نام و نام خانوادگی: نام آزمون: < > مجموعه جواب نامعادلە < < به کدام صورت است R [, ] R [, ] y= a a اگر نامعادلە بهازاي تمام مقادیر برقرار باشد a کدام است ناموجود y f ( ( مجموعە جواب نامعادلە < f() بهکدام صورت است (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) a b بهازاي تمام هاي حقیقی برقرار بوده و a و b اعداد صحیح باشند آنگاه حداقل مقدار صحیح a b کدام اگر نامعادلە > است (, ) 7 8 5 مجموعە جواب نامعادلە > بهصورت بازه کدام است (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) مجموعە جواب نامعادلە شامل چند عدد طبیعی است 9 یک دو بیشمار 7 مجموعه جواب نامعادلە < کدام است (, ] (, ) (, ] (, ] [, ) 8 چند عدد صحیح در نامعادلە > صدق میکند یک دو بیشمار f() f() = ( m m ) بهصورت زیر است 9 بهازاي چه مقادیري از m جدول تعیین علامت عبارت ( m) (, ) (, ) (, ) (, )
مجموعە جواب نامعادلە شامل چند عدد صحیح است بی شمار اگر جدول تعیین علامت عبارت f() = a b بهصورت زیر باشد مقدار a b کدام است f() 5 9 5 = y کوچکتر از است. بیشترین مقدار کدام است a b در بازة a) (b, مقادیر سهمی صدق میکند چند عدد صحیح در نامعادلە یک دو بی شمار بیشمار (, ) بیشمار نقطه (, ) (, ) )( ( شامل چند عدد صحیح مضرب میباشد ) > مجموعه جواب نامعادلە < کدام است 5 مجموعه جواب دستگاه نامعادلات 5 < (, ) (, ) (, ) k k اگر نامعادله بهازاي همه مقادیر برقرار باشد k کدام است 7 > کدام است 7 مجموعه جواب نامعادله 8 [, ) (, ) {, } (, ) 8 نمودار 7 y = در بازه b) (a, پایینتر از خط به معادله = 5 y قرار دارد مقدار ab کدام است R [, ] (, ) < کدام است 9 مجموعه جواب نامعادلە (, ) (, ) k >, m > اگر مجموعه جواب نامعادله k (m ) m بهصورت ) [, باشد کدام گزینه صحیح است k >, m > 5 k >, m > k <, m > اگر مجموعه جواب نامعادله < به صورت (a, ) باشد a کدام است مجموعه جواب نامعادله > شامل چند عدد صحیح است
اگر مساحت مستطیلی به اضلاع و از مساحت مربعی به ضلع کمتر باشد در کدام بازه زیر میتواند قرار داشته باشد < > < < < < بزرگترین بازهاي که نمودار تابع درجە دوم y = a b در آن بالاي محور هاست بهصورت (5,) است حاصل b 5a کدام است 9 5 مجموعه جواب نامعادلە کدام است < (, ) (, ) (8, ) (, ) (, ) (, ) (, 8) > 9 مجموعه مقادیر در نامعادله کدام است < 5 7 اگر مجموعه جواب نامعادلهي به صورت (a,a) باشد a کدام است 9
روش اول: هر نامعادله را جداگانه حل کرده و از جواب ها اشتراك می گیریم. > > > ن < یا > (I) < < ن < یا > (II) از اشتراك (I) و (II) به جواب > یا < میرسیم که همان ] [, R است. 7 = 5 < < : روش دوم: به روش عددگذاري حل می کنیم. گزینھ ھای دوم و چھارم حذف می شوند درست 7 = 7 < < : عبارت همواره مثبت است چون > a و < Δ است بنابراین میتوانیم طرفین وسطین کنیم. شرط آنکه c a b باشد آن است که > a و Δ باشد. از اشتراك (I) و (II) به جواب = a میرسیم. مطابق شکل در فاصلە ) (, تابع f() y = بالاي خط y = قرار دارد یعنی > f() و در فاصلە ) (, ) (, پایین خط y = قرار دارد یعنی < f() می شود. براي این که عبارت همواره بزرگ تر از باشد صورت و مخرج باتوجه به ضریب که مثبت است باید مثبت باشند و می دانیم شرط آن که یک عبارت درجە دوم همواره مثبت باشد آن است که > a و < Δ باشد. گزینە سوم حذف می شود درست a a (a ) ( a) a > a > a > a > (I) Δ b ac ( a) a = (II) f() < (f() ) < f() (f() ) (, ) صورت Δ < b ac < a < < a < a = حداقل مقدار صحیح Δ < b ac < b < b > b مخرج 7 8 > 7 8 > ( )() 7 8 > ( )() 8 ( )() 8 > ( )() ( )( ) ( )() پس حداقل مقدار صحیح برابر یک است. 5 روش اول: = حداقل مقدار صحیح a b
