第三章平面向量 31 平面向量運算在第一章裡, 我們利用 相似三角形 的概念表達三角形邊與角的關係, 建立三角函數, 進而以 三角函數 為工具, 求 長度 角度 面積 等幾何量, 並證明 正弦定理, 餘弦定理以及海龍公式, 用以解決測量的問題 在第二章裡, 我們利用直角坐標系, 將幾何問題經代數運算求解, 再詮釋幾何意義, 如直線的傾斜程度 聯立方程式與直線交點, 以及圓與直線的關係, 進而研究它們的性質 本章要再介紹新的數學概念 向量 ( 具有方向與大小 ), 包括向量的表徵 向量的運算, 用以處理幾何的問題, 如長度 ( 距離 ), 角度 平行 垂直 正射影以及面積 考慮向量所在的環境, 平面或空間, 本章先來討論平面向量, 第四冊第一章再繼續討論空間向量 ( 甲 ) 向量的基本概念 (1) 具有大小方向的量以 位移 為例 : 某甲從 點出發, 朝西北方前進, 走了 10 公里到達 地 某乙從 點出發, 朝北走了 10 公里到達 點, 考慮從 點到 點與 點雖然路徑相同, 但方向卻不一樣 有向線段 的始點 其方向為西北方, 其長度 10 公里 有向線段 的始點 其方向為北方, 長度為 10 公里 以 合力 為例 : 甲 乙兩人拔河, 甲用大小 2F 的水平力向右邊拉, 乙用大小 F 的水平力向左邊拉, 我們亦可用有向線段來表示這兩個力, 其始點為施力點, 方向分別是兩力的方向, 而長度分別是兩力的大小 像位移 力 速度等物理量包含大小與方向雙重觀念, 我們引進 向量 的觀念, 將這些物理觀念 ( 朝西北移動 10 公里 向右 2F 的水平拉力 ) 看成有向線段, 而引入向量, 物理觀念經數學化之後, 便於物理觀念的溝通與物理量的計算 (2) 向量的概念 : (a) 向量的表示 : 在數學上, 常用有向線段來表示向量, 而且有向線段的方向代表向量的方向 ; 有向線段的長度代表向量的大小 以 為始點, 為終點的有向線段, 稱之為向量, 符號 :, 它的方向是由 指向, 大小為, 記為, 即 = 當 = 時, 為零向量, 記為 = 0 ; 注意 : 0 的大小為 0, 但方向為任意 與 長度相等, 但方向相反, 稱 為 的反向量, 記為 : = 向量若不特別指名始點與終點, 亦可用 a b u 來表示 (b) 向量的相等 : ~311~
例如 : 右圖的平行四邊形 D, 有向線段 可以經由 平移移動與有向線段 D 完全重合, 此時有向線段 D 大小相等且方向相同, 此時它們代表同一個向量, 即 =D 兩個向量若大小相等方向相同, 則稱兩個向量相等 a = b a 與 b 方向相同且 a = b 因此根據這個結果可知, 向量可以自由的平行移動 D ( 練習 1) 如右圖,O 點為正六邊形 DEF 的中心, 以圖中七個點之一為始點, 另一點為終點的向量中 : (1) 有哪些和 相等? (2) 有哪些是 的反向量? [ 解法 ]: (1) 和 相等的向量有 FO, O, ED (2) 的反向量有 OF, O, DE ( 乙 ) 向量的坐標表示法用坐標表示的向量, 稱為坐標向量, 將向量予以坐標化, 即向量除了幾何表示 ( 即有向線段 ) 外, 希望能利用代數法或代數式表示, 使得向量能發揮更大的效益 (1) 平面向量的坐標表示 : 設 a 為一個平面向量, 如何用坐標來表示 a 呢? 在坐標平面上, 設 O 為原點,P ( a1,a2 ) 為任一點, 則以 O 為始點,P 為終點的向量 OP, 就稱為在 P 點這個位置的位置向量, 而 OP 由 P 點唯一決定 對於此平面上任意一個向量 a, 我們都可以找到唯一的位置向量 OP, 使得 a = OP, 如右圖此時 P 點的坐標 ( a1,a2 ), 稱為向量 a 的坐標表示法, 記 作 a =(a1,a2), 其中 a1,a2 分別稱為 a 的 x 分量與 y 分量 當向量 a 用坐標 ( a1,a2 ) 表示時, 其方向與大小仍可看出 : (1) a 的方向是由原點 O 指向 P( a1,a2 ); (2) a 的大小為 a = OP = a1 2 +a2 2 特別地, 零向量 0 的坐標為 ( 0,0 ), 即 0 =( 0,0 ) 因此坐標的表示方式可以同時呈現出向量的兩個要素 大小與方向 如果 a = b, 則它們對應的位置向量相同, 於是我們有以下的結論 : ~312~
