第5章 隨機變數與機率分配

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1 第 5 章隨機變數與機率分配 大綱 學習目標 ( 瞭事件機率與機率分配之關係 ( 瞭離散型機率分配離散型機率分配之概念與性質 ( 瞭連續型機率分配連續型機率分配之概念與性質 ( 瞭累積分配函數累積分配函數之概念與性質 (5 瞭二元隨機變數二元隨機變數之邊際機率函數邊際機率函數及條件機率分配 (6 瞭獨立隨機變數獨立隨機變數之特性 /88 5. 隨機變數 5. 機率分配 5. 二元隨機變數之機率分配 5. 隨機變數函數之機率分配 /88 5. 隨機變數 5.. 隨機變數之型態 (/ 5.. 隨機變數之型態 ( 一 離散型隨機變數 ( 二 連續型隨機變數 Varable Radom varable, R.V. /88 隨機變數依其產生結果之數值個數可分為以下兩種型態 : ( 一 離散型隨機變數 (dscrete R.V. 指所有可能產生的數值個數為有限或無限可數有限或無限可數的隨機變數 例如 : 隨機檢查兩個產品所得之不良品個數, 此數值可能為,, ( 二 連續型隨機變數 (cotuous R.V. 指所有可能產生的數值個數為無限且不可數之隨機變數 例如 : 隨機測量一大學生的身高, 此數值可能為 至 之間的任意實數 /88

2 5.. 隨機變數之型態 (/ 5. 機率分配 例題 5. 觀察投擲硬幣兩次的實驗, 令隨機變數 X 表示此實驗所得到的正面次數, 則它的樣本空間為 {( 正, 正,( 正, 反,( 反, 正,( 反, 反 }, 而每次實驗的結果皆為一樣本點, 且這些樣本點所對應之數值分別為 ( 正, 正,( 正, 反, ( 反, 正, ( 反, 反 即隨機變數 X 的結果可能為,,, 其中 則為隨機變量則為隨機變量 5.. 離散型隨機變數之機率分配 5.. 連續型隨機變數之機率分配 5/88 6/ 離散型隨機變數之機率分配 (/9 ( 一 離散型隨機變數之機率分配當隨機變數 X 為離散型, 且機率函數 f( 必須滿足 : ( f = P( X = ( f ( (, 對所有實數 5.. 離散型隨機變數之機率分配 (/9 例題 5. 投擲硬幣二次, 令隨機變數 X 表出現正面的次數, 請找出 R.V.X 的機率函數 f ( ( f =,,,, 代表隨機變數 X 所有可能 = ( 產生的值 7/88 8/88

3 5.. 離散型隨機變數之機率分配 (/9 5.. 離散型隨機變數之機率分配 (/9 因為 X 的所有可能值為,, 所以當 X=, 表示其樣本點為 ( 反, 反 的事件, 因此, f ( = P( X = = P{( 反, 反 } = X=, 表示其樣本點為 ( 正, 反 及 ( 反, 正 的事件, 因此, f ( = P( X = = P{( 正, 反, ( 反, 正 } = = X=, 表示其樣本點為 ( 正, 正 的事件, 因此, f ( = P( X = = P{( 正, 正 } = 9/88 所以 R.V.X 之機率函數 其機率分配可表示如下表 :, = f ( =, =, = / 離散型隨機變數之機率分配 (5/9 5.. 離散型隨機變數之機率分配 (6/9 承上頁, 其機率分配圖如下圖所示 : 例題 5. 若函數 請問 k=? f ( 為一機率密度函數, k( -, =,, f ( =, 其他 /88 /88

