式的定义 题型一 : 简单分式判断. 易 ( 南山荔林中学初二下期中 ) 在式子,, 3, π, 4 a 中, m 分式的个数是 ( ) A.5 B.4 C.3 D. 题型二 : 含有二次根式和繁分式. 难 在下列代数式中:, a 分式的有 个., a a, a,, a, a a 是 二 分式有意义的条件题型一 : 简单分式 3. 易 ( 广西贵港 ) 若分式有意义, 则 应满足的条件是 ( 3 ) A. 0 B. 3 C. 3 D. 3 题型二 : 分母恒大于 0 4. 易 ( 通州初二期末 ) 使分式 有意义的 的取值范围是. 题型三 : 含未知数 5. 中 ( 北京二中期中测试 ) 当 为任意实数时, 分式 一定有意义, 则实数 m m 满足 ( ) A. m 0 B. m C. m D. m 题型四 : 繁分式 6. 中 使分式 有意义的条件是. 三 分式的值为零的条件 8 7. 易 ( 北京海淀区二模 ) 若分式的值为零, 则 的值等于. 8. 中 ( 大兴区二模 ) 如果分式的值是零, 那么 的取值是. 四 讨论分式值的情况 9. 易 ( 日坛中学第一学期练习 ) 当 为何值时, 分式的值为正数? 中 若 取整数, 则使分式的值为整数的 值有 ( ) A.3 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个

3 五 分式的基本性质 题型一 : 基本性质. 易 ( 东城二模 ) 如果把分式中的 和 都扩大 3 倍, 那么分式的值 ( ) A. 扩大 3 倍 B. 缩小 3 倍 C. 缩小 6 倍 D. 不变 题型二 : 约分. 中 ( 北大附中期中考试题 ) 化简 的结果是 ( ) 44 A. B. C. D. 题目三 : 最简分式 3. 易 (03 学年江苏省苏州市立达中学八年级下期中数学试卷 ) 下列分式中, 最简分式是 ( ) A. a 4 B. C. D. a a 4 4a a 题目四 : 最简公分母 中 ( 南京六中期中考试 ) 分式 与的最简公分母是. m 4 4 m 题型五 : 通分 3c a 5. 易 通分, ; a 8c 六 列代数式 6. 易 ( 天水 ) 甲瓶盐水含盐量为 a, 乙瓶盐水含盐量为, 从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合制成新盐水的含盐量为 ( ) a A. B. a a a C. a D. 随所取盐水重量而变化 7. 易 某种长途电话的收费方式如下: 接通电话的第一分钟收费 a 元, 之后的每一分钟收费 元 如果某人打该长途电话被收费 8 元钱, 则此人打长途电话的时间是 ( ) A. 8 a 分钟 B. 8 分钟 C. 8 a 分钟 D. 8 a 分钟 a 分式的运算 题型一 : 同分母分式的加减法 8. 易 (03 年山东省枣庄市中考数学试卷 ) 化简 : 的结果是 ( ) A. B. C. D.

4 题型二 : 异分母分式加减法 9. 易 ( 来宾 ) 计算 的结果是 ( ) B. ( ) A. C. D. 七 分式的乘除法 a 3a 0. 易 计算 等于 ( ) cd 4cd A. 3 B. C. 3a D cd 4 4. 难 ( 希望杯 ) 化简 : 八 分式的混合运算. 难 化简:.... ( ) ( )( ) ( 99)( 00) 分式的化简求值 一 直接代入求值 题型一 : 简单运算求值 3. 中 ( 北京通州区期末 ) 3 9 先化简, 再求值 : 其中,. 题型三 : 已知条件复杂 4. 易 ( 天津市耀华中学初二年级期末阶段性形成检测数学试卷 ) 若 5 4a a a a a 值为多少. 为相反数, 则 a a a 与 4 互

5 题型四 : 选数代入求值 5. 中 ( 四川绵阳市中考 ) 先化简, 再选择一个合适的 值代入求值 : 3. 题型五 : 找规律 中 对于正数, 规定 f( ), 例如 f (3), f ( ) 3, 计算 : f ( ) f ( ) f ( )+ + f ( ) + f ( ) f () f (0) f (0) f (03) = 二 整体代入求值 7. 中 ( 门头沟区初三年级第一次统一练习 ) 4 已知 0, 求 的值. 三 利用完全平方公式变形 8. 易 ( 昌平区第一学期初二年级期末考试 ) a 已知 a, a, 则式子 的值为. a 9. 中 ( 北京九中初一下学期期中 ) 已知 : 3 0, 则 ;.

