多變量微積分 (I 偏導數 (A 多變數函數 設 為所有實數所成的集合, 為所有二元有序實數組所成的集合, 即 {(,, } 若, 且對每一 (,, 在 中有唯一的 z 與之對應, 則函數 f: 稱為兩個變數的實值函數, 為函數 f 的定義域, 為函數 f 的對應域, 在 中有被對應的 z 所成的集 合, 稱為 f 之值域 中元素 (, 所對應的 z 值, 記作 f (,, 即, 稱為自變數, z 稱為因變數 例題. f (, z f (, 9, 求 (a f(1,-4;(b f 的定義域 二變數函數 z f (, 的圖形, 即集合 {(,, f (, (, } 為三維空間的一曲面 二變數函數之圖形, 一般來說, 畫起來並不容易 我們可藉等高線 ( Level curve 來了解曲面 此曲面與高度為 c 之平面 z 曲線 f (, c, 稱為 f 之一等高線 在曲線 f (, 們只要看等高線圖, 對函數 z f (, 即有所了解 c 的相交曲線, 投影於 平面上所得之水平 c 上的各點, 函數 f 均有相同的值 我 例題. 求作函數 z f (, 5 的圖形 Souther Tawa Uverst 1
例題. 試求函數 z f (, 的等高線 三變數或其他多變數函數, 可仿上定義推廣之 例如, 三變數函數 u f (,, z 3 定義為對每一 (,, z {(,, z,, z }, 在 R 中有唯一 u 與之對應 對某些常數 c 而言, 滿足 f (,, z surfaces c 之點 (,, z 的集合為一曲面, 此曲面稱為 f 之一等高曲面 (Level Souther Tawa Uverst
(B 極限與連續 定義 : 設 (, 為函數 f 之定義域 內一固定點, 若當 內之動點 (, 趨近於 (, 時, d (,,(, ( ( 趨近於, 恒能使得 f (, 趨近於一實數 亦即 L, 亦即 f (, L 之值會趨近於, 則稱當 (, 趨近於 (, 時, 函數 f (, 的極 限為 L, 記作 lm f (, L (, (, 並且我們說 f 在點 (, 之極限存在, 其極限值為 L 在單變數函數的情形, f ( 在 a 處的極限為 L, 若且唯若 lm f ( lm f ( L a a 有關二變數的情況就比較複雜 因在 平面中, 有無數條不同的曲線 ( 稱為路徑 趨近於 (,, 欲使 lm f (, (, (, 存在, 則須對於沿著趨近於 (, 之所有可能路徑, f 均趨近 於相同值 L 換言之, 若存有二條趨近於 (, 之不同路徑, 使得 f (, 趨近於不同值, 則 lm f (, 不存在 (, (, 定理 : 若 f (, c, c 為一常數, 則 lm f (, c (, (, 定理 : lm (, (, 及 lm (, (, 定理 : 若 lm f (, L 及 (, (, (1 lm (, (, (, (, ( lm kf (, (, (, 1 lm g(, L, 則 (, (, f g L L (3 lm f (, g(, (4 例題. 求 1 1 kl, 其中 k 為一常數 Souther Tawa Uverst L 1L (, (, lm (, (, lm (, (1, f (, g(, L L 1 ( L 3
例題. 設 f (,, 證明 lm f (, (, (, 例題. 設 f (,, 求 3 lm f (, (, (, 當 (, 沿著 軸 ( 即 趨近於 (, 時, 又當 (, 沿著 軸 ( 即 趨近於 (, 時, 故 lm f (, (, (, 例題. 設 f (,, 求 lm f (, (, (, 當 (, 沿著直線 趨近於 (, 時, 又當 (, 沿著直線 趨近於 (, 時, 故 lm f (, (, (, 例題. 求 3 lm Souther (, (, Tawa Uverst 定義 7.5 (1 若 lm f (, f (, 則稱函數 f (, 在點 (, 為連續 換言之, 對任意動點 (, (, (,, 若 ( (, 恒能使得 f (, f (,, 則稱函數 f (, 在點 (, 為連續 ( 若函數 f (, 在區域 內每一點均為連續, 則稱 f 在 為連續 4
定理 : 令, 若函數 f, g : R 在點 (, 連續, 則 (1 函數 cf, f g 與 f g 均在點 (, 連續, 其中 c 為常數 ( 當 g(, 時, 函數 f g 在點 (, 連續 定理 : 若 1,, 且函數 f : 1 與 g : R 分別在點 (, 1 與 f (, 連續, 則合成函數 g f : 1 R 亦在點 (, 連續 m 若函數 f (, 為形如 a 之諸項的和 ( 其中 a, m, 為非負整數, 則稱 f 為二變數的多 項式函數 若 h(, f (, 其中 f, g 均為多項式函數, 則稱 h 為二變數的有理函數 多項式 g(, 函數在整個 平面為連續, 而有理函數在分母為 之點外的所有點為連續 例題. 討論 f (, 的連續性 例題. 設函數 f 與 g 分別定義為 : 與 試問 f, g 在 (, 是否連續?, (, (, f (,, (, (,, (, (, g(,, (, (, Souther Tawa Uverst 5