4 5.. 離散型隨機變數之機率分配 (7/9 5.. 離散型隨機變數之機率分配 (8/9 因為 f ( 為一機率密度函數, 由機率函數之定義得知, = f ( = f ( + f ( + f ( = = k( - + k( - + k( - = 5k, 所以 k = 5 /88 例題 5. 已知 8 台電腦中有 台是瑕疵品 今隨機從此 8 台電腦中抽取 台, 請問所抽取電腦之瑕疵品個數之機率質量函數 (p.m.f. 為何? 令 X 表抽取電腦之瑕疵品個數, 則 X 為一隨機變數, 且 X= 或, 其機率函數可計算如下 : C C 5 f ( = P( X = = = 5 8 C ( 台瑕疵品取 台, 再由剩下 5 台裡品中抽取 台 C C 5 f ( = P( X = = = C ( 台瑕疵品取 台, 再由剩下 5 台裡品中抽取 台 / 離散型隨機變數之機率分配 (9/9 5.. 離散型隨機變數之機率分配 (/9 5 C C 承上頁, f ( P( X 8 C = = = = 8 ( 台瑕疵品取 台, 再由剩下 5 台裡品中抽取 台 由此可得其機率分配可表示如下表所示 : f( 5/ 5/8 /8 合計 ( 二 離散型隨機變數 X 之累積分配函數假設 X 為一離散型隨機變數, 且 f ( 為 R.V.X 的機率函數, 則 X 之累積分配函數為 F( = P( X = F( ( 三 累積分配函數 F( 特性 ( F( 為遞增函數 ( 如果, F F( ( f( = F( F(, 若隨機變數 X 為離散型且其所有變量由小到大依序排列為,,,, 則 f F( F ( ( = ( 5/88 6/88

5 5.. 離散型隨機變數之機率分配 (/9 5.. 離散型隨機變數之機率分配 (/9 例題 5.5 承例 5., 試求電腦瑕疵品數之累積分配函數 F(, 並畫出其累積分配函數圖 由 F( = f ( 得知, 當 <, F( =, 當 <, F( = f ( =, 當 <, F( = f ( + f ( = + =, 當, F( = f ( + f ( + f ( = + + =, /88 承上頁, 所以, 其累積分配函數累積分配函數如下表所示如下表所示 F( (-, [, 5/ [, 5/8 [, 而其累積分配函數圖累積分配函數圖亦可如下圖所示亦可如下圖所示 F( 5/8 5/ 8/ 離散型隨機變數之機率分配 (/9 5.. 離散型隨機變數之機率分配 (/9 例題 5.6 某公司考慮一個新的生產計劃 而該計劃可能報酬之機率分配如下 : 報酬 X f ( = P( X = 合計. ( 試問該計劃報酬之累積分配函數為何? ( 試問該計劃報酬為正值的機率為何? 9/88 ( 因為累積分配函數 F ( = P( X, 所以, <., < F( =.6, < 5.8, 5 < 7, 7 ( P( X > = F ( =. =.7, 或 P( X > = P( X = + P( X = 5 + P( X = 7 = =.7 /88

6 5.. 離散型隨機變數之機率分配 (5/9 5.. 離散型隨機變數之機率分配 (6/9 例題 5.7 若一離散型隨機變數 X 之累積分配函數 F( 如下 :, <, < F ( =, < 5, 5 請找出 R.V.X 的機率質量函數 f (? ( 如果 <, 則 f ( = F( - F( - = - = ( 如果 =, 則 f ( = F( - F( - = - = ( 如果 < <, 則 f ( = F( - F( - = - = ( 如果 = -, 則 f ( = F( - F( = - = 6 - (5 如果 < <5, 則 f ( = F( - F( = - = - (6 如果 =5, 則 f (5 = F(5 - F(5 = - = (7 如果 >5, 則 f ( = F( - F( - = - = /88 / 離散型隨機變數之機率分配 (7/9 5.. 離散型隨機變數之機率分配 (8/9 所以 R.V.X 的機率質量函數,, =, f ( = 6 =, = 5, 其他 例題 5.8 若 R.V.X 之 c.d.f.f( 如下 :, < -, 5 - < F ( =, < 5, 5 < 7, 7 試問 R.V.X 之 p.m.f.f ( 為何? /88 /88