تعیین علامت توجھ کنید = مخرج را میکند. ن ن < یا < < < (, ) (, ) = درست : > 8 روش دوم: به روش عددگذاري حل می کنیم. گزینە دوم حذف می شود = > : گزینھ ھای اول و چھارم حذف می شوند درست ( ) ()( ) 9 ( ) ( ) ن عبارت (, ] [, ] شامل یک عدد طبیعی است. 7 نامعادله را به دو نامعادلە مجزا تقسیم می کنیم. عبارت ن یا > (I) صورت ھمواره مثبت است. < < < < < (a>, Δ<) (II) از اشتراك (I) و (II) به جواب میرسیم. و مثبت هستند و داریم: برابر > است پس هر عبارت چون دامنە عبارت 8 > > > ( )( > ) با شرط > اولین عدد صحیح میشود که با درنظرگیري Z عبارت سمت راست همواره بزرگتر از و عبارت سمت چپ کوچکتر از است. لذا هیچ عدد صحیحی در این نامعادله صدق نمی کند. 9 باتوجه به جدول تعیین علامت = f() داراي ریشه میباشد بنابراین > Δ میباشد. ازطرفی با رجوع کردن به جدول مابین دو ریشه علامت مثبت I) Δ > b ac > (m ) ( m m )( ) > می باشد که طبق این مطلب باید ضریب منفی باشد. m m m m > m > m < (I) II) a < m m < (m )(m ) < < m < (II) صورت کسر را مرتبتر مینویسیم. از اشتراك (I) و (II) به جواب (,) m میرسیم. ابتدا یک طرف نامعادله را می کنیم: در صورت کسر اتحاد مکعب کامل و در مخرج کسر اتحاد چاق و لاغر را می نویسیم: ( ) ( ضرب طرفین در منفی با تغییر جھت نامساوی ) ( ) ( )( ) واضح است که عبارت ( ) همواره بزرگتر مساوي و عبارت (بهدلیل < Δ و > a ) همواره بزرگتر از است. پس حاصل تقسیم آنها نمیتواند کوچکتر از باشد. شاید فکر کرده باشید = از آنجا که حاصل کسر را میکند در نامعادله صدق میکند اما دقت کنید که عبارت اولیه بهازاي = بهعنوان ریشە مخرج اصلا تعریف 5
نشده است. پس هیچ عددي در این نامعادله صدق نمی کند. با توجه به جدول تعیین علامت میتوان گفت که عبارت داراي ریشە مضاعف = است. b a = f() a = = = = ریشە مضاعف a b b = b = a b = () = 5 5 < 8 < 5 < ( )( ) < < عبارت < < (, ) a b = () = از طرفی = ریشه است یعنی = ()f است بنابراین: 5 باید نامعادلە < را حل کنیم. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) = = = = (, ] [, ) ن عبارت ریشە حقیقی ندارد = = = بنابراین بیشمار عدد صحیح در این نامعادله صدق میکند. ( )( ) > ( )( ) > ( ) ( )( ) ( ) > ( )( ) > > > ( ) به دلیل قرار گرفتن در زیر رادیکال باید همواره بزرگ تر یا مساوي باشد و لذا مجموعە جواب نهایی برابر است با: امت توجه داشته باشید که واضح است که این بازه شامل دو عدد صحیح مضرب است. 5 هر نامعادله را جداگانه حل کرده و سپس از جواب ها اشتراك می گیریم. ھمواره مثبت است. فاکتورگیري از < =, = < ( ) < < (I) عبارت 5 < ( ) ( ) < 5 ( ) ( ) > 5 < < 5 5 < 5 < (I I) k k k k ( ) k k (k ) ( k) از اشتراك (I) و (I I) به جواب < میرسیم. شرط آنکه یک عبارت درجە دوم همواره بزرگتر مساوي باشد > a و Δ است. a>,δ< ھمواره مثبت a > k > k > k > اشتراک } فقط تساوی برقرار است. k) Δ b ac ( k = k = ( )( ) ( )( ) > ( )( ) ( )( ) > > 7
> > > از این جواب باید اعداد و را که مخرج را میکنند کم کنیم. 7 7 7 5 5 < 5 5 < < همواره مثبت است پس تا ثیري در جواب ندارد. < < = ( )( ) = { = = 8 < < ( )( ) (a, b) = (, ) ab = = پس مقدار ab خواهد شد. 9 ( )( ) ( )( ) < < < با توجه به جواب نامعادله میفهمیم که = ریشه = k) (m ) (m است. پس: (m )() (m k) = m = k m > m > از طرفی چون براي مقادیر مثبت عبارت (k m) ( m) مثبت است پس با توجه به تعیین علامت نامعادلات درجه باید ضریب مثبت باشد یعنی: m=k k > k < مخرج مشترک > > > < < (, ) 8 > > ( ) Δ=8=, = =5, 9± همه ي عوامل به یک طرف عبارت می آوریم و عبارت ساده شده را تعیین علامت می کنیم: 9 5 > ( ) 5 5 < < مستطیل S مربع < S ()( ) < < 7 < ( )( ) < < < > اشتراک اشتراک با >> > > > < < > > { a b = 5 5a b = { a b = a = 8, b = b 5a = 5a b = 5 صورت کسر همواره منفی است زیرا < a و < Δ است پس: که این جواب شامل اعداد صحیح,,,, است. از طرفی اضلاع باید مثبت باشند یعنی: یعنی جواب نامعادلە > b a بهصورت 5) (, است. باید, 5 = ریشههاي معادلە درجە دوم = b a باشند: a>,δ< ھمواره مثبت 9 5 > 9 5 < 7
< < < 8 ج ج ()( ) ( )( ) < ( )( ) 5 8 < ( )( ) جدول تعیین علامت نامعادله به شکل زیر است: (8, ) (, ) چون 9 همواره مثبت است پس تا ثیري در جواب نامعادله ندارد. براي برقراري معادله چون در مخرج است باید مثبت باشد لذا داریم: > > 5 5 5 9 9 9 9 7 اول همه را در یک طرف معادله می گذاریم و بعد از ساده کردن کسر به دست آمده را تعیین علامت می کنیم. 9 () 9 ( )( ) عبارت درنتیجه جواب بهصورت < < است. ن ن 8
8 5 9 7 8 5 5 9 7 7 9