結論 : (a) 若向量 a =(a1,a2), 則其大小 a = a1 2 +a2 2, 其方向是由 (0,0) 指向 (a1,a2) (b) 若 a =(a1,a2), b =(b1,b2), 則 a = b a1=b1 且 a2=b2 [ 例題 1] 一物體由坐標平面中的點 (3,6) 出發, 沿著向量 v 所指的方向持續前進, 可以進入第一象限 請選出正確的選項 (1) v =(1,2) (2) v =(1,1) (3) v =(0.001,0) (4) v =(0.001,1) (5) v =(0.001,1) (2014 學科能力測驗 ) ns:(2)(3)(4) ( 練習 2) 如右圖, 在坐標平面上, a = OP, 試求 : (1) P 點與 a 的坐標表示法 (2) a 的 x 分量與 y 分量 (3) a (2) 兩點坐標決定一個向量的坐標表示法 設 (x1,y1) (x2,y2) 為坐標平面上的兩點, 那麼 如何表示呢? 若設 (a1,a2) (b1,b2) 為坐標平面上的兩點, 則 =(b1a1, b2a2) [ 說明 ]: 如下圖, 設 對應的位置向量為 OP, 其中 O 為原點,P 點的坐標為 (x,y), 則由全等三角形的性質可得 :x=b1-a1,y=b2-a2, 即 P ( b1-a1,b2-a2 ) 因 此 =( b1-a1,b2-a2 ) (a) O,, 三點不共線 (b) O,, 三點共線 ( 練習 3) 設 (-2,5 ), ( 1,1 ), 試以坐標表示 與, 並求 ~313~
ns: =(3,4) =(3,4), =5 結論 : 已知兩點 (a1,a2),(b1,b2), 則 (a) 坐標化 : =(b1a1, b2a2) (b) 求分量 : 的 x 分量為 b1a1,y 分量為 b2a2 (c) 求長度 : 2 = (b1a1) 2 +(b2a2) 2 (3) 用長度 方向角決定一個向量 : 將 平移到 OP, 其中 O 為原點, 令 OP =r 從 x 軸正向逆時針轉到 OP 的有向角為, 我們稱為方向角, 0<360, 則 = OP =(rcos,r sin) y [ 說明 ]: 設 (x1,y1) (x2,y2) OP =(x2x1,y2y1), 即 P(x2x1,y2y1) 根據正餘弦的定義, 可知 x2x1=rcos,y2y1=rsin = OP =(rcos,r sin) P O x 結論 :(x1,y1) (x2,y2), =(x2x1, y2y1)= (rcos,r sin) y D 例如 : 如圖, 正六邊形 DEF 的邊長為 3 單位長, 且 cos= 2 3, 因為 =3, 且 cos= 2 3, 故 =(3cos,3sin)=(2, 5) E F [ 例題 2] 如圖, 以 M 為圓心 M=8 為半徑畫圓, E 為該圓的直 O x 徑, D 三點皆在圓上, 且 = = D = DE 若 MD=8(cos(+90),sin(+90)) 請選出正確選項 (1) M=8(cos,sin) (2) M=8(cos(+45),sin(+45)) (3) ( 內積 ) M.M=8 (4) ( 內積 ) M.MD=0 (5) D =8(cos +cos(+90),sin +sin(+90)) (2015 學科能力測驗 ) ~314~
ns:(2)(4) ( 練習 4) 如右圖, 正六邊形 DEF 的邊長為 3 單位長, 且 cos= 2 3, 試求 =? ns: =( 6 15 2, 3 5+2 3 2 ) ( 練習 5) 設 ( 3,-2 ), (-1,2 ), ( 2,3 ) 為坐標平面上的三點, 若四邊形 D 為平行四邊形, 試求 D 點的坐標 ns:( 6,-1 ) ( 丙 ) 向量的加減法許多物理量都具有大小與方向, 例如 : 速度 力, 這些物理量都可以用向量來描述 在實際生活中, 會遇到兩個不同的速度或力的合成問題, 因此我們可以進一步定義向量的運算, 來描述這些現象 (1) 向量的加法 : 給定二個向量 a, b 如何定義 a + b 呢? (a) 三角形法 ( 可用位移為模型 ): 設 a =, b =, 使得 a 的終點與 b 的始點為同一點, 定義 a + b = ( a 的始點指向 b 的終點 ) D [ 討論 ]: 如右圖, + +D+ DE =? E ~315~
(b) 平行四邊形法 ( 可用合力為模型 ): 設 a =, b =, 使得 a 與 b 的始點為同一點, 則定義 a + b =D,D 為平行四邊形 [ 說明 ]: 因為 =D, 所以 +=+D=D D (2) 向量的減法 : 給定兩個向量 a, b, 如何定義 a b 呢? 可設 a =, b =, 使得 a 與 b 的始點為同一點, 則定義 a b = a +( b )== ( 由 b 的終點指向 a 的終點 ) [ 說明 ]: 設 a =, b =, 我們定義 a b = a +( b ) 根據右圖可知 D = b,de 為平行四邊形, a b = a +( b )=+D= E =, 即 = (3) 向量的拆解 (a) 任何一個向量, 都可以拆解為 P + P 兩向量的和, 其中 P 為任一點 即 = P + P ( 可用位移為模型 ) D E (b) 任何一個向量, 都可以拆解為 P P 兩向量的差, 其中 P 點為任一點 即 = P P ( 可用相對運動為模型 ) (3) 坐標向量的加減法設在坐標平面上, a =( a1,a2 ), b =( b1,b2 ), 若 O 為原點, 且, 兩點的坐標分別為 ( a1,a2 ),( b1,b2 ), 則 a = O, b = O (a) 向量的加法 : 如果 O,, 三點不共線, 那麼以 O, O 為兩鄰邊, 可作一平行四邊 形 O, 如圖 (a) 所示 故得 O + O = O 令 點的坐標為 ( c1,c2 ), 因 為 O 的中點與 的中點重合, 所以 c1=a1+b1,c2=a2+b2, ~316~