7 5.. 離散型隨機變數之機率分配 (9/9 因為 F( 之跳躍點為 =-,=,=5,=7 且 - f (- = F(- - F(- = - = 5 5, = f ( = F( - F( = - =, = 所以 R.V.X 之 p.m.f. f ( =, = 5 f (5 = F(5 - F(5 = - = 6 6, = 7 - f (7 = F(7 - F(7 = - =, 其他 5.. 連續型隨機變數之機率分配 (/ ( 一 連續型隨機變數之機率函數若函數 f ( 滿足下列三個條件, 則稱 f ( 為一連續型隨機變數 X 之機率密度函數 ( ( 若 X 為一實數, 則 ( b P( a b = f ( d a f ( d = f ( 5/88 6/ 連續型隨機變數之機率分配 (/ 例題 5.9 某銀行顧客接受服務等待時間為 至 5 分鐘, 假設其機率密度函數 f (=., 即 至 5 分鐘的可能性一致 求等待時間低於 分鐘的機率為何? f (=. 的機率密度函數圖形如下圖所示 F(. 5.. 連續型隨機變數之機率分配 (/ 例題 5. 若函數, < < f ( = 7, 其他 請問 f ( 是否為一機率密度函數? 思考 5 陰影部份的面積為等待時間低於 分鐘之機率, 因此 P( X =. =. 7/88 8/88

8 5.. 連續型隨機變數之機率分配 (/ 5.. 連續型隨機變數之機率分配 (5/ ( 當 < <, f ( = 7 當 或, f ( = 所以對所有實數 時, f ( ( 8 f ( d = d = = = b 所以當一隨機變數 X 定義為 P( a X b f( d, = 則 f ( 即為 R.V.X 之機率密度函數 a 例題 5. k, 若函數 f ( =, 且 f ( 為一機率密度函數, 試問 k=?, 其他 因為 f( 為一機率密度函數, 由機率密度函數之定義得知, = f ( d = k d k d k k = = = 所以,k=/ 9/88 / 連續型隨機變數之機率分配 (6/ 5.. 連續型隨機變數之機率分配 (7/ 例題 5. 假設一連續行隨機變數 X 之機率密度函數 f (=.-.8, 5 求 : ( P( < < =? ( P(- < < =? ( P( < < = f ( d = (.-.8 d =. -. =. - =.[(-6-(- ] =. ( P(- < < = P(- < X < + P( X < = + (. -.8 d =.8 /88 ( 二 連續型隨機變數之累積分配函數假設 X 為一連續型隨機變數, 且 f ( 為其機率密度函數, 則 X 之累積分配函數 : 例題 5. F( = P( X = f ( t dt 令一連續型隨機變數 X 之 p.d.f 如下 :, < < f ( = 7, 其他 請找出 R.V.X 之累積機率函數 F( =? /88

9 5.. 連續型隨機變數之機率分配 (8/ 5.. 連續型隨機變數之機率分配 (9/ ( 當, F ( = f ( t dt = ( 當 < <, ( ( t t F = f t dt = dt = = ( 當, F( = f ( t dt = f ( t dt + f ( t dt + f ( t dt 因此, t t 8 = dt + dt + dt = 7 = = 7 7, F( =, < < 7, /88 例題 5. d 承例 5., 請驗證 f ( = F( d d d - 當 < <, F( ( f ( d = d 7 = 7 = df( 當, F( = = = f ( d df ( 當, F( = = = f ( d / 連續型隨機變數之機率分配 (/ 5. 二元隨機變數之機率分配 例題 5.5 若連續 R.V.X 之 c.d.f 如下 : F( =, < - - e, 試求 ( R.V.X 之 c.d.f f (=? ( P( X =? d d ( 當, f ( = F( = (- e = e d d 當 <, F( = f ( = 所以, f ( =, < - e, - - ( P( X = F( - F( = - e -+ e = - e - - 5/ 離散型二元隨機變數 5.. 連續型二元隨機變數 5.. 邊際機率函數 ( 一 離散型二元隨機變數之邊際機率函數 ( 二 連續型二元隨機變數之邊際機率函數 5.. 條件機率分配 ( 一 離散型隨機變數之條件機率函數 ( 二 連續型隨機變數之條件機率函數 5..5 獨立隨機變數 5..6 多元隨機變數 6/88