6 四 消元思想求值 30. 易 ( 北京五中分校 ) 若 a 3, a 则 的值为 ( ) A. 3 B. 3 C. D 中 ( 第 9 届华罗庚金杯总决赛 试 ) 3 3 a a 3 已知 ( a 3 ) 0, 求 3 3 的值. 3a a 五 恒等变形 3. 中 ( 北京延庆期末 ) 仿照例子解题 : M N 5 若 恒成立, 求 M N 的值. M N 5 解 :, M( ) N( ) 5 则 M M N N 5, 即 M N N M 5 故 ( M N) ( N M) 5, M N 5 N M M 3 解得 N M 3 N M N 8 变式 : 请你按照上面的方法解题 : 若 恒成立, 求 M N 的值 难 ( 沈阳 ) 已知 z 6, z, z 4, 求代数式 z 的值 z z

7 分式方程的解法 一 分式方程的定义 34. 易 在方程,, a, a a ( a, 为已知 a a 数 ) 中, 分式方程有 ( ) A. 个 B. 个 C.3 个 D.4 个 二 分式方程的解 分式方程的解 35. 易 (0 年育红学校期中测试 ) 若 3是分式方程 A. 9 B C a 的解, 则 a 的值为 ( ) D. 5 9 分式方程的增根 m 36. 中 ( 深圳外国语分校初二下期中 ) 若关于 的方程 产生增根, 则 m 是 ( ) A. B. C. D. 三 解分式方程 37. 易 ( 巴彦淖尔市初中毕业高中招生统一考试试卷 ) 解分式方程 : 33 换元法 38. 中 ( 希望杯 邀请赛试题 ) 解方程 :

8 四 带字母系数的分式方程 a 39. 中 ( 苏州 ) 已知 a 0, 求方裎 的解. 分式方程应用题 行程类问题 40. 易 ( 徐州市模拟 ) 货车行驶 5 千米与小车行驶 35 千米所用时间相同, 已知小车每小时比货车多行驶 0 千米, 求两车的速度各为多少? 设货车的速度为 千米 / 小时, 依题意列方程正确的是 ( ) A B. 0 0 C D. 0 0 工程类问题 4. 易 ( 门头沟 ) 列方程或方程组解应用题 : 为了提高产品的附加值, 某公司计划将研发生产的 00 件新产品进行精加工后再投放市场. 现有甲 乙两个工厂都具备加工能力, 公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况, 获得如下信息 : 信息一 : 甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 0 天 ; 信息二 : 乙工厂每天加工产品的数量是甲工厂每天加工产品数量的.5 倍. 根据以上信息, 求甲 乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品?

9 营销类问题 4. 中 ( 湖北省宜昌市初中毕业生学业考试数学试题 ) [ 背景资料 ] 一棉花种植区的农民研制出采摘棉花的单人便携式采棉机 ( 如图 ), 采摘效率高, 能耗低, 绿色环保. 经测试, 一个人操作该采棉机的采摘效率为 35 公斤 / 时, 大约是一个人手工采摘的 3.5 倍, 购买一台采棉机需 900 元, 雇人采摘棉花, 按每采摘 公斤棉花 a 元的标准支付雇工工钱, 雇工每天工作 8 小时. [ 问题解决 ] ⑴ 一个雇工手工采摘棉花, 一天能采摘多少公斤? ⑵ 一个雇工手工采摘棉花 7.5 天获得的全部工钱正好购买一台采棉机, 求 a 的值 ; ⑶ 在 ⑵ 的前提下, 种植棉花的专业户张家和王家均雇人采摘棉花, 王家雇佣的人数是 张家的 倍, 张家雇人手工采摘, 王家所雇的人中有的人自带彩棉机采摘, 的人手 3 3 工采摘, 两家采摘完毕, 采摘的天数刚好一样, 张家付给雇工工钱总额为 4400 元, 王家这次采摘棉花的总重量是多少? 其他应用问题 43. 易 ( 湘西土家族苗族自治州初中毕业学业考试数学试题卷 ) 吉首城区某中学组织学生到距学校 0km 的德夯苗寨参加社会实践活动, 一部分学生沿 谷韵绿道 骑自行车先走, 半小时后, 其余学生沿 39 国道乘汽车前往, 结果他们同时到达 ( 两条道路路程相同 ), 已知汽车速度是自行车速度的 倍, 求骑车学生的速度.

10 参考答案 ( 韩老师提醒你先充分思考再看答案 ) ( 由于录排非教师, 如出现错误, 还望积极与韩老师反馈 ) 经典例题 一 分式的定义题型一 : 简单分式判断. 答案 C 题型二 : 含有二次根式和繁分式. 答案 4, a, a, 均为分式, 因此有 4 个. a a 二 分式有意义的条件题型一 : 简单分式 3. 答案 C 题型二 : 分母恒大于 0 4. 答案 全体实数题型三 : 含未知数 5. 答案 B m m, 由题意得, 0, 所以 m > 0, 即 m> 题型四 : 繁分式 0 6. 解析 由题意, 得 : 0 答案 且 三 分式的值为零的条件 7. 答案 8 8. 答案 解得 m 0 恒成立, 由于 四 讨论分式值的情况 9. 答案 0. 答案 B 提示 : 分离常数法 因为 3 要使值为整数 6 必须是 整数, 由于 是整数, 所以 是奇数且一定是 6 的约数 =, 3 故 4 个 五 分式的基本性质题型一 : 基本性质. 答案 D 题型二 : 约分. 答案 D