(a) (b) 於是 O + O = O =( a1+b1,a2+b2 ), 即 a + b =( a1+b1,a2+b2 ) 如果 O,, 三點共線, 且 O + O = O, 那麼 O 的中點與 的中 點也會重合, 所以這個結果仍然成立, 如圖 (b) 所示 (b) 反向量的坐標表示法接下來, 在介紹向量減法的坐標表示法之前, 讓我們先來看看反向量的坐標表 示法, 設 ' 的坐標為 (-a1,-a2 ), 則原點 O 為 ' 的中點, 所以 O' 與 O 互 為反向量, 即 O'=- O, 於是若 a =( a1,a2 ), 則 a 的反向量為 - a =(-a1,-a2 ) (c) 向量的減法利用向量相加與反向量的坐標, 我們就可以求出向量相減的坐標表示 a - b = a +(- b ) =( a1,a2 ) + -( b1,b2 ) =( a1,a2 )+(-b1,-b2 ) =( a1+(-b1 ),a2+(-b2 ) ) =( a1-b1,a2-b2 ) 結論 : 向量加減法的坐標表示 設 a =( a1,a2 ), b =( b1,b2 ), 則 (1) a + b =( a1+b1,a2+b2 ) (2) a - b =( a1-b1,a2-b2 ) [ 例題 3] 設 a =( 5,3 ), b =(-2,1 ) (1) 試以坐標表示 a + b 與 a - b (2) 若 P ( 4,-2 ), 且 PQ = a - b, 求 Q 點坐標 [ 解法 ]: (1) a + b =( 5,3 )+(-2,1 )=( 5+(-2 ),3+1 )=( 3,4 ) a - b =( 5,3 )-(-2,1 )=( 5-(-2 ),3-1 ) =( 7,2 ) (2) 設 Q 點的坐標為 ( x,y ), 因 PQ = a - b, 故 ( x-4,y-(-2 ) )=( 7,2 ) 即 x-4=7 y+2=2, 得 x=11,y=0, 所以 Q 點坐標為 ( 11,0 ) ~317~
( 練習 6) 設 a =(-3,2 ), b =( 4,-1 ) (1) 試以坐標表示 a + b 與 a - b (2) 試求 a + b 與 a - b ns:(1) a + b =(1,1) a - b =(7,3) (2) a + b = 2, a - b = 58 (4) 向量加法的性質 : 利用向量加減法的坐標表示, 可以到以下的性質 : (a) 交換性 : a + b = b + a (b) 結合性 :( a + b )+ c = a +( b + c ) (c) 零向量 : a + 0 = 0 + a (d) 可逆性 : 對於任一向量 a, 若以 表示 a, 則 所表示的向量以 a 表示 ( 丁 ) 向量的係數積 (1) 係數積的定義 : 我們用一個力 f 去推動一個物體, 如果推不動, 我們希望再加倍用力去推, 那麼這個加倍的力就可以用 2 f 表示 ; 如果我們希望只用一半且方向相反的力去 推, 那麼 這個大小一半, 方向相反的力就可以用 - 1 2 f 表示, 如圖所示 一般而言, 一個實數 r 與一個向量 a 的乘積, 稱為向量的係數積 設 a 是一個向量,r 為實數, 則係數積 r a 仍是一個向量, 定義如下 : 長度 : r a = r a 方向 : 若 a 為非零向量且 r0: r0:r a 與 a 同向 ;r0:r a 與 a 反向 若 r=0 或 a = 0 :r a = 0 注意 :0 a r 0 均為零向量 0, 而不是 0 ( 練習 7) 下圖中, 每個小正方形的邊長皆為 1 單位, 試圖示 2 a - 1 3 b ~318~
[ 例題 4] 在正六邊形 DEF 中, 令 = a, = b, 試以 a 和 b 表示下列諸向量 : (1) (2)D (3) D ns:(1) a + b (2) 2 b a (3) a + b ( 練習 8) 正六邊形 DEF, = a, = b, 則 E =2 b -2 a D=2 b - a F = b -2 a D F =2 a - b E D= a -2 b ns:()()() ( 練習 9) 如圖所示, 設四邊形 D EFGH DGH FE DHE 和 GF 都是平行四邊形, = a, = c, F = d, E H 試以 a, c, d 表示 E 和 G ns: a c + d, a + d + c F D G (2) 向量平行 : 利用係數積可使向量在同向 (r0) 或反向 (r0), 伸縮向量的長度 例如 : 設,, 為一直線上的三點, 且 : =3:2, 則 = 3 5, =2 3 設向量 a 與 b 中有一個可以寫另一個的係數積, 則稱這兩個向量 a 與 b 平行, 符號以 a // b 來表示 即根據向量平行的定義, 可知 : (a) 兩個非零向量平行的充要條件是兩向量同向或反向 (b) 0 之方向不予限定, 故 0 可視為與任何向量均平行 a // b 可找到實數 t 或 s, 使得 a =t b 或 b =s a ~319~