10 5.. 離散型二元隨機變數 (/7 5.. 離散型二元隨機變數 (/7 ( 一 離散型二元隨機變數 (X,Y 之聯合機率 ( 質量 函數若 X Y 為離散型隨機變數, 且,,, 為 R.V.X 之所有變量, y, y,, ym 為 R.V.Y 之所有變量, 則 f (, y 為二元隨機變數 ( X, Y 之聯合機率函數, 若且為若 f (, y 滿足下列三個條件 : ( P( X =, Y = y = f (, y ( 對所有的 y, f (, y ( m = j= j j f (, y = j j j 7/88 例題 5.6 在一產品之市場調查中, 發現消費者欲購買此產品與否 ( 以 X 表示 與消費者年齡 ( 以 Y 表示 之資料如下 : Y X 總和 (6~5 (6~5 (6~65 ( 不買 ( 欲購買 總和 5 5 請問 ( RV..( X, Y 之聯合機率函數為何? ( 6~5 歲且欲購買此產品之比例為何? 8/ 離散型二元隨機變數 (/7 5.. 離散型二元隨機變數 (/7 ( 之聯合機率函數 ( X Y f (, y (6~5 如下表所示 : (6~5 (6~65 總和 ( 不買.... ( 欲購買 總和.5.5. P( X =, Y = = f (, =.5 例題 5.7 已知一盒子中有三顆藍球, 二顆紅球, 四顆綠球 今隨機從盒中抽取二顆球, 令 X 表抽取之藍球數,Y 表抽取之紅球數, 試問 : (R.V.(X,Y 之 j.p.f f (,y 為何? ( 請利用聯合機率函數的定義, 驗證 ( 所找出之 f (,y 為一聯合機率函數 ( P( X, Y = =? ( P( X + Y =? 9/88 /88

11 5.. 離散型二元隨機變數 (5/7 5.. 離散型二元隨機變數 (6/7 9 ( 由盒中九顆球中取二個球共有 C 種情形, 而取出的球有 顆藍球,y 顆紅球之方法共有 C 種情形, 所以 CyC-- y CCyC-- y f (, y =, + y, 且, y 為整數為 9 C 由此得知 6 8 f (, =, f (, = 6 6 f (, =, f (, = f (, =, f (, = 6 6 /88 承上頁, 因此,R.V.(X,Y 之聯合機率函數 f(,y 亦可以下表表示 Y X C C C ( 因為 9 C 6/6 /6 /6 8/6 6/6 - /6 - - y -- y,, y為整數且 + y, 其他 / 離散型二元隨機變數 (7/7 5.. 連續型二元隨機變數 (/5 承上頁, 所以對所有,y, f (, y, 且 f (, y = = = y= 由此可知 f (,y 為 R.V.(X,Y 之聯合機率函數 ( P( X, Y = = P( X =, Y = + P( X =, Y = + P( X =, Y = = + += ( P( X + Y = P( X =, Y = + P( X =, Y = + P( X =, Y = = + + = = /88 ( 一 連續型二元隨機變數 (X,Y 之聯合機率函數若 f(,y 為連續型二元隨機變數 (X, Y 之聯合機率密度函數, 若且為若 f(,y 需滿足下列三個條件 : ( P[( X, Y A] f (, y ddy, 對任何 y 平面之區 域 A 註,( 註 : 表函數以 A 為底所形成之體積 ( f (, y, 對所有實數, y ( = A f (, y ddy = /88

12 5.. 連續型二元隨機變數 (/5 5.. 連續型二元隨機變數 (/5 例題 5.8 ( + y,, y 若 f (, y =, 其他 ( 請問 f (, y 是否可為一連續型二元隨機變數之聯合 機率密度函數 j.p.d.f.? ( 若 ( 成立, 試求 P( < X <, < Y < =? ( 若 ( 成立, 試求 P( X + Y < =? ( 定義 P ( a d b X b, c Y d = f (, y ddy c a 當, y, f (, y = ( + y 當 (, y 在上述條件之外, f (, y = 因此, 對任意,y, f (, y f (, y d dy ( y d dy [ y] dy = + = + = + ydy = y + y = = 由上述之條件得知 f (, y 為連續型隨機變數 (, y 之 j.p.d.f. 5/88 6/ 連續型二元隨機變數 (/5 5.. 連續型二元隨機變數 (5/5 ( P( < X <, < Y < = f (, y ddy = ( + y ddy = + y dy = + ydy 7 7 = y + y = = 6 96 ( 要計算 P( X + Y <, 即計算函數 f (, y = ( + y 在以底為 + y < 的條件下所對應之體積, 所以 P( X + Y < = ( [ ] + y dy d = y y d + = + d = + + d ( ( = [ + + ] = = 7/88 8/88