(C 偏導數 1. 偏導數 (partal dervatve 的定義及符號 設 z f (, 為定義於區域 之函數, 且 (, 則二單變數函數 ( f (, ( f (, 之圖形為曲面 z f (, 分別與平面 及 之交集, 均為空間曲線, 分別稱為 f 在 軸 方向與 軸方向的偏函數 ( 或切片函數 f 若視 為常數, 則 在點 之導數, 稱為 f 在點 (, 對 之偏導數, 記作 (,, 即 f d ( ( f (, f (, (, lm lm d 同理, 若視 為常數, 則 在點 之導數, 稱為 f 在點 (, 對 之偏導數, 記作 f (,, 即 f d ( ( lm (, d f (, f (, lm 註 : 符號 為亞可比 ( Jacob,184-1851 所介紹, 讀為 Partal 或 roud f 在 中所有能使 (, f 記作 (,, 即 存在的點 (, 定義為一函數, 則稱此函數為 f 對 之偏導函數, Souther f f (, f (, (, lmtawa Uverst f 同理, 在 中所有能使 (, f (,, 即 偏導函數之符號尚有其他表示法, 如 : 存在的點 (, 定義為一函數, 稱為 f 對 之偏導函數, 記作 f f (, f (, (, lm 6
f f D f f f f D f f 至於兩個以上變數函數之偏導函數, 可仿此定義之 例如 : 函數 u f (,, z 有下列之偏導函數 : f f D f f, f D f 1 f z, f z z D f 例題. 設 f (, f 3 3, 求, f f f 及 (1,, (1, 例題. 設函數 3 f f f f (,, z l( z, 求, 及 z 例題. 設 3 3,(, (, f (,,(, (, f 及 f (,, 求 (, 由定義知 f (, lm f (, f (, lm 1 Souther f (, f (, Tawa Uverst f (, lm lm 1. 偏導數的幾何意義二變數函數之兩個偏導數, 均具有其幾何意義 如圖 7-6, 因單變數函數在一點的導數是其圖形過該點的切線斜率, 故我們知函數 z f (, 在點 (, 之偏導數 f (, lm f (, f (, ( ( lm ( 7
表曲面 z f (, 與平面 相交所成之切片函數 ( f (, 過點 P(,, z 之切線 L1 的斜率 而偏導數 f (, f (, f (, lm ( ( lm ( 表曲面 z f (, 與平面 相交所成之切片函數 ( f (, 過點 P(,, z 之切線 L 的斜率 此二切線的方程式分別為 z z f (, ( L1 : z z f (, ( 與 L : 例題. 設一橢圓拋物面之方程式為 18z 4 9, 試求平面 3與曲面相交的曲線在點 (3,,4 之切線斜率 例題. 求球面 z 14 與平面 1相交的曲線在點 (3,1, 之切線方程式 Souther Tawa Uverst 3. 高階偏微分以上所討論之偏導函數, 均稱為第一階偏導函數 如將此等求得之偏導函數, 再對 等自變數繼續求偏導函數, 則形成第二階偏導函數, 如 f f f D D f D f f f f D D f D f 8
f f f D D f D f f f f D D f D f 兩個以上變數之函數的其他高階偏導數函數亦可依此類推 3 f 例題. 設 f (, e e, 求 f 及 例題. 設 3 f (, l(, 求 f, f, f, f 定理 : 設 f 為二變數函數且 為 之一開集合 若 f, f, f 與 f 在 皆為連續, 則對 中 的每一點 (,, f (, f (, Souther Tawa Uverst 9
(D 連鎖律 定理 : 設函數 u f (,, 且 f, f 均為連續 若 ( s, t, ( s, t, 且 s, t, s, t 皆存 在, 則 (1 ( u f f s s s u f f t t t 推論. 設函數 u f (, 且 f, f 均連續 若 ( t, ( t 且 ( t, ( t 皆存在, 則 du u d u dt dt dt 例題. 設 u l, 且 e t du, t 1, 求 dt u u 例題. 設 u, 且 s t, s t, 求, s t 隱函數微分公式 : 得 設 u F(, 之第一階偏導函數連續, 且可微分函數 f ( 滿足方程式 F(, 或 F(, f ( Souther Tawa du F F duverst d d F 若, 則 d F / d F / 3 d 例題. 若方程式 1, 求 d 1