[ 例題 5] 設相異三點,, 共線 若 為線段 之中點, 則 =, = 若 在線段 上, 且 = 2 3, 則 =, = ( 練習 10) 如圖,,,D,E,F 共線, 且 = =D=DE=EF, 則下列敘述何者正確? () = 1 5 F () = 1 3 F () E = 3 2 D (D) +2 DE =3 (E)D = F ns:()()()(d) (3) 向量係數積的坐標表示我們已經學過向量係數積的幾何圖示法, 接下來我們要再進一步探討其坐標表示法 設 a = O =( a1,a2 ),r a = O =( b1,b2 ), 當 r 0 時, 如下圖 (a) r>0 (b) r<0 過, 兩點作 x 軸的垂線, 其垂足分別為 ' ( a1,0 ),' ( b1,0) 因為 O'~ O', (1) 若 r>0, 則 (2) 若 r<0, 則 O' O O' = O =r, 得 b1=ra1 O' O O' = O =-r, 得 -b1=(-r ) a1, 即 b1=ra1 於 r=0 的情形, 因 r a = 0 =( 0,0 ), 故 b1=0=0 a1=ra1 同理可得 b2=ra2, 因此我們可以得到向量係數積的坐標表示法 ~3110~
設 a =( a 1,a 2 ),r 是任意實數, 則 r a =r ( a 1,a 2 )=( ra 1,ra 2 ) (4) 係數積的基本性質 : 利用向量係數積的坐標表示法, 可得以下的性質 : 設 r,s R, a 與 b 為二任意向量, 則 : (a) 分配律一 :r( a + b )=r a +r b (b) 結合律 :r(s a )=(rs) a 分配律二 :(r+s) a =r a +s b [ 例題 6] 設 a =(-1,2 ), b =( 2,1 ), c =(-5,3 ) (1) 試以坐標表示 a +2 b, 並求 a +2 b (2) 試以坐標表示 4 a +3 b -2 c, 並求 4 a +3 b -2 c [ 解法 ]: (1) a +2 b =(-1,2 )+2 ( 2,1 )=( 3,4 ), a +2 b = 3 2 +4 2 = 25 =5 (2) 4 a +3 b -2 c =4 (-1,2 )+3 ( 2,1 )-2 (-5,3 )=( 12,5 ), 4 a +3 b -2 c = 12 2 +5 2 = 169 =13 [ 例題 7] 設 a =( a1,a2 ), b =( b1,b2 ) 為兩個非零向量, 試證 : a // b a1b2=a2 b1 [ 證明 ]: (1) 若 a // b, 則存在非零的實數 r, 使得 a =r b, 即 ( a1,a2 )=r ( b1,b2 )=( rb1,rb2 ), 得 a1=rb1,a2=rb2, 故 a1b2=( rb1 )b2=b1 ( rb2 )=a2b1 a1 (2) 若 a1b2=a2b1, 當 b1b2 0 時, 則 = a2, b1 b2 令此值為 r,r 0, 則 a =( a1,a2 )=( rb1,rb2 )=r ( b1,b2 )=r b, 故 a // b 當 b1b2=0 時, 則 b1,b2 恰有一數為 0 可令 b1=0,b2 0, 則 a1=0,a2 0, 故存在非零實數 r, 使得 a2=rb2, 於是 a =( 0,a2 )=( 0,rb2 )=r ( 0,b2 )=r b, 即 a // b 由 (1) (2) 知 : a // b a1b2=a2b1 [ 例題 8] 設 a =(2, 3), b =(1,4),t 為實數, 試求當 t=? 時, a +t b 的最小值 ns: 10 17 ~3111~