13 5.. 邊際機率函數 (/7 5.. 邊際機率函數 (/7 ( 一 離散型二元隨機變數之邊際機率函數令 ( X, Y 為一離散型二元隨機變數, 且,,, 為 X 之所有變量, y, y,, ym 為 Y 之所有變量, f (, y 為二元隨機變數 ( X, Y 之聯合機率函數, 隨機變數 X Y 之邊際機率函數分別可以 g( h( y 表示如下 : R.V.X 之邊際機率函數 : g( = P( X = = P( X =, Y = y = f (, y R.V.Y 之邊際機率函數 : m j j= j= h( y = P( Y = y = P( X =, Y = y = f (, y m = = j ( 二 連續型二元隨機變數之邊際機率函數令 ( X, Y 為一連續型二元隨機變數且 f (, y 為 RV.. ( X, Y 之聯合機率密度函數, 則 g ( = f (, y dy h( y = f (, y d 9/88 5/ 邊際機率函數 (/7 5.. 邊際機率函數 (/7 例題 5.9 承例 5.7, 試問隨機變數 X Y 的邊際機率分配為何? R.V.X 之邊際機率分配 g( 如下 : g( = f (, y = f (, + f (, + f (, y= = + + = = g( = f (, y = + = y= 6 6 g( = f (, y = = 6 y= 5/88 5 承上頁, 即, = g( =, =, = R.V.X 之邊際機率分配 h( 如下 : 6 h( = f (, = + + = = h( = f (, = + = = h( = f (, = 6 =, y = 6 7 即 h( =, y = 8, y = 6 5/88

14 5.. 邊際機率函數 (5/7 5.. 邊際機率函數 (6/7 例題 5. 令 (X,Y 為一連續型二元隨機變數, 其聯合機率密度函數, 8.5.5, y f (, y =, 其他試求 (R.V.X Y 之邊際機率密度函數 ( P(5 Y =? 5/88 (R.V.X 之邊際機率密度函數 當 8.5.5, g( = dy =, 且 當 < 8.5或 >.5, g( =,, 所以 g( =, 其他 R.V.Y 之邊際機率密度函數.5 當 y, h( y = d =, 且 8.5 當 y < 或 y >, h(y =, 5/ 邊際機率函數 (7/7 5.. 條件機率分配 (/6, y 所以 h( y =, 其他 ( 方法一 : 直接利用二元隨機變數 (X,Y 之聯合機率密度函數.5 可得 P(5 Y = 8.5 f (, y dyd 5.5 = 8.5 dyd = d = = 8.5 方法二 : 利用 R.V.Y 之邊際機率密度函數 5 5 P(5 Y = h( y dy = dy 5 = = 5 55/88 ( 一 離散型隨機變數之條件機率函數令 ( X, Y 為離散型二元隨機變數且 f (, y 為其聯合機率函數, g( 為 X 之邊際機率函數, 則 R.V.Y 在 X= 的條件下之條件機率函數定義為 f (, y f ( y =, g( > g( 56/88

15 5.. 條件機率分配 (/6 5.. 條件機率分配 (/6 例題 5. 由例 5.6 之聯合機率分配中, 求 ( 隨機抽取一位 6~5 歲之消費者, 其欲購買此產品之機率為何? ( 欲購買此商品之消費者中, 何種年齡層發生之機率最大? ( 試求 P( Y X = ( ( ( f (,.5 5 P( X = Y = = f ( = y = = = = h(.5 7 f (, P( Y = X = = f ( y = = = = = = g(.6 6 f (, P( Y = X = = f ( y = = = = = = g(.6 6 f (,. P( Y = X = = f ( y = = = = = = g( P( Y X = = f ( y = = + f ( y = = = + = /88 58/ 條件機率分配 (/6 5.. 條件機率分配 (5/6 ( 二 連續型隨機變數之條件機率函數令 ( X, Y 為一連續型二元隨機變數且 f (, y 為其聯合機率密度函數, g( 為 X 之邊際機率密度函數, R.V.Y 在 X= 的條件機率密度函數定義為 f (, y f ( y =, g( > g( 例題 5. 若連續型二元隨機變數 ( X, Y 之聯合機率密度函數 ( + y, < <, < y <, f (, y =, 其他 ( 試問 R.V. X 在 Y = y 之條件機率密度函數 f( y 為何? ( 試求 P( < X < Y = =? ( 試求 P( < X < Y = =? 59/88 6/88