(E 多變數函數的極值 1. 二階偏導數檢定法 定義 : 設函數 z f (, 定義於區域, 且 (, 若對 (, 之ㄧ鄰域 N (, (, d((,,(, 內任一點 (,, 恆有 f (, f (, 則稱 (, 為 f 之ㄧ相對 ( 局部 極大點, 而 f (, 為 f 之ㄧ相對極大值 同理, 若對 N (, 內任一點 (,, 恆有 f (, f (, 則稱 (, 為 f 之ㄧ相對 ( 局部 極小點, 而 (, 為 f 之ㄧ相對極小值 定理 : 若函數 z f (, 在 內一點 (, 有一極大或極小值, 且 f (, 與 f (, 均存 在, 則 定理 ( 二階偏導數檢定法 : f (,, f (, 設函數 z f (, 在 內一點 (, 之鄰域中各二階偏導函數皆存在, 且為連續 若 f (,, f (,, 令 f (, (, (, f f 則 (1 當, 且 f (, 或 f (, 時, f (, 為一極大值 ; ( 當, 且 f (, 或 f (, 時, f (, 為一極小值 ; (3 當 Souther 時, f (, 既非極大值亦非極小值 Tawa, 而稱 Uverst (,, (, f 為 f 之一鞍點 ; (4 當 時, 我們無法用此法判定 (, 為 f 之極端點或鞍點 11
例題. 試求函數 f (, 1 8 3 3 之極值及鞍點 例題. 試求點 (1,,1 至平面 z 7 之最短距離. 拉格蘭日乘數法則 定理 : 設 f (, 與 g(, 在域 內之一階偏導函數均存在, 且為連續 又對 內任一點 (,, 均有 g (, g (, 若 (, 是滿足方程式 g(,, 而使 f (, 有極值之點, 則存在, 使得 (,, 為下面方程組之 f (, g(, f (, g (, g(, Souther Tawa Uverst 在此定理中, 稱為拉格蘭日乘數 (Lagrage multpler 推論. 若在條件 g(,, z, h(,, z 下, 欲求函數 u f (,, z 之極值, 可令 L(,, z,, f (,, z g(,, z h(,, z 1 1 極值點 (,, z 可從下列方程組中解出,, z, 1, 而得 : L L L L L,,,, z 1 1
z 例題. 設 a, b, c, 平面 1交三座標軸於 A,B,C 三點, 過 ABC 內一點 a b c P(,, z 作三座標平面之平行平面, 試求此三平面與座標平面所圍成最大六面體之體積 例題. 求二平面, z 4 之交線上, 最接近原點之點, 並求該點與原點的距離 Souther Tawa Uverst 13
(F 最小平方法 應用到統計學上求數個資料之迴歸直線的方法 ( 稱為最小平方法 設 1 1 (,,(,,,(, 為由實驗收集所得的一些資料 這些資料在座標平面上描出, 所 得之點集合, 稱為散佈圖 若這些點之分佈情形很近一直線, 我們想求最 靠近 這些點的直 線 令 設此直線方程式為 f ( a b e f (, 1,... 表觀測值 與估計值 f ( 之差 我們稱 e 為以 f ( 來近似 時之誤差, 如圖 7-11 所示 欲使 f 最佳配合 (best ft 這些資料, 一種很有用之方法為使所有 e 之平方和為最小 令 E e1 e... e 1 ( 1 ( ( f 1 f f f ( 1 ( a b 利用最小化誤差平方和而求得之 最佳配合直線 a b, 稱為資料 (,,(,,,(, 的最小平方直線或迴歸線 (Regresso le 1 1 我們將 E 看成 a, b 的二變數函數 E E ( a, b ( a b 1 欲求 E 之極小值, 則須使其第一階偏導數等於, 利用連鎖律及 1 b b, 可得 E a E b Souther Tawa Uverst E ( a b a b a 1 1 1 1 及 E ( a b a b b 1 1 1 14
故方程組可改寫成如下之正規方程式 : 解方程組, 可得 ( a b 1 1 ( a ( b 1 1 1 即 a 1 1 1 1, b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 由 得 E a, 及 E E ( E a b a b E ( ( a b, a 1 1 1 1 ( 1 1 ( ( ( ( 1 1 1 1 ( 1 1 E E E, a b b a 1 a 4 ( 4 ( 1( ( ( j 1 1 1 1 1 1 j1 Souther a b 值, 確能最小化誤差平方和 Tawa Uverst 故上述方程組解得之, 15