[ 例題 9] (1) 求一向量 u 使 u =1 且 u 與 v =(5,6) 同方向 (2) 求一向量 u 使 u =1 且 u 與 v =(5,6) 反方向 ns:(1)( 5 61, 6 61 ) (2) ( 5 61, 6 61 ) 平面上每一個非零的向量, 都有一個長度為 1 且與它同方向或反方向的向量, 我們把長度為 1 的向量, 稱為單位向量 若非零向量 a 與單位向量 e 同方向, 則由係數積的定義可得 a = a e, 換句 1 話說, e 可以表為 a a ( 練習 11) 設 a =(1,1), b =(5,2), 試求 : (1)2 a +3 b (2)4 a 5 b (3) a +2 b ns: (1) (13,4) (2)(29,14) (3) 146 ( 練習 12) 設 a =(2,1), b =(3,4), 當 a +t b 最小時,t=? ns:2 ( 練習 13) 設 a =(1,2) b =(3,4), 若 t a + b 與 a +t b 平行, 求實數 t=? ns:t=1 或 1 ( 練習 14) 設 ( 1,t ), ( 3,-2 ), (-1,6 ), 若,, 三點共線, 試求 t 的值 ns:2 ( 練習 15) 請求出與 a =(4,3) 平行的單位向量 ns: 1 5 (4,3) 1 或 5 (4,3) ( 練習 16) 設 a =(3,1) b =(1,2) c =(3,8), 若 c =x a +y b, 則實數對 (x,y)=? ns:(x,y)=(2,3) ~3112~
( 戊 ) 向量的內積一個物體在定力 f 作用下, 若在力 f 的方向上有一位移 d, 則該力對物體所作的 W=fd; 但當力的方向與位移的方向有一夾角時, 所作的功就不再單純的只是力與位移的乘積, 而與夾角有關 如下圖, 對一個重物施以與水平方向成 角大小 5 牛頓的力 f 使得重物沿水平方 向移動 10 公尺, 試求所作的功 =? 5 牛頓 [ 解答 ]: 因為 f 的水平分力為 5cos, 因此所作的功 W=(5cos )10( 焦耳 ) [ 數學化 ]: 現在將力視為向量 f, 位移視為向量 d, 因為力與水平方向夾角為, 則可視 為 f 與 d 的夾角為, 10 公尺 所作的功 W=(5cos )10=( f cos ) d = f d cos, 其中 為 f 與 d 的夾 角, 這樣的概念數學化之後, 就稱為向量 f 與 d 的內積 (1) 向量的夾角 : a b 為平面上的兩個非零向量, 根據向量的意義, 我們可以將兩個向量平行 移動, 使得 a 與 b 的起點重合 ( 如下圖 ), 令 a =O, b =O, 定義兩向量的夾角 為 O (0180) 0<<90 90<<180 =90 O O O =0 O O =180 為 0 之方向不予限定, 因此我們規定 0 與任何向量的夾角為任意角度 注意 : (2) 向量的內積 : 定義 : 設 a 與 b 為兩向量, 為其夾角, 定義 a 與 b 的內積為 a b cos, 符號記 為 : a. b = a b cos,"." 念成 dot 特別的, 0. a = 0 a cos=0, 因此 0 與任何向量 a 的內積都是 0 ~3113~
注意 : a. b 是一個實數而非向量, 就好像功是一個純量, 而沒有方向 當 a. b >0 0< 夾角 <90, 當 a. b <0 90< 夾角 <180 例 : 設正三角形 之邊長為 1, 求 (1). 之值 ;(2). 之值 (3) 內積的另一種看法 : 令 a =, b =, 為 a 與 b 的夾角 (a) 當 0<<90 D 如圖, b cos = cos = D a. b = a b cos=. D >0 (b) 當 90<<180 如圖, b cos = cos = D a. b = a b cos=. D <0 D (c) 當 =90 a. b =0 如圖, b cos =0 a. b = a b cos=0 [ 例題 10] 之三邊長為 =4, =5, (D) =6, 則求 (1).=? (2). =? ns:(1) 27 2 (2)5 2 ~3114~
(3) 向量垂直的定義 : 當 a 與 b 之夾角為直角時, 我們稱 a 與 b 垂直, 記為 a b 因為一向量 a 與 0 之夾角可視為任意角, 為了方便起見, 我們將任何向量與零向量都視為垂直, 於是 a b 表示 a = 0 或 b = 0 或 = 2, 但不管是那一種情形, a. b =0 所以規定: a b a. b =0 (4) 向量內積的坐標表示法 : (1) 設 a =(a1,a2), b =(b1,b2), 我們如何用 a1,a2,b1,b2 表示 a. b 呢? a 與 b 不平行 : 設 O=(a1,a2) 和 O=(b1,b2) 且兩非零向量的夾角為, 根據餘弦定理 : 2 = O 2 + O 2 2 O O cos 因此 y O x O. O= O O cos= 1 2 ( O 2 + O 2 2 ) = [(a1 2 +a2 2 )+(b1 2 +b2 2 )[(a1b1) 2 +(a2b2) 2 ]]=a1b1+a2b2 故 a. b = a1b1+a2b2 1 2 a 平行 b : 可令 a =t b (a1,a2)=t(b1,b2) a1=tb1 且 a2=tb2 a. b =( t b ). b =t b 2 =t(b1 2 +b2 2 ) a1b1+a2b2=( tb1)b1+( tb2)b2= t(b1 2 +b2 2 ) 故 a. b = a1b1+a2b2 根據前面的計算, a. b = a1b1+a2b2 