16 5.. 條件機率分配 (6/ 獨立隨機變數 (/ ( + y + y f (, y ( f y = = = = h y + y + ( d y ( P( < X < Y = = f ( y= d = d = = ( = 6 6 ( P( < X < Y = = P( < X < Y = + P( X < Y = [ ] 6 = d + = + = = 6 6 在隨機實驗中, 當一隨機變數 X 發生的機率不受另一個隨機變數 Y 產生的數值所影響, 則 X Y 稱之為獨立隨機變數 以條件機率 ( 密度 函數來表示, f ( y = h( y 或 f ( y = g( 6/88 6/ 獨立隨機變數 (/ 5..5 獨立隨機變數 (/ 定理 5- 令 (X, Y 為一二元隨機變數,f (, y 為其聯合機率 ( 密度 函數, 而 g( h(y 分別為 R.V. X Y 之邊際機率密度函數, 則以下四個敘述互為等價 : (R.V. X Y 互為 ( 統計 獨立 ( 對所有, y, f (, y = g( h( y ( 對所有滿足 h( y > 之, y, f ( y = g( ( 對所有滿足 g( > 之, y, f ( y = h( y 例題 5. 請問例 5.6 之隨機變數 X Y 是否互為 ( 統計 獨立 由例題 5.6 得知 f(,=.5, 而 g(=.6, 且 h(=.5, 所以,g(.h(=.6.5=. f(, 由此由定理 5- 之 ( 式得知,X Y 彼此不為獨立隨機變數, 即消費者之年齡層與購買此產品與否具有相關性 6/88 例題 5. 6/88

17 5..6 多元隨機變數 (/ 多元隨機變數 (/7 多元隨機變數 ( X, X,, X 之聯合機率函數. 若 X, X,, X 為 個離散型隨機變數, 如果 f (,,..., 滿足下列三個條件, 則稱 f (,,..., 為 元隨機變數 ( X, X,, X 之聯合機率 ( 質量 函數, ( P( X =, X =,..., X = = f (,,..., ( 對所有的, (,,..., f (,,...,... (,,..., f =. 若 X, X,, X 為 個連續型隨機變數, 如果 f(,,..., 滿足下列三個條件, 則稱 f(,,..., 為 元隨機變數 X, X,, X 之聯合機率密度函數 : ( P[( X, X,..., X A]... f(,,..., d... d ( 對所有的 X, f (,,...,, X,, X ( = A... f (,,..., d d... d = 65/88 66/ 多元隨機變數 (/ 多元隨機變數 (/7 多元隨機變數之邊際機率分配邊際機率分配如下, 以 X 之邊際機率函數 g ( 為例 : ( 當 X 為離散型, g (... f (,,...,, X,, X ( 當 X 為連續型, g( =... f (,,..., dd d, X,, X 多元隨機變數之聯合邊際機率分配聯合邊際機率分配如下, 以 ( X, X 之聯合邊際機率函數 g(, = 為例 :... f (,,...,, 若 (,, 為離散型 g(, =... f (,,..., dd... d, (,, 若為連續連續型 67/88 多元隨機變數之條件機率定義, 如 R.V. X, =, X = 的條件機率函數為 同理也可推廣至聯合條件機率分配, 如 X =, X = 之聯合條件機率函數為 X 在 ( X =, X =, f (,,,..., f (,,..., =, g(,,..., > g(,,...,, X, 在 X =, ( X ( f (,,,..., f (,,,..., =, g(,,..., > g(,,..., 68/88