例題. 某公司為了研究廣告費對銷售量的影響, 收集了如下表的資料 為以萬為單位的廣告 費, 為以萬為單位的銷售量 試求其迴歸線 廣告費 3 4.5 5.5 7 銷售量 3 6 8 1 11 其圖形和資料分佈如下圖 : 例題. 下表顯示美國從 1963 到 1968 的工業生產指數 試利用最小平方法求其發展趨勢 : 年份 ( 1963 1964 1965 1966 1967 1968 指數 ( 79 84 91 99 1 15 Souther Tawa Uverst 16
(II 重積分 (A 在矩形上的二重積分 設 R 為 平面上的矩形區域 : R {(, a b, c d } 我們可用平行 軸及 軸的直線將 R 分割成 個小矩形, 並將這些小矩形記為 R1, R,..., R 設 R k 的面積為 Ak, k 1,,..., 令 P 為所有 R k 中最大的對角線長度 現在考慮一個定義在 R 上的二變數函數 f (, 在每一個 R 上選一點 (,, 則 k1 k f (, A f (, A f (, A... f (, A k k k 1 1 1 稱為 f 對分割 P { R1, R,..., R } 的黎曼和 (Rema sum 若極限 k k lm (, f k k A k P k 1 稱 f 在 R 上可積分 (tegrable over R 此極限值稱為 f 在 R 上的二重積分 (double tegral of f over R, 並記為 R f (, da lm f (, A P k 1 k k k 定理 : 若 f (, 是定義在矩形 R 上的連續函數, 則 f 在 R 上可積分 存在, 則 定理 : (1 二重積分是線性的, 亦即若 f, g 在矩形 R 上連續, 則 kf (, da k f (, da,k 是任一常數 R R [ f (, g (, ] da f (, da g(, da R R R ( 設 R 1和 R 是兩個不重疊的矩形, 且其交集為一線段 若 f 在 R1, R 連續, 則 Souther f (, da f (, da Tawa f (, da Uverst R1 R R1 R (3 若 f, g 在矩形 R 上連續, 且 f (, g (, (, R, 則 R f (, da g(, da R 1,, 1 例題. 設 f (,, 試求 (,,,1 f da, 其中 R R {(, :, } 17
(B 疊積分 1. 在矩形上計算二重積分假設 f (, 是定義在矩形 R 上的連續函數, 其中 R {(, a b, c d} 例題. 試求 1 f (, dd f (, d d b d b d (8 4 dd a c a c. 在非矩形區域上的二重積分 如下 : 假設 S 為平面上包含於矩形 R 上的區域, f (, 為定義在 S 上的函數 現在定義一函數 f (,, (, S F(,, (, R \ S F(, 為定義在 R 上函數 若 F(, 在 R 上可積分, 則我們稱 f (, 在 S 上可積分, 且 f (, 在 S 上的二重積分定為 : S f (, da F(, da 第一型區域 : 假設 g1, g :[ a, b] R 是兩連續函數, S {(, a b, g ( g ( } R 1 第二型區域 : 假設 h1, h :[ c, d] R 是兩連續函數, S {(, h ( h (, c d } 1 Souther Tawa Uverst 18
定理 : 設 f (, 是定義在區域 S 上的連續函數 (1 若 S 為第一型區域, 則 ( 若 S 為第二型區域, 則 定理 (Fub 定理 : S S b g ( f (, da= f (, dd a g1 ( d h ( f (, da= f (, dd c h1 ( 若 f (, 在區域 S 上連續, 且 S 可同時表示為第一型及第二型區域, 則 f (, da S b g ( = f (, dd a g1( d h ( c h1 ( f (, dd 例題. 試求 (1 1 da, 其中 S {(,, } S Souther Tawa Uverst 19
例題. 試求 4e da, 其中 S 為由 S, 4, 所圍成之區域 例題. 求 4 1 3 dd Souther Tawa Uverst
(C 二重積分之變數變換 定理 : 設 f (, 為在區域 S 上之連續函數, 若變數變換 g ( u, v h( u, v 將 uv 平面上之區域 S 以一對一映射至 平面上之區域 S, 且 Jacoba 為 (, u v J ( u, v,( u, v S ( u, v u v 則 S f (, dd f ( g( u, v, h( u, v J ( u, v dudv S 例題. 設 為由 軸, 軸及直線 所圍成之區域, 求 e dd 例題. 設 為由曲線 1,, 4 與 所圍成之區域, 求 dd Souther Tawa Uverst 1