根據這個結果, 可知當我們將 a b 坐標化之後, a. b 就可以容易由分量計算出來, 此時可以反過來向量的夾角與長度 結論 : 設 a =(a1,a2), b =(b1,b2) (a) a. b = a b cos=a1b1+a2b2 (b) a b a. b =0 a1b1+a2b2=0 ( 向量與垂直的關係 ) a b a1b1+a2b2 (c) 若 a 與 b 皆不為 0, 則 cos= = a b a1 2 +a2 2 b1 2 2( 向量與角度 ) +b2 (d) a. a = a a cos0= a 2 ( 向量與長度 ) 由 (c) 與 (d) 可知內積與求角度 長度都有關係, 這也是內積重要的地方 ~3115~
[ 例題 11] (1) 設 a =(2,4) b =(1,2), 為 a b 的夾角, 試求 cos 的值 (2) 設 的三頂點為 (3,2) (1,4) (6,3), 求內角 的角度 ns:(1)cos= 3 5 (2)135 [ 例題 12] 設 u v 為兩長度為 1 的向量 若 u + v 與 u 的夾角為 75, 則 u 與 v 的內積為 ( 化為最簡根式 ) (2014 學科能力測驗 ) 3 [ 答案 ]: 2 v u + v u [ 例題 13] 設向量 a 與另一向量 b =( 3,1) 的夾角是 120 且 a =8, 試求向量 a ns: a =(0,8) 或 (4 3,4) ~3116~
( 練習 17) 設 a =(2,0) b =(1, 3), 試求 : (1) a b (2) a 與 b 的夾角 ns:(1)2 (2)120 ( 練習 18) 設 u =(k,1), v =(2,3), 求 k 使 : (1) u 和 v 垂直 (2) u 和 v 平行 (3) u 和 v 的夾角為 60 ns:(1)k= 3 2 (2)k= 2 3 (3)k=8+ 13 3 3 ( 練習 19) 設 (4,0),(0,-3), 動點 P 為直線 x+y=0 上之一點 則 P. P 之最小值 = ns: 49 8 [ 提示 : 令 P(t,t), P. P =(4t,t) (t,3+t)=2t 2 7t] ( 練習 20) 設 (1,2) (0,2) (3,4) 為 之三頂點, 求 sin=?ns: 5 221 ( 練習 21) 設 O=(3,1), O =(1,2), 若 OO, //O, 且 OD+O=O, 則 OD=? ns:(11,6) (5) 向量內積的性質 : 利用向量內積坐標表示法, 可以得出以下的性質 : 設 a, b, c 為任意三向量,r 為任意實數, 則 (a) a. b = b. a ( 交換性 ) (b) a.( b + c )= a. b + a. c ( 分配性 ) (c)r( a. b )=(r a ). b = a.(r b ) (d) 0. a =0 ( 注意 : 0. a =0 而非零向量 ) (e) a 2 = a. a 0, a 2 =0 a = 0 注意 : a 2 = a. a 這個性質可以讓我們在內積與長度之間轉換, 是一個簡單但重要的性質 (f) a b 2 =( a b ).( a b )= a 2 2 a. b + b 2 令 a =O, b =O =OO= a b, a b 2 = a 2 + b 2 2 a. b 可以寫成 : 2 = O 2 + O 2 2 O O cos, 當 a 與 b 不平行時, 上式即為餘弦公式 O ~3117~
(g) m a +n b 2 =m 2 a 2 +n 2 b 2 +2mn a b m a +n b 2 =( m a +n b ) ( m a +n b )= m 2 a 2 +n 2 b 2 +2mn a b [ 例題 14] 二向量 a, b, 若 a =3, b =4, 且 a + b = 13, 則 (1) a 與 b 之夾角為何? (2) 3 a +2 b =? ns:(1)120 (2) 73 [ 例題 15] 設 a =3, b =5, c =7, 且 a + b + c = 0, 試求 : (1) a. b = (2) a 與 b 之夾角為 ns:(1) 15 2 (2)60 [ 例題 16] 設 a =(2,4), b =(2,1), 設 c = a +t b 且平分 a 與 b 的夾角, (1) 試求 t (2) 試求平分 a 與 b 夾角的單位向量 ns:(1)2 (2) 1 2 2 (2,2) [ 例題 17] a =3, b =1, 且 a 與 b 之夾角為, 其中 cos= 1 3, 若 OP = a + b,oq =2 a b, 則 PQ =? ns: 17 ~3118~