18 5..6 多元隨機變數 (5/ 多元隨機變數 (6/7 定理 5- 令 X, X,..., X 為 元隨機變數, f,,..., ( 為其聯合機率 ( 密度 函數, 而 f, f (,..., f ( 為 R. V. X, X,, 之邊際機率函數, 則 R.V. X, X,, X 互為 ( 統計 獨立 對所有,,,, ( ( X f,,..., = f f ( f ( ( ( 例題 5.5 已知明偉燈泡公司所生產之燈泡壽命為一隨機變數, e, 且其機率函數為 f ( =, >, 今隨機從公司中 抽出四個燈泡, 令其壽命分別為 X, X, X X, 且已, 知 X, X, X X 互為 ( 統計 獨立, 試求,, P( X <, < X <, X <, X > =? 69/88 7/ 多元隨機變數 (7/7 5. 隨機變數函數之機率分配 (/7 因, X, X X 互為獨立, 所以 X, X, X, X 之聯合機率 X, 函數如下 : 當 >, >, >, > 時, f (,,, = f ( f ( f ( f ( = e 否則, f P( X <, X,,, = ( <, X <, X 因此, > = = ( e ( e e e e e ( e ( e = e e ( d d d d =.7 ( 一 離散型隨機變數函數之機率分配我們將此定義陳述在以下定理中, 定理 5- 假設 X 為一個離散型隨機變數且其機率函數為 f (, 如果 Y = q( X 為 R. V. X 之一對一轉換的函數 ( 即 y = q(x, 可以由此找出唯一一個關係 =u(y 式 R. V. Y, 則 RV.. Y 的機率函數 g ( y = f [ u( y] 7/88 7/88

19 5. 隨機變數函數之機率分配 (/7 5. 隨機變數函數之機率分配 (/7 例題 5.6 若離散型 R. V. X 之機率函數, =,, f (, 令 = 5, 其他 Y = X, 試問 R. V. Y 之機率函數 g ( y 為何? 對於,,,Y 為 X 之一對一轉換的函數, 即 y = = y ; 對於 X,,, f ( =, 此時 g( y = 所以 R. V. Y 之機率函數 y (, y =,,9 g y = f ( y = 5, 其他 7/88 定理 5- 假設 (X, X 為二元離散型隨機變數且其聯合機率函 數為 f (,, 如果 Y = q ( X, X 和 Y = q ( X, X 為 RV..( X, X 之一對一轉換的函數, 即 y q (,, y = q (, 時, 可以由此找出唯一一個關係式, 則 RV..( Y, Y 之聯合機率函數 = = u ( y, y, = u ( y, y g( y, y = f [ u ( y, y, u ( y, y ] 7/88 5. 隨機變數函數之機率分配 (/7 5. 隨機變數函數之機率分配 (5/7 例題 5.7 λ, 已知離散型 R.V.X 之機率函數 =,,, f( =,R.V.X! 之, 其他 機率函數 λ, =,,, f( =!, 其他 且 X X 互為獨立, 令 Y = X + X, Y = X 試問 : (R.V(Y,Y 的聯合機率函數 g(y,y 為何? (R.V.Y 之機率函數 h(y 為何? ( 因為 X X 互為獨立, 所以 R.V(X,X 的聯合機率函數當 =,,,, =,,, -λ -λ -( λ + λ λ e λ e λ λ e f (, = f( f( = =!!!! 當,,, 或,,,, f (, = 又因為當 =,,,, =,,, 時, y = +, y = = y + y, = y 且 y y 所以 R.V(Y,Y 之聯合機率函數 75/88 76/88