11 题目三 : 最简分式 3. 答案 B 题目四 : 最简公分母 m m 4. 答案 题型五 : 通分 3 c a 5. 答案, ; 8a c 8a c 六 列代数式 6. 答案 A 7. 答案 C 分式的运算 题型一 : 同分母分式的加减法 8. 答案 D 题型二 : 异分母分式加减法 9. 答案 A 七 分式的乘除法 0. 答案 C. 答案 原式 八 分式的混合运算 4 4. 答案... ( ) ( )( ) ( 99)( 00) 分式的化简求值一 直接代入求值题型一 : 简单运算求值 3. 答案 解法一: 原式 3 =[ - ] 9 ( 3) ( 3) ( 3) ( 3)( 3) ( ) =[ - ] 9 ( 3) ( 3) ( 3) 9 = 9 ( 3) ( 3) 9 = ( 3) ( 3) 9

12 = 3. 当 时, 原式 = 3 3 解法二 :( ) =[ - ] ( 3) ( 3) ( 3) 9 3 = ( 3) - ( 3) ( 3) 9 ( 3) 9 3 = 9 - ( ) ( 3)(9 ) = 3 当 时, 原式 = 3 题型三 : 已知条件复杂 4. 答案 根据题意得, a 5 4 0, 所以 a 5, 4 4a a a a a a a a 9 题型四 : 选数代入求值 3 5. 答案 原式 = = = =. 取 0, 则原式. ( 注 : 可取除, 外的任意实数 ) 题型五 : 找规律 6. 答案 0.5 二 整体代入求值 4 7. 解析 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 当 0 时, 原式 0 答案 三 利用完全平方公式变形 8. 答案 6

13 a a a a 6 a a a 9. 答案 37, 四 消元思想求值 30. 答案 C 7 3. 答案 由已知可得:, a 3, 代入, 故原式. 97 五 恒等变形 M N 8 3. 答案 4, M N 8 ( )( ) M( ) N( ) 8 则 M M N N 8, 即 M N N M 8 故 ( M N) ( N M) 8, M N N M 4 5 M 解得 3 N 33. 答案 z z z z z z z z z 原式 z z z z z zz z z z z z z 6 z z 3 z, z 4 z z z z 5 原式 53

14 分式方程的解法 一 分式方程的定义 34. 答案 B 二 分式方程的解 分式方程的解 35. 答案 D 分式方程的增根 36. 答案 D 三 解分式方程 37. 解析 方程两边同时乘 3( ) 得 3 3( ).5 经检验.5 是原方程的解 答案.5 换元法 答案 设 a,, 则 a 4 3 a, 化简得 ( a )( a ) 0, a 0 或 a 0, 进一步得原方程的解为 0, 7 5, 3. 0 四 带字母系数的分式方程 39. 解析 a 0 a 0, a ; 0,., 得 0, 解得, 经检验 :, 是原方程的解. 原方程的解为 :,. 答案, 分式方程应用题 行程类问题 40. 答案 C 工程类问题 4. 答案 设甲工厂每天加工 件新产品, 则乙工厂每天加工.5 件新产品. 依题意, 得 解得 40.

15 经检验, 40 是所列方程的解, 且符合实际问题的意义. 当 40 时, 答 : 甲 乙两个工厂每天分别能加工新产品 40 件 60 件. 营销类问题 4. 答案 ⑴ ( 公斤 ) ⑵ a 900. 解得 a.5 ( 元 ). ⑶ 解法一 : 4 设张家雇工有 人, 则王家雇工有 人, 其中机器采摘的 3 人, 手工采摘的 有 3 人, 设两家雇工工作的天数为 天. 张家付给雇工工资总额为 4400 元, 王家采摘棉花总量 , 当 0 时, 原式 ( 公斤 ) 王家这次采摘的棉花总量是 500 公斤. 解法二 : 4 设张家雇工有 人, 则王家雇工有 人, 其中机器采摘的 3 人, 手工采摘的 有 3 人, 设王家这次采摘的棉花总量为 m 公斤 m 由题意得, 解得, m 500 ( 公斤 ). 王家这次采摘的棉花总量是 500 公斤. 其他应用问题 43. 答案 设骑自行车学生的速度为 km/ h 0 0 则有, 0 检验 : 0 时, 0 0 是原分式方程的解. 骑车学生的速度为 0km/h. 教师简介 韩春成学而思初中数学教研主任关键词 : 精炼 严谨 专业 有效果学而思面授班讲义的编撰者学而思初中数学六级体系的原创者状元教师 杯赛命题人执行主编 : 培优辅导 夯实基础 几何辅助线秘籍 等书籍

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