( 練習 22) 正三角形 的邊長為 2,M 為 的中點, 試求 (1)( +M). =? (2)( M).(+M)=?ns:(1)5 (2)8 ( 練習 23) 設 a =(1,3), b =(3,1), 令單位向量 c 平分 a 與 b 的夾角, 試求 c ns: 1 2 5 (2,4) ( 練習 24) 設 O=2, O=3,O 與 O 之夾角為 60, 試求 : (1)O. O (2) 2O+ O (3) O-2O ns:(1)3(2) 37 (3)2 7 ~3119~
綜合練習 (1) 設 a =(3,1), b =(1,2), c =(2,5), 試求 (a)3 a (2 b + c ) (b) 3 a (2 b + c ) (c) a ( b +2 c ) (d)( a b ) c (2) 設 a = (3,1), b = (1, 4), c =(5,9), (a) 若 c =x a +y b, 求 x, y 之値 (b) 若 c = a +t b, 且 c = 41, 求 t 之値 (3) 有一正立方體, 其邊長為 1, 如果向量 a 的起點與終點都是此正立方體的頂點, 且 a =1, 則共有多少個不相等的向量 a? ()3 () 6 ()12 (D)24 (E)28 (86 學科 ) (4) 在坐標平面上,(150,200) (146,203) (4,3) O(0,0), 下列敘述何者為真? () 四邊形 O 是一個平行四邊形 () 四邊形 O 是一個長方形 () 四邊形 O 的兩對角線互相垂直 (D) 四邊形 O 的對角線 長度大於 251 (E) 四邊形 O 的面積為 1250 (90 學科 ) (5) 在坐標平面上有四點 O(0,0),(3,5),(6,0),(x,y) 今有一質點在 O 點沿 O 方 向前進 O 距離後停在 P, 再沿 P 方向前進 2 P 距離後停在 Q 假設此質點繼 續沿 Q 方向前進 3 Q 距離後回到原點 O, 則 (x,y)= (2009 學科能力測驗 ) (6) 如右圖所示,O 為正方形 D 對角線的交點, 且 E F G H 分別為線段 O,O,O,OD 的中點 試問下列何者為真? () + =E + EF + FG +G () =2 EF () =D (D) + F + FE =G (E) E F =0 E F O G H D (7) 在平行四邊形 D 中, 為一條對角線, 若 =(2, 4), 則 =? ~3120~ O y =(1, 3), (8) 設 a = (3,4), b = (1,0), 若 c 平分 a 與 b 的夾角, 且 c 為單位向量, 則 c =? (9) 如圖 : 坐標平面上,O 為原點, O 8, 4, 2, D 1, O = = D =120, (a) 試求 點坐標 (b) 設 OD = x O + y O, 試求 x, y 之値 D x
(10) (a) 正 之邊長為 1, H 為 上的高, 求 ( + (b) 平行四邊形 D 中, 7, 5, 求. (11) 設 a =(k,2), b =(2,3) H ). D (a) 若 a 垂直 b, 求 k 的值 (b) 若 a 平行 b, 求 k 的值 (12) (a) 設 a =1, b =2, a 與 b 之夾角為 60, 若 OP =2 a 3 b,oq=4 a + b, 則 PQ =? (b) 已知 a 與 b 滿足 a + b = 4, a b = 2, 求 a 2 b 2 + 2 a b 2 =? (13) 坐標平面中, 向量 w 與向量 v =(2, 5) 互相垂直且等長 請問下列哪些選項是正確的?(2011 學科能力測驗 ) (1) 向量 w 必為 ( 5,2) 或 ( 5,2) (2) 向量 v + w 與 v w 等長 (3) 向量 v + w 與 w 的夾角可能為 135 (4) 若向量 u =a v +b w, 其中 a,b 為實數, 則向量 u 的長度為 a 2 +b 2 (5) 若向量 (1,0)=c v +d w, 其中 c,d 為實數, 則 c>0 (14) 坐標平面上, 直線 L1 與 L2 的方程式分別為 x+2y=0 與 3x5y=0 為了確定平面 上某一定點 P 的坐標, 從 L1 上的一點 Q1 偵測得向量 Q1P=(7,9), 再從 L2 上的 一點 Q2 偵測得向量 Q2P=(6,8), 則 P 點的坐標為力測驗 ) (2015 學科能 (15) 令, 為坐標平面上兩向量 已知 的長度為 1, 的長度為 2 且 與 之間的夾角為 60 令 u, v x y, 其中 x, y 為實數 且符合 6 x y 8以及 2 x y 0, 則內積 u v 的最大值為 (2013 學科能力測驗 ) (16) 若 b =2 a 0, 且 ( a + b )( a 2 5 b ), 則 a 與 b 之夾角為何? (17) 設 u v 為兩非零向量, 以 u 表示 u 之長度, 若 u =2 v = 2 u +3 v, 且 表示 u 與 v 的夾角, 則 cos= (2006 指定甲 ) (18) 引擎馬力的計算公式是 P= 1 75 ( F. v ), 其中 F 是引擎所帶動物體的重量, 單位是 kgw, v 是引擎帶動物體的速度, 單位是 m/sec 現在有一貨車拉動軌道上重 1000 公斤的貨車, 而纜線與水平線的夾角是 30, 貨車的速度是 15m/sec, 求貨車引擎的馬力 (19) 設 D 是平行四邊形, =2, =3, 則.D =? ~3121~