20 5. 隨機變數函數之機率分配 (6/7 5. 隨機變數函數之機率分配 (7/7 承上頁, 當 y =,,,, y =,,, y λ g( y, y = f( y - y, y = ( y - y! y! ( y - y y -( λ + λ λ e ( y - y y -( λ + λ λ λ e 即 g( y,,,,,,, y, y =, y = y = ( y - y! y!, 其他 ( 因為 R.V.Y 之機率函數 h(y 為 R.V(Y,Y 的邊際機率函數, 所以當 y =,,, 時, 77/88 λ λ e e y! λ λ ( -!!! ( -!! y y ( y - y y -( λ + λ -( λ + λ y ( y - y y = g y y = = y = y = y y y y y = y y y h( y (, e e = = + -( λ + λ y -( λ + λ y ( y - y y y Cy λ λ ( λ λ y! y = y! - ( 利用二項二項式定理 :( a + b = C a b = -( λ + λ e y λ λ, y 即 h( y y! ( + =,,, =, 其他 78/88 5. 隨機變數函數之機率分配 (8/7 5. 隨機變數函數之機率分配 (9/7 例題 5.8 若離散型 R.V.X 之其機率函數如下 : - f( / 7/5 /5 令 Y=X, 試問 R.V.Y 之機率函數 g(y 為何? 79/88 因為 Y=X, 當 =-,, 時,Y 的可能值為,, 7 而當 y = =, 所以 g ( = f ( =, 5 8 y = = -或, 所以 g( = f (- + f ( = + = 5 5 7, y = 5 8 即 g( y =, y = 5, 其他 8/88

21 5. 隨機變數函數之機率分配 (/7 ( 二 連續型隨機變數函數之機率分配我們將此定義陳述在以下定理中, 定理 5-5 假設 X 為一個連續型隨機變數且其機率密度函數為 f (, 如果 Y = q( X 為 R. V. X 之一對一轉換的函數 ( 即 y = q( 可以由此找出唯一一個關係式 = u( y, 則 R. V. Y 的機率函數 g( y = f [ u( y] J 5. 隨機變數函數之機率分配 (/7 例題 5.9, 若連續型 RV.. X 之機率密度函數 f ( =, 令, 其他 Y = 5X +, 試問 RVY.. 之機率密度函數 g( y 為何? y 因為 Y 為 X 之一對一轉換的函數, 即 ( y = 5+ = d 5 所以, J = =, 且 RVY.. 之機率函數 dy 5 ( y y, 6 y g ( y = f ( J = 75 5, 其他 8/88 8/88 5. 隨機變數函數之機率分配 (/7 5. 隨機變數函數之機率分配 (/7 定理 5-6 假設 ( X, X 為二元連續型隨機變數且其聯合機率密度函數為 f (,, 如果 Y = q ( X, X 和 Y = q ( X, X 為 RV..( X, X 之一對一轉換的函數 ( 即 y = q (,, y = q (, 時, 可以由此找出唯一一個關係式 = u( y, y, = u( y, y, 則二元 RV..( Y, Y 的聯合機率密度函數 g( y, y = f [ u ( y, y, u ( y, y ] J 例題 5. 已知連續型 RV.( X, X 的聯合機率密度函數 令 ( + e, >, > f (, =, 其他 Y = X + X, Y = X, 試問, ( RV..( Y, Y 的聯合機率密度函數 g( y, y 為何? ( RV.. Y 之機率密度函數 h( y 為何?. 8/88 8/88

22 5. 隨機變數函數之機率分配 (/7 5. 隨機變數函數之機率分配 (5/7 y y ( 因為 y = +, y = =, = y, 且 y y (, 所以 > =, =, =, =, y y y y 且 J = =, 因此 RV.. Y 之機率函數 y + y ( y y y e, y >, < y < g ( y, y = f (, y J =, 其他 ( 因為 RV.. Y 之機率函數 h( y 為之邊際 R. V.( Y, Y 機率密度函數, 所以當 即 y >, h( y g ( y, y dy e dy e y y + y y + y ( ( = = = y y = e e h( y y y = e e y >, 其他, y 85/88 86/88 5. 隨機變數函數之機率分配 (6/7 5. 隨機變數函數之機率分配 (7/7 例題 5. 令一連續型隨機變數 X 之 p.d.f 如下 :,- < < f ( =, 其他令 Y=X, 試問 R.V.Y 之機率函數 g(y 為何? 因為 Y = X, 所以當 -< <, Y的可能可能值為 y <, 而當 < y < = y, 所以 d y y - y g( y = f ( y dy = y = 6 當 y < = y或 = - y, 所以 因此 d y d- y y - y y g( y = f ( y + f (- y = + = dy dy y y y, < y < 6 y g( y =, y<, 其他 87/88 88/88