(20) 中, 設 (2,1),(1,2),(4,3), 試求 的垂心 H (21) 三向量 a, b, c, 若 a + b + c = 0, 且 a =2, b =3, c =4, 則 (a) a. b + b. c + c. a =? (b) 求 a 與 b 之夾角,cos=? (22) 一單位圓之內接, 圓心 O, 若 4O+5O+6O= 0, 則 (a)o.o =? (b) =? (23) 如圖所示, 一公路依地形迂迴而建, 從 地到 地, 地到, 地到 D 地, 距離分別是 4 3 11 6 公里, 而 與, 與 D 間, 兩公路的夾角分別是 90 120, 試求 地到 D 地的直線距離 進階問題 D (24) 設 a b 均非零向量, 若 a 在 b 方向的投影量為 b 的 3 倍, 而 b 在 a 方 1 向的投影量為 a 的倍, 則 a 與 b 之夾角為何? 6 (25) 中, a =O, b =O, c =O, a + b + c = 0, a. b =1, b. c =2, c. a =3, 則 : (a) 2 a +3 b +4 c = (b) 之面積為 (26) 若 a = b 0, 且 a + b a b = 2 a, 求 a, b 之夾角 (27) 坐標平面上, 三點不共線, 若 O+O+O= 0, O =1, O =2, O = 2, 求 (a)o 與 O 之夾角 的正弦值, (c) O +2OO =? (b) 的面積 (28) 設 O 為原點, 以 G(12, 5) 為圓心,7 為半徑作一圓, 再作此圓之一內接正, 試求 O + O + O 之値 ~3122~
綜合練習解答 (1)(a) (5,12) (b)13 (c)3 (d) (2,5) 31 (2)(a) x 1, y 2 (b) 1 或 17 (3)() (4)()()(E) (5)(4,20) (6)( 全 ) (7)(1, 1) (8) 2 5 5 (, ) 5 5 (9)(a) (9,3 3) (b) (a) O = (8,0), 7 3 x, y 8 2 = (4cos 60,4sin 60 ) = (2,2 3), = (2cos120, 2sin120 ) = ( 1, 3), D = (cos180,sin180 ) = ( 1,0), O = O + + 點坐標為 (9,3 3) (b) OD = O + + 又 OD = x O + y O = (8,0) + (2,2 3) + ( 1, 3) = (9,3 3) + D = (9,3 3) + ( 1,0) = (8,3 3), (8,3 3) = x (8,0) + y (10, 2 3) = (8x 10 y,2 3 y) 7 3 8x 10y 8 且 2 3y 3 3 x, y 8 2 5 (10)(a) (b) 24 4 (11)(a)3 (b) 4 3 (12) (a) 84 (b) 26 (13)(1)(2)(5) (14)(9,1) [ 解法 ]: 依題意, 令 Q1(2t,t) Q2(5s,3s) P(x,y) Q1P=(x+2t,yt)=(7,9) Q2P=(x5s,y3s)=(6,8) x 2t 7(1) x 5s 6(3) 得到 與 y t 9(2) y 3s 8(4) (1)(3) 得到 2t+5s=1,(4)(2) 得到 t3s=17 解得 s=3 t=8 故 (x,y)=(9,1), 因此 P 點坐標為 (9,1) (15)31 (16)60 (17) 7 8 (18)100 3 ~3123~
(19)5[ 提示 :. D=(+ ).( +D)=( +).( )] (20)( 5 2,3 2 ) (21) (a) 29 2 (b) 1 4 (22) (a) 1 8 (b) 3 2 [ 提示 : O = O = O =1] (23)7 7 公里 [ 提示 :D=+ +D] (24)45 [ 提示 : a 對 b 方向的投影量為 a cos, 其中 為 a 與 b 之夾角 ] (25) (a) 15(b) 3 11 2 (26)30 [ 提示 :(a) a ( a + b + c )= a 2 + a b + a c =0 a =2 同理可以求得 b = 3, c = 5, 再求 2 a +3 b +4 c 2 的值 (b)=o+o+o] [ 提示 : 可令 a, b 之夾角, 因為 a = b, 所以 a + b =2 a cos 2., a b = a sin 2 ] (27)(a) (28)39 7 4 (b) 3 7 4 (c) 22 ~3124~